วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายพร้อมพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุด วิธีการทำซ้ำในการแก้ปัญหาคราบ

วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายเรียกอีกอย่างว่า การประมาณต่อเนื่อง, - นี้ อัลกอริธึมทางคณิตศาสตร์การหาค่าของปริมาณที่ไม่ทราบโดยการค่อยๆ ทำให้บริสุทธิ์ สาระสำคัญของวิธีการนี้คือตามชื่อที่แนะนำโดยค่อยๆ แสดงผลที่ตามมาจากการประมาณเริ่มต้น จะได้ผลลัพธ์ที่ละเอียดมากขึ้นเรื่อยๆ วิธีการนี้ใช้ในการค้นหาค่าของตัวแปรใน ฟังก์ชันที่กำหนดตลอดจนเมื่อแก้ระบบสมการทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

มาดูวิธีการกัน วิธีนี้ถูกนำมาใช้เมื่อแก้ SLAE วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมีอัลกอริทึมดังต่อไปนี้:

1. การตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขการลู่เข้าในเมทริกซ์ดั้งเดิม ทฤษฎีบทการลู่เข้า: หากเมทริกซ์ดั้งเดิมของระบบมีความโดดเด่นในแนวทแยง (นั่นคือ ในแต่ละแถว องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักจะต้องมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าผลรวมขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองด้วยค่าสัมบูรณ์) ดังนั้นวิธีการ การวนซ้ำอย่างง่าย- มาบรรจบกัน

2. เมทริกซ์ของระบบดั้งเดิมไม่ได้มีความโดดเด่นในแนวทแยงเสมอไป ในกรณีเช่นนี้สามารถแปลงระบบได้ สมการที่ตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้าจะไม่ถูกแตะต้อง และสมการเชิงเส้นจะถูกสร้างขึ้นด้วยสมการที่ไม่เข้ากัน เช่น คูณ ลบ บวกสมการกันจนได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

หากในระบบผลลัพธ์มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่สะดวกบนเส้นทแยงมุมหลักเงื่อนไขของแบบฟอร์มที่มี i * x i จะถูกเพิ่มลงทั้งสองด้านของสมการซึ่งสัญญาณจะต้องตรงกับสัญญาณขององค์ประกอบในแนวทแยง

3. การเปลี่ยนแปลงของระบบผลลัพธ์ให้เป็นรูปแบบปกติ:

x - =β - +α*x -

สิ่งนี้สามารถทำได้หลายวิธีเช่น: จากสมการแรกแสดง x 1 ในรูปของไม่ทราบอื่น ๆ จากที่สอง - x 2 จากที่สาม - x 3 เป็นต้น ในกรณีนี้เราใช้สูตร:

α ij = -(a ij / a ii)

ฉัน = ข ฉัน /a ii
คุณควรตรวจสอบให้แน่ใจอีกครั้งว่าระบบผลลัพธ์ของรูปแบบปกติตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้า:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1 ในขณะที่ i= 1,2,...n

4. อันที่จริงเราเริ่มใช้วิธีการประมาณต่อเนื่องกัน

x (0) คือการประมาณค่าเริ่มต้น เราจะเขียน x (1) ผ่านค่านั้น จากนั้นเราจะเขียนค่า x (2) ถึง x (1) สูตรทั่วไปก รูปแบบเมทริกซ์ดูเหมือนว่านี้:

x (n) = β - +α*x (n-1)

เราคำนวณจนกว่าเราจะบรรลุความแม่นยำที่ต้องการ:

สูงสุด | x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

ดังนั้น เรามานำวิธีการวนซ้ำแบบง่ายๆ มาปฏิบัติกัน ตัวอย่าง:
แก้ SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 ด้วยความแม่นยำ ε=10 -3

มาดูกันว่าองค์ประกอบในแนวทแยงมีอิทธิพลเหนือโมดูลัสหรือไม่

เราจะเห็นว่ามีเพียงสมการที่สามเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้า เราแปลงสมการที่หนึ่งและที่สอง และเพิ่มสมการที่สองลงในสมการแรก:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

จากอันที่สามเราลบอันแรก:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

เราแปลงระบบดั้งเดิมเป็นระบบที่เทียบเท่า:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

ตอนนี้เรามาทำให้ระบบกลับสู่รูปแบบปกติ:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

เราตรวจสอบการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 เช่น ตรงตามเงื่อนไข

0,3947
การเดาเริ่มต้น x(0) = 0.4762
0,8511

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการของรูปแบบปกติเราจะได้ค่าต่อไปนี้:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

แทนที่ค่าใหม่เราจะได้:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

เราทำการคำนวณต่อไปจนกว่าเราจะเข้าใกล้ค่าที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

x (7) = 0.441091

ตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้รับ:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

ผลลัพธ์ที่ได้จากการแทนที่ค่าที่พบลงในสมการดั้งเดิมนั้นตรงตามเงื่อนไขของสมการโดยสมบูรณ์

ดังที่เราเห็น วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายให้ผลค่อนข้างมาก ผลลัพธ์ที่แม่นยำอย่างไรก็ตาม เพื่อแก้สมการนี้ เราต้องใช้เวลามากและทำการคำนวณที่ยุ่งยาก

ลองพิจารณาดู ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต

เรามาใช้จ่ายกันสักหน่อย การแปลงที่เท่ากัน- ลองคูณทั้งสองส่วนของระบบด้วยสเกลาร์แฟคเตอร์เดียวกัน แล้วบวกเวกเตอร์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของระบบ ตอนนี้ระบบสมการสามารถเขียนในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำได้:

(2.15)

ตอนนี้เราจะสร้างลำดับของการประมาณค่าเฉลยของระบบ ลองเลือกเวกเตอร์ตามใจชอบ - การประมาณค่าเริ่มต้นของวิธีแก้ปัญหา ส่วนใหญ่มักสันนิษฐานง่ายๆ ว่าเป็นเวกเตอร์ศูนย์ เป็นไปได้มากว่าการประมาณเริ่มต้นไม่เป็นไปตาม (2.15) และดังนั้นจึงเป็นไปตามระบบดั้งเดิม เมื่อนำไปแทนลงในสมการดั้งเดิม จะเกิดความคลาดเคลื่อนขึ้น เมื่อคำนวณความคลาดเคลื่อนแล้ว โดยใช้ (2.15) เราจึงปรับแต่งการประมาณค่าของสารละลายได้ โดยสมมติว่า

เมื่อใช้การประมาณครั้งแรก ความคลาดเคลื่อนจะถูกคำนวณอีกครั้ง และกระบวนการจะดำเนินต่อไป ในระหว่างการวนซ้ำเราได้รับสูตรที่เทียบเท่ากันของวิธีการที่เรียกว่า โดยวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายดังต่อไปนี้ ผลเฉลย (2.15) พบว่าเป็นขีดจำกัดของลำดับ การประมาณ เงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกันโดยความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ (เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ให้ไว้ข้างต้น เวกเตอร์ที่เหลือไม่รวมอยู่ในสัญกรณ์):

(2.16)

(หรือใครก็ตาม. เวกเตอร์โดยพลการ- หากมีขีดจำกัดของลำดับดังกล่าว เราก็จะพูดถึง การบรรจบกันกระบวนการวนซ้ำเพื่อแก้ไข SLAE

มีรูปแบบอื่นๆ ของการเขียนวิธีการวนซ้ำ เช่น

เมื่อ สูตรสุดท้ายสอดคล้องกับกระบวนการวนซ้ำหนึ่งพารามิเตอร์ที่กล่าวถึงข้างต้น วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย- สำหรับ , - กระบวนการวนซ้ำที่ชัดเจน n ขั้นตอน สำหรับ , - วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายโดยไม่มีพารามิเตอร์การวนซ้ำ ในกรณีที่เมื่อ วิธีการวนซ้ำเรียกว่า โดยปริยาย- สำหรับการคำนวณ แนวทางต่อไปในการแก้โจทย์นี้ คุณจะต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ปกติจะง่ายกว่าระบบเดิม)

ทฤษฎีบท ( สภาพที่เพียงพอการบรรจบกัน วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย- กระบวนการวนซ้ำ (2.16) มาบรรจบกันเพื่อแก้ปัญหา SLAE ด้วยความเร็ว ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเมื่อตรงตามเงื่อนไข:

การพิสูจน์.

ให้เป็นคำตอบที่แน่นอนของระบบ (2) ลบจาก (2.16)-(2.15) เราได้รับ หรือแสดงถึงข้อผิดพลาด เราได้สมการวิวัฒนาการของข้อผิดพลาด สายโซ่ของอสมการนั้นถูกต้อง: , โดยที่

ตามมาว่าเมื่อไร.

จากความไม่เท่าเทียมกัน เป็นไปได้ที่จะได้รับการประมาณจำนวนการวนซ้ำที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำ เช่น เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข ประมาณนี้ มีรูปแบบ

ทฤษฎีบท (เกณฑ์การลู่เข้า วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย (ไม่มีหลักฐาน))- ให้ SLAE (2.15) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร จากนั้นสำหรับการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ (2.16) จึงมีความจำเป็นและเพียงพอว่าทั้งหมด ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์โดย ค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง

ลองเปรียบเทียบตามปริมาณดูครับ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตรงและ วิธีการวนซ้ำ- วิธีเกาส์เซียนโดยไม่ต้องเลือกองค์ประกอบหลักเมื่อต้องการ

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย (2.16) โดยที่ i คือจำนวนการประมาณที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าสำหรับฉัน< n/3 метод итераций становится предпочтительнее. В ปัญหาที่แท้จริงโดยพื้นฐานแล้ว นอกจากนี้ วิธีการวนซ้ำสามารถทำให้มีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์การวนซ้ำ ในบางกรณี วิธีการวนซ้ำกลับกลายเป็นว่าต้านทานการสะสมข้อผิดพลาดในการปัดเศษได้ดีกว่าเส้นตรง

บรรยาย วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นพีชคณิตแบบวนซ้ำ

เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำ วิธีจาโคบี

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

พิจารณาระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากต้องการใช้วิธีการวนซ้ำ ระบบจะต้องถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน

จากนั้นจะมีการเลือกการประมาณเริ่มต้นของระบบสมการและพบลำดับของการประมาณราก

เพื่อให้กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน เงื่อนไขก็เพียงพอแล้ว
(บรรทัดฐานเมทริกซ์) เกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำขึ้นอยู่กับวิธีการวนซ้ำที่ใช้

วิธีจาโคบี .

วิธีที่ง่ายที่สุดในการนำระบบมาอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำมีดังนี้:

จากสมการแรกของระบบเราแสดงความไม่ทราบ x 1 จากสมการที่สองของระบบที่เราแสดงออก x 2 ฯลฯ

เป็นผลให้เราได้ระบบสมการที่มีเมทริกซ์ B ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นศูนย์บนเส้นทแยงมุมหลักและองค์ประกอบที่เหลือคำนวณโดยใช้สูตร:

ส่วนประกอบของเวกเตอร์ d คำนวณโดยใช้สูตร:

สูตรการคำนวณสำหรับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายคือ:

หรือในรูปแบบพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

เกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำในวิธี Jacobi มีรูปแบบดังนี้

ถ้า
จากนั้นเราสามารถใช้เกณฑ์ที่ง่ายกว่านี้ในการสิ้นสุดการวนซ้ำได้

ตัวอย่างที่ 1การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีจาโคบี

ให้ระบบสมการได้รับ:

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ไขระบบให้ถูกต้องแม่นยำ

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

ให้เราเลือกการประมาณเบื้องต้น เช่น

- เวกเตอร์ของด้านขวา

จากนั้นการวนซ้ำครั้งแรกจะเป็นดังนี้:

การประมาณค่าต่อไปนี้ของสารละลายได้มาในทำนองเดียวกัน

ลองหาบรรทัดฐานของเมทริกซ์ B กัน

เราจะใช้บรรทัดฐาน

เนื่องจากผลรวมของโมดูลขององค์ประกอบในแต่ละแถวคือ 0.2 ดังนั้น
ดังนั้นเกณฑ์ในการยุติการวนซ้ำในปัญหานี้คือ

มาคำนวณบรรทัดฐานของความแตกต่างของเวกเตอร์:

เพราะ
บรรลุความแม่นยำที่ระบุในการวนซ้ำครั้งที่สี่

คำตอบ: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

วิธีไซเดล .

วิธีการนี้ถือได้ว่าเป็นการปรับเปลี่ยนวิธีจาโคบี แนวคิดหลักก็คือเมื่อคำนวณต่อไป (n+1)- แนวทางสู่สิ่งที่ไม่รู้จัก x ฉันที่ ฉัน >1ใช้เจอแล้ว (n+1)- e กำลังเข้าใกล้สิ่งที่ไม่รู้จัก x 1 ,x 2 , ...,xฉัน - 1 และไม่ใช่ nการประมาณค่า เช่นเดียวกับวิธีจาโคบี

สูตรการคำนวณของวิธีการในรูปแบบพิกัดมีลักษณะดังนี้:

เงื่อนไขการบรรจบกันและเกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำสามารถดำเนินการได้เช่นเดียวกับในวิธีจาโคบี

ตัวอย่างที่ 2การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีไซเดล

ให้เราพิจารณาการแก้สมการ 3 ระบบพร้อมกัน:

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

โปรดทราบว่าเงื่อนไขการบรรจบกัน
ทำเฉพาะระบบแรกเท่านั้น มาคำนวณการประมาณค่าประมาณ 3 ค่าแรกกับโซลูชันในแต่ละกรณีกัน

ระบบที่ 1:

วิธีแก้ไขที่แน่นอนจะเป็นค่าต่อไปนี้: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 - กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน

ระบบที่ 2:

จะเห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำนั้นแตกต่างกัน

ทางออกที่แน่นอน x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

ระบบที่ 3:

จะเห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำดำเนินไปเป็นรอบ

ทางออกที่แน่นอน x 1 = 1, x 2 = 2 .

ปล่อยให้เมทริกซ์ของระบบสมการ A มีความสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน จากนั้น สำหรับการเลือกการประมาณเริ่มต้น วิธีไซเดลก็จะมาบรรจบกัน ไม่มีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเล็กของบรรทัดฐานของเมทริกซ์บางตัว

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย.

ถ้า A เป็นเมทริกซ์แน่นอนแบบสมมาตรและเป็นบวก ระบบสมการมักจะถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน:

x=x-τ (ก x- b), τ – พารามิเตอร์การวนซ้ำ

สูตรการคำนวณของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายในกรณีนี้มีรูปแบบ:

x (n+1) =x n- τ (อ x (n) - ข)

และเลือกพารามิเตอร์ τ > 0 เพื่อลดค่าให้เหลือน้อยที่สุด หากเป็นไปได้

ให้ แลมมิน และ เลมสูงสุด เป็นค่าลักษณะเฉพาะขั้นต่ำและสูงสุดของเมทริกซ์ A ตัวเลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดคือ

ในกรณีนี้
ยอมรับ ค่าต่ำสุดเท่ากัน:

ตัวอย่างที่ 3 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่าย (ใน MathCAD)

ให้ระบบสมการ Ax = b มาให้

เพื่อสร้างกระบวนการวนซ้ำ มาหาของเราเองกันเถอะจำนวนเมทริกซ์ A:

- ใช้ฟังก์ชันในตัวเพื่อค้นหาค่าลักษณะเฉพาะ

มาคำนวณพารามิเตอร์การวนซ้ำและตรวจสอบเงื่อนไขการลู่เข้ากัน

เงื่อนไขการบรรจบกันเป็นที่พอใจ

ลองใช้การประมาณเริ่มต้น - เวกเตอร์ x0 ตั้งค่าความแม่นยำเป็น 0.001 และค้นหาการประมาณเริ่มต้นโดยใช้โปรแกรมด้านล่าง:

ทางออกที่แน่นอน

ความคิดเห็น หากโปรแกรมส่งคืนเมทริกซ์ rez คุณจะสามารถดูการวนซ้ำทั้งหมดที่พบได้

1. ให้รู้ว่าเซ็กเมนต์ที่มีหนึ่งรากของสมการ f(x) = 0 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์นี้ (f(x)ОC 1 ) หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ก็สามารถใช้วิธีวนซ้ำแบบง่ายได้

2. การใช้ฟังก์ชัน f(x) ฟังก์ชัน j(x) ถูกสร้างขึ้นที่ตรงตามเงื่อนไขสามประการ: จะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (j(x)ОC 1 ) เพื่อให้สมการ x = j(x) เทียบเท่ากับสมการ f(x)=0; ควรด้วย แปลส่วน เข้าสู่ตัวคุณเอง.

เราจะบอกว่าฟังก์ชัน j ( x ) แปลส่วน [ก , ข ] เข้าสู่ตัวคุณเองหากเพื่อใครก็ตาม x Î [ ก , ข ], ย = เจ ( x ) ยังเป็นของ[ ก , ข ] (ย Î [ ก , ข ]).

เงื่อนไขที่สามถูกกำหนดให้กับฟังก์ชัน j(x):

สูตรวิธี: xn +1 = เจ(xn)

3. หากตรงตามเงื่อนไขทั้งสามนี้สำหรับการประมาณเริ่มต้น x 0 О ลำดับของการวนซ้ำ xn +1 = j(x n) มาบรรจบกันที่รากของสมการ: x = j(x) บนส่วน ()

ตามกฎแล้ว x 0 เลือกปลายด้านใดด้านหนึ่ง

,

โดยที่ e คือความแม่นยำที่ระบุ

หมายเลข xn +1 เมื่อตรงตามเงื่อนไขในการหยุดกระบวนการวนซ้ำ ก็คือเป็นเช่นนั้น ค่าประมาณของรากของสมการ f(x) = 0 บนเซกเมนต์ , พบได้โดยวิธีวนซ้ำอย่างง่ายและมีความแม่นยำจ .

สร้างอัลกอริทึมเพื่อชี้แจงรากของสมการ: x 3 + 5x – 1 = 0 บนเซ็กเมนต์โดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายด้วยความแม่นยำ e .

1. ฟังก์ชัน ฉ(x) = x 3 +5x-1 สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาที่มีหนึ่งรากของสมการ

2. ความยากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายคือการสร้างฟังก์ชัน j(x) ที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมด:

พิจารณา: .

สมการ x = เจ 1 (เอ็กซ์) เทียบเท่ากับสมการ f(x) = 0 แต่ฟังก์ชัน j 1 (x) ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา

ข้าว. 2.4. กราฟของฟังก์ชัน j 2 (x)

ในทางกลับกัน . ดังนั้น: เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง โปรดทราบว่าสมการ: x = j 2 (x) เทียบเท่ากับสมการ f(x) = 0 . จากกราฟ (รูปที่ 2.4) เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน j 2 (x) แปลงส่วนเป็นของตัวเอง

เงื่อนไขที่ฟังก์ชัน j(x) นำเซกเมนต์มาไว้ในตัวมันเองสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: ให้ เป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน j(x) และ ให้ เป็นโดเมนของการแปรผันของ j(x)

หากเซ็กเมนต์อยู่ในเซ็กเมนต์ ฟังก์ชัน j(x) จะนำเซกเมนต์เป็นของตัวเอง

, .

ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน j(x)

สูตรกระบวนการวนซ้ำ: x n +1 = เจ 2(xn)

3. การประมาณเริ่มต้น: x 0 = 0

4. เงื่อนไขในการหยุดกระบวนการวนซ้ำ:

ข้าว. 2.5. ความหมายทางเรขาคณิตวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

.

หากตรงตามเงื่อนไขนี้ xn +1 – ค่าประมาณของรูทบนเซ็กเมนต์, พบได้จากการวนซ้ำอย่างง่ายด้วยความแม่นยำ จ- ในรูป 2.5. มีภาพประกอบการใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่าย

ทฤษฎีบทลู่เข้าและการประมาณค่าความผิดพลาด

ให้ส่วน มีหนึ่งรากของสมการ x = เจ(x) การทำงานเจ(x ) สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา , แปลส่วนนั้น เข้าไปในตัวเองและเป็นไปตามเงื่อนไข:

.

จากนั้นสำหรับการประมาณค่าเริ่มต้นใดๆ x 0 โอ ลำดับต่อมา มาบรรจบกันที่รากของสมการ ย = เจ(x ) บนส่วน และการประมาณค่าความผิดพลาดก็ยุติธรรม:

.

ความเสถียรของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย เมื่อตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทลู่เข้า อัลกอริธึมของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายจะเสถียร

ความซับซ้อนของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย- จำนวนหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ที่ต้องใช้ในการใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายนั้นไม่มีนัยสำคัญ ในแต่ละขั้นตอนคุณต้องเก็บ xn , xn+1 , ถาม และ จ.

ให้เราประมาณจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในการดำเนินการตามวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย ให้เราเขียนค่าประมาณสำหรับตัวเลข n 0 = n 0 (e) โดยที่สำหรับ n ³ n 0 ทั้งหมดจะมีความไม่เท่าเทียมกัน:

จากการประมาณนี้ จะตามมาว่ายิ่ง q ใกล้ถึงเอกภาพมากเท่าไร วิธีก็จะยิ่งมาบรรจบกันช้าลงเท่านั้น

ความคิดเห็น ไม่มีอยู่จริง กฎทั่วไปการสร้าง j(x) จาก f(x) เพื่อให้เงื่อนไขทั้งหมดของทฤษฎีบทลู่เข้าเป็นไปตามที่พอใจ แนวทางต่อไปนี้มักใช้: ฟังก์ชัน j(x) = x + k× f(x) ถูกเลือกเป็นฟังก์ชัน j โดยที่ k – คงที่.

เมื่อตั้งโปรแกรมวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย การหยุดกระบวนการวนซ้ำมักจะต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขสองประการพร้อมกัน:

และ .

วิธีการวนซ้ำอื่นๆ ทั้งหมดที่เราจะพิจารณาเป็นกรณีพิเศษของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย เช่น เมื่อใด วิธีการของนิวตันเป็นกรณีพิเศษของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

ในส่วนนี้เราจะพิจารณากระบวนการวนซ้ำคงที่เมื่อเมทริกซ์และพารามิเตอร์การวนซ้ำ ไม่ต้องพึ่งดัชนี และพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของมัน

ทฤษฎีบทของซามาร์สกี

อนุญาต - เมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกที่ adjoint ตนเอง:

,
,

- เมทริกซ์แน่นอนเชิงบวก - จำนวนบวก:

,
.

จากนั้นสำหรับตัวเลือกการประมาณค่าศูนย์ใดๆ กระบวนการวนซ้ำซึ่งกำหนดโดยสูตรที่เกิดซ้ำ มาบรรจบกันเพื่อแก้ปัญหาของระบบเดิม

ก่อนที่จะไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้เราพูดคุยในรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อกำหนดหลักของมัน - ความแน่นอนเชิงบวกของเมทริกซ์
- ข้อกำหนดนี้สามารถเขียนใหม่เป็น:

,
,
.

กล่าวคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถือว่าเมทริกซ์นั้น เป็นบวกแน่นอน นอกจากนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะกำหนดช่วงเวลาที่พารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ :

.

หลังจากคำพูดเหล่านี้ เราก็ไปยังการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไป ให้เราแสดงจากความสัมพันธ์ ผ่าน :

และแทนที่มันลงในสูตรที่เกิดซ้ำสำหรับลำดับการวนซ้ำ เป็นผลให้เราได้รับ:

.

ความแตกต่างระหว่างสูตรวนซ้ำกับคือเป็นเนื้อเดียวกัน

เมทริกซ์ - บวกแน่นอน จึงไม่เสื่อมและมีการผกผัน
- ด้วยความช่วยเหลือของเธอ ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสามารถแก้ไขได้ค่อนข้าง
:

, ดังนั้น
.

การคูณทั้งสองด้านของความเท่ากันทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ เราได้รับความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำอีกครั้ง

.

พิจารณาลำดับของฟังก์ชันเชิงบวก:

.

มาสร้างสำนวนที่คล้ายกันสำหรับ
และแปลงโดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำและ:

จากการอยู่ติดกันของเมทริกซ์ และสูตรดังต่อไปนี้

เป็นผลให้สูตรอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้นลำดับของฟังก์ชัน ขึ้นอยู่กับเงื่อนไข
สร้างลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจโดยมีขอบเขตด้านล่างเป็นศูนย์

.

,

ที่ไหน
เป็นค่าคงที่เชิงบวกอย่างเคร่งครัด เป็นผลให้ตามและเราจะได้

จากความไม่เท่าเทียมกันนี้และการบรรจบกันของลำดับฟังก์ชัน มันเป็นไปตามนั้น
ที่
- ในทางกลับกัน
, ดังนั้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

1. วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

ชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับวิธีการซึ่งในฐานะเมทริกซ์ เลือกเมทริกซ์เอกลักษณ์:
และพารามิเตอร์การวนซ้ำ ถือว่าเป็นอิสระจากหมายเลขการวนซ้ำ - กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายคือวิธีการคงที่ที่ชัดเจน เมื่อวนซ้ำครั้งถัดไป
คำนวณโดยใช้สูตรเกิดซ้ำ

เราจะถือว่าเมทริกซ์นั้น เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Samarsky
จากนั้นเป็นสูตรที่กำหนดขอบเขตของช่วงการลู่เข้าตามพารามิเตอร์การวนซ้ำ ,รับแบบฟอร์ม

.

อนุญาต
- พื้นฐานออร์โธนอร์มอลของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ - โดยอาศัยความชัดเจนเชิงบวก ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของมันจึงเป็นค่าบวก เราจะพิจารณาตามลำดับจากมากไปหาน้อย:

ลองขยายเวกเตอร์ดู
ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์

เป็นผลให้เป็นไปตามสูตรที่วิธีการวนซ้ำแบบง่ายมาบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ ที่อยู่ในช่วงเวลา

.

เราจะใช้การศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายโดยอาศัยการวิเคราะห์สูตรที่เกิดซ้ำโดยเฉพาะ ให้เราแนะนำเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเปลี่ยนผ่าน

,

และเขียนสูตรใหม่ในรูปแบบ

.

ในกรณีนี้เกิดข้อผิดพลาด
จะตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำที่คล้ายกันเท่านั้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน

.

ขอให้เราพิสูจน์บทแทรกสองบทที่ช่วยให้เราสามารถสำรวจเงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายได้ครบถ้วนยิ่งขึ้น

เลมมา 1

ให้โอเปอเรเตอร์ที่เมทริกซ์สร้างขึ้น มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ด้วยค่าลักษณะเฉพาะ จากนั้นเป็นตัวดำเนินการเปลี่ยนซึ่งสร้างโดยเมทริกซ์ มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้วย แต่มีค่าลักษณะเฉพาะ

.

การพิสูจน์เป็นเบื้องต้น ดำเนินการโดยการตรวจสอบโดยตรง

สำหรับเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันเอง เมทริกซ์ เป็นตัวของตัวเองด้วย ด้วยเหตุนี้ บรรทัดฐานจึงถูกกำหนดโดยค่าลักษณะเฉพาะสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุด
:

.

เล็มมา 2

เพื่อให้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมาบรรจบกันเป็นโซลูชันของระบบสำหรับการเลือกการประมาณเริ่มต้นใด ๆ จำเป็นและเพียงพอที่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของตัวดำเนินการเปลี่ยน มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง:

,

ความเพียงพอ- เงื่อนไขหมายถึงบรรทัดฐานของเมทริกซ์ ตามจะน้อยกว่าหนึ่ง:
- เป็นผลให้เราได้รับ

ที่
.

ความจำเป็น- ให้เราสมมติว่าในบรรดาค่าลักษณะเฉพาะ มีอย่างน้อยหนึ่งอัน ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของบทแทรกเช่น

.

ให้เราเลือกระยะศูนย์ของลำดับการวนซ้ำในรูปแบบ
, ที่ไหน วิธีแก้ปัญหาของระบบ จากนั้นระยะศูนย์ของลำดับข้อผิดพลาดจะตรงกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ผู้ประกอบการเปลี่ยน :
- ส่งผลให้ สูตรการเกิดซ้ำสำหรับเงื่อนไขลำดับข้อผิดพลาดต่อไปนี้จะอยู่ในรูปแบบ:

,
.

เช่น.
- ความจำเป็นในการตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันสำหรับค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด สำหรับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายได้รับการพิสูจน์แล้ว

บทแทรก 2 กำหนดโปรแกรมสำหรับการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย: จำเป็นต้องตั้งค่าช่วงของการแปรผันของพารามิเตอร์ ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจะสนองความไม่เท่าเทียมกัน มันง่ายที่จะทำ ในรูป 1 แสดงกราฟการลดลง ฟังก์ชันเชิงเส้น
- ล้วนมาจากจุดเดียวกัน
,
และลงไปเนื่องจากสัมประสิทธิ์ลบที่ และฟังก์ชันที่ลดลงเร็วที่สุดคือ
- เมื่อไหร่จะสำคัญ
เงื่อนไขของการสิ้นสุดจะเป็นที่พอใจ:

, ที่
.

พบคุณค่า คือขอบเขตของช่วงการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

.

เรารู้ถึงความไม่เท่าเทียมกันนี้แล้ว ได้มาจากทฤษฎีบทของซามาร์สกีก่อนหน้านี้ว่าเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้า การวิเคราะห์เพิ่มเติมตามบทแทรก 2 ช่วยให้เราสามารถชี้แจงผลลัพธ์ได้ ตอนนี้เราได้กำหนดว่าสมาชิกของพารามิเตอร์วนซ้ำ ช่วงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

เรามาศึกษาอัตราการลู่เข้าของวิธีการกันดีกว่า การประมาณค่าความผิดพลาดแสดงให้เห็นว่าค่าดังกล่าวลดลงตามกฎความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน

.

ลองดูที่รูป. 2 ซึ่งจะช่วยให้เราวิเคราะห์สูตรนี้ได้ คล้ายกับรูปที่ 1 เพียงแสดงกราฟที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเท่านั้น
และโมดูลของพวกเขา ตอนเล็กๆ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด
เป็นบวก และยิ่งใหญ่ที่สุดก็คือ
ซึ่งจะลดลงตามการเติบโต ด้วยความเร็วต่ำสุด อย่างไรก็ตามหลังจากผ่านจุดนั้นไปแล้ว
ค่าลักษณะเฉพาะ
,เปลี่ยนเครื่องหมายกลายเป็นลบ. เป็นผลให้ตอนนี้โมดูลของมันเพิ่มขึ้น ไม่ลดลงแต่เพิ่มขึ้นตาม
เข้าใกล้ค่าจำกัด – ความสามัคคี

มาดูกันในส่วนนี้
จุด ซึ่งในฟังก์ชันลดลง
เทียบกับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น
- มันถูกกำหนดโดยสมการ

ที่ให้

.

เป็นผลให้เราได้รับ:

ค่าที่น้อยที่สุดคือค่าปกติของเมทริกซ์ ถึงที่
:

.

สูตรแสดงให้เห็นว่าสำหรับเมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขไม่ดี แม้ว่าจะมีตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์การวนซ้ำก็ตาม
บรรทัดฐานของเมทริกซ์ อยู่ใกล้กับเอกภาพ ดังนั้นการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายในกรณีนี้จึงช้า

โดยสรุป เราสังเกตว่าสูตรที่กำหนดขอบเขตของช่วงการลู่เข้า และสูตรสำหรับค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์การวนซ้ำ มีความสนใจทางทฤษฎีเป็นหลัก โดยปกติแล้ว เมื่อแก้ SLAE จำนวนลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของเมทริกซ์ ไม่ทราบ ดังนั้นให้คำนวณค่า และ เป็นไปไม่ได้ล่วงหน้า เป็นผลให้พารามิเตอร์การวนซ้ำ บ่อยครั้งที่คุณต้องเลือกโดยตรงในกระบวนการคำนวณโดยการลองผิดลองถูก

ภารกิจที่ 2

พิจารณาระบบสมการสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว

และสร้างวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาลงในระบบทันที

,
,

เพื่อให้คุณสามารถเปรียบเทียบกับสมาชิกของลำดับการวนซ้ำได้

มาดูการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการวนซ้ำแบบง่ายๆ กัน เมทริกซ์ระบบมีรูปแบบ

.

มันเป็นเรื่องติดตนเองและแน่นอนในเชิงบวกตั้งแต่นั้นมา

เรามาสร้างสมการลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์กันดีกว่า และค้นหารากของมัน:

,

,

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถกำหนดขอบเขตของช่วงการลู่เข้าได้ และค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์การวนซ้ำ :

,
.

ในการสร้างลำดับการวนซ้ำ เราจะเลือกค่าพารามิเตอร์การวนซ้ำในช่วงการลู่เข้า ตัวอย่างเช่น
- ในกรณีนี้ สูตรที่เกิดซ้ำสำหรับสมาชิกของลำดับการวนซ้ำจะอยู่ในรูปแบบ:

, ที่ไหน

ลองใช้การประมาณเริ่มต้นที่ง่ายที่สุดกัน
และจดคำศัพท์สองสามคำแรกของลำดับการวนซ้ำ โดยคำนวณยอดคงเหลือให้แต่ละรายการ
- เป็นผลให้เราได้รับ:

,
,
,

,
,
,

,
,
,

,
,
.

บรรทัดฐานของสารตกค้างแม้ว่าจะลดลงอย่างช้าๆ ซึ่งบ่งชี้ถึงการบรรจบกันของกระบวนการ สิ่งเดียวกันนี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบเงื่อนไขของลำดับการวนซ้ำ กับการแก้ปัญหาของระบบ การบรรจบกันที่ช้าเกิดจากการปรับสภาพเมทริกซ์ที่ไม่ดี :

.