ตัวอย่างวิธีการคูณลากรองจ์ วิธีคูณลากรองจ์
วิธีการแก้. ค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชัน F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 โดยใช้ฟังก์ชัน Lagrange:
ที่ไหน
เป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของเวกเตอร์
- ข้อจำกัดโดยปริยาย (i=1..n)
เนื่องจาก ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์, ขึ้นอยู่กับการปรับให้เหมาะสม ในปัญหานี้ ฟังก์ชันจะทำหน้าที่:
F(X) = 9 x 1 + x 1 2 +6 x 2 + x 2 2
ลองเขียนข้อจำกัดของปัญหาใหม่ในรูปแบบโดยปริยาย:
เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange เสริม:
= 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 + λ(x 1 +x 2 -150)
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันลากรองจ์คือความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเมื่อเทียบกับตัวแปร x i และ ตัวคูณไม่มีกำหนด λ.
มาสร้างระบบกันเถอะ:
∂L/∂x 1 = 2 x 1 +λ+9 = 0
∂L/∂x 2 = λ+2 x 2 +6 = 0
∂F/∂λ = x 1 + x 2 -150= 0
เราแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์หรือใช้สูตรของแครมเมอร์
เราเขียนระบบในรูปแบบ: 
เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เราสลับบรรทัด: 
ลองเพิ่มบรรทัดที่ 2 ไปที่ 1:
คูณแถวที่ 2 ด้วย (2) คูณแถวที่ 3 ด้วย (-1) มาเพิ่มบรรทัดที่ 3 กันที่ 2: 
คูณแถวที่ 2 ด้วย (-1) ลองเพิ่มบรรทัดที่ 2 ไปที่ 1: 
จากบรรทัดที่ 1 เราแสดง x 3
จากบรรทัดที่ 2 เราแสดง x 2
จากบรรทัดที่ 3 เราแสดง x 1
ดังนั้นเพื่อให้ต้นทุนการผลิตทั้งหมดน้อยที่สุด จำเป็นต้องผลิต x 1 = 74.25; x2 = 75.75.
ออกกำลังกาย. ตามแผนการผลิต องค์กรต้องผลิตผลิตภัณฑ์ 50 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้ 2 วิธีทางเทคโนโลยี ในการผลิต x 1 - ผลิตภัณฑ์ในวิธีที่ 1 ต้นทุนคือ 3x 1 + x 1 2 (ตันรูเบิล) และในการผลิต x 2 - ผลิตภัณฑ์ในวิธีที่ 2 จะเป็น 5x 2 + x 2 2 (ตันรูเบิล). กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์แต่ละวิธีที่ต้องผลิตเพื่อให้ต้นทุนการผลิตรวมน้อยที่สุด
วิธีแก้ไข: เขียนฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัด:
F(X) = 3x 1 +x 1 2 + 5x 2 +x 2 2 → นาที
x 1 + x 2 = 50
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = ฉ(t)
ประกอบด้วยการแทนที่ค่าคงที่โดยพลการ ck ในการแก้ปัญหาทั่วไป
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
ที่เกี่ยวข้อง สมการเอกพันธ์
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
ไปยังฟังก์ชันเสริม ck(t) ซึ่งอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น
ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z1,z2,...,zn ซึ่งรับรองความสามารถในการแก้ไขเฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับ
หากเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ของการรวม ฟังก์ชัน
เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นตรงที่เป็นต้นฉบับ บูรณาการ สมการเอกพันธ์ในที่ที่มีคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงลดเป็นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
วิธีลากรองจ์ (วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ)
วิธีการหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ โดยรู้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์โดยไม่ต้องหาคำตอบเฉพาะ
สำหรับสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, จริง: 1) มี n เส้นตรง สมการแก้สมการอิสระ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) สำหรับค่าใดๆ ของค่าคงที่ c1, c2, ..., cn, ฟังก์ชัน y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) คือ คำตอบของสมการ 3) สำหรับใดๆ ค่าเริ่มต้น x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n ให้ผลลัพธ์ y*(x)=c*1 y1(x ) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเบื้องต้น y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ถูกเรียก วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n
เซตของ n คำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n y1(x), y2(x), ..., yn(x) เรียกว่าระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการ
สำหรับสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีอัลกอริธึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, เช่น จำนวน l คือรูท สมการคุณลักษณะ ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0 ด้านซ้ายของสมการคุณลักษณะเรียกว่าพหุนามเฉพาะของสมการอนุพันธ์เชิงเส้น: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + อัน ดังนั้น ปัญหาของการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่จึงลดลงเป็นการแก้สมการพีชคณิต
ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากจริงต่างกัน n ราก l1№ l2 № ... № ln ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยฟังก์ชัน y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)
ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากจริงอย่างง่าย
ถ้ารากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะซ้ำกัน r ครั้ง (ราก r-fold) ฟังก์ชัน r จะสอดคล้องกับมันในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ถ้า lk=lk+1 = ... = lk+r-1 แล้วใน ระบบพื้นฐานคำตอบของสมการ มีฟังก์ชัน r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).
ตัวอย่างที่ 2 ระบบพื้นฐานของคำตอบและคำตอบทั่วไปสำหรับกรณีของรากจริงหลายตัว
ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากเชิงซ้อน ดังนั้นแต่ละคู่ของรากเชิงซ้อน (ของหลายหลาก 1) เชิงซ้อน lk,k+1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับฟังก์ชันคู่หนึ่ง yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx)
ตัวอย่างที่ 4. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนอย่างง่าย รากจินตภาพ
หากคู่ของรากที่ซับซ้อนมีหลายหลาก r ดังนั้นคู่ดังกล่าว lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสอดคล้องกับฟังก์ชัน exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
ตัวอย่าง 5. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนหลายตัว
ดังนั้น ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ เราควรเขียนสมการลักษณะเฉพาะลงไป ค้นหารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ l1, l2, ... , ln; จดระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y1(x), y2(x), ..., yn(x); เขียนนิพจน์สำหรับคำตอบทั่วไป y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ในการแก้ปัญหา Cauchy เราจำเป็นต้องแทนที่นิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นและกำหนดค่าของค่าคงที่ c1,..., cn ซึ่งเป็นคำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นของลำดับที่ n
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, ถูกต้อง: 1 ) ถ้า y1(x) และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) - y2(x) คือคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน 2) ถ้า y1(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) + y2(x) คือคำตอบของ สมการเอกพันธ์ 3) ถ้า y1(x), y2(x), ..., yn(x) เป็น n คำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเอกพันธ์ และ ych(x) - การตัดสินใจโดยพลการสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดังนั้นสำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เช่นนั้น สารละลาย y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1
นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) เรียกว่า คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันเชิงเส้นของลำดับที่ n
เพื่อหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของความเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทางด้านขวาของแบบฟอร์ม: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx) โดยที่ Pk(x), Qm(x) เป็นพหุนาม ของดีกรี k และ m ตามลำดับ มีอัลกอริธึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างโซลูชันเฉพาะ เรียกว่าวิธีการคัดเลือก
วิธีการคัดเลือกหรือวิธีสัมประสิทธิ์ความไม่แน่นอนมีดังนี้ คำตอบของสมการที่ต้องการเขียนเป็น: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs โดยที่ Pr(x), Qr(x) คือ พหุนามของดีกรี r = max(k, m) โดยไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 แฟกเตอร์ xs เรียกว่า แฟกเตอร์เรโซแนนซ์ การสั่นพ้องเกิดขึ้นในกรณีที่รากของสมการคุณลักษณะมีราก l = a ± ib ของหลายหลาก s เหล่านั้น. ถ้าในรากของสมการคุณลักษณะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน มีส่วนจริงของมันตรงกับสัมประสิทธิ์ในเลขชี้กำลัง และส่วนจินตภาพตรงกับสัมประสิทธิ์ในการโต้แย้ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวาของสมการ และความหลายหลากของรูทนี้คือ s จากนั้นในคำตอบที่ต้องการจะมีปัจจัยเรโซแนนซ์ xs หากไม่มีเหตุบังเอิญดังกล่าว (s=0) แสดงว่าไม่มีปัจจัยเรโซแนนซ์
แทนที่นิพจน์สำหรับคำตอบเฉพาะทางด้านซ้ายของสมการ เราได้พหุนามทั่วไปที่มีรูปแบบเดียวกับพหุนามทางด้านขวาของสมการ ซึ่งไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์
พหุนามทั่วไปสองพหุนามจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบของรูปแบบ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ที่มีกำลังเท่ากับ t เท่ากัน เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยดังกล่าว เราได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 2(r+1) ในแบบไม่ทราบค่า 2(r+1) สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าระบบดังกล่าวมีความสอดคล้องกันและมีโซลูชันที่เป็นเอกลักษณ์
|
วิธีลากรองจ์เป็นวิธีการแก้ปัญหา การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไข, ภายใต้ข้อ จำกัด ที่เขียนเป็น ฟังก์ชันโดยปริยายรวมกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปของสมการใหม่ที่เรียกว่า Lagrangian.
พิจารณา กรณีพิเศษ งานทั่วไป ไม่ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น:
ระบบที่กำหนด สมการไม่เชิงเส้น (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
ค้นหาค่าที่น้อยที่สุด (หรือมากที่สุด) ของฟังก์ชัน (2)
(2) ฉ (х1,х2,…,хn),
หากไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่เป็นลบของตัวแปร และ f(x1,x2,…,xn) และ gi(x1,x2,…,xn) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์ย่อยบางส่วน
เพื่อหาแนวทางแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถสมัคร วิธีการดังต่อไปนี้: 1. มีการแนะนำชุดของตัวแปร λ1, λ2,…, λm ซึ่งเรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ และประกอบเป็นฟังก์ชันลากรองจ์ (3)
(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .
2. ค้นหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน Lagrange เทียบกับตัวแปร xi และ λi แล้วจัดให้เท่ากับศูนย์
3. การแก้ระบบสมการ หาจุดที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสามารถมีค่าสุดโต่งได้
4. ในบรรดาจุดที่น่าสงสัยไม่ใช่สุดโต่ง พวกเขาพบจุดที่ถึงจุดสุดโต่งและคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ .
4. เปรียบเทียบค่าที่ได้รับของฟังก์ชัน f แล้วเลือกค่าที่ดีที่สุด
ตามแผนการผลิต องค์กรต้องผลิตผลิตภัณฑ์ 180 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้สองวิธีทางเทคโนโลยี ในการผลิตผลิตภัณฑ์ x1 โดยวิธีที่ I ค่าใช้จ่ายคือ 4 * x1 + x1 ^ 2 rubles และในการผลิตผลิตภัณฑ์ x2 โดยวิธีที่ II คือ 8 * x2 + x2 ^ 2 rubles กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ในแต่ละวิธีที่จะทำ เพื่อให้ต้นทุนรวมในการผลิตน้อยที่สุด
วิธีแก้ไข: สูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาประกอบด้วยการกำหนดค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2 ให้ x1 +x2 = 180
มาเขียนฟังก์ชัน Lagrange กัน:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
เราคำนวณอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับ x1, x2, λ และเท่ากับ 0:
เราโอนสมการสองสมการแรก λ ไปทางด้านขวามือและเท่ากับด้านซ้ายมือ เราได้ 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 หรือ x1 − x2 = 2
การแก้สมการสุดท้ายร่วมกับสมการ x1 + x2 = 180 เราพบ x1 = 91, x2 = 89 นั่นคือ เราได้คำตอบที่ตรงตามเงื่อนไข:
มาหาค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f สำหรับค่าตัวแปรเหล่านี้:
F(x1, x2) = 17278
จุดนี้น่าสงสัยสำหรับสุดโต่ง เมื่อใช้อนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่สอง เราสามารถแสดงว่า ณ จุด (91.89) ฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุด
ให้เราพิจารณากรณีของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวก่อน Conditional extremum ของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ ที่จุด $M_0(x_0;y_0)$ เป็นส่วนสุดของฟังก์ชันนี้ เข้าถึงได้ภายใต้เงื่อนไขที่ตัวแปร $x$ และ $y$ ใน บริเวณจุดนี้เป็นไปตามสมการข้อจำกัด $\ varphi(x,y)=0$
ชื่อ "conditional" extremum เกิดจากการที่เงื่อนไขเพิ่มเติม $\varphi(x,y)=0$ ถูกกำหนดให้กับตัวแปร ถ้าเป็นไปได้ที่จะแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการการเชื่อมต่อ ปัญหาของการกำหนดเงื่อนไขสุดโต่งจะลดลงเป็นปัญหาของปลายสุดปกติของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้า $y=\psi(x)$ ติดตามจากสมการข้อจำกัด จากนั้นแทนที่ $y=\psi(x)$ เป็น $z=f(x,y)$ เราจะได้ฟังก์ชันหนึ่งตัวแปร $ z=f\left (x,\psi(x)\right)$. ที่ กรณีทั่วไปอย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้น้อย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีอัลกอริทึมใหม่
วิธีการคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว
วิธีการของตัวคูณลากรองจ์คือการหาเงื่อนไขสุดโต่ง ฟังก์ชันลากรองจ์ประกอบด้วย: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (พารามิเตอร์ $\lambda $ เรียกว่า ตัวคูณ Lagrange ) เงื่อนไขสุดโต่งที่จำเป็นถูกกำหนดโดยระบบสมการที่กำหนดจุดนิ่ง:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$
เครื่องหมาย $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. หาก ณ จุดคงที่ $d^2F > 0$ แสดงว่าฟังก์ชัน $z=f(x,y)$ มีเงื่อนไขขั้นต่ำ ณ จุดนี้ แต่ถ้า $d^2F< 0$, то условный максимум.
มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดลักษณะของสุดโต่ง จากสมการข้อจำกัด เราได้รับ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ ดังนั้น ณ จุดนิ่งใด ๆ เรามี:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\right)$$
ปัจจัยที่สอง (อยู่ในวงเล็บ) สามารถแสดงในรูปแบบนี้:
องค์ประกอบของ $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ ซึ่งเป็น Hessian ของฟังก์ชัน Lagrange ถ้า $H > 0$ แล้ว $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, กล่าวคือ เรามีเงื่อนไขขั้นต่ำของฟังก์ชัน $z=f(x,y)$
หมายเหตุเกี่ยวกับรูปแบบของดีเทอร์มิแนนต์ $H$ แสดงซ่อน
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
ในสถานการณ์นี้ กฎที่กำหนดไว้ข้างต้นจะเปลี่ยนแปลงดังนี้: ถ้า $H > 0$ ฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุดแบบมีเงื่อนไข และสำหรับ $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
อัลกอริธึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวสำหรับเงื่อนไขสุดโต่ง
- เขียนฟังก์ชัน Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- แก้ระบบ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- กำหนดลักษณะของส่วนปลายในแต่ละข้อที่พบในวรรคก่อน จุดนิ่ง. โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
- เขียนดีเทอร์มีแนนต์ $H$ แล้วหาเครื่องหมาย
- โดยคำนึงถึงสมการข้อจำกัด คำนวณเครื่องหมายของ $d^2F$
วิธีตัวคูณลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปร n ตัว
สมมติว่าเรามีฟังก์ชันของตัวแปร $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ และ $m$ สมการข้อจำกัด ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
แสดงถึงตัวคูณ Lagrange เป็น $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีเงื่อนไขสุดขั้วนั้นกำหนดโดยระบบสมการซึ่งพบพิกัดของจุดที่อยู่กับที่และค่าของตัวคูณลากรองจ์:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ โอเวอร์ไลน์(1,ม.)) \end(จัดตำแหน่ง) \right.$$
เป็นไปได้ที่จะค้นหาว่าฟังก์ชันมีเงื่อนไขต่ำสุดหรือสูงสุดตามเงื่อนไขที่จุดที่พบเหมือนเมื่อก่อน โดยใช้เครื่องหมาย $d^2F$ หาก ณ จุดที่พบ $d^2F > 0$ แสดงว่าฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำสุด แต่ถ้า $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ $\left| \begin(อาร์เรย์) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\บางส่วน x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\บางส่วน x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ ที่ไฮไลต์ด้วยสีแดงใน $L$ matrix คือ Hessian ของฟังก์ชัน Lagrange เราใช้กฎต่อไปนี้:
- ถ้าสัญญาณของลูกเตะมุมคือ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ เมทริกซ์ $L$ ตรงกับเครื่องหมาย $(-1)^m$ ดังนั้นจุดที่อยู่กับที่ในการศึกษาคือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- ถ้าสัญญาณของลูกเตะมุมคือ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ สลับกัน และเครื่องหมายของผู้เยาว์ $H_(2m+1)$ ตรงกับเครื่องหมายของตัวเลข $(-1)^(m+1 )$ จากนั้นจุดคงที่ที่ศึกษาคือจุดสูงสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$
ตัวอย่าง #1
ค้นหาเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ภายใต้เงื่อนไข $x^2+y^2=10$
การตีความทางเรขาคณิตของปัญหานี้มีดังนี้: ต้องหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดใช้ระนาบ $z=x+3y$ สำหรับจุดตัดกับทรงกระบอก $x^2+y^2=10$
ค่อนข้างยากที่จะแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นจากสมการข้อจำกัดและแทนที่ลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ ดังนั้น เราจะใช้วิธี Lagrange
แสดงถึง $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
ให้เราเขียนระบบสมการเพื่อหาจุดนิ่งของฟังก์ชันลากรองจ์:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (จัดตำแหน่ง)\right.$$
ถ้าเราสมมติ $\lambda=0$ สมการแรกจะกลายเป็น: $1=0$ ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันบอกว่า $\lambda\neq 0$ ภายใต้เงื่อนไข $\lambda\neq 0$ จากสมการที่หนึ่งและสองที่เรามี: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. แทนค่าที่ได้รับลงในสมการที่สาม เราได้:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
ดังนั้น ระบบมีสองวิธี: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ และ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ให้เราหาธรรมชาติของปลายสุดในแต่ละจุดที่อยู่กับที่: $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ $H$ ที่แต่ละจุด
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\แลมบ์ดา;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
ณ จุด $M_1(1;3)$ เราได้รับ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$ ดังนั้น ณ จุดนั้น $M_1(1;3)$ ฟังก์ชัน $z(x,y)=x+3y$ มีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=z(1;3)=10$
ในทำนองเดียวกัน ณ จุด $M_2(-1;-3)$ เราพบ: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. ตั้งแต่ $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ฉันสังเกตว่าแทนที่จะคำนวณมูลค่าของดีเทอร์มิแนนต์ $H$ ในแต่ละจุด จะสะดวกกว่ามากที่จะขยายเข้าไป ปริทัศน์. เพื่อไม่ให้ข้อความมีรายละเอียดยุ่งเหยิง ฉันจะซ่อนวิธีนี้ไว้ใต้บันทึกย่อ
ดีเทอร์มิแนนต์ $H$ สัญกรณ์ในรูปแบบทั่วไป แสดงซ่อน
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right) $$
โดยหลักการแล้วมันชัดเจนว่าสัญญาณใดที่ $H$ มี เนื่องจากไม่มีจุด $M_1$ หรือ $M_2$ ตรงกับจุดเริ่มต้น ดังนั้น $y^2+x^2>0$ ดังนั้น เครื่องหมายของ $H$ จึงอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของ $\lambda$ คุณยังสามารถทำการคำนวณให้เสร็จสมบูรณ์:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \&H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(จัดตำแหน่ง) $$
คำถามเกี่ยวกับธรรมชาติของปลายสุดที่จุดคงที่ $M_1(1;3)$ และ $M_2(-1;-3)$ สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์ $H$ ค้นหาเครื่องหมาย $d^2F$ ที่จุดคงที่แต่ละจุด:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
ฉันสังเกตว่าสัญกรณ์ $dx^2$ หมายถึง $dx$ ยกกำลังสองอย่างแน่นอน นั่นคือ $\left(dx\right)^2$. ดังนั้นเราจึงมี: $dx^2+dy^2>0$ ดังนั้นสำหรับ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ เราจะได้ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
ตอบ: ณ จุด $(-1;-3)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=-10$ ณ จุด $(1;3)$ ฟังก์ชั่นมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=10$
ตัวอย่าง #2
ค้นหาเงื่อนไขสุดขั้วของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ภายใต้เงื่อนไข $x+y=0$
วิธีแรก (วิธีการคูณลากรองจ์)
แสดงถึง $\varphi(x,y)=x+y$ เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ แลมบ์ดา=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
ในการแก้ระบบ เราได้: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ and $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. เรามีจุดคงที่สองจุด: $M_1(0;0)$ และ $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$ ให้เราหาธรรมชาติของปลายสุดที่จุดนิ่งแต่ละจุดโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ $H$
$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
ณ จุด $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ ดังนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=\frac(500)(243)$
เราตรวจสอบธรรมชาติของปลายสุดที่จุดแต่ละจุดด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน ตามสัญลักษณ์ของ $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
จากสมการข้อจำกัด $x+y=0$ เราได้: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
เนื่องจาก $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ดังนั้น $M_1(0;0)$ คือจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$ ในทำนองเดียวกัน $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
วิธีที่สอง
จากสมการข้อจำกัด $x+y=0$ จะได้ $y=-x$ แทนที่ $y=-x$ ลงในฟังก์ชัน $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ เราได้รับฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปร $x$ แสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็น $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
ดังนั้นเราจึงลดปัญหาในการค้นหาเงื่อนไขสุดโต่งของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวให้เป็นปัญหาในการพิจารณาส่วนสุดโต่งของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
ได้คะแนน $M_1(0;0)$ และ $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ การวิจัยต่อไปรู้จักจากหลักสูตร แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หน้าที่ของตัวแปรเดียว การตรวจสอบเครื่องหมายของ $u_(xx)^("")$ ที่จุดคงที่แต่ละจุดหรือตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของ $u_(x)^(")$ ที่จุดที่พบ เราจะได้ข้อสรุปเช่นเดียวกับวิธีแก้ปัญหาแรก ตัวอย่างเช่น ตรวจสอบเครื่องหมาย $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
เนื่องจาก $u_(xx)^("")(M_1)>0$ ดังนั้น $M_1$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $u(x)$ ในขณะที่ $u_(\min)=u(0)=0 $ . ตั้งแต่ $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
ค่าของฟังก์ชัน $u(x)$ ภายใต้เงื่อนไขการเชื่อมต่อที่กำหนดตรงกับค่าของฟังก์ชัน $z(x,y)$ เช่น extrema ที่พบของฟังก์ชัน $u(x)$ คือ extrema แบบมีเงื่อนไขที่ต้องการของฟังก์ชัน $z(x,y)$
ตอบ: ที่จุด $(0;0)$ ฟังก์ชันมีเงื่อนไขขั้นต่ำ $z_(\min)=0$ ณ จุดนั้น $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ฟังก์ชั่นมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งเราค้นหาธรรมชาติของส่วนปลายโดยกำหนดเครื่องหมายของ $d^2F$
ตัวอย่าง #3
ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน $z=5xy-4$ หากตัวแปร $x$ และ $y$ เป็นค่าบวกและเป็นไปตามสมการข้อจำกัด $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
เขียนฟังก์ชัน Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$ ค้นหาจุดที่อยู่กับที่ของฟังก์ชันลากรองจ์:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0 \end(จัดตำแหน่ง) \right.$$
การแปลงเพิ่มเติมทั้งหมดจะดำเนินการโดยคำนึงถึง $x > 0; \; y > 0$ (กำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา) จากสมการที่สอง เราแสดง $\lambda=-\frac(5x)(y)$ และแทนที่ค่าที่พบลงในสมการแรก: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. แทนที่ $x=2y$ ในสมการที่สาม เราได้: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$
ตั้งแต่ $y=1$ แล้ว $x=2$, $\lambda=-10$ ลักษณะของปลายสุดที่จุด $(2;1)$ กำหนดจากเครื่องหมายของ $d^2F$
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
เนื่องจาก $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ดังนั้น:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y) $$
โดยหลักการแล้ว ที่นี่คุณสามารถแทนที่พิกัดของจุดคงที่ $x=2$, $y=1$ และพารามิเตอร์ $\lambda=-10$ ได้ทันที จึงได้:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2 $$
อย่างไรก็ตาม ในปัญหาอื่นๆ สำหรับเงื่อนไขสุดโต่ง อาจมีจุดนิ่งอยู่หลายจุด ในกรณีเช่นนี้ จะดีกว่าถ้าแสดง $d^2F$ ในรูปแบบทั่วไป แล้วแทนที่พิกัดของจุดคงที่แต่ละจุดที่พบลงในนิพจน์ผลลัพธ์:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
แทนที่ $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, เราได้รับ:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
ตั้งแต่ $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
ตอบ: ณ จุด $(2;1)$ ฟังก์ชั่นมีเงื่อนไขสูงสุด $z_(\max)=6$
ในตอนต่อไป เราจะพิจารณาการนำวิธีการ Lagrange มาประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันต่างๆ มากกว่าตัวแปร
ทฤษฎีสั้น
วิธีตัวคูณลากรองจ์เป็นวิธีการดั้งเดิมในการแก้ปัญหา การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์(โดยเฉพาะนูน) น่าเสียดายที่ การใช้งานจริงวิธีการนี้อาจประสบปัญหาในการคำนวณที่สำคัญ ทำให้ขอบเขตการใช้งานแคบลง เราพิจารณาวิธีการลากรองจ์ที่นี่เป็นหลักเพราะเป็นเครื่องมือที่ใช้อย่างแข็งขันเพื่อยืนยันความทันสมัยต่างๆ วิธีการเชิงตัวเลขใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ สำหรับฟังก์ชัน Lagrange และตัวคูณ Lagrange จะเล่นเป็นอิสระและเฉพาะตัว บทบาทสำคัญในทางทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์เท่านั้น
พิจารณา ปัญหาคลาสสิคการเพิ่มประสิทธิภาพ:
ท่ามกลางข้อจำกัดของปัญหานี้ไม่มีความไม่เท่าเทียมกัน ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่ปฏิเสธของตัวแปร ความไม่ต่อเนื่องของตัวแปร และฟังก์ชัน และมีความต่อเนื่องและมีอนุพันธ์บางส่วนอย่างน้อยในลำดับที่สอง
วิธีการแบบคลาสสิกในการแก้ปัญหาให้ระบบสมการ ( เงื่อนไขที่จำเป็น) ซึ่งจะต้องพอใจกับจุดที่จัดเตรียมฟังก์ชันด้วยจุดปลายโลคัลบนชุดของจุดที่เป็นไปตามข้อจำกัด (สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมนูน จุดที่พบจะเป็นจุดสุดโต่งโกลบอลด้วย)
สมมติว่าฟังก์ชัน (1) มีเงื่อนไขสุดขั้วที่จุดนั้นและอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสามารถเขียนได้ดังนี้:
คือฟังก์ชันลากรองจ์ คือตัวคูณลากรองจ์
นอกจากนี้ยังมี เงื่อนไขที่เพียงพอโดยที่การแก้ระบบสมการ (3) กำหนดจุดปลายสุดของฟังก์ชัน คำถามนี้ได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการศึกษาเครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่เพียงพอส่วนใหญ่เป็นผลประโยชน์ทางทฤษฎี
คุณสามารถระบุขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหา (1), (2) โดยวิธีตัวคูณ Lagrange:
1) เขียนฟังก์ชัน Lagrange (4);
2) หาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับตัวแปรทั้งหมดและนำมาเท่ากัน
ศูนย์. ดังนั้น จะได้ระบบ (3) ที่ประกอบด้วยสมการ แก้ระบบผลลัพธ์ (ถ้าเป็นไปได้!) และหาจุดนิ่งทั้งหมดของฟังก์ชันลากรองจ์
3) จากจุดที่อยู่กับที่ซึ่งถ่ายโดยไม่มีพิกัด ให้เลือกจุดที่ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสุดโต่งในที่ที่มีข้อจำกัด (2) เลือกตัวเลือกนี้ เช่น ใช้เงื่อนไขที่เพียงพอ สุดโต่งท้องถิ่น. บ่อยครั้งที่การศึกษาง่ายขึ้นหากใช้เงื่อนไขเฉพาะของปัญหา
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
งาน
บริษัทผลิตสินค้าสองประเภทในปริมาณและ. ฟังก์ชันต้นทุนที่มีประโยชน์ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ ราคาของสินค้าเหล่านี้ในตลาดเท่ากันและตามลำดับ
กำหนดปริมาณของผลผลิตที่ทำกำไรสูงสุดและสิ่งที่จะเท่ากับถ้าค่าใช้จ่ายทั้งหมดไม่เกิน
มีปัญหาในการทำความเข้าใจขั้นตอนการแก้ปัญหาหรือไม่? ทางเว็บไซต์มีบริการ แก้ปัญหาด้วยวิธีการสั่งซื้อที่เหมาะสมที่สุด
ทางออกของปัญหา
แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ของปัญหา
ฟังก์ชันกำไร:
ขีดจำกัดต้นทุน:
เราได้รับแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:
นอกจากนี้ตามความหมายของงาน
วิธีคูณลากรองจ์
มาเขียนฟังก์ชัน Lagrange กัน:
เราพบอนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่ 1:
เราเขียนและแก้ระบบสมการ:
ตั้งแต่นั้นมา
กำไรสูงสุด:
ตอบ
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องผลิตหน่วย สินค้าประเภทที่ 1 และหน่วย สินค้าประเภทที่ 2 ในกรณีนี้ กำไรจะสูงสุดและจะเท่ากับ 270
ตัวอย่างของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมนูนกำลังสองโดยวิธีกราฟิกจะได้รับ
การแก้ปัญหาเชิงเส้นโดยวิธีกราฟิก
ที่พิจารณา วิธีกราฟิกการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) ด้วยสองตัวแปร ในตัวอย่างงาน คำอธิบายโดยละเอียดการสร้างภาพวาดและการหาแนวทางแก้ไข
โมเดลการจัดการสินค้าคงคลังของวิลสัน
ในตัวอย่างการแก้ปัญหาจะพิจารณารูปแบบหลักของการจัดการสินค้าคงคลัง (แบบจำลองวิลสัน) คำนวณตัวบ่งชี้ดังกล่าวของแบบจำลองเป็น ขนาดที่เหมาะสมที่สุดล็อตการสั่งซื้อ ค่าจัดเก็บรายปี ช่วงการจัดส่ง และจุดสั่งซื้อ
เมทริกซ์อัตราส่วนต้นทุนโดยตรงและเมทริกซ์อินพุต-เอาท์พุต
ในตัวอย่างการแก้ปัญหา จะพิจารณาแบบจำลองทางภาคส่วน Leontiev การคำนวณเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของต้นทุนวัสดุทางตรง, เมทริกซ์ "อินพุต - เอาต์พุต", เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของต้นทุนทางอ้อม, เวกเตอร์ของการบริโภคขั้นสุดท้ายและผลผลิตรวมจะปรากฏขึ้น
ลุงวันยา พล็อตเรื่อง “ลุงอีวาน ทัศนคติต่ออาจารย์ของผู้อื่น
Tsakhes น้อยชื่อเล่น Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - ชีวประวัติสั้น