ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์โดยละเอียด ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข. เราจะให้คำจำกัดความต่างๆ ของโมดูลัสของตัวเลข แนะนำสัญลักษณ์และให้ภาพประกอบกราฟิก ในกรณีนี้ เราจะพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการค้นหาโมดูลัสของตัวเลขตามนิยาม หลังจากนั้น เราจะแสดงรายการและปรับคุณสมบัติหลักของโมดูล ในตอนท้ายของบทความเราจะพูดถึงวิธีกำหนดและหาโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

การนำทางหน้า

โมดูลัสของจำนวน - ความหมาย สัญกรณ์ และตัวอย่าง

ก่อนอื่นเราแนะนำ การกำหนดโมดูลัส. โมดูลของตัวเลข a จะเขียนเป็น นั่นคือทางซ้ายและทางขวาของตัวเลขเราจะใส่เส้นแนวตั้งที่เป็นเครื่องหมายของโมดูล ลองมาสองสามตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น โมดูโล -7 สามารถเขียนเป็น ; โมดูล 4,125 เขียนเป็น และโมดูลเขียนเป็น

คำจำกัดความต่อไปนี้ของโมดูลอ้างอิงถึง และถึง จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ในส่วนที่เป็นส่วนประกอบของชุดของจำนวนจริง เราจะพูดถึงโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนใน

คำนิยาม.

โมดูลัสของ aคือจำนวน a เอง ถ้า a เป็นจำนวนบวก หรือจำนวน −a ที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวน a ถ้า a เป็นจำนวนลบ หรือ 0 ถ้า a=0

คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขมักจะเขียนในรูปแบบต่อไปนี้ เครื่องหมายนี้หมายความว่า ถ้า a>0 , ถ้า a=0 และถ้า a<0 .

บันทึกสามารถแสดงในรูปแบบที่กะทัดรัดมากขึ้น . สัญลักษณ์นี้หมายความว่า ถ้า (a มากกว่าหรือเท่ากับ 0 ) และถ้า a<0 .

นอกจากนี้ยังมีบันทึก . ในที่นี้ ควรอธิบายกรณีที่ a=0 แยกจากกัน ในกรณีนี้ เรามี แต่ −0=0 เนื่องจากศูนย์ถือเป็นจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับตัวมันเอง

มาเลย ตัวอย่างการหาโมดูลัสของจำนวนด้วยคำจำกัดความที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ลองหาโมดูลของตัวเลข 15 และ เริ่มต้นด้วยการค้นหา เนื่องจากเลข 15 เป็นค่าบวก โมดูลัสของมันจึงเท่ากับจำนวนนี้ตามคำนิยาม นั่นคือ โมดูลัสของตัวเลขคืออะไร? เนื่องจากเป็นจำนวนลบ โมดูลัสของมันจะเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวน นั่นคือ จำนวน . ดังนั้น, .

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ เราให้ข้อสรุปเดียวซึ่งสะดวกมากในการนำไปใช้จริงเมื่อค้นหาโมดูลัสของตัวเลข จากนิยามโมดูลัสของจำนวนจะได้ดังนี้ โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับตัวเลขที่อยู่ใต้สัญลักษณ์ของโมดูลัสนั้น โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของมันและจากตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนมาก คำสั่งเสียงอธิบายว่าทำไมโมดูลัสของตัวเลขจึงถูกเรียกเช่นกัน ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข. ดังนั้นโมดูลัสของจำนวนและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจึงเป็นค่าเดียวกัน

โมดูลัสของตัวเลขเป็นระยะทาง

ในทางเรขาคณิต โมดูลัสของตัวเลขสามารถตีความได้ดังนี้ ระยะทาง. มาเลย การกำหนดโมดูลัสของจำนวนในรูปของระยะทาง.

คำนิยาม.

โมดูลัสของ aคือระยะทางจากจุดกำเนิดบนเส้นพิกัดถึงจุดที่ตรงกับตัวเลข a

คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่กำหนดในย่อหน้าแรก ขออธิบายประเด็นนี้ ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่ตรงกับจำนวนบวกเท่ากับจำนวนนี้ ศูนย์สอดคล้องกับจุดอ้างอิง ดังนั้นระยะทางจากจุดอ้างอิงไปยังจุดที่มีพิกัด 0 จะเท่ากับศูนย์ (ไม่มีส่วนเดียวและไม่มีส่วนใดที่เป็นเศษส่วนใด ๆ ของส่วนเดียวที่จำเป็นเพื่อให้ได้จากจุด O ไปยังจุดที่มี พิกัด 0). ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดเป็นลบจะเท่ากับจำนวนที่ตรงข้ามกับพิกัดของจุดที่กำหนด เนื่องจากมันจะเท่ากับระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดที่มีพิกัดเป็นเลขตรงข้าม

ตัวอย่างเช่น โมดูลัสของเลข 9 คือ 9 เนื่องจากระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดพิกัด 9 คือ 9 ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง จุดที่มีพิกัด −3.25 อยู่ที่ระยะ 3.25 จากจุด O ดังนั้น .

คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่ฟังดูเป็นกรณีพิเศษของการกำหนดโมดูลัสของผลต่างของตัวเลขสองตัว

คำนิยาม.

โมดูลัสผลต่างของตัวเลขสองตัว a และ b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดของเส้นพิกัดที่มีพิกัด a และ b

นั่นคือ ถ้ากำหนดจุดบนเส้นพิกัด A(a) และ B(b) ระยะห่างจากจุด A ถึงจุด B จะเท่ากับโมดูลัสของผลต่างระหว่างตัวเลข a และ b หากเราใช้จุด O (จุดอ้างอิง) เป็นจุด B เราจะได้คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขที่ระบุในตอนต้นของย่อหน้านี้

การหาโมดูลัสของตัวเลขโดยใช้รากที่สองเลขคณิต

บางครั้งก็พบ การหาค่าโมดูลัสผ่านรากที่สองทางคณิตศาสตร์.

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณโมดูลของตัวเลข −30 และยึดตามคำจำกัดความนี้ เรามี . ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณโมดูลัสของสองในสาม: .

คำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลขในรูปของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ก็สอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้เช่นกัน มาแสดงกันเถอะ ให้ a เป็นจำนวนบวก และให้ −a เป็นจำนวนลบ แล้ว และ ถ้า a=0 แล้ว .

คุณสมบัติของโมดูล

โมดูลนี้มีจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นลักษณะเฉพาะ - คุณสมบัติของโมดูล. ตอนนี้เราจะให้หลักและใช้บ่อยที่สุดของพวกเขา ในการพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้ เราจะอาศัยนิยามของโมดูลัสของตัวเลขในรูปของระยะทาง

เริ่มจากคุณสมบัติของโมดูลที่ชัดเจนที่สุด - โมดูลัสของจำนวนต้องไม่เป็นจำนวนลบ. ในรูปแบบตัวอักษร คุณสมบัตินี้มีรูปแบบสำหรับตัวเลขใดๆ a คุณสมบัตินี้ง่ายต่อการพิสูจน์: โมดูลัสของตัวเลขคือระยะทาง และระยะทางไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้

ไปที่คุณสมบัติถัดไปของโมดูล โมดูลัสของตัวเลขจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขนี้เป็นศูนย์. โมดูลัสของศูนย์คือศูนย์ตามนิยาม ศูนย์ตรงกับจุดกำเนิด ไม่มีจุดอื่นบนเส้นพิกัดที่ตรงกับศูนย์ เนื่องจากจำนวนจริงแต่ละจำนวนเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ด้วยเหตุผลเดียวกัน ตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์จะสัมพันธ์กับจุดอื่นที่ไม่ใช่จุดกำเนิด และระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดอื่นที่ไม่ใช่จุด O นั้นไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดสองจุดจะเท่ากับศูนย์หากจุดเหล่านี้ตรงกัน เหตุผลข้างต้นพิสูจน์ว่าโมดูลัสของศูนย์เท่านั้นที่มีค่าเท่ากับศูนย์

เดินหน้า. จำนวนตรงข้ามมีโมดูลเท่ากัน นั่นคือ สำหรับจำนวนใดๆ a แท้จริงแล้ว จุดสองจุดบนเส้นพิกัดซึ่งมีพิกัดเป็นตัวเลขตรงข้ามกันนั้นอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าโมดูลของตัวเลขตรงข้ามกันนั้นมีค่าเท่ากัน

คุณสมบัติโมดูลถัดไปคือ: โมดูลัสของผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของโมดูลของตัวเลขเหล่านี้, นั่นคือ, . ตามคำนิยาม โมดูลัสของผลคูณของจำนวน a และ b คือ a b ถ้า หรือ −(a b) ถ้า มันเป็นไปตามกฎการคูณจำนวนจริงที่ผลคูณของโมดูลีของตัวเลข a และ b เท่ากับ a b , , หรือ −(a b) , if ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติที่พิจารณา

โมดูลัสของผลหารของการหาร a ด้วย b เท่ากับผลหารของการหารโมดูลัสของ a ด้วยโมดูลัสของ b, นั่นคือ, . ให้เราปรับคุณสมบัตินี้ของโมดูล เนื่องจากผลหารเท่ากับผลคูณ ดังนั้น ด้วยอานิสงส์แห่งทรัพย์ก่อนเรามี . มันยังคงเป็นเพียงการใช้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งใช้ได้เนื่องจากคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

คุณสมบัติโมดูลต่อไปนี้เขียนเป็นอสมการ: , a , b และ c เป็นจำนวนจริงโดยพลการ อสมการที่เป็นลายลักษณ์อักษรไม่มีอะไรมากไปกว่า อสมการสามเหลี่ยม. เพื่อให้ชัดเจน ลองพิจารณาจุด A(a) , B(b) , C(c) บนเส้นพิกัด แล้วพิจารณาสามเหลี่ยม ABC ที่เสื่อมลง ซึ่งมีจุดยอดอยู่บนเส้นเดียวกัน ตามคำนิยาม โมดูลัสของความแตกต่างจะเท่ากับความยาวของส่วน AB - ความยาวของส่วน AC และ - ความยาวของส่วน CB เนื่องจากความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมไม่เกินผลบวกของความยาวของอีกสองด้าน ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันจึงเกิดขึ้นเช่นกัน

ความไม่เท่าเทียมกันที่เพิ่งพิสูจน์พบได้ทั่วไปในรูปแบบ . ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรมักถูกพิจารณาว่าเป็นคุณสมบัติแยกต่างหากของโมดูลที่มีการกำหนด: “ โมดูลัสของผลรวมของตัวเลขสองตัวไม่เกินผลรวมของโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้". แต่อสมการจะตามมาจากอสมการโดยตรง ถ้าเราใส่ −b แทน b ลงไป และหา c=0

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

มาให้ การหาค่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน. ให้เราได้รับ จำนวนเชิงซ้อนซึ่งเขียนในรูปพีชคณิต โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริงบางส่วน ซึ่งแทนส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z ที่กำหนดตามลำดับ และเป็นหน่วยจินตภาพ

เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์นี้จะช่วยคุณ แก้สมการหรืออสมการด้วยโมดูล. โปรแกรมสำหรับ การแก้สมการและอสมการด้วยโมดูลไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังนำไปสู่ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย, เช่น. แสดงขั้นตอนการได้รับผลลัพธ์

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในการเตรียมตัวสำหรับการทดสอบและการสอบ เมื่อทำการทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State สำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมของคุณเองและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้ ในขณะที่ระดับการศึกษาในสาขางานที่ต้องแก้ไขจะเพิ่มขึ้น

|x| หรือ abs(x) - โมดูล x

ป้อนสมการหรืออสมการด้วยโมดูลี

แก้สมการหรืออสมการ

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

คุณปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อให้โซลูชันปรากฏขึ้น
นี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหาคำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ไขจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มข้อเสนอแนะ
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร ป้อนในฟิลด์.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

สมการและอสมการด้วยโมดูล

ในหลักสูตรพีชคณิตขั้นพื้นฐานของโรงเรียน คุณสามารถหาสมการและอสมการที่ง่ายที่สุดด้วยโมดูลต่างๆ ในการแก้โจทย์ คุณสามารถใช้วิธีการทางเรขาคณิตตามข้อเท็จจริงที่ว่า \(|x-a| \) คือระยะทางบนเส้นจำนวนระหว่างจุด x และ a: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). ตัวอย่างเช่น ในการแก้สมการ \(|x-3|=2 \) คุณต้องหาจุดบนเส้นจำนวนที่อยู่ห่างจากจุดที่ 3 เป็นระยะทาง 2 จุด มีสองจุด: \(x_1=1 \) และ \(x_2=5 \)

การแก้อสมการ \(|2x+7|

แต่วิธีหลักในการแก้สมการและอสมการด้วยโมดูลนั้นเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่า "การขยายโมดูลตามคำจำกัดความ":
ถ้า \(a \geq 0 \) แล้ว \(|a|=a \);
ถ้า \(a ตามกฎแล้ว สมการ (อสมการ) ที่มีโมดูลจะลดลงเป็นชุดของสมการ (อสมการ) ที่ไม่มีเครื่องหมายของโมดูล

นอกเหนือจากคำจำกัดความข้างต้นแล้ว ยังมีการใช้การยืนยันต่อไปนี้:
1) ถ้า \(c > 0 \) ดังนั้นสมการ \(|f(x)|=c \) จะเทียบเท่ากับชุดสมการ: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(อาร์เรย์)\right.\)
2) ถ้า \(c > 0 \) ดังนั้นอสมการ \(|f(x)| 3) ถ้า \(c \geq 0 \) ดังนั้นอสมการ \(|f(x)| > c \) คือ เทียบเท่ากับเซตของอสมการ : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) ถ้าทั้งสองส่วนของอสมการ \(f(x) ตัวอย่าง 1. แก้สมการ \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \)

ถ้า \(x-1 \geq 0 \) ดังนั้น \(|x-1| = x-1 \) และสมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \ลูกศรขวา x^2 +2x -8 = 0 \)
ถ้า \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \ลูกศรขวา x^2 -2x -4 = 0 \)
ดังนั้น สมการที่กำหนดควรพิจารณาแยกกันในแต่ละกรณีทั้งสองกรณี
1) ให้ \(x-1 \geq 0 \), เช่น \(x \geq 1 \) จากสมการ \(x^2 +2x -8 = 0 \) เราพบ \(x_1=2, \; x_2=-4\) เงื่อนไข \(x \geq 1 \) เป็นไปตามค่า \(x_1=2\) เท่านั้น
2) ให้ \(x-1 คำตอบ: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ตัวอย่าง 2. แก้สมการ \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \)

วิธีแรก(การขยายโมดูลตามคำจำกัดความ)
ตามตัวอย่างที่ 1 เราสรุปได้ว่าสมการที่กำหนดจะต้องพิจารณาแยกกันภายใต้เงื่อนไขสองข้อ: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) หรือ \(x^2-6x+7

1) ถ้า \(x^2-6x+7 \geq 0 \) จากนั้น \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) และสมการที่กำหนดจะกลายเป็น \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \ลูกศรขวา 3x^2-23x+30=0 \) การแก้สมการกำลังสองนี้ เราจะได้: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \)
มาดูกันว่าค่า \(x_1=6 \) ตรงตามเงื่อนไข \(x^2-6x+7 \geq 0 \) หรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนค่าที่ระบุลงในอสมการกำลังสอง เราได้รับ: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), เช่น \(7 \geq 0 \) เป็นอสมการที่ถูกต้อง ดังนั้น \(x_1=6 \) จึงเป็นรากของสมการที่กำหนด
มาดูกันว่าค่า \(x_2=\frac(5)(3) \) ตรงตามเงื่อนไข \(x^2-6x+7 \geq 0 \) หรือไม่ ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนค่าที่ระบุลงในอสมการกำลังสอง เราได้รับ: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), เช่น \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) เป็นอสมการที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้น \(x_2=\frac(5)(3) \) จึงไม่ใช่รากของสมการที่กำหนด

2) ถ้า \(x^2-6x+7 ค่า \(x_3=3\) ตรงตามเงื่อนไข \(x^2-6x+7 ค่า \(x_4=\frac(4)(3) \) ไม่ ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข \ (x^2-6x+7 ดังนั้น สมการที่กำหนดจึงมีสองราก: \(x=6, \; x=3 \)

วิธีที่สองกำหนดสมการ \(|f(x)| = h(x) \) จากนั้นสำหรับ \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(อาร์เรย์)\right. \)
สมการทั้งสองนี้แก้ไขได้ข้างต้น (ด้วยวิธีแรกในการแก้สมการที่กำหนด) รากของสมการมีดังนี้ \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). เงื่อนไข \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ของค่าทั้งสี่นี้มีค่าเพียงสองค่าเท่านั้น: 6 และ 3 ดังนั้น สมการที่กำหนดจึงมีสองราก: \(x=6, \; x=3 \ )

วิธีที่สาม(กราฟิก).
1) ลองพล็อตฟังก์ชัน \(y = |x^2-6x+7| \) ก่อนอื่น เราสร้างพาราโบลา \(y = x^2-6x+7\) เรามี \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) กราฟของฟังก์ชัน \(y = (x-3)^2-2 \) สามารถหาได้จากกราฟของฟังก์ชัน \(y = x^2 \) โดยเลื่อนหน่วยมาตราส่วนไปทางขวา 3 หน่วย (บน แกน x) และ 2 หน่วยสเกลลง (ตามแกน y) เส้นตรง x=3 คือแกนของพาราโบลาที่เราสนใจ เป็นจุดควบคุมสำหรับการลงจุดที่แม่นยำยิ่งขึ้น สะดวกที่จะใช้จุด (3; -2) - ด้านบนของพาราโบลา จุด (0; 7) และจุด (6; 7) ที่สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน ของพาราโบลา
ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน \(y = |x^2-6x+7| \) คุณต้องไม่เปลี่ยนแปลงส่วนเหล่านั้นของพาราโบลาที่สร้างขึ้นซึ่งไม่ได้อยู่ใต้แกน x และสะท้อนส่วนของ พาราโบลาที่อยู่ใต้แกน x รอบแกน x
2) ลองพล็อตฟังก์ชันเชิงเส้น \(y = \frac(5x-9)(3) \) สะดวกในการใช้คะแนน (0; –3) และ (3; 2) เป็นจุดควบคุม

จำเป็นอย่างยิ่งที่จุด x \u003d 1.8 ของจุดตัดของเส้นตรงกับแกน abscissa นั้นตั้งอยู่ทางด้านขวาของจุดตัดด้านซ้ายของพาราโบลาที่มีแกน abscissa - นี่คือจุด \(x=3-\ sqrt(2) \) (เนื่องจาก \(3-\sqrt(2 ) ) 3) ตัดสินจากการวาด กราฟตัดกันที่จุดสองจุด - A (3; 2) และ B (6; 7) การแทนที่ abscissas เหล่านี้ จุด x \u003d 3 และ x \u003d 6 ในสมการที่กำหนด เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองค่าอื่นให้ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงได้รับการยืนยัน - สมการมีสองราก: x \u003d 3 และ x \u003d 6 . คำตอบ: 3; 6.

ความคิดเห็น. วิธีการแบบกราฟิกสำหรับความสง่างามทั้งหมดนั้นไม่น่าเชื่อถือมากนัก ในตัวอย่างที่พิจารณา มันได้ผลเพียงเพราะรากของสมการเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง 3. แก้สมการ \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

วิธีแรก
นิพจน์ 2x–4 กลายเป็น 0 ที่จุด x = 2 และนิพจน์ x + 3 ที่จุด x = –3 จุดทั้งสองนี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง: \(x

พิจารณาช่วงเวลาแรก: \((-\infty; \; -3) \)
ถ้า x พิจารณาช่วงที่สอง: \([-3; \; 2) \)
ถ้า \(-3 \leq x พิจารณาช่วงที่สาม: \()