ค้นหาโหนดและโหนดสาม Nod และ nok of Numbers - ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวน

มาเริ่มศึกษาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สองตัวขึ้นไปกัน ในหัวข้อนี้ เราจะให้คำจำกัดความของคำศัพท์ พิจารณาทฤษฎีบทที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมาก และยกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวคูณทั่วไป - คำจำกัดความ, ตัวอย่าง

ในหัวข้อนี้ เราจะสนใจเฉพาะผลคูณร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์

คำจำกัดความ 1

ตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของจำนวนที่กำหนดทั้งหมด อันที่จริงแล้ว มันคือจำนวนเต็มใดๆ ที่สามารถหารด้วยจำนวนที่กำหนด

คำจำกัดความของผลคูณร่วมหมายถึงจำนวนเต็มสอง สาม หรือมากกว่านั้น

ตัวอย่างที่ 1

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นสำหรับหมายเลข 12 ตัวคูณร่วมคือ 3 และ 2 นอกจากนี้ เลข 12 จะเป็นตัวคูณร่วมของเลข 2 , 3 และ 4 ตัวเลข 12 และ -12 เป็นผลคูณร่วมของตัวเลข ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

ในขณะเดียวกัน ตัวคูณร่วมของเลข 2 และ 3 จะเป็นเลข 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 และ ทั้งเส้นอื่นๆ

หากเรานำตัวเลขที่หารด้วยจำนวนแรกของคู่และหารด้วยสองไม่ลงตัว จำนวนดังกล่าวจะไม่เป็นตัวคูณร่วม ดังนั้น สำหรับเลข 2 และ 3 เลข 16 , − 27 , 5009 , 27001 จะไม่เป็นตัวคูณร่วม

0 เป็นจำนวนเต็มร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ชุดใดๆ

หากเราระลึกถึงคุณสมบัติของการหารด้วยความเคารพ เลขตรงข้ามปรากฎว่าจำนวนเต็ม k บางตัวจะเป็นผลคูณร่วมของตัวเลขเหล่านี้ในลักษณะเดียวกับจำนวน - k ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมกันสามารถเป็นบวกหรือลบก็ได้

เป็นไปได้ไหมที่จะหา LCM สำหรับตัวเลขทั้งหมด

สามารถหาตัวคูณร่วมสำหรับจำนวนเต็มใดๆ

ตัวอย่างที่ 2

สมมติว่าเราได้รับ เคจำนวนเต็ม ก 1 , ก 2 , … , ก. จำนวนที่เราได้รับระหว่างการคูณตัวเลข ก 1 ก 2 … ก กตามคุณสมบัติการหาร มันจะถูกหารด้วยแต่ละปัจจัยที่รวมอยู่ในผลิตภัณฑ์ดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าผลคูณของตัวเลข ก 1 , ก 2 , … , กคือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

จำนวนเต็มเหล่านี้สามารถมีตัวคูณร่วมได้กี่ตัว?

กลุ่มของจำนวนเต็มสามารถมีได้ จำนวนมากตัวคูณร่วม ในความเป็นจริงจำนวนของพวกเขาไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่าเรามีเลข k สักตัว จากนั้นผลคูณของตัวเลข k · z โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม จะเป็นผลคูณร่วมของจำนวน k และ z เนื่องจากจำนวนนับไม่สิ้นสุด ดังนั้น จำนวนของผลคูณร่วมจึงเป็นอนันต์

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) - ความหมาย สัญลักษณ์ และตัวอย่าง

มาจำแนวคิดกัน จำนวนที่น้อยที่สุดจาก ชุดที่กำหนดตัวเลขที่เรากล่าวถึงในส่วนการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม เมื่อคำนึงถึงแนวคิดนี้แล้ว ให้เรากำหนดนิยามของตัวคูณร่วมน้อยซึ่งมีค่าที่ใช้งานได้จริงมากที่สุดในบรรดาตัวคูณร่วมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มที่กำหนดเป็นตัวคูณร่วมบวกน้อยของจำนวนเหล่านี้

ตัวคูณร่วมน้อยมีอยู่สำหรับจำนวนใดๆ ของจำนวนที่กำหนด ตัวย่อ NOK เป็นคำที่ใช้บ่อยที่สุดในการกำหนดแนวคิดในเอกสารอ้างอิง รายการสั้น ๆตัวคูณร่วมน้อยสำหรับจำนวน ก 1 , ก 2 , … , กจะมีลักษณะเหมือน LCM (เป็น 1 , เป็น 2 , … , เป็น k).

ตัวอย่างที่ 4

ตัวคูณร่วมน้อยของ 6 และ 7 คือ 42 เหล่านั้น. LCM(6, 7) = 42. ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสี่จำนวน - 2 , 12 , 15 และ 3 จะเท่ากับ 60 . ชวเลขจะเป็น LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

ไม่ใช่สำหรับทุกกลุ่มของจำนวนที่ระบุ ตัวคูณร่วมน้อยนั้นชัดเจน มักจะต้องมีการคำนวณ

ความสัมพันธ์ระหว่าง NOC และ NOD

ตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารมาก ตัวหารร่วมกันเชื่อมต่อกัน ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของจำนวน a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของจำนวน a และ b นั่นคือ LCM (a , b) = a b: gcd (a , ข) .

หลักฐาน 1

สมมติว่าเรามีเลข M ซึ่งเป็นผลคูณของเลข a และ b ถ้าจำนวน M หารด้วย a ลงตัว ก็จะมีจำนวนเต็ม z อยู่ด้วย , ภายใต้ความเท่าเทียมกัน M = a k. ตามนิยามของการหารลงตัว ถ้า M หารด้วย ขดังนั้นแล้ว กหารด้วย ข.

ถ้าเราแนะนำสัญกรณ์ใหม่สำหรับ gcd (a , b) เป็น งแล้วเราสามารถใช้การเท่ากันได้ ก = ก 1 งและ b = b 1 · d . ในกรณีนี้ การเท่ากันทั้งสองจะเป็นจำนวนโคไพรม์

เราได้กำหนดไว้แล้วข้างต้นนั้น กหารด้วย ข. ตอนนี้เงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
เอ 1 ดี เคหารด้วย ข 1 งซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไข ก. 1 กหารด้วย ข 1ตามคุณสมบัติของการหาร

ตามคุณสมบัติร่วมกัน จำนวนเฉพาะ, ถ้า 1และ ข 1เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน 1ไม่หารด้วย ข 1แม้จะมีความจริงที่ว่า ก. 1 กหารด้วย ข 1, แล้ว ข 1ควรแบ่งปัน เค.

ในกรณีนี้จะเหมาะสมที่จะถือว่ามีจำนวน ที, ซึ่ง k = b 1 tและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา b1=b:ง, แล้ว k = b: d t.

ตอนนี้แทน เคใส่ความเท่าเทียมกัน M = a kการแสดงออกของแบบฟอร์ม ข: d t. สิ่งนี้ทำให้เราได้มาซึ่งความเท่าเทียมกัน M = a b: d t. ที่ เสื้อ=1เราจะได้ตัวคูณร่วมบวกน้อยของ a และ b , เท่ากัน ก ข: งโดยที่ตัวเลข a และ b เชิงบวก.

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ได้ว่า LCM (a , b) = a b: GCD (ก,ข).

การสร้างการเชื่อมต่อระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณหาตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมากของตัวเลขที่กำหนดตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

นิยาม 3

ทฤษฎีบทมีผลลัพธ์ที่สำคัญสองประการ:

• ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนสองจำนวนจะเหมือนกับผลคูณร่วมของสองจำนวนนั้น
• ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกโคไพรม์ a และ b เท่ากับผลคูณของพวกมัน

ไม่ยากที่จะยืนยันข้อเท็จจริงทั้งสองนี้ ผลคูณร่วมใดๆ ของจำนวน M a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M = LCM (a, b) t สำหรับค่าจำนวนเต็ม t เนื่องจาก a และ b เป็นโคไพรม์ ดังนั้น gcd (a, b) = 1 ดังนั้น LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไป

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวน คุณต้องหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ

ทฤษฎีบท 2

ลองแกล้งทำเป็นว่า ก 1 , ก 2 , … , กเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขที่เป็นบวก. ในการคำนวณ LCM มตัวเลขเหล่านี้เราต้องคำนวณตามลำดับ ม.2 = LCM(ก 1 , ก 2) , ม 3 = นอค(ม. 2 , ก 3) , … , ม.k = นอค(ม. ค - 1 , ก.) .

หลักฐาน 2

ข้อพิสูจน์แรกของทฤษฎีบทแรกที่กล่าวถึงในหัวข้อนี้จะช่วยให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของทฤษฎีบทที่สอง การให้เหตุผลถูกสร้างขึ้นตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• จำนวนคูณร่วม 1และ 2ตรงกับผลคูณของ LCM อันที่จริงแล้วตรงกับผลคูณของจำนวน ตร.ม;
• จำนวนคูณร่วม 1, 2และ 3 ตร.มและ 3 ม.3;
• จำนวนคูณร่วม ก 1 , ก 2 , … , กตรงกับจำนวนทวีคูณทั่วไป เอ็มเค - 1และ กดังนั้น ตรงกับผลคูณของจำนวน ม;
• เนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของจำนวน มเป็นตัวเลขนั่นเอง มแล้วตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน ก 1 , ก 2 , … , กเป็น ม.

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบท

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) และตัวหารร่วมมาก (GCD) ของจำนวนธรรมชาติ

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) เราเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวเลขตัวแรกและเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 5 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สอง เราได้: 2*2*3*5*5=300 พบ NOC เช่น ผลรวมนี้ = 300 อย่าลืมมิติข้อมูลและเขียนคำตอบ:
คำตอบ: แม่ให้คนละ 300 รูเบิล

คำจำกัดความของ GCD:ตัวหารร่วมมาก (GCD)จำนวนธรรมชาติ กและ ในตั้งชื่อจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด ค, ซึ่ง และ ก, และ ขหารโดยไม่เหลือ เหล่านั้น. คเป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดสำหรับ and กและ ขเป็นทวีคูณ

การแจ้งเตือน:มีสองวิธีในการนิยามจำนวนธรรมชาติ

• ตัวเลขที่ใช้ใน: การแจงนับ (ลำดับเลข) ของรายการ (ที่หนึ่ง, สอง, สาม, ...); - ในโรงเรียนโดยปกติ.
• ระบุจำนวนรายการ (ไม่มีโปเกมอน - ศูนย์, หนึ่งโปเกมอน, โปเกมอนสองตัว, ... )

จำนวนที่เป็นลบและไม่ใช่จำนวนเต็ม (จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง ...) นั้นไม่เป็นธรรมชาติ ผู้เขียนบางคนรวมศูนย์ไว้ในชุดของจำนวนธรรมชาติ แต่บางคนก็ไม่ ชุดของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ เอ็น

การแจ้งเตือน:ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ กโทรไปที่หมายเลข ขซึ่ง กหารโดยไม่เหลือ ผลคูณของจำนวนธรรมชาติ ขเรียกว่าจำนวนธรรมชาติ กซึ่งแบ่งตาม ขอย่างไร้ร่องรอย ถ้าเบอร์ ข- ตัวหารจำนวน ก, แล้ว กหลายรายการ ข. ตัวอย่าง: 2 เป็นตัวหารของ 4 และ 4 เป็นตัวคูณของ 2 3 เป็นตัวหารของ 12 และ 12 เป็นผลคูณของ 3
การแจ้งเตือน:จำนวนธรรมชาติเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือด้วยตัวมันเองและด้วย 1 โคไพรม์คือจำนวนที่มีตัวหารร่วมกันเพียงตัวเดียวเท่ากับ 1

การกำหนดวิธีค้นหา GCD ใน กรณีทั่วไป: การหา GCD (ตัวหารร่วมมาก)จำเป็นต้องใช้จำนวนธรรมชาติหลายตัว:
1) แบ่งพวกมันออกเป็น ปัจจัยสำคัญ. (แผนภูมิจำนวนเฉพาะมีประโยชน์มากในเรื่องนี้)
2) เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายหนึ่งในนั้น
3) ลบสิ่งที่ไม่รวมอยู่ในการขยายจำนวนที่เหลือ
4) คูณปัจจัยที่ได้รับในวรรค 3)

ภารกิจที่ 2 บน (NOK):ภายในปีใหม่ Kolya Puzatov ซื้อแฮมสเตอร์ 48 ตัวและหม้อกาแฟ 36 ใบในเมือง Fekla Dormidontova ในฐานะเด็กสาวที่ซื่อสัตย์ที่สุดในชั้นเรียน ได้รับมอบหมายให้แบ่งทรัพย์สินนี้ออกเป็นชุดของขวัญจำนวนมากที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับครู จำนวนชุดคืออะไร? องค์ประกอบของชุดคืออะไร?

ตัวอย่าง 2.1 แก้ปัญหาการค้นหา GCD ค้นหา GCD โดยการเลือก
วิธีการแก้:แต่ละหมายเลข 48 และ 36 ต้องหารด้วยจำนวนของขวัญ
1) เขียนตัวหาร 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) เขียนตัวหาร 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 เลือกตัวหารร่วมมาก อป-ลา-ลา! พบแล้ว จำนวนชุดละ 12 ชิ้น
3) หาร 48 ด้วย 12 เราได้ 4 หาร 36 ด้วย 12 เราได้ 3 อย่าลืมมิติข้อมูลและเขียนคำตอบ:
คำตอบ: คุณจะได้รับแฮมสเตอร์ 4 ตัว 12 ชุดและหม้อกาแฟ 3 ใบในแต่ละชุด

เนื้อหาที่แสดงด้านล่างเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของทฤษฎีจากบทความภายใต้หัวข้อ LCM - ตัวคูณร่วมน้อย, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง, ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ในที่นี้จะกล่าวถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM), และ ความสนใจเป็นพิเศษลองมาดูตัวอย่างกัน ก่อนอื่นให้เราแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวในแง่ของ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป ให้พิจารณาหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนั้นเราจะมุ่งเน้นไปที่การค้นหา LCM ของสามและ มากกว่าตัวเลขและให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของตัวเลขเชิงลบ

การนำทางหน้า

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

วิธีหนึ่งในการหาตัวคูณร่วมน้อยขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัวผ่านตัวหารร่วมมากที่รู้จัก สูตรที่เกี่ยวข้องมีรูปแบบ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . พิจารณาตัวอย่างการหา LCM ตามสูตรข้างต้น

ตัวอย่าง.

หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสองตัว 126 และ 70

วิธีการแก้.

ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 . ให้เราใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ที่แสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). นั่นคือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 หลังจากนั้นเราสามารถคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้ตามสูตรที่เขียนไว้

ค้นหา gcd(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 ดังนั้น gcd(126, 70)=14

ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็น: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

ตอบ:

LCM(126, 70)=630 .

ตัวอย่าง.

LCM(68, 34) คืออะไร ?

วิธีการแก้.

เพราะ 68 หารด้วย 34 ลงตัวแล้ว gcd(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

ตอบ:

LCM(68, 34)=68 .

โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้ตรงกับกฎต่อไปนี้สำหรับการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b : ถ้าจำนวน a หารด้วย b ลงตัว ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้คือ a

การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

อีกวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อยคือการแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเราสร้างผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ หลังจากนั้นเราไม่รวมตัวประกอบเฉพาะทั่วไปทั้งหมดที่มีอยู่ในการขยายของตัวเลขเหล่านี้ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลคูณที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

กฎที่ประกาศสำหรับการค้นหา LCM ต่อจากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). อันที่จริง ผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องในการขยายจำนวน a และ b ในทางกลับกัน gcd(a, b) มีค่าเท่ากับสินค้าตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายของตัวเลข a และ b (ซึ่งอธิบายไว้ในส่วนการค้นหา GCD โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ)

ลองมาเป็นตัวอย่าง ให้เรารู้ว่า 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . ประกอบผลคูณของปัจจัยทั้งหมดของส่วนขยายเหล่านี้: 2 3 3 5 5 5 7 . ตอนนี้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ทั้งในการขยายหมายเลข 75 และในการขยายหมายเลข 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2 3 5 5 7 . มูลค่าของผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน 75 และ 210 นั่นคือ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

ตัวอย่าง.

หลังจากแยกตัวประกอบของจำนวน 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้ว ให้หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

วิธีการแก้.

มาแยกย่อยตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เราได้ 441=3 3 7 7 และ 700=2 2 5 5 7 .

ทีนี้มาสร้างผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 7 ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในส่วนขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ทางนี้, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

ตอบ:

LCM(441, 700)= 44 100 .

กฎสำหรับการค้นหา LCM โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญสามารถกำหนดแตกต่างกันเล็กน้อย ถ้าเราบวกตัวประกอบที่หายไปจากการขยายจำนวน b เข้ากับตัวประกอบจากการขยายจำนวน a ค่าของผลิตภัณฑ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน a และ b.

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลขเดียวกันทั้งหมด 75 และ 210 การขยายเป็นปัจจัยเฉพาะมีดังนี้: 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . สำหรับปัจจัย 3, 5 และ 5 จากการสลายตัวของหมายเลข 75 เราเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการสลายตัวของตัวเลข 210 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 3 5 5 7 ค่าที่เป็น LCM(75 , 210) .

ตัวอย่าง.

หาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

วิธีการแก้.

อันดับแรก เราได้รับการแยกย่อยของตัวเลข 84 และ 648 เป็นตัวประกอบเฉพาะ พวกมันดูเหมือน 84=2 2 3 7 และ 648=2 2 2 3 3 3 3 สำหรับปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 จากการสลายตัวของหมายเลข 84 เราได้เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไป 2 , 3 , 3 และ 3 จากการสลายตัวของหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 , ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของจำนวน 84 และ 648 คือ 4,536

ตอบ:

LCM(84, 648)=4 536 .

การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปสามารถหาได้โดยการหา LCM ของจำนวนสองจำนวนอย่างต่อเนื่อง ระลึกถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง ซึ่งให้วิธีค้นหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ทฤษฎีบท.

ให้จำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , …, a k จะได้รับ ตัวคูณร่วมน้อย m k ของจำนวนเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

พิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้กับตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสี่จำนวน

ตัวอย่าง.

ค้นหา LCM ของสี่หมายเลข 140 , 9 , 54 และ 250

วิธีการแก้.

ในตัวอย่างนี้ a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250

ก่อนอื่นเราพบ ม. 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). ในการทำเช่นนี้ โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เรากำหนด gcd(140, 9) เรามี 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 ดังนั้น gcd( 140, 9)=1 มาจากไหน LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . นั่นคือ ม.2 =1 260 .

ตอนนี้เราพบ ม. 3 \u003d LCM (ม. 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). ลองคำนวณผ่าน gcd(1 260, 54) ซึ่งกำหนดโดยอัลกอริทึมยุคลิดเช่นกัน: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 จากนั้น gcd(1 260, 54)=18 ดังนั้น LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 นั่นคือ ม. 3 \u003d 3 780

ซ้ายเพื่อค้นหา ม. 4 \u003d LCM (ม. 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). ในการทำเช่นนี้ เราพบ GCD(3 780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . ดังนั้น gcd(3 780, 250)=10 ดังนั้น gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . นั่นคือ ม. 4 \u003d 94 500

ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของสี่จำนวนเดิมคือ 94,500

ตอบ:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

ในหลายกรณี ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไปหาได้สะดวกโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่กำหนด ในกรณีนี้ควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวนมีค่าเท่ากับผลคูณ ประกอบด้วย ตัวประกอบที่ขาดจากการขยายจำนวนที่สองบวกเข้ากับตัวประกอบทั้งหมดจากการขยายจำนวนที่หนึ่ง, ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายของ ตัวเลขที่สามจะถูกเพิ่มเข้าไปในปัจจัยที่ได้รับ และอื่น ๆ

พิจารณาตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกจำนวนออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ

ตัวอย่าง.

หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนห้าจำนวน 84 , 6 , 48 , 7 , 143

วิธีการแก้.

อันดับแรก เราได้รับการขยายของตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 ตัวประกอบเฉพาะ) และ 143=11 13

ในการค้นหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้ คุณต้องเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายของตัวเลขที่สองไปยังตัวประกอบของตัวเลขตัวแรก (คือ 2 , 2 , 3 และ 7 ) การขยายหมายเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไป เนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการขยายหมายเลขแรก 84 . นอกเหนือจากตัวประกอบ 2 , 2 , 3 และ 7 เราเพิ่มตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สาม 48 เราจะได้ชุดของปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 . ไม่จำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยให้กับชุดนี้ในขั้นตอนถัดไป เนื่องจากมี 7 อยู่ในนั้นแล้ว สุดท้าย ปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 11 และ 13 จากการขยายจำนวน 143 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 2 3 7 11 13 ซึ่งเท่ากับ 48 048 .

พิจารณาสามวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย

การหาโดยการแยกตัวประกอบ

วิธีแรกคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการแยกตัวประกอบของตัวเลขที่กำหนดเป็นตัวประกอบเฉพาะ

สมมติว่าเราต้องการหา LCM ของตัวเลข: 99, 30 และ 28 ในการทำเช่นนี้ เราจะแยกตัวเลขเหล่านี้ออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เพื่อให้จำนวนที่ต้องการหารด้วย 99, 30 และ 28 ลงตัว มีความจำเป็นและเพียงพอที่รวมตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวหารเหล่านี้ ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องนำปัจจัยเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ไปหากำลังที่เกิดขึ้นสูงสุดและคูณเข้าด้วยกัน:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

ดังนั้น LCM (99, 30, 28) = 13,860 ไม่มีจำนวนอื่นใดที่น้อยกว่า 13,860 ที่หารด้วย 99, 30 หรือ 28 ลงตัว

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด คุณต้องแยกตัวประกอบเหล่านั้นให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นนำตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดมาคูณตัวประกอบเหล่านี้เข้าด้วยกัน

เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน ตัวคูณร่วมน้อยของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสามตัว: 20, 49 และ 33 เป็นโคไพรม์ นั่นเป็นเหตุผล

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340

ควรทำเช่นเดียวกันเมื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเฉพาะต่างๆ ตัวอย่างเช่น LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231

การหาโดยการเลือก

วิธีที่สองคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการลงตัว

ตัวอย่างที่ 1 เมื่อจำนวนที่กำหนดให้หารด้วยจำนวนอื่นๆ ลงตัว LCM ของจำนวนเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนที่มากกว่า ตัวอย่างเช่น ให้ตัวเลขสี่ตัว: 60, 30, 10 และ 6 แต่ละตัวเลขหารด้วย 60 ดังนั้น:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

ในกรณีอื่นๆ ในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย จะใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. กำหนดจำนวนที่มากที่สุดจากจำนวนที่กำหนด
2. ต่อไปให้หาตัวเลขที่เป็นทวีคูณ จำนวนมากที่สุดคูณด้วย จำนวนเต็มจากน้อยไปมากและตรวจสอบว่าจำนวนที่เหลือหารด้วยผลลัพธ์ที่ได้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดสามหมายเลข 24, 3 และ 18 กำหนดจำนวนที่มากที่สุด - นี่คือหมายเลข 24 จากนั้นค้นหาผลคูณของ 24 ตรวจสอบว่าแต่ละรายการหารด้วย 18 และ 3 ลงตัวหรือไม่:

24 1 = 24 หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 18 ไม่ลงตัว

24 2 = 48 - หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 18 ไม่ลงตัว

24 3 \u003d 72 - หารด้วย 3 และ 18 ลงตัว

ดังนั้น LCM(24, 3, 18) = 72

การค้นหาตามลำดับการหา LCM

วิธีที่สามคือการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการค้นหา LCM อย่างต่อเนื่อง

LCM ของตัวเลขที่กำหนดสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้หารด้วยตัวหารร่วมมาก

ตัวอย่างที่ 1 หา LCM ของตัวเลขสองตัว: 12 และ 8 หาตัวหารร่วมมาก: GCD (12, 8) = 4 คูณตัวเลขเหล่านี้:

เราแบ่งผลิตภัณฑ์ออกเป็น GCD:

ดังนั้น LCM(12, 8) = 24

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป จะใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ขั้นแรก ให้หา LCM ของตัวเลขที่กำหนดสองตัว
2. จากนั้น LCM ของตัวคูณร่วมน้อยที่พบและตัวที่สาม หมายเลขที่กำหนด.
3. จากนั้น LCM ของตัวคูณร่วมน้อยที่เป็นผลลัพธ์และจำนวนที่สี่ เป็นต้น
4. ดังนั้นการค้นหา LCM จะดำเนินต่อไปตราบเท่าที่มีตัวเลขอยู่

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา LCM สามข้อมูลตัวเลข: 12, 8 และ 9 LCM ของตัวเลข 12 และ 8 เราพบแล้วในตัวอย่างก่อนหน้า (นี่คือหมายเลข 24) ยังคงต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของ 24 และจำนวนที่สามที่กำหนด - 9 กำหนดตัวหารร่วมมาก: gcd (24, 9) = 3 คูณ LCM ด้วยเลข 9:

เราแบ่งผลิตภัณฑ์ออกเป็น GCD:

ดังนั้น LCM(12, 8, 9) = 72

GCD เป็นตัวหารร่วมมาก

ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนหลายตัว:

• กำหนดปัจจัยทั่วไปของตัวเลขทั้งสอง
• หาผลคูณของปัจจัยร่วม

ตัวอย่างการค้นหา GCD:

ค้นหา GCD ของตัวเลข 315 และ 245

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. เขียนตัวประกอบร่วมของตัวเลขทั้งสอง:

3. ค้นหาผลคูณของปัจจัยทั่วไป:

gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

คำตอบ: GCD(315; 245) = 35.

ค้นหา NOC

LCM เป็นตัวคูณร่วมน้อย

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวน:

• แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
• เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวของตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
• เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายหมายเลขที่สอง
• หาผลคูณของเหตุปัจจัย

ตัวอย่างการค้นหา NOC:

ค้นหา LCM ของตัวเลข 236 และ 328:

1. เราแยกย่อยตัวเลขเป็นปัจจัยสำคัญ:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งและเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่สอง:

2; 2; 59; 2; 41.

3. ค้นหาผลคูณของปัจจัยที่เป็นผลลัพธ์:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352

คำตอบ: LCM(236; 328) = 19352

ในการหา GCD (ตัวหารร่วมมาก) ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

2. ค้นหา (ขีดเส้นใต้) ปัจจัยสำคัญทั่วไปทั้งหมดในส่วนขยายที่ได้รับ

3. ค้นหาผลคูณของปัจจัยเฉพาะร่วมกัน

ในการหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

1. แยกย่อยตัวเลขเหล่านี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

2. เสริมการขยายตัวของหนึ่งในนั้นด้วยปัจจัยของการขยายตัวของอีกจำนวนหนึ่งซึ่งไม่ได้อยู่ในการขยายตัวของจำนวนแรก

3. คำนวณผลคูณของปัจจัยที่ได้รับ