หามุมทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะหามุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างไร? การประยุกต์ใช้ในพีชคณิตเวกเตอร์

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการประสบความสำเร็จ สอบผ่านในวิชาคณิตศาสตร์ 60-65 คะแนน ครบทุกงาน 1-13 สอบโปรไฟล์คณิตศาสตร์. ยังเหมาะสำหรับการผ่าน Basic USE ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่เป็นคะแนนมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักมนุษยนิยมไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีด่วนโซลูชั่น กับดัก และ ใช้ความลับ. งานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากงาน Bank of FIPI ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ USE-2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย5 หัวข้อใหญ่ครั้งละ 2.5 ชม. แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบนับร้อย ปัญหาข้อความและทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมการแก้ปัญหาที่ง่ายและจำง่าย เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก, แผ่นโกงที่มีประโยชน์, การพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่. ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น - ถึงภารกิจที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ยกกำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ ฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ท้าทายข้อสอบ 2 ส่วน

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยม แต่ก็มีของตัวเองเช่นกัน คุณสมบัติที่โดดเด่น. เมื่อรู้แล้ว เราสามารถหาทั้งสองด้านและมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างง่ายดาย

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ผลรวมของมุมในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมใดๆ คือ 360°
เส้นกลางของสี่เหลี่ยมด้านขนานกับเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดหนึ่งและผ่าครึ่งมัน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางสมมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากันเสมอ
นอกจากนี้ ตัวเลขนี้มีมุมตรงข้ามเท่ากันเสมอ
ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกับด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็น 180° เสมอ
ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน นี่แสดงโดยสูตร:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2) โดยที่ d 1 และ d 2 เป็นเส้นทแยงมุม a และ b เป็นด้านประชิด
โคไซน์ของมุมป้านจะน้อยกว่าศูนย์เสมอ

จะหามุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดได้อย่างไรโดยนำคุณสมบัติเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ? และสูตรอื่นใดที่ช่วยเราได้? พิจารณางานเฉพาะที่ต้องการ: หามุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การหามุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

กรณีที่ 1 การวัดมุมป้านจำเป็นต้องหามุมแหลม

ตัวอย่าง: ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มุม A คือ 120° หาค่ามุมที่เหลือ.

วิธีการแก้: โดยใช้คุณสมบัติหมายเลข 5 เราสามารถหาการวัดมุม B ประชิดกับมุมที่กำหนดในงานมอบหมาย จะเท่ากับ:

180°-120°= 60°

และตอนนี้โดยใช้คุณสมบัติ #4 เรากำหนดว่ามุม C และ D ที่เหลืออีกสองมุมอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราพบแล้ว มุม C อยู่ตรงข้ามกับมุม A มุม D อยู่ตรงข้ามกับมุม B ดังนั้นพวกมันจึงเท่ากัน

คำตอบ: B=60°, C=120°, D=60°

กรณีที่ 2 ทราบความยาวของด้านและเส้นทแยงมุม

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทโคไซน์

ขั้นแรกเราสามารถใช้สูตรในการคำนวณโคไซน์ของมุมที่เราต้องการ จากนั้นใช้ตารางพิเศษเพื่อค้นหาว่ามุมนั้นมีค่าเท่ากับเท่าใด

สำหรับมุมแหลม สูตรคือ:

cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B) โดยที่
เป็นที่ต้องการ มุมแหลม,
A และ B เป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
d - เส้นทแยงมุมเล็กกว่า

สำหรับมุมป้าน สูตรจะเปลี่ยนไปเล็กน้อย:

cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B) โดยที่
ß คือ มุมป้าน,
A และ B เป็นด้าน
D - เส้นทแยงมุมขนาดใหญ่

ตัวอย่าง: คุณต้องหามุมแหลมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านยาว 6 ซม. และ 3 ซม. และเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่าคือ 5.2 ซม.

เราแทนค่าลงในสูตรเพื่อหามุมแหลม:

โคซ่า = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
โคซ่า = 1/2. จากตารางเราพบว่ามุมที่ต้องการคือ 60 °

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติเช่นด้านตรงข้ามเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากัน ผลรวมของมุมทั้งหมดคือ 360 องศา

คุณจะต้องการ

ความรู้ทางเรขาคณิต

คำแนะนำ

1. ลองนึกภาพให้มุมหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานและเท่ากับ A ค้นหาค่าของ 3 ที่เหลือ โดยคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน ดังนั้นมุมที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่กำหนดจึงเท่ากับมุมที่กำหนดและค่าของมันเท่ากับ A

2. หามุมอีกสองมุมที่เหลือ เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดในสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 360 องศา และมุมตรงข้ามมีค่าเท่ากัน ปรากฎว่ามุมที่เป็นของด้านเดียวกันกับมุมที่ให้มาจะเท่ากับ (360 - 2A) / 2 ทีนี้ หลังจากปฏิรูปเราจะได้ 180 - A ดังนั้นในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมสองมุมจะเท่ากับ A และอีกสองมุมที่เหลือจะเท่ากับ 180 - A

บันทึก!
ค่าของหนึ่งมุมต้องไม่เกิน 180 องศา สามารถตรวจสอบค่ามุมที่ได้รับได้อย่างง่ายดาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้รวมเข้าด้วยกัน และหากผลรวมเป็น 360 ทุกอย่างจะถูกคำนวณอย่างถูกต้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์
สี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นคุณสมบัติและวิธีการทั้งหมดสำหรับการคำนวณมุมก็มีผลเช่นเดียวกัน

ระดับเฉลี่ย

สี่เหลี่ยมด้านขนาน, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส (2019)

1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำประสม "สี่เหลี่ยมด้านขนาน"? และด้านหลังเป็นรูปที่เรียบง่ายมาก

นั่นคือเราเอาเส้นขนานสองเส้น:

ข้ามไปอีกสองคน:

และข้างใน - สี่เหลี่ยมด้านขนาน!

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติอย่างไร?

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นั่นคือ สิ่งที่สามารถใช้ได้ถ้าให้สี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหา?

คำถามนี้ตอบโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ลองวาดทุกอย่างอย่างละเอียด

ทำอะไร จุดแรกของทฤษฎีบท? และความจริงที่ว่าถ้าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนานก็โดยทั้งหมด

ย่อหน้าที่สองหมายความว่าหากมีสี่เหลี่ยมด้านขนานก็หมายความว่า:

และสุดท้าย จุดที่สามหมายความว่าถ้าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต้องแน่ใจว่า:

ดูว่าความมั่งคั่งของทางเลือกคืออะไร? ใช้อะไรในงาน? พยายามจดจ่อกับคำถามของงานหรือลองทุกอย่างในทางกลับกัน - "กุญแจ" บางประเภทจะทำได้

และตอนนี้ลองถามตัวเองด้วยคำถามอื่น: วิธีการรับรู้สี่เหลี่ยมด้านขนาน "ในหน้า"? ต้องเกิดอะไรขึ้นกับรูปสี่เหลี่ยมเพื่อให้เรามีสิทธิที่จะให้มันเป็น "ชื่อเรื่อง" ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน?

คำถามนี้ตอบด้วยสัญญาณหลายด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสนใจ! เริ่ม.

สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ให้ความสนใจ: หากคุณพบสัญญาณอย่างน้อยหนึ่งสัญญาณในปัญหาของคุณ แสดงว่าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนานพอดี และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้

2. สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ฉันไม่คิดว่ามันจะเป็นข่าวสำหรับคุณเลย

คำถามแรกคือ: สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

แน่นอนมันเป็น! ท้ายที่สุดเขามี - จำสัญลักษณ์ของเรา 3?

และแน่นอน จากตรงนี้ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน และเส้นทแยงมุมถูกหารด้วยจุดตัดกันครึ่งหนึ่ง

แต่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่ง

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เหตุใดคุณสมบัตินี้จึงโดดเด่น เพราะไม่มีสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นใดมีเส้นทแยงมุมเท่ากัน มากำหนดรูปแบบให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ให้ความสนใจ: ในการที่จะกลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต้องกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงนำเสนอความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุม

3. ไดมอนด์

และอีกครั้งที่คำถามคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

ด้วยขวาเต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมี และ (จำเครื่องหมายของเรา 2)

และอีกครั้ง เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีมุมตรงข้ามเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งโดยจุดตัด

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ดูรูปนั่นสิ:

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้มีความโดดเด่น นั่นคือ สำหรับแต่ละคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่าเราไม่ได้มีเพียงสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่มีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

และให้ความสนใจอีกครั้ง: ไม่ควรมีเพียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉาก แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตรวจสอบให้แน่ใจ:

ไม่ แน่นอน ไม่ใช่ แม้ว่าจะเป็นเส้นทแยงมุมและตั้งฉาก และเส้นทแยงมุมคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม u แต่ ... เส้นทแยงมุมไม่แบ่งจุดตัดครึ่งดังนั้น - ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนานและดังนั้นจึงไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าจะได้อะไรจากสิ่งนี้

ชัดเจนไหมว่าทำไม? - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - แบ่งครึ่งของมุม A ซึ่งเท่ากับ ดังนั้นจึงแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม

มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากและโดยทั่วไป - เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนานหารด้วยจุดตัดในครึ่ง

ระดับเฉลี่ย

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสนใจ! คำ " คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน» หมายความว่าถ้าคุณมีงาน มีสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ทั้งหมดได้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ:

มาดูกันว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นจริง เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบท.

แล้วทำไม 1) เป็นจริง?

เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น:

เหมือนนอนขวาง
เหมือนนอนข้าม

ดังนั้น (บนพื้นฐาน II: และ - ทั่วไป)

ครั้งหนึ่งแล้ว - แค่นั้นแหละ! - พิสูจน์แล้ว

แต่เดี๋ยวก่อน! เรายังพิสูจน์ 2)!

ทำไม แต่หลังจากทั้งหมด (ดูรูป) นั่นคือเพราะ

เหลือ 3 ตัว)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณยังต้องวาดเส้นทแยงมุมที่สอง

และตอนนี้เราเห็นแล้วว่า - ตามเครื่องหมาย II (มุมและด้าน "ระหว่าง" พวกเขา)

คุณสมบัติพิสูจน์แล้ว! มาต่อกันที่ป้าย

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จำได้ว่าเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานตอบคำถาม "จะทราบได้อย่างไร" ว่าตัวเลขนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในไอคอนจะเป็นดังนี้:

ทำไม คงจะดีถ้าเข้าใจว่าทำไม - นั่นก็เพียงพอแล้ว แต่ดู:

เราก็หาได้ว่าทำไมเครื่องหมาย 1 ถึงเป็นจริง

ง่ายกว่านั้นอีก! ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกครั้ง

ซึ่งหมายความว่า:

และเป็นเรื่องง่าย แต่… แตกต่าง!

วิธี, . ว้าว! แต่ยัง - ภายในด้านเดียวที่เซแคนท์!

ดังนั้นความจริงที่หมายความว่า

และถ้าคุณมองจากอีกด้าน พวกมันก็จะอยู่ภายในซีแคนต์ด้านเดียว! และดังนั้นจึง.

แซ่บขนาดไหนมาดูกัน!

และอีกครั้งง่ายๆ:

เหมือนกันหมดและ.

ใส่ใจ:ถ้าคุณพบว่า อย่างน้อยหนึ่งสัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหาของคุณ แล้วคุณมี อย่างแน่นอนสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสามารถใช้ ทุกคนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพื่อความชัดเจน ดูแผนภาพ:

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

จุดที่ 1) ค่อนข้างชัดเจน - ท้ายที่สุดแล้ว เครื่องหมาย 3 () ถูกเติมเต็มแล้ว

และจุดที่ 2) - สำคัญมาก. มาพิสูจน์กัน

ดังนั้นในสองขา (และ - ทั่วไป)

เนื่องจากสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันก็เท่ากัน

พิสูจน์แล้ว!

และลองนึกภาพ ความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุมเป็นคุณสมบัติเด่นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในบรรดาสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด นั่นคือข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

มาดูกันว่าทำไม?

ดังนั้น (หมายถึงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) แต่จำไว้อีกครั้งว่า - สี่เหลี่ยมด้านขนานและด้วยเหตุนี้

วิธี, . และแน่นอน จากนี้ไปแต่ละคน ท้ายที่สุดแล้วในจำนวนที่พวกเขาควรจะให้!

