วิธี Lagrange เป็นตัวอย่างที่มีข้อจำกัด 2 ข้อ Conditional extrema และวิธีการคูณ Lagrange
อัน(t)z(n)(t) + อัน − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = ฉ(เสื้อ)
ประกอบด้วยการแทนที่ค่าคงที่โดยพลการ ck ในโซลูชันทั่วไป
z(เสื้อ) = c1z1(เสื้อ) + c2z2(เสื้อ) + ...
ซีเอ็นเอ็น(t)
สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
อัน(t)z(n)(t) + อัน − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
กับฟังก์ชันเสริม ck(t) ซึ่งอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น
ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z1,z2,...,zn ซึ่งทำให้แน่ใจได้ว่าสามารถแก้ไขได้เฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับ
หากเป็น antiderivatives สำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ของการรวมแล้วฟังก์ชัน
เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม การบูรณาการ สมการเอกพันธ์ในที่ที่มีคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน จึงลดลงเป็นกำลังสอง
วิธีลากรองจ์ (วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ)
วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเอกพันธ์ โดยรู้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์โดยไม่ต้องหาคำตอบเฉพาะ
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, จริง: 1) มี n เชิงเส้น สมการการแก้ปัญหาอิสระ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) สำหรับค่าคงที่ใด ๆ c1, c2, ..., cn, ฟังก์ชัน y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) คือ a คำตอบของสมการ 3) สำหรับใด ๆ ค่าเริ่มต้น x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n ดังนั้นคำตอบ y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) เรียกว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n
ชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น n ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n y1(x), y2(x), ..., yn(x) เรียกว่าระบบพื้นฐานของการแก้สมการ
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0 เช่น หมายเลข l คือราก สมการคุณลักษณะ ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0 ทางด้านซ้ายของสมการคุณลักษณะเรียกว่าพหุนามคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + อัน ดังนั้นปัญหาในการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่จึงลดลงเป็นการแก้สมการพีชคณิต
ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่แท้จริงต่างกัน n ตัว l1№ l2 № ... № ln ระบบพื้นฐานของคำตอบจะประกอบด้วยฟังก์ชัน y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)
ระบบพื้นฐานของคำตอบและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่แท้จริงอย่างง่าย
หากรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะซ้ำกัน r ครั้ง (ราก r-fold) ดังนั้นฟังก์ชัน r จะสอดคล้องกับสมการนั้นในระบบพื้นฐานของคำตอบ ถ้า lk=lk+1 = ... = lk+r-1 แล้วเข้า ระบบพื้นฐานการแก้สมการ มีฟังก์ชัน r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).
ตัวอย่าง 2. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของจำนวนจริงหลายราก
ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อน ดังนั้นแต่ละคู่ของรากเชิงซ้อนอย่างง่าย (ของการคูณ 1) lk,k+1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของคำตอบจะสอดคล้องกับคู่ของฟังก์ชัน yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
ตัวอย่าง 4. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนอย่างง่าย รากในจินตนาการ
หากคู่ของรากที่ซับซ้อนมีจำนวนหลายหลาก r ดังนั้นคู่ดังกล่าว lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับฟังก์ชัน exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx) cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
ตัวอย่าง 5. ระบบพื้นฐานของโซลูชันและโซลูชันทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนหลายตัว
ดังนั้น ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เราควรเขียนสมการคุณลักษณะลงไป ค้นหารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ l1, l2, ... , ln; เขียนระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y1(x), y2(x), ..., yn(x); เขียนนิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ในการแก้ปัญหา Cauchy เราจำเป็นต้องแทนที่นิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปในเงื่อนไขเริ่มต้นและกำหนดค่าของค่าคงที่ c1,..., cn ซึ่งเป็นคำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของอันดับ n
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, ถูกต้อง: 1 ) ถ้า y1(x) และ y2(x) เป็นสองคำตอบของสมการเอกพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) - y2(x) คือคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน 2) ถ้า y1(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) + y2(x) จะเป็นคำตอบของ สมการเอกพันธ์ 3) ถ้า y1(x), y2(x), ..., yn(x) เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้น n ของสมการเอกพันธ์ และ ych(x) - การตัดสินใจโดยพลการสมการไม่เป็นเนื้อเดียวกันจากนั้นสำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เช่นนั้น วิธีแก้ปัญหา y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของอันดับ n
เพื่อหาทางออกเฉพาะของ inhomogeneous สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทางขวามือของรูปแบบ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx) โดยที่ Pk(x), Qm(x) เป็นพหุนาม ของระดับ k และ m ตามนั้น มีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งเรียกว่าวิธีการเลือก
วิธีการเลือกหรือวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนมีดังนี้ คำตอบของสมการที่ต้องการเขียนเป็น: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs โดยที่ Pr(x), Qr(x) คือ พหุนามของดีกรี r = สูงสุด(k, m) พร้อมค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 ปัจจัย xs เรียกว่าปัจจัยเรโซแนนซ์ การสั่นพ้องเกิดขึ้นในกรณีที่รากของสมการคุณลักษณะมีราก l = a ± ib ของหลายหลาก s เหล่านั้น. ถ้าในรากของสมการคุณลักษณะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันมีส่วนจริงที่ตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ในเลขชี้กำลังและส่วนจินตภาพเกิดขึ้นพร้อมกับค่าสัมประสิทธิ์ในการโต้แย้ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวาของสมการ และผลคูณของรูทนี้คือ s จากนั้นในคำตอบเฉพาะที่ต้องการจะมีตัวประกอบเรโซแนนซ์ xs หากไม่มีความบังเอิญ (s=0) แสดงว่าไม่มีปัจจัยพ้อง
แทนที่นิพจน์สำหรับคำตอบเฉพาะทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้พหุนามทั่วไปที่มีรูปแบบเดียวกันกับพหุนามทางด้านขวาของสมการ ซึ่งไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์
พหุนามทั่วไปสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบในรูปแบบ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ที่มีกำลังเท่ากันของ t เท่ากัน การเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยดังกล่าว เราได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 2(r+1) ในค่าที่ไม่รู้จัก 2(r+1) แสดงให้เห็นว่าระบบดังกล่าวมีความสอดคล้องกันและมีโซลูชันเฉพาะ
ให้เราพิจารณากรณีของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวก่อน ค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ที่จุด $M_0(x_0;y_0)$ คือค่าสุดขั้วของฟังก์ชันนี้ ซึ่งเข้าถึงได้ภายใต้เงื่อนไขที่ตัวแปร $x$ และ $y$ ใน บริเวณใกล้เคียงของจุดนี้เป็นไปตามสมการข้อจำกัด $\ varphi(x,y)=0$
ชื่อ "เงื่อนไข" สุดโต่งเกิดจากการที่เงื่อนไขเพิ่มเติม $\varphi(x,y)=0$ ถูกกำหนดให้กับตัวแปร หากเป็นไปได้ที่จะแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการการเชื่อมต่อ ดังนั้นปัญหาในการพิจารณาค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขจะลดลงเป็นปัญหาของค่าสุดขั้วปกติของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น ถ้า $y=\psi(x)$ ตามหลังสมการข้อจำกัด จากนั้นแทน $y=\psi(x)$ เป็น $z=f(x,y)$ เราจะได้ฟังก์ชัน $ ตัวแปรหนึ่งตัว z=f\left (x,\psi(x)\right)$ ที่ กรณีทั่วไปอย่างไรก็ตาม วิธีนี้มีประโยชน์น้อย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีอัลกอริทึมใหม่
วิธีคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว
วิธีการของตัวคูณลากรองจ์คือการหาค่าสุดโต่งตามเงื่อนไข ฟังก์ชันลากรองจ์ประกอบด้วย: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (พารามิเตอร์ $\lambda $ เรียกว่าตัวคูณ Lagrange ) เงื่อนไขสุดขั้วที่จำเป็นนั้นกำหนดโดยระบบสมการซึ่งกำหนดจุดที่อยู่นิ่ง:
$$ \left \( \begin(ชิด) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(ชิด)\right.$$
เครื่องหมาย $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$ ถ้า ณ จุดที่อยู่กับที่ $d^2F > 0$ ดังนั้นฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ จะมีเงื่อนไขขั้นต่ำ ณ จุดนี้ แต่ถ้า $d^2F< 0$, то условный максимум.
มีวิธีอื่นในการกำหนดลักษณะของความสุดโต่ง จากสมการข้อจำกัด เราจะได้: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ ดังนั้น ณ จุดที่อยู่กับที่ เรามี:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\right)$$
ปัจจัยที่สอง (อยู่ในวงเล็บ) สามารถแสดงในรูปแบบนี้:
องค์ประกอบของ $\left| \begin(อาร์เรย์) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (อาร์เรย์) \right|$ ซึ่งเป็น Hessian ของฟังก์ชัน Lagrange ถ้า $H > 0$ แล้ว $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0 เช่น เรามีเงื่อนไขขั้นต่ำของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$
หมายเหตุเกี่ยวกับรูปแบบของปัจจัย $H$ แสดงซ่อน
$$ H=-\left|\begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ สิ้นสุด(อาร์เรย์) \right| $$
ในสถานการณ์นี้ กฎที่กำหนดข้างต้นจะเปลี่ยนแปลงดังนี้: ถ้า $H > 0$ ฟังก์ชันจะมีเงื่อนไขขั้นต่ำ และสำหรับ $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวสำหรับเงื่อนไขสุดโต่ง
- เขียนฟังก์ชันลากรองจ์ $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- แก้ระบบ $ \left \( \begin(ชิด) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(ชิด)\right.$
- กำหนดลักษณะของจุดสูงสุดที่แต่ละจุดที่อยู่นิ่งที่พบในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้วิธีการใดๆ ต่อไปนี้:
- เขียนดีเทอร์มิแนนต์ $H$ แล้วหาเครื่องหมายของมัน
- โดยคำนึงถึงสมการข้อจำกัด คำนวณเครื่องหมายของ $d^2F$
วิธีคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว
สมมติว่าเรามีฟังก์ชัน $n$ ตัวแปร $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ และ $m$ สมการข้อจำกัด ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
ระบุตัวคูณ Lagrange เป็น $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของเงื่อนไขสุดขั้วจะได้รับจากระบบสมการซึ่งพบพิกัดของจุดที่อยู่กับที่และค่าของตัวคูณลากรองจ์:
$$\left\(\begin(ชิด) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(ชิด) \right.$$
เป็นไปได้ที่จะทราบว่าฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำหรือสูงสุดตามเงื่อนไขที่จุดพบหรือไม่ โดยใช้เครื่องหมาย $d^2F$ เหมือนแต่ก่อน ถ้าที่จุดที่พบ $d^2F > 0$ ฟังก์ชันจะมีเงื่อนไขขั้นต่ำ แต่ถ้า $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ $\left| \begin(อาร์เรย์) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ ที่เน้นสีแดงในเมทริกซ์ $L$ คือ Hessian ของฟังก์ชัน Lagrange เราใช้กฎต่อไปนี้:
- ถ้าสัญญาณของผู้เยาว์ที่มุมคือ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ เมทริกซ์ $L$ ตรงกับเครื่องหมาย $(-1)^m$ ดังนั้นจุดหยุดนิ่งที่ศึกษาคือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$
- ถ้าสัญญาณของผู้เยาว์ที่มุมคือ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ สลับกัน และเครื่องหมายของรอง $H_(2m+1)$ พ้องกับเครื่องหมายของตัวเลข $(-1)^(m+1 )$ แล้วจุดที่อยู่นิ่งที่ศึกษาคือจุดสูงสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$
ตัวอย่าง #1
ค้นหาค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ภายใต้เงื่อนไข $x^2+y^2=10$
การตีความทางเรขาคณิตของปัญหานี้มีดังนี้: จำเป็นต้องค้นหาที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดใช้กับระนาบ $z=x+3y$ สำหรับจุดตัดกับทรงกระบอก $x^2+y^2=10$
ค่อนข้างยากที่จะแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการข้อจำกัดและแทนค่าลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ดังนั้นเราจะใช้วิธีลากรองจ์
แทน $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\บางส่วน x)=1+2\แลมบ์ดา x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y $$
ให้เราเขียนระบบสมการเพื่อกำหนดจุดที่อยู่นิ่งของฟังก์ชันลากรองจ์:
$$ \left \( \begin(ชิด) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0 \end (ชิด)\right.$$
ถ้าเราถือว่า $\lambda=0$ สมการแรกจะกลายเป็น: $1=0$ ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นบอกว่า $\lambda\neq 0$ ภายใต้เงื่อนไข $\lambda\neq 0$ จากสมการที่หนึ่งและสอง เรามี: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. แทนค่าที่ได้รับลงในสมการที่สาม เราได้รับ:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(ชิด) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2) \end(ชิด) \right.\\ \begin(ชิด) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(ชิด) $$
ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาสองวิธี: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ และ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$ ให้เราหาลักษณะของจุดสูงสุดที่แต่ละจุดที่อยู่นิ่ง: $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ $H$ ที่แต่ละจุด
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\แลมบ์ดา;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(อาร์เรย์) \right|= \left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(อาร์เรย์) \right|= 8\cdot\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(อาร์เรย์) \right| $$
ที่จุด $M_1(1;3)$ เราได้รับ: $H=8\cdot\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(อาร์เรย์) \right|= 8\cdot\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(อาร์เรย์) \right|=40 > 0$ ดังนั้นที่จุด $M_1(1;3)$ ฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ มีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=z(1;3)=10$
ในทำนองเดียวกัน ที่จุด $M_2(-1;-3)$ เราพบ: $H=8\cdot\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(อาร์เรย์) \right|= 8\cdot\left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(อาร์เรย์) \right|=-40$ ตั้งแต่ $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ฉันทราบว่าแทนที่จะคำนวณค่าของดีเทอร์มีแนนต์ $H$ ในแต่ละจุด จะสะดวกกว่ามากที่จะขยายใน ปริทัศน์. เพื่อไม่ให้ข้อความยุ่งเหยิงในรายละเอียด ฉันจะซ่อนวิธีนี้ไว้ใต้โน้ต
กำหนดสัญลักษณ์ $H$ ในรูปแบบทั่วไป แสดงซ่อน
$$ H=8\cdot\left|\begin(อาร์เรย์)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(อาร์เรย์)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right) $$
โดยหลักการแล้ว เห็นได้ชัดว่า $H$ มีเครื่องหมายใด เนื่องจากไม่มีจุดที่ $M_1$ หรือ $M_2$ ตรงกับจุดกำเนิด ดังนั้น $y^2+x^2>0$ ดังนั้น เครื่องหมายของ $H$ จะอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของ $\lambda$ คุณยังสามารถทำการคำนวณ:
$$ \begin(ชิด) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40 \end(ชิด) $$
คำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของจุดสูงสุดที่จุดคงที่ $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ดีเทอร์มิแนนต์ $H$ ค้นหาเครื่องหมาย $d^2F$ ที่จุดหยุดนิ่งแต่ละจุด:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
ฉันทราบว่าสัญกรณ์ $dx^2$ หมายถึง $dx$ ยกกำลังสอง นั่นคือ $\left(dx\right)^2$ ดังนั้นเราจึงมี: $dx^2+dy^2>0$ ดังนั้นสำหรับ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ เราจะได้ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
ตอบ: ที่จุด $(-1;-3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=-10$ ที่จุด $(1;3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=10$
ตัวอย่าง #2
ค้นหาค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ภายใต้เงื่อนไข $x+y=0$
วิธีแรก (วิธีการคูณ Lagrange)
แสดงว่า $\varphi(x,y)=x+y$ เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(ชิด) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(ชิด)\right.$$
เมื่อแก้ปัญหาระบบ เราจะได้: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ and $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$ เรามีจุดที่อยู่นิ่งสองจุด: $M_1(0;0)$ และ $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$ ให้เราหาลักษณะของจุดสูงสุดในแต่ละจุดที่อยู่นิ่งโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ $H$
$$ H=\ซ้าย| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(อาร์เรย์) \right|= \left| \begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(อาร์เรย์) \right|=-10-18y $$
ที่จุด $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจึงมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=\frac(500)(243)$
เราตรวจสอบลักษณะของจุดสูงสุดในแต่ละจุดด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน โดยยึดตามสัญลักษณ์ของ $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$
จากสมการข้อจำกัด $x+y=0$ เราได้: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
เนื่องจาก $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ดังนั้น $M_1(0;0)$ คือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$ ในทำนองเดียวกัน $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
วิธีที่สอง
จากสมการข้อจำกัด $x+y=0$ เราได้รับ: $y=-x$ การแทนที่ $y=-x$ ลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ เราจะได้ฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปร $x$ สมมติว่าฟังก์ชันนี้เป็น $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2 $$
ดังนั้นเราจึงลดปัญหาในการหาค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวให้เป็นปัญหาในการหาค่าสุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
ได้คะแนน $M_1(0;0)$ และ $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ การวิจัยต่อไปทราบจากหลักสูตร แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ตรวจสอบเครื่องหมายของ $u_(xx)^("")$ ที่แต่ละจุดที่อยู่นิ่ง หรือตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ $u_(x)^(")$ ที่จุดที่พบ เราได้ข้อสรุปเช่นเดียวกับในโซลูชันแรก ตัวอย่างเช่น ตรวจสอบเครื่องหมาย $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
เนื่องจาก $u_(xx)^("")(M_1)>0$ ดังนั้น $M_1$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $u(x)$ ขณะที่ $u_(\min)=u(0)=0 $ . เนื่องจาก $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
ค่าของฟังก์ชัน $u(x)$ ภายใต้เงื่อนไขการเชื่อมต่อที่กำหนดนั้นตรงกับค่าของฟังก์ชัน $z(x,y)$ เช่น ค่า extrema ที่พบของฟังก์ชัน $u(x)$ คือค่า extrema ตามเงื่อนไขที่ต้องการของฟังก์ชัน $z(x,y)$
ตอบ: ที่จุด $(0;0)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=0$ ที่จุด $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งเราค้นหาธรรมชาติของค่า extremum โดยกำหนดเครื่องหมายของ $d^2F$
ตัวอย่าง #3
ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน $z=5xy-4$ หากตัวแปร $x$ และ $y$ เป็นค่าบวกและเป็นไปตามสมการข้อจำกัด $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$
เขียนฟังก์ชันลากรองจ์: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$ ค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชัน Lagrange:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(ชิด) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(ชิด) \right.$$
การแปลงเพิ่มเติมทั้งหมดดำเนินการโดยคำนึงถึง $x > 0; \; y > 0$ (สิ่งนี้กำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา) จากสมการที่สอง เราแสดง $\lambda=-\frac(5x)(y)$ และแทนค่าที่พบลงในสมการแรก: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$ แทน $x=2y$ ลงในสมการที่สาม เราจะได้: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.
เนื่องจาก $y=1$ ดังนั้น $x=2$, $\lambda=-10$ ลักษณะของจุดสูงสุดที่จุด $(2;1)$ ถูกกำหนดจากเครื่องหมายของ $d^2F$
$$ F_(xx)^("")=\frac(\แลมบ์ดา)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\แลมบ์ดา $$
ตั้งแต่ $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ดังนั้น:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y) $$
โดยหลักการแล้ว คุณสามารถแทนที่พิกัดของจุดที่อยู่กับที่ $x=2$, $y=1$ และพารามิเตอร์ $\lambda=-10$ ได้ทันที ซึ่งจะได้รับ:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
อย่างไรก็ตาม ในปัญหาอื่นๆ สำหรับเงื่อนไขสุดโต่ง อาจมีจุดที่หยุดนิ่งหลายจุด ในกรณีเช่นนี้ จะเป็นการดีกว่าหากแสดง $d^2F$ ในรูปแบบทั่วไป แล้วแทนที่พิกัดของจุดหยุดนิ่งที่พบแต่ละจุดลงในนิพจน์ผลลัพธ์:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
แทนที่ $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ เราจะได้:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2 $$
ตั้งแต่ $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
ตอบ: ที่จุด $(2;1)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=6$
ในส่วนถัดไป เราจะพิจารณาการประยุกต์ใช้เมธอด Lagrange สำหรับฟังก์ชัน มากกว่าตัวแปร
วิธีการกำหนดเงื่อนไขสุดขั้วเริ่มต้นด้วยการสร้างฟังก์ชัน Lagrange เสริมซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน x 1 , x 2 , ..., x น ซึ่งเป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ซี . ปล่อยให้ปัญหาในการกำหนดเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชัน z=ฉ(X) ภายใต้ข้อจำกัด φ ผม ( x 1 , x 2 , ..., x น ) = 0, ผม = 1, 2, ..., ม , ม < น
เขียนฟังก์ชัน
ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์. เอ็กซ์ , - ปัจจัยคงที่ ( ตัวคูณ Lagrange). โปรดทราบว่าตัวคูณ Lagrange สามารถให้ความหมายทางเศรษฐกิจได้ ถ้า ฉ(x 1 , x 2 , ..., x น ) - รายได้ตามแผน X = (x 1 , x 2 , ..., x น ) และฟังก์ชัน φ ผม (x 1 , x 2 , ..., x น ) เป็นต้นทุนของทรัพยากร i-th ที่สอดคล้องกับแผนนี้ เอ็กซ์ , - ราคา (การประเมิน) ของทรัพยากร i-th ซึ่งแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าสูงสุด ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงขนาดของทรัพยากร i-th (ค่าประมาณส่วนเพิ่ม) แอล(เอ็กซ์) - การทำงาน n+ม ตัวแปร (x 1 , x 2 , ..., x น , λ 1 , λ 2 , ..., λ น ) . การกำหนดจุดหยุดนิ่งของฟังก์ชันนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาของระบบสมการ
|
|
มันง่ายที่จะเห็นว่า
. ดังนั้น ปัญหาในการหาเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชัน z=ฉ(X)
ลดการหาค่าสุดขีดเฉพาะที่ของฟังก์ชัน แอล(เอ็กซ์)
. หากพบจุดหยุดนิ่งคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของสุดขั้วในกรณีที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว - การศึกษาสัญญาณของส่วนต่างที่สอง ง
2
แอล(เอ็กซ์)
ที่จุดหยุดนิ่งโดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรจะเพิ่มขึ้น ∆x
ผม
- เกี่ยวข้องโดยความสัมพันธ์
|
|
ได้จากการแยกความแตกต่างของสมการข้อจำกัด
การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นที่มีนิรนามสองตัวโดยใช้เครื่องมือ Solver
การตั้งค่า หาทางออกช่วยให้คุณหาทางออกให้กับระบบได้ สมการไม่เชิงเส้นมีสองสิ่งที่ไม่รู้จัก:
ที่ไหน 
- ฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นของตัวแปร x
และ
ย
,
เป็นค่าคงที่โดยพลการ
เรียกได้ว่าเป็นคู่ที่ x , ย ) เป็นคำตอบของระบบสมการ (10) ก็ต่อเมื่อมันเป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้ในสองตัวแปรที่ไม่รู้จัก:
กับในทางกลับกัน คำตอบของระบบ (10) คือจุดตัดของเส้นโค้งสองเส้น: ฉ ] (x, ย) = ค และ ฉ 2 (x, y) = ค 2 บนพื้นผิว เอ็กซ์โอวาย.
จากนี้ไปจะเป็นวิธีการค้นหารากของระบบ สมการไม่เชิงเส้น:
กำหนด (อย่างน้อยโดยประมาณ) ช่วงเวลาของการมีอยู่ของคำตอบของระบบสมการ (10) หรือสมการ (11) ที่นี่จำเป็นต้องคำนึงถึงประเภทของสมการที่รวมอยู่ในระบบ โดเมนของคำจำกัดความของแต่ละสมการ ฯลฯ บางครั้งจะใช้การเลือกค่าประมาณเริ่มต้นของการแก้ปัญหา
จัดตารางคำตอบของสมการ (11) สำหรับตัวแปร x และ y ในช่วงที่เลือก หรือสร้างกราฟของฟังก์ชัน ฉ 1 (x, ย) = ซี และ ฉ 2 (x, y) = ค 2 (ระบบ(10)).
จำกัด รากที่ถูกกล่าวหาของระบบสมการ - ค้นหาหลาย ๆ ค่าต่ำสุดสร้างตารางรากของสมการ (11) จากตาราง หรือกำหนดจุดตัดของเส้นโค้งที่รวมอยู่ในระบบ (10)
4. ค้นหารากของระบบสมการ (10) โดยใช้ส่วนเสริม ค้นหาวิธีแก้ปัญหา
วิธีการของตัวคูณ Lagrange
วิธีคูณแบบลากรองจ์เป็นหนึ่งในวิธีการที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาได้ ไม่ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น.
การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเป็นส่วน การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ซึ่งศึกษาวิธีการแก้ปัญหาสุดโต่งด้วยฟังก์ชันและพื้นที่วัตถุประสงค์แบบไม่เชิงเส้น แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้กำหนดโดยข้อจำกัดที่ไม่เชิงเส้น ในทางเศรษฐศาสตร์ สิ่งนี้สอดคล้องกับความจริงที่ว่าผลลัพธ์ (ประสิทธิภาพ) เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างไม่สมส่วนกับการเปลี่ยนแปลงในระดับของการใช้ทรัพยากร (หรือเทียบเท่ากับขนาดของการผลิต): ตัวอย่างเช่น เนื่องจากการแบ่งต้นทุนการผลิตในองค์กรออกเป็นตัวแปร และค่าคงที่ตามเงื่อนไข เนื่องจากความต้องการสินค้าอิ่มตัวเมื่อแต่ละหน่วยที่ตามมาขายได้ยากกว่าหน่วยก่อนหน้า ฯลฯ
ปัญหาของการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเป็นปัญหาในการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บางอย่าง
ฉ(x 1 ,…x n), ฉ (x) → สูงสุด
ภายใต้เงื่อนไข
gj (x 1 ,…x n)≥0, ช (x) ≤ ข , x ≥ 0
ที่ไหน x-เวกเตอร์ของตัวแปรที่ต้องการ
ฉ (x) - ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์;
ช (x) เป็นฟังก์ชันข้อจำกัด (หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง);
ข - เวกเตอร์ของค่าคงที่จำกัด
วิธีแก้ปัญหาของโปรแกรมไม่เชิงเส้น (สูงสุดหรือต่ำสุดทั่วโลก) สามารถเป็นของขอบเขตหรือภายในของชุดที่ยอมรับได้
ตรงกันข้ามกับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น ในปัญหาการโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น ค่าที่เหมาะสมที่สุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนขอบเขตของขอบเขตที่กำหนดโดยข้อจำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่งปัญหาคือการเลือกค่าตัวแปรที่ไม่เป็นลบภายใต้ระบบข้อ จำกัด ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งจะทำให้ฟังก์ชันสูงสุด (หรือต่ำสุด) สำเร็จ ในกรณีนี้ รูปแบบของทั้งฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือความไม่เท่าเทียมกันถูกกำหนด อาจจะ กรณีที่แตกต่างกัน: ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไม่เป็นเชิงเส้น และข้อจำกัดเป็นเชิงเส้น ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นเชิงเส้น และข้อจำกัด (อย่างน้อยหนึ่งข้อ) ไม่เป็นเชิงเส้น ทั้งฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดไม่เป็นเชิงเส้น
ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเกิดขึ้นใน วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ, เทคโนโลยี , เศรษฐศาสตร์ , คณิตศาสตร์ , ในสาขาวิชา ความสัมพันธ์ทางธุรกิจและในศาสตร์แห่งการปกครอง
ตัวอย่างเช่น การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเกี่ยวข้องกับปัญหาเศรษฐกิจขั้นพื้นฐาน ดังนั้นในปัญหาของการจัดสรรทรัพยากรที่จำกัด ประสิทธิภาพสูงสุดหรือหากศึกษาผู้บริโภค การบริโภคในที่ที่มีข้อจำกัดที่แสดงเงื่อนไขของการขาดแคลนทรัพยากร ในการกำหนดทั่วไปดังกล่าว การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์อาจเป็นไปไม่ได้ แต่ใน การใช้งานเฉพาะสามารถกำหนดรูปแบบเชิงปริมาณของฟังก์ชันทั้งหมดได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น, องค์กรอุตสาหกรรมผลิตผลิตภัณฑ์พลาสติก ประสิทธิภาพการผลิตที่นี่วัดจากผลกำไร และข้อจำกัดถูกตีความเป็นแรงงานที่มีอยู่ พื้นที่การผลิต ผลผลิตของอุปกรณ์ ฯลฯ
วิธี "ประหยัดต้นทุน" ยังเหมาะกับโครงร่างการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นอีกด้วย วิธีนี้ถูกออกแบบมาเพื่อใช้ในการตัดสินใจในราชการ ฟังก์ชั่นทั่วไปประสิทธิภาพคือสวัสดิการ ปัญหาในการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นสองปัญหาเกิดขึ้นที่นี่ ปัญหาแรกคือการเพิ่มเอฟเฟกต์ให้ได้สูงสุดโดยมีค่าใช้จ่ายจำกัด อย่างที่สองคือการลดต้นทุนให้น้อยที่สุด โดยมีเงื่อนไขว่าเอฟเฟกต์จะอยู่เหนือระดับขั้นต่ำที่กำหนด ปัญหานี้มักจะสร้างแบบจำลองได้ดีโดยใช้โปรแกรมที่ไม่ใช่เชิงเส้น
ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นมีประโยชน์ในการตัดสินใจของรัฐบาล ผลลัพธ์ที่ได้คือคำแนะนำ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบสมมติฐานและความถูกต้องของการกำหนดสูตรของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นก่อนที่จะตัดสินใจขั้นสุดท้าย
ปัญหาไม่เชิงเส้นมีความซับซ้อน มักจะทำให้ง่ายขึ้นโดยนำไปสู่ปัญหาเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้ มีข้อสันนิษฐานแบบมีเงื่อนไขว่าในพื้นที่เฉพาะ ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะเพิ่มหรือลดตามสัดส่วนการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระ วิธีการนี้เรียกว่าวิธีการประมาณเส้นตรงแบบชิ้น อย่างไรก็ตาม ใช้ได้กับปัญหาไม่เชิงเส้นบางประเภทเท่านั้น
ปัญหาไม่เชิงเส้นภายใต้เงื่อนไขบางประการสามารถแก้ไขได้โดยใช้ฟังก์ชัน Lagrange: เมื่อพบจุดอานแล้ว พวกเขาก็จะพบวิธีแก้ปัญหาด้วย ในบรรดาอัลกอริธึมการคำนวณของ N. p. สถานที่ขนาดใหญ่ถูกครอบครองโดย วิธีการไล่ระดับสี. ไม่มีวิธีการสากลสำหรับปัญหาไม่เชิงเส้น และแน่นอนว่าอาจไม่มี เนื่องจากวิธีการเหล่านี้มีความหลากหลายอย่างมาก ปัญหาหลายขั้วนั้นแก้ไขได้ยากเป็นพิเศษ
วิธีการหนึ่งที่ช่วยลดปัญหาของโปรแกรมไม่เชิงเส้นในการแก้ระบบสมการคือวิธีการ ตัวคูณไม่แน่นอนลากรองจ์.
ด้วยความช่วยเหลือของวิธีการคูณ Lagrange หนึ่งสร้างโดยพื้นฐานแล้ว เงื่อนไขที่จำเป็นช่วยให้สามารถระบุจุดที่เหมาะสมในปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยข้อจำกัดในรูปของความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ ปัญหาเกี่ยวกับข้อจำกัดจะกลายเป็นปัญหาที่เทียบเท่ากัน การเพิ่มประสิทธิภาพที่ไม่มีเงื่อนไขซึ่งมีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักปรากฏขึ้น เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์
วิธีตัวคูณของ Lagrange ประกอบด้วยการลดปัญหาสำหรับค่าสุดขั้วที่มีเงื่อนไขไปจนถึงปัญหาสำหรับค่าสุดขั้วที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันเสริม - ที่เรียกว่า ฟังก์ชันของลากรองจ์
สำหรับปัญหาความสุดขั้วของฟังก์ชัน ฉ(x 1 , x 2 ,..., x n) ภายใต้เงื่อนไข (สมการคัปปลิ้ง) φ ผม(x 1 , x 2 , ..., x น) = 0, ผม= 1, 2,..., มฟังก์ชัน Lagrange มีรูปแบบ
L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ ฉัน -1 ม. λ ฉัน φ ฉัน (x 1, x 2… x n)
ตัวคูณ λ 1 , λ 2 , ..., λmเรียกว่า ตัวคูณ Lagrange
ถ้าปริมาณ x 1 , x 2 , ..., xn , λ 1 , λ 2 , ..., λmเป็นคำตอบของสมการที่กำหนดจุดหยุดนิ่งของฟังก์ชันลากรองจ์ กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ คือคำตอบของระบบสมการ
จากนั้นภายใต้สมมติฐานทั่วไปที่เพียงพอ x 1 , x 2 , ..., xn ส่งค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f
พิจารณาปัญหาของการย่อฟังก์ชันของตัวแปร n ตัวให้เล็กที่สุด โดยคำนึงถึงข้อจำกัดหนึ่งข้อในรูปของความเท่าเทียมกัน:
ย่อ f(x 1, x 2… xn) (1)
ด้วยข้อจำกัด ชั่วโมง 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
ตามวิธีตัวคูณของ Lagrange ปัญหานี้จะเปลี่ยนเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ไม่มีข้อจำกัดต่อไปนี้:
ลดขนาด L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
โดยที่ฟังก์ชัน L(х;λ) เรียกว่าฟังก์ชันลากรองจ์
λ เป็นค่าคงที่ที่ไม่รู้จัก ซึ่งเรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ ไม่มีการกำหนดข้อกำหนดเกี่ยวกับเครื่องหมายของ λ
ให้ที่ ตั้งค่าλ=λ 0 ค่าต่ำสุดแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x,λ) ที่เกี่ยวกับ x ถึงจุด x=x 0 และ x 0 เป็นไปตามสมการ h 1 (x 0)=0 ดังที่เห็นได้ง่าย x 0 จะย่อ (1) โดยคำนึงถึง (2) เนื่องจากสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่น่าพอใจ (2) ชั่วโมง 1 (x)=0 และ L(x,λ)= นาที f(x).
แน่นอนว่าจำเป็นต้องเลือกค่า λ=λ 0 ในลักษณะที่พิกัดของจุดต่ำสุดที่ไม่มีเงื่อนไข x 0 เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (2) สิ่งนี้สามารถทำได้หากพิจารณา λ เป็นตัวแปร เราพบค่าต่ำสุดแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน (3) ในรูปแบบของฟังก์ชัน λ จากนั้นเลือกค่าของ λ ที่ความเท่าเทียมกัน (2) พอใจ ลองอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง
ย่อ f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
ด้วยข้อจำกัด h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ไม่มีข้อจำกัดที่เกี่ยวข้องเขียนไว้ดังนี้:
ย่อ L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
การตัดสินใจ. เราได้รับสององค์ประกอบของการไล่ระดับสี L เป็นศูนย์
→ x 1 0 = λ
→ x 2 0 =λ/2
ในการตรวจสอบว่าจุดหยุดนิ่ง x° ตรงกับค่าต่ำสุดหรือไม่ เราจะคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์เฮสเซียนของฟังก์ชัน L(x; u) ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันของ x
ซึ่งกลายเป็นผลบวกแน่นอน
หมายความว่า L(x, u) เป็นฟังก์ชันนูนของ x ดังนั้น พิกัด x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 กำหนดจุดต่ำสุดของโลก หาค่าที่เหมาะสมที่สุดของ λ ได้โดยการแทนค่า x 1 0 และ x 2 0 ลงในสมการ 2x 1 +x 2 =2 โดยที่ 2λ+λ/2=2 หรือ λ 0 =4/5 ดังนั้น ค่าต่ำสุดตามเงื่อนไขจะอยู่ที่ x 1 0 =4/5 และ x 2 0 =2/5 และเท่ากับขั้นต่ำ f(x)=4/5
เมื่อแก้ปัญหาจากตัวอย่าง เราถือว่า L(x; λ) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x 1 และ x 2 และนอกจากนี้ ถือว่าค่าของพารามิเตอร์ λ ได้รับเลือกเพื่อให้เป็นไปตามข้อจำกัด ถ้าการแก้ปัญหาของระบบ
J=1,2,3,…,น
เช่น ฟังก์ชั่นที่ชัดเจนไม่สามารถรับ λ ได้ จากนั้นจึงหาค่าของ x และ λ ได้โดยการแก้ระบบต่อไปนี้ซึ่งประกอบด้วยสมการ n + 1 โดยที่ไม่ทราบจำนวน n + 1:
J=1,2,3,…,n., ชั่วโมง 1 (x)=0
เพื่อค้นหาทั้งหมด การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของระบบนี้ คุณสามารถใช้วิธีการค้นหาด้วยตัวเลข (เช่น วิธีการของนิวตัน) สำหรับแต่ละวิธีแก้ปัญหา () เราควรคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันของ x และค้นหาว่าเมทริกซ์นี้เป็นบวกแน่นอนหรือไม่ ( ขั้นต่ำในท้องถิ่น) หรือกำหนดไว้ในเชิงลบ (สูงสุดในท้องถิ่น)
วิธีการคูณแบบลากรองจ์สามารถขยายไปถึงกรณีที่ปัญหามีข้อจำกัดหลายอย่างในรูปของความเท่าเทียมกัน พิจารณาปัญหาทั่วไปที่ต้องใช้
ย่อ f(x)
ภายใต้ข้อจำกัด h k =0, k=1, 2, ..., K.
ฟังก์ชัน Lagrange ใช้เวลา มุมมองถัดไป:
ที่นี่ λ 1 , λ 2 , ..., λk- ตัวคูณ Lagrange เช่น พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักซึ่งจำเป็นต้องกำหนดค่า เราได้รับอนุพันธ์ย่อยของ L เท่ากับ x ถึงศูนย์ ระบบต่อไป n สมการที่ไม่รู้จัก n:
หากเป็นการยากที่จะหาทางออกให้กับระบบข้างต้นในรูปแบบของฟังก์ชันของเวกเตอร์ λ ก็เป็นไปได้ที่จะขยายระบบโดยรวมข้อ จำกัด ในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน
คำตอบของระบบขยายที่ประกอบด้วยสมการ n+K โดยไม่ทราบค่า n+K จุดที่นิ่งฟังก์ชัน L จากนั้นจะมีการดำเนินการตรวจสอบค่าต่ำสุดหรือสูงสุดซึ่งดำเนินการบนพื้นฐานของการคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L ซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันของ x ซึ่งคล้ายกับวิธีการทำ ในกรณีที่มีปัญหากับข้อจำกัดข้อหนึ่ง สำหรับปัญหาบางอย่าง ระบบสมการ n+K ที่ขยายออกไปโดยไม่ทราบค่า n+K อาจไม่มีคำตอบ และวิธีการคูณแบบลากรองจ์กลายเป็นว่าใช้ไม่ได้ อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่างานดังกล่าวค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ
พิจารณา กรณีพิเศษ งานทั่วไปการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น สมมติว่าระบบข้อจำกัดประกอบด้วยสมการเท่านั้น ไม่มีเงื่อนไขสำหรับตัวแปรที่ไม่เป็นค่าลบ และและ - ฟังก์ชันต่อเนื่องกันพร้อมกับอนุพันธ์บางส่วน ดังนั้นเมื่อแก้ระบบสมการ (7) แล้ว จะได้คะแนนทั้งหมดที่ฟังก์ชัน (6) สามารถมีค่ามากได้
อัลกอริทึมของวิธีการคูณ Lagrange
1. เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์
2. เราพบอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์ที่เกี่ยวกับตัวแปร x J ,λ i และเท่ากับศูนย์
3. เราแก้ระบบสมการ (7) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสามารถมีสุดขั้วได้
4. ในบรรดาจุดที่น่าสงสัยของจุดสูงสุด เราพบจุดที่ถึงจุดสูงสุดและคำนวณค่าของฟังก์ชัน (6) ที่จุดเหล่านี้
ตัวอย่าง.
ข้อมูลเริ่มต้น:ตามแผนการผลิต องค์กรจำเป็นต้องผลิตสินค้า 180 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้สองวิธีทางเทคโนโลยี ในการผลิตผลิตภัณฑ์ x 1 ในวิธีที่ 1 ต้นทุนคือ 4x 1 + x 1 2 รูเบิล และในการผลิตผลิตภัณฑ์ x 2 ในวิธีที่ 2 จะมีราคา 8x 2 + x 2 2 รูเบิล กำหนดว่าแต่ละวิธีควรทำกี่ผลิตภัณฑ์เพื่อให้ต้นทุนการผลิตน้อยที่สุด
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับปัญหามีรูปแบบ
® นาทีภายใต้เงื่อนไข x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0
1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์
.
2.
เราคำนวณอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวกับ x 1, x 2, λ และเทียบเป็นศูนย์: 
3.
การแก้ระบบสมการที่เป็นผลลัพธ์ เราพบ x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89
4. เมื่อทำการแทนที่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ x 2 \u003d 180-x 1 เราได้ฟังก์ชันของตัวแปรเดียวคือ f 1 \u003d 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2
คำนวณหรือ 4x 1 -364=0 ,
เราจึงได้ x 1 * =91, x 2 * =89
คำตอบ: จำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยวิธีแรกคือ x 1 \u003d 91 โดยวิธีที่สอง x 2 \u003d 89 ในขณะที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือ 17278 รูเบิล
| ชื่อพารามิเตอร์ | ความหมาย |
| หัวข้อบทความ: | วิธีลากรองจ์ |
| รูบริก (หมวดใจความ) | คณิตศาสตร์ |
ในการค้นหาพหุนามหมายถึงการกำหนดค่าของสัมประสิทธิ์ 
. ในการทำเช่นนี้ โดยใช้เงื่อนไขการแก้ไข คุณสามารถสร้างระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE)
ดีเทอร์มีแนนต์ของ SLAE นี้มักเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ Vandermonde ดีเทอร์มิแนนต์ Vandermonde ไม่เท่ากับศูนย์เมื่อสำหรับ นั่นคือในกรณีที่ไม่มีโหนดที่ตรงกันในตารางการค้นหา อย่างไรก็ตาม, มันสามารถเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาและโซลูชันนี้ไม่เหมือนใคร. การแก้ SLAE และการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก เราสามารถสร้างพหุนามการแก้ไข
พหุนามที่ตรงตามเงื่อนไขของการประมาณค่า เมื่อทำการประมาณค่าโดยวิธี Lagrange จะถูกสร้างขึ้นเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของพหุนามระดับ n:
พหุนาม เรียก ขั้นพื้นฐานพหุนาม เพื่อที่จะ พหุนามลากรองจ์ตรงตามเงื่อนไขการแก้ไขเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับพหุนามพื้นฐานของมัน เงื่อนไขต่อไปนี้:
สำหรับ 
.
หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ เราก็มี:
นอกจากนี้, การปฏิบัติตามเงื่อนไขที่กำหนดสำหรับพหุนามพื้นฐานหมายความว่าเงื่อนไขการแก้ไขก็เป็นไปตามนั้นเช่นกัน.
ให้เรากำหนดรูปแบบของพหุนามพื้นฐานตามข้อ จำกัด ที่กำหนดไว้
เงื่อนไขที่ 1:ที่ .
เงื่อนไขที่ 2: .
สุดท้าย สำหรับพหุนามพื้นฐาน เราเขียนได้ดังนี้
จากนั้นแทนนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์สำหรับพหุนามพื้นฐานลงในพหุนามดั้งเดิม เราจะได้รูปแบบสุดท้ายของพหุนามลากรองจ์:
แบบฟอร์มส่วนตัวพหุนาม Lagrange ที่ มักเรียกว่าสูตรการแก้ไขเชิงเส้น:
.
พหุนาม Lagrange ที่มักจะเรียกว่าสูตรการแก้ไขกำลังสอง:
วิธีลากรองจ์ - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "วิธีลากรองจ์" 2017, 2018.
รีโมทคอนโทรลเชิงเส้น คำนิยาม. การควบคุมประเภทเช่น เชิงเส้นที่เกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของมันเรียกว่าเชิงเส้น สำหรับวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว พิมพ์ ur-thลองพิจารณาสองวิธี: วิธี Lagrange และวิธี Bernoulli ลองพิจารณา DE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน
คำนิยาม. DU เรียกว่าเอกพันธ์หาก f-i สามารถแสดงเป็น f-i โดยสัมพันธ์กับตัวอย่างการโต้แย้ง ชื่อ F-th ที่เป็นเนื้อเดียวกันการวัดถ้า ตัวอย่าง: 1) - ลำดับที่ 1 ของความสม่ำเสมอ 2) - ลำดับที่ 2 ของความสม่ำเสมอ 3)- คำสั่งซื้อเป็นศูนย์เอกภาพ (เอกพันธ์แบบง่ายๆ... .
มีภาระงานมาก ความสำคัญอย่างยิ่งในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ นี่คือการคำนวณ ตัวอย่างเช่น รายได้สูงสุด กำไร ต้นทุนขั้นต่ำ ขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว: ทรัพยากร สินทรัพย์การผลิต ฯลฯ ทฤษฎีการหาค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน... .
3. 2. 1. DE พร้อมตัวแปรแยก S.R. 3. ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ เทคโนโลยี และเศรษฐศาสตร์ เรามักจะต้องรับมือ สูตรเชิงประจักษ์, เช่น. สูตรที่รวบรวมบนพื้นฐานของการประมวลผลข้อมูลทางสถิติหรือ ...
จะเริ่มต้นเป็นติวเตอร์ได้อย่างไร?
การเรียนภาษาอังกฤษทางไกล
คำกริยาภาษาอังกฤษปกติและผิดปกติ