รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูปปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

จุดประสงค์ของบทเรียน:

1. แนะนำแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
2. พิจารณาประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
3. การแก้ปัญหา.
4. เพื่อปลูกฝังความสนใจในเรื่องการสอนให้เห็นความงามในรูปทรงเรขาคณิตการพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่
5. การสื่อสารระหว่างวิชา.

ทัศนวิสัย:ตารางแบบจำลอง

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กรแจ้งหัวข้อบทเรียนกำหนดวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง การเรียนรู้เนื้อหาใหม่/

มีอยู่ในรูปทรงเรขาคณิตของโรงเรียน หัวข้อพิเศษที่คุณตั้งตารอ คาดหวังการประชุมด้วยเนื้อหาที่สวยงามเหลือเชื่อ หัวข้อเหล่านี้รวมถึง "รูปทรงโพลีเฮดราปกติ" ที่นี่ไม่เพียงเปิดโลกมหัศจรรย์ของรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติเฉพาะตัวเท่านั้น แต่ยังมีสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจอีกด้วย จากนั้นบทเรียนเรขาคณิตก็กลายเป็นแบบเรียนในแง่มุมที่คาดไม่ถึงของวิชาปกติในโรงเรียน

ไม่มีรูปทรงเรขาคณิตใดที่มีความสมบูรณ์แบบและสวยงามเท่ากับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป "รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกตินั้นมีน้อย" แอล. แคร์โรลล์เคยเขียนไว้ "แต่การปลดประจำการนี้ ซึ่งมีจำนวนมากพอประมาณ สามารถเจาะลึกลงไปในศาสตร์ต่างๆ ได้"

คำนิยาม รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ.

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าปกติถ้า:

1. มันนูน;
2. ใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมปกติ;
3. บรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด หมายเลขเดียวกันซี่โครง;
4. มุมไดฮีดรัลเท่ากันทั้งหมด

ทฤษฎีบท:รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีห้าประเภทที่แตกต่างกัน

ตารางที่ 1.คุณสมบัติบางอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้

ประเภทใบหน้า	มุมแบนที่ด้านบน	มุมมองของมุมหลายเหลี่ยมที่จุดยอด	ผลรวมของมุมราบที่จุดยอด	ที่	ร	ช	ชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยม
สามเหลี่ยมมุมฉาก	60º	3 ด้าน	180º	4	6	4	จัตุรมุขปกติ
สามเหลี่ยมมุมฉาก	60º	4 ด้าน	240º	6	12	8	รูปแปดด้านปกติ
สามเหลี่ยมมุมฉาก	60º	5 ด้าน	300º	12	30	20	icosahedron ปกติ
สี่เหลี่ยม	90º	3 ด้าน	270º	8	12	6	รูปหกเหลี่ยมปกติ (ลูกบาศก์)
สามเหลี่ยมมุมฉาก	108º	3 ด้าน	324º	20	30	12	สิบสองหน้าปกติ

พิจารณาประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

จัตุรมุขปกติ

<Рис. 1>

รูปแปดด้านปกติ

<Рис. 2>

icosahedron ปกติ

<Рис. 3>

รูปหกเหลี่ยมปกติ (ลูกบาศก์)

<Рис. 4>

สิบสองหน้าปกติ

<Рис. 5>

ตารางที่ 2 สูตรการหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม	ปริมาณรูปทรงหลายเหลี่ยม
จัตุรมุขปกติ
รูปแปดด้านปกติ
icosahedron ปกติ
รูปหกเหลี่ยมปกติ (ลูกบาศก์)
สิบสองหน้าปกติ

"ของแข็งสงบ".

ลูกบาศก์และแปดด้านเป็นคู่นั่นคือ จะได้รับจากแต่ละอื่น ๆ ถ้าจุดศูนย์กลางของใบหน้าของคนหนึ่งเป็นจุดยอดของอีกคนหนึ่งและในทางกลับกัน dodecahedron และ icosahedron เป็นคู่ในทำนองเดียวกัน จัตุรมุขเป็นคู่ของมันเอง รูปสิบสองหน้าปกติได้มาจากลูกบาศก์โดยสร้าง "หลังคา" บนหน้าของมัน (วิธีของยุคลิด) จุดยอดของจัตุรมุขคือจุดยอดสี่จุดใดๆ ของลูกบาศก์ที่ไม่เรียงติดกันตามขอบ นี่คือวิธีรับโพลีเฮดราปกติอื่นๆ ทั้งหมดจากลูกบาศก์ ความจริงของการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจริงๆ เพียงห้าเหลี่ยมนั้นน่าทึ่งมาก เพราะบนระนาบมีรูปหลายเหลี่ยมปกติมากมายนับไม่ถ้วน!

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเป็นที่รู้จักใน กรีกโบราณและเล่มสุดท้าย XII ของจุดเริ่มต้นที่มีชื่อเสียงของ Euclid อุทิศให้กับพวกเขา รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้มักจะเรียกว่าเหมือนกัน ของแข็งสงบในภาพอุดมคติของโลกที่เพลโตนักคิดชาวกรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ให้ไว้ ธาตุทั้งสี่นี้แสดงตัวตนของธาตุทั้งสี่: จัตุรมุข-ไฟ ก้อนดิน ลูกบาศก์น้ำ icosahedron-น้ำ และอากาศแปดด้าน; รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ห้า, สิบสองหน้า, เป็นสัญลักษณ์ของจักรวาลทั้งหมด ในภาษาละติน พวกเขาเริ่มเรียกเขาว่า quinta essentia (“สาระสำคัญที่ห้า”)

เห็นได้ชัดว่ามันไม่ยากที่จะคิดจัตุรมุข, ลูกบาศก์, แปดหน้าที่ถูกต้องโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากรูปแบบเหล่านี้มีผลึกธรรมชาติเช่น: ลูกบาศก์เป็นผลึกเดี่ยว เกลือแกง(NaCl), รูปแปดหน้า - โพแทสเซียมสารส้มผลึกเดี่ยว ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O) มีข้อสันนิษฐานว่าชาวกรีกโบราณได้รูปร่างของ dodecahedron โดยพิจารณาจากผลึกของไพไรต์ (กำมะถันไพไรต์ FeS) การมีรูปทรงสิบหน้าสองหน้าแบบเดียวกัน ไม่ใช่เรื่องยากที่จะสร้างไอโคซาฮีดรอน: จุดยอดของมันจะอยู่ที่กึ่งกลางของใบหน้าสิบสองหน้า

คุณสามารถเห็นร่างกายที่น่าทึ่งเหล่านี้ได้ที่ไหนอีก?

ในหนังสือที่สวยงามมากของนักชีววิทยาชาวเยอรมันในต้นศตวรรษของเรา อี. แฮคเคิล "ความงามของรูปแบบในธรรมชาติ" เราสามารถอ่านข้อความต่อไปนี้: "ธรรมชาติหล่อเลี้ยงในทรวงอกในปริมาณที่ไม่รู้จักหมดสิ้น สิ่งมีชีวิตที่น่าทึ่งซึ่งมีความงดงามและหลากหลายเกินกว่าศิลปะที่มนุษย์สร้างขึ้นทุกรูปแบบ การสร้างสรรค์ของธรรมชาติในหนังสือเล่มนี้มีความสวยงามและสมมาตร นี่คือคุณสมบัติที่แยกกันไม่ออกของความกลมกลืนตามธรรมชาติ แต่ที่นี่คุณสามารถเห็น สิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว- feodarii รูปร่างที่บ่งบอกถึง icosahedron ได้อย่างถูกต้อง อะไรทำให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตตามธรรมชาตินี้ อาจเป็นเพราะรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจำนวนหน้าเท่ากัน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้จึงมีปริมาตรมากที่สุดและมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด มัน คุณสมบัติทางเรขาคณิตช่วยให้จุลินทรีย์ในทะเลเอาชนะแรงดันของคอลัมน์น้ำ

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสนใจว่ามันเป็น icosahedron ที่กลายเป็นจุดสนใจของนักชีววิทยาในข้อพิพาทเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส ไวรัสไม่สามารถกลมได้อย่างสมบูรณ์อย่างที่คิด เพื่อสร้างรูปร่าง พวกเขาใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายหน้า ฉายแสงไปที่พวกมันในมุมเดียวกับการไหลของอะตอมไปยังไวรัส ปรากฎว่าคุณสมบัติดังกล่าวข้างต้นทำให้สามารถบันทึกข้อมูลทางพันธุกรรมได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นตัวเลขที่ทำกำไรได้มากที่สุด และธรรมชาติใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกำหนดรูปร่างของโครงผลึกของบางส่วน สารเคมี. งานต่อไปจะแสดงแนวคิดนี้

งาน.แบบจำลองของโมเลกุลมีเทน CH 4 มีรูปร่างเป็นทรงจัตุรมุขปกติ โดยมีอะตอมของไฮโดรเจนอยู่ที่จุดยอด 4 จุด และอะตอมของคาร์บอนอยู่ตรงกลาง กำหนดมุมพันธะระหว่างสองพันธะ CH

<Рис. 6>

วิธีการแก้.เนื่องจากจัตุรมุขปกติมีขอบหกด้านเท่ากัน จึงสามารถเลือกลูกบาศก์เพื่อให้เส้นทแยงมุมของใบหน้าเป็นขอบของจัตุรมุขปกติ ศูนย์กลางของลูกบาศก์ยังเป็นจุดศูนย์กลางของจัตุรมุข เนื่องจากจุดยอดทั้งสี่ของจัตุรมุขก็เป็นจุดยอดของลูกบาศก์เช่นกัน และทรงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ พวกมันถูกกำหนดโดยจุดสี่จุดที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

สามเหลี่ยม AOC เป็นหน้าจั่ว ดังนั้น a คือด้านของลูกบาศก์ d คือความยาวของเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างหรือขอบของจัตุรมุข ดังนั้น a = 54.73561 0 และ j = 109.47 0

งาน.ในลูกบาศก์ของหนึ่งจุดยอด (D) เส้นทแยงมุมของใบหน้า DA, DB และ DC จะถูกวาดและปลายของพวกมันเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง พิสูจน์ว่าโพลีโทป DABC ที่เกิดจากระนาบสี่ระนาบที่ผ่านเส้นเหล่านี้เป็นจัตุรมุขปกติ

<Рис. 7>

งาน.ขอบของลูกบาศก์คือ ก.คำนวณพื้นผิวของรูปแปดด้านปกติที่จารึกไว้ ค้นหาความสัมพันธ์กับพื้นผิวของจัตุรมุขปกติที่จารึกไว้ในลูกบาศก์เดียวกัน

<Рис. 8>

การสรุปแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายหน้าคือชุดของรูปหลายเหลี่ยมระนาบจำนวนจำกัดในลักษณะที่ว่า:

1. แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ นั้นอยู่ด้านเดียวกัน (แต่มีเพียงด้านเดียว (เรียกว่าติดกับรูปแรก) ทางด้านนี้)
2. จากรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ที่ประกอบกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมเราสามารถเข้าถึงพวกมันได้โดยผ่านไปยังอันที่อยู่ติดกันและจากนั้นไปยังอันที่อยู่ติดกัน ฯลฯ

รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่าใบหน้า ส่วนด้านข้างเรียกว่าขอบ และจุดยอดคือจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความข้างต้นของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้รับ ความหมายที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าคุณกำหนดรูปหลายเหลี่ยมอย่างไร:

- หากรูปหลายเหลี่ยมถูกเข้าใจว่าเป็นเส้นหักแบบปิดแบน (แม้ว่าพวกมันจะตัดกันเอง) ก็จะมาถึง คำนิยามนี้รูปทรงหลายเหลี่ยม;

- หากเข้าใจว่ารูปหลายเหลี่ยมเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นแตก จากมุมมองนี้ รูปทรงหลายเหลี่ยมจะถูกเข้าใจว่าเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนรูปหลายเหลี่ยม หากพื้นผิวนี้ไม่ตัดกัน แสดงว่าเป็นพื้นผิวที่สมบูรณ์ของบางส่วน ร่างกายทางเรขาคณิตซึ่งเรียกอีกอย่างว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม จากจุดนี้ มุมมองที่สามเกิดขึ้นบนรูปทรงหลายเหลี่ยมเช่นเดียวกับรูปทรงเรขาคณิต และอนุญาตให้ร่างเหล่านี้มี "รู" ที่จำกัดด้วย จำนวนจำกัดขอบแบน

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ได้แก่ ปริซึมและพีระมิด

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า n-ถ่านหิน พีระมิดถ้ามีหน้าใดหน้าหนึ่ง (ฐาน) อย่างใดอย่างหนึ่ง n-รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันซึ่งไม่อยู่ในระนาบของฐาน ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมเรียกอีกอย่างว่าจัตุรมุข

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า น-coal prism ถ้ามีสองหน้า (ฐาน) เท่ากัน น-gons (ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน) ได้มาจากการแปลแบบขนานและใบหน้าที่เหลือคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน ฝั่งตรงข้ามซึ่งเป็นด้านที่ตรงกันของฐาน

สำหรับโพลิโทปประเภทศูนย์ใดๆ คุณลักษณะออยเลอร์ (จำนวนจุดยอดลบจำนวนขอบบวกจำนวนหน้า) เท่ากับสอง สัญลักษณ์: V - P + G = 2 (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมของสกุล หน้าความสัมพันธ์ B - R + G \u003d 2 - 2 หน้า.

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อยู่ด้านหนึ่งของระนาบของหน้าใดๆ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนต่อไปนี้:

<Рис. 9>

1. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (ของแข็งของเพลโต) - รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดังกล่าว ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเหมือนกันและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดนั้นสม่ำเสมอและเท่ากัน<Рис. 9, № 1-5>;
2. isogons และ isohedra - รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน, มุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดซึ่งเท่ากัน (isogons) หรือเท่ากับใบหน้าทั้งหมด (isohedra); ยิ่งกว่านั้น กลุ่มของการหมุน (พร้อมการสะท้อนกลับ) ของไอโซกอน (ไอโซฮีดรอน) รอบจุดศูนย์ถ่วงจะนำจุดยอดใดจุดหนึ่ง (ใบหน้า) ไปยังจุดยอดอื่น ๆ (ใบหน้า) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้มาในลักษณะนี้เรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งปกติ (Archimedes solids)<Рис. 9, № 10-25>;
3. parallelohedrons (นูน) - รูปทรงหลายเหลี่ยมถือเป็นร่างกายโดยทางแยกคู่ขนานซึ่งเป็นไปได้ที่จะเติมเต็มช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดเพื่อไม่ให้เข้าไปในกันและกันและไม่ทิ้งช่องว่างระหว่างกันเช่น เกิดเป็นการแบ่งพื้นที่<Рис. 9, № 26-30>;
4. ถ้าโดยรูปหลายเหลี่ยมเราหมายถึงเส้นหักแบนปิด (แม้ว่าจะตัดกันเอง) ก็จะสามารถระบุรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ (Poinsot body) ที่ไม่นูน (รูปดาว) อีก 4 รูป ในรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ ใบหน้าทั้งสองตัดกัน หรือใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันในตัวเอง<Рис. 9, № 6-9>.

สาม. การบ้าน

IV. การแก้ปัญหาหมายเลข 279 หมายเลข 281

V. สรุป.

รายการวรรณกรรมที่ใช้:

1. “สารานุกรมคณิตศาสตร์” เรียบเรียงโดย I. M. Vinogradova,สำนักพิมพ์ " สารานุกรมโซเวียต", มอสโก, 2528 เล่มที่ 4 หน้า 552–553 เล่มที่ 3 หน้า 708–711
2. “สารานุกรมคณิตศาสตร์เล่มเล็ก”, E. Fried, I. บาทหลวง, I. Reiman et al. สำนักพิมพ์ของ Hungarian Academy of Sciences, บูดาเปสต์, 2519. หน้า 264–267.
3. “รวมโจทย์คณิตศาสตร์สำหรับสมัครเข้ามหาวิทยาลัย” จำนวน 2 เล่ม เรียบเรียงโดย ม.ม. Scanavi เล่ม 2 - เรขาคณิต สำนักพิมพ์ " บัณฑิตวิทยาลัย", มอสโก, 2541 หน้า 45–50.
4. “การประชุมเชิงปฏิบัติการคณิตศาสตร์: กวดวิชาสำหรับโรงเรียนเทคนิค” สำนักพิมพ์ “Vysshaya Shkola” มอสโก 2522 หน้า 388–395, หน้า 405.
5. “Repeat Mathematics”, ฉบับที่ 2–6, ภาคเสริม, หนังสือเรียนสำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย, สำนักพิมพ์ “Vysshaya Shkola”, มอสโก, 2517 หน้า 446–447.
6. พจนานุกรมสารานุกรมนักคณิตศาสตร์หนุ่ม, เอ.พี.ซาวินสำนักพิมพ์ "การสอน", มอสโก, 2532 หน้า 197–199.
7. “สารานุกรมสำหรับเด็ก ที.พี. คณิตศาสตร์", หัวหน้าบรรณาธิการ นพ. อัคเซโนวา; วิธีการและการตอบสนอง บรรณาธิการ V. A. Volodin, สำนักพิมพ์ Avanta+, มอสโก, 2546 หน้า 338–340.
8. เรขาคณิต 10–11: หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา/ แอล.เอส. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsevและอื่น ๆ - ฉบับที่ 10 - ม.: การศึกษา, 2544 หน้า 68–71.
9. “ Kvant” ฉบับที่ 9, 11 - 1983, ฉบับที่ 12 - 1987, ฉบับที่ 11, 12 - 1988, ฉบับที่ 6, 7, 8 - 1989 วารสารวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ยอดนิยมของ Academy of Sciences ของสหภาพโซเวียตและ สถาบันการศึกษา วิทยาศาสตร์การสอนสหภาพโซเวียต สำนักพิมพ์ "วิทยาศาสตร์". วรรณกรรมฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ฉบับหลัก หน้าหนังสือ 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
10. การแก้ปัญหา ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นในรูปทรงเรขาคณิต: เกรด 11 - ม.: ARKTI, 2545 หน้า 9, 19–20.

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติเรียกว่า ใบหน้าทั้งหมดซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเดียวกัน และจำนวนใบหน้าเท่ากันจะมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า Platonic solids

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าแบบเท่านั้น:

ภาพ	รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ	จำนวนด้านบนใบหน้า	จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอด	จำนวนจุดทั้งหมด	จำนวนขอบทั้งหมด	จำนวนใบหน้าทั้งหมด
จัตุรมุข
Hexahedron หรือลูกบาศก์
สิบสองหน้า
icosahedron

ชื่อของแต่ละรูปทรงหลายหน้ามาจาก ชื่อกรีกจำนวนหน้าและคำว่า "ขอบ"

จัตุรมุข

Tetrahedron (กรีก fefsbedspn - tetrahedron) เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีสี่หน้าสามเหลี่ยมที่แต่ละจุดยอดซึ่งมี 3 ใบหน้ามาบรรจบกัน จัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอด 6 ขอบ

คุณสมบัติของจัตุรมุข

ระนาบขนานที่ผ่านขอบตัดกันของจัตุรมุขกำหนดเส้นขนานที่ล้อมรอบใกล้กับจัตุรมุข

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดตัดของค่ามัธยฐานของใบหน้าตรงข้ามเรียกว่าค่ามัธยฐานซึ่งลดลงจากจุดยอดนี้

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบข้ามของจัตุรมุขเรียกว่า bimedian ซึ่งเชื่อมต่อขอบเหล่านี้

ส่วนของเส้นตรงซึ่งเชื่อมจุดยอดกับจุดบนด้านตรงข้ามและตั้งฉากกับด้านนี้เรียกว่า ความสูงจากจุดยอดที่กำหนด

ทฤษฎีบท.ค่ามัธยฐานและค่าบีมีเดียนทั้งหมดของจัตุรมุขตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้แบ่งค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 3:1 โดยนับจากด้านบน จุดนี้แบ่งครึ่ง bimedians

จัดสรร:

• จัตุรมุขหน้าด้านที่มีหน้าเท่ากันทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน
• · จัตุรมุขออร์โธเซนตริก ซึ่งความสูงทั้งหมดลดลงจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง
• จัตุรมุขรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับจุดยอดใดจุดหนึ่งตั้งฉากกัน
• จัตุรมุขปกติซึ่งทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• frame tetrahedron - จัตุรมุขที่ตรงตามเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้:
• · มีทรงกลมที่ขอบทั้งหมด
• · ผลบวกของความยาวของด้านตัดกันจะเท่ากัน
• · ผลรวมของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านตรงข้ามมีค่าเท่ากัน
• วงกลมที่จารึกไว้ในใบหน้านั้นสัมผัสกันเป็นคู่
• · รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เกิดจากการพัฒนาของจัตุรมุขจะถูกกำหนด
• · ตั้งฉากกับใบหน้าจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ตัดกันที่จุดหนึ่ง
• จัตุรมุขที่สมน้ำสมเนื้อ ซึ่ง biheights เท่ากันทั้งหมด;
• · จัตุรมุขแบบ incentric ซึ่งส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในหน้าตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง

ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส กรณีพิเศษขนานและปริซึม

คุณสมบัติของคิวบ์

• · สี่ส่วนของลูกบาศก์เป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ - ส่วนเหล่านี้ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลักสี่เส้น
• จัตุรมุขสามารถจารึกลงในลูกบาศก์ได้สองวิธี ในทั้งสองกรณี จุดยอดทั้งสี่ของจัตุรมุขจะจัดชิดกับจุดยอดทั้งสี่ของลูกบาศก์ และขอบทั้งหกของจัตุรมุขจะเป็นของส่วนหน้าของลูกบาศก์ ในกรณีแรก จุดยอดทั้งหมดของจัตุรมุขเป็นของใบหน้าของมุมสามหน้า ซึ่งเป็นจุดสุดยอดที่ตรงกับจุดยอดลูกบาศก์ ในกรณีที่สอง ขอบที่ตัดกันของจัตุรมุขเป็นของคู่ตรงข้ามของลูกบาศก์ จัตุรมุขดังกล่าวถูกต้อง
• · รูปแปดด้านสามารถเขียนลงในลูกบาศก์ได้ ยิ่งกว่านั้น จุดยอดทั้งหกของรูปแปดหน้าจะจัดชิดกับศูนย์กลางของหน้าทั้งหกของลูกบาศก์
• · ลูกบาศก์สามารถเขียนเป็นรูปแปดหน้า นอกจากนี้ จุดยอดทั้งแปดของลูกบาศก์จะอยู่ที่กึ่งกลางของหน้าแปดด้านของรูปแปดหน้า
• · สามารถใส่รูป icosahedron ลงในลูกบาศก์ได้ ในขณะที่ขอบทั้ง 6 ด้านที่ขนานกันของ icosahedron จะตั้งอยู่ตามลำดับบนหน้าทั้ง 6 ของลูกบาศก์ ส่วนขอบที่เหลืออีก 24 ด้านจะอยู่ภายในลูกบาศก์ จุดยอดทั้งสิบสองของ icosahedron จะอยู่บนหน้าทั้งหกของลูกบาศก์

เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เป็นส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่มีความสมมาตรรอบศูนย์กลางของลูกบาศก์ สูตรหาเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

รูปทรงหลายเหลี่ยม icosahedron octahedron dodecahedron

โดยที่ d คือเส้นทแยงมุม และ a คือขอบของลูกบาศก์

แปดด้าน

Octahedron (ภาษากรีก pkfedspn จากภาษากรีก pkfyu, "แปด" และภาษากรีก Edsb - "ฐาน") เป็นหนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนูน ซึ่งเรียกว่า Platonic solids

รูปแปดด้านมี 8 หน้าสามเหลี่ยม 12 ขอบ 6 จุด และ 4 ขอบมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด

ถ้าความยาวขอบของรูปแปดด้านคือ a แล้วพื้นที่ของมัน เต็มพื้นผิว(S) และปริมาตรของทรงแปดหน้า (V) คำนวณโดยสูตร:

รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบแปดด้านคือ:

รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปแปดด้านสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

รูปแปดด้านปกติมีสมมาตร Oh ซึ่งเหมือนกับของลูกบาศก์

octahedron มีรูปร่างเป็นดาวดวงเดียว ลีโอนาร์โด ดาวินชี ค้นพบดาวแปดเหลี่ยม จากนั้นเกือบ 100 ปีต่อมา โยฮันเนส เคปเลอร์ค้นพบอีกครั้ง และตั้งชื่อตามเขาว่า สเตลล่า ออกแทงกูลา ซึ่งเป็นดาวแปดเหลี่ยม ดังนั้นแบบฟอร์มนี้จึงมีชื่อที่สองว่า "Kepler's stella octangula"

ในความเป็นจริงมันเป็นส่วนผสมของสองเตตราเฮดรา

สิบสองหน้า

Dodecahedron (จากภาษากรีก dudekb - สิบสองและ edspn - ใบหน้า), dodecahedron - รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติสิบสองรูป จุดยอดของ dodecahedron แต่ละจุดเป็นจุดยอดของห้าเหลี่ยมปกติสามอัน

ดังนั้น รูปทรงสิบสองเหลี่ยมจึงมี 12 หน้า (ห้าเหลี่ยม) 30 ขอบ และ 20 จุด (แต่ละด้าน 3 ขอบมาบรรจบกัน) ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดทั้ง 20 จุดคือ 324°

รูปทรงสิบสองหน้ามี 3 กลุ่มดาว ได้แก่ รูปทรงสิบสองหน้าเล็ก, สิบสองเหลี่ยมใหญ่, สิบสองเหลี่ยมใหญ่, สิบสองเหลี่ยมใหญ่ สองคนแรกค้นพบโดย Kepler (1619) คนที่สามโดย Poinsot (1809) ซึ่งแตกต่างจากทรงแปดด้าน รูปแบบสเตลเลตใดๆ ของทรงสองหน้านี้ไม่ได้เป็นสารประกอบของของแข็งพลาโทนิก แต่ก่อตัวเป็นรูปทรงหลายหน้าใหม่

กลุ่มดาวทั้ง 3 ของ dodecahedron ร่วมกับ Great icosahedron ก่อตัวเป็นตระกูลของ Kepler-Poinsot solids นั่นคือ polyhedra ปกติที่ไม่นูน (stellated)

ใบหน้าสิบสองเหลี่ยมที่ดีเป็นรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งแต่ละจุดของห้าเหลี่ยมจะมาบรรจบกัน ใบหน้าของ dodecahedrons stelated ขนาดเล็กและขนาดใหญ่ - ดาวห้าแฉก(แฉก) ซึ่งในกรณีแรกลู่เข้าหากัน 5 และในครั้งที่สองคูณ 3 จุดยอดของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีกลุ่มดาวขนาดใหญ่ตรงกับจุดยอดของรูปทรงสิบห้าเหลี่ยมที่มีเส้นรอบวง จุดยอดแต่ละจุดเชื่อมสามหน้า

สูตรพื้นฐาน:

ถ้าเราใช้ a เป็นความยาวของขอบ พื้นที่ผิวของ dodecahedron คือ:

ปริมาณสิบสองหน้า:

รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ:

รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้:

องค์ประกอบของสมมาตรของ dodecahedron:

· ทรงห้าเหลี่ยมมีจุดศูนย์กลางสมมาตรและแกนสมมาตร 15 แกน

แต่ละแกนผ่านจุดกึ่งกลางของซี่โครงคู่ขนานตรงข้าม

dodecahedron มีระนาบสมมาตร 15 ระนาบ ระนาบสมมาตรใด ๆ ผ่านไปในแต่ละหน้าผ่านจุดยอดและตรงกลางของขอบตรงข้าม

icosahedron

Icosahedron (จากกรีก eykput - ยี่สิบ; -edspn - ใบหน้า, ใบหน้า, ฐาน) - ถูกต้อง รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน, ยี่สิบด้าน, หนึ่งในของแข็งสงบ. แต่ละ 20 ใบหน้าคือ สามเหลี่ยมด้านเท่า. จำนวนขอบคือ 30 จำนวนจุดยอดคือ 12

พื้นที่ S ปริมาตร V ของทรง icosahedron ที่มีความยาวขอบ a ตลอดจนรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้และทรงกลมที่ล้อมรอบคำนวณโดยสูตร:

รัศมีทรงกลมที่จารึกไว้:

รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ:

คุณสมบัติ

• สามารถใส่รูปอิโคซาฮีดรอนลงในลูกบาศก์ได้ ในขณะที่ขอบทั้ง 6 ด้านที่ตั้งฉากกันของทรง icosahedron จะตั้งอยู่ตามลำดับบนหน้าทั้ง 6 ของลูกบาศก์ ส่วนขอบที่เหลืออีก 24 ด้านภายในลูกบาศก์ จุดยอดทั้ง 12 จุดของ icosahedron จะอยู่บนหน้าทั้ง 6 ของลูกบาศก์ .
• · จัตุรมุขสามารถจารึกไว้ใน icosahedron นอกจากนี้ จุดยอดสี่จุดของจัตุรมุขจะถูกรวมเข้ากับสี่จุดของ icosahedron
• · สามารถใส่รูป icosahedron เป็นรูปสิบสองหน้าได้ ในขณะที่จุดยอดของ icosahedron จะอยู่ในแนวเดียวกันกับจุดศูนย์กลางของใบหน้าของ dodecahedron
• · รูปทรงสิบสองหน้าสามารถจารึกไว้ใน icosahedron โดยจัดตำแหน่งจุดยอดของ dodecahedron และศูนย์กลางของใบหน้าของ icosahedron
• · สามารถรับ icosahedron ที่ถูกตัดออกได้โดยการตัดจุดยอด 12 จุดเพื่อสร้างใบหน้าในรูปห้าเหลี่ยมปกติ ในเวลาเดียวกัน จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่เพิ่มขึ้น 5 เท่า (12?5=60) รูปสามเหลี่ยม 20 รูปกลายเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ (จำนวนหน้าทั้งหมดกลายเป็น 20+12=32) และจำนวนขอบ เพิ่มเป็น 30+12?5=90

icosahedron ประกอบด้วยกลุ่มดาว 59 กลุ่ม โดย 32 กลุ่มมีสมมาตรแบบ icosahedral ที่สมบูรณ์ และ 27 กลุ่มที่ไม่สมบูรณ์ หนึ่งในสี่กลุ่มดาวเหล่านี้ (20th, mod. 41 ตาม Wenninger) เรียกว่า Great icosahedron เป็นหนึ่งในสี่รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติของ Kepler-Poinsot ใบหน้าของมันคือสามเหลี่ยมปกติที่มาบรรจบกันที่จุดยอดห้าแต่ละจุด คุณสมบัตินี้ใช้ร่วมกันโดย Great icosahedron กับ icosahedron

ในบรรดารูปแบบสเตลเลตยังมี: สารประกอบของทรงแปดด้านห้ารูป, สารประกอบของเตตระฮีดราห้ารูป, สารประกอบของเตตระฮีดราสิบรูป

หากต้องการใช้การแสดงตัวอย่างงานนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google (บัญชี) และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com

คำบรรยายสไลด์:

รูปทรงหลายเหลี่ยม จุดยอด ขอบ ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทของออยเลอร์ เกรด 10 เสร็จสิ้นโดย: Kaigorodova S.V.

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ทุกหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดเท่ากัน

ตั้งแต่สมัยโบราณมนุษย์รู้จักรูปทรงหลายเหลี่ยมที่น่าทึ่งห้าแบบ

ตามจำนวนใบหน้าเรียกว่าจัตุรมุขปกติ

รูปหกเหลี่ยม (hexahedron) หรือลูกบาศก์

รูปแปดด้าน (octahedron)

สิบสองหน้า (dodecahedron)

icosahedron (ยี่สิบด้าน)

พัฒนาการของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ มนุษย์รู้จักธรรมชาติสี่ประการ ได้แก่ ไฟ น้ำ ดิน และอากาศ ตามที่เพลโตกล่าวว่าอะตอมของพวกเขาดูเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ Plato นักปรัชญาชาวกรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ผู้อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4-5 ก่อนคริสต์ศักราชเชื่อว่าร่างกายเหล่านี้เป็นตัวกำหนดแก่นแท้ของธรรมชาติ

อะตอมของไฟดูเหมือนจัตุรมุข, โลก - อากาศทรงหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) - น้ำทรงแปดหน้า - icosahedron

แต่มีรูปทรงสิบสองหน้าซึ่งไม่มีการติดต่อใด ๆ เพลโตแนะนำว่ามีเอนทิตีอื่น (ที่ห้า) เขาเรียกมันว่าโลกอีเธอร์ อะตอมของสาระสำคัญที่ห้านี้ดูเหมือนรูปทรงสองหน้า เพลโตและลูกศิษย์ในงานของพวกเขา ความสนใจที่ดีมอบให้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ระบุไว้ ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงเรียกอีกอย่างว่า Platonic solids

สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ความสัมพันธ์จะเป็นจริง: Г+В-Р=2 โดยที่ Г คือจำนวนหน้า В คือจำนวนจุดยอด Р คือจำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด ใบหน้า + จุดยอด - ขอบ = 2. ทฤษฎีบทของออยเลอร์

ลักษณะของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายหน้า จำนวนด้านของหน้าหนึ่ง จำนวนหน้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด จำนวนหน้า (G) จำนวนขอบ (P) จำนวนจุดยอด (V) เตตระฮีดรอน 3 3 4 6 4 รูปหกเหลี่ยม 4 3 6 12 8 รูปหน้าสองหน้า 3 4 8 12 6 อิโกซาฮีดรอน 3 5 20 30 12 สิบสองหน้า 5 3 12 30 20

ความเป็นคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) และรูปทรงแปดหน้าประกอบกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ จำนวนหน้าของรูปทรงหลายหน้าหนึ่งเท่ากับจำนวนจุดยอดของอีกหน้าหนึ่งและในทางกลับกัน

นำลูกบาศก์ใด ๆ และพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่กึ่งกลางของใบหน้า อย่างที่คุณเห็นได้ง่าย เราได้รูปแปดด้าน

ศูนย์กลางของใบหน้าแปดด้านทำหน้าที่เป็นจุดยอดของลูกบาศก์

โซเดียมพลวงซัลเฟตเป็นจัตุรมุข รูปทรงหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ เคมี และชีววิทยา ผลึกของสสารบางชนิดที่เราคุ้นเคยมีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ไพไรต์คริสตัล - แบบจำลองรูปทรงสองหน้าตามธรรมชาติ ผลึกเกลือสื่อถึงรูปร่างของลูกบาศก์ ผลึกเดี่ยวของอลูมิเนียมโพแทสเซียมสารส้มมีรูปร่างแปดด้าน คริสตัล (ปริซึม) icosahedron เป็นศูนย์กลางของความสนใจของนักชีววิทยาในข้อพิพาทเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส ไวรัสไม่สามารถกลมได้อย่างสมบูรณ์อย่างที่คิด เพื่อสร้างรูปร่าง พวกเขาใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายหน้า ฉายแสงไปที่พวกมันในมุมเดียวกับการไหลของอะตอมไปยังไวรัส ปรากฎว่ามีเพียงหนึ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้นที่ให้เงาเหมือนกันทุกประการ - icosahedron ในกระบวนการแบ่งตัวของไข่ ขั้นแรกจะมีการสร้าง tetrahedron จากสี่เซลล์ จากนั้นจึงเป็นรูปแปดด้าน ลูกบาศก์ และสุดท้ายเป็นโครงสร้าง dodecahedral-icosahedral ของ gastrula และสุดท้าย บางทีอาจสำคัญที่สุด โครงสร้างของ DNA รหัสพันธุกรรมชีวิต - เป็นการกวาดสี่มิติ (ตามแกนเวลา) ของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่หมุน! ในโมเลกุลมีเทนจะมีรูปร่างเป็นทรงจัตุรมุขปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมในงานศิลปะ "Portrait of Monna Lisa" องค์ประกอบของภาพขึ้นอยู่กับสามเหลี่ยมทองคำซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของห้าเหลี่ยมดาวปกติ การแกะสลัก "ความเศร้าโศก" ในเบื้องหน้าของภาพเป็นรูปสิบสองเหลี่ยม "พระกระยาหารมื้อสุดท้าย" พระคริสต์กับเหล่าสาวกของเขาเป็นภาพที่มีพื้นหลังเป็นรูปสิบสองเหลี่ยมโปร่งใสขนาดใหญ่

รูปทรงหลายเหลี่ยมในสถาปัตยกรรมของพิพิธภัณฑ์ผลไม้ในจังหวัดยามานาชิถูกสร้างขึ้นโดยใช้แบบจำลองสามมิติ หอคอย Spasskaya สี่ชั้นที่มีโบสถ์แห่งพระผู้ช่วยให้รอดที่ไม่ได้ทำด้วยมือเป็นทางเข้าหลักสู่คาซานเครมลิน สร้างขึ้นในศตวรรษที่ 16 โดยสถาปนิก Pskov Ivan Shiryai และ Postnik Yakovlev ซึ่งมีชื่อเล่นว่า "Barma" สี่ชั้นของหอคอยคือลูกบาศก์ รูปทรงหลายเหลี่ยม และพีระมิด หอคอย Spasskaya แห่งเครมลิน ประภาคารแห่งพิพิธภัณฑ์ผลไม้พีระมิดอเล็กซานเดรีย

ที่ หลักสูตรของโรงเรียนน่าเสียดายที่ไม่มีการศึกษาเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิต Lobachevsky ในขณะเดียวกัน การศึกษาพวกมันร่วมกับเรขาคณิตแบบยุคลิดช่วยให้เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นกับวัตถุอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น เพื่อให้เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกับการเรียงตัวของทรงกลม การเรียงตัวของระนาบยุคลิด และการเรียงตัวของระนาบโลบาชอฟสกี
ความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตของช่องว่างที่มีความโค้งคงที่ช่วยให้อยู่เหนือสามมิติและเผยให้เห็นรูปทรงหลายเหลี่ยมในช่องว่างของมิติที่ 4 และสูงกว่า คำถามเกี่ยวกับการหารูปทรงหลายเหลี่ยม การหาพาร์ติชันของช่องว่างที่มีความโค้งคงที่ การหาสูตร มุมไดฮีดรัลรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใน พื้นที่ n มิติ- เชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิดจนกลายเป็นปัญหาในการใส่ทั้งหมดในชื่อบทความ ให้ความสำคัญกับรูปทรงโพลีเฮดราที่ชัดเจนและสม่ำเสมอ แม้ว่าจะไม่ได้เป็นเพียงผลลัพธ์ของข้อสรุปทั้งหมด แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นเครื่องมือสำหรับการทำความเข้าใจช่องว่างของมิติที่สูงขึ้นและช่องว่างที่โค้งสม่ำเสมอ

สำหรับผู้ที่ไม่รู้ (ลืม) ฉันแจ้ง (เตือน) ว่าในพื้นที่ยุคลิดสามมิติที่เราคุ้นเคยมีเพียงห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

1. จัตุรมุข:	2. ลูกบาศก์:	3. แปดหน้า:	4. สิบสองหน้า:	5. อิโกซาฮีดรอน:

ที่ พื้นที่สามมิติรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดทุกด้านเท่ากัน ขอบทั้งหมดเท่ากัน ใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือ รูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งด้านทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน

จุดยอดจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนขอบและจำนวนใบหน้าที่เข้าใกล้จุดยอดแต่ละจุดจะเท่ากัน และแต่ละจุดจะเข้าใกล้มุมเดียวกันที่จุดยอดแต่ละจุด

ในสัญกรณ์ดังกล่าว รูปทรงหลายเหลี่ยมของเราจะได้รับการกำหนด:
1. จัตุรมุข (3, 3),
2. ลูกบาศก์ (4, 3),
3. ออกตาฮีดรอน (3, 4),
4. สิบสองหน้า (5, 3),
5. อิโกซาฮีดรอน (3, 5)
ตัวอย่างเช่น (4, 3) - ลูกบาศก์มี 4 ด้านมุม 3 ด้านมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด
ในรูปทรงแปดด้าน (3, 4) ในทางกลับกันใบหน้าคือถ่านหิน 3 ก้อนมาบรรจบกันที่จุดยอด 4 ชิ้น
ดังนั้น สัญลักษณ์ Schläfli จึงกำหนดโครงสร้างเชิงผสมของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้อย่างสมบูรณ์

เหตุใดจึงมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียง 5 รูป อาจจะมีมากกว่านี้?

เพื่อให้คำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามนี้ ก่อนอื่นเราต้องมีสัญชาตญาณเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตบนทรงกลมและบนระนาบโลบาชอฟสกี สำหรับผู้ที่ยังไม่มีแนวคิดดังกล่าว ฉันจะพยายามให้คำอธิบายที่จำเป็น

ทรงกลม

1. จุดบนทรงกลมคืออะไร? ฉันคิดว่ามันใช้งานง่ายสำหรับทุกคน ในทางจิตใจ การจินตนาการถึงจุดบนทรงกลมไม่ใช่เรื่องยาก

2. ส่วนของทรงกลมคืออะไร? ใช้สองจุดและเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน ระยะทางที่สั้นที่สุดบนทรงกลม คุณจะได้ส่วนโค้งหากคุณมองทรงกลมจากด้านข้าง

3. หากคุณดำเนินการต่อในส่วนนี้ทั้งสองทิศทาง ก็จะปิดและคุณจะได้วงกลม ในกรณีนี้ระนาบของวงกลมมีจุดศูนย์กลางของทรงกลมซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นทั้งสองด้วยระยะทางที่สั้นที่สุดและไม่ใช่ระยะทางโดยพลการ จากด้านข้างดูเหมือนวงกลม แต่ในแง่ของรูปทรงเรขาคณิตทรงกลมมันเป็นเส้นตรงเนื่องจากได้มาจากส่วนและต่อเนื่องไปไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง

4. และสุดท้าย สามเหลี่ยมบนทรงกลมคืออะไร? เราใช้สามจุดบนทรงกลมและเชื่อมต่อกับส่วนต่างๆ

โดยการเปรียบเทียบกับสามเหลี่ยม คุณสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการบนทรงกลม สำหรับเราแล้ว คุณสมบัติของสามเหลี่ยมทรงกลมนั้นมีความสำคัญโดยพื้นฐาน ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนั้นมากกว่า 180 องศา ซึ่งเราคุ้นเคยในรูปสามเหลี่ยมยุคลิด ยิ่งกว่านั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทรงกลมสองรูปที่ต่างกันนั้นแตกต่างกัน ยิ่งสามเหลี่ยมมีขนาดใหญ่ ผลรวมของมุมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ดังนั้นสัญญาณที่ 4 ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมจึงปรากฏขึ้น - ที่มุมสามมุม: รูปสามเหลี่ยมทรงกลมสองรูปจะเท่ากันหากมุมที่ตรงกันเท่ากัน

เพื่อความเรียบง่าย การไม่วาดทรงกลมเองจะง่ายกว่า จากนั้นรูปสามเหลี่ยมจะดูป่องเล็กน้อย:

ทรงกลมเรียกอีกอย่างว่าช่องว่างที่มีความโค้งเป็นบวกคงที่ ความโค้งของอวกาศนำไปสู่ความจริงที่ว่าระยะทางที่สั้นที่สุดคือส่วนโค้ง ไม่ใช่ส่วนของเส้นตรงที่เราคุ้นเคย ส่วนดูเหมือนจะโค้ง

โลบาชอฟสกี้

ตอนนี้เราได้ทำความคุ้นเคยกับรูปทรงเรขาคณิตบนทรงกลมแล้ว การทำความเข้าใจรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบไฮเปอร์โบลิกที่ค้นพบโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ยิ่งใหญ่ Nikolai Ivanovich Lobachevsky นั้นไม่ใช่เรื่องยากเนื่องจากทุกอย่างเกิดขึ้นที่นี่ในลักษณะเดียวกับทรงกลมเท่านั้น “ข้างใน”, “ในทางกลับกัน”. ถ้าเราวาดส่วนโค้งบนทรงกลมด้วยวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ภายในทรงกลม ตอนนี้ต้องวาดส่วนโค้งด้วยวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่นอกทรงกลม

มาเริ่มกันเลย. เราจะนำเสนอระนาบ Lobachevsky ในการตีความของPoincaré II (Jules Henri Poincaré นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่) การตีความรูปทรงเรขาคณิตของ Lobachevsky นี้เรียกอีกอย่างว่า Poincaré disk

1. ชี้ไปที่ระนาบ Lobachevsky จุดยังเป็นจุดในแอฟริกา

2. ส่วนบนเครื่องบิน Lobachevsky เราเชื่อมต่อจุดสองจุดด้วยเส้นตามระยะทางที่สั้นที่สุดในความหมายของระนาบ Lobachevsky

ระยะทางที่สั้นที่สุดถูกวางแผนไว้ดังนี้:

จำเป็นต้องวาดวงกลมตั้งฉากกับดิสก์ Poincaré ผ่านจุดสองจุดที่กำหนด (Z และ V ในรูป) ศูนย์กลางของวงกลมนี้จะอยู่นอกดิสก์เสมอ ส่วนโค้งที่เชื่อมจุดสองจุดเดิมจะเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดในความหมายของระนาบโลบาชอฟสกี

3. การลบส่วนโค้งเสริมเราจะได้เส้นตรง E1 - H1 ในระนาบ Lobachevsky

คะแนน E1, H1 "นอน" บนระนาบ Lobachevsky โดยทั่วไปแล้วขอบของดิสก์Poincaréนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จุดห่างไกลเครื่องบิน Lobachevsky

4. และสุดท้าย สามเหลี่ยมในระนาบ Lobachevsky คืออะไร? เราใช้สามคะแนนและเชื่อมต่อกับกลุ่มต่างๆ

โดยการเปรียบเทียบกับสามเหลี่ยมคุณสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการบนระนาบ Lobachevsky สำหรับเราอสังหา สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมนั้นน้อยกว่า 180 องศาเสมอ ซึ่งเราคุ้นเคยในรูปสามเหลี่ยมยุคลิด ยิ่งกว่านั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกสองรูปที่ต่างกันนั้นแตกต่างกัน ยิ่งพื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่เท่าใด ผลรวมของมุมก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น

ดังนั้นเครื่องหมายที่ 4 ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกก็เกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน - ที่มุมสามมุม: สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกสองรูปจะเท่ากันหากมุมที่สอดคล้องกันของพวกมันเท่ากัน

เพื่อความเรียบง่ายบางครั้งสามารถละเว้นดิสก์ Poincare ได้จากนั้นรูปสามเหลี่ยมจะดู "หดลง" เล็กน้อย "ปลิวไป":

ระนาบโลบาชอฟสกี (และโดยทั่วไปแล้วปริภูมิโลบาชอฟสกีของทุกมิติ) เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิค่าคงที่ ความโค้งเป็นลบ. ความโค้งของอวกาศนำไปสู่ความจริงที่ว่าระยะทางที่สั้นที่สุดคือส่วนโค้ง ไม่ใช่ส่วนของเส้นตรงที่เราคุ้นเคย ส่วนดูเหมือนจะโค้ง

พาร์ติชันปกติของทรงกลมสองมิติและรูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติปกติ

ทุกอย่างที่พูดเกี่ยวกับทรงกลมและระนาบ Lobachevsky หมายถึงสองมิติเช่น พื้นผิวของทรงกลมมีสองมิติ สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับสามมิติที่ระบุในชื่อบทความหรือไม่ ปรากฎว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบยุคลิดปกติสามมิติแต่ละอันสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วยพาร์ติชันของทรงกลมสองมิติ จะเห็นได้ดีที่สุดในรูป:

เพื่อให้ได้ส่วนของทรงกลมจากรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ จำเป็นต้องอธิบายทรงกลมรอบรูปทรงหลายเหลี่ยม จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม เชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับส่วนต่างๆ บนทรงกลม (ส่วนโค้ง) เราจะได้พาร์ติชันของทรงกลมสองมิติเป็นรูปหลายเหลี่ยมทรงกลมปกติ ตัวอย่างเช่น มีการสาธิตวิดีโอเกี่ยวกับวิธีที่ icosahedron สอดคล้องกับการแบ่งทรงกลมออกเป็นสามเหลี่ยมทรงกลม และในทางกลับกัน การแบ่งทรงกลมเป็นรูปสามเหลี่ยมทรงกลมที่มาบรรจบกันห้าที่จุดยอดนั้นสอดคล้องกับ icosahedron อย่างไร

ในการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมจากการแบ่งส่วนของทรงกลม จุดยอดของพาร์ติชันที่สอดคล้องกับส่วนโค้งจะต้องเชื่อมต่อกันด้วยส่วนสามัญ เชิงเส้นตรง ส่วนแบบยุคลิด

ดังนั้นสัญลักษณ์ Schläfli ของ icosahedron (3, 5) - รูปสามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันห้าชิ้นที่จุดสุดยอดไม่เพียง แต่กำหนดโครงสร้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงโครงสร้างของพาร์ติชันของทรงกลมสองมิติด้วย เช่นเดียวกับโพลีโทปอื่นๆ สัญลักษณ์ Schläfli ของพวกมันยังกำหนดโครงสร้างของพาร์ติชันที่เกี่ยวข้องด้วย นอกจากนี้ การแบ่งพาร์ติชันของระนาบยุคลิดและระนาบโลบาชอฟสกีเป็นรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปยังสามารถระบุได้ด้วยสัญลักษณ์ชลาฟลี ตัวอย่างเช่น (4, 4) - รูปสี่เหลี่ยมมาบรรจบกันเป็นสี่ - นี่คือสมุดบันทึกกำลังสองตามปกติสำหรับเราทุกคน นั่นคือ เป็นการแบ่งระนาบยุคลิดออกเป็นช่องสี่เหลี่ยม มีพาร์ติชั่นอื่นของระนาบยุคลิดหรือไม่? เราจะเห็นต่อไป

การสร้างพาร์ติชันของทรงกลมสองมิติ ระนาบยุคลิด และระนาบโลบาชอฟสกี

เพื่อสร้างพาร์ติชันของช่องว่างสองมิติที่มีความโค้งคงที่ (นี่คือ ชื่อสามัญเหล่านี้ สามช่องว่าง) เราต้องการรูปทรงเรขาคณิตระดับประถมศึกษาและความรู้ที่ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทรงกลมมากกว่า 180 องศา (มากกว่า Pi) ซึ่งผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกน้อยกว่า 180 องศา (น้อยกว่า Pi) และสัญลักษณ์ Schläfli คืออะไร ทั้งหมดนี้ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

ลองใช้สัญลักษณ์Schläfliโดยพลการ (p1, p2) ซึ่งกำหนดพาร์ติชันของหนึ่งในสามช่องว่างของความโค้งคงที่ (นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับระนาบสำหรับช่องว่างที่มีขนาดสูงกว่าสถานการณ์จะซับซ้อนกว่า แต่ไม่มีอะไรป้องกันเรา จากการสำรวจสัญลักษณ์รวมกันทั้งหมด)

พิจารณา p1-gon ปกติ วาดส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดยอด รับ p1 ชิ้น สามเหลี่ยมหน้าจั่ว(รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวแสดงเพียงรูปเดียว) เราระบุผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูปเป็น t และแสดง t ในรูปของ pi และสัมประสิทธิ์แลมบ์ดา

ถ้าแลมดา = 1 จะได้สามเหลี่ยมยุคลิด นั่นคือ อยู่ในระนาบยุคลิด ถ้าแลมบ์ดาอยู่ในช่วง (1, 3) แสดงว่าผลรวมของมุมมากกว่า pi และนั่นหมายความว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นทรงกลม (ไม่ยากที่จะจินตนาการว่ามี การเพิ่มขึ้นของสามเหลี่ยมทรงกลมในขีด จำกัด จะได้วงกลมที่มีสามจุดในแต่ละจุดมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ pi และรวมเป็น 3 * pi สิ่งนี้อธิบายถึงขีด จำกัด บนของ ช่วงเวลา = 3) หากแลมบ์ดาอยู่ในช่วง (0, 1) แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นไฮเปอร์โบลิก เนื่องจากผลรวมของมุมน้อยกว่า pi (นั่นคือน้อยกว่า 180 องศา) เขียนโดยสังเขปได้ดังนี้

ในทางกลับกัน สำหรับการบรรจบกันที่จุดยอด p2 ของชิ้นส่วน (เช่น จำนวนเต็ม) ของรูปหลายเหลี่ยมเดียวกัน จำเป็นที่

การเทียบนิพจน์สำหรับ 2*betta ที่พบจากเงื่อนไขการบรรจบกันและจากรูปหลายเหลี่ยม:

เราได้สมการที่แสดงว่าช่องว่างใดในสามช่องว่างที่ตัวเลขกำหนดโดยสัญลักษณ์ Schläfli (p1, p2) แยกออกจากกัน ในการแก้สมการนี้ เราต้องจำไว้ด้วยว่า p1, p2 เป็นจำนวนเต็มมากกว่าหรือเท่ากับ 3 ดังนั้นพูดตามจาก ความรู้สึกทางกายภาพเนื่องจากมุมเหล่านี้คือมุม p1 (อย่างน้อย 3 มุม) มาบรรจบกันใน p2 ชิ้นที่จุดยอด (อย่างน้อย 3 เช่นกัน มิฉะนั้นจะไม่เป็นจุดยอด)

วิธีแก้สมการนี้คือการวนซ้ำค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับ p1, p2 มากกว่าหรือเท่ากับ 3 และคำนวณค่าแลมบ์ดา ถ้ามันเท่ากับ 1 ดังนั้น (p1, p2) จะแยกระนาบยุคลิด ถ้ามากกว่า 1 แต่น้อยกว่า 3 แสดงว่าเป็นการแบ่งทรงกลม ถ้าจาก 0 ถึง 1 นี่คือ รอยแยกของเครื่องบิน Lobachevsky การคำนวณทั้งหมดนี้สรุปไว้ในตารางได้อย่างสะดวก

คุณสามารถดูได้ที่ไหน:
1. มีเพียง 5 คำตอบเท่านั้นที่สอดคล้องกับทรงกลม เมื่อแลมดามากกว่า 1 และน้อยกว่า 3 จะถูกเน้น เป็นสีเขียวในตาราง เหล่านี้คือ: (3, 3) - จัตุรมุข, (3, 4) - octahedron, (3, 5) - icosahedron, (4, 3) - ลูกบาศก์, (5, 3) - dodecahedron รูปภาพของพวกเขาถูกนำเสนอในตอนต้นของบทความ
2. พาร์ติชั่นของระนาบยุคลิดสอดคล้องกับคำตอบสามข้อเท่านั้น เมื่อ lamda = 1 พวกเขาจะถูกเน้นด้วยสีน้ำเงินในตาราง นี่คือลักษณะของรอยแยกเหล่านั้น

3. และสุดท้าย ชุดค่าผสมอื่นๆ ทั้งหมด (p1, p2) สอดคล้องกับพาร์ติชันของระนาบ Lobachevsky ตามลำดับ พาร์ติชันดังกล่าวมีจำนวนไม่สิ้นสุด (นับได้) มันยังคงเป็นเพียงตัวอย่างบางส่วนเท่านั้น

ผลลัพธ์

ดังนั้นจึงมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียง 5 อันซึ่งสอดคล้องกับห้าพาร์ติชันของทรงกลมสองมิติเพียง 3 พาร์ติชันของระนาบยุคลิดและพาร์ติชันจำนวนมากของระนาบ Lobachevsky
การประยุกต์ใช้ความรู้นี้คืออะไร?

มีผู้ที่สนใจโดยตรงในพาร์ติชันของทรงกลม