การหาพื้นที่ของรูปที่มีจำกัด จะคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าได้อย่างไร? ความสมบูรณ์ของการแก้ปัญหาอาจมีลักษณะเช่นนี้
รูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ $f(x)$ บนเส้น $$ และเส้นตรง $y=0, \ x=a$ และ $x=b$ เรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง
พื้นที่ที่สอดคล้องกัน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคำนวณโดยสูตร:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
เราจะแบ่งปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งออกเป็นประเภท $4$ อย่างมีเงื่อนไข มาดูรายละเอียดแต่ละประเภทกันดีกว่า
ประเภทที่ 1: มีการระบุรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งไว้อย่างชัดเจนจากนั้นจึงใช้สูตร (*) ทันที
ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=4-(x-2)^(2)$ และเส้น $y=0, \ x=1$ และ $x =3$.
ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้กัน
ใช้สูตร (*) เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งนี้
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\ขีดจำกัด_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$)
Type II: มีการระบุสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งโดยปริยายในกรณีนี้ เส้นตรง $x=a, \ x=b$ มักจะไม่ได้ระบุหรือระบุเพียงบางส่วน ในกรณีนี้ คุณต้องค้นหาจุดตัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ และ $y=0$ คะแนนเหล่านี้จะเป็นคะแนน $a$ และ $b$
ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$
ลองหาจุดตัดกัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะเทียบด้านขวาของฟังก์ชัน
ดังนั้น $a=-1$ และ $b=1$ ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้กัน
ลองหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้กัน
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$)
ประเภท III: พื้นที่ของรูปที่ถูกจำกัดด้วยจุดตัดของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบต่อเนื่องกันสองตัวรูปนี้จะไม่ใช่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร (*) ได้ เป็นไปได้ยังไง?ปรากฎว่าพื้นที่ของรูปนี้สามารถพบได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันด้านบนและ $y=0$ ($S_(uf)$) และฟังก์ชันด้านล่างและ $y =0$ ($S_(lf)$) โดยที่บทบาทของ $x=a, \ x=b$ ถูกเล่นโดยพิกัด $x$ ของจุดที่ตัดกันของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่น
$S=S_(uf)-S_(lf)$. -
สิ่งที่สำคัญที่สุดในการคำนวณพื้นที่ดังกล่าวคืออย่า "พลาด" ด้วยการเลือกฟังก์ชันบนและล่าง
ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน $y=x^(2)$ และ $y=x+6$
มาหาจุดตัดของกราฟเหล่านี้กัน:
ตามทฤษฎีบทของเวียตตา
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
นั่นคือ $a=-2,\b=3$ มาวาดรูปกัน:
ดังนั้น ฟังก์ชันบนสุดคือ $y=x+6$ และฟังก์ชันล่างสุดคือ $y=x^(2)$ ต่อไป เราจะหา $S_(uf)$ และ $S_(lf)$ โดยใช้สูตร (*)
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (หน่วย$^(2)$)
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (หน่วย$^(2)$)
ลองแทนที่สิ่งที่เราพบเป็น (**) และรับ:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (หน่วย$^(2)$)
ประเภทที่ 4: พื้นที่รูป ฟังก์ชั่นจำกัด(s) ที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่ใช่เชิงลบเพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูปนั้น คุณจะต้องมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน $Ox$ ( กล่าวอีกนัยหนึ่งวาง "เครื่องหมายลบ" ไว้หน้าฟังก์ชัน) แสดงพื้นที่และค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่แสดงโดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในประเภท I - III บริเวณนี้จะเป็นพื้นที่ที่ต้องการ ขั้นแรก คุณอาจต้องค้นหาจุดตัดของกราฟฟังก์ชันก่อน
ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(2)-1$ และ $y=0$
มาหาจุดตัดของกราฟฟังก์ชันกัน:
เหล่านั้น. $a=-1$ และ $b=1$ ลองวาดพื้นที่กัน
มาแสดงพื้นที่แบบสมมาตรกัน:
$y=0 \ \ลูกศรขวา \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \ลูกศรขวา \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$
ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$ นี่เป็นปัญหาในการหาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งแบบที่สอง เราได้แก้ไขมันแล้ว คำตอบคือ: $S= 1\frac(1)(3)$ (หน่วย $^(2)$) ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ต้องการเท่ากับ:
$S=1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$)
เราเริ่มพิจารณากระบวนการจริงในการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าและทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของมัน
อินทิกรัลสองเท่าเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ รูปร่างแบน(ภูมิภาคของการบูรณาการ) นี้ รูปแบบที่ง่ายที่สุดอินทิกรัลสองเท่า เมื่อฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมีค่าเท่ากับหนึ่ง:
ก่อนอื่นให้เราพิจารณาปัญหาใน มุมมองทั่วไป- ตอนนี้คุณจะประหลาดใจมากที่ทุกอย่างเรียบง่ายจริงๆ! ลองคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน จำกัดด้วยเส้น- เพื่อความชัดเจน เราถือว่าในส่วนนั้น พื้นที่ของรูปนี้เท่ากับตัวเลข:
ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:
เรามาเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่:
ดังนั้น:
และเทคนิคทางเทคนิคที่สำคัญทันที: อินทิกรัลแบบวนซ้ำสามารถคำนวณแยกกันได้- ขั้นแรกอินทิกรัลด้านใน จากนั้นอินทิกรัลภายนอก วิธีการนี้ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้กับผู้เริ่มต้นในเรื่องนี้
1) มาคำนวณอินทิกรัลภายในแล้วทำการอินทิเกรตกับตัวแปร "y":
อินทิกรัลไม่กำหนดตรงนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด จากนั้นจึงใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซซ้ำๆ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ขีดจำกัดของการรวมไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน- ก่อนอื่นพวกเขาใส่มันไว้ใน "Y" ( ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์) ขีด จำกัด บนจากนั้น – ขีดจำกัดล่าง
2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในย่อหน้าแรกจะต้องถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:
การแสดงโซลูชันทั้งหมดที่มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นมีลักษณะดังนี้:
สูตรผลลัพธ์ที่ได้ เป็นสูตรการทำงานในการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดขอบเขต "ธรรมดา" อย่างแน่นอน! ดูบทเรียน การคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตเธออยู่ที่นั่นทุกย่างก้าว!
นั่นคือ ปัญหาการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลสองเท่า ไม่แตกต่างกันมากนักจากปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต!อันที่จริงมันก็เป็นสิ่งเดียวกัน!
ดังนั้นจึงไม่ควรเกิดปัญหาใด ๆ เกิดขึ้น! ฉันจะไม่ดูตัวอย่างมากนักเนื่องจากในความเป็นจริงคุณต้องเผชิญกับงานนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
ตัวอย่างที่ 9
สารละลาย:ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:
ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:
ฉันจะไม่ขอกล่าวถึงวิธีสำรวจพื้นที่นี้อีกต่อไป เนื่องจากมีคำอธิบายโดยละเอียดอยู่ในย่อหน้าแรก
ดังนั้น:
ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว เป็นการดีกว่าสำหรับผู้เริ่มต้นในการคำนวณอินทิกรัลแบบวนซ้ำแยกกัน และฉันจะยึดวิธีเดิม:
1) ขั้นแรก โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:
2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในขั้นตอนแรกจะถูกแทนที่เป็นอินทิกรัลภายนอก:
จุดที่ 2 คือการหาพื้นที่ของรูประนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต
คำตอบ:
นี่เป็นงานที่โง่และไร้เดียงสา
ตัวอย่างที่น่าสนใจสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:
ตัวอย่างที่ 10
ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,
ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน
ในตัวอย่างที่ 9-10 จะมีประโยชน์มากกว่ามากหากใช้วิธีการแรกในการสำรวจพื้นที่ อย่างไรก็ตาม ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นสามารถเปลี่ยนลำดับการสำรวจและคำนวณพื้นที่โดยใช้วิธีที่สองได้ หากคุณไม่ทำผิดพลาด คุณจะได้รับค่าพื้นที่เท่ากันโดยธรรมชาติ
แต่ในบางกรณี วิธีที่สองในการสำรวจพื้นที่นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่า และเมื่อจบหลักสูตรของเด็กเนิร์ดแล้ว เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมในหัวข้อนี้กัน:
ตัวอย่างที่ 11
ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น
สารละลาย:เรากำลังรอคอยพาราโบลาสองอันที่มีมุมแหลมอยู่ข้างๆ ไม่จำเป็นต้องยิ้ม สิ่งที่คล้ายกันมักเกิดขึ้นบ่อยครั้งในปริพันธ์หลายรายการ
วิธีที่ง่ายที่สุดในการวาดภาพคืออะไร?
ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน:
– สาขาบนและ – สาขาล่าง
ในทำนองเดียวกัน ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปบนและล่าง สาขา
ต่อไปคือการวางแผนกฎกราฟแบบ point-wise ส่งผลให้เกิดตัวเลขที่แปลกประหลาด:
เราคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าตามสูตร:
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่? ประการแรก พื้นที่นี้จะต้องแบ่งออกเป็นสองส่วน และประการที่สอง เราจะสังเกตเห็นภาพที่น่าเศร้านี้: - แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่ได้อยู่ในระดับที่ซับซ้อนมากนัก แต่... มีคำพูดทางคณิตศาสตร์เก่าๆ ที่ว่า ผู้ที่อยู่ใกล้รากเหง้าของตัวเองไม่จำเป็นต้องมีการทดสอบ
ดังนั้น จากความเข้าใจผิดที่ให้ไว้ในเงื่อนไข เราจึงแสดงฟังก์ชันผกผันได้:
ฟังก์ชันผกผันวี ในตัวอย่างนี้มีข้อดีคือระบุพาราโบลาทั้งหมดได้ในคราวเดียวโดยไม่มีใบ ลูกโอ๊ก กิ่งก้าน และรากใดๆ
ตามวิธีที่ 2 การเคลื่อนที่ผ่านพื้นที่จะเป็นดังนี้
ดังนั้น:
อย่างที่พวกเขาพูดรู้สึกถึงความแตกต่าง
1) เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:
เราแทนที่ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลภายนอก:
การบูรณาการเหนือตัวแปร “y” ไม่ควรทำให้เกิดความสับสน หากมีตัวอักษร “zy” การบูรณาการเข้ากับตัวแปรดังกล่าวจะดีมาก แม้ว่าผู้ที่อ่านบทเรียนย่อหน้าที่สอง วิธีการคำนวณปริมาตรของตัวการปฏิวัติเขาไม่ประสบกับความอึดอัดใจแม้แต่น้อยกับการบูรณาการตามวิธี "Y" อีกต่อไป
ให้ความสนใจกับขั้นตอนแรกด้วย: อินทิแกรนด์เป็นเลขคู่ และช่วงของอินทิเกรตมีความสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นส่วนสามารถลดลงครึ่งหนึ่งและผลลัพธ์สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าได้ เทคนิคนี้มีความคิดเห็นโดยละเอียดในบทเรียน วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวน.
จะเพิ่มอะไร... ทั้งหมด!
คำตอบ:
หากต้องการทดสอบเทคนิคการรวมระบบ คุณสามารถลองคำนวณได้ - คำตอบควรจะเหมือนกันทุกประการ
ตัวอย่างที่ 12
ใช้อินทิกรัลคู่เพื่อคำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณพยายามใช้วิธีแรกในการสำรวจพื้นที่ ตัวเลขจะไม่ต้องแบ่งออกเป็นสองอีกต่อไป แต่แบ่งออกเป็นสามส่วน! และด้วยเหตุนี้ เราได้อินทิกรัลซ้ำสามคู่ สิ่งนี้ก็เกิดขึ้นเช่นกัน
คลาสมาสเตอร์สิ้นสุดลงแล้ว และถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับมาสเตอร์คลาส - วิธีการคำนวณอินทิกรัลสองเท่า? ตัวอย่างการแก้ปัญหา- ฉันจะพยายามไม่คลั่งไคล้ในบทความที่สอง =)
ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!
แนวทางแก้ไขและคำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2:สารละลาย:
ลองพรรณนาถึงพื้นที่ บนภาพวาด:
ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:
ดังนั้น:
มาดูฟังก์ชันผกผันกันดีกว่า:
ดังนั้น:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย:
มาดูฟังก์ชั่นโดยตรงกันดีกว่า:
มาวาดรูปกันเถอะ:
มาเปลี่ยนลำดับการสำรวจพื้นที่กัน:
คำตอบ:
ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เรื่องอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นเร่งด่วนมากขึ้น ในเรื่องนี้ การรีเฟรชหน่วยความจำกราฟหลักจะเป็นประโยชน์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรงและไฮเปอร์โบลาได้
สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคือรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่ต่ำกว่าแกน x:
แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน- อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก
จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA.
นั่นคืออินทิกรัลจำนวนหนึ่ง (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างที่ 1
นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.
เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว- พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะทำกำไรได้มากกว่า จุดต่อจุด
ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):
กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในส่วนนี้ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:
คำตอบ:
หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ใน ในกรณีนี้“ ด้วยตา” เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะมีประมาณ 9 ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าถ้าเราได้คำตอบคือ: 20 หน่วยตารางเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน
สารละลาย: มาวาดรูปกันเถอะ:
หากมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
ในกรณีนี้:
ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:
1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดเขตโดยไม่มีค่าใดๆ ความหมายทางเรขาคณิตแล้วมันก็อาจเป็นลบได้
2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง
ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น
ตัวอย่างที่ 4
หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .
สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จก่อน โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ
หากเป็นไปได้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้วิธีนี้.
การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย
กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:
และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนนั้น มากกว่าหรือเท่ากับบาง ฟังก์ชั่นต่อเนื่องจากนั้นพื้นที่ของรูปที่จำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้น , สามารถพบได้โดยใช้สูตร:
ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดคร่าวๆ แล้ว มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.
ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก
โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:
รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .
สารละลาย: ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:
รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ข้อผิดพลาด" เกิดขึ้นโดยคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่เป็นสีเทา สีเขียว!
ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้สอง อินทิกรัลที่แน่นอน.
จริงหรือ:
1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง
2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา
เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:
ตัวอย่างที่ 1 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 และ x = 2
มาสร้างรูปกัน (ดูรูป) เราสร้างเส้นตรง x + 2y – 4 = 0 โดยใช้จุดสองจุด A(4;0) และ B(0;2) เมื่อเขียน y ถึง x เราจะได้ y = -0.5x + 2 โดยใช้สูตร (1) โดยที่ f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2 เราจะพบว่า
S = = [-0.25=11.25 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 2 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 และ y = 0
สารละลาย. มาสร้างรูปกันเถอะ
ลองสร้างเส้นตรง x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2)
ลองสร้างเส้นตรง x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5)
มาหาจุดตัดของเส้นโดยการแก้ระบบสมการ:
x = 2, y = 3; ม(2; 3)
ในการคำนวณพื้นที่ที่ต้องการ เราแบ่งสามเหลี่ยม AMC ออกเป็นสองสามเหลี่ยม AMN และ NMC เนื่องจากเมื่อ x เปลี่ยนจาก A เป็น N พื้นที่นั้นจะถูกจำกัดด้วยเส้นตรง และเมื่อ x เปลี่ยนจาก N เป็น C - ด้วยเส้นตรง
สำหรับสามเหลี่ยม AMN เรามี: ; y = 0.5x + 2 เช่น f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2
สำหรับสามเหลี่ยม NMC เรามี: y = - x + 5 เช่น f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5
โดยการคำนวณพื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยมและเพิ่มผลลัพธ์เราจะพบว่า:
ตร.ม. หน่วย
ตร.ม. หน่วย
9 + 4, 5 = 13.5 ตร.ม. หน่วย ตรวจสอบ: = 0.5AC = 0.5 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 3 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3
ในกรณีนี้คุณต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y = x 2 , เส้นตรง x = 2 และ x = 3 และแกน Ox (ดูรูป) โดยใช้สูตร (1) เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
= = 6 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = - x 2 + 4 และ y = 0
มาสร้างรูปกันเถอะ พื้นที่ที่ต้องการอยู่ระหว่างพาราโบลา y = - x 2 + 4 และแกน Ox
ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน Ox กัน สมมติว่า y = 0 เราพบ x = เนื่องจากตัวเลขนี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน Oy เราจึงคำนวณพื้นที่ของรูปที่อยู่ทางด้านขวาของแกน Oy และเพิ่มผลลัพธ์เป็นสองเท่า: = +4x]sq หน่วย 2 = 2 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 5 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y 2 = x, yx = 1, x = 4
ที่นี่คุณต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยกิ่งบนของพาราโบลา 2 = x, แกน Ox และเส้นตรง x = 1 และ x = 4 (ดูรูป)
ตามสูตร (1) โดยที่ f(x) = a = 1 และ b = 4 เราจะได้ = (= ตารางหน่วย
ตัวอย่างที่ 6 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
พื้นที่ที่ต้องการถูกจำกัดด้วยครึ่งคลื่นของไซนูซอยด์และแกนวัว (ดูรูป)
เรามี - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 ตร.ม. หน่วย
ตัวอย่างที่ 7 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = - 6x, y = 0 และ x = 4
รูปนี้อยู่ใต้แกนวัว (ดูรูป)
ดังนั้นเราจึงหาพื้นที่ของมันโดยใช้สูตร (3)
= =
ตัวอย่างที่ 8 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y = และ x = 2 สร้างเส้นโค้ง y = จากจุด (ดูรูป) ดังนั้นเราจึงหาพื้นที่ของรูปโดยใช้สูตร (4)
ตัวอย่างที่ 9 .
เอ็กซ์ 2 + ย 2 = อาร์ 2 .
ที่นี่คุณต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงกลม x 2 + ย 2 = อาร์ 2 คือพื้นที่ของวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ลองหาส่วนที่สี่ของบริเวณนี้โดยใช้ขีดจำกัดของอินทิเกรตตั้งแต่ 0
ก่อน; เรามี: 1 = = [
เพราะฉะนั้น, 1 =
ตัวอย่างที่ 10 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y= x 2 และ y = 2x
รูปนี้ถูกจำกัดด้วยพาราโบลา y = x 2 และเส้นตรง y = 2x (ดูรูป) เพื่อกำหนดจุดตัด เส้นที่กำหนดแก้ระบบสมการ: x 2 – 2x = 0 x = 0 และ x = 2
เราได้โดยใช้สูตร (5) เพื่อค้นหาพื้นที่
= กราฟของฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 ตั้งอยู่ เหนือแกนวัวนั่นเป็นเหตุผล:
คำตอบ: .
ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ
,
อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 2
คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ซี = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบท้ายบทเรียน
จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาวัว?
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด
วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:
ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตั้งอยู่ใต้แกนโดยสมบูรณ์ วัว จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
ในกรณีนี้:
.
ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:
1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ
2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง
ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น
ตัวอย่างที่ 4
หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.
วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x- ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. มักจะสร้างผลกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่าในการสร้างบรรทัดทีละจุด และขีดจำกัดของการบูรณาการจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:
ขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักถูกกำหนด "โดยอัตโนมัติ"
และตอนนี้สูตรการทำงาน:
หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชั่นต่อเนื่องบางอย่าง ก(x) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร:
ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดถึงตำแหน่งของรูปอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกนอีกต่อไป มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.
ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าบนส่วนพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – x 2 ต้องถูกลบ – x.
โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:
รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 ด้านบนและตรง ย = -xด้านล่าง.
บนส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x- ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ: .
ที่จริงแล้ว สูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างที่ 3) คือ กรณีพิเศษสูตร
.
เพราะว่าแกน วัวกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ก(x) ซึ่งอยู่ใต้แกน วัว, ที่
.
และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง
ตัวอย่างที่ 5
ตัวอย่างที่ 6
หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น
เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดถูก คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท... พบพื้นที่ผิดรูป
ตัวอย่างที่ 7
ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:
รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจผู้คนจึงมักตัดสินใจว่าจำเป็นต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!
ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากจะคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:
1) ในส่วน [-1; 1] เหนือแกน วัวกราฟจะอยู่ตรง ย = x+1;
2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).
เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:
คำตอบ:
ตัวอย่างที่ 8
คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"
และทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุด:
จากภาพวาดชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเรา “ดี”: ข = 1.
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร?
อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่การรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสมบูรณ์แบบอยู่ที่ไหนก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ ก=(-1/4) =(-1/4) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?
ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์
ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:
.
เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).
วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด บนส่วน
, ,
ตามสูตรที่เหมาะสม:
คำตอบ:
เพื่อสรุปบทเรียน มาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน
ตัวอย่างที่ 9
คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น
วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด
ในการวาดภาพแบบจุดต่อจุดคุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่างไซนัสอยด์ โดยทั่วไป การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด รวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ - ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) สามารถสร้างแผนผังได้ ซึ่งกราฟและขีดจำกัดของการรวมควรแสดงอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน
ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการบูรณาการที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง:
– “x” เปลี่ยนจากศูนย์เป็น “pi” มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:
ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป 3 xซึ่งอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:
(1) คุณจะเห็นว่าไซน์และโคไซน์รวมเข้ากับเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เราบีบไซนัสหนึ่งอัน
(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักในรูปแบบ
(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกัน ที=คอส xดังนั้น: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:
.
.
บันทึก:สังเกตว่าอินทิกรัลของแทนเจนต์ในลูกบาศก์ถูกนำมาใช้อย่างไร เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
.