รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: องค์ประกอบ ความสมมาตร และพื้นที่

Polyhedra ไม่เพียง แต่ครอบครองสถานที่ที่โดดเด่นในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังเกิดขึ้นใน ชีวิตประจำวันแต่ละคน. ไม่ต้องพูดถึงของแต่งบ้านที่ประดิษฐ์ขึ้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมต่างๆ เริ่มด้วย กล่องไม้ขีดและลงท้ายด้วยองค์ประกอบทางสถาปัตยกรรมในธรรมชาติแล้วยังมีผลึกในรูปของลูกบาศก์ (เกลือ) ปริซึม (คริสตัล) ปิรามิด (scheelite) แปดเหลี่ยม (เพชร) เป็นต้น

แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมในเรขาคณิต

เรขาคณิตในฐานะวิทยาศาสตร์ประกอบด้วยส่วนของ stereometry ที่ศึกษาลักษณะและคุณสมบัติของวัตถุสามมิติซึ่งด้านข้างอยู่ใน พื้นที่สามมิติเกิดจากระนาบจำกัด (ใบหน้า) เรียกว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยม" ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยตัวแทนมากกว่าหนึ่งโหลซึ่งแตกต่างกันในจำนวนและรูปร่างของใบหน้า

อย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีคุณสมบัติทั่วไป:

1. ทั้งหมดมีองค์ประกอบสำคัญ 3 ส่วน ได้แก่ ใบหน้า (พื้นผิวของรูปหลายเหลี่ยม) จุดยอด (มุมที่เกิดขึ้นที่ทางแยกของใบหน้า) ขอบ (ด้านข้างของรูปหรือส่วนที่เกิดที่ทางแยกของสองหน้า ).
2. ขอบรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันเชื่อมต่อกันสองหน้า และมีเพียงสองหน้าที่อยู่ติดกัน
3. ความนูนหมายความว่าร่างกายตั้งอยู่เพียงด้านเดียวของระนาบโดยที่ใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งอยู่ กฎนี้ใช้กับทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวในรูปแบบสามมิติเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ข้อยกเว้นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ร่างกายทางเรขาคณิต.

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็น:

1. ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนประกอบด้วยคลาสต่อไปนี้: สามัญหรือคลาสสิก (ปริซึม, ปิรามิด, ขนาน), ปกติ (เรียกอีกอย่างว่าของแข็งสงบ), กึ่งปกติ (ชื่อที่สอง - ของแข็งอาร์คิมีดีน)
2. รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน (มีรูปดาว)

ปริซึมและคุณสมบัติของมัน

Stereometry เป็นสาขาของเรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม (ปริซึมเป็นหนึ่งในนั้น) ปริซึมเป็นวัตถุเรขาคณิตที่จำเป็นต้องมีใบหน้าสองหน้าเหมือนกันทั้งหมด (เรียกอีกอย่างว่าฐาน) นอนอยู่ใน ระนาบคู่ขนานและจำนวนที่ n ของใบหน้าด้านข้างในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในทางกลับกันปริซึมก็มีหลายแบบรวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมเช่น:

1. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเกิดขึ้นถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน - รูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามเท่ากัน 2 คู่และด้านตรงข้ามกัน 2 คู่เท่ากัน
2. ปริซึมตรงมีขอบตั้งฉากกับฐาน
3. มีลักษณะเป็นมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก (นอกเหนือจาก 90) ระหว่างใบหน้ากับฐาน
4. ปริซึมปกติมีลักษณะฐานในรูปแบบที่มีใบหน้าด้านข้างเท่ากัน

คุณสมบัติหลักของปริซึม:

• ฐานที่สอดคล้องกัน
• ขอบทั้งหมดของปริซึมเท่ากันและขนานกัน
• ทั้งหมด ใบหน้าด้านข้างมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พีระมิด

ปิรามิดเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยฐานหนึ่งฐานและใบหน้ารูปสามเหลี่ยมจำนวน n ที่เชื่อมต่อกันที่จุดหนึ่ง - จุดยอด ควรสังเกตว่าหากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดจำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมแทน จากนั้นที่ฐานสามารถมีรูปหลายเหลี่ยมสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีนี้ ชื่อของปิรามิดจะตรงกับรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน ตัวอย่างเช่น หากมีสามเหลี่ยมที่ฐานของปิรามิด - นี่คือรูปสี่เหลี่ยม - สี่เหลี่ยม ฯลฯ

ปิรามิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมคล้ายกรวย ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมของกลุ่มนี้ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น ยังรวมถึงตัวแทนดังต่อไปนี้:

1. พีระมิดปกติมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน และความสูงของปิรามิดถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐานหรือล้อมรอบมัน
2. พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเกิดขึ้นเมื่อขอบด้านใดด้านหนึ่งตัดกับฐานเป็นมุมฉาก ในกรณีนี้ การเรียกขอบนี้ว่าความสูงของปิรามิดก็เป็นเรื่องที่ยุติธรรมเช่นกัน

คุณสมบัติของพีระมิด:

• ถ้าขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากันหมด ( สูงเท่ากัน) จากนั้นพวกมันทั้งหมดจะตัดกับฐานในมุมเดียว และรอบๆ ฐาน คุณสามารถวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางประจวบกับส่วนที่ยื่นออกมาของยอดปิรามิด
• หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของพีระมิด ขอบด้านข้างทั้งหมดจะเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: ชนิดและคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ในสเตอริโอเมทรี สถานที่พิเศษครอบครองร่างกายทางเรขาคณิตที่มีใบหน้าเท่ากันอย่างสมบูรณ์ที่จุดยอดที่เชื่อมต่อจำนวนขอบเท่ากัน ของแข็งเหล่านี้เรียกว่า Platonic solids หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติดังกล่าวมีเพียงห้าร่างเท่านั้น:

1. จัตุรมุข.
2. รูปหกเหลี่ยม
3. รูปแปดด้าน
4. สิบสองหน้า
5. ไอโคซาเฮดรอน

รูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดาเป็นชื่อของเพลโตนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ ผู้บรรยายร่างเรขาคณิตเหล่านี้ในงานเขียนของเขาและเชื่อมโยงพวกมันเข้ากับองค์ประกอบทางธรรมชาติ: ดิน น้ำ ไฟ อากาศ ร่างที่ห้าได้รับรางวัลความคล้ายคลึงกันกับโครงสร้างของจักรวาล ในความเห็นของเขา อะตอมขององค์ประกอบทางธรรมชาติที่มีรูปร่างคล้ายกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เนื่องจากคุณสมบัติที่น่าตื่นเต้นที่สุด - ความสมมาตร ร่างกายทางเรขาคณิตเหล่านี้จึงเป็นตัวแทน สนใจมากไม่เพียงแต่สำหรับนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาในสมัยโบราณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปนิก จิตรกร และประติมากรตลอดกาลด้วย การปรากฏตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียง 5 ประเภทที่มีสมมาตรสัมบูรณ์ถือเป็นการค้นพบขั้นพื้นฐานพวกเขายังได้รับการเชื่อมโยงกับหลักการอันศักดิ์สิทธิ์

Hexahedron และคุณสมบัติของมัน

ในรูปแบบของหกเหลี่ยม ผู้สืบทอดของเพลโตถือว่ามีความคล้ายคลึงกันกับโครงสร้างของอะตอมของโลก แน่นอน ในปัจจุบัน สมมติฐานนี้ได้รับการหักล้างโดยสิ้นเชิง ซึ่งไม่ได้ป้องกันตัวเลขจากการดึงดูดจิตใจในยุคปัจจุบัน บุคคลที่มีชื่อเสียงด้วยความสวยงาม

ในเรขาคณิต รูปหกเหลี่ยมหรือที่เรียกว่าลูกบาศก์ถือเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งในทางกลับกันเป็นปริซึมชนิดหนึ่ง ดังนั้น คุณสมบัติของลูกบาศก์จึงสัมพันธ์กับความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ทุกหน้าและมุมของลูกบาศก์เท่ากัน คุณสมบัติดังต่อไปนี้ตามมาจากสิ่งนี้:

1. ขอบทั้งหมดของลูกบาศก์เท่ากันและอยู่ในระนาบขนานกัน
2. ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอดคล้องกัน (มีทั้งหมด 6 ลูกบาศก์) ซึ่งสามารถใช้เป็นฐานได้
3. มุมระหว่างหน้าทั้งหมดคือ 90
4. จากจุดยอดแต่ละจุดจะมีจำนวนขอบเท่ากันคือ 3
5. ลูกบาศก์มี 9 ซึ่งทั้งหมดตัดกันที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม เรียกว่าจุดศูนย์กลางสมมาตร

จัตุรมุข

จัตุรมุขคือจัตุรมุขที่มีหน้าเท่ากันในรูปสามเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดยอดเป็นจุดเชื่อมต่อของใบหน้าทั้งสาม

คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:

1. ใบหน้าของจัตุรมุขทั้งหมด - สิ่งนี้ตามมาว่าใบหน้าของจัตุรมุขทั้งหมดมีความสอดคล้องกัน
2. เนื่องจากฐานแสดงด้วยรูปทรงเรขาคณิตปกติ นั่นคือ มีค่า ด้านเท่ากันจากนั้นใบหน้าของจัตุรมุขมาบรรจบกันในมุมเดียวกัน นั่นคือ มุมทุกมุมเท่ากัน
3. ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180 เนื่องจากมุมทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้นมุมใดๆ ของจัตุรมุขปกติคือ 60
4. จุดยอดแต่ละจุดถูกฉายไปยังจุดตัดของความสูงของใบหน้าตรงข้าม (ออร์โธเซ็นเตอร์)

รูปแปดด้านและคุณสมบัติของมัน

เมื่ออธิบายถึงประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เราไม่สามารถพลาดที่จะสังเกตวัตถุเช่นรูปแปดด้าน ซึ่งสามารถแสดงด้วยสายตาเป็นปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติสองรูปที่ติดกาวที่ฐาน

คุณสมบัติของรูปแปดด้าน:

1. ชื่อของรูปทรงเรขาคณิตบ่งบอกถึงจำนวนใบหน้าของมัน รูปแปดด้านประกอบด้วย 8 เท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าโดยแต่ละจุดยอดมีใบหน้าจำนวนเท่ากันมาบรรจบกัน คือ 4
2. เนื่องจากหน้าของรูปแปดด้านเท่ากันหมด มุมต่อประสานก็เช่นกัน ซึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 60 และผลรวมของมุมระนาบของจุดยอดใดๆ ก็ตามจึงเท่ากับ 240

สิบสองหน้า

หากเราจินตนาการว่าใบหน้าทุกหน้าของตัวเรขาคณิตเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ เราก็จะได้สิบสองหน้า - รูปหลายเหลี่ยม 12 รูป

คุณสมบัติของสิบสองหน้า:

1. ใบหน้าทั้งสามตัดกันที่จุดยอดแต่ละจุด
2. ขอบทั้งหมดเท่ากันและมี ยาวเท่ากันขอบและพื้นที่เท่ากัน
3. สิบสองเหลี่ยมมี 15 แกนและระนาบสมมาตร และส่วนใดส่วนหนึ่งจะผ่านจุดยอดของใบหน้าและตรงกลางของขอบอีกด้าน

icosahedron

ที่น่าสนใจไม่น้อยไปกว่า dodecahedron, icosahedron เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่มี 20 ใบหน้าเท่ากัน ในบรรดาคุณสมบัติของยี่สิบเฮดรอนปกติสามารถสังเกตได้ดังต่อไปนี้:

1. ใบหน้าทั้งหมดของ icosahedron เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
2. ห้าหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมและผลรวม มุมที่อยู่ติดกันจุดยอดคือ 300
3. icosahedron เช่นเดียวกับ dodecahedron มี 15 แกนและระนาบสมมาตรที่ผ่านจุดกึ่งกลางของใบหน้าตรงข้าม

รูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ

นอกจากของแข็งแบบพลาโทนิกแล้ว กลุ่มของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนยังรวมถึงของแข็งอาร์คิมีดีนด้วย ซึ่งจะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ถูกตัดให้สั้นลง ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมของกลุ่มนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ตัวเรขาคณิตมีใบหน้าที่เท่ากันในหลายประเภท ตัวอย่างเช่น จัตุรมุขที่ถูกตัดทอนมี 8 หน้า เช่นเดียวกับจัตุรมุขทั่วไป แต่ในกรณีของของแข็งอาร์คิมีดีน 4 หน้าจะเป็นรูปสามเหลี่ยม และ 4 หน้าจะเป็นหกเหลี่ยม
2. มุมทุกมุมของจุดยอดจุดเดียวเท่ากันทุกประการ

รูปหลายเหลี่ยมดาว

ตัวแทนของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่ปริมาตรคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวซึ่งมีใบหน้าตัดกัน พวกมันสามารถเกิดขึ้นได้โดยการรวมร่างสามมิติปกติสองร่างเข้าด้วยกันหรือโดยการทำใบหน้าต่อ

ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีดาวฤกษ์ดังกล่าวจึงเป็นที่รู้จักในชื่อ: รูปดาวของรูปแปดด้าน, สิบสองหน้า, รูปหลายเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยม, รูปลูกบาศก์, รูปแปดเหลี่ยม

บทที่ 7 ในหัวข้อ: “Polyhedra. จุดยอด ขอบ ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แนะนำนักเรียนให้รู้จักรูปทรงหลายเหลี่ยม - ลูกบาศก์ โดยการวัดและการสังเกต ค้นหาคุณสมบัติของลูกบาศก์ให้ได้มากที่สุด

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้วัสดุใหม่

วิธีการ:

ตามแหล่งที่มาของความรู้: วาจา, การมองเห็น;

ตามระดับของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างครูกับนักเรียน: การสนทนาแบบศึกษาสำนึก;

เกี่ยวกับงานการสอน: การเตรียมพร้อมสำหรับการรับรู้

เกี่ยวกับธรรมชาติของกิจกรรมทางปัญญา:การสืบพันธุ์การสำรวจบางส่วน

อุปกรณ์: บทช่วยสอน:คณิตศาสตร์: เรขาคณิตเชิงภาพ 5-6 ชั้นเรียน I.F. ชารีกิน, เครื่องฉายมัลติมีเดีย, คอมพิวเตอร์.

ผลการเรียนรู้:

ส่วนตัว: ความสามารถในการรับรู้ทางอารมณ์ วัตถุทางคณิตศาสตร์ความสามารถในการแสดงความคิดเห็นอย่างชัดเจนและถูกต้อง

เมตาหัวเรื่อง: ความสามารถในการเข้าใจและใช้อุปกรณ์ช่วยการมองเห็น

เรื่อง: เรียนรู้การวาดการสแกนและสร้างรูปร่างด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา

อุปกรณ์: หนังสือเรียน “เรขาคณิตภาพ เกรด 5 - 6 "S. Sharygin กระดานโต้ตอบ, กรรไกร.

UUD:

ความรู้ความเข้าใจ: การวิเคราะห์และจำแนกวัตถุ

กฎระเบียบ: ตั้งเป้าหมาย; ระบุและเข้าใจสิ่งที่รู้แล้วและสิ่งที่ต้องเรียนรู้

สื่อสาร: ความร่วมมือทางการศึกษากับครูและเพื่อนฝูง

ระหว่างเรียน

เวลาจัดงาน.

การทำให้เป็นจริงและการแก้ไขความรู้พื้นฐาน

บนโต๊ะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งนักเรียนพบใน โรงเรียนประถม. คุณสามารถตั้งชื่อตัวเลขอะไรได้บ้าง ตัวเลขอะไรมากที่สุด?

เป็นการยากที่จะหาคนที่ไม่คุ้นเคยกับลูกบาศก์ ท้ายที่สุด ลูกบาศก์เป็นเกมโปรดสำหรับเด็ก ดูเหมือนว่าเรารู้ทุกอย่างเกี่ยวกับลูกบาศก์แล้ว แต่มันคือ?

ลูกบาศก์เป็นตัวแทนของตระกูลรูปทรงหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ บางอย่างที่คุณได้พบแล้ว - นี่คือปิรามิด ทรงลูกบาศก์. การพบปะผู้อื่นรอคุณอยู่ข้างหน้า

รูปทรงหลายเหลี่ยมแม้จะมีความแตกต่างกัน แต่ก็มีคุณสมบัติทั่วไปหลายประการ

พื้นผิวของแต่ละรูปประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนซึ่งเรียกว่าใบหน้าหลายเหลี่ยม . รูปหลายเหลี่ยมแบนติดกันสองรูปมีด้านร่วมกัน -ขอบหลายเหลี่ยม . ปลายซี่โครงคือยอดรูปทรงหลายเหลี่ยม

ในบทเรียนที่แล้ว คุณสนใจประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม และนี่คือตัวแทนของรูปหลายเหลี่ยมปกติ 5 แบบ

จัตุรมุข octahedron icosahedron หกเหลี่ยม dodecahedron

ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบของความรู้

พิจารณาภาพของลูกบาศก์ในรูปวาดในสมุดบันทึกและเซ็นชื่อองค์ประกอบหลักของลูกบาศก์ จำและใช้ข้อกำหนดเหล่านี้ในอนาคต

ลูกบาศก์เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีใบหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และที่จุดยอดแต่ละจุดจะมีสามขอบและสามหน้ามาบรรจบกัน มี 6 หน้า 8 จุดยอด 12 ขอบ

การทำงานกับโมเดล

ทำงานกับการกวาด

№ 2 (คณิตศาสตร์: เรขาคณิตเชิงภาพ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 I.F. Sharygin) วาดลูกบาศก์สแกนบนแผ่นกระดาษ ตัดมันออกแล้วม้วนลูกบาศก์ออกมาทากาว

ร่างที่ถูกตัดออกเรียกว่าการสแกนลูกบาศก์ . พิจารณาว่าทำไมจึงมีชื่อมาก

№ 3 (คณิตศาสตร์: เรขาคณิตเชิงภาพ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 I.F. Sharygin) ลองประกอบลูกบาศก์จากการสแกนที่เสนอแล้วโอนไปยังสมุดบันทึกของคุณ

№ 5 (คณิตศาสตร์: เรขาคณิตเชิงภาพ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 I.F. Sharygin) คลี่ลูกบาศก์ออก ลูกบาศก์ใดในรูปที่ 30, a-c สามารถติดกาวได้? เลือกลูกบาศก์และปรับทางเลือกของคุณ

№ 12 (คณิตศาสตร์ : ทัศนวิสัย ป.5-6 I.F. Sharygin) มีแถบกระดาษขนาด 1*7 วิธีการพับลูกบาศก์เดียวจากมัน?

№ 15 (คณิตศาสตร์: เรขาคณิตเชิงภาพ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 I.F. ชารีกิน) แมงมุมและแมลงวันนั่งอยู่ที่จุดยอดตรงข้ามของลูกบาศก์ ทางที่สั้นที่สุดสำหรับแมงมุมที่จะไปถึงแมลงวันคืออะไร? อธิบายคำตอบ

ภาพสะท้อนของกิจกรรมการศึกษา

วันนี้ฉันพบว่า...

มันน่าสนใจ…

มันยาก…

ฉันทำภารกิจ...

ฉันซื้อ...

ฉันได้เรียนรู้…

ฉันจัดการ…

ฉันสามารถ...

ฉันจะพยายาม…

ทำให้ฉันประหลาดใจ...

ให้บทเรียนชีวิตแก่ฉัน...

การบ้าน. ทำแบบจำลองลูกบาศก์จากกระดาษแข็ง

หัวข้อ.“รูปทรงหลายเหลี่ยม องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ ใบหน้า จุดยอด ขอบ

เป้าหมายสร้างเงื่อนไขสำหรับการขยายตัว ความรู้เชิงทฤษฎีเกี่ยวกับตัวเลขเชิงพื้นที่: แนะนำแนวคิดของ "รูปทรงหลายเหลี่ยม", "ใบหน้า", "จุดยอด", "ขอบ"; รับรองการพัฒนาความสามารถของนักเรียนในการเน้นสิ่งสำคัญใน วัตถุทางปัญญา; ส่งเสริมการพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่นักเรียน.

วัสดุการศึกษาหนังสือเรียน “คณิตศาสตร์. เกรด 4 "(ผู้แต่ง V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); คอมพิวเตอร์; โปรเจ็กเตอร์; การนำเสนอ "รูปหลายเหลี่ยม"; พิมพ์แบบฟอร์ม "พิกัดมุม", "รูปหลายเหลี่ยม", "ปัญหา"; แบบจำลองรูปทรงหลายเหลี่ยม การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม กระจก; กรรไกร.

ระหว่างเรียน

ก่อนเริ่มบทเรียน เด็ก ๆ จะถูกแบ่งออกเป็นสามกลุ่มตามระดับความรู้ - สูง กลาง ต่ำ

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครู.ที่รักของฉัน ฉันขอเชิญคุณอีกครั้ง โลกที่น่าหลงใหลคณิตศาสตร์. และฉันแน่ใจว่าในบทเรียนนี้ คุณจะได้เรียนรู้สิ่งใหม่ รวมสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ และสามารถนำความรู้ที่ได้มาไปปฏิบัติได้

วันนี้ฉันขอเริ่มบทเรียนด้วยคำพูดของนักปรัชญาชาวอังกฤษชื่อ Roger Bacon เกี่ยวกับคณิตศาสตร์: "ผู้ที่ไม่รู้จักคณิตศาสตร์ไม่สามารถเรียนวิทยาศาสตร์อื่น ๆ และไม่รู้จักโลก" ฉันคิดว่าในบทเรียนเราจะพบคำยืนยันของนักปรัชญาคนนี้อย่างแน่นอน

ครั้งที่สอง การทำซ้ำของวัสดุที่ครอบคลุม การสร้างรูปหลายเหลี่ยมตามพิกัด

ยู.ในบทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1, 2, 3 เราศึกษารูปทรงเรขาคณิตแบบแบนต่างๆ และเรียนรู้วิธีการสร้างด้วย ฉันแนะนำให้คุณสร้างใน พิกัดมุม ร่างแบนตามพิกัดที่กำหนด

งานจะดำเนินการในแบบฟอร์มที่พิมพ์

กลุ่ม 1

สร้างตัวเลขหากทราบพิกัด แต่ (0; 2), ที่ (2; 5), จาก(9; 2). ได้รูปอะไรมาบ้าง?

กลุ่ม 2

สร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าถ้าจุด แต่(3; 2) และ ที่(6; 5) คือจุดยอดตรงข้าม ตั้งชื่อพิกัดของจุดยอดตรงข้าม ชื่ออื่นสำหรับตัวเลขนี้คืออะไร?

กลุ่ม 3

สร้างตัวเลขถ้าทราบพิกัดของจุดยอดของมัน แต่ (2; 3), ที่ (2; 6), จาก (5; 8), ดี (8; 6), K (8; 3), เอ็ม(5; 1). ได้รูปอะไรมาบ้าง?

คุณสามารถตั้งชื่อตัวเลขเหล่านี้ว่าอะไร?

เด็ก.นี่คือรูปหลายเหลี่ยม

สไลด์ 1

ยู.เรารู้ว่ารูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีจุดยอดและด้าน ตั้งชื่อและแสดง

คนหนึ่งจากกลุ่มทำงานให้เสร็จที่กระดานดำ

สาม. บทนำสู่วัสดุใหม่

ยู.วันนี้จะมาแนะนำความอลังการ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม โมเดลของพวกเขาถูกนำเสนอในตารางของคุณ

นักเรียนมีตัวเลขปริมาตรบนโต๊ะ: ลูกบาศก์, สี่เหลี่ยมด้านขนาน, ปิรามิด, ปริซึม

- นั่งสบาย ๆ มองอย่างระมัดระวัง ฟังอย่างระมัดระวัง และจำ

ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ "รูปทรงหลายเหลี่ยม", "ใบหน้า", "จุดยอด", "ขอบ"

- ถ้าคุณเอาสามเหลี่ยม 4 อัน คุณสามารถสร้าง ปริมาตร – ปิรามิด. จากสี่เหลี่ยมจัตุรัสคุณจะได้อีกรูปหนึ่ง - ลูกบาศก์ จากสี่เหลี่ยม - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณมีอีกร่างหนึ่งอยู่บนโต๊ะ - ปริซึมซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยม .

รูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูป (in กรณีนี้สามเหลี่ยม) เรียกว่า ขอบ รูปทรงหลายเหลี่ยม ด้านของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ซี่โครง รูปทรงหลายเหลี่ยม และแน่นอน จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็น ยอดรูปทรงหลายเหลี่ยม นี่คือรูปวาดของรูปทรงหลายเหลี่ยมบนแผ่นกระดาษ

สไลด์2

ดูเหมือนว่าร่างที่ทำจากแก้ว คุณคิดว่าเส้นประในภาพวาดแสดงอะไร

ง.ซี่โครงที่มองไม่เห็น

เด็ก ๆ ทำงานบนกระดานดำ

ยู.แล้วมันคืออะไร?

ง.รูปทรงหลายเหลี่ยม

ยู.ตั้งชื่อและแสดงใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม ขอบและจุดยอด

เด็กชี้ด้วยตัวชี้และรายการ

- หากคุณตัดปิรามิดจากบนลงล่างตามขอบ คุณจะได้รับการกวาดดังกล่าว
และตอนนี้ที่รักของฉัน หาแบบฟอร์มที่มีรูปหลายเหลี่ยมบนโต๊ะ อ่านคำแนะนำอย่างระมัดระวัง:

1. พิจารณารูปหลายเหลี่ยมอย่างระมัดระวัง
2. ค้นหารูปหลายเหลี่ยมที่ต้องการแฉ (แบบจำลองบนกระดาน)
3. ประกอบโมเดลโพลิกอน
4. ระบุจำนวนจุดยอด __ ใบหน้า __ ขอบ __ ของรูปหลายเหลี่ยม
5. ตั้งชื่อแต่ละจุดยอด __ ขอบ __ ใบหน้า __ ของรูปหลายเหลี่ยม

กลุ่ม 1

กลุ่ม 2

กลุ่ม 3

- บนกระดานมีการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม พยายามหาพัฒนาการของรูปร่างของคุณจากการวาดภาพและประกอบรูปทรงหลายเหลี่ยม ทำงานร่วมกันและฉันคิดว่าคุณจะประสบความสำเร็จ

การตรวจสอบความสมบูรณ์ของงาน (สไลด์ 3, 4, 5)

ยอด – 8; ซี่โครง – 12; ใบหน้า – 6; จุดยอด - M, B, C, A, X, K, O, T; ซี่โครง - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; ใบหน้า - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT

ยอด – 8; ซี่โครง – 12; ใบหน้า – 6; จุดยอด - M, B, C, A, X, K, O, T; ซี่โครง - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; ใบหน้า - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT

ยอด – 12; ซี่โครง – 18; ใบหน้า – 8; จุดยอด - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C; ซี่โครง - YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB; ใบหน้า - BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB

IV. ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบของความรู้

ยู.บอกฉันที มีวัตถุในโลกรอบตัวเราที่มีรูปร่างหลายเหลี่ยมหรือไม่?

ได้ยินคำตอบของเด็ก มีการ "เดิน" รอบสนามโรงเรียนอย่างกะทันหัน เด็ก ๆ "พิจารณา" โมเดลอาคารเรียน ห้องเอนกประสงค์ ซึ่งมีลักษณะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม

- ทำภารกิจให้สำเร็จ:

หมาป่ากับกระต่ายติดบ้านด้วยกระดาษสี คุณต้องการใบหน้าแต่ละสีกี่หน้า? ขอบของแต่ละสีมีรูปร่างอย่างไร?

สไลด์ 6

V. การรวมของที่เรียนมาก่อนหน้านี้

ยู.เพื่อนๆ ลองนึกภาพตัวเองเป็นสถาปนิก นักออกแบบ หรือช่างก่อสร้าง แล้วพยายามแก้ปัญหา

งานสำหรับกลุ่ม 1

หาพื้นที่ที่จะใช้ในอาคารเรียนหลังใหม่ ถ้ายาว 74 ม. กว้าง 13 ม. ( ตอบ 962 ตร.ว. เมตร)

งานสำหรับกลุ่ม2

พื้นที่สนามเด็กเล่นในสนามของโรงเรียนของเราคือ 1080 ตารางเมตร ม. ม. นี้เท่ากับ 1320 ตารางเมตร ม. เมตรน้อยกว่าพื้นที่ลานสเก็ตฮอกกี้ คำนวณพื้นที่ของลานสเก็ตฮอกกี้ ( ตอบ 2400 ตร.ว. ม)

งานสำหรับกลุ่ม 3

สำหรับการก่อสร้างอาคารใหม่ของโรงเรียนของเรา เนื้อที่ 2,500 ตร.ว. ม. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าอาคารจะกว้าง 13 ม. ยาว 74 ม. พื้นที่ใดของไซต์ที่จะยังคงอยู่สำหรับแปลงดอกไม้และทางเดินหลังจากสร้างอาคารแล้ว? ( ตอบ: 1) 962 ตร.ว. เมตร; 2) 1538 ตร.ว. ม)

เด็ก ๆ ตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหา อธิบายว่าพวกเขาแก้ไขอย่างไร

หก. สรุปบทเรียน

ยู.ปรากฎว่าโรเจอร์เบคอนพูดถูกเมื่อเขาพูดว่า: "ผู้ที่ไม่รู้คณิตศาสตร์ไม่สามารถเรียนวิทยาศาสตร์อื่น ๆ และไม่รู้จักโลก"

ครูประเมินงานของกลุ่ม

1. ในรูปที่ 1 ระบุรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและไม่นูน

คำตอบ: นูน - b), e); ไม่นูน - a), c), d)

2. ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน

คำตอบ: รูปที่ 1, ก)

3. จริงหรือไม่ที่การรวมตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน?

คำตอบ: ไม่

4. จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถเท่ากับจำนวนใบหน้าได้หรือไม่?

คำตอบ: ใช่ จัตุรมุข

5. สร้างความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนมุมระนาบ P ของรูปทรงหลายเหลี่ยมกับจำนวนขอบ P

คำตอบ: P = 2R.

6. ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นเพียงรูปสามเหลี่ยม มีจุดยอด B และด้าน D กี่จุด หากมี: a) 12 ขอบ; ข) 15 ซี่โครง? ยกตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าว

7. ขอบทั้งสามโผล่ออกมาจากจุดยอดแต่ละอันของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน มีจุดยอด B และด้าน D กี่จุด หากมี: a) 12 ขอบ; ข) 15 ซี่โครง? วาดรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้

คำตอบ: ก) B \u003d 8, D \u003d 6, ลูกบาศก์; b) H \u003d 10, D \u003d 7, ปริซึมห้าเหลี่ยม

8. ที่จุดยอดแต่ละอันของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ขอบทั้งสี่มาบรรจบกัน มีจุดยอด B และด้าน D กี่จุด ถ้าจำนวนขอบเท่ากับ 12? วาดรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้

9. พิสูจน์ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือสามขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดบางส่วน

10. ลองนึกดูว่าข้อโต้แย้งที่แสดงความถูกต้องของความสัมพันธ์ออยเลอร์นั้นใช้ความนูนของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้ที่ไหน

11. B - P + G สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 6 คืออะไร?

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าปกติถ้าใบหน้าเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมปกติและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

ให้เราพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เป็นไปได้และประการแรกคือใบหน้าที่มีรูปสามเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดาที่ง่ายที่สุดคือพีระมิดสามเหลี่ยมซึ่งใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 7) ใบหน้าทั้งสามมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ด้วยสี่หน้าเท่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกอีกอย่างว่าจัตุรมุขปกติหรือเพียงแค่จัตุรมุขซึ่งแปลมาจาก กรีกหมายถึงรูปสี่เหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และใบหน้าสี่หน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ดังแสดงในรูปที่ 8 พื้นผิวของมันประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติแปดรูป จึงเรียกว่ารูปแปดด้าน

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่จุดยอดแต่ละจุดซึ่งมีสามเหลี่ยมปกติห้ารูปมาบรรจบกัน จะแสดงในรูปที่ 9 พื้นผิวของมันประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติยี่สิบรูป ดังนั้นจึงเรียกว่า icosahedron

โปรดทราบว่าเนื่องจากสามเหลี่ยมปกติมากกว่าห้ารูปไม่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนได้ จึงไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ

ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากมีเพียงสามสี่เหลี่ยมเท่านั้นที่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ดังนั้นนอกเหนือจากลูกบาศก์ (รูปที่ 10) ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นที่มีใบหน้าเป็นสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์มีหกด้านจึงเรียกว่าทรงหกเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติและมีใบหน้าสามหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดดังแสดงในรูปที่ 11 พื้นผิวของมันประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติสิบสองรูป จึงเรียกว่าสิบสองหน้า

พิจารณาแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากมุมมองของโทโพโลยีของวิทยาศาสตร์ ซึ่งศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเสียรูปต่างๆ โดยไม่มีความไม่ต่อเนื่อง จากมุมมองนี้ ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมทั้งหมดมีค่าเท่ากัน เนื่องจากสามเหลี่ยมหนึ่งสามารถหาได้จากอีกรูปหนึ่งโดยการหดตัวหรือขยายด้านข้างที่สอดคล้องกัน โดยทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจำนวนด้านเท่ากันจะเท่ากันด้วยเหตุผลเดียวกัน

เราจะกำหนดแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทอพอโลยีในสถานการณ์เช่นนี้ได้อย่างไร? กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสมบัติใดในคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นมีความเสถียรทางทอพอโลยีและควรถูกปล่อยทิ้งไว้ และคุณสมบัติใดที่ไม่เสถียรเชิงทอพอโลยีและควรทิ้ง

ในคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ จำนวนด้านและจำนวนหน้ามีความเสถียรทางทอพอโลยี กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่อง ความสม่ำเสมอของรูปหลายเหลี่ยมไม่ใช่คุณสมบัติที่มีความเสถียรทางทอพอโลยี ดังนั้นเราจึงมาถึงคำจำกัดความต่อไปนี้

รูปหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าทอพอโลยีปกติถ้าใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากันและมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด เบอร์เดียวกันใบหน้า

กล่าวกันว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปจะเทียบเท่าทอพอโลยี ถ้าอันหนึ่งสามารถหาได้จากอีกอันหนึ่งโดยการเปลี่ยนรูปอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างเช่น ทั้งหมด ปิรามิดสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทอพอโลยีเทียบเท่ากัน Parallepipeds ทั้งหมดยังเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทอพอโลยีเทียบเท่ากัน พวกมันไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบทอพอโลยี เช่น ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยม

ให้เราหาคำถามว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทอพอโลยีจำนวนเท่าใดที่ไม่เท่ากัน

อย่างที่เราทราบ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ: จัตุรมุข ลูกบาศก์ แปดด้าน ทรงแปดหน้า และสิบสองหน้า ดูเหมือนว่าควรจะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเชิงทอพอโลยีมากกว่านี้ อย่างไรก็ตาม ปรากฎว่าไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบทอพอโลยีอื่นๆ ที่ไม่เทียบเท่ากับรูปทรงปกติที่เป็นที่รู้จักอยู่แล้ว

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์ ให้รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบทอพอโลยีที่มีใบหน้าเป็น n -gons และขอบ m มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด เป็นที่ชัดเจนว่า n และ m มากกว่าหรือเท่ากับสาม แสดงว่าก่อนหน้านี้ B - จำนวนจุดยอด P - จำนวนขอบและ Г - จำนวนใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ แล้ว

nG = 2P; ก = ; mB = 2P; ข = .

ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ B - P + G = 2 และดังนั้น

โดยที่ R = .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน 2n + 2m - nm > 0 ซึ่งเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน (n - 2)(m - 2)< 4.

ค้นหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ n และ m ที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันที่พบและกรอกในตารางต่อไปนี้

	จัตุรมุข	V=6, R=12, D=8	V=12, P=30, D=20 icosahedron
	V=8, P=12, D=4	ไม่ได้อยู่	ไม่ได้อยู่
	V=20, P=30, D=12 สิบสองหน้า	ไม่ได้อยู่	ไม่ได้อยู่

ตัวอย่างเช่น ค่า n = 3, m = 3 ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (n - 2)(m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

ค่า n = 4, m = 4 ไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (n - 2)(m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

ตรวจสอบกรณีอื่นๆ ด้วยตนเอง

จากตารางนี้พบว่ารูปทรงโพลีเฮดราปกติที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติตามรายการด้านบนและรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากับพวกมัน

คำนิยาม. รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าปกติถ้า: 1) มันเป็นนูน; 2) ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน 3) จำนวนขอบเท่ากันมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด 4) ไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน

ตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือลูกบาศก์: มันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ใบหน้าทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน ขอบทั้งสามมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของลูกบาศก์นั้นถูกต้อง จัตุรมุขปกติก็เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเช่นกัน

คำถามเกิดขึ้น: กี่ หลากหลายชนิดรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ?

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าประเภท:

พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติตามอำเภอใจ เอ็ม ซึ่งมีจุดยอด B ขอบ P และหน้า G ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็น:

วี - R + G \u003d 2 (1)

ให้แต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดมี มขอบ (ด้านข้าง) และที่จุดยอดแต่ละจุดบรรจบกัน นซี่โครง. อย่างชัดเจน,

เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยม B มีจุดยอด และแต่ละอันมี n ขอบ เราจึงได้ n ขอบ แต่ขอบใดๆ ก็ตามเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้นแต่ละขอบจะเข้าสู่ผลิตภัณฑ์ n สองครั้ง ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมจึงมี หลากหลายซี่โครง. แล้ว

จาก (1), (3), (4) เราได้รับ - Р + = 2 ดังนั้น

+ = + > . (5)

ดังนั้นเราจึงมี

จากความไม่เท่าเทียมกัน 3 และ 3 ตามมาว่าใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมธรรมดาหรือสี่เหลี่ยมธรรมดาหรือรูปห้าเหลี่ยมปกติก็ได้ นอกจากนี้ ในกรณี m = n = 4; ม. = 4, น = 5; ม. = 5, น = 4; m = n = 5 เรามาถึงข้อขัดแย้งกับเงื่อนไข ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้ห้ากรณี: 1) m = n = 3; 2) ม. = 4, น = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. ลองพิจารณาแต่ละกรณีโดยใช้ความสัมพันธ์ (5), (4) และ (3)

1) ม=n=3(แต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ซึ่งเรารู้จักกันดี จัตุรมุขปกติ (« จัตุรมุข" หมายถึงจัตุรมุข)

2) m = 4, n = 3(แต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และขอบทั้งสามมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด) เรามี

พี = 12; ข = 8; ก = 6

เราได้รูปหกเหลี่ยมปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า ทรงหกเหลี่ยมปกติ และเป็นลูกบาศก์ (" หกเหลี่ยม"-- hexahedron) ส่วนขนานใด ๆ ที่เป็น hexahedron

3) m = 3, n = 4(แต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งสี่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละอัน) เรามี

พี = 12; ข = =6; G \u003d \u003d 8

เราได้รูปแปดด้านปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า ทรงแปดด้านปกติ ("แปดด้าน" --รูปแปดด้าน)

4) m = 5, n = 3(แต่ละหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ สามขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละอัน) เรามี:

พี = 30; ข = = 20; G \u003d \u003d 12.

เราได้สิบสองหน้าปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า สิบสองหน้าปกติ (« สิบสองหน้า"- สิบสองหน้า).

5) ม. = 3,n = 5(แต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ห้าขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละอัน) เรามี

พี = 30; ข = =12; ก = = 20.

เราได้ยี่สิบด้านที่ถูกต้อง รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่า icosahedron ปกติ (« icosahedron"- ยี่สิบด้าน)

ดังนั้นเราจึงได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. มีห้าประเภทที่แตกต่างกัน (ขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกัน) รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: จัตุรมุขปกติ, หกเหลี่ยมปกติ (คิวบ์), ทรงแปดหน้าปกติ, สิบสองเหลี่ยมปกติ และ icosahedron ปกติ

ข้อสรุปนี้สามารถบรรลุได้ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย

แท้จริงแล้ว ถ้าใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมธรรมดา และมาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่งจุด kซี่โครงคือ มุมนูนแบนทั้งหมด k- มุมเฮดรัลจะเท่ากัน เพราะเหตุนี้, ตัวเลขธรรมชาติ kสามารถรับค่าได้: 3;4;5 ในขณะที่ Г = , Р = . จากทฤษฎีบทออยเลอร์ เรามี:

B+-= 2 หรือ B (6 - k) = 12.

แล้วที่ k\u003d 3 เราได้รับ: B \u003d 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (จัตุรมุขปกติ);

ที่ k = 4 เราได้รับ: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (รูปแปดด้านปกติ);

ที่ k = 5 เราได้รับ: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 ( icosahedron ปกติ)

หากใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติแล้ว เงื่อนไขนี้สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น k= 3 จากนั้น: Г = , Р= ; B + - = 2 หรือ ดังนั้น B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - เราได้ลูกบาศก์ (ทรงหกเหลี่ยมปกติ)

ถ้าใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติแล้ว ตรงตามเงื่อนไขนี้เท่านั้น k= 3 และ Г = ; ร = . ในทำนองเดียวกัน การคำนวณก่อนหน้าเราได้รับ: และ B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (สิบสองหน้าปกติ)

เริ่มต้นด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ น่าจะเป็นใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ มุมระนาบจะไม่เล็กลงและแคบลง k= 3 ผลรวมของพวกเขากลายเป็นอย่างน้อย ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าประเภทเท่านั้น

ตัวเลขแสดงเลย์เอาต์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งห้า

จัตุรมุขปกติ

ทรงแปดด้านปกติ

ทรงหกเหลี่ยมปกติ

icosahedron ปกติ

สิบสองหน้าปกติ

คุณสมบัติบางประการของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้

ประเภทใบหน้า	มุมแบนด้านบน	มุมมองของมุมหลายเหลี่ยมที่จุดยอด	ผลรวมของมุมแบนที่จุดยอด				ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยม
ถูกต้อง สามเหลี่ยม	3 ด้าน				จัตุรมุขปกติ
ถูกต้อง สามเหลี่ยม	4 ด้าน				ทรงแปดด้านปกติ
ถูกต้อง สามเหลี่ยม	5 ด้าน				icosahedron ปกติ
	3 ด้าน				ถูกต้อง หกเหลี่ยม (ลูกบาศก์)
ถูกต้อง รูปห้าเหลี่ยม	3 ด้าน					ถูกต้อง สิบสองหน้า

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอัน นอกเหนือจากที่ระบุไว้แล้ว เรามักจะสนใจ:

• 1. คุณค่าของมัน มุมไดฮีดรัลที่ซี่โครง (ด้วยความยาวของซี่โครง เอ).
• 2. ยกกำลังสอง เต็มพื้นผิว(สำหรับความยาวซี่โครง เอ).
• 3. ปริมาณของมัน (ด้วยความยาวของซี่โครง เอ).
• 4. รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบมัน (ด้วยความยาวของขอบ เอ).
• 5. รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ (ด้วยความยาวของขอบ เอ).
• 6. รัศมีของทรงกลมที่สัมผัสขอบทั้งหมด (ด้วยความยาวของขอบ เอ).

ทางออกที่ง่ายที่สุดคือการคำนวณพื้นที่ผิวรวมของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ มันเท่ากับ Г โดยที่ Г คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ และเป็นพื้นที่ของหนึ่งหน้า

จำความบาป = ซึ่งทำให้เรามีโอกาสเขียนเป็นรากได้: ctg =. เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้ เราทำตาราง:

ก) สำหรับพื้นที่ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

b) สำหรับพื้นที่ผิวรวมของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ทีนี้มาดูการคำนวณค่ามุมไดฮีดรัลของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ขอบกัน สำหรับจัตุรมุขปกติและลูกบาศก์ คุณสามารถหาค่าของมุมนี้ได้อย่างง่ายดาย

ในรูปสิบสองเหลี่ยมปกติ มุมระนาบของใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้น เราจึงนำทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับมุมไตรเฮดรัลไปใช้กับมุมสามหน้าของรูปสิบสองหน้าที่กำหนดที่จุดยอด เราจะได้

บน ABCDMF ทรงแปดเหลี่ยมปกติที่ปรากฎ คุณจะเห็นว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปแปดด้านคือ 2 arctg

ในการหาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ขอบของไอโคซาเฮดรอนปกติ เราสามารถพิจารณามุมสามหน้าของ ABCD ที่จุดยอด A: มุมระนาบของ BAC และ CAD เท่ากัน และมุมระนาบที่สาม BAD เทียบกับมุมไดฮีดรัล B (AC)D = โกหก เท่ากับ (BCDMF - รูปห้าเหลี่ยมปกติ ) โดยทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับมุมสามส่วน ABCD เราได้: ระบุว่าเราได้ที่ ดังนั้นมุมไดฮีดรัลที่ขอบของไอโคซาเฮดรอนจึงเท่ากัน

ดังนั้นเราจึงได้ตารางค่าของมุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ก่อนที่จะหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ขั้นแรกเราจะพูดถึงวิธีหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในรูปแบบทั่วไป

ลองพิสูจน์ก่อนว่าถ้าจุดศูนย์กลางของทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นเส้นตรง ตั้งฉากกับระนาบใบหน้านี้แล้วทุกเส้นที่ลากจะตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง อู๋, ห่างไกลจากทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดในระยะทางเดียวกันซึ่งเราแสดงด้วย r Dot อู๋กลายเป็นศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดและ r- รัศมีของมัน โดยเชื่อมต่อจุดที่เกิด อู๋ด้วยจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด เราจะแบ่งออกเป็น Г พีระมิดที่เท่ากัน (Г คือจำนวนใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ): ฐานของปิรามิดที่เกิดขึ้นคือ r. แล้วปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ เท่ากับผลรวมปริมาตรของปิรามิดเหล่านี้ทั้งหมด เนื่องจากรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแบบปกติ ปริมาตรของมัน วีสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ยังคงต้องหาความยาวของรัศมี r.

การทำเช่นนี้โดยเชื่อมต่อ dot อู๋ตรงกลาง ถึงขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม พยายามให้แน่ใจว่าเอียง KOกับหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบ ทำมุมกับระนาบของใบหน้านี้เท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าของมุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ การฉายภาพเอียง KOบนระนาบของใบหน้านี้เป็นของเส้นตั้งฉากและเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ แล้ว

โดยที่ p คือครึ่งวงกลมของใบหน้า จากนั้นจาก (1) และ (2) เราได้รับสูตรสำหรับการคำนวณปริมาตรของพวกมันร่วมกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด:

สูตรนี้ไม่จำเป็นอย่างยิ่งในการค้นหาปริมาตรของลูกบาศก์ จัตุรมุขปกติและรูปแปดด้าน แต่มันช่วยให้หาปริมาตรของ icosahedron และ dodecahedron ปกติได้ค่อนข้างง่าย