เนื้อหาที่นำเสนอในหัวข้อนี้อ้างอิงจากข้อมูลที่นำเสนอในหัวข้อ "เศษส่วนตรรกยะ การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนพื้นฐาน (อย่างง่าย)" ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณอ่านหัวข้อนี้อย่างน้อยก่อนที่จะอ่านเนื้อหานี้ นอกจากนี้ เราต้องการตารางอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน

ผมขอเตือนคุณสองสามคำ มีการพูดคุยกันในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นในที่นี้ ผมจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในสูตรสั้นๆ

อัตราส่วนของพหุนามสองตัว $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ เรียกว่า ฟังก์ชันตรรกยะหรือเศษส่วนตรรกยะ เศษตรรกยะเรียกว่า ถูกต้องถ้า $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется ผิด.

เศษส่วนตรรกยะเบื้องต้น (ง่ายที่สุด) คือเศษตรรกยะของสี่ประเภท:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q .)< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

หมายเหตุ (ต้องการให้เข้าใจข้อความมากขึ้น): show\hide

เหตุใดเงื่อนไข $p^2-4q จึงจำเป็น< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

ตัวอย่างเช่น สำหรับนิพจน์ $x^2+5x+10$ เราได้รับ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$ ตั้งแต่ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

อย่างไรก็ตาม สำหรับการตรวจสอบนี้ ไม่จำเป็นที่สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ เท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น สำหรับ $5x^2+7x-3=0$ เราได้รับ: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. เนื่องจาก $D > 0$ นิพจน์ $5x^2+7x-3$ แยกตัวประกอบได้

ตัวอย่างของเศษส่วนตรรกยะ (ปกติและไม่เหมาะสม) รวมถึงตัวอย่างการขยายเศษตรรกยะเป็นเศษส่วนพื้นฐานสามารถพบได้ ที่นี่เราสนใจเฉพาะคำถามเกี่ยวกับการรวมระบบเท่านั้น เริ่มจากการรวมเศษส่วนเบื้องต้น ดังนั้น เศษส่วนพื้นฐานแต่ละประเภทจากสี่ประเภทข้างต้นจึงง่ายต่อการรวมเข้าด้วยกันโดยใช้สูตรด้านล่าง ผมขอเตือนคุณว่าเมื่อรวมเศษส่วนของประเภท (2) และ (4) $n=2,3,4\ldots$ จะถือว่า สูตร (3) และ (4) ต้องการเงื่อนไข $p^2-4q< 0$.

\begin(สมการ) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(สมการ) \begin(สมการ) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(สมการ)

สำหรับ $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ จะมีการแทนที่ $t=x+\frac(p)(2)$ หลังจากนั้นอินทิกรัลที่ได้จะเป็น แยกออกเป็นสองส่วน อันแรกจะคำนวณโดยการแทรกมันไว้ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ และอันที่สองจะมีลักษณะเหมือน $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ อินทิกรัลนี้ถ่ายโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ

\begin(สมการ) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)ฉัน_n, \; n\in N \end(สมการ)

การคำนวณอินทิกรัลดังกล่าววิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 7 (ดูส่วนที่สาม)

แบบแผนสำหรับการคำนวณอินทิกรัลจากฟังก์ชันตรรกยะ (เศษส่วนตรรกยะ):

1. หากอินทิกรัลเป็นค่าพื้นฐาน ให้ใช้สูตร (1)-(4)
2. ถ้าอินทิกรัลไม่ใช่พื้นฐาน ให้แทนเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น แล้วรวมโดยใช้สูตร (1)-(4)

อัลกอริธึมข้างต้นสำหรับการรวมเศษส่วนตรรกยะมีข้อได้เปรียบที่ปฏิเสธไม่ได้ - เป็นสากล เหล่านั้น. โดยใช้อัลกอริทึมนี้ หนึ่งสามารถบูรณาการ ใดๆเศษส่วนตรรกยะ นั่นคือเหตุผลที่การแทนที่ตัวแปรเกือบทั้งหมดในปริพันธ์ไม่แน่นอน (ออยเลอร์, การแทนที่เชบีเชฟ, การแทนที่ตรีโกณมิติสากล) ทำได้ในลักษณะที่หลังจากการแทนที่นี้ เราจะได้เศษตรรกยะภายใต้ช่วงเวลา และใช้อัลกอริธึมกับมัน เราจะวิเคราะห์การใช้งานอัลกอริธึมนี้โดยตรงโดยใช้ตัวอย่างหลังจากจดบันทึกเล็กน้อย

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

โดยหลักการแล้ว อินทิกรัลนี้หาได้ง่ายโดยไม่ต้องใช้สูตรทางกล หากเรานำค่าคงที่ $7$ ออกจากเครื่องหมายปริพันธ์และพิจารณาว่า $dx=d(x+9)$ นั้นเราได้รับ:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

สำหรับข้อมูลโดยละเอียดฉันแนะนำให้ดูที่หัวข้อ มันอธิบายรายละเอียดว่าอินทิกรัลดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร อย่างไรก็ตาม สูตรได้รับการพิสูจน์โดยการแปลงแบบเดียวกับที่ใช้ในย่อหน้านี้เมื่อแก้ไข "ด้วยตนเอง"

2) อีกครั้ง มีสองวิธี: ใช้สูตรสำเร็จรูปหรือทำโดยไม่ใช้ หากคุณใช้สูตร คุณควรคำนึงว่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้า $x$ (เลข 4) จะต้องถูกลบออก ในการดำเนินการนี้ เราเพียงแค่นำสี่ในวงเล็บออก:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

ตอนนี้ได้เวลาใช้สูตร:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+ค. $$

คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร และแม้จะไม่ได้ใส่ค่าคงที่ $4$ ออกจากวงเล็บก็ตาม หากเราพิจารณาว่า $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ นั้น เราได้รับ:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( ง(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการค้นหาอินทิกรัลดังกล่าวมีอยู่ในหัวข้อ "การบูรณาการโดยการแทนที่ (บทนำภายใต้เครื่องหมายส่วนต่าง)"

3) เราจำเป็นต้องรวมเศษส่วน $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ เศษส่วนนี้มีโครงสร้าง $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ โดยที่ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่านี่เป็นเศษส่วนเบื้องต้นของประเภทที่สาม คุณต้องตรวจสอบเงื่อนไข $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันแต่ไม่ใช้สูตรสำเร็จรูป ลองแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนออกจากตัวเศษกัน สิ่งนี้หมายความว่า? เรารู้ว่า $(x^2+10x+34)"=2x+10$ เป็นนิพจน์ $2x+10$ ที่เราต้องแยกในตัวเศษ จนถึงตอนนี้ ตัวเศษมีเพียง $4x+7$ แต่ไม่นานนัก ใช้การแปลงต่อไปนี้กับตัวเศษ:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

ตอนนี้นิพจน์ที่ต้องการ $2x+10$ ได้ปรากฏขึ้นในตัวเศษ และอินทิกรัลของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

ลองแยกอินทิกรัลออกเป็นสองส่วน และดังนั้นอินทิกรัลเองก็ "แยก" ด้วย:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10)))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) $$

มาพูดถึงอินทิกรัลแรกกันก่อน นั่นคือ เกี่ยวกับ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$ เนื่องจาก $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ ดังนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลตัวส่วนจะอยู่ในตัวเศษของจำนวนเต็ม ในระยะสั้น แทน ของนิพจน์ $( 2x+10)dx$ เราเขียน $d(x^2+10x+34)$

ทีนี้ มาพูดสองสามคำเกี่ยวกับอินทิกรัลที่สอง มาแยกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มในตัวส่วนกัน: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ นอกจากนี้ เราคำนึงถึง $dx=d(x+5)$ ตอนนี้ผลรวมของอินทิกรัลที่เราได้รับก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

หากเราทำการเปลี่ยนแปลง $u=x^2+10x+34$ ในอินทิกรัลแรก มันจะอยู่ในรูปแบบ $\int\frac(du)(u)$ และนำมาโดยการใช้สูตรที่สองจาก สำหรับอินทิกรัลที่สอง การแทนที่ $u=x+5$ นั้นเป็นไปได้ หลังจากนั้นจะใช้รูปแบบ $\int\frac(du)(u^2+9)$ นี่คือน้ำที่บริสุทธิ์ที่สุด ซึ่งเป็นสูตรที่ 11 จากตารางอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน เมื่อกลับไปที่ผลรวมของอินทิกรัล เราจะได้:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

เราได้คำตอบเหมือนกับตอนใช้สูตร ซึ่งจริงๆ แล้วไม่น่าแปลกใจเลย โดยทั่วไป สูตรได้รับการพิสูจน์โดยวิธีเดียวกับที่เราเคยหาอินทิกรัลนี้ ฉันเชื่อว่าผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจมีคำถามหนึ่งข้อที่นี่ ดังนั้นฉันจะกำหนด:

คำถามที่ 1

หากเราใช้สูตรที่สองจากตารางของอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนกับอินทิกรัล $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ เราจะได้ค่าต่อไปนี้:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

เหตุใดโมดูลจึงหายไปจากโซลูชัน

ตอบคำถาม #1

คำถามนั้นถูกต้องตามกฎหมายอย่างสมบูรณ์ ไม่มีโมดูลัสเพียงเพราะนิพจน์ $x^2+10x+34$ สำหรับ $x\in R$ ใดๆ มีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งค่อนข้างง่ายที่จะแสดงได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ และ $(x+5)^2 ≥ 0$ ดังนั้น $(x+5)^2+9 > 0$ . เป็นไปได้ที่จะตัดสินในวิธีที่ต่างออกไปโดยไม่ต้องเลือกสี่เหลี่ยมเต็ม ตั้งแต่ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ สำหรับ $x\in R$ ใดๆ (หากห่วงโซ่ตรรกะนี้น่าประหลาดใจ ผมแนะนำให้คุณดูวิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง) ไม่ว่าในกรณีใด เนื่องจาก $x^2+10x+34 > 0$ แล้ว $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. คุณสามารถใช้วงเล็บธรรมดาแทนโมดูลได้

ทุกประเด็นของตัวอย่างที่ 1 ได้รับการแก้ไขแล้วเหลือเพียงการเขียนคำตอบเท่านั้น

ตอบ:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$

ตัวอย่าง #2

ค้นหาอินทิกรัล $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$

เมื่อมองแวบแรก integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ นั้นคล้ายกับเศษส่วนเบื้องต้นของประเภทที่สามมาก นั่นคือ ถึง $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ดูเหมือนว่าข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือสัมประสิทธิ์ $3$ หน้า $x^2$ แต่จะใช้เวลาไม่นานในการเอาสัมประสิทธิ์ออก (ออกจากวงเล็บ) อย่างไรก็ตาม ความคล้ายคลึงกันนี้ชัดเจน สำหรับเศษส่วน $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ เงื่อนไข $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

สัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้า $x^2$ ไม่เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นให้ตรวจสอบเงื่อนไข $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ ดังนั้นนิพจน์ $3x^2-5x-2$ สามารถแยกตัวประกอบได้ และนี่หมายความว่าเศษส่วน $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ไม่ใช่เศษส่วนพื้นฐานของประเภทที่สาม และนำไปใช้กับอินทิกรัล $\int\frac(7x+12)( ไม่อนุญาตให้ใช้สูตร 3x^2- 5x-2)dx$

ถ้าเศษตรรกยะที่ให้มาไม่ใช่เศษส่วนมูลฐาน ก็จะต้องแทนผลรวมของเศษส่วนมูลฐานแล้วรวมเข้าด้วยกัน ในระยะสั้นเทรลใช้ประโยชน์จาก. วิธีการแยกเศษส่วนตรรกยะเป็นเศษส่วนเบื้องต้นนั้นเขียนไว้อย่างละเอียด เริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วน:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(จัดตำแหน่ง)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) $$

เราแสดงเศษส่วนย่อยในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

ทีนี้มาขยายเศษส่วน $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ให้เป็นเศษส่วนเบื้องต้น:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ขวา). $$

ในการหาสัมประสิทธิ์ $A$ และ $B$ มีสองวิธีมาตรฐาน: วิธีการของสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนและวิธีการแทนที่ของค่าบางส่วน ลองใช้วิธีการแทนที่ค่าบางส่วนโดยแทนที่ $x=2$ แล้ว $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

เนื่องจากพบสัมประสิทธิ์ จึงเหลือเพียงการเขียนการขยายที่เสร็จสิ้นแล้ว:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

โดยหลักการแล้ว คุณสามารถออกจากรายการนี้ได้ แต่ฉันชอบเวอร์ชันที่แม่นยำกว่า:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2) $$

กลับไปที่อินทิกรัลดั้งเดิม เราแทนที่การขยายผลลัพธ์เข้าไป จากนั้นเราแบ่งอินทิกรัลออกเป็นสอง และใช้สูตรกับแต่ละตัว ฉันชอบที่จะเอาค่าคงที่นอกเครื่องหมายปริพันธ์ออกทันที:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1)(x+\frac(1)) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+ค. $$

ตอบ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

ตัวอย่าง #3

ค้นหาอินทิกรัล $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$

เราจำเป็นต้องรวมเศษส่วน $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ ตัวเศษคือพหุนามของดีกรีที่สอง และตัวส่วนคือพหุนามของดีกรีที่สาม เนื่องจากดีกรีของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของพหุนามในตัวส่วน นั่นคือ $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9) $$

เราแค่ต้องแบ่งอินทิกรัลที่กำหนดเป็นสาม, และใช้สูตรกับแต่ละตัว ฉันชอบที่จะเอาค่าคงที่นอกเครื่องหมายปริพันธ์ออกทันที:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+ค. $$

ตอบ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ความต่อเนื่องของการวิเคราะห์ตัวอย่างของหัวข้อนี้อยู่ในส่วนที่สอง

“นักคณิตศาสตร์ เช่น ศิลปินหรือกวี เป็นผู้สร้างสรรค์รูปแบบ และหากรูปแบบของเขามีเสถียรภาพมากขึ้น ก็เพียงเพราะพวกเขาประกอบด้วยความคิด ... รูปแบบของนักคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับของศิลปินหรือกวี จะต้องสวยงาม; ความคิดเช่นเดียวกับสีหรือคำพูดต้องตรงกัน ความงามเป็นข้อกำหนดแรก: ไม่มีที่ใดในโลกสำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด».

GH Hardy

ในบทแรกมีข้อสังเกตว่ามีแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่ค่อนข้างง่ายซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้อีกต่อไป ในเรื่องนี้ คลาสของฟังก์ชันเหล่านั้นได้รับความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก ซึ่งสามารถพูดได้อย่างแน่นอนว่าแอนติเดริเวทีฟของพวกมันเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน คลาสของฟังก์ชันนี้รวมถึง ฟังก์ชันตรรกยะซึ่งเป็นอัตราส่วนของพหุนามเกี่ยวกับพีชคณิตสองพหุนาม ปัญหามากมายนำไปสู่การรวมเศษส่วนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะสามารถรวมฟังก์ชันดังกล่าวได้

2.1.1. ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

เศษส่วนตรรกยะ(หรือ ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน) คืออัตราส่วนของพหุนามพีชคณิตสองพหุนาม:

โดยที่ และ เป็นพหุนาม

จำได้ว่า พหุนาม (พหุนาม, ฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด) นปริญญาเรียกว่า ฟังก์ชันของรูป

ที่ไหน เป็นตัวเลขจริง ตัวอย่างเช่น,

เป็นพหุนามของดีกรีแรก

เป็นพหุนามของดีกรีที่สี่ เป็นต้น

เศษตรรกยะ (2.1.1) เรียกว่า ถูกต้อง, ถ้าดีกรีต่ำกว่าดีกรี เช่น น<มมิฉะนั้นจะเรียกว่าเศษส่วน ผิด.

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนาม (ส่วนจำนวนเต็ม) และเศษส่วนที่เหมาะสม (ส่วนเศษส่วน)การเลือกจำนวนเต็มและเศษส่วนของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมสามารถทำได้ตามกฎการหารพหุนามด้วย "มุม"

ตัวอย่าง 2.1.1.เลือกส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของเศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมต่อไปนี้:

ก) ข) .

วิธีการแก้ . ก) โดยใช้อัลกอริทึมการแบ่ง "มุม" เราได้รับ

ดังนั้นเราจึงได้รับ

.

b) ที่นี่เรายังใช้อัลกอริธึมการแบ่ง "มุม":

เป็นผลให้เราได้รับ

.

มาสรุปกัน ปริพันธ์ไม่กำหนดแน่นอนของเศษตรรกยะสามารถแสดงเป็นผลรวมของอินทิกรัลของพหุนามและเศษตรรกยะที่เหมาะสม การหาแอนติเดริเวทีฟของพหุนามไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น ในอนาคต เราจะพิจารณาเศษส่วนตรรกยะปกติเป็นหลัก

2.1.2. เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุดและการรวมเข้าด้วยกัน

เศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสมมีสี่ประเภทซึ่งจัดเป็น เศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด (ระดับประถมศึกษา)

3) ,

4) ,

จำนวนเต็มอยู่ที่ไหน , เช่น. ไตรนามสี่เหลี่ยม ไม่มีรากที่แท้จริง

การรวมเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่ 1 และ 2 นั้นไม่มีปัญหามาก:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาการรวมเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่ 3 และเราจะไม่พิจารณาเศษส่วนของประเภทที่ 4

เราเริ่มต้นด้วยอินทิกรัลของรูปแบบ

.

อินทิกรัลนี้มักจะคำนวณโดยการหากำลังสองเต็มในตัวส่วน ผลลัพธ์คืออินทิกรัลตารางของรูปแบบต่อไปนี้

หรือ .

ตัวอย่าง 2.1.2.ค้นหาอินทิกรัล:

ก) ข) .

วิธีการแก้ . ก) เราเลือกสี่เหลี่ยมเต็มจาก trinomial สี่เหลี่ยม:

จากนี้ไปเราจะพบว่า

b) การเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสเต็มจากไตรโนเมียลกำลังสอง เราจะได้:

ทางนี้,

.

เพื่อหาอินทิกรัล

เราสามารถแยกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษและขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว: อันแรกโดยการแทนที่ มาลงฟอร์ม

,

และที่สอง - ไปด้านบน

ตัวอย่าง 2.1.3ค้นหาอินทิกรัล:

.

วิธีการแก้ . สังเกตว่า . เราเลือกอนุพันธ์ของตัวส่วนในตัวเศษ:

อินทิกรัลแรกคำนวณโดยใช้การแทนที่ :

ในอินทิกรัลที่สอง เราเลือกกำลังสองเต็มในตัวส่วน

ในที่สุด เราก็ได้

2.1.3. การขยายตัวของเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม
ผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย

เศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายได้โดยไม่ซ้ำกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวส่วนจะต้องถูกแยกออกเป็นปัจจัย เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากพีชคณิตชั้นสูงว่าทุกพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริง

ฟังก์ชันตรรกยะคือเศษส่วนของรูปแบบ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

ตัวอย่าง 1 ขั้นตอนที่ 2

.

เราคูณสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนด้วยพหุนามที่ไม่ได้อยู่ในเศษส่วนนี้ แต่อยู่ในเศษส่วนอื่นๆ ที่ได้รับ:

เราเปิดวงเล็บและเท่ากับตัวเศษของอินทิกรัลดั้งเดิมที่ได้รับกับนิพจน์ที่ได้รับ:

ในทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน เรามองหาเทอมที่มีกำลัง x เท่ากันและประกอบเป็นระบบสมการจากสมการเหล่านี้:

.

เรายกเลิก x ทั้งหมดและรับระบบสมการที่เท่ากัน:

.

ดังนั้น การขยายตัวขั้นสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่าง 2 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

ตอนนี้เราเริ่มมองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราให้ตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันเท่ากับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้คุณต้องสร้างและแก้ระบบสมการ ในการทำเช่นนี้ เราให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเท่ากับระดับที่เหมาะสมในตัวเศษของนิพจน์ดั้งเดิมของฟังก์ชันและค่าสัมประสิทธิ์ที่คล้ายคลึงกันในนิพจน์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า:

เราแก้ระบบผลลัพธ์:

จากนี้ไป

.

ตัวอย่างที่ 3 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เราเริ่มมองหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน ในการทำเช่นนี้ เราให้ตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมในนิพจน์ฟังก์ชันเท่ากับตัวเศษของนิพจน์ที่ได้รับหลังจากลดผลรวมของเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสร้างระบบสมการ:

เราลด x และรับระบบสมการที่เท่ากัน:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 4 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

วิธีทำให้ตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับนิพจน์ในตัวเศษที่ได้รับหลังจากแยกเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายและลดผลรวมนี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม เรารู้อยู่แล้วจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นเพื่อการควบคุมเท่านั้นเราจึงนำเสนอระบบสมการผลลัพธ์:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 5 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

เรานำผลรวมนี้ไปยังตัวส่วนร่วมโดยอิสระ โดยให้ตัวเศษของนิพจน์นี้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิม ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

.

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 6 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

เราทำการดำเนินการเดียวกันกับจำนวนนี้ในตัวอย่างก่อนหน้า ผลลัพธ์ควรเป็นระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

.

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่าง 7 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

หลังจากทราบการกระทำด้วยผลรวมผลลัพธ์แล้ว ควรได้รับระบบสมการต่อไปนี้:

การแก้ระบบเราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนดังต่อไปนี้:

เราได้การขยายตัวสุดท้ายของอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย:

.

ตัวอย่างที่ 8 ขั้นตอนที่ 2ในขั้นตอนที่ 1 เราได้รับการขยายเศษส่วนดั้งเดิมเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนในตัวเศษ:

.

มาทำการเปลี่ยนแปลงบางอย่างกับการกระทำที่นำไปสู่ความเป็นอัตโนมัติเพื่อให้ได้ระบบสมการ มีเคล็ดลับประดิษฐ์ซึ่งในบางกรณีช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณที่ไม่จำเป็น นำผลรวมของเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม เราจะได้มาและหาตัวเศษของนิพจน์นี้ให้เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนดั้งเดิมที่เราได้รับ

การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ
วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบแน่ชัด

เรายังคงทำงานเกี่ยวกับการรวมเศษส่วน เราได้พิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วนบางประเภทในบทเรียนแล้ว และบทเรียนนี้ในแง่หนึ่งถือได้ว่าเป็นการต่อเนื่อง เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้สำเร็จ จำเป็นต้องมีทักษะพื้นฐานในการบูรณาการ ดังนั้นหากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาอินทิกรัล นั่นคือ คุณคือกาน้ำชา คุณต้องเริ่มด้วยบทความ อินทิกรัลไม่มีกำหนด ตัวอย่างโซลูชัน.

น่าแปลกที่ตอนนี้เราจะไม่จัดการกับการหาอินทิกรัลเท่า ... การแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในการเชื่อมต่อนี้ อย่างยิ่งฉันแนะนำให้ไปที่บทเรียน กล่าวคือ คุณต้องมีความรอบรู้ในวิธีการทดแทน (วิธี "โรงเรียน" และวิธีการบวก (การลบ) แบบเทอมต่อเทอมของสมการระบบ)

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนคืออะไร? พูดง่ายๆ ก็คือ ฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะคือเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งเป็นพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม ในขณะเดียวกัน เศษส่วนก็ซับซ้อนกว่าที่กล่าวถึงในบทความ การรวมเศษส่วนบางส่วน.

การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะที่ถูกต้อง

ตัวอย่างทันทีและอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่าง 1

ขั้นตอนที่ 1.สิ่งแรกที่เราทำเสมอเมื่อต้องแก้อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ-เศษส่วน ให้ถามคำถามต่อไปนี้: เศษส่วนถูกต้องหรือไม่ขั้นตอนนี้ทำโดยปากเปล่า และตอนนี้ฉันจะอธิบายว่า:

ดูตัวเศษก่อนแล้วค่อยหา ระดับอาวุโสพหุนาม:

กำลังสูงสุดของตัวเศษคือสอง

ตอนนี้ดูที่ตัวส่วนและหา ระดับอาวุโสตัวส่วน วิธีที่ชัดเจนคือการเปิดวงเล็บและนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมาใช้ แต่คุณทำได้ง่ายกว่าใน แต่ละวงเล็บหาระดับสูงสุด

และทวีคูณทางจิตใจ: - ดังนั้น ระดับสูงสุดของตัวส่วนจึงเท่ากับสาม ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเราเปิดวงเล็บออกจริง ๆ เราจะไม่ได้รับปริญญาที่มากกว่าสาม

บทสรุป: กำลังสูงสุดของตัวเศษ อย่างเคร่งครัดน้อยกว่ากำลังสูงสุดของตัวส่วนแล้วเศษส่วนนั้นถูกต้อง

หากในตัวอย่างนี้ตัวเศษมีพหุนาม 3, 4, 5 เป็นต้น องศา แล้วเศษส่วนจะเป็น ผิด.

ตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเท่านั้น. กรณีที่ระดับของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับระดับของตัวส่วน เราจะวิเคราะห์เมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ขั้นตอนที่ 2ลองแยกตัวประกอบตัวหาร. ลองดูตัวส่วนของเรา:

โดยทั่วไปแล้ว นี่เป็นผลพลอยได้จากปัจจัยต่างๆ อยู่แล้ว แต่เราถามตัวเองว่า เป็นไปได้ไหมที่จะขยายสิ่งอื่น ๆ อีก? แน่นอนว่าเป้าหมายของการทรมานจะเป็นไตรนามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราแก้สมการกำลังสอง:

discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่า trinomial ถูกแยกตัวประกอบอย่างแท้จริง:

กฎทั่วไป: ทุกอย่างในตัวส่วนสามารถแยกตัวประกอบได้ - แยกตัวประกอบ

มาเริ่มตัดสินใจกันเลย:

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดา (เบื้องต้น) ตอนนี้มันจะชัดเจนขึ้น

มาดูฟังก์ชันอินทิกรัลของเรากัน:

และคุณก็รู้ ความคิดโดยสัญชาตญาณหลุดลอยไปว่า เป็นการดีที่จะเปลี่ยนเศษส่วนใหญ่ให้เป็นเศษเล็กเศษน้อยหลาย ๆ ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

คำถามเกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งนี้? ถอนหายใจด้วยความโล่งอก ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันของสถานะการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - มันเป็นไปได้ การสลายตัวดังกล่าวมีอยู่และเป็นเอกลักษณ์.

มีเพียงหนึ่งจับคือสัมประสิทธิ์ที่เรา ลาก่อนเราไม่รู้ ดังนั้นชื่อ - วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

คุณเดาท่าทางที่ตามมาดังนั้นอย่าหัวเราะเยาะ! จะมุ่งเป้าไปที่การเรียนรู้พวกเขา - เพื่อค้นหาว่าพวกเขามีค่าเท่ากับอะไร

ระวังฉันจะอธิบายอย่างละเอียดอีกครั้ง!

เรามาเริ่มเต้นรำจาก:

ทางด้านซ้าย เรานำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้เรากำจัดตัวส่วนอย่างปลอดภัย (เพราะมันเหมือนกัน):

ทางด้านซ้ายเราเปิดวงเล็บในขณะที่เรายังไม่ได้สัมผัสสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก:

ในเวลาเดียวกัน เราทำซ้ำกฎโรงเรียนของการคูณพหุนาม เมื่อข้าพเจ้าเป็นครู ข้าพเจ้าเรียนรู้ที่จะพูดกฎนี้อย่างตรงไปตรงมา: ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของพหุนามอื่น.

จากมุมมองของคำอธิบายที่ชัดเจน เป็นการดีกว่าที่จะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ในวงเล็บ (แม้ว่าโดยส่วนตัวแล้วฉันไม่เคยทำเช่นนี้เพื่อประหยัดเวลา):

เราสร้างระบบสมการเชิงเส้น
อันดับแรก เรามองหาปริญญาอาวุโส:

และเราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันในสมการแรกของระบบ:

จำความแตกต่างต่อไปนี้ได้ดี. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าด้านขวาไม่มีอยู่เลย? พูดสิ มันจะอวดโดยไม่ต้องสี่เหลี่ยมใด ๆ หรือไม่? ในกรณีนี้ ในสมการของระบบ จำเป็นต้องใส่ศูนย์ทางด้านขวา: . ทำไมต้องเป็นศูนย์? และเนื่องจากทางด้านขวา คุณสามารถระบุแอตทริบิวต์ของกำลังสองนี้ด้วยศูนย์ได้เสมอ: หากไม่มีตัวแปรหรือ (และ) เทอมว่างทางด้านขวา เราจะใส่เลขศูนย์ทางด้านขวาของสมการที่สอดคล้องกันของระบบ

เราเขียนสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันในสมการที่สองของระบบ:

และสุดท้าย น้ำแร่ เราเลือกสมาชิกฟรี

เอ๊ะ ... ฉันล้อเล่น เรื่องตลก - คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่จริงจัง ในกลุ่มสถาบันของเรา ไม่มีใครหัวเราะเมื่อผู้ช่วยศาสตราจารย์บอกว่าเธอจะกระจายสมาชิกตามเส้นจำนวนและเลือกจำนวนที่ใหญ่ที่สุด มาจริงจังกันเถอะ แม้ว่า ... ใครก็ตามที่มีชีวิตอยู่เพื่อดูตอนจบของบทเรียนนี้จะยังคงยิ้มอย่างเงียบ ๆ

ระบบพร้อม:

เราแก้ระบบ:

(1) จากสมการแรก เราแสดงและแทนที่มันลงในสมการที่ 2 และ 3 ของระบบ อันที่จริง มันเป็นไปได้ที่จะแสดง (หรือตัวอักษรอื่น) จากสมการอื่น แต่ในกรณีนี้ เป็นการดีที่จะแสดงออกจากสมการที่ 1 เนื่องจากมี อัตราต่อรองที่เล็กที่สุด.

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่ 2 และ 3

(3) เราเพิ่มสมการที่ 2 และ 3 เป็นระยะโดยเทอมในขณะที่ได้รับความเท่าเทียมกันจากนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

(4) เราแทนที่ด้วยสมการที่สอง (หรือสาม) ซึ่งเราพบว่า

(5) เราแทนและลงในสมการแรก ได้ .

หากคุณมีปัญหาใดๆ กับวิธีการแก้ปัญหาระบบ ให้ดำเนินการในชั้นเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

หลังจากแก้ระบบแล้ว การตรวจสอบจะเป็นประโยชน์เสมอ - แทนที่ค่าที่พบ ในแต่ละสมการของระบบดังนั้นทุกอย่างควร "มาบรรจบกัน"

เกือบมาแล้ว พบสัมประสิทธิ์ในขณะที่:

งานที่สะอาดควรมีลักษณะดังนี้:

อย่างที่คุณเห็น ความยากหลักของงานคือการเขียน (ถูกต้อง!) และแก้ (ถูกต้อง!) ระบบสมการเชิงเส้น และในขั้นตอนสุดท้าย ทุกอย่างไม่ได้ยากขนาดนั้น เราใช้คุณสมบัติของความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลไม่ จำกัด และรวมเข้าด้วยกัน ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่าภายใต้อินทิกรัลทั้งสามเรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อน "ฟรี" ฉันได้พูดถึงคุณลักษณะของการบูรณาการในบทเรียน วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในปริพันธ์ไม่แน่นอน.

ตรวจสอบ: แยกความแตกต่างของคำตอบ:

ได้รับอินทิกรัลดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าพบอินทิกรัลอย่างถูกต้อง
ในระหว่างการตรวจสอบ จำเป็นต้องนำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วม และนี่ไม่ใช่เหตุบังเอิญ วิธีการของสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและการนำนิพจน์ไปยังตัวส่วนร่วมนั้นเป็นการกระทำผกผันร่วมกัน

ตัวอย่าง 2

หาอินทิกรัลไม่แน่นอน

กลับไปที่เศษส่วนจากตัวอย่างแรก: . เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในตัวส่วนนั้น ปัจจัยทั้งหมดต่างกัน คำถามเกิดขึ้นจะทำอย่างไรถ้ายกตัวอย่างเช่นเศษส่วน: ? เรามีองศาในตัวส่วน หรือในทางคณิตศาสตร์ ปัจจัยหลายอย่าง. นอกจากนี้ยังมีสมการกำลังสองที่แยกย่อยไม่ได้ (เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวจำแนกของสมการ เป็นค่าลบ ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบไตรนามได้แต่อย่างใด) จะทำอย่างไร? การขยายผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้นจะมีลักษณะดังนี้ โดยไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ที่ด้านบนหรืออย่างอื่น?

ตัวอย่างที่ 3

ส่งฟังก์ชัน

ขั้นตอนที่ 1.ตรวจสอบว่าเรามีเศษส่วนถูกต้องหรือไม่
กำลังสูงสุดของตัวเศษ: 2
ตัวหารสูงสุด: 8
เศษส่วนจึงถูกต้อง

ขั้นตอนที่ 2สามารถแยกตัวประกอบอะไรเป็นตัวส่วนได้หรือไม่? แน่นอนว่าไม่ใช่ ทุกอย่างถูกจัดวางไว้แล้ว ไตรนามสแควร์ไม่ขยายเป็นผลิตภัณฑ์ด้วยเหตุผลข้างต้น ดี. งานน้อย.

ขั้นตอนที่ 3ให้เราแทนฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน
ในกรณีนี้การสลายตัวมีรูปแบบดังนี้:

ลองดูตัวส่วนของเรา:
เมื่อแยกฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนพื้นฐาน สามารถแยกแยะจุดพื้นฐานสามจุด:

1) หากตัวส่วนมีปัจจัย "เหงา" ในระดับแรก (ในกรณีของเรา) เราจะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนที่ด้านบน (ในกรณีของเรา) ตัวอย่างที่ 1,2 ประกอบด้วยปัจจัยที่ "เหงา" เท่านั้น

2) ถ้าตัวส่วนประกอบด้วย หลายรายการตัวคูณแล้วคุณต้องแยกย่อยดังนี้:
- นั่นคือ เรียงลำดับองศาของ "x" ทั้งหมดตามลำดับตั้งแต่ระดับแรกจนถึงระดับที่ n ในตัวอย่างของเรา มีปัจจัยหลายประการ: และ ดูการสลายตัวที่ฉันให้ไว้อีกครั้ง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าพวกมันถูกแยกย่อยตามกฎนี้ทุกประการ

3) หากตัวส่วนประกอบด้วยพหุนามที่แยกไม่ออกของดีกรีที่สอง (ในกรณีของเรา ) จากนั้นเมื่อขยายในตัวเศษ คุณต้องเขียนฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน (ในกรณีของเรา มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และ )

อันที่จริงยังมีกรณีที่ 4 แต่ฉันจะเก็บเงียบเกี่ยวกับเรื่องนี้เพราะในทางปฏิบัติมันหายากมาก

ตัวอย่างที่ 4

ส่งฟังก์ชัน เป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐานที่ไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ปฏิบัติตามอัลกอริทึมอย่างเคร่งครัด!

หากคุณได้ทราบถึงหลักการที่คุณต้องแยกฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะเป็นผลรวม คุณจะสามารถถอดรหัสอินทิกรัลของประเภทที่พิจารณาได้เกือบทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 5

หาอินทิกรัลไม่แน่นอน

ขั้นตอนที่ 1.เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนถูกต้อง:

ขั้นตอนที่ 2สามารถแยกตัวประกอบอะไรเป็นตัวส่วนได้หรือไม่? สามารถ. นี่คือผลรวมของลูกบาศก์ . การแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ

ขั้นตอนที่ 3โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เราขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนพื้นฐาน:

โปรดทราบว่าพหุนามนั้นแยกไม่ออก (ตรวจสอบว่า discriminant เป็นลบ) ดังนั้นที่ด้านบนสุด เราใส่ฟังก์ชันเชิงเส้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ไม่ใช่แค่ตัวอักษรตัวเดียว

เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม:

มาสร้างและแก้ไขระบบกันเถอะ:

(1) จากสมการแรก เราแสดงและแทนที่ลงในสมการที่สองของระบบ (นี่คือวิธีที่มีเหตุผลที่สุด)

(2) เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สอง

(3) เราเพิ่มสมการที่สองและสามของเทอมระบบตามเทอม

โดยหลักการแล้ว การคำนวณเพิ่มเติมทั้งหมดเป็นแบบปากเปล่า เนื่องจากระบบนั้นเรียบง่าย

(1) เราเขียนผลรวมของเศษส่วนตามค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ

(2) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นตรงของอินทิกรัลไม่จำกัด เกิดอะไรขึ้นในอินทิกรัลที่สอง? คุณสามารถค้นหาวิธีนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การรวมเศษส่วนบางส่วน.

(3) เราใช้คุณสมบัติของลิเนียร์อีกครั้ง ในอินทิกรัลที่สาม เราเริ่มเลือกกำลังสองเต็ม (ย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียน การรวมเศษส่วนบางส่วน).

(4) เราใช้อินทิกรัลที่สอง ในอันที่สามเราเลือกกำลังสองเต็ม

(5) เราหาอินทิกรัลที่สาม พร้อม.

หัวข้อ: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ.

ความสนใจ! เมื่อศึกษาวิธีการหลักวิธีใดวิธีหนึ่งในการรวมกลุ่ม - การรวมเศษส่วนตรรกยะ - จำเป็นต้องพิจารณาพหุนามในโดเมนที่ซับซ้อนเพื่อการพิสูจน์ที่เข้มงวด ดังนั้นจึงจำเป็น เรียนล่วงหน้า คุณสมบัติบางอย่างของจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับพวกมัน

การรวมเศษส่วนตรรกยะที่ง่ายที่สุด

ถ้า พี(z) และ คิว(z) เป็นพหุนามในโดเมนเชิงซ้อน จึงเป็นเศษส่วนตรรกยะ มันถูกเรียกว่า ถูกต้องถ้าปริญญา พี(z) ปริญญาน้อย คิว(z) , และ ผิดถ้าปริญญา R ปริญญาไม่น้อย คิว.

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมใดๆ สามารถแสดงเป็น: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

เอ R(z) – พหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรี คิว(z).

ดังนั้นการรวมเศษส่วนตรรกยะจึงลดลงเป็นการรวมตัวของพหุนาม นั่นคือ ฟังก์ชันกำลังและเศษส่วนที่เหมาะสม เนื่องจากเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม

คำจำกัดความ 5. เศษส่วนที่ง่ายที่สุด (หรือพื้นฐาน) คือเศษส่วนของประเภทต่อไปนี้:

1) , 2) , 3) , 4) .

มาดูกันว่าพวกมันถูกรวมเข้าด้วยกันอย่างไร

3) (สำรวจก่อนหน้านี้)

ทฤษฎีบท 5. เศษส่วนที่เหมาะสมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย (ไม่มีหลักฐาน)

ข้อพิสูจน์ 1 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีเพียงรากจริงอย่างง่าย ๆ เท่านั้น จากนั้นในการขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนธรรมดาของประเภทที่ 1 เท่านั้น:

ตัวอย่าง 1

ข้อพิสูจน์ 2 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากมีรากจริงหลายตัวในรากของพหุนาม จากนั้นในการขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนธรรมดาของประเภทที่ 1 และ 2 :

ตัวอย่าง 2

ข้อพิสูจน์ 3 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามมีเพียงรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนอย่างง่าย จากนั้นในการขยายเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนง่าย ๆ ของประเภทที่ 3:

ตัวอย่างที่ 3

ข้อพิสูจน์ 4 หากเป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม และหากในบรรดารากของพหุนามนั้นมีเพียงรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนหลายราก จากนั้นในการขยายเศษส่วนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย จะมีเพียงเศษส่วนธรรมดาของอันดับที่ 3 และ 4 ประเภท:

เพื่อกำหนดสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักในการขยายข้างต้น ดำเนินการดังนี้ ส่วนด้านซ้ายและด้านขวาของการขยายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักจะถูกคูณด้วย สมการของพหุนามทั้งสองจะได้ค่าเท่ากัน สมการสำหรับสัมประสิทธิ์ที่ต้องการได้มาจากมันโดยใช้สิ่งนั้น:

1. ความเท่าเทียมกันใช้ได้กับค่าใด ๆ ของ X (วิธีการของค่าบางส่วน) ในกรณีนี้ จะได้สมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ซึ่ง m ใด ๆ ทำให้เราหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักได้

2. สัมประสิทธิ์ตรงกับกำลังเดียวกันของ X (วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน) ในกรณีนี้ จะได้ระบบ m - สมการกับ m - ไม่รู้จัก ซึ่งหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก

3. วิธีการรวมกัน

ตัวอย่างที่ 5 ขยายเศษส่วน ให้ง่ายที่สุด

วิธีการแก้:

หาสัมประสิทธิ์ A และ B

1 วิธี - วิธีมูลค่าส่วนตัว:

วิธีที่ 2 - วิธีการของสัมประสิทธิ์ความไม่แน่นอน:

ตอบ:

การรวมเศษส่วนตรรกยะ

ทฤษฎีบทที่ 6 อินทิกรัลไม่แน่นอนของเศษส่วนตรรกยะใดๆ ในช่วงเวลาใดๆ ที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์มีอยู่ และแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ เศษส่วนตรรกยะ ลอการิทึม และอาร์คแทนเจนต์

การพิสูจน์.

เราแสดงเศษส่วนตรรกยะในรูปแบบ: . ยิ่งกว่านั้น เทอมสุดท้ายเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และโดยทฤษฎีบท 5 มันสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเศษส่วนอย่างง่ายได้ ดังนั้น การรวมเศษส่วนตรรกยะจึงลดเป็นการรวมพหุนาม ส(x) และเศษส่วนที่ง่ายที่สุดซึ่งมีแอนติเดริเวทีฟดังที่แสดงมีรูปแบบระบุไว้ในทฤษฎีบท

ความคิดเห็น ปัญหาหลักในกรณีนี้คือการสลายตัวของตัวส่วนเป็นตัวประกอบ นั่นคือ การค้นหารากเหง้าทั้งหมดของมัน

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาอินทิกรัล