ให้จำเป็นต้องหาสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว แทนเวกเตอร์รัศมีของพวกมัน และเวกเตอร์รัศมีปัจจุบันโดย เราสามารถหาสมการที่ต้องการในรูปแบบเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย อันที่จริง เวกเตอร์ จะต้องเป็นระนาบเดียวกัน (พวกมันทั้งหมดอยู่ในระนาบที่ต้องการ) ดังนั้นผลคูณเวกเตอร์-สเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะต้องเท่ากับศูนย์:

นี่คือสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด ในรูปเวกเตอร์

เมื่อหันไปหาพิกัด เราจะได้สมการเป็นพิกัด:

ถ้าสามจุดที่กำหนดให้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเส้นตรง ดังนั้นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองแถวสุดท้ายของดีเทอร์มีแนนต์ในสมการ (18) จะเป็นสัดส่วนและดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับศูนย์เหมือนกัน ดังนั้นสมการ (18) จะกลายเป็นเอกลักษณ์ของค่าใด ๆ ของ x, y และ z ในทางเรขาคณิต นี่หมายความว่าระนาบผ่านแต่ละจุดของอวกาศ ซึ่งจุดที่กำหนดสามจุดก็อยู่ด้วย

หมายเหตุ 1. ปัญหาเดียวกันสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้เวกเตอร์

ระบุพิกัดของจุดที่กำหนดสามจุดตามลำดับ โดยเราเขียนสมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุดแรก:

เพื่อให้ได้สมการของระนาบที่ต้องการ เราต้องกำหนดให้สมการ (17) เป็นไปตามพิกัดของอีกสองจุดที่เหลือ:

จากสมการ (19) จำเป็นต้องกำหนดอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์สองตัวต่อตัวที่สามและป้อนค่าที่พบลงในสมการ (17)

ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดแรกจะเป็นดังนี้

เงื่อนไขสำหรับเครื่องบิน (17) ที่จะผ่านอีกสองจุดและจุดแรกคือ:

เมื่อบวกสมการที่สองเข้ากับสมการแรก เราจะได้:

แทนสมการที่สอง เราจะได้:

แทนสมการ (17) แทน A, B, C ตามลำดับ 1, 5, -4 (ตัวเลขตามสัดส่วน) เราจะได้:

ตัวอย่างที่ 2 เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)

สมการของระนาบใดๆ ที่ผ่านจุด (0, 0, 0) จะเป็น]

เงื่อนไขในการส่งเครื่องบินลำนี้ผ่านจุด (1, 1, 1) และ (2, 2, 2) คือ:

เมื่อลดสมการที่สองลง 2 เราจะเห็นว่าการหาค่าไม่ทราบค่าทั้งสองนั้น ความสัมพันธ์มีสมการเดียวด้วย

จากนี้ไปเราจะได้ ตอนนี้แทนค่าในสมการระนาบแทนค่า เราจะพบว่า:

นี่คือสมการของระนาบที่ต้องการ มันขึ้นอยู่กับพล

ปริมาณ B, C (กล่าวคือ จากอัตราส่วน กล่าวคือ มีเครื่องบินจำนวนอนันต์ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด (สามจุดที่กำหนดให้อยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น)

หมายเหตุ 2. ปัญหาของการวาดระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันนั้นแก้ไขได้ง่ายในรูปแบบทั่วไปถ้าเราใช้ดีเทอร์มีแนนต์ อันที่จริง เนื่องจากในสมการ (17) และ (19) สัมประสิทธิ์ A, B, C ไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ ดังนั้น เมื่อพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่ทราบค่าสามตัว A, B, C เราจึงเขียนสมการที่จำเป็นและเพียงพอ เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของโซลูชันของระบบนี้ นอกเหนือจากศูนย์ (ตอนที่ 1, ch. VI, § 6):

การขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้โดยองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้สมการของระดับแรกเทียบกับพิกัดปัจจุบัน ซึ่งจะเป็นที่พอใจโดยเฉพาะโดยพิกัดของสามจุดที่กำหนด

หลังนี้สามารถตรวจสอบได้โดยตรงหากเราแทนที่พิกัดของจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้แทนในสมการที่เขียนโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ ทางด้านซ้ายจะได้รับดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งองค์ประกอบของแถวแรกเป็นศูนย์หรือมีสองแถวที่เหมือนกัน ดังนั้น สมการที่กำหนดขึ้นนี้จึงแทนระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

สมการระนาบ จะเขียนสมการระนาบได้อย่างไร?
การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบิน งาน

เรขาคณิตเชิงพื้นที่ไม่ได้ซับซ้อนกว่าเรขาคณิต "แบน" มากนัก และเที่ยวบินของเราในอวกาศเริ่มต้นด้วยบทความนี้ การจะเข้าใจหัวข้อนั้น ต้องมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับ เวกเตอร์นอกจากนี้ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำความคุ้นเคยกับเรขาคณิตของระนาบ - จะมีความคล้ายคลึงกันมากมายการเปรียบเทียบมากมายดังนั้นข้อมูลจะถูกย่อยได้ดีขึ้นมาก ในชุดบทเรียนของฉัน โลก 2D เปิดขึ้นพร้อมกับบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ. แต่ตอนนี้แบทแมนได้ก้าวออกจากทีวีจอแบนและกำลังเปิดตัวจาก Baikonur Cosmodrome

เริ่มจากภาพวาดและสัญลักษณ์กันก่อน แผนผังสามารถวาดระนาบเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งให้ความรู้สึกของพื้นที่:

เครื่องบินไม่มีที่สิ้นสุด แต่เรามีโอกาสที่จะพรรณนาเพียงบางส่วนเท่านั้น ในทางปฏิบัติ นอกจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแล้ว ยังวาดวงรีหรือแม้แต่ก้อนเมฆด้วย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค ฉันสะดวกกว่าที่จะพรรณนาเครื่องบินในลักษณะนี้และในตำแหน่งนี้ ระนาบจริงที่เราจะพิจารณาในตัวอย่างเชิงปฏิบัติ สามารถจัดเรียงได้ตามที่คุณต้องการ - วาดภาพในมือของคุณแล้วบิดมันในอวกาศ ทำให้ระนาบมีความลาดเอียง มุมใดก็ได้

สัญกรณ์: เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดระนาบด้วยตัวอักษรกรีกตัวเล็ก ๆ เพื่อไม่ให้สับสนกับ ตรงขึ้นเครื่องบินหรือกับ ตรงไปในอวกาศ. ฉันเคยชินกับการใช้ตัวอักษร ในภาพวาด มันคือตัวอักษร "ซิกม่า" ไม่ใช่รูแต่อย่างใด แม้ว่าระนาบที่มีรูพรุน แต่ก็เป็นเรื่องตลกมาก

ในบางกรณี เป็นการสะดวกที่จะใช้อักษรกรีกตัวเดียวกันกับตัวห้อยเพื่อกำหนดระนาบ เช่น .

เห็นได้ชัดว่าระนาบถูกกำหนดโดยจุดที่แตกต่างกันสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นการกำหนดเครื่องบินสามตัวอักษรจึงเป็นที่นิยม - ตามคะแนนที่เป็นของพวกเขาเป็นต้น มักมีตัวอักษรอยู่ในวงเล็บ: เพื่อไม่ให้สับสนระนาบกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น

สำหรับผู้อ่านที่มีประสบการณ์ฉันจะให้ เมนูทางลัด:

• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร
• จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

และเราจะไม่อ่อนระโหยโรยแรงในการรอคอยนาน

สมการทั่วไปของระนาบ

สมการทั่วไปของระนาบมีรูปแบบ โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

การคำนวณเชิงทฤษฎีและปัญหาเชิงปฏิบัติจำนวนหนึ่งใช้ได้สำหรับทั้งแบบธรรมดาและแบบธรรมดาและสำหรับพื้นฐานความผูกพันของพื้นที่ (ถ้าน้ำมันคือน้ำมัน ให้กลับไปที่บทเรียน การพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์). เพื่อความง่าย เราจะถือว่าเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นแบบออร์โธนอร์มัลและระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน

และตอนนี้เรามาฝึกจินตนาการเชิงพื้นที่กันเถอะ ไม่เป็นไรถ้าคุณมีมันแย่ ตอนนี้เราจะพัฒนามันเล็กน้อย แม้แต่การเล่นประสาทก็ต้องฝึกฝน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ เมื่อตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ เครื่องบินจะตัดกันทั้งสามแกน ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเครื่องบินยังคงดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนดในทุกทิศทาง และเรามีโอกาสแสดงภาพเพียงบางส่วนเท่านั้น

พิจารณาสมการระนาบที่ง่ายที่สุด:

จะเข้าใจสมการนี้ได้อย่างไร ลองคิดดู: "Z" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "X" และ "Y" เท่ากับศูนย์ นี่คือสมการของระนาบพิกัด "ดั้งเดิม" ที่จริงแล้ว สมการอย่างเป็นทางการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: จากที่เห็นได้ชัดว่าเราไม่สนใจ ค่า "x" และ "y" ใช้อะไรเป็นสิ่งสำคัญที่ "z" เท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกัน:
คือ สมการระนาบพิกัด ;
คือสมการระนาบพิกัด

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นหน่อย พิจารณาระนาบ (ที่นี่และเพิ่มเติมในย่อหน้าที่เราคิดว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ: . จะเข้าใจได้อย่างไร? "X" เสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ "y" และ "z" เท่ากับจำนวนที่แน่นอน ระนาบนี้ขนานกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น เครื่องบินขนานกับระนาบและผ่านจุดหนึ่ง

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับระนาบพิกัด
- สมการระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

เพิ่มสมาชิก: . สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: นั่นคือ "Z" สามารถเป็นอะไรก็ได้ มันหมายความว่าอะไร? "X" และ "Y" เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนที่ลากเส้นตรงในระนาบ (คุณจะจำได้ สมการเส้นตรงในระนาบ?) เนื่องจาก Z สามารถเป็นอะไรก็ได้ บรรทัดนี้จึง "จำลอง" ที่ความสูงเท่าใดก็ได้ ดังนั้น สมการจึงกำหนดระนาบขนานกับแกนพิกัด

ในทำนองเดียวกัน:
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด
- สมการระนาบซึ่งขนานกับแกนพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระเป็นศูนย์ เครื่องบินจะผ่านแกนที่เกี่ยวข้องโดยตรง ตัวอย่างเช่น "สัดส่วนโดยตรง" แบบคลาสสิก: ลากเส้นตรงในระนาบแล้วคูณด้วยใจขึ้นและลง (เพราะ "z" เป็นใดๆ) สรุป: ระนาบที่กำหนดโดยสมการผ่านแกนพิกัด

เราสรุปการทบทวน: สมการของระนาบ ผ่านแหล่งกำเนิด ตรงนี้ค่อนข้างชัดเจนว่าจุดนั้นตรงกับสมการที่กำหนด

และสุดท้าย กรณีที่แสดงในภาพวาด: - เครื่องบินเป็นเพื่อนกับแกนพิกัดทั้งหมด ในขณะที่มันมักจะ "ตัด" สามเหลี่ยมที่สามารถอยู่ในแปดอ็อกเทนต์ตัวใดก็ได้

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในอวกาศ

เพื่อให้เข้าใจข้อมูล จำเป็นต้องศึกษาให้ดี ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในระนาบเพราะหลายๆ อย่างก็จะคล้ายๆ กัน ย่อหน้าจะเป็นภาพรวมโดยสังเขปพร้อมตัวอย่างบางส่วน เนื่องจากเนื้อหาค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ

หากสมการกำหนดระนาบ แสดงว่าอสมการ
ถาม ครึ่งช่องว่าง. หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด (สองรายการสุดท้ายในรายการ) วิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันนอกเหนือจากครึ่งสเปซจะรวมระนาบด้วย

ตัวอย่างที่ 5

หาเวกเตอร์ปกติหน่วยของระนาบ .

วิธีการแก้: เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง ลองแทนเวกเตอร์นี้ด้วย ค่อนข้างชัดเจนว่าเวกเตอร์เป็นแบบ collinear:

อันดับแรก เราลบเวกเตอร์ตั้งฉากออกจากสมการของระนาบ: .

จะหาเวกเตอร์หน่วยได้อย่างไร? ในการหาเวกเตอร์หน่วย คุณต้องมี ทั้งหมดพิกัดเวกเตอร์หารด้วยความยาวเวกเตอร์.

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติใหม่ในรูปแบบและหาความยาวของมัน:

ตามข้างต้น:

ตอบ:

ตรวจสอบ: ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบ

ท่านผู้อ่านที่ศึกษาย่อหน้าสุดท้ายของบทเรียนอย่างรอบคอบแล้วคงสังเกตว่า พิกัดของเวกเตอร์หน่วยคือทิศทางของโคไซน์ของเวกเตอร์:

ลองพูดนอกเรื่องจากปัญหาการถอดประกอบ: เมื่อคุณได้รับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตามอำเภอใจ, และโดยเงื่อนไข มันจะต้องค้นหาทิศทางของโคไซน์ (ดูภารกิจสุดท้ายของบทเรียน ผลิตภัณฑ์ Dot ของเวกเตอร์) ที่จริงแล้ว คุณยังหาเวกเตอร์หน่วย collinear กับเวกเตอร์ที่กำหนดด้วย อันที่จริง สองงานในขวดเดียว

ความจำเป็นในการหาเวกเตอร์ปกติของหน่วยเกิดขึ้นในปัญหาบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เราหาการตกปลาของเวกเตอร์ปกติแล้ว ตอนนี้เราจะตอบคำถามตรงข้าม:

จะเขียนสมการระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติได้อย่างไร

โครงสร้างที่เข้มงวดของเวกเตอร์ปกติและจุดนี้เป็นที่รู้จักกันดีโดยเป้าหมายปาเป้า โปรดเหยียดมือไปข้างหน้าและเลือกจุดที่ต้องการในอวกาศเช่นแมวตัวเล็กในตู้ข้าง เห็นได้ชัดว่า ผ่านจุดนี้ คุณสามารถวาดระนาบเดียวตั้งฉากกับมือของคุณ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้นแสดงโดยสูตร:

ภายในกรอบของวัสดุนี้ เราจะวิเคราะห์วิธีหาสมการของระนาบหากเราทราบพิกัดของจุดต่างๆ สามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว ในการทำเช่นนี้ เราต้องจำไว้ว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคืออะไรในปริภูมิสามมิติ อันดับแรก เราแนะนำหลักการพื้นฐานของสมการนี้และแสดงวิธีใช้ในการแก้ปัญหาเฉพาะ

Yandex.RTB R-A-339285-1

เริ่มต้นด้วย เราต้องจำสัจพจน์หนึ่งซึ่งฟังดังนี้:

คำจำกัดความ 1

หากจุดสามจุดไม่ตรงกันและไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวจากนั้นในอวกาศสามมิติจะมีระนาบเดียวเท่านั้นที่ผ่าน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเรามีจุดที่แตกต่างกันสามจุดที่พิกัดไม่ตรงกันและไม่สามารถเชื่อมต่อด้วยเส้นตรงได้ เราก็สามารถกำหนดระนาบที่ผ่านจุดนั้นได้

สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ลองแสดงว่า O x y z . ประกอบด้วยสามจุด M พร้อมพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) ที่ไม่สามารถต่อตรงได้ ไลน์. จากเงื่อนไขเหล่านี้ เราสามารถเขียนสมการระนาบที่เราต้องการได้ มีสองวิธีในการแก้ปัญหานี้

1. วิธีแรกใช้สมการทั่วไปของระนาบ ในรูปแบบตัวอักษร เขียนเป็น A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ด้วยมัน คุณสามารถตั้งค่าอัลฟาของระนาบบางตัวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ซึ่งผ่านจุดแรกที่กำหนด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . ปรากฎว่าเวกเตอร์ระนาบปกติ α จะมีพิกัด A , B , C .

คำจำกัดความของ N

เมื่อทราบพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากและพิกัดของจุดที่เครื่องบินผ่าน เราสามารถเขียนสมการทั่วไปของระนาบนี้ได้

จากนี้ไปเราจะดำเนินการต่อไป

ดังนั้น ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามีพิกัดของจุดที่ต้องการ (แม้แต่สามจุด) ที่ระนาบผ่าน ในการหาสมการ คุณต้องคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ปกติของมัน แสดงว่า n → .

จำกฎนี้: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของระนาบที่กำหนดจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของระนาบเดียวกัน จากนั้นเราจะได้ว่า n → จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยจุดเริ่มต้น M 1 M 2 → และ M 1 M 3 → . จากนั้นเราสามารถแสดง n → เป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของรูปแบบ M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

ตั้งแต่ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) และ M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเหล่านี้มีอยู่ในบทความเกี่ยวกับการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์จากพิกัดของจุด) จากนั้นปรากฎว่า:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z หนึ่ง

ถ้าเราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เราจะได้พิกัดของเวกเตอร์ปกติ n → ที่เราต้องการ ตอนนี้ เราสามารถเขียนสมการที่เราต้องการสำหรับระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนด

2. วิธีที่สองในการหาสมการผ่าน M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) คือ ตามแนวคิดเช่น complanarity ของเวกเตอร์

หากเรามีชุดของจุด M (x, y, z) จากนั้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมพวกเขาจะกำหนดระนาบสำหรับจุดที่กำหนด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) เฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์ M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) และ M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) จะเป็นระนาบเดียวกัน

บนไดอะแกรมจะมีลักษณะดังนี้:

นี่จะหมายความว่าผลคูณผสมของเวกเตอร์ M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → จะเท่ากับศูนย์: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 เนื่องจากนี่เป็นเงื่อนไขหลักสำหรับการเปรียบเทียบ: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) และ M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1)

เราเขียนสมการผลลัพธ์ในรูปแบบพิกัด:

หลังจากที่เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์แล้ว เราก็จะได้สมการระนาบที่ต้องการสำหรับจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

จากสมการผลลัพธ์ คุณสามารถไปที่สมการของระนาบเป็นส่วนๆ หรือไปที่สมการปกติของระนาบ ถ้าจำเป็นโดยเงื่อนไขของปัญหา

ในย่อหน้าถัดไป เราจะยกตัวอย่างว่าแนวทางที่เราระบุไว้นั้นถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร

ตัวอย่างงานประกอบสมการระนาบที่ผ่าน 3 จุด

ก่อนหน้านี้ เราได้ระบุสองวิธีที่สามารถใช้เพื่อค้นหาสมการที่ต้องการได้ เรามาดูกันว่าจะใช้ในการแก้ปัญหาอย่างไรและเลือกอย่างไรเมื่อไร

ตัวอย่างที่ 1

มีจุด 3 จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว โดยมีพิกัด M 1 (-3 , 2 , - 1) , M 2 (-1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) เขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่านพวกมัน

วิธีการแก้

เราใช้ทั้งสองวิธีในทางกลับกัน

1. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์สองตัวที่เราต้องการ M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

ตอนนี้เราคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ เราจะไม่อธิบายการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

เรามีเวกเตอร์ปกติของระนาบที่ผ่านจุดที่ต้องการสามจุด: n → = (- 5 , 30 , 2) . ต่อไป เราต้องใช้จุดใดจุดหนึ่ง เช่น M 1 (- 3 , 2 , - 1) และเขียนสมการสำหรับระนาบด้วยเวกเตอร์ n → = (- 5 , 30 , 2) . เราได้สิ่งนั้น: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

นี่คือสมการระนาบที่เราต้องการ ซึ่งผ่านสามจุด

2. เราใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป เราเขียนสมการสำหรับระนาบที่มีสามจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) ใน แบบฟอร์มต่อไปนี้:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

คุณสามารถแทนที่ข้อมูลจากเงื่อนไขของปัญหาได้ที่นี่ เนื่องจาก x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, เป็นผลให้เราจะได้รับ:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

เราได้สมการที่เราต้องการ

ตอบ:- 5x + 30y + 2z - 73 .

แต่ถ้าจุดที่กำหนดให้ยังคงอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและเราจำเป็นต้องเขียนสมการระนาบสำหรับพวกมัน ที่นี่ต้องบอกทันทีว่าเงื่อนไขนี้จะไม่ถูกต้องทั้งหมด เครื่องบินจำนวนมากสามารถผ่านจุดดังกล่าวได้นับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณคำตอบเดียว ให้เราพิจารณาปัญหาดังกล่าวเพื่อพิสูจน์ความไม่ถูกต้องของการกำหนดคำถามดังกล่าว

ตัวอย่าง 2

เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่ 3 มิติที่มีสามจุดที่มีพิกัด M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (-1 , 1 , 1) จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่ผ่าน

วิธีการแก้

เราใช้วิธีแรกและเริ่มต้นด้วยการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์สองตัว M 1 M 2 → และ M 1 M 3 → . มาคำนวณพิกัดกัน: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเท่ากับ:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ผม ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

ตั้งแต่ M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → เวกเตอร์ของเราจะเป็น collinear (อ่านบทความเกี่ยวกับพวกเขาซ้ำหากคุณลืมคำจำกัดความของแนวคิดนี้) ดังนั้น จุดเริ่มต้น M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และปัญหาของเรามีอนันต์ การตอบสนองตัวเลือกมากมาย

ถ้าเราใช้วิธีที่สอง เราจะได้:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

จากผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน มันตามมาด้วยว่าจุดที่กำหนด M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) อยู่ในบรรทัดเดียวกัน

หากคุณต้องการค้นหาคำตอบสำหรับปัญหานี้อย่างน้อยหนึ่งคำตอบจากตัวเลือกที่ไม่จำกัดจำนวน คุณต้องทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เขียนสมการของเส้นตรง M 1 M 2, M 1 M 3 หรือ M 2 M 3 (หากจำเป็น ให้ดูเนื้อหาเกี่ยวกับการดำเนินการนี้)

2. ใช้จุด M 4 (x 4 , y 4 , z 4) ที่ไม่อยู่บนเส้น M 1 M 2 .

3. เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างกันสามจุด M 1 , M 2 และ M 4 ที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สามารถระบุได้หลายวิธี (หนึ่งจุดและเวกเตอร์ สองจุดและเวกเตอร์ สามจุด ฯลฯ) ด้วยเหตุนี้สมการของระนาบจึงสามารถมีรูปแบบต่างกันได้ นอกจากนี้ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ระนาบสามารถขนานกัน ตั้งฉาก ตัดกัน ฯลฯ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในบทความนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีเขียนสมการทั่วไปของระนาบไม่เพียงเท่านั้น

รูปแบบปกติของสมการ

สมมติว่ามีช่องว่าง R 3 ที่มีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม XYZ เราตั้งค่าเวกเตอร์ α ซึ่งจะปล่อยจากจุดเริ่มต้น O ผ่านจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ α เราวาดระนาบ P ซึ่งจะตั้งฉากกับมัน

แทนด้วย P จุดใดจุดหนึ่ง Q=(x, y, z) เราจะเซ็นรัศมีเวกเตอร์ของจุด Q ด้วยตัวอักษร p ความยาวของเวกเตอร์ α คือ p=IαI และ Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)

นี่คือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปด้านข้าง เช่นเดียวกับเวกเตอร์ α α, β และ γ คือมุมที่ก่อตัวระหว่างเวกเตอร์ Ʋ และทิศทางบวกของแกนอวกาศ x, y, z ตามลำดับ การฉายภาพของจุด QϵП บนเวกเตอร์ Ʋ เป็นค่าคงที่เท่ากับ р: (р,Ʋ) = р(р≥0)

สมการนี้สมเหตุสมผลเมื่อ p=0 สิ่งเดียวคือระนาบ P ในกรณีนี้จะตัดกับจุด O (α=0) ซึ่งเป็นจุดกำเนิด และเวกเตอร์หน่วย Ʋ ที่ปล่อยจากจุด O จะตั้งฉากกับ P โดยไม่คำนึงถึงทิศทางซึ่งหมายถึง ว่าเวกเตอร์ Ʋ ถูกกำหนดจากสัญญาณที่แม่นยำ สมการก่อนหน้านี้คือสมการของระนาบ P ซึ่งแสดงในรูปเวกเตอร์ แต่ในพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

P ที่นี่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 เราพบสมการของระนาบในอวกาศในรูปแบบปกติแล้ว

สมการทั่วไป

ถ้าเราคูณสมการในพิกัดด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราก็จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา ซึ่งกำหนดระนาบเดียวกันนั้น มันจะมีลักษณะดังนี้:

ในที่นี้ A, B, C คือตัวเลขที่ต่างจากศูนย์พร้อมๆ กัน สมการนี้เรียกว่าสมการระนาบทั่วไป

สมการระนาบ กรณีพิเศษ

สมการในรูปแบบทั่วไปสามารถแก้ไขได้เมื่อมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ลองพิจารณาบางส่วนของพวกเขา

สมมติว่าสัมประสิทธิ์ A เป็น 0 ซึ่งหมายความว่าระนาบที่กำหนดขนานกับแกน Ox ที่กำหนด ในกรณีนี้ รูปแบบของสมการจะเปลี่ยน: Ву+Cz+D=0

ในทำนองเดียวกัน รูปแบบของสมการจะเปลี่ยนภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้

• ประการแรก ถ้า B = 0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Axe + Cz + D = 0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงความขนานกับแกน Oy
• ประการที่สอง ถ้า С=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Ах+Ву+D=0 ซึ่งจะบ่งบอกถึงความขนานกับแกนที่กำหนด ออนซ์
• ประการที่สาม ถ้า D=0 สมการจะมีลักษณะเหมือน Ax+By+Cz=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบตัดกับ O (จุดกำเนิด)
• ประการที่สี่ ถ้า A=B=0 สมการจะเปลี่ยนเป็น Cz+D=0 ซึ่งจะพิสูจน์ว่าขนานกับ Oxy
• ประการที่ห้า ถ้า B=C=0 สมการจะกลายเป็น Ax+D=0 ซึ่งหมายความว่าระนาบถึง Oyz จะขนานกัน
• ประการที่หก ถ้า A=C=0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ Ву+D=0 นั่นคือ จะรายงานการขนานกับ Oxz

ประเภทของสมการในเซกเมนต์

ในกรณีที่ตัวเลข A, B, C, D ไม่เป็นศูนย์ รูปแบบของสมการ (0) จะเป็นดังนี้:

x/a + y/b + z/c = 1,

โดยที่ a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C

เราได้ผลลัพธ์ เป็นที่น่าสังเกตว่าระนาบนี้จะตัดแกน Ox ที่จุดที่มีพิกัด (a,0,0), Oy - (0,b,0) และ Oz - (0,0,c) .

เมื่อพิจารณาสมการ x/a + y/b + z/c = 1 จะทำให้เห็นภาพตำแหน่งของระนาบสัมพันธ์กับระบบพิกัดที่กำหนดได้ง่าย

พิกัดเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ตั้งฉาก n ไปยังระนาบ P มีพิกัดที่เป็นสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด นั่นคือ n (A, B, C)

เพื่อกำหนดพิกัดของ n ปกติ ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้สมการทั่วไปของระนาบที่กำหนด

เมื่อใช้สมการในส่วนที่มีรูปแบบ x/a + y/b + z/c = 1 เช่นเดียวกับเมื่อใช้สมการทั่วไป เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติใดๆ ของระนาบที่กำหนดได้: (1 /a + 1/b + 1/ ด้วย).

ควรสังเกตว่าเวกเตอร์ปกติช่วยแก้ปัญหาต่างๆ งานที่พบบ่อยที่สุดคือการพิสูจน์ความตั้งฉากหรือความขนานของระนาบ ปัญหาในการหามุมระหว่างระนาบหรือมุมระหว่างระนาบกับเส้น

มุมมองของสมการระนาบตามพิกัดของจุดและเวกเตอร์ปกติ

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ n ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดเรียกว่าปกติ (ปกติ) สำหรับระนาบที่กำหนด

สมมติว่าในพื้นที่พิกัด (ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) Oxyz ได้รับ:

• จุด Mₒ พร้อมพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ);
• เวกเตอร์ศูนย์ n=A*i+B*j+C*k

จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับระนาบที่จะผ่านจุด Mₒ ตั้งฉากกับค่าปกติ n

ในอวกาศเราเลือกจุดใดก็ได้และแสดงด้วย M (x y, z) ให้เวกเตอร์รัศมีของจุด M ใดๆ (x, y, z) เป็น r=x*i+y*j+z*k และเวกเตอร์รัศมีของจุด Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. จุด M จะเป็นของระนาบที่กำหนด ถ้าเวกเตอร์ MₒM ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n เราเขียนเงื่อนไขมุมฉากโดยใช้ผลคูณสเกลาร์:

[MₒM, n] = 0.

เนื่องจาก MₒM \u003d r-rₒ สมการเวกเตอร์ของระนาบจะมีลักษณะดังนี้:

สมการนี้สามารถอยู่ในรูปแบบอื่นได้ การทำเช่นนี้จะใช้คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์และด้านซ้ายของสมการจะถูกแปลง = - . หากแสดงเป็น c จะได้สมการต่อไปนี้: - c \u003d 0 หรือ \u003d c ซึ่งแสดงความคงตัวของการฉายภาพบนเวกเตอร์ปกติของเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนดที่เป็นของระนาบ

ตอนนี้คุณสามารถหารูปแบบพิกัดของการเขียนสมการเวกเตอร์ของระนาบของเราได้ = 0 เนื่องจาก r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k และ n = A*i+B *j+C*k เรามี:

ปรากฎว่าเรามีสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดตั้งฉากกับค่าปกติ n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

มุมมองของสมการระนาบตามพิกัดของสองจุดและเวกเตอร์โคลิเนียร์กับระนาบ

เรากำหนดจุดโดยพลการสองจุด M′ (x′,y′,z′) และ M″ (x″,y″,z″) เช่นเดียวกับเวกเตอร์ a (a′,a″,a‴)

ตอนนี้ เราสามารถเขียนสมการสำหรับระนาบที่กำหนด ซึ่งจะผ่านจุดที่มี M′ และ M″ รวมถึงจุด M ใดๆ ที่มีพิกัด (x, y, z) ขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด a

ในกรณีนี้ เวกเตอร์ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) และ M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) จะต้อง coplanar กับเวกเตอร์ a=(a′,a″,a‴) ซึ่งหมายความว่า (M′M, M″M, a)=0.

ดังนั้นสมการระนาบในอวกาศของเราจะเป็นดังนี้:

ประเภทของสมการระนาบตัดกันสามจุด

สมมติว่าเรามีสามจุด: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ซึ่งไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุดที่กำหนด ทฤษฎีเรขาคณิตอ้างว่าระนาบประเภทนี้มีอยู่จริง มีเพียงเครื่องเดียวเท่านั้นที่เลียนแบบไม่ได้ เนื่องจากระนาบนี้ตัดกับจุด (x′, y′, z′) รูปแบบของสมการจะเป็นดังนี้:

ที่นี่ A, B, C แตกต่างจากศูนย์ในเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ เครื่องบินที่กำหนดตัดกันอีกสองจุด: (x″,y″,z″) และ (x‴,y‴,z‴). ในการนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ตอนนี้เราสามารถสร้างระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยไม่ทราบค่า u, v, w:

ในกรณีของเรา x, y หรือ z คือจุดใดก็ได้ที่เป็นไปตามสมการ (1) โดยคำนึงถึงสมการ (1) และระบบสมการ (2) และ (3) ระบบของสมการที่ระบุในรูปด้านบนจะเป็นไปตามเวกเตอร์ N (A, B, C) ซึ่งไม่สำคัญ นั่นคือสาเหตุที่ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้มีค่าเท่ากับศูนย์

สมการ (1) ที่เราได้รับคือสมการของระนาบ มันผ่านตรงผ่าน 3 จุดและง่ายต่อการตรวจสอบ ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องขยายดีเทอร์มีแนนต์ของเราเหนือองค์ประกอบในแถวแรก จากคุณสมบัติที่มีอยู่ของดีเทอร์มีแนนต์ที่ระนาบของเราตัดกันสามจุดที่กำหนดในตอนแรกพร้อมกัน (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . นั่นคือเราได้แก้ไขภารกิจที่ตั้งไว้ก่อนหน้าเราแล้ว

มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ

มุมไดฮีดรัลคือรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่เกิดจากระนาบครึ่งสองระนาบที่เล็ดลอดออกมาจากเส้นตรงเส้นเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูก จำกัด โดยครึ่งระนาบเหล่านี้

สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบด้วยสมการต่อไปนี้:

เรารู้ว่าเวกเตอร์ N=(A,B,C) และ N¹=(A¹,B¹,C¹) ตั้งฉากตามระนาบที่กำหนด ในเรื่องนี้ มุม φ ระหว่างเวกเตอร์ N และ N¹ เท่ากับมุม (ไดฮีดรัล) ซึ่งอยู่ระหว่างระนาบเหล่านี้ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีรูปแบบ:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

อย่างแม่นยำเพราะ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

แค่คำนึงว่า 0≤φ≤π ก็เพียงพอแล้ว

อันที่จริง ระนาบสองระนาบที่ตัดกันเป็นมุมสองมุม (ไดฮีดรัล): φ 1 และ φ 2 . ผลรวมเท่ากับ π (φ 1 + φ 2 = π) สำหรับโคไซน์ของพวกมัน ค่าสัมบูรณ์จะเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน นั่นคือ cos φ 1 =-cos φ 2 หากในสมการ (0) เราแทนที่ A, B และ C ด้วยตัวเลข -A, -B และ -C ตามลำดับ สมการที่เราได้รับจะเป็นตัวกำหนดระนาบเดียวกัน มุมเดียว φ ในสมการ cos φ= NN 1 /| N||N 1 | จะถูกแทนที่ด้วย π-φ

สมการระนาบตั้งฉาก

ระนาบจะเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกมันคือ 90 องศา จากเนื้อหาที่สรุปไว้ข้างต้น เราสามารถหาสมการของระนาบตั้งฉากกับอีกระนาบหนึ่งได้ สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบ: Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D=0 เราสามารถระบุได้ว่าพวกมันจะตั้งฉากถ้า cosφ=0 ซึ่งหมายความว่า NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0

สมการระนาบขนาน

Parallel คือระนาบสองระนาบที่ไม่มีจุดร่วม

เงื่อนไข (สมการจะเหมือนกับในย่อหน้าก่อนหน้า) คือเวกเตอร์ N และ N¹ ซึ่งตั้งฉากกับพวกมัน เป็นแบบ collinear ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามเงื่อนไขของสัดส่วนต่อไปนี้:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

หากเงื่อนไขสัดส่วนถูกขยาย - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

นี่แสดงว่าเครื่องบินเหล่านี้ตรงกัน ซึ่งหมายความว่าสมการ Ax+By+Cz+D=0 และ A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 อธิบายระนาบเดียว

ระยะทางถึงระนาบจากจุด

สมมุติว่าเรามีระนาบ P ซึ่งได้จากสมการ (0) จำเป็นต้องหาระยะทางจากจุดนั้นด้วยพิกัด (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำให้สมการของระนาบ P อยู่ในรูปแบบปกติ:

(ρ,v)=p (p≥0).

ในกรณีนี้ ρ(x,y,z) คือเวกเตอร์รัศมีของจุด Q ซึ่งอยู่บน P, p คือความยาวของเส้นตั้งฉากกับ P ที่ปล่อยจากจุดศูนย์ v คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งอยู่ใน ทิศทาง

ความแตกต่าง ρ-ρº ของเวกเตอร์รัศมีของบางจุด Q \u003d (x, y, z) ที่เป็นของ P เช่นเดียวกับเวกเตอร์รัศมีของจุดที่กำหนด Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) เป็นเช่นนี้ เวกเตอร์ค่าสัมบูรณ์ของการฉายภาพซึ่งบน v เท่ากับระยะทาง d ซึ่งต้องพบจาก Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ถึง P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, แต่

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

ปรากฎว่า

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

ดังนั้น เราจะพบค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ผลลัพธ์ นั่นคือ d ที่ต้องการ

การใช้ภาษาของพารามิเตอร์ทำให้เราเข้าใจได้ชัดเจน:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

หากจุดที่กำหนด Q 0 อยู่บนอีกด้านหนึ่งของระนาบ P เช่นเดียวกับจุดกำเนิด ดังนั้นระหว่างเวกเตอร์ ρ-ρ 0 และ v จึงเป็นดังนี้:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

ในกรณีที่จุด Q 0 ร่วมกับจุดกำเนิด อยู่บนด้านเดียวกันของ P มุมที่สร้างจะแหลมคม กล่าวคือ:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

เป็นผลให้ปรากฎว่าในกรณีแรก (ρ 0 ,v)> р ในวินาที (ρ 0 ,v)<р.

ระนาบแทนเจนต์และสมการ

ระนาบสัมผัสพื้นผิวที่จุดสัมผัส Mº คือระนาบที่มีเส้นสัมผัสสัมผัสที่เป็นไปได้ทั้งหมดกับเส้นโค้งที่ลากผ่านจุดนี้บนพื้นผิว

ด้วยรูปแบบของสมการพื้นผิวนี้ F (x, y, z) \u003d 0 สมการของระนาบสัมผัสที่จุดสัมผัส Mº (xº, yº, zº) จะมีลักษณะดังนี้:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0

หากคุณระบุพื้นผิวในรูปแบบที่ชัดเจน z=f (x, y) ระนาบสัมผัสจะถูกอธิบายโดยสมการ:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

จุดตัดของเครื่องบินสองลำ

ในระบบพิกัด (สี่เหลี่ยม) Oxyz ตั้งอยู่สองระนาบ П′ และ П″ ซึ่งตัดกันและไม่ตรงกัน เนื่องจากระนาบใดๆ ที่อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป เราจะถือว่า P′ และ P″ ถูกกำหนดโดยสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x +B″y+ С″z+D″=0. ในกรณีนี้ เรามี n′ (A′, B′, C′) ปกติของระนาบ P′ และปกติ n″ (A″, B″, C″) ของระนาบ P″ เนื่องจากระนาบของเราไม่ขนานกันและไม่ตรงกัน เวกเตอร์เหล่านี้จึงไม่ขนานกัน โดยใช้ภาษาของคณิตศาสตร์ เราสามารถเขียนเงื่อนไขนี้ได้ดังนี้: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ให้เส้นที่อยู่ตรงจุดตัดของ P′ และ P″ เขียนแทนด้วยตัวอักษร a ในกรณีนี้ a = P′ ∩ P″

a คือเส้นตรงที่ประกอบด้วยเซตของจุด (ทั่วไป) ของระนาบ П′ และ П″ ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของเส้น a จะต้องเป็นไปตามสมการ A′x+B′y+C′z+D′=0 และ A″x+B″y+C″z+D″= พร้อมกัน 0. ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดจะเป็นคำตอบเฉพาะของระบบสมการต่อไปนี้:

เป็นผลให้ปรากฎว่าการแก้ปัญหา (ทั่วไป) ของระบบสมการนี้จะกำหนดพิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงซึ่งจะทำหน้าที่เป็นจุดตัดของ П′ และ П″ และกำหนดเส้นตรง เส้น a ในระบบพิกัด Oxyz (สี่เหลี่ยม) ในอวกาศ