ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 3x กัน ค้นหาอนุพันธ์: อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา

การคำนวณอนุพันธ์- หนึ่งในที่สุด การดำเนินงานที่สำคัญใน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. ด้านล่างนี้คือตารางการหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นง่ายๆ. มากกว่า กฎที่ซับซ้อนความแตกต่าง ดูบทเรียนอื่นๆ:

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม

ใช้สูตรที่กำหนดเป็นค่าอ้างอิง พวกเขาจะช่วยคุณตัดสินใจ สมการเชิงอนุพันธ์และงาน ในภาพ ในตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย มี "สูตรโกง" ของกรณีหลักในการค้นหาอนุพันธ์ในรูปแบบที่เข้าใจได้สำหรับการใช้งาน ถัดจากคำอธิบายสำหรับแต่ละกรณี

อนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของจำนวนเป็นศูนย์
с´ = 0
ตัวอย่าง:
5' = 0

คำอธิบาย:
อนุพันธ์แสดงอัตราที่ค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนแปลง เนื่องจากตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง แต่อย่างใดภายใต้เงื่อนไขใด ๆ อัตราการเปลี่ยนแปลงจึงเป็นศูนย์เสมอ

2. อนุพันธ์ของตัวแปรเท่ากับหนึ่ง
x' = 1

คำอธิบาย:
เมื่ออาร์กิวเมนต์ (x) เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ค่าของฟังก์ชัน (ผลการคำนวณ) จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เท่ากัน ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงค่าของฟังก์ชัน y = x จะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงค่าของอาร์กิวเมนต์ทุกประการ

3. อนุพันธ์ของตัวแปรและตัวประกอบเท่ากับตัวประกอบนี้
сx´ = с
ตัวอย่าง:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
คำอธิบาย:
ที่ กรณีนี้ทุกครั้งที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง ( เอ็กซ์) ค่าของมัน (y) เพิ่มขึ้น กับครั้งหนึ่ง. ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์จะเท่ากับค่า กับ.

ไหนว่าตามนั้น
(cx + b)" = ค
เช่น ส่วนต่าง ฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+b เท่ากับความชันของเส้นตรง (k)

4. โมดูโลอนุพันธ์ของตัวแปรเท่ากับผลหารของตัวแปรนี้ต่อโมดูลัสของมัน
|x|"= x / |x| โดยมีเงื่อนไขว่า x ≠ 0
คำอธิบาย:
เนื่องจากอนุพันธ์ของตัวแปร (ดูสูตร 2) มีค่าเท่ากับ 1 อนุพันธ์ของโมดูลัสจึงแตกต่างกันตรงที่ค่าของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้ามเมื่อข้ามจุดกำเนิด (ลองวาดกราฟ ของฟังก์ชัน y = |x| และดูด้วยตัวคุณเอง นี่คือค่า และส่งกลับนิพจน์ x / |x| เมื่อ x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - หนึ่ง นั่นคือที่ ค่าลบตัวแปร x เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นแต่ละครั้ง ค่าของฟังก์ชันจะลดลงตามค่าที่เท่ากันทุกประการ และสำหรับค่าบวก ในทางกลับกัน ค่าของฟังก์ชันจะลดลงแต่มีค่าเท่ากันทุกประการ

5. อนุพันธ์กำลังของตัวแปรเท่ากับผลคูณของเลขยกกำลังนี้และตัวแปรในยกกำลัง ลดลงหนึ่ง
(x ค)"= cx c-1โดยมีเงื่อนไขว่า x c และ cx c-1 ถูกกำหนดและ c ≠ 0
ตัวอย่าง:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
เพื่อให้จำสูตรได้:
ใช้เลขชี้กำลังของตัวแปร "ลง" เป็นตัวคูณ แล้วลดเลขชี้กำลังทีละหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x 2 - สองนำหน้า x แล้วกำลังที่ลดลง (2-1 = 1) ให้ 2x กับเรา สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ x 3 - เราลดสามเท่า ลดทีละหนึ่ง และแทนที่จะเป็นลูกบาศก์เรามีสี่เหลี่ยม นั่นคือ 3x 2 . "ไร้หลักวิทยาศาสตร์" เล็กน้อย แต่จำง่ายมาก

6.อนุพันธ์เศษส่วน 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ตัวอย่าง:
เนื่องจากเศษส่วนสามารถแสดงเป็นการเพิ่มได้ พลังลบ
(1/x)" = (x -1)" คุณสามารถใช้สูตรจากกฎข้อที่ 5 ของตารางอนุพันธ์ได้
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. อนุพันธ์เศษส่วน ด้วยตัวแปรของระดับโดยพลการในตัวส่วน
(1/xค)" = - ค / x ค+1
ตัวอย่าง:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. อนุพันธ์ของราก(อนุพันธ์ของตัวแปรตาม รากที่สอง)
(√x)" = 1 / (2√x)หรือ 1/2 x -1/2
ตัวอย่าง:
(√x)" = (x 1/2)" เพื่อให้คุณสามารถใช้สูตรจากกฎข้อที่ 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. อนุพันธ์ของตัวแปรภายใต้รากของระดับโดยพลการ
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

ถ้าเราทำตามนิยาม อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือลิมิตของอัตราส่วนที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยเพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองคำนวณตามสูตรนี้ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · อี xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากการคำนวณสองสามหน้าคุณก็จะหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ในการเริ่มต้น เราทราบว่าสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานนั้นสามารถแยกแยะได้จากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด มันเป็นญาติกัน การแสดงออกที่เรียบง่ายซึ่งมีการคำนวณและป้อนอนุพันธ์มานานแล้วในตาราง ฟังก์ชันดังกล่าวง่ายต่อการจดจำพร้อมกับอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน

ฟังก์ชันพื้นฐานมีทุกอย่างตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งไปกว่านั้น มันไม่ยากที่จะจดจำ - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ ฟังก์ชันพื้นฐาน:

ชื่อ	การทำงาน	อนุพันธ์
คงที่	ฉ(x) = ค, ค ∈ ร	0 (ใช่ ใช่ ศูนย์!)
องศากับเลขชี้กำลังตรรกยะ	ฉ(x) = x น	น · x น − 1
ไซนัส	ฉ(x) = บาป x	เพราะ x
โคไซน์	ฉ(x) = คอส x	- บาป x(ลบไซน์)
แทนเจนต์	ฉ(x) = ทก x	1/คอส 2 x
โคแทนเจนต์	ฉ(x) = ctg x	- 1/บาป2 x
ลอการิทึมธรรมชาติ	ฉ(x) = บันทึก x	1/x
ลอการิทึมโดยพลการ	ฉ(x) = บันทึก ก x	1/(xล ก)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ฉ(x) = อี x	อี x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)

หากฟังก์ชันมูลฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะคำนวณได้ง่ายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

เห็นได้ชัดว่า ฟังก์ชันพื้นฐานสามารถเพิ่มซึ่งกันและกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมาย นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่จะปรากฏขึ้น ซึ่งไม่ใช่ระดับพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังสามารถแยกความแตกต่างได้ตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ ช(x) ซึ่งเรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณสามารถหาอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้ได้:

(ฉ + ช)’ = ฉ ’ + ช ’
(ฉ − ช)’ = ฉ ’ − ช ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขมากกว่านี้ ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ช + ชม.)’ = ฉ ’ + ช ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดของ "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดคือ องค์ประกอบเชิงลบ". ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − ชสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) ชแล้วเหลือเพียงสูตรเดียว - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + ซิงก์; ช(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (xบาป 2+ x)’ = (x 2)' + (บาป x)’ = 2x+ คอสเอ็กซ์;

เราโต้แย้งในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชัน ช(x). มีเพียงสามคำเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

ช ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอสเอ็กซ์;
ช ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกวิทยา หลายคนจึงเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลคูณเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ แล้วจะได้อนุพันธ์ของผลคูณ โจมตี"\u003e เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่มะเดื่อสำหรับคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · ช) ’ = ฉ ’ · ช + ฉ · ช ’

สูตรนั้นง่าย แต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์คือการแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอสเอ็กซ์; ช(x) = (x 2 + 7x- 7) · อี x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3 คอส x)’ = (x 3)'เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2 คอส x + x 3 (–บาป x) = x 2 (3cos x − xบาป x)

การทำงาน ช(x) ตัวคูณแรกนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ โครงการทั่วไปสิ่งนี้ไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอน ตัวคูณแรกของฟังก์ชัน ช(x) เป็นพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

ช ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · อี x)’ = (x 2 + 7x- 7)' · อี x + (x 2 + 7x- 7) ( อี x)’ = (2x+ 7) · อี x + (x 2 + 7x- 7) · อี x = อี x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · อี x = x(x+ 9) · อี x .

ตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3cos x − xบาป x);
ช ’(x) = x(x+ 9) · อี x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้าย อนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการ ไม่จำเป็น แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อสำรวจฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าต่อไปอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ จะพบเครื่องหมายของอนุพันธ์ และอื่น ๆ สำหรับกรณีเช่นนี้ จะเป็นการดีกว่าหากแบ่งนิพจน์ออกเป็นปัจจัยต่างๆ

หากมีสองหน้าที่ ฉ(x) และ ช(x), และ ช(x) ≠ 0 ในชุดที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/ช(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม ลบมาจากไหน? ทำไม ช 2? แต่แบบนี้! นี่คือหนึ่งในที่สุด สูตรที่ซับซ้อนคุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะศึกษา ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม.

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มีฟังก์ชันพื้นฐานในตัวเศษและตัวส่วนของแต่ละเศษส่วน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เราจะแยกตัวเศษเป็นตัวประกอบ ซึ่งจะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดบน x 2+ลน x. ปรากฎว่า ฉ(x) = บาป ( x 2+ลน x) - นั่นคือสิ่งที่มันเป็น ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. นอกจากนี้เธอยังมีอนุพันธ์ แต่จะไม่สามารถหาได้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น

จะเป็นอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).

ตามกฎแล้วสถานการณ์ที่มีความเข้าใจในสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหาร ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะด้วย คำอธิบายโดยละเอียดทุกขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = อี 2x + 3 ; ช(x) = บาป ( x 2+ลน x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์2 x+ 3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = อี x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = อี ที. เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตามสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (อี ที)’ · ที ’ = อี ที · ที ’

และตอนนี้ - ความสนใจ! ทำการแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:

ฉ ’(x) = อี ที · ที ’ = อี 2x+ 3 (2 x + 3)’ = อี 2x+ 3 2 = 2 อี 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ช(x). เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องเปลี่ยน x 2+ลน x = ที. เรามี:

ช ’(x) = ช ’(ที) · ที' = (บาป ที)’ · ที' = คอส ที · ที ’

เปลี่ยนกลับ: ที = x 2+ลน x. แล้ว:

ช ’(x) = คอส ( x 2+ลน x) · ( x 2+ลน x)' = คอส ( x 2+ลน x) · (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์สุดท้าย ปัญหาทั้งหมดได้ลดลงเหลือเพียงการคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม

ตอบ:
ฉ ’(x) = 2 อี 2x + 3 ;
ช ’(x) = (2x + 1/x) คอส ( x 2+ลน x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "จังหวะ" ตัวอย่างเช่น เส้นขีดจากผลรวม เท่ากับผลรวมจังหวะ ชัดเจนกว่านี้ไหม? นั่นเป็นสิ่งที่ดี

ดังนั้น การคำนวณอนุพันธ์จึงลงมาเพื่อกำจัดจังหวะเหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น เนื่องจาก ตัวอย่างสุดท้ายกลับไปที่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่มีเหตุผล:

(x น)’ = น · x น − 1

ไม่กี่คนที่รู้ว่าในบทบาท นอาจทำหน้าที่ได้ดี จำนวนเศษส่วน. ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5 . แต่ถ้ามีบางอย่างที่ยุ่งยากอยู่ใต้รูทล่ะ อีกครั้งฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจะเปิดออก - พวกเขาต้องการสร้างสิ่งก่อสร้างดังกล่าว ควบคุมการทำงานและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ขั้นแรก ให้เขียนรูทเป็นเลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที. เราหาอนุพันธ์ตามสูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)' ที' = 0.5 ที−0.5 ที ’.

เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ: ที = x 2 + 8x- 7 เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

สุดท้ายกลับไปที่ราก:

คำนิยาม.ให้ฟังก์ชัน $y = f(x) $ ถูกกำหนดในบางช่วงที่มีจุด $x_0 $ อยู่ภายใน มาเพิ่ม $\Delta x $ ให้กับอาร์กิวเมนต์เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ ค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน $\Delta y $ (เมื่อผ่านจากจุด $x_0 $ ไปยังจุด $x_0 + \Delta x $) และเขียนความสัมพันธ์ $\frac(\Delta y )(\เดลต้า x) $. หากมีขีดจำกัดของความสัมพันธ์นี้ที่ $\Delta x \rightarrow 0 $ ดังนั้นขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์$y=f(x) $ ที่จุด $x_0 $ และแสดงว่า $f"(x_0) $

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) คือ ลูกเล่นใหม่แต่สัมพันธ์ตามธรรมชาติกับฟังก์ชัน y = f(x) ที่กำหนดไว้ที่จุด x ทั้งหมดที่มีขีดจำกัดข้างต้น เรียกฟังก์ชันนี้ดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x).

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ประกอบด้วยดังต่อไปนี้. หากแทนเจนต์ที่ไม่ขนานกับแกน y สามารถวาดเป็นกราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่มี abscissa x \u003d a ดังนั้น f (a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัส:
$k = f"(ก)$

เนื่องจาก $k = tg(a) $ ความเท่าเทียมกัน $f"(a) = tg(a) $ จึงเป็นจริง

และตอนนี้เราตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์ในแง่ของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ให้ฟังก์ชัน $y = f(x) $ มีอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่าใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ $\frac(\Delta y)(\Delta x) \ประมาณ f"(x) $ เช่น $\Delta y \about f"(x) \cdot \เดลต้า$. ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่ได้รับมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ใน จุดที่กำหนดเอ็กซ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน $y = x^2 $ ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ $\Delta y \around 2x \cdot \Delta x $ จะเป็นจริง หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างระมัดระวัง เราจะพบว่ามันมีอัลกอริทึมสำหรับการค้นหา

ลองกำหนดมัน

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร y \u003d f (x) ?

1. แก้ไขค่า $x $, หา $f(x) $
2. เพิ่ม $x $ อาร์กิวเมนต์ $\Delta x $ ไปที่ จุดใหม่$x+ \Delta x $, ค้นหา $f(x+ \Delta x) $
3. ค้นหาฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. เขียนความสัมพันธ์ $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ x

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = f(x)

ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้ ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเกี่ยวข้องกันอย่างไร

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุด M (x; f (x)) และจำได้ว่าความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตก" ที่ จุด M คือ ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องที่ x

มันเป็นเหตุผล "บนนิ้ว" ให้เราเสนอข้อโต้แย้งที่เข้มงวดมากขึ้น ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ความเสมอภาคโดยประมาณ $\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x $ จะถือเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \ ) ก็จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ดังนั้น, หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องที่จุดนั้นด้วย.

การสนทนาไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| ต่อเนื่องทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดร่วม" (0; 0) หากถึงจุดหนึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกับกราฟฟังก์ชัน แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

อีกหนึ่งตัวอย่าง ฟังก์ชัน $y=\sqrt(x) $ ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมทั้งที่จุด x = 0 และเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมทั้งที่จุด x = 0 . แต่ ณ จุดนี้สัมผัสเกิดขึ้นพร้อมกับแกน y นั่นคือมันตั้งฉากกับแกน abscissa สมการของมันมีรูปแบบ x \u003d 0 ความลาดชันไม่มีบรรทัดดังกล่าว ซึ่งหมายความว่า $f"(0) $ ไม่มีอยู่เช่นกัน

ดังนั้นเราจึงทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - ความแตกต่าง คุณจะบอกได้อย่างไรว่าฟังก์ชันแตกต่างจากกราฟของฟังก์ชัน

คำตอบนั้นได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่งสามารถลากเส้นสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน x ได้ แสดงว่า ณ จุดนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ หากถึงจุดหนึ่งเส้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกน x ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ไม่ได้

กฎความแตกต่าง

เรียกการดำเนินการหาอนุพันธ์ ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน เช่นเดียวกับ "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" นั่นคือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎความแตกต่างที่ช่วยให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C- จำนวนคงที่และ f=f(x), g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นค่าต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ตารางอนุพันธ์ของบางฟังก์ชัน

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

แอปพลิเคชัน

วิธีแก้ปัญหาของอนุพันธ์ไปยังไซต์เพื่อรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมโดยนักเรียนและเด็กนักเรียน การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในไม่กี่วินาทีไม่ใช่เรื่องยากหากคุณใช้บริการแก้ปัญหาออนไลน์ของเรา ตะกั่ว การวิเคราะห์โดยละเอียดการศึกษาอย่างละเอียดของ บทเรียนภาคปฏิบัตินักเรียนทุกคนที่สามสามารถ บ่อยครั้งที่เราได้รับการติดต่อจากแผนกของแผนกที่เกี่ยวข้องเพื่อส่งเสริมคณิตศาสตร์ใน สถาบันการศึกษาประเทศ. ในกรณีนี้จะไม่พูดถึงวิธีแก้อนุพันธ์ออนไลน์สำหรับพื้นที่ปิดได้อย่างไร ลำดับหมายเลข. บุคคลผู้มั่งคั่งหลายคนได้รับอนุญาตให้แสดงความงุนงง แต่ในระหว่างนี้ นักคณิตศาสตร์อย่านั่งนิ่งและทำงานหนัก การเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์อินพุตตามลักษณะเชิงเส้นจะได้รับการยอมรับจากเครื่องคำนวณอนุพันธ์ เนื่องจากค่าสูงสุดของตำแหน่งจากมากไปน้อยของลูกบาศก์ ผลที่ตามมาคงหนีไม่พ้นเรื่องพื้นผิว ในฐานะข้อมูลเริ่มต้น อนุพันธ์ออนไลน์จะขจัดความจำเป็นในการดำเนินการตามขั้นตอนที่ไม่จำเป็น ยกเว้นการบ้านสมมติ นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่าการแก้ปัญหาของอนุพันธ์ทางออนไลน์นั้นมีความจำเป็นและ ด้านที่สำคัญการเรียนคณิตศาสตร์ นักเรียนมักจะจำงานในอดีตไม่ได้ นักเรียนเข้าใจสิ่งนี้เช่นเดียวกับสิ่งมีชีวิตที่ขี้เกียจ แต่นักเรียน คนตลก! ทำตามกฎหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันใน ระนาบเอียงสามารถให้ความเร่งแก่จุดวัสดุได้ ลองกำหนดเวกเตอร์ของลำแสงเชิงพื้นที่จากมากไปน้อยที่ไหนสักแห่ง ในคำตอบที่ต้องการ การหาอนุพันธ์ดูเหมือนจะเป็นทิศทางทางทฤษฎีที่เป็นนามธรรมเนื่องจากความไม่แน่นอน ระบบคณิตศาสตร์. คิดว่าอัตราส่วนของตัวเลขเป็นลำดับของตัวเลือกที่ไม่ได้ใช้ ช่องทางการสื่อสารถูกเติมเต็มด้วยบรรทัดที่ห้าตามเวกเตอร์จากมากไปน้อยจากจุดที่แฉกปิดของลูกบาศก์ บนระนาบของพื้นที่โค้ง การแก้อนุพันธ์ทางออนไลน์ทำให้เราได้ข้อสรุปที่ทำให้จิตใจที่ยิ่งใหญ่ของโลกคิดในศตวรรษที่ผ่านมา ในหลักสูตรของเหตุการณ์จากสาขาคณิตศาสตร์ ห้าโดยพื้นฐาน ปัจจัยสำคัญซึ่งมีส่วนช่วยในการปรับปรุงตำแหน่งของตัวเลือกของตัวแปร ดังนั้น กฎหมายสำหรับคะแนนจึงกล่าวว่าอนุพันธ์ออนไลน์นั้นไม่ได้คำนวณอย่างละเอียดในทุกกรณี มีเพียงช่วงเวลาที่มีความก้าวหน้าอย่างซื่อสัตย์เท่านั้นที่สามารถเป็นข้อยกเว้นได้ การคาดการณ์ทำให้เรา รอบใหม่การพัฒนา. เราต้องการผลลัพธ์ ในแนวของความชันทางคณิตศาสตร์ที่ผ่านใต้พื้นผิว เครื่องคิดเลขของอนุพันธ์โหมดจะอยู่ในพื้นที่ของจุดตัดของผลิตภัณฑ์ในชุดดัด ยังคงต้องวิเคราะห์ความแตกต่างของฟังก์ชันที่จุดที่เป็นอิสระใกล้กับย่านเอปไซลอน ทุกคนสามารถเห็นได้ในทางปฏิบัติ เป็นผลให้มีบางสิ่งที่ต้องตัดสินใจในขั้นตอนต่อไปของการเขียนโปรแกรม นักเรียนต้องการอนุพันธ์ออนไลน์เช่นเคย โดยไม่คำนึงถึงการศึกษาเชิงจินตภาพที่กำลังฝึกฝนอยู่ ปรากฎว่าฟังก์ชันของการแก้อนุพันธ์ออนไลน์คูณด้วยค่าคงที่ไม่ได้เปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่โดยทั่วไป จุดวัสดุแต่แสดงลักษณะการเพิ่มขึ้นของความเร็วในแนวเส้นตรง ในแง่นี้จะเป็นประโยชน์ในการใช้เครื่องคำนวณอนุพันธ์ของเราและคำนวณค่าทั้งหมดของฟังก์ชันในคำจำกัดความทั้งชุด ไม่จำเป็นต้องศึกษาคลื่นแรงของสนามโน้มถ่วง ไม่ว่าในกรณีใดๆ โซลูชันอนุพันธ์ออนไลน์จะไม่แสดงการเอียงของลำแสงขาออก แต่เฉพาะในกรณีที่หายากเท่านั้น เมื่อจำเป็นจริงๆ นักศึกษามหาวิทยาลัยสามารถจินตนาการถึงสิ่งนี้ได้ เราสอบสวนครูใหญ่ สามารถคาดเดาค่าของโรเตอร์ที่เล็กที่สุดได้ นำไปใช้กับผลลัพธ์ที่เส้นหันไปทางขวาซึ่งอธิบายลูกบอล แต่ เครื่องคิดเลขออนไลน์อนุพันธ์นี้เป็นพื้นฐานสำหรับตัวเลขของความแข็งแกร่งพิเศษและการพึ่งพาที่ไม่ใช่เชิงเส้น รายงานโครงงานคณิตศาสตร์พร้อม ความแตกต่างของลักษณะส่วนบุคคล ตัวเลขที่เล็กที่สุดและอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามแกน y จะทำให้ความเว้าของฟังก์ชันเดียวกันมีค่าสูง มีทิศทาง - มีข้อสรุป การนำทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติจะง่ายกว่า มีข้อเสนอจากนักศึกษาเรื่องกำหนดเวลาเริ่มการศึกษา ต้องการคำตอบของอาจารย์ เช่นเดียวกับในตำแหน่งก่อนหน้า ระบบทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกควบคุมบนพื้นฐานของการกระทำที่จะช่วยหาอนุพันธ์ เช่นเดียวกับรุ่นกึ่งเชิงเส้นล่าง อนุพันธ์ออนไลน์จะระบุรายละเอียดการระบุวิธีแก้ปัญหาตาม กฎหมายเงื่อนไขเสื่อม แค่หยิบยกไอเดียสูตรคำนวณ ความแตกต่างเชิงเส้นของฟังก์ชันปฏิเสธความจริงของคำตอบโดยเพียงแค่วางรูปแบบเชิงบวกที่ไม่เกี่ยวข้อง ความสำคัญของเครื่องหมายเปรียบเทียบจะถือเป็นการแบ่งฟังก์ชันตามแนวแกนอย่างต่อเนื่อง นี่คือความสำคัญของข้อสรุปที่มีสติมากที่สุด ซึ่งอนุพันธ์ออนไลน์เป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่ตัวอย่างที่ซื่อสัตย์ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ รัศมีของวงกลมโค้งในอวกาศแบบยุคลิดทำให้เครื่องคิดเลขอนุพันธ์เป็นตัวแทนตามธรรมชาติของการแลกเปลี่ยนปัญหาชี้ขาดเพื่อความมั่นคง วิธีที่ดีที่สุดพบ. มันง่ายกว่าที่จะยกระดับงาน ให้การบังคับใช้ของสัดส่วนผลต่างอิสระนำไปสู่การแก้ปัญหาของอนุพันธ์ทางออนไลน์ สารละลายจะหมุนรอบแกน x โดยอธิบายถึงรูปวงกลม มีทางออกและขึ้นอยู่กับการวิจัยที่ได้รับการสนับสนุนทางทฤษฎีโดยนักศึกษามหาวิทยาลัยซึ่งทุกคนเรียนรู้จากและแม้แต่ในช่วงเวลาเหล่านั้นก็ยังมีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราพบทางก้าวหน้าและนักเรียนยืนยัน เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยไม่ต้องใช้วิธีผิดธรรมชาติในการเปลี่ยนแปลงระบบคณิตศาสตร์ เครื่องหมายด้านซ้ายของสัดส่วนเพิ่มขึ้นตามลำดับทางเรขาคณิต เช่น การเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์เครื่องคิดเลขออนไลน์ของอนุพันธ์เนื่องจากปัจจัยเชิงเส้นที่ไม่ทราบสาเหตุบนแกน y ที่ไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกได้พิสูจน์ความพิเศษของกระบวนการผลิต มี สแควร์น้อยที่สุดภายในวงกลมตามคำอธิบายของทฤษฎี อีกครั้ง อนุพันธ์ออนไลน์จะอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับการเดาของเราว่าอะไรอาจมีอิทธิพลต่อความคิดเห็นที่ขัดเกลาทางทฤษฎีในตอนแรก มีความคิดเห็นในลักษณะที่แตกต่างจากรายงานที่เราวิเคราะห์ ความสนใจที่แยกจากกันอาจไม่เกิดขึ้นกับนักเรียนในคณะของเรา แต่ไม่ใช่กับนักคณิตศาสตร์ที่ฉลาดและก้าวหน้าเท่านั้นที่ความแตกต่างของฟังก์ชันเป็นเพียงข้อแก้ตัวเท่านั้น ความรู้สึกทางกลอนุพันธ์นั้นง่ายมาก แรงยกคำนวณเป็นอนุพันธ์ออนไลน์สำหรับพื้นที่คงที่ที่ลาดลงด้านล่างในเวลา เห็นได้ชัดว่าเครื่องคำนวณอนุพันธ์เป็นกระบวนการที่เข้มงวดในการอธิบายปัญหาความเสื่อมของการเปลี่ยนแปลงที่ประดิษฐ์ขึ้นในรูปของวัตถุอสัณฐาน อนุพันธ์อันดับหนึ่งพูดถึงการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ พื้นที่สามมิติสังเกตได้อย่างชัดเจนในบริบทของเทคโนโลยีที่ได้รับการฝึกฝนมาเป็นพิเศษสำหรับการแก้อนุพันธ์ทางออนไลน์ อันที่จริงมันอยู่ในทุกการประชุมในหัวข้อวินัยทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์อันดับสองแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงความเร็วของจุดวัสดุและกำหนดความเร่ง แนวทางเมริเดียนที่ฐานของการใช้ ปรับแต่งการเปลี่ยนแปลงแสดงบน ระดับใหม่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งจากโดเมนของฟังก์ชันนี้ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ไม่สามารถขาดตัวเลขและสัญกรณ์สัญลักษณ์ได้ในบางกรณีในช่วงเวลาดำเนินการที่เหมาะสม ยกเว้นการจัดเรียงที่เปลี่ยนแปลงได้ของสิ่งต่างๆ ของงาน น่าแปลกที่มีการเร่งความเร็วครั้งที่สองของจุดวัสดุ ซึ่งเป็นลักษณะการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง ในช่วงเวลาสั้น ๆ เราจะเริ่มศึกษาคำตอบของอนุพันธ์ทางออนไลน์ แต่ทันทีที่ความรู้ถึงจุดหนึ่ง นักเรียนของเราจะหยุดกระบวนการนี้ การรักษาที่ดีที่สุดเครือข่ายคือการสื่อสารแบบสด หัวข้อคณิตศาสตร์. มีหลักการที่ต้องไม่ละเมิดไม่ว่ากรณีใด ๆ ไม่ว่างานนั้นจะยากเพียงใด เป็นประโยชน์ในการค้นหาตราสารอนุพันธ์ทางออนไลน์ตรงเวลาและไม่มีข้อผิดพลาด สิ่งนี้จะนำไปสู่ตำแหน่งใหม่ของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ระบบมีความเสถียร ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์ไม่เป็นที่นิยมเท่าเชิงกล แทบไม่มีใครจำได้ว่าอนุพันธ์ออนไลน์แสดงรายละเอียดบนระนาบของเส้นของฟังก์ชันไปยังค่าปกติจากสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับแกน x ได้อย่างไร มนุษย์สมควรได้รับบทบาทสำคัญในการค้นคว้าของศตวรรษที่ผ่านมา ให้เราแสดงความแตกต่างของฟังก์ชันในสามขั้นตอนเบื้องต้นที่จุด ทั้งจากขอบเขตของนิยามและที่อนันต์ จะเข้า การเขียนในสาขาวิชาเท่านั้น แต่สามารถแทนที่เวกเตอร์หลักในวิชาคณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวนได้ ทันทีที่สิ่งที่เกิดขึ้นจะเชื่อมโยงเครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์กับปัญหา จะมีเหตุผล แต่จะมีเหตุผลในการวาดสมการ สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงพารามิเตอร์อินพุตทั้งหมด สิ่งที่ดีที่สุดไม่ได้เกิดขึ้นโดยตรงเสมอไป เบื้องหลังนี้คือแรงงานจำนวนมหาศาลของผู้ที่มีจิตใจดีที่สุดซึ่งรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ในอวกาศ ตั้งแต่นั้นมา ความนูนจึงถือเป็นคุณสมบัติ ฟังก์ชันต่อเนื่อง. ถึงกระนั้น จะเป็นการดีกว่าหากตั้งภารกิจในการแก้อนุพันธ์ทางออนไลน์ให้เร็วที่สุดเท่าที่จะทำได้ก่อน การแก้ปัญหาจึงจะสมบูรณ์ นอกเหนือจากบรรทัดฐานที่ไม่ได้ผลแล้ว สิ่งนี้ยังถือว่าไม่เพียงพอ ในขั้นต้น นักเรียนเกือบทุกคนเสนอให้เสนอวิธีการง่ายๆ ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันทำให้เกิดอัลกอริธึมการเติบโตที่ขัดแย้งกันอย่างไร ในทิศทางของคานขึ้น มันสมเหตุสมผลแล้ว ตำแหน่งทั่วไป. ก่อนหน้านี้พวกเขาทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงให้เสร็จสิ้น แต่วันนี้จะเป็นไปในทางอื่น บางทีวิธีแก้ปัญหาของอนุพันธ์ทางออนไลน์อาจหยิบยกประเด็นนี้ขึ้นมาอีกครั้ง และเราจะยอมรับความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับการเก็บรักษาไว้ในการอภิปรายในที่ประชุมของอาจารย์ เราหวังว่าจะได้รับความเข้าใจจากผู้เข้าร่วมการประชุมทุกฝ่าย ความหมายเชิงตรรกะมีอยู่ในคำอธิบายของเครื่องคิดเลขของอนุพันธ์ในการกำทอนของตัวเลขเกี่ยวกับลำดับการนำเสนอความคิดของปัญหาซึ่งได้รับคำตอบในศตวรรษที่ผ่านมาโดยนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ของโลก มันจะช่วยแยกตัวแปรที่ซับซ้อนออกจากนิพจน์ที่แปลงแล้วและค้นหาอนุพันธ์ทางออนไลน์เพื่อดำเนินการหามวล การกระทำประเภทเดียวกัน. ความจริงดีกว่าการคาดเดามาก ค่าต่ำสุดทันสมัย. ผลลัพธ์จะตามมาในไม่ช้าเมื่อใช้บริการเฉพาะสำหรับตำแหน่งที่แม่นยำที่สุดซึ่งมีรายละเอียดอนุพันธ์ออนไลน์ ทางอ้อม แต่ตรงประเด็น ดังที่นักปราชญ์คนหนึ่งกล่าวว่า เครื่องคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์ถูกสร้างขึ้นตามคำร้องขอของนักเรียนหลายคนจากเมืองต่างๆ ของสหภาพ หากมีความแตกต่างทำไมต้องตัดสินใจสองครั้ง เวกเตอร์ที่ระบุอยู่ฝั่งเดียวกับทางปกติ ในช่วงกลางของศตวรรษที่แล้ว ความแตกต่างของฟังก์ชันไม่ได้ถูกมองว่าเป็นอยู่ในปัจจุบัน ด้วยการพัฒนาที่กำลังดำเนินอยู่คณิตศาสตร์ออนไลน์จึงปรากฏขึ้น เมื่อเวลาผ่านไป นักเรียนลืมให้เครดิตวิชาคณิตศาสตร์ คำตอบของอนุพันธ์ออนไลน์จะท้าทายวิทยานิพนธ์ของเรา โดยอิงตามทฤษฎีที่สนับสนุนโดยถูกต้อง ความรู้เชิงปฏิบัติ. จะไปไกลกว่านั้น มูลค่าที่มีอยู่ปัจจัยการนำเสนอและเขียนสูตรสำหรับฟังก์ชันอย่างชัดเจน มันเกิดขึ้นที่คุณต้องค้นหาอนุพันธ์ทางออนไลน์ทันทีโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้กลอุบายของนักเรียนได้ตลอดเวลาและยังคงใช้บริการดังกล่าวเป็นเว็บไซต์ ดังนั้น นักเรียนจะประหยัดเวลาได้มากในการคัดลอกตัวอย่างจากสมุดบันทึกฉบับร่างลงในแบบฟอร์มขั้นสุดท้าย หากไม่มีข้อขัดแย้ง ให้ใช้บริการโซลูชันทีละขั้นตอนสำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อนดังกล่าว

โจทย์การหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันที่กำหนดเป็นหนึ่งในรายวิชาหลักวิชาคณิตศาสตร์ มัธยมและในสถาบันอุดมศึกษา เป็นไปไม่ได้ที่จะสำรวจฟังก์ชันทั้งหมด สร้างกราฟโดยไม่ใช้อนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันสามารถหาได้ง่ายหากคุณรู้กฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ รวมถึงตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัก ลองหาวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชันต่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจคำจำกัดความนี้ เนื่องจากแนวคิดเรื่องขีดจำกัดไม่ได้ศึกษาอย่างเต็มที่ที่โรงเรียน แต่ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ ไม่จำเป็นต้องเข้าใจคำจำกัดความ ปล่อยให้เป็นหน้าที่ของนักคณิตศาสตร์แล้วไปหาอนุพันธ์กันตรงๆ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่าการหาอนุพันธ์ เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันแล้วเราจะได้ฟังก์ชันใหม่

เพื่อแสดงถึงพวกเขาเราจะใช้ ตัวอักษรฉ, ก, ฯลฯ

มีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับตราสารอนุพันธ์ เราจะใช้จังหวะ ตัวอย่างเช่น รายการ g" หมายความว่าเราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน g

ตารางอนุพันธ์

ในการตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาอนุพันธ์จำเป็นต้องจัดทำตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัก ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน ไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณที่ซับซ้อน แค่ดูมูลค่าของมันในตารางอนุพันธ์ก็เพียงพอแล้ว

(บาป)"=cosx
(cos x)"= -บาป x
(xn)"=nxn-1
(อดีต)"=อดีต
(lnx)"=1/x
(กx)"=กxลน
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= - 1/บาป 2 x
(อาร์คซิน x)"= 1/√(1-x 2)
(ส่วนโค้ง x)"= - 1/√(1-x 2)
(โค้ง x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

ตัวอย่างที่ 1 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=500

เราเห็นว่ามันเป็นค่าคงที่ ตามตารางอนุพันธ์เป็นที่ทราบกันว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ (สูตร 1)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x 100

มัน ฟังก์ชั่นพลังงานซึ่งเลขชี้กำลังคือ 100 และในการหาอนุพันธ์ คุณต้องคูณฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังและลดลงด้วย 1 (สูตร 3)

(x 100)"=100 x 99

ตัวอย่างที่ 3 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=5 x

มัน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเราคำนวณอนุพันธ์ตามสูตร 4

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= log 4 x

เราหาอนุพันธ์ของลอการิทึมโดยใช้สูตร 7

(ล็อก 4 x)"=1/x บันทึก 4

กฎความแตกต่าง

มาดูวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันหากไม่ได้อยู่ในตาราง ฟังก์ชันที่ตรวจสอบส่วนใหญ่ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการที่ง่ายที่สุด (การบวก การลบ การคูณ การหาร และการคูณด้วยตัวเลข) ในการหาอนุพันธ์ คุณต้องรู้กฎของความแตกต่าง นอกจากนี้ ตัวอักษร f และ g หมายถึงฟังก์ชัน และ C เป็นค่าคงที่

1. สามารถนำค่าสัมประสิทธิ์คงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้

ตัวอย่างที่ 5 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= 6*x 8

เราออกไป ปัจจัยคงที่ 6 และแยกความแตกต่างเท่านั้น x 4 นี่คือฟังก์ชันกำลังซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราพบตามสูตร 3 ของตารางอนุพันธ์

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์

(ฉ + ก)"=ฉ" + ก"

ตัวอย่างที่ 6 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 + sin x

ฟังก์ชันคือผลรวมของสองฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตาราง เนื่องจาก (x 100)"=100 x 99 และ (sin x)"=cos x อนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์เหล่านี้:

(x 100 + บาป x)"= 100 x 99 + cos x

3. อนุพันธ์ของผลต่างเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์

(ฉ – ก)"=ฉ" – ก"

ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 100 - cos x

ฟังก์ชันนี้เป็นความแตกต่างของสองฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่เราหาได้จากตารางเช่นกัน จากนั้นอนุพันธ์ของผลต่างจะเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์ และอย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เนื่องจาก (cos x) "= - sin x

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + บาป x

ตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=e x +tg x– x 2 .

ฟังก์ชันนี้มีทั้งผลรวมและผลต่าง เราจะหาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x จากนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิมคือ:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

(f * g)"=f" * g + f * g"

ตัวอย่างที่ 9 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= cos x *e x

ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นให้หาอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัย (cos x)"=–sin x และ (e x)"=e x ทีนี้มาแทนที่ทุกอย่างในสูตรผลิตภัณฑ์กัน คูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกกับฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกผลคูณของฟังก์ชันแรกด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *บาป x

5. อนุพันธ์ของผลหาร

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

ตัวอย่างที่ 10 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y= x 50 / sin x

ในการหาอนุพันธ์ของผลหาร ก่อนอื่นให้หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน: (x 50)"=50 x 49 และ (sin x)"= cos x การแทนที่ในสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหารที่เราได้รับ:

(x 50 / บาป x) "= 50x 49 * บาป x - x 50 * cos x / บาป 2 x