วิธีเกาส์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นไม่แน่นอน วิธี Gauss สำหรับ Dummies: ตัวอย่างโซลูชัน

ให้ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตซึ่งจำเป็นต้องแก้ไข (ค้นหาค่าดังกล่าวของ хi ที่ไม่รู้จักซึ่งทำให้สมการแต่ละระบบมีความเท่าเทียมกัน)

เรารู้ว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถ:

1) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (be เข้ากันไม่ได้).
2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายอนันต์
3) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

อย่างที่เราจำได้ กฎของแครมเมอร์และ วิธีเมทริกซ์ไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีเกาส์ – เครื่องมือที่ทรงพลังและหลากหลายที่สุดสำหรับการค้นหาโซลูชันสำหรับระบบใด ๆ สมการเชิงเส้น ซึ่ง ทุกกรณีนำเราไปสู่คำตอบ! อัลกอริธึมวิธีการเองในทั้งหมด สามกรณีทำงานในลักษณะเดียวกัน หากวิธีแครมเมอร์และเมทริกซ์ต้องการความรู้เกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้นหากต้องการใช้วิธีเกาส์ จะต้องมีความรู้เท่านั้น การดำเนินการเลขคณิตซึ่งทำให้เข้าถึงได้แม้กระทั่งนักเรียนระดับประถมศึกษา

การแปลงเมทริกซ์แบบขยาย ( นี่คือเมทริกซ์ของระบบ - เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนามเท่านั้น บวกคอลัมน์ของเทอมอิสระ)ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในวิธีเกาส์:

1) กับ trokyเมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่สถานที่.

2) ถ้าเมทริกซ์มี (หรือมี) สัดส่วน (as กรณีพิเศษเหมือนกัน) สตริงแล้วตามมา ลบจากเมทริกซ์ แถวเหล่านี้ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งแถว

3) หากแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็จะตามมาด้วย ลบ.

4) แถวของเมทริกซ์สามารถ คูณ (หาร)เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

5) ไปที่แถวของเมทริกซ์ คุณสามารถ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์

ในวิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

"การย้ายโดยตรง" - ใช้การแปลงเบื้องต้นนำเมทริกซ์ขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมาเป็น "สามเหลี่ยม" มุมมองขั้นบันได: องค์ประกอบของเมทริกซ์แบบขยายที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (การเคลื่อนที่จากบนลงล่าง) ตัวอย่างเช่น ในลักษณะนี้:

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ให้เราพิจารณาสมการแรกของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและสัมประสิทธิ์ที่ x 1 เท่ากับ K ที่สอง สาม ฯลฯ เราแปลงสมการดังนี้ เราหารสมการแต่ละสมการ (สัมประสิทธิ์ของค่าไม่ทราบค่า รวมทั้งพจน์ว่าง) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ไม่ทราบค่า x 1 ซึ่งอยู่ในสมการแต่ละสมการแล้วคูณด้วย K หลังจากนั้นให้ลบค่าแรกออกจากสมการที่สอง ( ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบเงื่อนไขและข้อกำหนดฟรี) เราได้ค่าสัมประสิทธิ์ 0 ที่ x 1 ในสมการที่สอง จากสมการที่แปลงที่สามแล้ว เราลบสมการแรกออก ดังนั้น จนกว่าสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรกที่มีค่า x 1 ที่ไม่ทราบค่า จะไม่มีสัมประสิทธิ์ 0

2) ไปที่สมการถัดไป ให้นี่เป็นสมการที่สองและสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เท่ากับ M ด้วยสมการ "รอง" ทั้งหมด เราดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้น "ใต้" ค่า x 2 ที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมดจะเป็นศูนย์

3) เราส่งผ่านไปยังสมการถัดไป ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งไม่รู้ครั้งสุดท้ายและเปลี่ยนเทอมว่างเหลืออยู่

« ย้อนกลับ» วิธีเกาส์ - หาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ไป "จากล่างขึ้นบน") จากสมการ "ล่าง" สุดท้าย เราได้คำตอบแรก - ค่าที่ไม่รู้จัก x n สำหรับสิ่งนี้เราตัดสินใจ สมการเบื้องต้น A * x n \u003d B. ในตัวอย่างข้างต้น x 3 \u003d 4 เราแทนที่ค่าที่พบในสมการถัดไป "บน" และแก้หาค่าที่ไม่รู้จักถัดไป ตัวอย่างเช่น x 2 - 4 \u003d 1 เช่น x 2 \u003d 5. และอื่นๆ จนกว่าเราจะพบสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด

ตัวอย่าง.

เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ตามที่ผู้เขียนบางคนแนะนำ:

เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำไปที่รูปแบบขั้นตอน:

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน ที่นั่นเราควรมีหน่วย ปัญหาคือไม่มีคอลัมน์แรกเลย ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดเรียงแถวใหม่ ในกรณีเช่นนี้ ต้องจัดหน่วยโดยใช้ การแปลงร่างเบื้องต้น. โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ลองทำแบบนี้:
1 ขั้นตอน . ในบรรทัดแรก เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -1 นั่นคือเราคูณบรรทัดที่สองด้วย -1 ทางจิตใจแล้วทำการบวกบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ที่ด้านบนซ้าย "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราอย่างสมบูรณ์แบบ ใครก็ตามที่ต้องการรับ +1 สามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้: คูณบรรทัดแรกด้วย -1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)

2 ขั้นตอน . บรรทัดแรกคูณด้วย 5 ถูกเพิ่มในบรรทัดที่สอง บรรทัดแรกคูณด้วย 3 ถูกเพิ่มในบรรทัดที่สาม

3 ขั้นตอน . บรรทัดแรกคูณด้วย -1 โดยหลักการแล้วนี่คือเพื่อความสวยงาม เครื่องหมายของบรรทัดที่สามก็เปลี่ยนไปเช่นกันและย้ายไปที่ที่สอง ดังนั้นใน "ขั้นตอนที่สอง เรามีหน่วยที่ต้องการ

4 ขั้นตอน . ในบรรทัดที่สาม ให้บวกบรรทัดที่สอง คูณด้วย 2

5 ขั้นตอน . บรรทัดที่สามหารด้วย 3

สัญญาณที่บ่งชี้ข้อผิดพลาดในการคำนวณ (มักจะพิมพ์ผิดน้อยกว่า) คือบรรทัดล่างที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเราได้บางอย่างเช่น (0 0 11 | 23) ด้านล่างและดังนั้น 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 ดังนั้นมีความเป็นไปได้สูงที่เราสามารถพูดได้ว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในช่วงประถมศึกษา การเปลี่ยนแปลง

เราดำเนินการย้อนกลับ ในการออกแบบตัวอย่าง ระบบมักจะไม่ถูกเขียนใหม่ และสมการจะ "นำมาโดยตรงจากเมทริกซ์ที่กำหนด" ฉันเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวย้อนกลับทำงานได้ "จากล่างขึ้นบน" ที่ ตัวอย่างนี้ได้รับของขวัญ:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ดังนั้น x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

ตอบ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1

มาแก้ระบบเดียวกันโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอ เราได้รับ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

หารสมการที่สองด้วย 5 และสามด้วย 3 เราจะได้:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

คูณสมการที่สองและสามด้วย 4 เราจะได้:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสาม เรามี:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

หารสมการที่สามด้วย 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

คูณสมการที่สามด้วย 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ลบสมการที่สองออกจากสมการที่สาม เราจะได้เมทริกซ์เสริม "ก้าว":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ดังนั้นเนื่องจากเกิดข้อผิดพลาดในกระบวนการคำนวณ เราจึงได้ x 3 \u003d 0.96 หรือประมาณ 1

x 2 \u003d 3 และ x 1 \u003d -1

การแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ คุณจะไม่สับสนในการคำนวณ และถึงแม้จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ คุณก็จะได้ผลลัพธ์

วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้ง่ายต่อการตั้งโปรแกรมและไม่คำนึงถึง คุณสมบัติเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบค่า เนื่องจากในทางปฏิบัติ (ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์และทางเทคนิค) เราต้องจัดการกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ขอให้คุณประสบความสำเร็จ! เจอกันในชั้นเรียน! ติวเตอร์.

blog.site ที่คัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ในบทความนี้ วิธีการนี้ถือเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (SLAE) วิธีการนี้เป็นการวิเคราะห์ กล่าวคือ ช่วยให้คุณสามารถเขียนอัลกอริธึมโซลูชันใน ปริทัศน์แล้วแทนที่ค่าจากตัวอย่างเฉพาะที่นั่น ต่างจากวิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครมเมอร์ตรงที่เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ คุณยังสามารถทำงานกับสมการที่มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน หรือพวกเขาไม่มีเลย

เกาส์หมายถึงอะไร?

ก่อนอื่นคุณต้องเขียนระบบสมการของเราใน หน้าตาแบบนี้ ระบบถูกนำมาใช้:

ค่าสัมประสิทธิ์เขียนในรูปแบบของตารางและทางด้านขวาในคอลัมน์แยกต่างหาก - สมาชิกอิสระ คอลัมน์ที่มีสมาชิกว่างจะถูกแยกออกเพื่อความสะดวก เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์นี้เรียกว่า Extended

นอกจากนี้เมทริกซ์หลักที่มีค่าสัมประสิทธิ์จะต้องลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านบน นี่คือประเด็นหลักในการแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์ พูดง่ายๆ ว่า หลังจากการปรับเปลี่ยนบางอย่าง เมทริกซ์ควรมีลักษณะดังนี้ เพื่อให้เหลือเพียงศูนย์ในส่วนล่างซ้าย:

จากนั้น หากคุณเขียนเมทริกซ์ใหม่อีกครั้งเป็นระบบสมการ คุณจะสังเกตเห็นว่าแถวสุดท้ายมีค่าของรากหนึ่งอยู่แล้ว ซึ่งจะถูกแทนที่ในสมการข้างต้น จะพบรูทอื่น เป็นต้น

คำอธิบายของการแก้ปัญหานี้โดยวิธีเกาส์มากที่สุด ในแง่ทั่วไป. และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าจู่ๆ ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา? หรือมีจำนวนอนันต์? ในการตอบคำถามเหล่านี้และคำถามอื่นๆ อีกมากมาย จำเป็นต้องพิจารณาองค์ประกอบทั้งหมดที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์แยกกัน

เมทริกซ์คุณสมบัติของมัน

ไม่มี ความหมายที่ซ่อนอยู่ไม่ได้อยู่ในเมทริกซ์ เป็นวิธีที่สะดวกในการบันทึกข้อมูลสำหรับการดำเนินการในภายหลัง แม้แต่เด็กนักเรียนก็ไม่ควรกลัวพวกเขา

เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสมอเพราะสะดวกกว่า แม้แต่ในวิธีเกาส์ที่ทุกอย่างลงมาเพื่อสร้างเมทริกซ์ สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมจะปรากฏในรายการ โดยมีเพียงศูนย์ในตำแหน่งที่ไม่มีตัวเลข ค่าศูนย์สามารถละเว้นได้ แต่จะมีการบอกเป็นนัย

เมทริกซ์มีขนาด "ความกว้าง" คือจำนวนแถว (ม.) "ความยาว" คือจำนวนคอลัมน์ (n) จากนั้นขนาดของเมทริกซ์ A (มักใช้ตัวพิมพ์ใหญ่เพื่อแสดงถึงพวกเขา) ตัวอักษร) จะแสดงเป็น A m×n ถ้า m=n เมทริกซ์นี้จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ m=n คือลำดับของมัน ดังนั้น องค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ A สามารถแสดงด้วยจำนวนแถวและคอลัมน์: a xy ; x - หมายเลขแถว, การเปลี่ยนแปลง , หมายเลขคอลัมน์ y, การเปลี่ยนแปลง

B ไม่ใช่ประเด็นหลักของการแก้ปัญหา โดยหลักการแล้ว การดำเนินการทั้งหมดสามารถทำได้โดยตรงกับสมการเอง แต่สัญกรณ์จะกลายเป็นเรื่องยุ่งยากกว่ามาก และจะทำให้สับสนได้ง่ายขึ้นมาก

ดีเทอร์มิแนนต์

เมทริกซ์ยังมีดีเทอร์มีแนนต์ด้วย นี้มันมาก ลักษณะสำคัญ. การหาความหมายของมันตอนนี้ไม่คุ้มเสียแล้ว คุณสามารถแสดงวิธีการคำนวณ แล้วบอกคุณสมบัติของเมทริกซ์ที่มันกำหนด วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาดีเทอร์มีแนนต์คือการใช้เส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมจินตภาพถูกวาดในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่อยู่บนแต่ละองค์ประกอบจะถูกคูณจากนั้นจึงเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้: เส้นทแยงมุมที่มีความลาดเอียงไปทางขวา - ด้วยเครื่องหมาย "บวก" โดยมีความลาดเอียงไปทางซ้าย - พร้อมเครื่องหมาย "ลบ"

เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องทราบว่า ดีเทอร์มีแนนต์สามารถคำนวณได้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น สำหรับ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมคุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: จากจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์ ให้เลือกจำนวนที่น้อยที่สุด (ปล่อยให้เป็น k) จากนั้นสุ่มทำเครื่องหมาย k คอลัมน์และ k แถวในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่จุดตัดของคอลัมน์และแถวที่เลือกจะประกอบขึ้นใหม่ เมทริกซ์สี่เหลี่ยม. หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเรียกว่าเมทริกซ์ฐานรองของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมดั้งเดิม

ก่อนดำเนินการแก้ระบบสมการด้วยวิธีเกาส์ การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เสียหาย ถ้ามันกลายเป็นศูนย์ เราก็บอกได้ทันทีว่าเมทริกซ์นั้นมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ หรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีที่น่าเศร้าเช่นนี้ คุณต้องไปต่อและค้นหาอันดับของเมทริกซ์

การจำแนกระบบ

มีบางอย่างเช่นอันดับของเมทริกซ์ นี่คือลำดับสูงสุดของดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (จำเกี่ยวกับ ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานเราสามารถพูดได้ว่าอันดับของเมทริกซ์คือลำดับของฐานรอง)

ตามสิ่งที่อยู่ในอันดับ SLAE สามารถแบ่งออกเป็น:

ร่วม. ที่ของระบบร่วม ตำแหน่งของเมทริกซ์หลัก (ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น) ตรงกับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย (พร้อมคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ) ระบบดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาแต่ไม่จำเป็นต้องมีอย่างใดอย่างหนึ่ง ดังนั้นนอกจากนี้ ระบบร่วมแบ่งออกเป็น:
- แน่ใจ- มีโซลูชั่นที่ไม่เหมือนใคร ในบางระบบ ลำดับของเมทริกซ์และจำนวนของสิ่งที่ไม่รู้จัก (หรือจำนวนคอลัมน์ซึ่งเหมือนกัน) จะเท่ากัน
- ไม่มีกำหนด -ด้วยโซลูชั่นจำนวนนับไม่ถ้วน อันดับของเมทริกซ์สำหรับระบบดังกล่าวน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก
เข้ากันไม่ได้ ที่ระบบดังกล่าว ลำดับของเมทริกซ์หลักและส่วนขยายไม่ตรงกัน ระบบที่เข้ากันไม่ได้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

วิธีเกาส์นั้นดีเพราะช่วยให้ได้รับข้อพิสูจน์ที่ชัดเจนเกี่ยวกับความไม่สอดคล้องกันของระบบ (โดยไม่ต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดใหญ่) หรือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบที่มีคำตอบจำนวนอนันต์ระหว่างการแก้ปัญหา

การแปลงเบื้องต้น

ก่อนดำเนินการแก้ปัญหาของระบบโดยตรง จะทำให้การคำนวณยุ่งยากน้อยลงและสะดวกยิ่งขึ้น สิ่งนี้ทำได้โดยการแปลงเบื้องต้น - เพื่อให้การใช้งานไม่เปลี่ยนแปลงคำตอบสุดท้ายในทางใดทางหนึ่ง ควรสังเกตว่าการแปลงเบื้องต้นบางส่วนข้างต้นใช้ได้สำหรับเมทริกซ์เท่านั้น ซึ่งแหล่งที่มาคือ SLAE อย่างแม่นยำ นี่คือรายการของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้:

การเรียงสับเปลี่ยนสตริง เห็นได้ชัดว่าถ้าเราเปลี่ยนลำดับของสมการในบันทึกระบบ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาแต่อย่างใด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสลับแถวในเมทริกซ์ของระบบนี้ แน่นอนว่าอย่าลืมเกี่ยวกับคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ
การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของสตริงด้วยปัจจัยบางอย่าง มีประโยชน์มาก! ใช้ย่อได้ ตัวเลขใหญ่ในเมทริกซ์หรือลบศูนย์ ชุดของการแก้ปัญหาตามปกติจะไม่เปลี่ยนแปลงและจะสะดวกยิ่งขึ้นในการดำเนินการต่อไป สิ่งสำคัญคือสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์
ลบแถวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน ส่วนนี้ต่อจากย่อหน้าที่แล้ว หากสองแถวหรือมากกว่าในเมทริกซ์มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน เมื่อคูณ / หารหนึ่งในแถวด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วน จะได้แถวที่เหมือนกันทุกประการสองแถว (หรือมากกว่านั้น) และคุณสามารถเอาแถวพิเศษออกได้ หนึ่ง.
การลบบรรทัดว่าง หากในระหว่างการแปลงได้รับสตริงที่องค์ประกอบทั้งหมดรวมถึงสมาชิกอิสระเป็นศูนย์ดังนั้นสตริงดังกล่าวสามารถเรียกได้ว่าเป็นศูนย์และโยนออกจากเมทริกซ์
การเพิ่มองค์ประกอบของแถวหนึ่งไปยังองค์ประกอบอื่น (ในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง) คูณด้วยสัมประสิทธิ์บางอย่าง การเปลี่ยนแปลงที่คลุมเครือและสำคัญที่สุดของทั้งหมด มันคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติม

การบวกสตริงคูณด้วยตัวประกอบ

เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ ควรแยกส่วนกระบวนการนี้ทีละขั้นตอน สองแถวนำมาจากเมทริกซ์:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... a 2n | ข2

สมมติว่าคุณต้องบวกตัวแรกเข้ากับตัวที่สอง คูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-2"

a" 21 \u003d a 21 + -2 × 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

จากนั้นในเมทริกซ์ แถวที่สองจะถูกแทนที่ด้วยแถวใหม่และแถวแรกจะไม่เปลี่ยนแปลง

11 a 12 ... 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

ควรสังเกตว่าสามารถเลือกปัจจัยการคูณในลักษณะที่ผลของการเพิ่มสองสตริง หนึ่งในองค์ประกอบของสตริงใหม่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับสมการในระบบซึ่งจะมีหนึ่งที่ไม่รู้จักน้อยกว่า และถ้าคุณได้สมการดังกล่าวสองสมการ การดำเนินการก็สามารถทำได้อีกครั้งและได้สมการที่จะมีค่าไม่ทราบค่าน้อยกว่าสองค่าอยู่แล้ว และถ้าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนเป็นศูนย์ 1 สัมประสิทธิ์สำหรับทุกแถวที่ต่ำกว่าค่าเดิม เราก็สามารถลงไปที่ด้านล่างสุดของเมทริกซ์แล้วได้สมการที่ไม่ทราบค่าตัวเดียว นี้เรียกว่าการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

โดยทั่วไป

ให้มีระบบ มีสมการ m และรากที่ไม่รู้จัก คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

เมทริกซ์หลักรวบรวมจากสัมประสิทธิ์ของระบบ คอลัมน์ของสมาชิกอิสระจะถูกเพิ่มลงในเมทริกซ์แบบขยายและคั่นด้วยแถบเพื่อความสะดวก

แถวแรกของเมทริกซ์คูณด้วยสัมประสิทธิ์ k = (-a 21 / a 11);
แถวที่แก้ไขแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์จะถูกเพิ่ม
แทนที่จะเป็นแถวที่สอง ผลลัพธ์ของการเพิ่มจากย่อหน้าก่อนหน้าจะถูกแทรกลงในเมทริกซ์
ตอนนี้สัมประสิทธิ์แรกใน วินาทีใหม่เส้นคือ 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0

ตอนนี้ทำการแปลงชุดเดียวกันแล้ว เฉพาะแถวแรกและแถวที่สามเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น ในแต่ละขั้นตอนของอัลกอริทึม องค์ประกอบ a 21 จะถูกแทนที่ด้วย 31 จากนั้นทุกอย่างจะทำซ้ำสำหรับ 41 , ... a m1 ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ที่องค์ประกอบแรกในแถวมีค่าเท่ากับศูนย์ ตอนนี้เราต้องลืมเกี่ยวกับบรรทัดที่หนึ่งและดำเนินการอัลกอริทึมเดียวกันโดยเริ่มจากบรรทัดที่สอง:

ค่าสัมประสิทธิ์ k \u003d (-a 32 / a 22);
บรรทัดที่แก้ไขที่สองจะถูกเพิ่มในบรรทัด "ปัจจุบัน"
ผลของการเพิ่มจะถูกแทนที่ในบรรทัดที่สาม สี่ และอื่น ๆ ในขณะที่บรรทัดแรกและที่สองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
ในแถวของเมทริกซ์ สององค์ประกอบแรกมีค่าเท่ากับศูนย์แล้ว

ต้องทำซ้ำอัลกอริทึมจนกว่าสัมประสิทธิ์ k = (-a m,m-1 /a mm) จะปรากฏขึ้น ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมทำงานครั้งสุดท้ายสำหรับสมการที่ต่ำกว่าเท่านั้น ตอนนี้เมทริกซ์ดูเหมือนสามเหลี่ยมหรือมีรูปร่างเป็นขั้นบันได บรรทัดล่างมีความเท่าเทียมกัน a mn × x n = b m ค่าสัมประสิทธิ์และระยะอิสระเป็นที่รู้จัก และรากแสดงผ่านค่าเหล่านี้: x n = b m /a mn รากที่เป็นผลลัพธ์จะถูกแทนที่ในแถวบนสุดเพื่อค้นหา x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 และอื่นๆ โดยการเปรียบเทียบ: แต่ละบรรทัดถัดไปประกอบด้วย รากใหม่และเมื่อไปถึง "ระดับบนสุด" ของระบบแล้ว เราก็สามารถหาวิธีแก้ไขได้มากมาย มันจะเป็นหนึ่งเดียว

เมื่อไม่มีทางออก

ถ้าอยู่ใน แถวเมทริกซ์องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นพจน์ว่าง มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการที่สอดคล้องกับเส้นนี้จะดูเหมือน 0 = b มันไม่มีทางออก และเนื่องจากสมการดังกล่าวรวมอยู่ในระบบ ดังนั้นเซตของคำตอบของทั้งระบบจึงว่างเปล่า กล่าวคือ มันเสื่อมลง

เมื่อมีคำตอบมากมายไม่รู้จบ

ก็อาจกลายเป็นว่าในการให้ เมทริกซ์สามเหลี่ยมไม่มีแถวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการหนึ่งองค์ประกอบ และหนึ่ง - สมาชิกอิสระ มีเพียงสตริงที่เมื่อเขียนใหม่จะดูเหมือนสมการที่มีตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งหมายความว่าระบบมีโซลูชันจำนวนอนันต์ ในกรณีนี้ สามารถให้คำตอบในรูปแบบของคำตอบทั่วไป ทำอย่างไร?

ตัวแปรทั้งหมดในเมทริกซ์แบ่งออกเป็นแบบพื้นฐานและแบบอิสระ สิ่งพื้นฐานคือสิ่งที่ยืนอยู่ "บนขอบ" ของเส้นใน เมทริกซ์ก้าว. ส่วนที่เหลือฟรี ในการแก้ปัญหาทั่วไป ตัวแปรพื้นฐานจะถูกเขียนในรูปของตัวแปรอิสระ

เพื่อความสะดวก เมทริกซ์จะถูกเขียนกลับเข้าไปในระบบสมการก่อน จากนั้นในตัวแปรสุดท้ายที่ตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวยังคงอยู่ มันยังคงอยู่ที่ด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่เหลือจะถูกถ่ายโอนไปยังอีกตัวแปรหนึ่ง ทำได้สำหรับแต่ละสมการที่มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว จากนั้น ในสมการที่เหลือ หากเป็นไปได้ แทนตัวแปรพื้นฐาน นิพจน์ที่ได้รับสำหรับตัวแปรนั้นจะถูกแทนที่ ผลลัพธ์คือ หากนิพจน์ปรากฏขึ้นอีกครั้งซึ่งมีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว นิพจน์นั้นจะแสดงอีกครั้งจากที่นั่น เป็นต้น จนกว่าตัวแปรพื้นฐานแต่ละตัวจะถูกเขียนเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรอิสระ นั่นแหละค่ะ การตัดสินใจร่วมกันสลายู

คุณยังสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบ - ให้ค่าตัวแปรอิสระใด ๆ จากนั้นให้คำนวณค่าของตัวแปรพื้นฐานสำหรับกรณีนี้โดยเฉพาะ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะมากมายอย่างไม่สิ้นสุด

วิธีแก้ปัญหาด้วยตัวอย่างเฉพาะ

นี่คือระบบสมการ

เพื่อความสะดวกควรสร้างเมทริกซ์ทันที

เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อแก้โดยวิธีเกาส์ สมการที่สอดคล้องกับแถวแรกจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดการแปลง ดังนั้นมันจะทำกำไรได้มากกว่าถ้าองค์ประกอบด้านซ้ายบนของเมทริกซ์มีขนาดเล็กที่สุด - จากนั้นองค์ประกอบแรกของแถวที่เหลือหลังจากการดำเนินการจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในเมทริกซ์ที่คอมไพล์แล้วจะเป็นประโยชน์ที่จะวางแถวที่สองแทนแถวแรก

บรรทัดที่สอง: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

บรรทัดที่สาม: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

ทีนี้ เพื่อไม่ให้สับสน จำเป็นต้องเขียนเมทริกซ์ด้วย ผลลัพธ์ขั้นกลางการเปลี่ยนแปลง

เป็นที่ชัดเจนว่าเมทริกซ์ดังกล่าวสามารถทำให้สะดวกขึ้นสำหรับการรับรู้ด้วยความช่วยเหลือจากการดำเนินการบางอย่าง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบ "minuses" ทั้งหมดออกจากบรรทัดที่สองโดยคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1"

เป็นที่น่าสังเกตว่าในแถวที่สามองค์ประกอบทั้งหมดเป็นทวีคูณของสาม จากนั้นคุณสามารถย่อสตริงด้วยตัวเลขนี้ คูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1/3" (ลบ - ในเวลาเดียวกันเพื่อลบ ค่าลบ).

ดูดีกว่าเยอะ ตอนนี้เราต้องปล่อยให้อยู่คนเดียวในบรรทัดแรกและทำงานกับบรรทัดที่สองและสาม งานคือการเพิ่มแถวที่สองในแถวที่สาม คูณด้วยปัจจัยที่ทำให้องค์ประกอบ 32 มีค่าเท่ากับศูนย์

k = (-a 32 / 22) = (-3/7) = -3/7 เศษส่วนร่วมและเมื่อได้คำตอบแล้ว ให้ตัดสินใจว่าจะปัดเศษและแปลเป็นบันทึกรูปแบบอื่นหรือไม่)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

เมทริกซ์ถูกเขียนอีกครั้งด้วยค่าใหม่

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

อย่างที่คุณเห็น เมทริกซ์ผลลัพธ์มีรูปแบบขั้นแล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมของระบบด้วยวิธีเกาส์ สิ่งที่ทำได้ที่นี่คือการลบออกจากบรรทัดที่สาม ค่าสัมประสิทธิ์โดยรวม "-1/7".

ตอนนี้ทุกอย่างกำลังสวยงาม จุดเล็ก - เขียนเมทริกซ์อีกครั้งในรูปแบบของระบบสมการและคำนวณราก

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

อัลกอริธึมที่ใช้ค้นหารากนั้นเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับในวิธีเกาส์ สมการ (3) มีค่าของ z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

และสมการแรกให้คุณหา x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

เรามีสิทธิ์ที่จะเรียกระบบดังกล่าวว่าการร่วมทุน และแน่นอนก็คือมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร คำตอบเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9

ตัวอย่างของระบบไม่แน่นอน

วิธีการแก้ ระบบบางอย่างได้รับการวิเคราะห์โดยวิธี Gaussian ตอนนี้มีความจำเป็นต้องพิจารณากรณีที่ระบบไม่มีกำหนดนั่นคือสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้มากมาย

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

ลักษณะที่ปรากฏของระบบนั้นน่าตกใจอยู่แล้วเพราะจำนวนที่ไม่รู้จักคือ n = 5 และอันดับของเมทริกซ์ของระบบนั้นน้อยกว่าตัวเลขนี้อยู่แล้วเพราะจำนวนแถวคือ m = 4 นั่นคือ ลำดับที่ยิ่งใหญ่ที่สุดดีเทอร์มีแนนต์กำลังสอง - 4. ดังนั้น คำตอบจึงมีอยู่ ชุดอนันต์และจำเป็นต้องมองหารูปแบบทั่วไป วิธีเกาส์สำหรับสมการเชิงเส้นทำให้สามารถทำได้

ก่อนอื่นจะมีการคอมไพล์เมทริกซ์เสริมตามปกติ

บรรทัดที่สอง: สัมประสิทธิ์ k = (-a 21 / a 11) = -3 ในบรรทัดที่สาม องค์ประกอบแรกอยู่ก่อนการแปลง ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องแตะต้องอะไรเลย คุณต้องปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น บรรทัดที่สี่: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

คูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วยสัมประสิทธิ์แต่ละตัวแล้วบวกเข้ากับแถวที่ต้องการเราจะได้เมทริกซ์ ชนิดต่อไปนี้:

อย่างที่คุณเห็น แถวที่สอง สาม และสี่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน โดยทั่วไปที่สองและสี่จะเหมือนกัน ดังนั้นหนึ่งในนั้นสามารถลบออกได้ทันที และส่วนที่เหลือคูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-1" และรับบรรทัดที่ 3 และอีกครั้ง ปล่อยให้หนึ่งในสองบรรทัดที่เหมือนกัน

มันกลับกลายเป็นเมทริกซ์ดังกล่าว ระบบยังไม่ได้เขียนลงไป มันเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่เพื่อกำหนดตัวแปรพื้นฐาน - ยืนอยู่ที่สัมประสิทธิ์ a 11 \u003d 1 และ a 22 \u003d 1 และว่าง - ที่เหลือทั้งหมด

สมการที่สองมีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว - x 2 ดังนั้นจึงสามารถแสดงออกได้จากตรงนั้น โดยเขียนผ่านตัวแปร x 3 , x 4 , x 5 ที่ว่าง

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการแรก

มันกลับกลายเป็นสมการที่ตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวคือ x 1 ลองทำแบบเดียวกันกับ x 2 กัน

ตัวแปรพื้นฐานทั้งหมดซึ่งมีอยู่ 2 ตัว จะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระสามตัว ตอนนี้คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบทั่วไปได้

คุณยังสามารถระบุหนึ่งในโซลูชันเฉพาะของระบบได้ สำหรับกรณีดังกล่าว ตามกฎแล้ว ศูนย์จะถูกเลือกเป็นค่าสำหรับตัวแปรอิสระ จากนั้นคำตอบจะเป็น:

16, 23, 0, 0, 0.

ตัวอย่างของระบบที่เข้ากันไม่ได้

การแก้ปัญหาของระบบสมการที่ไม่สอดคล้องกันโดยวิธีเกาส์นั้นเร็วที่สุด จะสิ้นสุดทันทีที่ขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งได้สมการที่ไม่มีคำตอบ นั่นคือขั้นตอนที่มีการคำนวณรากซึ่งค่อนข้างยาวและน่าเบื่อหายไป ระบบต่อไปนี้ได้รับการพิจารณา:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ตามปกติเมทริกซ์จะถูกรวบรวม:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

และถูกลดขนาดลงเป็นขั้นบันได:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

หลังจากการแปลงครั้งแรก บรรทัดที่สามมีสมการของรูปแบบ

ไม่มีทางออก ดังนั้นระบบจึงไม่สอดคล้องกันและคำตอบคือชุดว่าง

ข้อดีและข้อเสียของวิธีการ

หากคุณเลือกวิธีที่จะแก้ปัญหา SLAE บนกระดาษด้วยปากกา วิธีการที่พิจารณาในบทความนี้จะดูน่าสนใจที่สุด ในการแปลงเบื้องต้น มันจะยากกว่าที่จะสับสนมากกว่าที่เกิดขึ้นถ้าคุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ด้วยตนเองหรือเมทริกซ์ผกผันบางตัวที่หากิน อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้โปรแกรมเพื่อทำงานกับข้อมูลประเภทนี้ เช่น สเปรดชีตปรากฎว่าโปรแกรมดังกล่าวมีอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณพารามิเตอร์หลักของเมทริกซ์อยู่แล้ว - ดีเทอร์มิแนนต์ รอง ผกผัน และอื่น ๆ และถ้าคุณแน่ใจว่าเครื่องจะคำนวณค่าเหล่านี้เองและจะไม่ทำผิดพลาดก็ควรใช้วิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครมเมอร์เพราะแอปพลิเคชันเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และ เมทริกซ์ผกผัน.

แอปพลิเคชัน

เนื่องจากโซลูชันเกาส์เซียนเป็นอัลกอริธึม และเมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สองมิติ จึงสามารถใช้ในการเขียนโปรแกรมได้ แต่เนื่องจากบทความกำหนดตำแหน่งตัวเองเป็นแนวทาง "สำหรับหุ่นจำลอง" จึงควรกล่าวว่าสถานที่ที่ง่ายที่สุดในการใส่วิธีการคือสเปรดชีต เช่น Excel อีกครั้ง SLAE ใดๆ ที่ป้อนในตารางในรูปแบบของเมทริกซ์จะถูกพิจารณาโดย Excel เป็นอาร์เรย์สองมิติ และสำหรับการดำเนินการกับพวกมัน มีคำสั่งดีๆ มากมาย: นอกจากนี้ (คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น!), การคูณด้วยตัวเลข, การคูณเมทริกซ์ (ด้วยข้อจำกัดบางประการ) การค้นหาเมทริกซ์ผกผันและทรานสโพสเมทริกซ์ และที่สำคัญที่สุด , การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ หากงานที่ใช้เวลานานนี้ถูกแทนที่ด้วยคำสั่งเดียว การพิจารณาอันดับของเมทริกซ์จะเร็วกว่ามาก ดังนั้นจึงสร้างความเข้ากันได้หรือไม่สอดคล้องกัน

นับตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 16-18 นักคณิตศาสตร์เริ่มศึกษาฟังก์ชันต่างๆ อย่างเข้มข้น ซึ่งต้องขอบคุณการเปลี่ยนแปลงมากมายในชีวิตของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์หากปราศจากความรู้นี้ก็ไม่มีอยู่จริง สำหรับการแก้ปัญหา งานที่ท้าทาย, สมการเชิงเส้นและฟังก์ชันถูกสร้างขึ้น แนวความคิดต่างๆทฤษฎีบทและวิธีการแก้ปัญหา หนึ่งในวิธีการและเทคนิคที่เป็นสากลและมีเหตุผลสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและระบบของพวกมันคือวิธีเกาส์ เมทริกซ์, อันดับ, ดีเทอร์มีแนนต์ - ทุกอย่างสามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้การดำเนินการที่ซับซ้อน

สลาวคืออะไร

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีแนวคิดของ SLAE ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เธอเป็นตัวแทนของอะไร? นี่คือชุดสมการ m ที่มีค่า n ค่าที่ไม่ทราบค่า ปกติจะแสดงเป็น x, y, z หรือ x 1 , x 2 ... x n หรือสัญลักษณ์อื่นๆ แก้โดยวิธีเกาส์ ระบบนี้- หมายถึงการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดที่จำเป็น หากระบบมี เบอร์เดียวกันนิรนามและสมการ เรียกว่า ระบบลำดับที่ n

วิธีที่นิยมที่สุดในการแก้ปัญหา SLAE

ที่ สถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษากำลังศึกษาเทคนิคต่างๆ ในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว บ่อยที่สุด สมการง่ายๆประกอบด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้ ดังนั้น ใดๆ วิธีการที่มีอยู่ใช้เวลาไม่นานในการค้นหาคำตอบ อาจเป็นเหมือนวิธีการทดแทน เมื่อสมการอื่นได้มาจากสมการหนึ่งและแทนที่ลงในสมการเดิม หรือเทอมโดยเทอมการลบและการบวก แต่วิธีเกาส์ถือว่าง่ายที่สุดและเป็นสากลมากที่สุด ทำให้สามารถแก้สมการที่มีค่าไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุใดเทคนิคนี้จึงถือว่ามีเหตุผล? ทุกอย่างเรียบง่าย วิธีเมทริกซ์สิ่งที่ดีคือที่นี่ไม่จำเป็นต้องเขียนอักขระที่ไม่จำเป็นซ้ำหลายครั้งในรูปแบบของไม่ทราบค่าก็เพียงพอที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับสัมประสิทธิ์ - และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้

SLAEs นำไปใช้ในทางปฏิบัติที่ไหน?

การแก้ปัญหาของ SLAE คือจุดตัดกันของเส้นบนกราฟของฟังก์ชัน ในยุคคอมพิวเตอร์ที่มีเทคโนโลยีสูงของเรา ผู้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในการพัฒนาเกมและโปรแกรมอื่นๆ จำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาระบบดังกล่าว สิ่งที่พวกเขาเป็นตัวแทน และวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้ บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์พัฒนาเครื่องคำนวณพีชคณิตเชิงเส้นแบบพิเศษ ซึ่งรวมถึงระบบสมการเชิงเส้นด้วย วิธีเกาส์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณโซลูชันที่มีอยู่ทั้งหมดได้ นอกจากนี้ยังใช้สูตรและเทคนิคแบบง่ายอื่น ๆ

เกณฑ์ความเข้ากันได้ของ SLAE

ระบบดังกล่าวสามารถแก้ไขได้หากเข้ากันได้เท่านั้น เพื่อความชัดเจน เรานำเสนอ SLAE ในรูปแบบ Ax=b มันมีวิธีแก้ปัญหาถ้า rang(A) เท่ากับ rang(A,b) ในกรณีนี้ (A,b) เป็นเมทริกซ์รูปแบบขยายที่สามารถหาได้จากเมทริกซ์ A โดยการเขียนใหม่ด้วยเงื่อนไขอิสระ ปรากฎว่าการแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นค่อนข้างง่าย

บางทีสัญกรณ์บางอย่างอาจไม่ชัดเจนนัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาทุกอย่างด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีระบบ: x+y=1; 2x-3y=6. ประกอบด้วยสมการเพียงสองสมการซึ่งมี 2 ค่าไม่ทราบค่า ระบบจะมีวิธีแก้ไขก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์เสริม อันดับคืออะไร? นี่คือจำนวนบรรทัดอิสระของระบบ ในกรณีของเรา ลำดับของเมทริกซ์คือ 2 เมทริกซ์ A จะประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับนิรนาม และสัมประสิทธิ์หลังเครื่องหมาย "=" จะพอดีกับเมทริกซ์แบบขยายด้วย

เหตุใดจึงสามารถแสดง SLAE ในรูปแบบเมทริกซ์ได้

ตามเกณฑ์ความเข้ากันได้ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ที่พิสูจน์แล้ว ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ ด้วยวิธีการเรียงซ้อนแบบเกาส์เซียน คุณสามารถแก้เมทริกซ์และรับคำตอบเดียวที่เชื่อถือได้สำหรับทั้งระบบ หากอันดับของเมทริกซ์ธรรมดาเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย แต่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบค่า ระบบจะมีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุด

การแปลงเมทริกซ์

ก่อนที่จะไปแก้เมทริกซ์ จำเป็นต้องรู้ว่าการกระทำใดสามารถทำได้กับองค์ประกอบของมัน มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นหลายประการ:

เขียนระบบใหม่เป็น มุมมองเมทริกซ์และเมื่อทราบวิธีแก้ปัญหาแล้ว ก็เป็นไปได้ที่จะคูณองค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมด้วยสัมประสิทธิ์เดียวกัน
ในการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบบัญญัติ สามารถสลับสองแถวขนานกันได้ รูปแบบบัญญัติหมายความว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ที่อยู่ตามแนวทแยงหลักกลายเป็นองค์ประกอบและองค์ประกอบที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์
องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวคู่ขนานของเมทริกซ์สามารถเพิ่มหนึ่งไปยังอีกองค์ประกอบหนึ่งได้

วิธีจอร์แดน-เกาส์

สาระสำคัญของระบบการแก้ปัญหาของความเป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นและ สมการเอกพันธ์วิธีเกาส์เซียนคือการค่อยๆ ขจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมมุติว่าเรามีระบบสมการสองสมการซึ่งมีไม่ทราบค่าสองตัว หากต้องการค้นหา คุณต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ สมการเกาส์เซียนแก้ได้ง่ายมาก จำเป็นต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับค่าที่ไม่รู้จักในรูปแบบเมทริกซ์ ในการแก้ระบบ คุณต้องเขียนเมทริกซ์เสริม หากสมการใดสมการหนึ่งมีจำนวนไม่ทราบจำนวนน้อยกว่า จะต้องใส่ "0" แทนองค์ประกอบที่ขาดหายไป วิธีการแปลงที่รู้จักทั้งหมดถูกนำไปใช้กับเมทริกซ์: การคูณ การหารด้วยตัวเลข การเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวเข้าด้วยกัน และอื่นๆ ปรากฎว่าในแต่ละแถวจำเป็นต้องปล่อยให้ตัวแปรหนึ่งมีค่า "1" ส่วนที่เหลือนำไปสู่ จิตเป็นศูนย์. เพื่อความเข้าใจที่ถูกต้องมากขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาวิธีเกาส์พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างง่ายๆ ของการแก้ระบบ 2x2

เริ่มต้นด้วย ลองใช้ระบบสมการพีชคณิตอย่างง่าย ซึ่งจะมี 2 ค่าที่ไม่ทราบค่า

ลองเขียนมันใหม่ในเมทริกซ์แต่งเติม

ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ ต้องใช้การดำเนินการเพียงสองครั้งเท่านั้น เราจำเป็นต้องนำเมทริกซ์มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติเพื่อให้มีหน่วยตามแนวทแยงหลัก ดังนั้น การแปลจากรูปแบบเมทริกซ์กลับเข้าสู่ระบบ เราได้สมการ: 1x+0y=b1 และ 0x+1y=b2 โดยที่ b1 และ b2 เป็นคำตอบที่ได้รับในกระบวนการแก้

ขั้นตอนแรกในการแก้เมทริกซ์เสริมจะเป็นดังนี้: แถวแรกจะต้องคูณด้วย -7 และองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องถูกเพิ่มในแถวที่สองตามลำดับเพื่อกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการที่สอง
เนื่องจากคำตอบของสมการโดยวิธีเกาส์หมายถึงการนำเมทริกซ์มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติจึงจำเป็นต้องดำเนินการแบบเดียวกันกับสมการแรกและนำตัวแปรที่สองออก ในการทำเช่นนี้ เราลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรกและรับคำตอบที่จำเป็น - วิธีแก้ปัญหาของ SLAE หรือดังที่แสดงในรูป เราคูณแถวที่สองด้วยปัจจัย -1 และเพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองในแถวแรก นี่ก็เหมือนกัน

อย่างที่คุณเห็น ระบบของเราได้รับการแก้ไขโดยวิธี Jordan-Gauss เราเขียนใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ: x=-5, y=7

ตัวอย่างการแก้ SLAE 3x3

สมมติว่าเรามีระบบสมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนกว่า วิธีเกาส์ทำให้สามารถคำนวณคำตอบได้แม้ในระบบที่ดูสับสนที่สุด ดังนั้น เพื่อเจาะลึกลงไปในวิธีการคำนวณ คุณสามารถไปยัง more ตัวอย่างที่ซับซ้อนกับสามสิ่งที่ไม่รู้จัก

ดังในตัวอย่างที่แล้ว เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบของเมทริกซ์แบบขยาย และเริ่มนำไปยังรูปแบบบัญญัติ

ในการแก้ปัญหาระบบนี้ คุณจะต้องดำเนินการมากกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้

ก่อนอื่นคุณต้องสร้างองค์ประกอบเดียวในคอลัมน์แรกและศูนย์ที่เหลือ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วย -1 แล้วบวกสมการที่สองเข้าไป สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเราเขียนบรรทัดแรกใหม่ในรูปแบบเดิมและบรรทัดที่สอง - อยู่ในรูปแบบที่แก้ไขแล้ว
ต่อไป เราเอาสิ่งเดิมที่ไม่รู้จักออกจากสมการที่สาม ในการทำเช่นนี้ เราคูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย -2 และเพิ่มเข้าไปในแถวที่สาม ตอนนี้บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองถูกเขียนใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สาม - มีการเปลี่ยนแปลงแล้ว อย่างที่คุณเห็นจากผลลัพธ์ เราได้อันแรกที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ และที่เหลือเป็นศูนย์ อีกสองสามการกระทำและระบบสมการโดยวิธีเกาส์จะได้รับการแก้ไขอย่างน่าเชื่อถือ
ตอนนี้คุณต้องดำเนินการกับองค์ประกอบอื่นๆ ของแถว ขั้นตอนที่สามและสี่สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียวได้ เราต้องหารเส้นที่สองและสามด้วย -1 เพื่อกำจัดเส้นติดลบบนเส้นทแยงมุม เราได้นำบรรทัดที่สามไปยังแบบฟอร์มที่ต้องการแล้ว
ต่อไป เรากำหนดบรรทัดที่สองให้เป็นที่ยอมรับ ในการทำเช่นนี้ เราคูณองค์ประกอบของแถวที่สามด้วย -3 แล้วบวกเข้ากับบรรทัดที่สองของเมทริกซ์ จะเห็นได้จากผลที่บรรทัดที่สองก็ถูกลดขนาดลงมาเป็นแบบที่เราต้องการด้วย ยังคงต้องดำเนินการอีกสองสามอย่างและลบค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักออกจากแถวแรก
ในการสร้าง 0 จากองค์ประกอบที่สองของแถว คุณต้องคูณแถวที่สามด้วย -3 แล้วเพิ่มลงในแถวแรก
ขั้นเด็ดขาดต่อไปคือการเพิ่มองค์ประกอบที่จำเป็นของแถวที่สองในแถวแรก เราจึงได้รูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์ และตามนั้น ได้คำตอบ

อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการด้วยวิธีเกาส์นั้นค่อนข้างง่าย

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการ 4x4

อีกหน่อย ระบบที่ซับซ้อนสมการแก้ได้โดยวิธีเกาส์เซียนโดยวิธี โปรแกรมคอมพิวเตอร์. จำเป็นต้องขับค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเข้าไปในเซลล์ว่างที่มีอยู่ และโปรแกรมจะคำนวณผลลัพธ์ที่ต้องการทีละขั้นตอน โดยอธิบายแต่ละการกระทำโดยละเอียด

อธิบายไว้ด้านล่าง คำแนะนำทีละขั้นตอนวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้

ในขั้นตอนแรก ค่าสัมประสิทธิ์และตัวเลขอิสระสำหรับค่าที่ไม่รู้จักจะถูกป้อนลงในเซลล์ว่าง ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์เสริมแบบเดียวกับที่เราเขียนด้วยมือ

และดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อนำเมทริกซ์แบบขยายมาสู่รูปแบบบัญญัติ ต้องเข้าใจว่าคำตอบของระบบสมการไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป บางครั้งวิธีแก้ปัญหาอาจมาจากตัวเลขเศษส่วน

การตรวจสอบความถูกต้องของสารละลาย

วิธี Jordan-Gauss ใช้สำหรับตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ ในการหาว่าสัมประสิทธิ์คำนวณได้ถูกต้องหรือไม่ คุณเพียงแค่แทนที่ผลลัพธ์ลงในระบบสมการเดิม ด้านซ้ายมือของสมการต้องตรงกับด้านขวา ซึ่งอยู่หลังเครื่องหมายเท่ากับ หากคำตอบไม่ตรงกัน คุณจะต้องคำนวณระบบใหม่หรือลองใช้วิธีการอื่นในการแก้ปัญหา SLAE ที่คุณรู้จัก เช่น การแทนที่หรือการลบและการบวกแบบทีละเทอม ท้ายที่สุดแล้ว คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่มี จำนวนมาก เทคนิคต่างๆโซลูชั่น แต่อย่าลืมว่าผลลัพธ์ควรเหมือนกันเสมอ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบใด

วิธีเกาส์: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการแก้ปัญหา SLAE

ระหว่างการแก้สมการเชิงเส้นตรง มักเกิดข้อผิดพลาด เช่น การถ่ายโอนสัมประสิทธิ์ไปยังรูปแบบเมทริกซ์ไม่ถูกต้อง มีระบบที่สิ่งที่ไม่ทราบค่าบางตัวหายไปในสมการใดสมการหนึ่ง จากนั้นเมื่อถ่ายโอนข้อมูลไปยังเมทริกซ์ที่ขยายออก พวกมันอาจสูญหายได้ เป็นผลให้เมื่อแก้ระบบนี้ผลลัพธ์อาจไม่ตรงกับของจริง

ข้อผิดพลาดหลักอีกประการหนึ่งอาจทำให้เขียนผลลัพธ์สุดท้ายไม่ถูกต้อง ต้องเข้าใจชัดเจนว่าสัมประสิทธิ์แรกจะสอดคล้องกับค่าแรกที่ไม่รู้จักจากระบบ ค่าที่สอง - ที่สอง และอื่น ๆ

วิธีเกาส์อธิบายรายละเอียดการแก้สมการเชิงเส้น ต้องขอบคุณเขาที่ง่ายต่อการดำเนินการที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์ที่ถูกต้อง นอกจากนี้ ยาสากลเพื่อค้นหาคำตอบที่เชื่อถือได้สำหรับสมการของความซับซ้อนใดๆ อาจเป็นเพราะเหตุนี้จึงมักใช้ในการแก้ SLAE

1. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

1.1 แนวคิดของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสมการเป็นเงื่อนไขที่ประกอบด้วยการดำเนินการของสมการหลายตัวพร้อมกันในหลายตัวแปร ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ต่อไปนี้จะเรียกว่า SLAE) ที่มีสมการ m และ n นิรนาม n เป็นระบบของรูปแบบ:

โดยที่ตัวเลข a ij เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของระบบ ตัวเลข b i เป็นสมาชิกอิสระ ไอจและ ข ฉัน(i=1,…, m; b=1,…, n) เป็นบางส่วน ตัวเลขที่รู้จัก, และ x 1 ,…, x น- ไม่ทราบ ในสัญกรณ์ของสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก i หมายถึงจำนวนของสมการ และดัชนีที่สอง j คือจำนวนที่ไม่รู้จักซึ่งสัมประสิทธิ์นี้อยู่ ขึ้นอยู่กับการหาจำนวน x น . สะดวกในการเขียนระบบดังกล่าวในรูปแบบเมทริกซ์ขนาดกะทัดรัด: ขวาน=ข. A คือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบที่เรียกว่าเมทริกซ์หลัก

เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของ xj ที่ไม่รู้จัก
เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ bi

ผลคูณของเมทริกซ์ A * X ถูกกำหนด เนื่องจากมีคอลัมน์ในเมทริกซ์ A มากเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ X (n ชิ้น)

เมทริกซ์ขยายของระบบคือเมทริกซ์ A ของระบบ เสริมด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

1.2 คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

คำตอบของระบบสมการคือชุดของตัวเลขที่เรียงลำดับ (ค่าของตัวแปร) เมื่อแทนที่พวกมันแทนตัวแปร สมการแต่ละอันของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

คำตอบของระบบคือ n ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จัก x1=c1, x2=c2,…, xn=cn แทนที่สมการทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง โซลูชันใดๆ ของระบบสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์-คอลัมน์

ระบบสมการเรียกว่าสม่ำเสมอถ้ามีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ และไม่สอดคล้องกันหากไม่มีคำตอบ

ระบบร่วมเรียกว่า definite หากมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและไม่แน่นอนถ้ามีมากกว่าหนึ่งวิธี ที่ กรณีสุดท้ายแต่ละโซลูชันเรียกว่าโซลูชันเฉพาะของระบบ ชุดของโซลูชันเฉพาะทั้งหมดเรียกว่าโซลูชันทั่วไป

การแก้ปัญหาระบบหมายถึงการค้นหาว่ามีความสม่ำเสมอหรือไม่สอดคล้องกัน หากระบบเข้ากันได้ ให้ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป

สองระบบเรียกว่าเทียบเท่า (เทียบเท่า) หากมีคำตอบทั่วไปเหมือนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบจะเท่าเทียมกันหากทุกโซลูชันสำหรับหนึ่งในนั้นคือโซลูชันสำหรับอีกระบบหนึ่ง และในทางกลับกัน

การเปลี่ยนแปลง การประยุกต์ใช้ซึ่งจะเปลี่ยนระบบเป็น ระบบใหม่เทียบเท่ากับของเดิมเรียกว่าการแปลงที่เทียบเท่าหรือเทียบเท่า ตัวอย่าง การแปลงที่เทียบเท่าการแปลงต่อไปนี้สามารถใช้ได้: การแลกเปลี่ยนสมการสองสมการของระบบ การสับเปลี่ยนนิรนามสองตัวร่วมกับสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด การคูณทั้งสองส่วนของสมการใดๆ ของระบบด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าเอกพันธ์ ถ้าพจน์อิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์:

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก x1=x2=x3=…=xn=0 เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ วิธีแก้ปัญหานี้เรียกว่า null หรือเล็กน้อย

2. วิธีกำจัดเกาส์เซียน

2.1 สาระสำคัญของวิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน

วิธีการแบบคลาสสิกสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นคือวิธี การยกเว้นตามลำดับไม่ทราบ - วิธีเกาส์(เรียกอีกอย่างว่าวิธีกำจัดแบบเกาส์เซียน) นี่เป็นวิธีการกำจัดตัวแปรแบบต่อเนื่อง เมื่อระบบของสมการลดลงด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น ระบบเทียบเท่ารูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ซึ่งพบตัวแปรอื่น ๆ ตามลำดับโดยเริ่มจากตัวแปรสุดท้าย (ตามตัวเลข)

กระบวนการแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนประกอบด้วยสองขั้นตอน: เดินหน้าและถอยหลัง

1. ย้ายโดยตรง

ในระยะแรก การเคลื่อนไหวโดยตรงที่เรียกว่าถูกดำเนินการ เมื่อโดยการแปลงเบื้องต้นเหนือแถว ระบบถูกนำไปยังรูปแบบขั้นบันไดหรือสามเหลี่ยม หรือมีการสร้างว่าระบบไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ในบรรดาองค์ประกอบของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์นั้น มีการเลือกคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ มันถูกย้ายไปยังตำแหน่งบนสุดโดยการเรียงสับเปลี่ยนแถว และแถวแรกที่ได้รับหลังจากการเรียงสับเปลี่ยนถูกลบออกจากแถวที่เหลือ คูณด้วย a ค่าเท่ากับอัตราส่วนขององค์ประกอบแรกของแต่ละแถวเหล่านี้กับองค์ประกอบแรกของแถวแรก เท่ากับศูนย์ ดังนั้นคอลัมน์ที่อยู่ด้านล่าง

หลังจากทำการแปลงที่ระบุแล้ว แถวแรกและคอลัมน์แรกจะถูกขีดฆ่าในจิตใจและดำเนินต่อไปจนกระทั่งเมทริกซ์ขนาดศูนย์ยังคงอยู่ หากการวนซ้ำบางส่วนขององค์ประกอบของคอลัมน์แรกไม่พบคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้ไปที่คอลัมน์ถัดไปและดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

ในระยะแรก (การวิ่งไปข้างหน้า) ระบบจะลดขนาดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได (โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยม)

ระบบด้านล่างเป็นขั้นตอน:

ค่าสัมประสิทธิ์ aii เรียกว่าองค์ประกอบหลัก (ชั้นนำ) ของระบบ

(ถ้า a11=0, จัดเรียงแถวของเมทริกซ์ใหม่เพื่อให้ เอ 11 ไม่เท่ากับ 0 สิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ เพราะไม่เช่นนั้นเมทริกซ์จะมีคอลัมน์ศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และระบบไม่สอดคล้องกัน)

เราแปลงระบบโดยกำจัด x1 ที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมด ยกเว้นสมการแรก (โดยใช้การแปลงเบื้องต้นของระบบ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย

และเพิ่มเทอมต่อเทอมด้วยสมการที่สองของระบบ (หรือจากสมการที่สอง เราลบเทอมด้วยเทอมแรกคูณด้วย ) จากนั้นเราคูณทั้งสองส่วนของสมการแรกด้วยแล้วบวกเข้ากับสมการที่สามของระบบ (หรือลบอันแรกคูณด้วยเทอมที่สามด้วยเทอม) ดังนั้นเราจึงคูณแถวแรกด้วยตัวเลขอย่างต่อเนื่องแล้วบวกกับ ผม-บรรทัดที่สำหรับ ผม= 2, 3, …,น.

ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป เราได้รับระบบที่เทียบเท่า:

– ค่าใหม่ของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จักและเทอมอิสระในสมการ m-1 สุดท้ายของระบบซึ่งกำหนดโดยสูตร:

ดังนั้น ในขั้นตอนแรก สัมประสิทธิ์ทั้งหมดภายใต้องค์ประกอบนำแรก a 11 จะถูกทำลาย

0 ขั้นตอนที่สองจะทำลายองค์ประกอบภายใต้องค์ประกอบนำที่สองเป็น 22 (1) (ถ้าเป็น 22 (1) 0) เป็นต้น เมื่อดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป ในที่สุดเราจะลดระบบเดิมเป็นระบบสามเหลี่ยมที่ขั้นตอน (m-1)

หากในกระบวนการลดขนาดระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน สมการศูนย์ปรากฏขึ้น กล่าวคือ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 0=0 จะถูกละทิ้ง หากมีสมการของรูป

สิ่งนี้บ่งบอกถึงความไม่ลงรอยกันของระบบ

นี่เป็นการสิ้นสุดหลักสูตรโดยตรงของวิธีเกาส์

2. ย้ายย้อนกลับ

ในขั้นตอนที่สองจะมีการดำเนินการที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับซึ่งมีสาระสำคัญคือการแสดงตัวแปรพื้นฐานทั้งหมดที่เป็นผลลัพธ์ในแง่ของสิ่งที่ไม่ใช่พื้นฐานและการสร้าง ระบบพื้นฐานคำตอบ หรือถ้าตัวแปรทั้งหมดเป็นค่าพื้นฐาน ให้แสดงในรูปของคำตอบเดียวของระบบสมการเชิงเส้น

กระบวนงานนี้เริ่มต้นด้วยสมการสุดท้าย ซึ่งจะแสดงตัวแปรพื้นฐานที่สอดคล้องกัน (มีเพียงหนึ่งในนั้น) และแทนที่ลงในสมการก่อนหน้า เป็นต้น โดยจะขึ้น "ขั้นตอน" ขึ้นไปบนสุด

แต่ละบรรทัดสอดคล้องกับตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว ดังนั้นในแต่ละขั้นตอน ยกเว้นสุดท้าย (บนสุด) สถานการณ์จะทำซ้ำกรณีของบรรทัดสุดท้ายทุกประการ

หมายเหตุ: ในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าที่จะไม่ทำงานกับระบบ แต่ด้วยเมทริกซ์แบบขยาย ซึ่งทำการแปลงเบื้องต้นทั้งหมดในแถวของมัน สะดวกที่สัมประสิทธิ์ a11 เท่ากับ 1 (จัดเรียงสมการใหม่หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a11)

2.2 ตัวอย่างการแก้ SLAE โดยวิธีเกาส์

ที่ ส่วนนี้สาม ตัวอย่างต่างๆให้เราแสดงให้เห็นว่า SLAE สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเกาส์อย่างไร

ตัวอย่างที่ 1 แก้ SLAE ของลำดับที่ 3

ตั้งค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ที่

ในบรรทัดที่สองและสาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณด้วย 2/3 และ 1 ตามลำดับ และเพิ่มในบรรทัดแรก:

ให้ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจะต้องแก้ไข (หาค่าดังกล่าวของสิ่งที่ไม่รู้จัก hi ที่เปลี่ยนสมการแต่ละของระบบให้มีความเท่าเทียมกัน)

เรารู้ว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถ:

อย่างที่เราจำได้ กฎของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์ไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีคำตอบมากมายหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีเกาส์ – เครื่องมือที่ทรงพลังและหลากหลายที่สุดสำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นใดๆซึ่ง ทุกกรณีนำเราไปสู่คำตอบ! อัลกอริทึมของวิธีการในทั้งสามกรณีทำงานในลักษณะเดียวกัน หากวิธีแครมเมอร์และเมทริกซ์ต้องการความรู้เกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ การประยุกต์ใช้วิธีเกาส์นั้นต้องการความรู้เกี่ยวกับการดำเนินการเลขคณิตเท่านั้น ซึ่งทำให้เข้าถึงได้แม้กระทั่งสำหรับนักเรียนระดับประถมศึกษา

1) กับ trokyเมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่สถานที่.

2) หากมี (หรือเป็น) แถวตามสัดส่วน (ในกรณีพิเศษ - เหมือนกัน) ในเมทริกซ์ก็จะตามมา ลบจากเมทริกซ์ แถวเหล่านี้ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งแถว

3) หากแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็จะตามมาด้วย ลบ.

4) แถวของเมทริกซ์สามารถ คูณ (หาร)เป็นจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

ในวิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

"การย้ายโดยตรง" - ใช้การแปลงเบื้องต้นนำเมทริกซ์ขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นไปเป็นรูปแบบขั้นบันได "สามเหลี่ยม": องค์ประกอบของเมทริกซ์ขยายที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับศูนย์ (การย้ายจากบนลงล่าง ). ตัวอย่างเช่น ในลักษณะนี้:

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

"การเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ" ของวิธีเกาส์คือการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (การเคลื่อนที่ "จากล่างขึ้นบน") จากสมการ "ล่าง" สุดท้าย เราได้คำตอบแรก - ค่าที่ไม่รู้จัก x n ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการเบื้องต้น A * x n \u003d B ในตัวอย่างด้านบน x 3 \u003d 4 เราแทนที่ค่าที่พบในสมการ "บน" ถัดไปแล้วแก้ด้วยค่าที่ไม่ทราบถัดไป ตัวอย่างเช่น x 2 - 4 \u003d 1 เช่น x 2 \u003d 5. และอื่นๆ จนกว่าเราจะพบสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด

ตัวอย่าง.

เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ตามที่ผู้เขียนบางคนแนะนำ:

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน ที่นั่นเราควรมีหน่วย ปัญหาคือไม่มีคอลัมน์แรกเลย ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดเรียงแถวใหม่ ในกรณีเช่นนี้ หน่วยต้องได้รับการจัดระเบียบโดยใช้การแปลงเบื้องต้น โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ลองทำแบบนี้:
1 ขั้นตอน . ในบรรทัดแรก เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -1 นั่นคือเราคูณบรรทัดที่สองด้วย -1 ทางจิตใจแล้วทำการบวกบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

4 ขั้นตอน . ในบรรทัดที่สาม ให้บวกบรรทัดที่สอง คูณด้วย 2

5 ขั้นตอน . บรรทัดที่สามหารด้วย 3

เราดำเนินการย้อนกลับ ในการออกแบบตัวอย่าง ระบบมักจะไม่ถูกเขียนใหม่ และสมการจะ "นำมาโดยตรงจากเมทริกซ์ที่กำหนด" ฉันเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวย้อนกลับทำงานได้ "จากล่างขึ้นบน" ในตัวอย่างนี้ ของขวัญกลายเป็น:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ดังนั้น x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

ตอบ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1

มาแก้ระบบเดียวกันโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอ เราได้รับ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

หารสมการที่สองด้วย 5 และสามด้วย 3 เราจะได้:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

คูณสมการที่สองและสามด้วย 4 เราจะได้:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสาม เรามี:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

หารสมการที่สามด้วย 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

คูณสมการที่สามด้วย 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ลบสมการที่สองออกจากสมการที่สาม เราจะได้เมทริกซ์เสริม "ก้าว":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

x 2 \u003d 3 และ x 1 \u003d -1

วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้สามารถตั้งโปรแกรมได้ง่ายและไม่คำนึงถึงคุณลักษณะเฉพาะของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าไม่ทราบค่า เนื่องจากในทางปฏิบัติ (ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์และทางเทคนิค) เราต้องจัดการกับสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ขอให้คุณประสบความสำเร็จ! เจอกันในชั้นเรียน! ติวเตอร์ มิทรี ไอสตราคานอฟ

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา