หาค่าคาดคะเนของตัวแปรสุ่ม สูตรพื้นฐานสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์

มูลค่าที่คาดหวังและการกระจาย - ลักษณะตัวเลขที่ใช้บ่อยที่สุด ตัวแปรสุ่ม. พวกเขาอธิบายลักษณะเฉพาะที่สำคัญที่สุดของการกระจาย: ตำแหน่งและระดับการกระจายตัว ในปัญหาในทางปฏิบัติหลายประการ คำอธิบายที่สมบูรณ์และละเอียดถี่ถ้วนของตัวแปรสุ่ม - กฎแห่งการแจกแจง - ไม่สามารถรับได้เลยหรือไม่จำเป็นเลย ในกรณีเหล่านี้ จะจำกัดเพียงคำอธิบายโดยประมาณของตัวแปรสุ่มโดยใช้ ลักษณะเชิงตัวเลข.

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มักเรียกง่ายๆ ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มเป็นลักษณะของการกระจาย การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มรอบการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

มาดูแนวคิดของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน ขั้นแรกเริ่มจากการตีความทางกลของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกัน ให้มวลหน่วยกระจายระหว่างจุดของแกน x x1 , x 2 , ..., xนและแต่ละจุดวัสดุมีมวลที่สัมพันธ์กับมันจาก พี1 , พี 2 , ..., พีน. จำเป็นต้องเลือกจุดหนึ่งบนแกน x เพื่อระบุตำแหน่งของทั้งระบบ จุดวัสดุโดยคำนึงถึงมวลของพวกเขา เป็นเรื่องปกติที่จะหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุเป็นจุดดังกล่าว นี่คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่ม X, ซึ่งใน abscissa ของแต่ละจุด xผมเข้าด้วย "น้ำหนัก" เท่ากับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ค่ากลางของตัวแปรสุ่มจึงได้มา Xเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้:

ตัวอย่างที่ 1ได้มีการจัดลอตเตอรี่แบบ win-win มีการชนะ 1,000 ครั้ง 400 ครั้งเป็น 10 รูเบิล 300 - 20 รูเบิลละ ละ 200 - 100 รูเบิล และ 100 - 200 รูเบิลละ อะไร ขนาดเฉลี่ยเงินรางวัลสำหรับผู้ที่ซื้อตั๋วหนึ่งใบ?

วิธีการแก้. เราพบผลตอบแทนเฉลี่ยถ้า ยอดรวมเงินรางวัลซึ่งเท่ากับ 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50,000 รูเบิล หารด้วย 1,000 (จำนวนเงินที่ชนะทั้งหมด) จากนั้นเราจะได้ 50000/1000 = 50 รูเบิล แต่นิพจน์สำหรับการคำนวณกำไรเฉลี่ยยังสามารถแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

ในทางกลับกัน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ จำนวนเงินที่ชนะจะเป็นตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่า 10, 20, 100 และ 200 รูเบิล โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.4 ตามลำดับ 0.3; 0.2; 0.1. ดังนั้นผลตอบแทนเฉลี่ยที่คาดหวัง เท่ากับผลรวมผลคูณของจำนวนเงินที่ชนะโดยความน่าจะเป็นที่จะได้รับ

ตัวอย่าง 2ผู้จัดพิมพ์ตัดสินใจเผยแพร่ หนังสือเล่มใหม่. เขากำลังจะขายหนังสือในราคา 280 รูเบิล โดย 200 จะถูกมอบให้เขา 50 ไปที่ร้านหนังสือ และ 30 ให้กับผู้แต่ง ตารางนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับค่าใช้จ่ายในการจัดพิมพ์หนังสือและโอกาสในการขายหนังสือจำนวนหนึ่ง

