วิธีงานเกาส์ วิธีเกาส์ย้อนกลับ
ที่นี่คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้ฟรี วิธีเกาส์ออนไลน์ขนาดใหญ่ในจำนวนเชิงซ้อนพร้อมวิธีแก้ปัญหาที่ละเอียดมาก เครื่องคิดเลขของเราสามารถแก้ปัญหาทางออนไลน์ได้ทั้งระบบสมการเชิงเส้นแบบแน่นอนและไม่จำกัดแบบปกติโดยใช้วิธีการแบบเกาส์เซียนซึ่งมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้ ในคำตอบ คุณจะได้รับการพึ่งพาของตัวแปรบางตัวผ่านตัวแปรอื่น ๆ ซึ่งเป็นตัวแปรฟรี คุณยังสามารถตรวจสอบระบบสมการสำหรับความเข้ากันได้ทางออนไลน์โดยใช้โซลูชัน Gaussian
เกี่ยวกับวิธีการ
เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นออนไลน์ด้วยวิธีเกาส์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้
- เราเขียนเมทริกซ์เสริม
- ในความเป็นจริงการแก้ปัญหาแบ่งออกเป็นขั้นตอนไปข้างหน้าและย้อนกลับของวิธี Gaussian การย้ายโดยตรงของวิธี Gauss เรียกว่าการลดลงของเมทริกซ์เป็นรูปแบบขั้นบันได การย้ายย้อนกลับของวิธี Gauss คือการลดขนาดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดพิเศษ แต่ในทางปฏิบัติจะสะดวกกว่าที่จะลบสิ่งที่อยู่ด้านบนและด้านล่างขององค์ประกอบที่เป็นปัญหาออกทันที เครื่องคิดเลขของเราใช้วิธีการนี้
- สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าเมื่อแก้ปัญหาด้วยวิธี Gauss การมีแถวศูนย์อย่างน้อยหนึ่งแถวในเมทริกซ์ที่มีด้านขวาที่ไม่ใช่ศูนย์ (คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ) บ่งชี้ความไม่สอดคล้องกันของระบบ วิธีแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นในกรณีนี้ไม่มีอยู่จริง
เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าอัลกอริทึม Gaussian ทำงานอย่างไรทางออนไลน์ ให้ป้อนตัวอย่างใดๆ เลือก "โซลูชันที่มีรายละเอียดมาก" และดูโซลูชันออนไลน์
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์สมมติว่าเราต้องหาทางออกให้กับระบบจาก นสมการเชิงเส้นด้วย นตัวแปรที่ไม่รู้จัก
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์
แก่นแท้ของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการยกเว้นตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง: อันดับแรก, the x 1จากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจาก สมการที่ 2 เป็นต้นไป x2ของสมการทั้งหมด เริ่มจากสมการที่สาม ไปเรื่อยๆ จนเหลือแต่ตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการสุดท้าย x n. กระบวนการดังกล่าวในการแปลงสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องเรียกว่า วิธีเกาส์โดยตรง. หลังจากเสร็จสิ้นการเคลื่อนไปข้างหน้าของวิธี Gauss จากสมการสุดท้ายที่เราพบ x nโดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้ายที่คำนวณได้ xn-1และอื่น ๆ จากสมการแรกจะพบ x 1. กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า วิธีเกาส์ย้อนกลับ.
ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก
เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดสมการของระบบใหม่ กำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1จากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากสมการที่สอง ในการดำเนินการนี้ ให้เพิ่มสมการแรกคูณกับสมการที่สองของระบบ เพิ่มสมการแรกคูณด้วยสมการที่สาม และอื่นๆ น-ธเพิ่มสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ 
ที่ไหน 
.
เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากแสดงออก x 1ผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์จะถูกแทนที่ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1แยกออกจากสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง
ต่อไปเราจะดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เฉพาะกับส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งระบุไว้ในรูป 
ในการดำเนินการนี้ ให้เพิ่มสมการที่สองคูณด้วยสมการที่สามของระบบ เพิ่มสมการที่สองคูณด้วยสมการที่สี่ และอื่น ๆ น-ธเพิ่มสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ 
ที่ไหน 
. ดังนั้นตัวแปร x2แยกออกจากสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม
ต่อไปเราจะดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3ในขณะที่เราทำเช่นเดียวกันกับส่วนของระบบที่มีเครื่องหมายในรูป 
ดังนั้นเราจึงดำเนินการต่อโดยตรงของวิธีการ Gauss จนกว่าระบบจะใช้แบบฟอร์ม 
จากช่วงเวลานี้ เราจะเริ่มกระบวนการย้อนกลับของวิธี Gauss: เราคำนวณ x nจากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้ x nหา xn-1จากสมการสุดท้าย และอื่นๆ เราพบว่า x 1จากสมการแรก
ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
วิธีเกาส์เซียน
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดลังเลอยู่นาน โดยเลือกระหว่างปรัชญากับคณิตศาสตร์ บางทีมันอาจเป็นความคิดที่ทำให้เขา "จากไป" อย่างเห็นได้ชัดในวงการวิทยาศาสตร์โลก โดยเฉพาะการสร้าง "Gauss Method" ...
เป็นเวลาเกือบ 4 ปีแล้วที่บทความของไซต์นี้เกี่ยวข้องกับการศึกษาในโรงเรียน โดยส่วนใหญ่มาจากมุมมองของปรัชญา หลักการของความเข้าใจ (ผิด) ที่นำมาใช้ในจิตใจของเด็ก ๆ เวลากำลังจะมาถึงสำหรับตัวอย่างและวิธีการที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น ... ฉันเชื่อว่านี่เป็นแนวทางที่คุ้นเคยสับสนและ สำคัญด้านของชีวิตให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด
มนุษย์เราถูกคลุมถุงชนจนไม่ว่าจะพูดมากเพียงใด การคิดเชิงนามธรรม, แต่ ความเข้าใจ เสมอเกิดขึ้นจากตัวอย่าง. หากไม่มีตัวอย่างก็จับหลักการไม่ได้ ... เป็นไปไม่ได้เลยที่จะอยู่บนยอดเขาอย่างอื่นนอกจากเดินผ่านเนินทั้งหมดจากตีนเขา
เช่นเดียวกับโรงเรียน: สำหรับตอนนี้ เรื่องราวที่มีชีวิตยังไม่พอ เรายังคงถือว่าที่นี่เป็นสถานที่ที่เด็กได้รับการสอนให้เข้าใจโดยสัญชาตญาณ
เช่น การสอนวิธีเกาส์...
วิธีเกาส์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ของโรงเรียน
ฉันจะทำการจองทันที: วิธี Gauss มีแอปพลิเคชันที่กว้างกว่ามาก เช่น เมื่อแก้ปัญหา ระบบสมการเชิงเส้น. สิ่งที่เราจะพูดถึงเกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มัน เริ่มเมื่อเข้าใจแล้วการทำความเข้าใจ "ตัวเลือกขั้นสูง" เพิ่มเติมจะง่ายกว่ามาก ในบทความนี้เรากำลังพูดถึง วิธีการ (method) ของ Gauss เมื่อหาผลรวมของอนุกรม
นี่คือตัวอย่างที่ลูกชายคนเล็กของฉันนำมาจากโรงเรียนโดยเข้าเรียนในโรงยิมมอสโกเกรด 5
โรงเรียนสาธิตวิธีเกาส์
ครูคณิตศาสตร์ใช้ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (วิธีการสอนสมัยใหม่) แสดงให้เด็ก ๆ ฟังการนำเสนอเรื่องราวของ "การสร้างวิธีการ" โดย Gauss ตัวน้อย
ครูโรงเรียนเฆี่ยนตีคาร์ลตัวน้อย (วิธีที่ล้าสมัย ซึ่งตอนนี้ไม่ได้ใช้ในโรงเรียนแล้ว) ว่าเป็น
แทนที่จะเพิ่มจำนวนตามลำดับตั้งแต่ 1 ถึง 100 เพื่อหาผลรวม สังเกตเห็นคู่ของตัวเลขที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันจากขอบของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจะรวมกันเป็นจำนวนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น 100 และ 1, 99 และ 2 เมื่อนับจำนวนคู่ดังกล่าวแล้ว Gauss ตัวน้อยก็แก้ปัญหาที่ครูเสนอได้แทบจะในทันที ซึ่งเขาถูกประหารชีวิตต่อหน้าสาธารณชนที่ประหลาดใจ ที่เหลือคิดว่าเป็นการไม่เคารพ
เกาส์ตัวน้อยทำอะไร ที่พัฒนา ความรู้สึกเชิงตัวเลข? สังเกตเห็นคุณสมบัติบางอย่างชุดตัวเลขที่มีขั้นตอนคงที่ (ความก้าวหน้าทางเลขคณิต) และ ตรงนี้ทำให้ภายหลังเขาเป็นนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ สามารถสังเกตเห็น,ครอบครอง ความรู้สึก สัญชาตญาณแห่งความเข้าใจ.
นี่คือคุณค่าของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนาขึ้น ความสามารถในการมองเห็นทั่วไปโดยเฉพาะ - การคิดเชิงนามธรรม. ดังนั้นผู้ปกครองและนายจ้างส่วนใหญ่ ถือว่าคณิตศาสตร์เป็นวินัยที่สำคัญโดยสัญชาตญาณ ...
“ควรสอนคณิตศาสตร์ในภายหลังเพื่อให้จิตใจเป็นระเบียบ
M.V. Lomonosov".
อย่างไรก็ตาม สาวกของผู้ที่เฆี่ยนตีอัจฉริยะในอนาคตได้เปลี่ยนวิธีการเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ดังที่หัวหน้างานของฉันกล่าวไว้เมื่อ 35 ปีก่อน: "พวกเขาเรียนรู้คำถาม" หรืออย่างที่ลูกชายคนเล็กของฉันพูดเมื่อวานนี้เกี่ยวกับวิธีการของเกาส์: "บางทีมันอาจจะไม่คุ้มที่จะทำวิทยาศาสตร์ขนาดใหญ่จากสิ่งนี้ ใช่ไหม"
ผลที่ตามมาของความคิดสร้างสรรค์ของ "นักวิทยาศาสตร์" นั้นปรากฏให้เห็นในระดับคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในปัจจุบันซึ่งเป็นระดับของการสอนและความเข้าใจใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" โดยคนส่วนใหญ่
อย่างไรก็ตาม เรามาต่อ...
วิธีอธิบายวิธีเกาส์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ของโรงเรียน
ครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงยิมมอสโก อธิบายวิธีเกาส์ในแบบของไวเลนคิน ทำให้งานซับซ้อนขึ้น
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าความแตกต่าง (ขั้นตอน) ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตไม่ใช่หนึ่ง แต่เป็นตัวเลขอื่น ตัวอย่างเช่น 20.
งานที่เขามอบให้กับนักเรียนระดับประถมห้า:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
ก่อนทำความคุ้นเคยกับวิธีพละ เรามาดูเว็บ: ครูโรงเรียน - ติวเตอร์คณิตศาสตร์ทำอย่างไร ..
วิธีเกาส์: คำอธิบาย #1
ติวเตอร์ชื่อดังในช่อง YOUTUBE ให้เหตุผลดังนี้
"ลองเขียนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 แบบนี้:
เริ่มจากชุดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 50 และด้านล่างอย่างเคร่งครัดชุดตัวเลขอื่นตั้งแต่ 50 ถึง 100 แต่ในลำดับที่กลับกัน"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"โปรดทราบ: ผลรวมของตัวเลขแต่ละคู่จากแถวบนและแถวล่างจะเท่ากันและเท่ากับ 101! ลองนับจำนวนคู่ มันคือ 50 แล้วคูณผลรวมของหนึ่งคู่ด้วยจำนวนคู่! Voila: คำตอบพร้อม!".
“ถ้าไม่เข้าใจก็อย่าโกรธไป!” ครูพูดซ้ำสามครั้งระหว่างอธิบาย "คุณจะผ่านวิธีนี้ในเกรด 9!"
วิธีเกาส์: คำอธิบาย #2
ติวเตอร์อีกคนที่ไม่ค่อยรู้จัก (ตัดสินจากจำนวนการดู) ใช้วิธีทางวิทยาศาสตร์มากกว่า โดยเสนออัลกอริทึมโซลูชัน 5 จุดที่ต้องทำให้เสร็จตามลำดับ
สำหรับผู้ที่ไม่ได้ฝึกหัด: 5 เป็นหนึ่งในตัวเลขฟีโบนัชชีที่ถือว่ามีมนต์ขลัง ตัวอย่างเช่น วิธีการ 5 ขั้นตอนนั้นเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าวิธีการ 6 ขั้นตอนเสมอ ... และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ เป็นไปได้มากว่าผู้เขียนเป็นผู้ที่แอบแฝงอยู่ในทฤษฎีฟีโบนัชชี
กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
อัลกอริทึมสำหรับหาผลรวมของตัวเลขในชุดโดยใช้วิธี Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
ในเวลาเดียวกันคุณต้องจำเกี่ยวกับ บวกหนึ่งกฎ : ต้องบวกหนึ่งผลหารผลลัพธ์: มิฉะนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจำนวนคู่จริงหนึ่งรายการ: 42 + 1 = 43
นี่คือผลรวมที่ต้องการของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจาก 4 ถึง 256 โดยมีผลต่าง 6!
วิธีเกาส์: คำอธิบายในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ของโรงยิมมอสโก
และนี่คือวิธีที่จำเป็นในการแก้ปัญหาในการหาผลรวมของอนุกรม:
20+40+60+ ... +460+480+500
ในโรงยิมมอสโกชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 หนังสือเรียนของ Vilenkin (ตามลูกชายของฉัน)
หลังจากแสดงการนำเสนอ ครูคณิตศาสตร์ได้แสดงตัวอย่างแบบเกาส์เซียนสองสามตัวอย่าง และให้งานในชั้นเรียนหาผลรวมของตัวเลขในชุดที่มีขั้นตอนเป็น 20
สิ่งนี้ต้องการสิ่งต่อไปนี้:
อย่างที่คุณเห็น นี่เป็นเทคนิคที่กระชับและมีประสิทธิภาพมากกว่า: เลข 3 ยังเป็นสมาชิกของลำดับฟีโบนัชชีด้วย
ความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับวิธี Gauss เวอร์ชันโรงเรียน
นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่จะเลือกปรัชญาอย่างแน่นอนหากเขามองเห็นล่วงหน้าว่าผู้ติดตามของเขาจะเปลี่ยน "วิธีการ" ของเขาให้กลายเป็นอะไร ครูสอนภาษาเยอรมันผู้เฆี่ยนตีคาร์ลด้วยไม้เรียว เขาคงได้เห็นสัญลักษณ์ วิภาษวิภาษวิธี และความโง่เขลาที่ไม่มีวันตายของ "ครู" พยายามวัดความกลมกลืนของความคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตกับพีชคณิตของความเข้าใจผิด ....
โดยวิธีการที่คุณรู้ ระบบการศึกษาของเรามีรากฐานมาจากโรงเรียนภาษาเยอรมันในศตวรรษที่ 18 และ 19 หรือไม่?
แต่เกาส์เลือกวิชาคณิตศาสตร์
สาระสำคัญของวิธีการของเขาคืออะไร?
ที่ การทำให้เข้าใจง่าย. ที่ การสังเกตและการจับรูปแบบของตัวเลขอย่างง่าย ที่ เปลี่ยนเลขคณิตโรงเรียนแห้งเป็น กิจกรรมที่น่าสนใจและสนุกสนาน เปิดใช้งานความปรารถนาที่จะดำเนินการต่อในสมองและไม่ปิดกั้นกิจกรรมทางจิตที่มีต้นทุนสูง
เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณผลรวมของตัวเลขของความก้าวหน้าทางเลขคณิตด้วยหนึ่งใน "การปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์" ข้างต้น ทันที? ตาม "อัลกอริทึม" คาร์ลตัวน้อยจะได้รับการรับรองว่าจะหลีกเลี่ยงการตีก้น ปลูกฝังความเกลียดชังต่อคณิตศาสตร์ และระงับแรงกระตุ้นความคิดสร้างสรรค์ของเขาในตา
เหตุใดผู้สอนจึงแนะนำนักเรียนระดับประถมศึกษาปีที่ 5 อย่างยืนกรานว่า "ไม่ต้องกลัวว่าจะเข้าใจผิด" ถึงวิธีการ โดยเชื่อว่าพวกเขาจะแก้ปัญหา "ดังกล่าว" ได้แล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 การกระทำที่ไม่รู้หนังสือทางจิตใจ. เป็นความคิดที่ดีที่จะทราบ: "พบกันใหม่ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 คุณสามารถแก้ปัญหาที่คุณจะผ่านไปใน 4 ปีเท่านั้น! เจ้าเป็นคนดีอะไรเช่นนี้!”
หากต้องการใช้วิธี Gaussian ระดับ 3 ของชั้นเรียนก็เพียงพอแล้วเมื่อเด็กปกติรู้วิธีบวก คูณ หารเลข 2-3 หลักแล้ว ปัญหาเกิดขึ้นเนื่องจากความสามารถของครูผู้ใหญ่ที่ "ไม่เข้า" วิธีอธิบายสิ่งที่ง่ายที่สุดในภาษามนุษย์ทั่วไปไม่ใช่แค่คณิตศาสตร์ ... พวกเขาไม่สามารถสนใจคณิตศาสตร์และกีดกันแม้แต่คนที่ "สามารถ" ได้
หรือตามที่ลูกชายของฉันแสดงความคิดเห็นว่า "สร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากมัน"
วิธีเกาส์ คำอธิบายของฉัน
ภรรยาของฉันและฉันอธิบาย "วิธีการ" นี้กับลูกของเราดูเหมือนว่าก่อนไปโรงเรียน ...
ความเรียบง่ายแทนความซับซ้อนหรือเกมถาม-ตอบ
""ดูสิ นี่คือตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 คุณเห็นอะไร"
ไม่เกี่ยวกับสิ่งที่เด็กเห็น เคล็ดลับคือการทำให้เขาดู
"คุณรวมมันเข้าด้วยกันได้อย่างไร" ลูกชายจับได้ว่าคำถามดังกล่าวไม่ได้ถูกถาม "แบบนั้น" และคุณต้องดูคำถาม "แตกต่างออกไป แตกต่างจากที่เขามักจะทำ"
ไม่สำคัญว่าเด็กจะเห็นวิธีแก้ปัญหาทันทีก็ไม่น่าเป็นไปได้ มันเป็นสิ่งสำคัญที่เขา เลิกกลัวที่จะมองหรืออย่างที่ฉันพูดว่า: "ย้ายงาน". นี่คือจุดเริ่มต้นของเส้นทางสู่ความเข้าใจ
"อันไหนง่ายกว่า: เพิ่ม เช่น 5 กับ 6 หรือ 5 กับ 95" คำถามนำ... แต่ท้ายที่สุดแล้ว การฝึกอบรมใด ๆ ก็มาเพื่อ "ชี้นำ" บุคคลไปสู่ "คำตอบ" - ในทางใดทางหนึ่งที่เขายอมรับได้
ในขั้นตอนนี้อาจมีการคาดเดาเกี่ยวกับวิธีการ "ประหยัด" ในการคำนวณ
สิ่งที่เราได้ทำไปเป็นเพียงคำใบ้: วิธีการนับ "ส่วนหน้า, เชิงเส้น" ไม่ใช่วิธีการเดียวที่เป็นไปได้ หากเด็กตัดทอนสิ่งนี้ได้ในภายหลังเขาจะคิดค้นวิธีการดังกล่าวอีกมากมาย เพราะมันน่าสนใจ!!!และเขาจะหลีกเลี่ยง "ความเข้าใจผิด" ของคณิตศาสตร์อย่างแน่นอนจะไม่รู้สึกขยะแขยง เขาได้รับชัยชนะ!
ถ้า ก ทารกค้นพบว่าการบวกเลขคู่ที่รวมกันได้ร้อยนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย "ความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีความแตกต่าง 1"- สิ่งที่ค่อนข้างน่าเบื่อและไม่น่าสนใจสำหรับเด็ก - ทันใดนั้น ให้ชีวิตแก่เขา . จากความโกลาหลเกิดขึ้นและนี่คือความกระตือรือร้นเสมอ: นั่นคือวิธีที่เราเป็น!
คำถามสั้น ๆ: ทำไมหลังจากความเข้าใจของเด็ก ๆ พวกเขาควรถูกขับเคลื่อนอีกครั้งในกรอบของอัลกอริทึมแบบแห้ง ซึ่งในกรณีนี้ก็ไร้ประโยชน์เช่นกัน!
เขียนซ้ำโง่ๆทำไมหมายเลขลำดับในสมุดบันทึก: ดังนั้นแม้แต่ผู้มีความสามารถก็ไม่มีโอกาสเข้าใจแม้แต่ครั้งเดียว? สถิติแน่นอน แต่การศึกษามวลชนเน้นที่ "สถิติ" ...
ศูนย์หายไปไหน?
ถึงกระนั้นการเพิ่มจำนวนที่รวมกันได้ 100 นั้นเป็นที่ยอมรับของจิตใจมากกว่าการให้ 101 ...
"วิธีเกาส์โรงเรียน" ต้องการสิ่งนี้: พับอย่างไม่สนใจระยะเท่ากันจากจุดศูนย์กลางของความก้าวหน้าของเลขคู่ ไม่ว่าอะไรก็ตาม.
จะเป็นอย่างไรถ้าคุณมอง?
อย่างไรก็ตาม ศูนย์คือสิ่งประดิษฐ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของมนุษยชาติ ซึ่งมีอายุมากกว่า 2,000 ปี และครูคณิตศาสตร์ยังคงเพิกเฉยต่อเขา
มันง่ายกว่ามากที่จะแปลงชุดตัวเลขที่เริ่มต้นที่ 1 เป็นชุดที่เริ่มต้นที่ 0 ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงใช่ไหม คุณต้องหยุด "คิดตามตำรา" แล้วเริ่มมองหา ...และเพื่อดูว่าคู่ที่มีผลรวม 101 สามารถแทนที่ด้วยคู่ที่มีผลรวม 100 ได้อย่างสมบูรณ์!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
จะยกเลิก "กฎบวก 1" ได้อย่างไร
พูดตามตรง ครั้งแรกที่ฉันได้ยินเกี่ยวกับกฎดังกล่าวจากติวเตอร์ YouTube คนนั้น ...
ฉันต้องทำอย่างไรเมื่อจำเป็นต้องกำหนดจำนวนสมาชิกของซีรี่ส์
ดูที่ลำดับ:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
และเมื่อเหนื่อยสุด ๆ แล้วในแถวที่ง่ายกว่า:
1, 2, 3, 4, 5
และฉันคิดว่า: ถ้าคุณลบหนึ่งออกจาก 5 คุณจะได้ 4 แต่ฉันค่อนข้างชัดเจน ดู 5 เลข! ดังนั้นคุณต้องเพิ่ม! ความรู้สึกของจำนวนที่พัฒนาขึ้นในโรงเรียนประถมแสดงให้เห็นว่าแม้ว่าจะมีสมาชิก Google ทั้งหมดของอนุกรม (กำลัง 10 ถึงร้อย) รูปแบบจะยังคงเหมือนเดิม
แหกกฎมั้ย..
ดังนั้นในสองสามปีเพื่อเติมเต็มช่องว่างระหว่างหน้าผากและด้านหลังศีรษะและหยุดคิด? แล้วการหาขนมปังและเนยล่ะ? ท้ายที่สุดเรากำลังก้าวเข้าสู่ยุคของเศรษฐกิจดิจิทัล!
เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการเรียนของ Gauss: "ทำไมต้องสร้างวิทยาศาสตร์จากสิ่งนี้ .. "
ไม่เสียเปล่าที่โพสต์ภาพหน้าจอจากสมุดบันทึกของลูกชาย...
"มีอะไรในบทเรียน?"
“คือ ผมนับทันที ยกมือขึ้น แต่เธอไม่ถาม ดังนั้น ขณะที่คนอื่นๆ กำลังนับ ผมก็เริ่มทำ DZ เป็นภาษารัสเซีย เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา จากนั้น เมื่อคนอื่นๆ เขียนเสร็จ (?? ?) เธอเรียกฉันไปที่กระดาน ฉันบอกว่าคำตอบ "
"ถูกต้อง แสดงให้ฉันเห็นว่าคุณแก้ไขได้อย่างไร" ครูพูด ฉันโชว์. เธอกล่าวว่า: "ผิดแล้ว คุณต้องนับตามที่ฉันแสดง!"
“ดีที่ไม่ใส่ผีสาง และให้ผมเขียน “กระบวนการตัดสินใจ” ในแบบฉบับของตัวเองลงในสมุดบันทึก ทำไมถึงสร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากสิ่งนี้ ...”
อาชญากรรมหลักของครูคณิตศาสตร์
แทบจะไม่ กรณีนั้น Carl Gauss มีความเคารพอย่างสูงต่อครูคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ถ้าเขารู้วิธี สาวกของอาจารย์นั้น บิดเบือนสาระสำคัญของวิธีการ... เขาคงคำรามด้วยความขุ่นเคืองและผ่านองค์การทรัพย์สินทางปัญญาโลก WIPO บรรลุผลสำเร็จในการห้ามใช้ชื่อที่ดีของเขาในหนังสือเรียน! ..
อะไร ข้อผิดพลาดหลักของแนวทางโรงเรียน? หรืออย่างที่ฉันพูด อาชญากรรมของครูคณิตศาสตร์ในโรงเรียนต่อเด็ก?
อัลกอริทึมที่เข้าใจผิด
นักระเบียบวิธีของโรงเรียนทำอะไรซึ่งส่วนใหญ่ไม่ทราบวิธีคิด
สร้างวิธีการและอัลกอริทึม (ดู) มัน ปฏิกิริยาป้องกันที่ปกป้องครูจากการวิจารณ์ ("ทุกอย่างทำตาม ... ") และเด็กจากความเข้าใจ ดังนั้น - จากความปรารถนาที่จะวิจารณ์ครู!(อนุพันธ์อันดับสองของ "ปัญญา" ของระบบราชการซึ่งเป็นวิธีการทางวิทยาศาสตร์ในการแก้ปัญหา) คนที่ไม่เข้าใจความหมายจะโทษความเข้าใจผิดของตัวเอง ไม่ใช่ความโง่เขลาของระบบโรงเรียน
เกิดอะไรขึ้น: พ่อแม่ตำหนิเด็กและครู ... เหมือนกันสำหรับเด็กที่ "ไม่เข้าใจคณิตศาสตร์! ..
คุณเข้าใจหรือไม่?
คาร์ลตัวน้อยทำอะไร?
เข้าใกล้งานเทมเพลตอย่างไม่เป็นทางการอย่างแน่นอน. นี่คือแก่นแท้ของแนวทางของพระองค์ มัน สิ่งสำคัญที่ควรสอนที่โรงเรียนคือการคิดไม่ใช่จากตำรา แต่ด้วยหัวของคุณ. แน่นอนว่ายังมีส่วนประกอบของเครื่องดนตรีที่สามารถใช้ ... ในการค้นหา วิธีการนับที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากขึ้น.
วิธีเกาส์ตาม Vilenkin
ในโรงเรียนพวกเขาสอนว่าวิธีเกาส์คือ
อะไร, ถ้าจำนวนองค์ประกอบในแถวเป็นเลขคี่อย่างในงานที่ได้รับมอบหมายให้ลูกชาย?..
"เคล็ดลับ" คือในกรณีนี้ คุณควรหาหมายเลข "พิเศษ" ของซีรีส์และเพิ่มลงในผลรวมของคู่ ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขนี้คือ 260.
วิธีการค้นพบ? เขียนคู่ตัวเลขทั้งหมดในสมุดบันทึก!(นั่นคือเหตุผลที่ครูให้เด็กๆ ทำงานโง่ๆ นี้ โดยพยายามสอน "ความคิดสร้างสรรค์" โดยใช้วิธีเกาส์เซียน... และนั่นเป็นสาเหตุที่ "วิธี" ดังกล่าวใช้ไม่ได้จริงกับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ และนั่นเป็นสาเหตุว่าทำไมจึงไม่ใช่เกาส์เซียน กระบวนการ).
ความคิดสร้างสรรค์เล็ก ๆ น้อย ๆ ในกิจวัตรประจำวันของโรงเรียน...
ลูกชายก็ทำตัวแปลกๆ
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
ง่ายใช่มั้ย?
แต่ในทางปฏิบัติจะง่ายยิ่งขึ้นซึ่งช่วยให้คุณแกะสลัก 2-3 นาทีสำหรับการสำรวจระยะไกลเป็นภาษารัสเซียในขณะที่ส่วนที่เหลือเป็นการ "นับ" นอกจากนี้ ยังรักษาจำนวนขั้นตอนของวิธีการ: 5 ซึ่งไม่อนุญาตให้มีการวิจารณ์วิธีการว่าไร้หลักวิทยาศาสตร์
เห็นได้ชัดว่าวิธีการนี้ง่ายกว่า เร็วกว่า และหลากหลายกว่า ตามสไตล์ของวิธีการนี้ แต่... ครูไม่เพียงไม่ชมเชย แต่ยังบังคับให้ฉันเขียนใหม่ "ในทางที่ถูกต้อง" (ดูภาพหน้าจอ) นั่นคือเธอพยายามอย่างสิ้นหวังที่จะยับยั้งแรงกระตุ้นความคิดสร้างสรรค์และความสามารถในการเข้าใจคณิตศาสตร์ในตา! เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะได้รับการว่าจ้างเป็นครูสอนพิเศษในภายหลัง ... เธอโจมตีผิดคน ...
ทุกสิ่งที่ฉันอธิบายมาอย่างยาวและน่าเบื่อหน่ายสามารถอธิบายให้เด็กทั่วไปฟังได้ภายในเวลาไม่เกินครึ่งชั่วโมง พร้อมด้วยตัวอย่าง.
และเพื่อเขาจะไม่ลืมมัน
และมันก็จะ ก้าวไปสู่ความเข้าใจ...ไม่ใช่แค่คณิตศาสตร์
ยอมรับมัน: ในชีวิตของคุณคุณเพิ่มด้วยวิธี Gauss กี่ครั้งแล้ว? และฉันไม่เคย!
แต่ สัญชาตญาณแห่งความเข้าใจซึ่งพัฒนา (หรือดับ) ในกระบวนการเรียนวิธีทางคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ... โอ้! .. นี่คือสิ่งที่ไม่สามารถถูกแทนที่ได้อย่างแท้จริง!
โดยเฉพาะอย่างยิ่งในยุคแห่งการแปลงเป็นดิจิทัลสากลซึ่งเราเข้ามาอย่างเงียบ ๆ ภายใต้การชี้นำที่เข้มงวดของพรรคและรัฐบาล
คำไม่กี่คำเพื่อป้องกันครู ...
ไม่ยุติธรรมและไม่ถูกต้องที่จะมอบความรับผิดชอบทั้งหมดสำหรับรูปแบบการสอนนี้ให้กับครูในโรงเรียนแต่เพียงผู้เดียว ระบบกำลังดำเนินการอยู่
บางครูเข้าใจความไร้สาระของสิ่งที่เกิดขึ้น แต่จะทำอย่างไร กฎหมายว่าด้วยการศึกษา, มาตรฐานการศึกษาของรัฐบาลกลาง, วิธีการ, การ์ดบทเรียน... ทุกอย่างควรทำ "ตามและบนพื้นฐาน" และทุกอย่างควรได้รับการบันทึกไว้ หลีกทาง - เข้าแถวไล่ออก อย่าเป็นคนหน้าซื่อใจคด: เงินเดือนของครูมอสโกนั้นดีมาก... ถ้าโดนไล่ออก จะไปอยู่ที่ไหน..
ดังนั้นไซต์นี้ ไม่เกี่ยวกับการศึกษา. เขาเป็นเรื่องเกี่ยวกับ การศึกษารายบุคคลวิธีเดียวที่จะออกจากฝูงชนได้ เจเนอเรชั่น Z ...
ระบบสมการเชิงเส้นสองระบบกล่าวกันว่าสมมูลกันถ้าเซตของคำตอบทั้งหมดเหมือนกัน
การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการคือ:
- การลบออกจากระบบสมการเล็กน้อย เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
- การคูณสมการใดๆ ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
- การบวกสมการ i ของสมการ j ใดๆ คูณด้วยจำนวนใดๆ
ตัวแปร x i เรียกว่า อิสระ ถ้าตัวแปรนี้ไม่ได้รับอนุญาต และอนุญาตให้ใช้ทั้งระบบสมการ
ทฤษฎีบท. การแปลงเบื้องต้นเปลี่ยนระบบสมการให้เป็นสมการที่สมมูลกัน
ความหมายของวิธีเกาส์คือการแปลงระบบสมการดั้งเดิมและได้ระบบที่ไม่สอดคล้องกันที่อนุญาตหรือเทียบเท่า
ดังนั้น วิธีเกาส์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:
- พิจารณาสมการแรก เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรกและหารสมการทั้งหมดด้วยค่านั้น เราได้สมการที่ตัวแปร xi บางตัวมีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 1
- ให้เราลบสมการนี้ออกจากสมการอื่นๆ แล้วคูณด้วยตัวเลขเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x i ในสมการที่เหลือถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ เราได้ระบบที่แก้ไขตามตัวแปร x i และเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม
- หากสมการเล็กน้อยเกิดขึ้น (ไม่ค่อยเกิดขึ้น แต่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น 0 = 0) เราจะลบออกจากระบบ เป็นผลให้สมการมีค่าน้อยลง
- เราทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้าไม่เกิน n ครั้ง โดยที่ n คือจำนวนสมการในระบบ ทุกครั้งที่เราเลือกตัวแปรใหม่สำหรับ "การประมวลผล" ถ้าเกิดสมการที่ขัดแย้งกัน (เช่น 0 = 8) แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน
ผลลัพธ์คือ หลังจากผ่านไปไม่กี่ขั้นตอน เราได้รับทั้งระบบที่อนุญาต (อาจมีตัวแปรอิสระ) หรือระบบที่ไม่สอดคล้องกัน ระบบที่อนุญาตแบ่งออกเป็นสองกรณี:
- จำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนสมการ ดังนั้นระบบจึงถูกกำหนดไว้
- จำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ เรารวบรวมตัวแปรอิสระทั้งหมดทางด้านขวา - เราได้รับสูตรสำหรับตัวแปรที่อนุญาต สูตรเหล่านี้เขียนไว้ในคำตอบ
นั่นคือทั้งหมด! ระบบสมการเชิงเส้นได้รับการแก้ไขแล้ว! นี่เป็นอัลกอริทึมที่ค่อนข้างง่ายและเพื่อให้เชี่ยวชาญคุณไม่จำเป็นต้องติดต่อครูสอนพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ พิจารณาตัวอย่าง:
งาน. แก้ระบบสมการ:
คำอธิบายของขั้นตอน:
- เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1
- เราคูณสมการที่สองด้วย (−1) และหารสมการที่สามด้วย (−3) - เราได้สมการสองสมการที่ตัวแปร x 2 มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1
- เราเพิ่มสมการที่สองเข้ากับสมการแรก และลบออกจากสมการที่สาม มารับตัวแปรที่อนุญาต x 2 ;
- สุดท้าย เราลบสมการที่สามออกจากสมการแรก - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 3 ;
- เราได้รับระบบที่ได้รับอนุญาตแล้ว เราเขียนคำตอบ
คำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นร่วมคือระบบใหม่ซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม ซึ่งตัวแปรที่อนุญาตทั้งหมดจะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระ
เมื่อใดที่อาจต้องการโซลูชันทั่วไป หากคุณต้องก้าวน้อยกว่า k (k คือจำนวนสมการทั้งหมด) อย่างไรก็ตาม สาเหตุที่กระบวนการสิ้นสุดในบางขั้นตอน l< k , может быть две:
- หลังจากขั้นตอน l -th เราได้ระบบที่ไม่มีสมการกับตัวเลข (l + 1) ในความเป็นจริงนี้เป็นสิ่งที่ดีเพราะ จะได้รับระบบที่แก้ไขแล้ว - แม้จะไม่กี่ขั้นตอนก่อนหน้านี้
- หลังจากขั้นตอน l -th จะได้สมการซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ และค่าสัมประสิทธิ์อิสระจะแตกต่างจากศูนย์ นี่เป็นสมการที่ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าการปรากฏตัวของสมการที่ไม่สอดคล้องกันโดยวิธีเกาส์นั้นเป็นเหตุผลที่เพียงพอสำหรับความไม่สอดคล้องกัน ในเวลาเดียวกัน เราทราบว่าเนื่องจากขั้นตอน l -th สมการเล็กน้อยไม่สามารถคงอยู่ได้ - สมการทั้งหมดจะถูกลบโดยตรงในกระบวนการ
คำอธิบายของขั้นตอน:
- ลบสมการแรกด้วย 4 จากสมการที่สอง และเพิ่มสมการแรกให้กับสมการที่สาม - เราได้รับตัวแปรที่อนุญาต x 1;
- เราลบสมการที่สามคูณด้วย 2 จากสมการที่สอง - เราได้สมการที่ขัดแย้งกัน 0 = −5
ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน เนื่องจากพบสมการที่ไม่สอดคล้องกัน
งาน. ตรวจสอบความเข้ากันได้และค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ:
คำอธิบายของขั้นตอน:
- เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (หลังจากคูณด้วยสอง) และสมการที่สาม - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 1
- ลบสมการที่สองออกจากสมการที่สาม เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการเหล่านี้เท่ากัน สมการที่สามจึงกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ในเวลาเดียวกัน เราคูณสมการที่สองด้วย (−1);
- เราลบสมการที่สองออกจากสมการแรก - เราได้ตัวแปรที่อนุญาต x 2 ระบบสมการทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว
- เนื่องจากตัวแปร x 3 และ x 4 เป็นอิสระ เราจึงย้ายตัวแปรเหล่านั้นไปทางขวาเพื่อแสดงตัวแปรที่อนุญาต นี่คือคำตอบ
ดังนั้น ระบบจึงเป็นแบบร่วมและไม่มีกำหนด เนื่องจากมีตัวแปรที่อนุญาตสองตัว (x 1 และ x 2) และตัวแปรอิสระสองตัว (x 3 และ x 4)
จะเริ่มต้นเป็นติวเตอร์ได้อย่างไร?
การเรียนภาษาอังกฤษทางไกล
คำกริยาภาษาอังกฤษปกติและผิดปกติ