หาค่ามัธยฐาน. ค่าเฉลี่ยหรือค่ามัธยฐาน? ค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐาน

โหมดและค่ามัธยฐาน- ค่าเฉลี่ยชนิดพิเศษที่ใช้ศึกษาโครงสร้างของอนุกรมรูปแบบต่างๆ บางครั้งเรียกว่าค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง ตรงกันข้ามกับค่าเฉลี่ยของกฎกำลังที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้

แฟชั่น- นี่คือค่าของแอตทริบิวต์ (ตัวแปร) ซึ่งมักพบในประชากรกลุ่มนี้ เช่น มีความถี่สูงสุด

แฟชั่นมีประโยชน์ในการใช้งานจริง และในบางกรณี มีเพียงแฟชั่นเท่านั้นที่สามารถกำหนดลักษณะปรากฏการณ์ทางสังคมได้

ค่ามัธยฐานเป็นตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของชุดรูปแบบที่เรียงลำดับ

ค่ามัธยฐานแสดงขีดจำกัดเชิงปริมาณของค่าคุณลักษณะตัวแปร ซึ่งเข้าถึงโดยครึ่งหนึ่งของหน่วยประชากร แนะนำให้ใช้ค่ามัธยฐานร่วมกับค่าเฉลี่ยหรือแทนที่จะแนะนำให้ใช้หากมีช่วงเปิดในชุดรูปแบบเนื่องจาก การคำนวณค่ามัธยฐานไม่ต้องการการกำหนดเงื่อนไขของขอบเขตของช่วงเวลาที่เปิด ดังนั้นการไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับค่ามัธยฐานจึงไม่ส่งผลต่อความถูกต้องของการคำนวณค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานยังใช้เมื่อไม่ทราบตัวบ่งชี้ที่จะใช้เป็นน้ำหนัก ใช้ค่ามัธยฐานแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตในวิธีทางสถิติของการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของตัวเลือกจากค่ามัธยฐานน้อยกว่าจากจำนวนอื่น

พิจารณาการคำนวณของโหมดและค่ามัธยฐานในชุดตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง :

กำหนดโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่นโม = 4 ปี เนื่องจากค่านี้สอดคล้องกับความถี่สูงสุด f = 5

เหล่านั้น. พนักงานส่วนใหญ่มีประสบการณ์ 4 ปี

ในการคำนวณค่ามัธยฐาน ขั้นแรกให้หาผลรวมของความถี่ครึ่งหนึ่ง หากผลรวมของความถี่เป็นเลขคี่ ให้บวกหนึ่งเข้ากับผลรวมนี้ก่อน แล้วจึงหารครึ่ง:

ค่ามัธยฐานจะเป็นตัวเลือกที่แปด

เพื่อค้นหาตัวเลือกที่จะเป็นตัวเลขที่แปด เราจะสะสมความถี่จนกว่าเราจะได้ผลรวมของความถี่เท่ากับหรือมากกว่าครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่ทั้งหมด ตัวเลือกที่เกี่ยวข้องจะเป็นค่ามัธยฐาน

ผม = 4 ปี

เหล่านั้น. ครึ่งหนึ่งของคนงานมีประสบการณ์น้อยกว่าสี่ปีและอีกครึ่งหนึ่ง

หากผลรวมของความถี่สะสมเทียบกับตัวเลือกหนึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่ ค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลือกนี้และตัวเลือกถัดไป

การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานในชุดรูปแบบช่วงเวลา

โหมดในชุดรูปแบบช่วงเวลาคำนวณโดยสูตร

ที่ไหน X เอ็ม0- เส้นขอบเริ่มต้นของช่วงกิริยา

ชม.ม 0 คือค่าของช่วงโมดอล

ฉม 0 , ฉม 0-1 , ฉม 0+1 - ความถี่ของช่วงกิริยา ตามลำดับ ก่อนโมดอลและต่อมา

โมดอลช่วงเวลาที่มีความถี่สูงสุดเรียกว่า

ตัวอย่าง 1

กลุ่มตามประสบการณ์	จำนวนคนงาน คน	ความถี่สะสม

กำหนดโหมดและค่ามัธยฐาน

ช่วงเวลาโมดอลเพราะ มันสอดคล้องกับความถี่สูงสุด f = 35 จากนั้น:

หืม 0 =6, fm 0 =35

การปฏิบัติ #4 .

การคำนวณลักษณะโครงสร้างของอนุกรมการแจกแจงแบบแปรผัน

นักเรียนจะต้อง:

รู้:

- ขอบเขตและวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

สามารถ:

- คำนวณค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

- กำหนดข้อสรุปตามผลลัพธ์ที่ได้รับ

แนวปฏิบัติ

ในสถิติ โหมดและค่ามัธยฐานจะคำนวณซึ่งสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยของโครงสร้าง ดังนั้นค่าใดจึงขึ้นอยู่กับ อาคารรวมสถิติ

การคำนวณแฟชั่น

แฟชั่น ค่าของคุณสมบัติ (ตัวแปร) เรียกว่าบ่อยขึ้น ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในประชากรที่ศึกษา ในซีรีย์การแจกจ่ายแบบไม่ต่อเนื่อง โหมดจะเป็นตัวแปรที่มีความถี่สูงสุด

ตัวอย่างเช่น: การจำหน่ายรองเท้าผู้หญิงแยกตามขนาดมีลักษณะดังนี้:

ขนาดรองเท้า
จำนวนคู่ที่ขาย

ในชุดการแจกจ่ายนี้ โหมดคือขนาด 37 นั่นคือ Mo=37 ขนาด.

สำหรับอนุกรมการแจกแจงแบบช่วงเวลา โหมดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน X โม - ขีด จำกัด ล่างของช่วงกิริยา

hMo - ค่าของช่วงโมดอล

fMo คือความถี่ของช่วงโมดอล

fMo -1และ fMo +1 – ช่วงความถี่ตามลำดับ

นำหน้ากิริยาและปฏิบัติตาม

ตัวอย่างเช่น: การกระจายตัวของคนงานตามระยะเวลาของการบริการมีลักษณะตามข้อมูลต่อไปนี้

ประสบการณ์การทำงานปี	มากถึง2				8-10	10 หรือมากกว่า
จำนวนคนงาน ต่อ

กำหนดโหมดของชุดช่วงเวลาของการแจกแจง

โหมดของอนุกรมช่วงเวลาคือ

แฟชั่นมักจะคลุมเครืออยู่เสมอ ขึ้นอยู่กับขนาดของกลุ่มและตำแหน่งที่แน่นอนของขอบเขตกลุ่ม แฟชั่นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในเชิงพาณิชย์เมื่อศึกษาความต้องการของผู้บริโภคเมื่อลงทะเบียนราคา ฯลฯ

การคำนวณค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน ในสถิติเรียกว่าตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของชุดข้อมูลที่มีการจัดลำดับ และแบ่งประชากรทางสถิติออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เพื่อให้ค่าครึ่งหนึ่งของค่าน้อยกว่าค่ามัธยฐาน และอีกครึ่งหนึ่งมีค่ามากกว่า ในการหาค่ามัธยฐาน จำเป็นต้องสร้างลำดับชั้น กล่าวคือ เรียงลำดับจากน้อยไปมากหรือมากไปหาน้อย ค่าส่วนบุคคลเข้าสู่ระบบ.

ในซีรีส์ที่เรียงตามลำดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคี่ ค่ามัธยฐานจะเป็นตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของซีรีส์

ตัวอย่างเช่น: ประสบการณ์ของพนักงาน 5 คน คือ 2, 4, 7, 9 และ 10 ปี ในชุดนี้ ค่ามัธยฐานคือ 7 ปี คือ ฉัน=7ปี

หากลำดับอนุกรมที่ไม่ต่อเนื่องประกอบด้วยสมาชิกจำนวนคู่ ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวเลือกที่อยู่ติดกันที่อยู่ตรงกลางของชุดข้อมูล

ตัวอย่างเช่น: ประสบการณ์การทำงานของคนงาน 6 คน คือ 1, 3, 4, 5, 10 และ 11 ปี มีสองตัวเลือกในแถวนี้ โดยยืนอยู่ตรงกลางแถว เหล่านี้คือตัวเลือก 4 และ 5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้จะเป็นค่ามัธยฐานของอนุกรม

ในการหาค่ามัธยฐานสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม ต้องอ่านความถี่สะสม

ตัวอย่างเช่น:จากข้อมูลที่มีอยู่ เราจะกำหนดขนาดรองเท้ามัธยฐาน

ขนาดรองเท้า	จำนวนคู่ที่ขาย	ผลรวมของความถี่สะสม

		8+19=27
		27+34=61
		61+108=169




ทั้งหมด

ในการหาค่ามัธยฐาน จำเป็นต้องคำนวณผลรวมของความถี่สะสมของอนุกรม การสะสมของผลรวมจะดำเนินต่อไปจนกว่าผลรวมของความถี่ที่สะสมจะเกินครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่ของอนุกรม ในตัวอย่างของเรา ผลรวมของความถี่คือ 300 ครึ่งของมันคือ 150 ผลรวมของความถี่ที่สะสมกลายเป็น 169 ตัวแปรที่สอดคล้องกับผลรวมนี้คือ 37 เป็นค่ามัธยฐานของชุดข้อมูล

หากผลรวมของความถี่สะสมเทียบกับตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่ของอนุกรม ค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลือกนี้และตัวถัดไป

ตัวอย่างเช่น: จากข้อมูลที่มีอยู่ เรากำหนดค่าจ้างมัธยฐานของคนงาน

รายเดือน ค่าจ้าง,พันรูเบิล.	จำนวนคนงาน ต่อ	ผลรวมของความถี่สะสม
14,0
14,2		2+6=8
16,0		8+12=20
16,8
18,0
ทั้งหมด:

ค่ามัธยฐานจะเป็น:

ค่ามัธยฐานของชุดรูปแบบช่วงเวลาของการแจกแจงถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน x ฉัน คือขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน

h Me คือค่าของช่วงมัธยฐาน

∑ ฉ- ผลรวมของความถี่ของซีรีส์

ฉ ผม คือความถี่ของช่วงมัธยฐาน

ตัวอย่างเช่น:ตามข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับการกระจายขององค์กรตามจำนวนบุคลากรในอุตสาหกรรมและการผลิต คำนวณค่ามัธยฐานในชุดรูปแบบช่วงเวลา

	จำนวนสถานประกอบการ	ผลรวมของความถี่สะสม
100-200
200-300		1+3=4
300-400		4+7=11
400-500		11+30=41
500-600
600-700
700-800
ทั้งหมด:

ให้เรากำหนดช่วงค่ามัธยฐานก่อน ที่ ตัวอย่างนี้ผลรวมของความถี่สะสมที่เกินครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าทั้งหมดของอนุกรมนั้นสอดคล้องกับช่วง 400-500 นี่คือช่วงค่ามัธยฐาน กล่าวคือ ช่วงที่มีค่ามัธยฐานของชุดข้อมูล มากำหนดความหมายของมันกันเถอะ

หากผลรวมของความถี่สะสมเทียบกับช่วงใดช่วงหนึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่ของอนุกรม ค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน น- จำนวนหน่วยในประชากร

กลุ่มวิสาหกิจตามจำนวน PPP ต่อ	จำนวนสถานประกอบการ	ผลรวมของความถี่สะสม
100-200
200-300		1+3=4
300-400		4+6=10
400-500		10+30=40
500-600		40+20=60
600-700
700-800
ทั้งหมด:

ผู้คน

โหมดและค่ามัธยฐานในชุดช่วงเวลาสามารถเป็น กำหนดแบบกราฟิก:

แฟชั่นใน แถวไม่ต่อเนื่อง- โดยรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย โหมดในชุดช่วงเวลา - โดยฮิสโตแกรมการกระจาย และค่ามัธยฐาน - โดยการสะสม

โหมดของอนุกรมการแจกแจงแบบช่วงเวลา กำหนดโดยฮิสโตแกรมการกระจายกำหนดด้วยวิธีต่อไปนี้ ด้วยเหตุนี้จึงเลือกสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สูงที่สุดซึ่งอยู่ใน กรณีนี้เป็นกิริยาช่วย จากนั้นเราเชื่อมต่อจุดยอดด้านขวาของสี่เหลี่ยมโมดอลกับทางขวา มุมบนสี่เหลี่ยมก่อนหน้า และจุดยอดด้านซ้ายของสี่เหลี่ยมโมดอลคือมุมบนซ้ายของสี่เหลี่ยมที่ตามมา นอกจากนี้ จากจุดที่สี่แยก จะตั้งฉากกับแกน abscissa abscissa ของจุดตัดของเส้นเหล่านี้จะเป็นโหมดการกระจาย

ค่ามัธยฐานคำนวณจากยอดสะสม เพื่อตรวจสอบจากจุดบนมาตราส่วนของความถี่สะสม (ความถี่) ซึ่งสอดคล้องกับ 50% จะมีการวาดเส้นตรงขนานกับแกน abscissa จนกว่าจะตัดกับสะสม จากนั้น จากจุดตัดของเส้นตรงที่ระบุกับยอดรวม จะลดแนวตั้งฉากกับแกน abscissa จุดตัดของจุดตัดคือค่ามัธยฐาน

นอกเหนือจากโหมดและค่ามัธยฐานแล้ว ตัวแปรอื่น ๆ สามารถกำหนดได้ในชุดตัวแปร ลักษณะโครงสร้าง- ปริมาณ Quantiles มีไว้สำหรับการศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับโครงสร้างของชุดการแจกจ่าย

ปริมาณ- นี่คือค่าของจุดสนใจที่ครอบครองตำแหน่งหนึ่งในจำนวนประชากรที่เรียงลำดับโดยคุณลักษณะนี้ มีควอไทล์ประเภทต่อไปนี้:

- ควอร์ไทล์ เป็นค่าแอตทริบิวต์ที่แบ่งชุดคำสั่งออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน

- เดซิลี – ค่าแอตทริบิวต์หารชุดคำสั่งด้วยสิบ ส่วนที่เท่ากัน;

- เปอร์เซ็นต์ - ค่าคุณลักษณะที่แบ่งชุดคำสั่งออกเป็นหนึ่งร้อยส่วนเท่า ๆ กัน

ดังนั้น เพื่อกำหนดลักษณะตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของชุดการกระจาย สามารถใช้ตัวบ่งชี้ 3 ตัว: หมายถึงคุณลักษณะ โหมด ค่ามัธยฐานเมื่อเลือกประเภทและรูปแบบของตัวบ่งชี้เฉพาะของศูนย์กระจายสินค้า จำเป็นต้องดำเนินการตามคำแนะนำต่อไปนี้:

- สำหรับกระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคมที่ยั่งยืน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้เป็นตัวบ่งชี้ศูนย์ กระบวนการดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยการแจกแจงแบบสมมาตร ซึ่ง ;

- สำหรับกระบวนการที่ไม่เสถียร ตำแหน่งของศูนย์กระจายสินค้าจะมีลักษณะดังนี้ โม หรือ ผม. สำหรับกระบวนการที่ไม่สมมาตร คุณลักษณะที่ต้องการของศูนย์กระจายสินค้าคือค่ามัธยฐาน เนื่องจากมันอยู่ในตำแหน่งระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับโหมด

พร้อมกับค่าเฉลี่ยเช่น ลักษณะทางสถิติของอนุกรมการแจกแจงแบบแปรผัน คำนวณค่าเฉลี่ยโครงสร้าง - แฟชั่นและ ค่ามัธยฐาน.
แฟชั่น(โม) แทนค่าของคุณลักษณะที่ศึกษา ทำซ้ำด้วยความถี่สูงสุด กล่าวคือ mode คือค่าของคุณสมบัติที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด
ค่ามัธยฐาน(ฉัน) คือค่าของคุณลักษณะที่อยู่ตรงกลางของประชากรที่มีลำดับ (เรียง) กล่าวคือ ค่ามัธยฐาน - ค่ากลางของชุดตัวแปร
คุณสมบัติหลักของค่ามัธยฐานคือผลรวมของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของค่าแอตทริบิวต์จากค่ามัธยฐานน้อยกว่าค่าอื่นใด ∑|x i - Me|=min

การกำหนดโหมดและค่ามัธยฐานจากข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม

พิจารณา การกำหนดโหมดและค่ามัธยฐานจากข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม. สมมุติว่าคณะทำงานประกอบด้วย 9 คน มีประเภทค่าจ้างดังนี้ 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . เนื่องจากทีมนี้มีพนักงานมากที่สุดในประเภทที่ 3 หมวดหมู่ภาษีนี้จึงเป็นกิริยาช่วย โม = 3
ในการหาค่ามัธยฐานจำเป็นต้องจัดอันดับ: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . ภาคกลางในชุดนี้เป็นคนงานประเภทที่ 4 ดังนั้นหมวดนี้จะเป็นค่ามัธยฐาน หากชุดที่จัดอันดับมีจำนวนหน่วยเป็นคู่ ค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยของค่าส่วนกลางสองค่า
หากโหมดนี้สะท้อนถึงค่าตัวแปรที่พบบ่อยที่สุดของจุดสนใจ ค่ามัธยฐานจะทำหน้าที่ของค่าเฉลี่ยสำหรับค่าที่ไม่ต่างกันและไม่รองลงมา กฎหมายปกติการกระจายตัวของประชากร ให้เราอธิบายความสำคัญทางปัญญาด้วยตัวอย่างต่อไปนี้
สมมติว่าเราจำเป็นต้องกำหนดลักษณะรายได้เฉลี่ยของกลุ่มคนจำนวน 100 คน โดย 99 คนมีรายได้อยู่ในช่วง 100 ถึง 200 ดอลลาร์ต่อเดือน และรายได้ต่อเดือนของคนกลุ่มหลังคือ 50,000 ดอลลาร์ (ตารางที่ 1)
ตารางที่ 1 - รายได้ต่อเดือนของกลุ่มคนที่ศึกษา หากเราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เราจะได้รายได้เฉลี่ยประมาณ 600 - 700 ดอลลาร์ ซึ่งแทบไม่เหมือนกันกับรายได้ของส่วนหลักของกลุ่ม ค่ามัธยฐานในกรณีนี้เท่ากับ ฉัน = 163 ดอลลาร์ จะช่วยให้เราสามารถให้คำอธิบายวัตถุประสงค์ของระดับรายได้ 99% ของคนกลุ่มนี้
พิจารณาคำจำกัดความของโหมดและค่ามัธยฐานตามข้อมูลที่จัดกลุ่ม (ชุดการแจกจ่าย)
สมมติว่ามีการกระจายคนงานของทั้งองค์กรโดยรวมตามหมวดภาษีมี มุมมองถัดไป(ตารางที่ 2).
ตารางที่ 2 - การกระจายคนงานขององค์กรตามหมวดหมู่ภาษี

การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานสำหรับอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่อง

การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานสำหรับชุดรูปแบบต่างๆ

การกำหนดโหมดจากชุดรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง

ใช้ชุดค่าคุณลักษณะที่สร้างไว้ก่อนหน้านี้ จัดเรียงตามค่า ถ้าขนาดกลุ่มตัวอย่างเป็นเลขคี่ ให้ใช้ค่ากลาง ถ้าขนาดกลุ่มตัวอย่างเป็นเลขคู่ เราจะหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ากลางสองค่า
การกำหนดโหมดจากชุดรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง: ความถี่สูงสุด(60 คน) มีภาษีประเภทที่ 5 ดังนั้นจึงเป็นกิริยาช่วย โม = 5
ในการกำหนดค่ามัธยฐานของแอตทริบิวต์ จะพบจำนวนหน่วยมัธยฐานของอนุกรม (N Me) โดยใช้สูตรต่อไปนี้ โดยที่ n คือปริมาตรของประชากร
ในกรณีของเรา:

.
ได้รับ ค่าเศษส่วนซึ่งเกิดขึ้นเสมอสำหรับหน่วยประชากรเป็นจำนวนคู่ บ่งชี้ว่าจุดกึ่งกลางที่แน่นอนอยู่ระหว่าง 95 ถึง 96 คน จำเป็นต้องกำหนดว่าคนงานกลุ่มใดที่มีสิ่งเหล่านี้ ซีเรียลนัมเบอร์. สามารถทำได้โดยการคำนวณความถี่สะสม ไม่มีคนงานที่มีหมายเลขเหล่านี้ในกลุ่มแรกซึ่งมีเพียง 12 คนและไม่ได้อยู่ในกลุ่มที่สอง (12+48=60) คนงานคนที่ 95 และ 96 อยู่ในกลุ่มที่สาม (12+48+56=116) ดังนั้น ประเภทค่าจ้างที่ 4 จึงเป็นค่ามัธยฐาน

การคำนวณโหมดและค่ามัธยฐานในอนุกรมช่วงเวลา

ต่างจากอนุกรมความแปรผันที่ไม่ต่อเนื่อง การกำหนดโหมดและค่ามัธยฐานจากอนุกรมช่วงเวลาต้องใช้การคำนวณบางอย่างตามสูตรต่อไปนี้:

, (5.6)
ที่ไหน x0- ขีด จำกัด ล่างของช่วงโมดอล (ช่วงเวลาที่มีความถี่สูงสุดเรียกว่าโมดอล)
ผมคือค่าของช่วงโมดอล
fMoคือความถี่ของช่วงโมดอล
fMo-1คือความถี่ของช่วงก่อนโมดอล
เอฟ โม +1คือ ความถี่ของช่วงหลังโมดอล

(5.7)
ที่ไหน x0– ขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน (ค่ามัธยฐานคือช่วงแรก ความถี่สะสมเกินครึ่ง ยอดรวมความถี่);
ผมคือค่าของช่วงมัธยฐาน
เอส มี-1- ช่วงสะสมก่อนค่ามัธยฐาน
ฉ ฉันคือความถี่ของช่วงมัธยฐาน
เราแสดงการประยุกต์ใช้สูตรเหล่านี้โดยใช้ข้อมูลในตาราง 3.
ช่วงเวลาที่มีขอบเขต 60 - 80 ในการแจกแจงนี้จะเป็นโมดอลเพราะ มีความถี่สูงสุด โดยใช้สูตร (5.6) เรากำหนดโหมด:

ในการสร้างช่วงค่ามัธยฐาน จำเป็นต้องกำหนดความถี่สะสมของแต่ละช่วงที่ตามมาจนกว่าจะเกินครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่สะสม (ในกรณีของเราคือ 50%) (ตารางที่ 5.11)
พบว่าค่ามัธยฐานคือช่วงที่มีขอบเขต 100 - 120,000 rubles ตอนนี้เรากำหนดค่ามัธยฐาน:

ตารางที่ 3 - การกระจายของประชากรของสหพันธรัฐรัสเซียตามระดับรายได้เงินสดเฉลี่ยต่อหัวเล็กน้อยในเดือนมีนาคม 1994

กลุ่มตามระดับรายได้เฉลี่ยต่อหัวต่อเดือนพันรูเบิล	ส่วนแบ่งของประชากร %
มากถึง 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
มากกว่า 300	7,7
ทั้งหมด	100,0

ตารางที่ 4 - คำจำกัดความของช่วงค่ามัธยฐาน
ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตโหมดและค่ามัธยฐานสามารถใช้เป็นลักษณะทั่วไปของค่าของแอตทริบิวต์บางอย่างสำหรับหน่วยของประชากรที่มีการจัดอันดับ
ลักษณะสำคัญของศูนย์กระจายสินค้าคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งโดดเด่นด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเบี่ยงเบนทั้งหมด (บวกและลบ) รวมกันเป็นศูนย์ เป็นเรื่องปกติสำหรับค่ามัธยฐานที่ผลรวมของการเบี่ยงเบนจากค่าโมดูลัสมีค่าน้อยที่สุด และโหมดคือค่าของคุณลักษณะที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด
อัตราส่วนของโหมด ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตบ่งบอกถึงธรรมชาติของการกระจายของลักษณะโดยรวม ทำให้เราสามารถประเมินความไม่สมมาตรของมันได้ ในการแจกแจงแบบสมมาตร คุณลักษณะทั้งสามจะเหมือนกัน ยิ่งความคลาดเคลื่อนระหว่างโหมดและค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากเท่าใด อนุกรมก็จะยิ่งมีความสมมาตรมากขึ้นเท่านั้น สำหรับอนุกรมวิธานแบบเบ้ปานกลาง ความแตกต่างระหว่างโหมดและค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมีความแตกต่างระหว่างค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยประมาณสามเท่า กล่าวคือ:
|โม–`x| = 3 |ฉัน –`x|.

การกำหนดโหมดและค่ามัธยฐานโดยวิธีกราฟิก

โหมดและค่ามัธยฐานในชุดช่วงเวลาสามารถกำหนดแบบกราฟิกได้. โหมดถูกกำหนดจากฮิสโตแกรมของการแจกแจง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ให้เลือกสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สูงที่สุดซึ่งในกรณีนี้คือกิริยาช่วย จากนั้นเราเชื่อมต่อจุดยอดด้านขวาของสี่เหลี่ยมโมดอลกับมุมบนขวาของสี่เหลี่ยมก่อนหน้า และจุดยอดด้านซ้ายของสี่เหลี่ยมโมดอลคือมุมบนซ้ายของสี่เหลี่ยมที่ตามมา จากจุดตัด เราลดฉากตั้งฉากกับแกน abscissa abscissa ของจุดตัดของเส้นเหล่านี้จะเป็นโหมดการกระจาย (รูปที่ 5.3)

ข้าว. 5.3. คำจำกัดความของกราฟิกโหมดฮิสโตแกรม

ข้าว. 5.4. การกำหนดแบบกราฟิกของค่ามัธยฐานโดยสะสม
เพื่อหาค่ามัธยฐานจากจุดบนมาตราส่วนของความถี่สะสม (ความถี่) ที่สัมพันธ์กับ 50% ให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน abscissa ไปยังจุดตัดที่มีการสะสม จากนั้นจากจุดตัดจะลดฉากตั้งฉากไปที่แกน abscissa จุดตัดของจุดตัดคือค่ามัธยฐาน

ควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์

ในทำนองเดียวกัน ด้วยการค้นหาค่ามัธยฐานในชุดการกระจายแบบแปรผัน คุณสามารถค้นหาค่าของจุดสนใจสำหรับหน่วยใดๆ ของชุดที่จัดอันดับตามลำดับ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาค่าของจุดสนใจในหน่วยที่แบ่งชุดข้อมูลออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน ออกเป็น 10 หรือ 100 ส่วน ค่าเหล่านี้เรียกว่า "ควอร์ไทล์", "เดไซล์", "เปอร์เซ็นไทล์"
ควอร์ไทล์คือค่าของคุณลักษณะที่แบ่งประชากรที่มีช่วงออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน
มีควอไทล์ที่ต่ำกว่า (Q 1) โดยแยก ¼ ของประชากรด้วย ค่าที่น้อยที่สุดเครื่องหมาย และควอไทล์บน (Q 3) ตัดทอน ¼ ส่วนด้วย ค่าสูงสุดเข้าสู่ระบบ. ซึ่งหมายความว่า 25% ของหน่วยประชากรจะน้อยกว่า Q 1 ; 25% หน่วยจะถูกปิดระหว่าง Q 1 และ Q 2 ; 25% - ระหว่าง Q 2 ถึง Q 3 และ 25% ที่เหลือนั้นเหนือกว่า Q 3 ควอร์ไทล์กลางของ Q 2 คือค่ามัธยฐาน
ในการคำนวณควอร์ไทล์ตามอนุกรมความแปรผันของช่วงเวลา จะใช้สูตรต่อไปนี้:

,
ที่ไหน x คิว 1– ขีดจำกัดล่างของช่วงที่มีควอร์ไทล์ต่ำกว่า (ช่วงเวลาถูกกำหนดโดยความถี่สะสม ครั้งแรกที่เกิน 25%)
x คิว 3– ขีด จำกัด ล่างของช่วงที่มีควอไทล์บน (ช่วงเวลาถูกกำหนดโดยความถี่สะสม ครั้งแรกที่เกิน 75%)
ผม– ค่าช่วง;
เอส คิว 1-1คือความถี่สะสมของช่วงก่อนหน้าช่วงที่มีควอไทล์ต่ำกว่า
เอส คิว 3-1คือความถี่สะสมของช่วงก่อนหน้าช่วงที่มีควอไทล์บน
ฉ คิว 1คือความถี่ของช่วงที่มีควอร์ไทล์ต่ำกว่า
ฉ คิว 3คือความถี่ของช่วงที่มีควอไทล์บน
พิจารณาการคำนวณควอไทล์ล่างและควอไทล์บนตามตาราง 5.10. ควอร์ไทล์ล่างอยู่ในช่วง 60 - 80 ความถี่สะสมคือ 33.5% ควอไทล์บนอยู่ในช่วง 160 - 180 โดยมีความถี่สะสม 75.8% เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจะได้รับ:
,
.
นอกจากควอร์ไทล์แล้ว ยังสามารถกำหนดเดซิเบลใน rads การแจกแจงแบบแปรผัน - ตัวเลือกที่แบ่งอันดับ ซีรีส์รูปแบบต่างๆออกเป็นสิบส่วนเท่าๆ กัน เดไซล์แรก (d 1) แบ่งประชากร 1/10 ถึง 9/10, เดไซล์ที่สอง (d 1) 2/10 ถึง 8/10 และอื่นๆ
คำนวณตามสูตร:

.
ค่าคุณสมบัติที่แบ่งซีรีส์ออกเป็นหนึ่งร้อยส่วนเรียกว่าเปอร์เซ็นไทล์ อัตราส่วนของค่ามัธยฐาน ควอร์ไทล์ เดซิลี และเปอร์เซ็นไทล์แสดงในรูปที่ 5.5.

สมมติว่าเราต้องกำหนด ระดับกลางในการแจกแจงเกรดของนักเรียนหรือในตัวอย่างข้อมูลการควบคุมคุณภาพ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณค่ามัธยฐานของชุดตัวเลขโดยใช้ฟังก์ชัน MEDIAN

ฟังก์ชันนี้เป็นวิธีหนึ่งในการวัดแนวโน้มสู่ศูนย์กลาง กล่าวคือ ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของชุดตัวเลขใน การกระจายทางสถิติ. มีสามวิธีที่พบได้บ่อยที่สุดในการพิจารณาแนวโน้มศูนย์กลาง

หมายถึง- เป็นค่าที่เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต กล่าวคือ คำนวณโดยการบวกชุดของตัวเลข แล้วตามด้วยหารผลรวมที่เป็นผลลัพธ์ด้วยตัวเลข ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของตัวเลข 2, 3, 3, 5, 7 และ 10 คือ 5 (ผลจากการหารผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ ซึ่งก็คือ 30 ด้วยตัวเลข ซึ่งก็คือ 6)

ค่ามัธยฐาน- ตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของชุดตัวเลข: ครึ่งหนึ่งของตัวเลขมีค่ามากกว่าค่ามัธยฐาน และครึ่งหนึ่งของตัวเลขมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ค่ามัธยฐานของตัวเลข 2, 3, 3, 5, 7 และ 10 คือ 4

แฟชั่นเป็นตัวเลขที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดใน ชุดที่ให้มาตัวเลข ตัวอย่างเช่น โหมดสำหรับตัวเลข 2, 3, 3, 5, 7 และ 10 จะเป็น 3

ด้วยการกระจายแบบสมมาตรของชุดตัวเลข ค่าแนวโน้มศูนย์กลางทั้งสามค่าจะตรงกัน ด้วยการแจกแจงแบบเอนเอียงของชุดตัวเลข ค่าอาจแตกต่างกัน

ภาพหน้าจอในบทความนี้ถ่ายใน Excel 2016 หากคุณกำลังใช้เวอร์ชันอื่น อินเทอร์เฟซอาจดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย แต่ฟังก์ชันการทำงานจะเหมือนกัน

ตัวอย่าง

เพื่อให้ตัวอย่างนี้เข้าใจง่ายขึ้น ให้คัดลอกลงในแผ่นเปล่า

คำแนะนำ:ในการสลับระหว่างการดูผลลัพธ์และการดูสูตรที่ส่งคืนผลลัพธ์เหล่านั้น ให้กด CTRL+` (เครื่องหมายอัญประกาศเดี่ยว) หรือบนแท็บ สูตรในกลุ่ม การพึ่งพาสูตรกดปุ่ม แสดงสูตร.

ฟังก์ชัน MEDIAN ใน Excel ใช้สำหรับการวิเคราะห์ช่วง ค่าตัวเลขและส่งคืนตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของเซตภายใต้การศึกษา (ค่ามัธยฐาน) นั่นคือ, ฟังก์ชันที่กำหนดแบ่งชุดของตัวเลขออกเป็นสองส่วนตามเงื่อนไขโดยชุดแรกมีตัวเลขน้อยกว่าค่ามัธยฐานและชุดที่สอง - มากกว่า ค่ามัธยฐานเป็นหนึ่งในหลายวิธีในการพิจารณาแนวโน้มศูนย์กลางของช่วงที่กำลังศึกษา

ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชัน MEDIAN ใน Excel

เมื่อค้นคว้า กลุ่มอายุนักศึกษาใช้ข้อมูลจากกลุ่มนักศึกษาที่สุ่มเลือกในมหาวิทยาลัย งานคือการกำหนดอายุมัธยฐานของนักเรียน

ข้อมูลเบื้องต้น:

สูตรการคำนวณ:

คำอธิบายอาร์กิวเมนต์:

B3:B15 - ช่วงอายุที่ศึกษา

ผลลัพธ์:

กล่าวคือมีนักเรียนในกลุ่มที่อายุน้อยกว่า 21 ปี และมีค่ามากกว่านี้

การเปรียบเทียบฟังก์ชัน MEDIAN และ AVERAGE เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย

ในช่วงเย็นที่โรงพยาบาลจะมีการวัดอุณหภูมิร่างกายของผู้ป่วยแต่ละราย แสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของการใช้พารามิเตอร์มัธยฐานแทนค่ากลางเพื่อสำรวจชุดของค่าที่ได้รับ

ข้อมูลเบื้องต้น:

สูตรการหาค่าเฉลี่ย:

สูตรการหาค่ามัธยฐาน:

ดังจะเห็นได้จากค่าเฉลี่ย อุณหภูมิเฉลี่ยของผู้ป่วยสูงกว่าปกติ แต่ไม่เป็นความจริง ค่ามัธยฐานแสดงว่าผู้ป่วยอย่างน้อยครึ่งหนึ่งมีอุณหภูมิร่างกายปกติไม่เกิน 36.6

ความสนใจ! อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดแนวโน้มศูนย์กลางคือโหมด (ค่าทั่วไปที่สุดในช่วงที่กำลังศึกษา) ในการกำหนดแนวโน้มหลักใน Excel ให้ใช้ฟังก์ชัน FASHION โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ค่ามัธยฐานและโหมดจะเหมือนกัน:

นั่นคือ ค่ามัธยฐานหารหนึ่งชุดออกเป็นเซตย่อยที่เล็กกว่าและ คุณค่ามหาศาลเป็นค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในชุด อย่างที่คุณเห็น ผู้ป่วยส่วนใหญ่มีอุณหภูมิ 36.6

ตัวอย่างการคำนวณค่ามัธยฐานในการวิเคราะห์ทางสถิติใน Excel

ตัวอย่างที่ 3 มีพนักงานขาย 3 คนทำงานในร้านค้า จากผลของช่วง 10 วันที่ผ่านมา จำเป็นต้องกำหนดพนักงานที่จะออกโบนัสให้ เมื่อเลือกคนทำงานที่ดีที่สุด ระดับของประสิทธิภาพการทำงานจะถูกนำมาพิจารณาด้วย ไม่ใช่จำนวนสินค้าที่ขาย

ตารางข้อมูลต้นทาง:

ในการกำหนดลักษณะประสิทธิภาพ เราจะใช้ตัวบ่งชี้สามตัวพร้อมกัน: ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด มากำหนดกันสำหรับพนักงานแต่ละคนโดยใช้สูตร AVERAGE, MEDIAN และ FASHION ตามลำดับ:

ในการกำหนดระดับการกระจายข้อมูล เราใช้ค่าที่เป็น มูลค่ารวมโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและโหมด ค่าเฉลี่ย และค่ามัธยฐานตามลำดับ นั่นคือสัมประสิทธิ์ x=|av-med|+|av-mod| โดยที่:

av – ค่าเฉลี่ย;
med คือค่ามัธยฐาน
สมัย - แฟชั่น

คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ x สำหรับผู้ขายรายแรก:

ในทำนองเดียวกัน เราจะทำการคำนวณสำหรับผู้ขายรายอื่น ผลลัพธ์:

มากำหนดผู้ขายที่จะได้รับโบนัสกัน:

หมายเหตุ: ฟังก์ชัน SMALL คืนค่า first ค่าต่ำสุดจากพิสัยของค่าสัมประสิทธิ์ x ที่พิจารณา

สัมประสิทธิ์ x คือค่าบางส่วน ลักษณะเชิงปริมาณความมั่นคงในการทำงานของผู้ขายซึ่งนักเศรษฐศาสตร์แนะนำ ด้วยความช่วยเหลือ ทำให้สามารถกำหนดช่วงโดยมีค่าเบี่ยงเบนน้อยที่สุด วิธีนี้แสดงให้เห็นว่าสามวิธีในการพิจารณาแนวโน้มกลางสามารถใช้พร้อมกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือที่สุดได้อย่างไร

คุณสมบัติของการใช้ฟังก์ชัน MEDIAN ใน Excel

ฟังก์ชั่นมีไวยากรณ์ต่อไปนี้:

ค่ามัธยฐาน(หมายเลข 1, [หมายเลข2],...)

คำอธิบายของอาร์กิวเมนต์:

number1 เป็นอาร์กิวเมนต์บังคับที่กำหนดลักษณะค่าตัวเลขแรกในช่วงที่ศึกษา
[number2] – ตัวเลือกวินาที (และอาร์กิวเมนต์ที่ตามมา รวมสูงสุด 255 อาร์กิวเมนต์) ที่แสดงลักษณะค่าที่สองและค่าที่ตามมาของช่วงที่ศึกษา

หมายเหตุ 1:

เมื่อคำนวณ จะสะดวกกว่าในการถ่ายโอนช่วงทั้งหมดของค่าที่ศึกษาในคราวเดียว แทนที่จะป้อนอาร์กิวเมนต์ตามลำดับ
อาร์กิวเมนต์คือข้อมูลตัวเลข ชื่อที่มีตัวเลข ข้อมูลอ้างอิง และอาร์เรย์ (เช่น =MEDIAN((1;2;3;5;7;10)))
เมื่อคำนวณค่ามัธยฐาน เซลล์ที่ประกอบด้วย ค่าว่างหรือตรรกะ TRUE, FALSE ซึ่งจะตีความว่าเป็นค่าตัวเลข 1 และ 0 ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการดำเนินการฟังก์ชันที่มีค่าตรรกะในอาร์กิวเมนต์ (TRUE; FALSE) จะเทียบเท่ากับผลลัพธ์ของการดำเนินการด้วยอาร์กิวเมนต์ (1; 0) และเท่ากับ 0.5
หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอย่างน้อยหนึ่งอาร์กิวเมนต์ใช้ค่าข้อความที่ไม่สามารถแปลงเป็นค่าตัวเลข หรือมีรหัสข้อผิดพลาด ฟังก์ชันจะส่งกลับ #VALUE! รหัสข้อผิดพลาด
สามารถใช้วิธีอื่นเพื่อกำหนดค่ามัธยฐานของตัวอย่างได้ ฟังก์ชัน Excel: เปิด PERCENTILE, เปิด QUARTILE, ตัวอย่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดการใช้งาน:

=PERCENTILE.ON(A1:A10,0.5) เพราะตามคำจำกัดความ ค่ามัธยฐานคือเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50
=QUARTILE.ON(A1:A10,2) เนื่องจากค่ามัธยฐานคือควอร์ไทล์ที่ 2
=LARGE(A1:A9;COUNT(A1:A9)/2) แต่เฉพาะในกรณีที่จำนวนตัวเลขในช่วงเป็นเลขคี่

หมายเหตุ 2:

หากตัวเลขทั้งหมดในช่วงที่ศึกษามีการกระจายแบบสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่ามัธยฐานสำหรับช่วงนี้จะเท่ากัน
ด้วยการเบี่ยงเบนของข้อมูลจำนวนมากในช่วง ("การกระจาย" ของค่า) ค่ามัธยฐานจะสะท้อนแนวโน้มในการกระจายค่าได้ดีกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ตัวอย่างที่ดีคือการใช้ค่ามัธยฐานเพื่อกำหนดระดับเงินเดือนที่แท้จริงของประชากรในรัฐที่เจ้าหน้าที่ได้รับลำดับความสำคัญมากกว่าพลเมืองทั่วไป
ช่วงของค่าที่ตรวจสอบอาจประกอบด้วย:

เลขคี่. ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานจะเป็น เอกพจน์ A ที่แบ่งช่วงออกเป็นสองส่วนย่อยของค่าที่มากกว่าและน้อยกว่าตามลำดับ
จำนวนเลขคู่. จากนั้นค่ามัธยฐานจะถูกคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าตัวเลขสองค่าโดยแบ่งชุดออกเป็นสองชุดย่อยที่ระบุข้างต้น