ค้นหาผลกำไรที่คาดหวังของผู้จัดพิมพ์

วิธีการแก้. ตัวแปรสุ่ม "กำไร" เท่ากับความแตกต่างระหว่างรายได้จากการขายและต้นทุนของต้นทุน ตัวอย่างเช่น หากขายหนังสือ 500 เล่ม รายได้จากการขายคือ 200 * 500 = 100,000 และค่าใช้จ่ายในการจัดพิมพ์คือ 225,000 รูเบิล ดังนั้นผู้จัดพิมพ์ต้องสูญเสีย 125,000 รูเบิล ตารางต่อไปนี้สรุปค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม - กำไร:

ตัวเลข	กำไร xผม	ความน่าจะเป็น พีผม	xผม พีผม
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
ทั้งหมด:		1,00	25000

ดังนั้นเราจึงได้รับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลกำไรของผู้จัดพิมพ์:

ตัวอย่างที่ 3มีโอกาสยิงนัดเดียว พี= 0.2. กำหนดปริมาณการใช้กระสุนที่ให้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนการโจมตีเท่ากับ 5

วิธีการแก้. จากสูตรความคาดหวังเดียวกันกับที่เราใช้จนถึงตอนนี้ เราแสดงออก x- การบริโภคเปลือกหอย:

ตัวอย่างที่ 4กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xจำนวนครั้งที่ยิง 3 นัด ถ้ามีโอกาสยิงแต่ละนัด พี = 0,4 .

คำแนะนำ: ค้นหาความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่มโดย สูตรเบอร์นูลลี .

คุณสมบัติความคาดหวัง

พิจารณาคุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ทรัพย์สิน 1การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้:

ทรัพย์สิน 2ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง:

ทรัพย์สิน 3ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม (ผลต่าง) ของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ทรัพย์สิน 4.ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ทรัพย์สิน 5.หากค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม Xลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเท่ากัน จากจากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนเดียวกัน:

เมื่อคุณไม่สามารถถูกจำกัดได้เพียงการคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ในกรณีส่วนใหญ่ เฉพาะการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่ไม่สามารถระบุลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มได้อย่างเพียงพอ

ให้ตัวแปรสุ่ม Xและ Yกำหนดโดยกฎหมายการจำหน่ายดังต่อไปนี้:

ความหมาย X	ความน่าจะเป็น
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

ความหมาย Y	ความน่าจะเป็น
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณเหล่านี้เหมือนกัน - เท่ากับศูนย์:

อย่างไรก็ตาม การกระจายของพวกมันนั้นแตกต่างกัน ค่าสุ่ม Xได้เฉพาะค่าที่ต่างจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์และตัวแปรสุ่มเล็กน้อยเท่านั้น Yสามารถนำค่าที่เบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมาก ตัวอย่างที่คล้ายกัน: ค่าจ้างเฉลี่ยไม่สามารถตัดสินได้ แรงดึงดูดเฉพาะคนงานที่ได้รับค่าจ้างสูงและต่ำ กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยการคาดหมายทางคณิตศาสตร์เราไม่สามารถตัดสินได้ว่าการเบี่ยงเบนจากความเบี่ยงเบนใดจากมัน อย่างน้อยโดยเฉลี่ย เป็นไปได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

การกระจายตัวตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของการเบี่ยงเบนจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xเรียกว่า ค่าเลขคณิตรากที่สองของความแปรปรวน:

ตัวอย่างที่ 5คำนวณความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xและ Yซึ่งกฎหมายการจัดจำหน่ายระบุไว้ในตารางด้านบน

วิธีการแก้. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Xและ Yดังที่พบในข้างต้น มีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรการกระจายตัวของ อี(X)=อี(y)=0 เราได้รับ:

จากนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม Xและ Yเป็น

ดังนั้น ด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Xเล็กมากและสุ่ม Y- สำคัญ. นี่เป็นผลมาจากความแตกต่างในการแจกแจง

ตัวอย่างที่ 6ผู้ลงทุนมีโครงการลงทุนทางเลือก 4 โครงการ ตารางสรุปข้อมูลเกี่ยวกับผลกำไรที่คาดหวังในโครงการเหล่านี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

โครงการ 1	โครงการ2	โครงการ 3	โครงการ 4
500, พี=1	1000, พี=0,5	500, พี=0,5	500, พี=0,5
	0, พี=0,5	1000, พี=0,25	10500, พี=0,25
		0, พี=0,25	9500, พี=0,25

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับแต่ละทางเลือก

วิธีการแก้. ให้เราแสดงวิธีการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับทางเลือกที่ 3:

ตารางสรุปค่าที่พบสำหรับทางเลือกทั้งหมด

ทางเลือกทั้งหมดมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าในระยะยาวทุกคนมีรายได้เท่ากัน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถตีความได้ว่าเป็นตัวชี้วัดความเสี่ยง ยิ่งมีค่ามากเท่าใด ความเสี่ยงในการลงทุนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น นักลงทุนที่ไม่ต้องการความเสี่ยงมากนักจะเลือกโครงการที่ 1 เนื่องจากมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยที่สุด (0) หากนักลงทุนชอบความเสี่ยงและผลตอบแทนสูงในระยะเวลาอันสั้น เขาจะเลือกโครงการที่ใหญ่ที่สุด ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน- โครงการที่ 4

คุณสมบัติการกระจาย

ให้เรานำเสนอคุณสมบัติของการกระจายตัว

ทรัพย์สิน 1การกระจายตัว ค่าคงที่เท่ากับศูนย์:

ทรัพย์สิน 2ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายโดยการยกกำลังสองมัน:

ทรัพย์สิน 3ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเท่ากับค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของค่านี้ ซึ่งลบค่ากำลังสองของค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่านั้นเอง:

ที่ไหน .

ทรัพย์สิน 4.ความแปรปรวนของผลรวม (ผลต่าง) ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของความแปรปรวน:

ตัวอย่าง 7เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xรับเพียงสองค่า: −3 และ 7 นอกจากนี้ยังทราบการคาดหมายทางคณิตศาสตร์: อี(X) = 4 . ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

วิธีการแก้. แสดงโดย พีความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มรับค่า x1 = −3 . แล้วความน่าจะเป็นของค่า x2 = 7 จะเป็น 1 − พี. มาหาสมการสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน:

อี(X) = x 1 พี + x 2 (1 − พี) = −3พี + 7(1 − พี) = 4 ,

ที่เราได้รับความน่าจะเป็น: พี= 0.3 และ 1 − พี = 0,7 .

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม:

X	−3	7
พี	0,3	0,7

เราคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้โดยใช้สูตรจากคุณสมบัติ 3 ของความแปรปรวน:

ดี(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มด้วยตัวเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 8ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง Xใช้เพียงสองค่า ใช้ค่าที่มากกว่า 3 ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 นอกจากนี้ยังทราบความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ดี(X) = 6 . ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างที่ 9โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก นำลูกบอล 3 ลูกออกจากโกศ จำนวนลูกบอลสีขาวในลูกบอลที่สุ่มออกมาเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้

วิธีการแก้. ค่าสุ่ม Xสามารถนำค่า 0, 1, 2, 3 ค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้จาก กฎการคูณความน่าจะเป็น. กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม:

X	0	1	2	3
พี	1/30	3/10	1/2	1/6

ดังนั้นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้:

เอ็ม(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่กำหนดคือ:

ดี(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง การตีความทางกลของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะคงไว้ซึ่งความหมายเดียวกัน: จุดศูนย์กลางมวลสำหรับมวลหน่วยหนึ่งกระจายอย่างต่อเนื่องบนแกน x ด้วยความหนาแน่น ฉ(x). ตรงกันข้ามกับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน xผมเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง อาร์กิวเมนต์จะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง แต่การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนั้นสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยด้วย

ในการหาค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง คุณต้องหาอินทิกรัลที่แน่นอน . หากกำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ก็จะเข้าสู่อินทิกรัลโดยตรง ถ้าให้ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น คุณต้องหาฟังก์ชันความหนาแน่นโดยการแยกความแตกต่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเรียกว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์, แสดงโดย หรือ .

วิธีการแก้:

6.1.2 คุณสมบัติที่คาดหวัง

1. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

2. ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกมัน

คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มจำนวนหนึ่ง

4. การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

คุณสมบัตินี้ยังเป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนตามอำเภอใจ

ตัวอย่าง: เอ็ม(เอ็กซ์) = 5, ของฉัน)= 2 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z, การนำคุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้หากทราบแล้วว่า Z=2X + 3Y.

วิธีการแก้: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหมายทางคณิตศาสตร์

2) ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวังได้

ให้ดำเนินการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งเท่ากับ p จากนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือเป็น:

ทฤษฎีบท. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น A ใน n การทดสอบอิสระเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลอง

6.1.3 การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายลักษณะได้อย่างเต็มที่ กระบวนการสุ่ม. นอกเหนือจากการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์แล้ว ยังจำเป็นต้องแนะนำค่าที่กำหนดลักษณะความเบี่ยงเบนของค่าตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ส่วนเบี่ยงเบนนี้เท่ากับผลต่างระหว่างตัวแปรสุ่มกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ นี่คือคำอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างเป็นค่าบวก ส่วนอื่นๆ เป็นค่าลบ และผลลัพธ์ของการยกเลิกร่วมกันจะได้ศูนย์

การกระจาย (กระเจิง)ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ในทางปฏิบัติ วิธีที่คล้ายกันการคำนวณความแปรปรวนไม่สะดวกเพราะ นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าตัวแปรสุ่มจำนวนมาก

ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับผลต่างระหว่างความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์.

การพิสูจน์. โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M (X) และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M 2 (X) เป็นค่าคงที่ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

ตัวอย่าง. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎหมายการแจกจ่าย

X
X2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

วิธีการแก้: .

6.1.4 คุณสมบัติการกระจายตัว

1. การกระจายตัวของค่าคงที่คือศูนย์ .

2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายโดยการยกกำลังสองมัน .

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

4. ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยแต่ละครั้งความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้น ของเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

ตัวอย่าง: ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ 2 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และเป็นที่ทราบกันดีว่า M(X) = 1.2

เราใช้ทฤษฎีบทจากส่วนที่ 6.1.2:

M(X) = np

เอ็ม(เอ็กซ์) = 1,2; น= 2. ค้นหา พี:

1,2 = 2∙พี

พี = 1,2/2

q = 1 – พี = 1 – 0,6 = 0,4

หาการกระจายตัวตามสูตร:

ดี(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 เฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า รากที่สองของความแปรปรวน

(25)

ทฤษฎีบท. เฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจำนวนเงิน จำนวนจำกัดตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันคือ รากที่สองจากผลรวมของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของปริมาณเหล่านี้

6.1.6 โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

แฟชั่น M o DSVเรียกค่าที่น่าจะเป็นที่สุดของตัวแปรสุ่ม (เช่น ค่าที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด)

ค่ามัธยฐาน M e DSWคือค่าของตัวแปรสุ่มที่แบ่งชุดการแจกแจงเป็นครึ่งหนึ่ง หากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะถูกพบเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยทั้งสอง

ตัวอย่าง: ค้นหาโหมดและค่ามัธยฐานของ DSW X:

X
พี	0.2	0.3	0.1	0.4

ผม = = 5,5

ความคืบหน้า

1. ทำความคุ้นเคยกับส่วนทฤษฎีของงานนี้ (บรรยาย, ตำราเรียน)

2. ทำงานให้เสร็จตามที่คุณเลือก

3. จัดทำรายงานการทำงาน

4. ปกป้องงานของคุณ

2. วัตถุประสงค์ของงาน

3. ความก้าวหน้าของงาน

4. การตัดสินใจทางเลือกของคุณ

6.4 ตัวเลือกงานสำหรับ งานอิสระ

ตัวเลือกหมายเลข 1

1. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โหมดและค่ามัธยฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎหมายการกระจาย

X
พี	0.1	0.6	0.2	0.1

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระสองการทดลอง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากันและเป็นที่ทราบกันว่า M (X) = 1

4. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะได้รับ X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3

ตัวเลือกหมายเลข 2

X
พี	0.3	0.1	0.2	0.4

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระสามการทดลอง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และเป็นที่ทราบกันดีว่า M (X) = 0.9

x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10 และยังทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณนี้และกำลังสองของมันอีกด้วย: , . ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ , , และร่างกฎหมายการกระจายของ DSW

ตัวเลือกหมายเลข 3

1. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎหมายการกระจาย

X
พี	0.5	0.1	0.2	0.3

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระสี่ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากันและเป็นที่ทราบกันว่า M (x) = 1.2

4. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ได้รับ: x 1 = 0, x2 = 1, x 3 = 2, x4= 5 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณนี้และกำลังสองเป็นที่รู้จักกัน: , . ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ , , และร่างกฎหมายการกระจายของ DSW

ตัวเลือกหมายเลข 4

แต่ละค่าจะถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายของมันอย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ เพื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบลักษณะเชิงตัวเลขหลายประการ ซึ่งทำให้สามารถนำเสนอคุณสมบัติหลักของตัวแปรสุ่มในรูปแบบที่กระชับได้

ปริมาณเหล่านี้เป็นหลัก มูลค่าที่คาดหวังและ การกระจายตัว .

มูลค่าที่คาดหวัง- ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น กำหนดให้เป็น .

โดยมากที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(ญ), จะพบเป็น อินทิกรัลLebesgueเกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็น R ต้นฉบับ ช่องว่างความน่าจะเป็น

คุณยังสามารถหาค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าเป็น ปริพันธ์ Lebesgueจาก Xโดยการแจกแจงความน่าจะเป็น อาร์เอ็กซ์ปริมาณ X:

เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ที่ไหน X.

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันจากตัวแปรสุ่ม Xคือผ่านการจัดจำหน่าย อาร์เอ็กซ์. ตัวอย่างเช่น, ถ้า X- ตัวแปรสุ่มที่มีค่าในและ เอฟ(x)- ชัดเจน โบเรลการทำงาน X , แล้ว:

ถ้า เอฟ(x)- ฟังก์ชั่นการกระจาย Xแล้วการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ก็แทนค่าได้ อินทิกรัลLebesgue - Stieltjes (หรือ Riemann - Stieltjes):

ในขณะที่บูรณาการ Xในสิ่งที่รู้สึก ( * ) สอดคล้องกับความจำกัดของปริพันธ์

ในบางกรณี if Xมันมี การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องด้วยค่าที่น่าจะเป็นไปได้ x k, k=1, 2, . , และความน่าจะเป็น แล้ว

ถ้า Xมีอย่างแน่นอน การกระจายอย่างต่อเนื่องด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น พี(x), แล้ว

ในกรณีนี้ การมีอยู่ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเทียบเท่ากับการบรรจบกันแบบสัมบูรณ์ของอนุกรมหรืออินทิกรัลที่สอดคล้องกัน

คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่านี้:

ค- คงที่;

M=C.M[X]

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของค่าที่สุ่มมานั้นเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระ = ผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

M=M[X]+M[Y]

ถ้า Xและ Yเป็นอิสระ.

ถ้าชุดมาบรรจบกัน:

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ค่าทั้งหมดสามารถเรียงลำดับใหม่ได้ ตัวเลขธรรมชาติ; เปรียบแต่ละค่าด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์

1. คูณคู่ในทางกลับกัน: x ฉันบน ปี่.

2.เพิ่มสินค้าแต่ละคู่ x ฉัน พี ฉัน.

