การหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างงานการหาช่วงความมั่นใจ

และอื่น ๆ ทั้งหมดนี้เป็นค่าประมาณของคู่ทฤษฎีซึ่งสามารถหาได้หากไม่มีกลุ่มตัวอย่าง แต่เป็นประชากรทั่วไป แต่อนิจจา ประชากรทั่วไปมีราคาแพงมากและมักไม่ว่าง

แนวคิดของการประมาณช่วงเวลา

ค่าประมาณตัวอย่างใด ๆ มีความกระจัดกระจายเพราะ เป็นตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับค่าในตัวอย่างเฉพาะ ดังนั้น เพื่อผลสรุปทางสถิติที่น่าเชื่อถือยิ่งขึ้น ไม่ควรทราบเพียงเท่านั้น ประมาณการจุดแต่ยังเป็นช่วงซึ่งมีความเป็นไปได้สูง γ (แกมมา) ครอบคลุมตัวบ่งชี้โดยประมาณ θ (ทีต้า).

อย่างเป็นทางการทั้งสองค่าดังกล่าว (สถิติ) ที1(X)และ ที2(X), อะไร T1< T 2 ซึ่งในระดับความน่าจะเป็นที่กำหนด γ ตรงตามเงื่อนไข:

ในระยะสั้นมีแนวโน้ม γ หรือมากกว่ามูลค่าที่แท้จริงอยู่ระหว่างจุด ที1(X)และ ที2(X)ซึ่งเรียกว่าขอบเขตล่างและบน ช่วงความมั่นใจ.

เงื่อนไขหนึ่งในการสร้างช่วงความเชื่อมั่นคือความแคบสูงสุด กล่าวคือ ควรสั้นที่สุด ความปรารถนาค่อนข้างเป็นธรรมชาติเพราะ ผู้วิจัยพยายามหาค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการให้ถูกต้องมากขึ้น

ตามมาด้วยช่วงความเชื่อมั่นควรครอบคลุมความน่าจะเป็นสูงสุดของการแจกแจง และสกอร์เองก็อยู่ตรงกลาง

นั่นคือความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบน (ของตัวบ่งชี้ที่แท้จริงจากการประมาณการ) ขึ้นไปเท่ากับความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนลง ควรสังเกตด้วยว่าสำหรับการแจกแจงแบบเบ้ ช่วงเวลาทางด้านขวาไม่ใช่ เท่ากับช่วงเวลาซ้าย.

รูปด้านบนแสดงให้เห็นชัดเจนว่ายิ่งระดับความมั่นใจมากเท่าใด ช่วงเวลาก็ยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น - ความสัมพันธ์โดยตรง

นี่เป็นการแนะนำทฤษฎีเล็กๆ น้อยๆ การประมาณช่วงเวลาพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก มาต่อกันที่การหาขีดจำกัดความมั่นใจสำหรับ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์.

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์

หากข้อมูลเดิมถูกกระจายไปทั่ว ค่าเฉลี่ยจะเป็นค่าปกติ จากกฎที่ว่าการรวมกันเชิงเส้นของค่าปกติก็มีการแจกแจงแบบปกติเช่นกัน ดังนั้น ในการคำนวณความน่าจะเป็น เราสามารถใช้ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์กฎหมายการกระจายแบบปกติ

อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะต้องอาศัยความรู้ของสองพารามิเตอร์ - ค่าที่คาดหวังและความแปรปรวน ซึ่งมักจะไม่เป็นที่รู้จัก แน่นอน คุณสามารถใช้ค่าประมาณแทนพารามิเตอร์ (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ ) แต่จากนั้นการกระจายของค่าเฉลี่ยจะไม่ค่อนข้างปกติ แต่จะแบนลงเล็กน้อย พลเมือง William Gosset แห่งไอร์แลนด์สังเกตข้อเท็จจริงนี้อย่างดีเมื่อเขาตีพิมพ์การค้นพบของเขาใน Biometrica ฉบับเดือนมีนาคม 1908 เพื่อจุดประสงค์ที่เป็นความลับ Gosset ได้ลงนามกับ Student นี่คือลักษณะการกระจายตัวของนักเรียน

อย่างไรก็ตาม การแจกแจงแบบปกติของข้อมูลที่ K. Gauss ใช้ในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด การสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์หายากอย่างยิ่งในชีวิตทางโลกและค่อนข้างยากที่จะกำหนดสิ่งนี้ (สำหรับ ความแม่นยำสูงจำเป็นต้องมีการสังเกตประมาณ 2,000 ครั้ง) ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดที่จะละทิ้งสมมติฐานปกติและใช้วิธีที่ไม่ขึ้นอยู่กับการกระจายข้อมูลดั้งเดิม

คำถามเกิดขึ้น: การกระจายของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคืออะไรถ้าคำนวณจากข้อมูลของการแจกแจงที่ไม่รู้จัก? คำตอบนี้มาจากทฤษฎีความน่าจะเป็นที่รู้จักกันดี ศูนย์กลาง ทฤษฎีบทจำกัด (คปท.). ในวิชาคณิตศาสตร์มีหลายแบบ (สูตรต่างๆ ได้รับการขัดเกลามาหลายปี) แต่ทั้งหมดที่กล่าวมา คร่าวๆ มาลงประโยคว่าผลรวม จำนวนมากตัวแปรสุ่มอิสระเป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบปกติ

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะใช้ผลรวมของตัวแปรสุ่ม จากนี้ ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งค่าที่คาดหวังคือค่าที่คาดหวังของข้อมูลตั้งต้น และความแปรปรวนคือ

คนฉลาดรู้วิธีพิสูจน์ CLT แต่เราจะตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยความช่วยเหลือของการทดลองที่ดำเนินการใน Excel มาจำลองตัวอย่างตัวแปรสุ่มแบบกระจายตัวสม่ำเสมอ 50 ตัว (โดยใช้ ฟังก์ชัน Excelสุ่ม) จากนั้นเราจะสร้างตัวอย่างดังกล่าว 1,000 ตัวอย่างและคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับแต่ละรายการ ลองดูที่การกระจายของพวกเขา

จะเห็นว่าการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยนั้นใกล้เคียงกับกฎปกติ หากปริมาตรของตัวอย่างและจำนวนตัวอย่างมีขนาดใหญ่ขึ้น ความคล้ายคลึงก็จะดียิ่งขึ้น

ตอนนี้เราได้เห็นความถูกต้องของ CLT แล้ว เราสามารถใช้ คำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งครอบคลุมค่าเฉลี่ยจริงหรือการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนด

ในการตั้งขอบเขตบนและล่าง คุณต้องทราบพารามิเตอร์ การกระจายแบบปกติ. ตามกฎแล้วจะไม่ใช้ค่าประมาณ: เลขคณิตและ ความแปรปรวนตัวอย่าง . อีกครั้ง วิธีนี้ให้ค่าประมาณที่ดีสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่เท่านั้น เมื่อกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก มักแนะนำให้ใช้การแจกแจงแบบนักเรียน ไม่เชื่อ! การแจกแจงค่ากลางของนักเรียนจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อข้อมูลเดิมมีการแจกแจงแบบปกติเท่านั้น นั่นคือแทบไม่เคยเลย ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะตั้งค่าแถบขั้นต่ำสำหรับปริมาณข้อมูลที่ต้องการทันทีและใช้วิธีที่ถูกต้องแบบไม่มีสัญลักษณ์ พวกเขากล่าวว่าการสังเกต 30 ครั้งก็เพียงพอแล้ว รับ 50 - คุณไม่สามารถผิดพลาดได้

T 1.2คือขอบเขตล่างและบนของช่วงความเชื่อมั่น

– ตัวอย่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต

s0– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (ไม่เอนเอียง)

น - ขนาดตัวอย่าง

γ – ระดับความมั่นใจ (ปกติจะเท่ากับ 0.9, 0.95 หรือ 0.99)

ค γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – กลับความหมายฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน กล่าวอย่างง่าย ๆ นี่คือจำนวนข้อผิดพลาดมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตถึงขอบล่างหรือบน (ความน่าจะเป็นสามข้อที่ระบุสอดคล้องกับค่า 1.64, 1.96 และ 2.58)

สาระสำคัญของสูตรคือใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วกันจำนวนหนึ่งไว้ ( ด้วย γ) ข้อผิดพลาดมาตรฐาน ( s 0 /√n). รู้ทุกอย่างแล้ว เอามานับ

ก่อนการใช้งานพีซีจำนวนมาก เพื่อให้ได้ค่าของฟังก์ชันการแจกแจงแบบปกติและค่าผกผัน พวกเขาใช้ . ยังคงใช้อยู่ แต่จะมีประสิทธิภาพมากกว่าที่จะเปลี่ยนเป็นแบบสำเร็จรูป สูตร Excel. องค์ประกอบทั้งหมดจากสูตรด้านบน ( , และ ) สามารถคำนวณได้ง่ายใน Excel แต่ก็มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับคำนวณช่วงความมั่นใจด้วย - มาตรฐานความเชื่อมั่น. ไวยากรณ์ของมันคือต่อไปนี้

มาตรฐานความเชื่อมั่น (alpha, standard_dev, ขนาด)

อัลฟ่า– ระดับความสำคัญหรือ ระดับความเชื่อมั่นซึ่งในสัญกรณ์ข้างต้นมีค่าเท่ากับ 1- γ นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่คณิตศาสตร์ความคาดหวังจะอยู่นอกช่วงความเชื่อมั่น ด้วยระดับความมั่นใจที่ 0.95 อัลฟาจะเท่ากับ 0.05 เป็นต้น

standard_offคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่าง คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐาน Excel จะหารด้วยรากของ n

ขนาด– ขนาดตัวอย่าง (n)

ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน CONFIDENCE.NORM คือเทอมที่สองจากสูตรสำหรับคำนวณช่วงความเชื่อมั่น กล่าวคือ ครึ่งช่วง ดังนั้น จุดบนและล่างคือค่าเฉลี่ย ± ค่าที่ได้รับ

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างอัลกอริธึมสากลสำหรับการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูลเริ่มต้น ราคาสำหรับความเป็นสากลคือลักษณะเชิงสัญลักษณ์นั่นคือ จำเป็นต้องใช้ตัวอย่างที่ค่อนข้างใหญ่ อย่างไรก็ตาม ในศตวรรต เทคโนโลยีที่ทันสมัยเก็บรวบรวม ปริมาณที่เหมาะสมข้อมูลมักจะไม่ยาก

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติโดยใช้ช่วงความเชื่อมั่น

(โมดูล 111)

ปัญหาหลักประการหนึ่งที่แก้ไขได้ในสถิติคือ สรุปสาระสำคัญของมันคือสิ่งนี้ มีการตั้งสมมติฐาน เช่น ความคาดหวัง ประชากรมีค่าเท่ากับค่าบางอย่าง จากนั้นจึงสร้างการกระจายตัวของตัวอย่าง ซึ่งสามารถสังเกตได้ด้วยความคาดหวังที่กำหนด ต่อไป เราจะดูว่าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขนี้อยู่ที่ตำแหน่งใดของค่าเฉลี่ยที่แท้จริง ถ้ามันเกินขอบเขตที่อนุญาต การปรากฏตัวของค่าเฉลี่ยดังกล่าวไม่น่าเป็นไปได้มากและด้วยการทดลองซ้ำเพียงครั้งเดียวก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่หยิบยกขึ้นมาซึ่งปฏิเสธได้สำเร็จ ถ้าค่าเฉลี่ยไม่เกิน ระดับวิกฤตดังนั้นสมมติฐานจะไม่ถูกปฏิเสธ (แต่ไม่ได้รับการพิสูจน์!)

ดังนั้น ด้วยความช่วยเหลือของช่วงความมั่นใจ ในกรณีของเราสำหรับความคาดหวัง คุณยังสามารถทดสอบสมมติฐานบางอย่างได้ มันง่ายมากที่จะทำ. สมมติว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับกลุ่มตัวอย่างหนึ่งๆ คือ 100 กำลังทดสอบสมมติฐานว่าความคาดหวังคือ 90 นั่นคือถ้าเราใส่คำถามในขั้นต้น ก็จะได้เสียงแบบนี้ เป็นไปได้ไหมว่าเมื่อ ความหมายที่แท้จริงค่าเฉลี่ยเท่ากับ 90 ค่าเฉลี่ยที่สังเกตได้เท่ากับ 100?

เพื่อตอบคำถามนี้ ข้อมูลเพิ่มเติมโดยเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและขนาดตัวอย่าง เอาเป็นว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 30 และจำนวนการสังเกตคือ 64 (เพื่อแยกรากได้ง่าย) ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยคือ 30/8 หรือ 3.75 ในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น 95% จำเป็นต้องเลื่อนค่าเฉลี่ยทั้งสองข้างไปสอง ข้อผิดพลาดมาตรฐาน(แม่นยำยิ่งขึ้น โดย 1.96) ช่วงความเชื่อมั่นจะอยู่ที่ประมาณ 100 ± 7.5 หรือจาก 92.5 ถึง 107.5

การให้เหตุผลเพิ่มเติมมีดังนี้ หากค่าที่ทดสอบอยู่ภายในช่วงความเชื่อมั่น ก็จะไม่ขัดแย้งกับสมมติฐาน เนื่องจาก อยู่ในขอบเขตของความผันผวนแบบสุ่ม (ด้วยความน่าจะเป็น 95%) หากจุดที่ทดสอบอยู่นอกช่วงความเชื่อมั่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวจะน้อยมาก ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม ต่ำกว่าระดับที่ยอมรับได้ ดังนั้น สมมติฐานจึงถูกปฏิเสธเนื่องจากขัดแย้งกับข้อมูลที่สังเกตได้ ในกรณีของเรา สมมติฐานคาดหวังอยู่นอกช่วงความเชื่อมั่น (ค่าทดสอบ 90 ไม่รวมอยู่ในช่วง 100±7.5) ดังนั้นจึงควรปฏิเสธ ในการตอบคำถามเบื้องต้นข้างต้น เราควรพูดว่า: ไม่ ไม่ว่าในกรณีใด สิ่งนี้เกิดขึ้นน้อยมาก บ่อยครั้ง สิ่งนี้บ่งชี้ถึงความน่าจะเป็นที่จำเพาะของการปฏิเสธสมมติฐานที่ผิดพลาด (ระดับ p) และไม่ใช่ระดับที่กำหนด ตามช่วงความเชื่อมั่นที่ถูกสร้างขึ้น แต่เพิ่มเติมในช่วงเวลาอื่น

อย่างที่คุณเห็น ไม่ยากที่จะสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ย (หรือค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์) สิ่งสำคัญคือการจับสาระสำคัญแล้วสิ่งต่าง ๆ จะไป ในทางปฏิบัติ ส่วนใหญ่ใช้ช่วงความเชื่อมั่น 95% ซึ่งกว้างประมาณสองข้อผิดพลาดมาตรฐานที่ด้านใดด้านหนึ่งของค่าเฉลี่ย

นั่นคือทั้งหมดที่สำหรับตอนนี้. ดีที่สุด!

ช่วงความเชื่อมั่น– ค่าจำกัด สถิติซึ่งมีความน่าจะเป็นที่มั่นใจ γ จะอยู่ในช่วงเวลานี้ด้วยขนาดกลุ่มตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้น แสดงเป็น P(θ - ε . ในทางปฏิบัติ เลือก ระดับความเชื่อมั่นγ จากค่า γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99 ใกล้เคียงกับความสามัคคีเพียงพอ

งานบริการ. บริการนี้กำหนด:

• ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยทั่วไป ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวน
• ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับเศษส่วนทั่วไป

ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกไว้ในไฟล์ Word (ดูตัวอย่าง) ด้านล่างนี้เป็นวิดีโอแนะนำวิธีการกรอกข้อมูลเบื้องต้น

ตัวอย่าง # 1 ในฟาร์มส่วนรวม จากฝูงแกะทั้งหมด 1,000 ตัว แกะ 100 ตัวต้องอยู่ภายใต้การควบคุมแบบคัดเลือก เป็นผลให้มีการกำหนดขนแกะเฉลี่ย 4.2 กก. ต่อแกะ กำหนดด้วยความน่าจะเป็น 0.99 ของข้อผิดพลาดมาตรฐานของตัวอย่างในการกำหนดค่าเฉลี่ยแรงเฉือนของขนแกะต่อแกะ และขีดจำกัดที่ค่าเฉือนอยู่ถ้าความแปรปรวนเป็น 2.5 ตัวอย่างไม่ซ้ำซาก
ตัวอย่าง # 2 จากชุดสินค้านำเข้าที่โพสต์ของมอสโกเหนือศุลกากรถูกสุ่มตามลำดับ สุ่มตัวอย่างใหม่ 20 ตัวอย่างผลิตภัณฑ์ "A" จากการตรวจสอบ ปริมาณความชื้นเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ "A" ในตัวอย่างถูกสร้างขึ้น ซึ่งกลายเป็น 6% โดยเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 %.
กำหนดด้วยความน่าจะเป็น 0.683 ขีด จำกัด ของความชื้นเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ในชุดผลิตภัณฑ์ที่นำเข้าทั้งหมด
ตัวอย่าง #3 การสำรวจนักเรียน 36 คนพบว่าจำนวนหนังสือเรียนโดยเฉลี่ยที่พวกเขาอ่านใน ปีการศึกษาปรากฎว่าเท่ากับ 6 สมมติว่าจำนวนหนังสือเรียนที่นักเรียนอ่านต่อภาคการศึกษามี กฎหมายปกติการแจกแจงโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 ค้นหา: A) ที่มีค่าความเชื่อถือได้เท่ากับ 0.99 ประมาณการตามช่วงเวลาสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของสิ่งนี้ ตัวแปรสุ่ม; ข) ด้วยความน่าจะเป็นที่สามารถโต้แย้งได้ว่าจำนวนหนังสือเรียนเฉลี่ยที่นักเรียนอ่านต่อภาคการศึกษาซึ่งคำนวณสำหรับตัวอย่างนี้จะเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดย ค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 2

การจำแนกช่วงความเชื่อมั่น

ตามประเภทของพารามิเตอร์ที่กำลังประเมิน:

ตามประเภทตัวอย่าง:

1. ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการสุ่มตัวอย่างอนันต์
2. ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวอย่างสุดท้าย

การสุ่มตัวอย่างเรียกว่าการสุ่มตัวอย่างซ้ำหากวัตถุที่เลือกถูกส่งกลับไปยังประชากรทั่วไปก่อนที่จะเลือกวัตถุถัดไป ตัวอย่างนี้เรียกว่าไม่ซ้ำซ้อนหากวัตถุที่เลือกไม่ถูกส่งคืนให้กับประชากรทั่วไป ในทางปฏิบัติ มักเกี่ยวข้องกับตัวอย่างที่ไม่ซ้ำ

การคำนวณความคลาดเคลื่อนของการสุ่มตัวอย่างค่าเฉลี่ยสำหรับการเลือกแบบสุ่ม

ความแตกต่างระหว่างค่าของตัวบ่งชี้ที่ได้จากตัวอย่างและพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องของประชากรทั่วไปเรียกว่า ความผิดพลาดในการเป็นตัวแทน.
การกำหนดพารามิเตอร์หลักของประชากรทั่วไปและกลุ่มตัวอย่าง

ตัวอย่างสูตรข้อผิดพลาดเฉลี่ย
การเลือกใหม่		การเลือกไม่ซ้ำซ้อน
สำหรับคนกลาง	เพื่อแบ่งปัน	สำหรับคนกลาง	เพื่อแบ่งปัน

อัตราส่วนระหว่างขีด จำกัด ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง (Δ) รับประกันด้วยความน่าจะเป็น ป(ท),และ ข้อผิดพลาดเฉลี่ยตัวอย่างมีรูปแบบ: หรือ Δ = t μ โดยที่ t– ค่าสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น กำหนดขึ้นอยู่กับระดับความน่าจะเป็น P(t) ตามตารางของฟังก์ชันอินทิกรัล Laplace

สูตรคำนวณขนาดตัวอย่างด้วยวิธีสุ่มเลือกที่เหมาะสม

ให้สุ่มตัวอย่างจากประชากรทั่วไปตามกฎหมาย ปกติการกระจาย XN( ม;  ). สมมติฐานพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์นี้ยึดตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ให้ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วไป  , แต่ไม่ทราบการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงทางทฤษฎี ม(หมายถึง ).

ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ที่ได้รับระหว่างการทดลอง (ข้อ 3.4.2) จะเป็นตัวแปรสุ่มด้วย ม;
). จากนั้นส่วนเบี่ยงเบน "ทำให้เป็นมาตรฐาน"
N(0;1) เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน

ปัญหาคือการหาค่าประมาณช่วงเวลาสำหรับ ม. ให้เราสร้างช่วงความเชื่อมั่นสองด้านสำหรับ ม เพื่อให้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงเป็นของเขาด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนด (ความน่าเชื่อถือ)  .

ตั้งค่าช่วงเวลาดังกล่าวสำหรับค่า
หมายถึงการหาค่าสูงสุดของปริมาณนี้
และขั้นต่ำ
ซึ่งเป็นขอบเขตของภูมิภาควิกฤต:
.

เพราะ ความน่าจะเป็นนี้คือ
แล้วรากของสมการนี้
สามารถพบได้โดยใช้ตารางของฟังก์ชัน Laplace (ตารางที่ 3 ภาคผนวก 1)

แล้วด้วยความน่าจะเป็น  สามารถโต้แย้งได้ว่าตัวแปรสุ่ม
นั่นคือค่าเฉลี่ยทั่วไปที่ต้องการเป็นของช่วง
. (3.13)

มูลค่า
(3.14)

เรียกว่า ความแม่นยำประมาณการ

ตัวเลข
– ปริมาณการแจกแจงแบบปกติ - สามารถพบได้เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน Laplace (ตารางที่ 3 ภาคผนวก 1) โดยให้อัตราส่วน 2Ф( ยู)=, เช่น. เอฟ( ยู)=
.

กลับโดย ตั้งค่าการเบี่ยงเบน  เป็นไปได้ที่จะหาความน่าจะเป็นที่ค่าเฉลี่ยทั่วไปที่ไม่รู้จักเป็นของช่วงเวลา
. ในการทำเช่นนี้คุณต้องคำนวณ

. (3.15)

ให้สุ่มตัวอย่างจากประชากรทั่วไปโดยวิธีการเลือกใหม่ จากสมการ
สามารถพบได้ ขั้นต่ำสุ่มตัวอย่างปริมาณ นจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าช่วงความเชื่อมั่นที่มีความน่าเชื่อถือที่กำหนด ไม่เกินค่าที่ตั้งไว้  . ขนาดตัวอย่างที่ต้องการคำนวณโดยใช้สูตร:

. (3.16)

สำรวจ ความแม่นยำในการประมาณค่า
:

1) ด้วยการเพิ่มขนาดกลุ่มตัวอย่าง นขนาด  ลดลงและด้วยเหตุนี้ความถูกต้องของการประมาณการ เพิ่มขึ้น.

2) C เพิ่มความน่าเชื่อถือของประมาณการ ค่าของอาร์กิวเมนต์จะเพิ่มขึ้น ยู(เพราะ F(ยู) เพิ่มขึ้นอย่างจำเจ) และด้วยเหตุนี้ เพิ่มขึ้น  . ในกรณีนี้ความน่าเชื่อถือเพิ่มขึ้น ลดความถูกต้องของการประเมิน  .

ประมาณการ
(3.17)

เรียกว่า คลาสสิก(ที่ไหน tเป็นพารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับ และ น), เพราะ เป็นลักษณะของกฎหมายการจำหน่ายที่พบบ่อยที่สุด

3.5.3 ช่วงความเชื่อมั่นในการประมาณค่าความคาดหวังของการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไม่ทราบค่า 

ให้รู้ว่าประชากรทั่วไปอยู่ภายใต้กฎการแจกแจงแบบปกติ XN( ม; ) โดยที่ค่า รูตหมายถึงกำลังสองการเบี่ยงเบน ไม่ทราบ

เพื่อสร้างช่วงความเชื่อมั่นในการประมาณค่าค่าเฉลี่ยทั่วไป ในกรณีนี้ จะใช้สถิติ
ซึ่งมีการกระจายของนักเรียนด้วย k= น-1 องศาอิสระ สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า N(0;1) (ดูข้อ 3.5.2) และ
(ดูข้อ 3.5.3) และจากคำจำกัดความของการแจกแจงของนักศึกษา (ส่วนที่ 1.ข้อ 2.11.2)

ให้เราหาความถูกต้องของการประมาณการแบบคลาสสิกของการแจกแจงของนักเรียน: เช่น หา tจากสูตร (3.17) ให้ความน่าจะเป็นของการเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน
ให้โดยความน่าเชื่อถือ  :

. (3.18)

เพราะว่า ตู่St( น-1) เป็นที่ชัดเจนว่า tขึ้นอยู่กับ  และ นดังนั้นเราจึงมักจะเขียน
.

(3.19)

ที่ไหน
คือฟังก์ชันการกระจายของนักเรียนด้วย น-1 องศาอิสระ

การแก้สมการนี้สำหรับ ม, เราได้รับช่วงเวลา
ซึ่งมีความน่าเชื่อถือ  ครอบคลุมพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก ม.

ค่า t  , น-1 ใช้เพื่อกำหนดช่วงความเชื่อมั่นของตัวแปรสุ่ม ตู่(น-1), จัดจำหน่ายโดย นักศึกษา กับ น-1 องศาอิสระเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของนักเรียน. ควรหาได้จากค่าที่กำหนด นและ  จากตาราง " จุดวิกฤตแจกนักเรียน. (ตารางที่ 6 ภาคผนวก 1) ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ (3.19)

เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้ ความแม่นยำ ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการประมาณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยทั่วไป) หากไม่ทราบความแปรปรวน:

(3.20)

ดังนั้นจึงมีสูตรทั่วไปสำหรับการสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของประชากรทั่วไป:

ความแม่นยำของช่วงความมั่นใจอยู่ที่ไหน  ขึ้นอยู่กับความแปรปรวนที่รู้จักหรือไม่รู้จักนั้นพบได้ตามสูตร 3.16 ตามลำดับ และ 3.20.

งาน 10.มีการทดสอบบางอย่างซึ่งผลลัพธ์ที่ได้แสดงไว้ในตาราง:

x ผม

เป็นที่ทราบกันดีว่าพวกเขาปฏิบัติตามกฎการกระจายแบบปกติด้วย
. หาค่าประมาณ ม* สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ มให้สร้างช่วงความมั่นใจ 90% สำหรับมัน

วิธีการแก้:

ดังนั้น, ม(2.53;5.47).

ภารกิจที่ 11ความลึกของทะเลวัดโดยเครื่องมือที่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบเป็น 0 และข้อผิดพลาดแบบสุ่มจะถูกกระจายตามกฎปกติโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน  =15ม. ควรทำการวัดอิสระกี่ครั้งเพื่อกำหนดความลึกที่มีข้อผิดพลาดไม่เกิน 5 ม. โดยมีระดับความเชื่อมั่น 90%

วิธีการแก้:

โดยสภาพของปัญหาเรามี XN( ม;  ), ที่ไหน  =15m,  =5m,  =0.9. มาหาวอลลุ่มกัน น.

1) ด้วยความน่าเชื่อถือที่กำหนด = 0.9 เราพบจากตารางที่ 3 (ภาคผนวก 1) อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน Laplace ยู  = 1.65.

2) รู้ความถูกต้องของการประมาณค่าที่กำหนด  =ยู  =5, หา
. เรามี

. ดังนั้น จำนวนการทดลอง น25.

งาน 12.การสุ่มตัวอย่างอุณหภูมิ tสำหรับ 6 วันแรกของเดือนมกราคมจะแสดงในตาราง:

ค้นหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวัง มประชากรทั่วไปที่มีความน่าจะเป็นแบบมั่นใจ
และประเมินทั่วไป ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส.

วิธีการแก้:

และ
.

2) การประมาณการที่เป็นกลาง หาได้จากสูตร
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) เนื่องจากไม่ทราบความแปรปรวนทั่วไป แต่ทราบค่าประมาณแล้วจึงประมาณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ มเราใช้การแจกแจงของนักเรียน (ตารางที่ 6 ภาคผนวก 1) และสูตร (3.20)

เพราะ น 1 =น 2 =6 แล้ว ,
, ส 1 =6.85 เรามี:
ดังนั้น -29.2-4.1<ม 1 < -29.2+4.1.

ดังนั้น -33.3<ม 1 <-25.1.

เราก็มี
, ส 2 = 4.8 ดังนั้น

–34.9< ม 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: ม 1 (-33.3;-25.1) และ ม 2 (-34.9;-29.1).

ในวิทยาศาสตร์ประยุกต์ เช่น ในสาขาการก่อสร้าง ตารางช่วงความเชื่อมั่นถูกใช้เพื่อประเมินความถูกต้องของวัตถุ ซึ่งระบุไว้ในเอกสารอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง

คุณสามารถใช้แบบฟอร์มการค้นหานี้เพื่อค้นหางานที่เหมาะสม ป้อนคำ วลีจากงานหรือหมายเลขหากคุณทราบ

<ประเภทอินพุต="submit" value="" name="searchbutton" class="button">

ค้นหาเฉพาะในส่วนนี้

ช่วงความเชื่อมั่น: รายการวิธีแก้ไขปัญหา

ช่วงความเชื่อมั่น: ทฤษฎีและปัญหา

การทำความเข้าใจช่วงความเชื่อมั่น

ให้เราแนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับแนวคิดของช่วงความมั่นใจซึ่ง
1) ประมาณค่าพารามิเตอร์บางอย่างของตัวอย่างตัวเลขโดยตรงจากข้อมูลของตัวอย่างเอง
2) ครอบคลุมค่าของพารามิเตอร์นี้ด้วยความน่าจะเป็น γ

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับพารามิเตอร์ X(ด้วยความน่าจะเป็น γ) เรียกว่าช่วงเวลาของรูปแบบ เช่นนั้น และค่าต่างๆ จะถูกคำนวณด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากตัวอย่าง

โดยปกติในปัญหาที่ใช้ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นจะเท่ากับ γ = 0.9; 0.95; 0.99.

ลองพิจารณากลุ่มตัวอย่างขนาด n บางส่วนจากประชากรทั่วไป กระจายอย่างสันนิษฐานว่าเป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบปกติ ให้เราแสดงตามสูตรที่พบ ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับพารามิเตอร์การกระจาย- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัว (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์

กรณีที่ 1ค่าความแปรปรวนการกระจายเป็นที่รู้จักและเท่ากับ จากนั้นช่วงความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์ เอดูเหมือน:
tถูกกำหนดจากตารางการกระจาย Laplace โดยอัตราส่วน

กรณีที่ 2ไม่ทราบความแปรปรวนการกระจาย ค่าประมาณจุดของความแปรปรวนคำนวณจากกลุ่มตัวอย่าง จากนั้นช่วงความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์ เอดูเหมือน:
, ค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่คำนวณจากตัวอย่างอยู่ที่ไหน, พารามิเตอร์ tกำหนดจากตารางแจกของนักเรียน

ตัวอย่าง.จากข้อมูลการวัด 7 ค่าของค่าหนึ่งๆ พบว่าค่าเฉลี่ยของผลการวัดมีค่าเท่ากับ 30 และความแปรปรวนของตัวอย่างเท่ากับ 36 ค้นหาขอบเขตที่ค่าจริงของค่าที่วัดได้นั้นมีค่าความเชื่อถือได้อยู่ที่ 0.99 .

วิธีการแก้.มาหากัน . จากนั้นขีดจำกัดความเชื่อมั่นสำหรับช่วงเวลาที่มีค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้นั้นสามารถหาได้จากสูตร:
โดยที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือความแปรปรวนตัวอย่าง เสียบค่าทั้งหมดเราได้รับ:

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวน

เราเชื่อว่าโดยทั่วไปแล้ว การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่เป็นที่ทราบ และทราบเพียงค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงของความแปรปรวนเท่านั้นที่ทราบ จากนั้นช่วงความเชื่อมั่นจะมีลักษณะดังนี้:
, ที่ไหน - ปริมาณการกระจายที่กำหนดจากตาราง

ตัวอย่าง.จากข้อมูลการทดสอบ 7 ครั้ง พบค่าประมาณการค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน s=12. ค้นหาด้วยความน่าจะเป็น 0.9 ของความกว้างของช่วงความมั่นใจที่สร้างขึ้นเพื่อประมาณค่าความแปรปรวน

วิธีการแก้.ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวนประชากรที่ไม่ทราบค่าสามารถหาได้โดยใช้สูตร:

ทดแทนและรับ:


จากนั้นความกว้างของช่วงความมั่นใจคือ 465.589-71.708=393.881

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความน่าจะเป็น (ร้อยละ)

กรณีที่ 1ให้ทราบขนาดตัวอย่างและเศษส่วนตัวอย่าง (ความถี่สัมพัทธ์) ในโจทย์ จากนั้นช่วงความเชื่อมั่นสำหรับเศษส่วนทั่วไป (ความน่าจะเป็นที่แท้จริง) คือ:
โดยที่พารามิเตอร์ tถูกกำหนดจากตารางการแจกจ่าย Laplace ด้วยอัตราส่วน

กรณีที่ 2หากปัญหาทราบขนาดรวมของประชากรที่สุ่มตัวอย่างเพิ่มเติม สามารถหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับเศษส่วนทั่วไป (ความน่าจะเป็นที่แท้จริง) ได้โดยใช้สูตรที่ปรับปรุงแล้ว:
.

ตัวอย่าง.เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า ค้นหาขอบเขตที่ส่วนแบ่งทั่วไปสรุปด้วยความน่าจะเป็น

วิธีการแก้.เราใช้สูตร:

หาพารามิเตอร์จากเงื่อนไข , เราได้รับ Substitute ในสูตร:

คุณสามารถดูตัวอย่างปัญหาอื่นๆ ในสถิติทางคณิตศาสตร์ได้ที่หน้า

ให้ตัวแปรสุ่ม X ของประชากรทั่วไปกระจายตัวตามปกติ โดยให้ทราบความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงนี้ จำเป็นต้องประมาณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จักจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง ในกรณีนี้ ปัญหาจะลดลงเป็นการหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่มีความน่าเชื่อถือ b หากเราตั้งค่าความน่าจะเป็นของความมั่นใจ (ความน่าเชื่อถือ) b เราจะสามารถหาความน่าจะเป็นที่จะตกลงไปในช่วงเวลาสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร (6.9a):

โดยที่ Ф(t) คือฟังก์ชัน Laplace (5.17a)

เป็นผลให้เราสามารถกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาขอบเขตของช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หากทราบความแปรปรวน D = s 2:

1. ตั้งค่าความน่าเชื่อถือเป็น b
2. จาก (6.14) ด่วน Ф(t) = 0.5× b. เลือกค่า t จากตารางสำหรับฟังก์ชัน Laplace ด้วยค่า Ф(t) (ดูภาคผนวก 1)
3. คำนวณค่าเบี่ยงเบน e โดยใช้สูตร (6.10)
4. เขียนช่วงความเชื่อมั่นตามสูตร (6.12) เพื่อให้มีความน่าจะเป็น b ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

.

ตัวอย่างที่ 5.

ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบปกติ หาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการประมาณค่าที่มีความน่าเชื่อถือ b = 0.96 ของค่าเฉลี่ยที่ไม่ทราบค่า a หากกำหนดไว้:

1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วไป s = 5;

2) ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ;

3) ขนาดตัวอย่าง n = 49

ในสูตร (6.15) ของการประมาณช่วงของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ ด้วยความน่าเชื่อถือ b ทราบปริมาณทั้งหมดยกเว้น t ค่าของ t สามารถหาได้โดยใช้ (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96 Ф(เสื้อ) = 0.48.

ตามตารางภาคผนวก 1 สำหรับฟังก์ชัน Laplace Ф(t) = 0.48 ค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน t = 2.06 เพราะเหตุนี้, . แทนค่าที่คำนวณได้ของ e เป็นสูตร (6.12) เราจะได้ช่วงความเชื่อมั่น: 30-1.47< a < 30+1,47.

ช่วงความเชื่อมั่นที่ต้องการสำหรับการประมาณค่าที่มีความน่าเชื่อถือ b = 0.96 ของค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบค่าคือ: 28.53< a < 31,47.