ที่นี่เราได้พิสูจน์แล้วว่าถ้า สี่เหลี่ยมด้านขนานทันใดนั้น (!) จะเป็นเส้นทแยงมุมเท่ากันจากนั้น ตรงสี่เหลี่ยม.

แต่! ใส่ใจ!มันเกี่ยวกับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน! ไม่ใด ๆรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ เท่านั้นสี่เหลี่ยมด้านขนาน!

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ด้วยขวาเต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมี และ (จำเครื่องหมายของเรา 2)

แต่ยังมีคุณสมบัติพิเศษ เรากำหนด

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำไม เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นเส้นทแยงมุมจึงถูกหารด้วยครึ่ง

ทำไม ใช่ นั่นเป็นเหตุผล!

กล่าวอีกนัยหนึ่งเส้นทแยงมุมและกลายเป็นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้คือ โดดเด่นแต่ละคนก็เป็นสัญลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ป้ายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? และมอง

ดังนั้นและ ทั้งสองสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นหน้าจั่ว

ในการเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต้อง "กลายเป็น" สี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงแสดงคุณลักษณะ 1 หรือคุณลักษณะ 2 แล้ว

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม

ชัดเจนไหมว่าทำไม? สี่เหลี่ยมจัตุรัส - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - แบ่งครึ่งของมุมซึ่งเท่ากับ ดังนั้นจึงแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม

ทำไม ก็แค่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับ

สรุปและสูตรพื้นฐาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ด้านตรงข้ามเท่ากัน: , .
มุมตรงข้ามคือ: , .
มุมด้านหนึ่งรวมกันเป็น: , .
เส้นทแยงมุมถูกหารด้วยจุดตัดครึ่ง: .

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ: .
สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน (คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกเติมเต็มสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉาก: .
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวแบ่งครึ่งของมุมของมัน: ; ; ; .
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้รับการเติมเต็มสำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

คุณสมบัติสแควร์:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมในเวลาเดียวกัน ดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมจตุรัส คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงสมบูรณ์ ได้เป็นอย่างดีอีกด้วย

สี่เหลี่ยม

§43. สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

1. คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้าเราตัดเส้นคู่ขนานกับเส้นคู่ขนานอีกคู่หนึ่ง เราจะได้รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่

ในรูปสี่เหลี่ยม ABDC และ EFNM (รูปที่ 224) BD || AC และ AB || ซีดี;
EF || MN และ EM || เอฟ.เอ็น.

รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2. คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากัน

ให้มีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC (รูปที่ 225) โดยที่ AB || ซีดีและแอร์ || BD.

จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน

วาดเส้นทแยงมุม CB ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC มาพิสูจน์กัน /\ CAB= /\ ซีดีบี

ด้าน NE เป็นปกติของสามเหลี่ยมเหล่านี้ / เอบีซี = / BCD เป็นมุมนอนไขว้ภายในที่มี AB ขนานกันและซีดีและซีแคนต์ CB / DIA = / CBD เช่นเดียวกับมุมนอนขวางภายในด้วย AC และ BD ขนานและซีแคนต์ CB (§ 38)

จากที่นี่ /\ CAB = /\ ซีดีบี

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า AD ในแนวทแยงแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันคือ ACD และ ABD

ผลที่ตามมา. 1 . มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากัน

/ เอ = / D นี่ตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม CAB และ CDB
ในทำนองเดียวกัน / ค = / ที่.

2. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากัน

AB \u003d CD และ AC \u003d BD เนื่องจากเป็นด้านของสามเหลี่ยมที่เท่ากันและอยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากัน

ทฤษฎีบท 2 เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกผ่าครึ่งที่จุดตัดของพวกมัน

ให้ BC และ AD เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC (รูปที่ 226) ให้เราพิสูจน์ว่า AO = OD และ CO = OB

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เปรียบเทียบคู่ของสามเหลี่ยมด้านตรงข้ามบางรูป เช่น /\ AOB และ /\ ซีโอดี.

ในรูปสามเหลี่ยม AB = CD เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
/ 1 = / 2 เมื่อมุมภายในขวางอยู่ในแนวขนาน AB และ CD และซีแคนต์ AD
/ 3 = / 4 ด้วยเหตุผลเดียวกันตั้งแต่ AB || CD และ CB เป็นซีแคนต์ (§ 38)

ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น /\ เอโอบี = /\ ซีโอดี. และในสามเหลี่ยมเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากันคือด้านเท่ากัน ดังนั้น AO = OD และ CO = OB

ทฤษฎีบทที่ 3 ผลรวมของมุมประชิดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ 2 d .

พิสูจน์ตัวเอง.

3. สัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท. ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ให้ในรูปสี่เหลี่ยม ABDC (รูปที่ 227) AB = CD และ AC = BD ให้เราพิสูจน์ว่าภายใต้เงื่อนไขนี้ AB || ซีดีและแอร์ || BD คือ รูปสี่เหลี่ยม ABDC เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
มาเชื่อมต่อกันด้วยจุดยอดที่ตรงกันข้ามกันสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมนี้กัน ตัวอย่างเช่น C และ B รูปสี่เหลี่ยม ABDC แบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน: /\ CAB และ /\ ซีดีบี อันที่จริงพวกเขามีด้านร่วมกัน CB, AB \u003d CD และ AC \u003d BD ตามเงื่อนไข ดังนั้น ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งจึงเท่ากับด้านทั้งสามของอีกด้านตามลำดับ ดังนั้น /\ CAB = /\ ซีดีบี

ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ด้านเท่ากันโกหก มุมเท่ากันนั่นเป็นเหตุผลที่
/ 1 = / 2 และ / 3 = / 4.

มุมที่ 1 และ 2 คือมุมนอนขวางภายในที่จุดตัดของเส้น AB และ CD กับเส้น CB ดังนั้น AB || ซีดี.

ในทำนองเดียวกัน มุมที่ 3 และ 4 เป็นมุมนอนตัดขวางภายในที่จุดตัดของเส้น CA และ BD ที่มีเส้น CB ดังนั้น CA || BD (§ 35)

ดังนั้นด้านตรงข้ามของ ABDC ของรูปสี่เหลี่ยมจะขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2 ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมสองด้านเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ให้ในรูปสี่เหลี่ยม ABDC AB = CD และ AB || ซีดี. ให้เราพิสูจน์ว่าภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ABDC รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 228)

เราเชื่อมต่อจุดยอด C และ B กับเซ็กเมนต์ CB เนื่องจากเส้นขนาน AB และ CD ขนานกัน มุม 1 และ 2 เมื่อมุมภายในวางขวางจะเท่ากัน (§ 38)
แล้วสามเหลี่ยม CAB เท่ากับสามเหลี่ยมซีดี เนื่องจากพวกมันมี CB ด้านร่วม
AB \u003d ซีดีตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทและ / 1 = / 2 ตามที่พิสูจน์แล้ว จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามความเท่าเทียมกันของมุม 3 และ 4 เนื่องจากพวกมันอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากันในรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน

แต่มุมที่ 3 และ 4 เป็นมุมนอนขวางภายในที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้น AC และ BD โดยเส้น CB ดังนั้น AC || BD (§ 35) เช่น รูปสี่เหลี่ยม
ABCC เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การออกกำลังกาย.

1. พิสูจน์ว่าถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่จุดตัดร่วมกันของพวกมันถูกหารด้วยครึ่งหนึ่ง แล้วรูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

2. พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมที่มีผลรวม มุมภายในอยู่ประชิดกันทั้งสองข้าง เท่ากับ 2 d, เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3. สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งสองด้านและทำมุมระหว่างกัน:

ก) การใช้ความเท่าเทียมกัน ฝ่ายตรงข้ามสี่เหลี่ยมด้านขนาน;
b) ใช้ความเท่าเทียมกันของด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4. สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานในสอง ฝ่ายข้างเคียงและเส้นทแยงมุม

5. สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วยเส้นทแยงมุมสองเส้นและมุมระหว่างเส้นทแยงมุม

6. สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นทแยงมุมสองเส้น