ตัวอย่างเช่น, สำหรับ น = 4 :

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน ณ จุดที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวก

ตัวอย่าง:หาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์จากสูตร

แนวคิดของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถพิจารณาได้โดยใช้ตัวอย่างการโยนลูกเต๋า ในการโยนแต่ละครั้ง คะแนนที่ดรอปจะถูกบันทึก ค่าธรรมชาติในช่วง 1 - 6 ใช้เพื่อแสดงออก

หลังจากการโยนจำนวนหนึ่ง โดยใช้การคำนวณอย่างง่าย คุณสามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่ลดลงได้

เช่นเดียวกับการลดค่าช่วงใดๆ ค่านี้จะเป็นแบบสุ่ม

และถ้าคุณเพิ่มจำนวนการขว้างหลายครั้ง? ที่ ปริมาณมากโยน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนจะเข้าใกล้ เฉพาะจำนวนซึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จึงเป็นค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ตัวบ่งชี้นี้ยังสามารถนำเสนอเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่าที่น่าจะเป็นได้

แนวคิดนี้มีคำพ้องความหมายหลายประการ:

หมายถึง;
ค่าเฉลี่ย
ตัวบ่งชี้แนวโน้มกลาง
วินาทีแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีอะไรมากไปกว่าตัวเลขที่มีการกระจายค่าของตัวแปรสุ่ม

ที่ สาขาต่างๆ กิจกรรมของมนุษย์วิธีการทำความเข้าใจความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแตกต่างกันบ้าง

สามารถดูได้ดังนี้:

ผลประโยชน์เฉลี่ยที่ได้รับจากการตัดสินใจใช้ในกรณีที่การตัดสินใจดังกล่าวได้รับการพิจารณาจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก
จำนวนกำไรหรือขาดทุนที่เป็นไปได้ (ทฤษฎี การพนัน) คำนวณโดยเฉลี่ยสำหรับแต่ละอัตรา ในคำสแลง พวกเขาฟังดูเหมือน "ความได้เปรียบของผู้เล่น" (เป็นบวกสำหรับผู้เล่น) หรือ "ความได้เปรียบของคาสิโน" (เชิงลบสำหรับผู้เล่น);
เปอร์เซ็นต์ของกำไรที่ได้รับจากการชนะ

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด ไม่มีอยู่สำหรับผู้ที่มีความคลาดเคลื่อนในผลรวมหรืออินทิกรัลที่สอดคล้องกัน

คุณสมบัติความคาดหวัง

เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ทางสถิติ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สูตรพื้นฐานสำหรับการคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การคำนวณการคาดหมายทางคณิตศาสตร์สามารถทำได้ทั้งสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีทั้งความต่อเนื่อง (สูตร A) และความไม่ต่อเนื่อง (สูตร B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi โดยที่ xi คือค่าของตัวแปรสุ่ม pi คือความน่าจะเป็น:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx โดยที่ f(x) คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่กำหนด

ตัวอย่างการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง ก.

เป็นไปได้ไหมที่จะหาความสูงเฉลี่ยของพวกโนมส์ในเทพนิยายเกี่ยวกับสโนว์ไวท์ เป็นที่ทราบกันดีว่าโนมส์ทั้ง 7 ตัวมีความสูงที่แน่นอน: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 และ 0.81 ม.

อัลกอริทึมการคำนวณค่อนข้างง่าย:

ค้นหาผลรวมของค่าทั้งหมดของตัวบ่งชี้การเติบโต (ตัวแปรสุ่ม):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
จำนวนผลลัพธ์จะถูกหารด้วยจำนวนของพวกโนมส์:
6,31:7=0,90.

ดังนั้น ความสูงเฉลี่ยของโนมส์ในเทพนิยายคือ 90 ซม. กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเติบโตของโนมส์

สูตรการทำงาน - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

การนำความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไปปฏิบัติจริง

สู่การคำนวณ ตัวบ่งชี้ทางสถิติใช้การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ในด้านต่างๆ กิจกรรมภาคปฏิบัติ. ก่อนอื่นเลย เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับย่านการค้า อันที่จริง การแนะนำตัวบ่งชี้นี้โดย Huygens นั้นเชื่อมโยงกับการกำหนดโอกาสที่สามารถทำได้ดีหรือตรงกันข้ามสำหรับบางเหตุการณ์

พารามิเตอร์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประเมินความเสี่ยง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงการลงทุนทางการเงิน
ดังนั้น ในธุรกิจ การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงเป็นวิธีหนึ่งในการประเมินความเสี่ยงเมื่อคำนวณราคา

นอกจากนี้ ตัวบ่งชี้นี้ยังสามารถใช้ในการคำนวณประสิทธิภาพของมาตรการบางอย่าง เช่น การคุ้มครองแรงงาน ด้วยเหตุนี้ คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้

อีกด้านของการประยุกต์ใช้พารามิเตอร์นี้คือการจัดการ นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณได้ในระหว่างการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ เช่น การใช้เสื่อ สามารถคำนวณความคาดหวังได้ จำนวนที่เป็นไปได้การผลิตชิ้นส่วนที่ชำรุด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็กลายเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้เมื่อดำเนินการ การประมวลผลทางสถิติได้รับในช่วง การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ผลลัพธ์. นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ต้องการหรือไม่พึงประสงค์ของการทดลองหรือการศึกษา ขึ้นอยู่กับระดับของความสำเร็จของเป้าหมาย ท้ายที่สุด ความสำเร็จของมันสามารถเชื่อมโยงกับกำไรและกำไร และการไม่บรรลุผล - เป็นขาดทุนหรือขาดทุน

การใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใน Forex

การใช้งานจริงของพารามิเตอร์ทางสถิตินี้เป็นไปได้เมื่อทำธุรกรรมในตลาดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ สามารถใช้วิเคราะห์ความสำเร็จของธุรกรรมการค้าได้ นอกจากนี้ การเพิ่มมูลค่าของความคาดหวังบ่งชี้ว่าความสำเร็จของพวกเขาเพิ่มขึ้น

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ไม่ควรถูกพิจารณาว่าเป็นพารามิเตอร์ทางสถิติเพียงตัวเดียวที่ใช้ในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของเทรดเดอร์ การใช้พารามิเตอร์ทางสถิติหลายตัวพร้อมกับค่าเฉลี่ยจะเพิ่มความแม่นยำของการวิเคราะห์ในบางครั้ง

พารามิเตอร์นี้ได้พิสูจน์ตัวเองอย่างดีในการเฝ้าติดตามการสังเกตบัญชีซื้อขาย ต้องขอบคุณเขาที่ทำการประเมินงานในบัญชีเงินฝากอย่างรวดเร็ว ในกรณีที่กิจกรรมของเทรดเดอร์ประสบความสำเร็จและเขาหลีกเลี่ยงการสูญเสีย เราไม่แนะนำให้ใช้เพียงการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ในกรณีเหล่านี้ ความเสี่ยงจะไม่ถูกนำมาพิจารณา ซึ่งจะทำให้ประสิทธิภาพของการวิเคราะห์ลดลง

ดำเนินการศึกษากลวิธีของผู้ค้าระบุว่า:

กลยุทธ์ที่ได้ผลมากที่สุดคือกลยุทธ์ที่อิงจากการป้อนข้อมูลแบบสุ่ม
ประสิทธิผลน้อยที่สุดคือกลยุทธ์ที่อิงตามปัจจัยการผลิตที่มีโครงสร้าง

เพื่อให้บรรลุผลในเชิงบวก สิ่งสำคัญเท่าเทียมกันคือ:

กลวิธีการจัดการเงิน
กลยุทธ์ทางออก

การใช้ตัวบ่งชี้เช่นการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ เราสามารถสมมติได้ว่ากำไรหรือขาดทุนจะเป็นอย่างไรเมื่อลงทุน 1 ดอลลาร์ เป็นที่ทราบกันดีว่าตัวบ่งชี้นี้ซึ่งคำนวณสำหรับเกมทั้งหมดที่ฝึกฝนในคาสิโนนั้นเป็นประโยชน์ต่อสถาบัน นี่คือสิ่งที่ช่วยให้คุณทำเงินได้ ในกรณีของชุดเกมที่ยาวนาน ความน่าจะเป็นที่จะเสียเงินโดยลูกค้าจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก

เกมของผู้เล่นมืออาชีพนั้น จำกัด ช่วงเวลาเล็ก ๆ ซึ่งเพิ่มโอกาสในการชนะและลดความเสี่ยงในการแพ้ รูปแบบเดียวกันนี้สังเกตได้จากผลการดำเนินงานด้านการลงทุน

นักลงทุนสามารถสร้างรายได้จำนวนมากด้วยความคาดหวังและผลกำไรที่ดี จำนวนมากการทำธุรกรรมในช่วงเวลาสั้น ๆ

ความคาดหวังสามารถคิดได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างเปอร์เซ็นต์ของกำไร (PW) คูณกับกำไรเฉลี่ย (AW) และความน่าจะเป็นของการสูญเสีย (PL) คูณกับการสูญเสียโดยเฉลี่ย (AL)

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสิ่งต่อไปนี้: ตำแหน่ง - 12.5 พันดอลลาร์ พอร์ตโฟลิโอ - 100,000 ดอลลาร์ ความเสี่ยงต่อเงินฝาก - 1% ความสามารถในการทำกำไรของการทำธุรกรรมคือ 40% ของกรณีที่มีกำไรเฉลี่ย 20% กรณีขาดทุน ขาดทุนเฉลี่ย 5% การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับการเทรดให้มูลค่า 625 ดอลลาร์

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:

ตัวอย่าง.

X-4 6 10
หน้า 0.2 0.3 0.5

วิธีแก้ไข: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่า X ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น:

M (X) \u003d 4 * 0.2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6

ในการคำนวณความคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะสะดวกในการคำนวณใน Excel (โดยเฉพาะเมื่อมีข้อมูลจำนวนมาก) เราขอแนะนำให้ใช้ พร้อมแม่แบบ ().

ตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ(คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขได้)
ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ที่กำหนดโดยกฎหมายการกระจาย:

X 0.21 0.54 0.61
หน้า 0.1 0.5 0.4

การคาดหมายทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

คุณสมบัติ 1 การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง: М(С)=С

คุณสมบัติ 2 ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหวัง: М(СХ)=СМ(Х)

คุณสมบัติ 3 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันนั้นเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปัจจัย: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) * ..*M(Xn)

คุณสมบัติ 4 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

ปัญหาที่ 189 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ X และ Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

วิธีแก้ไข: ใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ (การคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพจน์นั้นๆ ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายคาดหมายได้) เราจะได้ M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11

190. ใช้คุณสมบัติของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ พิสูจน์ว่า: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบน X-M(X) เป็นศูนย์

191. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ใช้ค่าที่เป็นไปได้สามค่า: x1= 4 ด้วยความน่าจะเป็น p1 = 0.5; x3 = 6 ด้วยความน่าจะเป็น P2 = 0.3 และ x3 ที่มีความน่าจะเป็น p3 ค้นหา: x3 และ p3 โดยรู้ว่า M(X)=8

192. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X ได้รับ: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณนี้และกำลังสองเป็นที่รู้จักกัน: M (X ) \u003d 0.1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. ค้นหาความน่าจะเป็น p1, p2, p3 ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ xi

194. ชุดละ 10 ชิ้นประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสามชิ้น สองรายการถูกสุ่มเลือก ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจากสองส่วนที่เลือก

196. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจำนวน X ของการพ่นห้า ลูกเต๋าโดยแต่ละจุดจะปรากฏบนกระดูกสองชิ้นหาก จำนวนทั้งหมดโยนเท่ากับยี่สิบ

มูลค่าที่คาดหวัง การกระจายทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง: