ค้นหาคำตอบของเมทริกซ์ผกผัน เมทริกซ์ผกผันและคุณสมบัติของมัน

เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนดคือเมทริกซ์ดังกล่าว การคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมซึ่งให้เมทริกซ์เอกลักษณ์: เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีเมทริกซ์ผกผันคือความไม่เท่าเทียมกันของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม (ซึ่ง แสดงว่าเมทริกซ์ต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ จะเรียกว่าเสื่อมและเมทริกซ์ดังกล่าวไม่มีการผกผัน ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง เมทริกซ์ผกผันมีความสำคัญและใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ตัวอย่างเช่นเมื่อ การหาเมทริกซ์ผกผันมีการสร้างเมทริกซ์เมธอดสำหรับการแก้ระบบสมการ ไซต์บริการของเราอนุญาต คำนวณผกผันเมทริกซ์ออนไลน์สองวิธี: วิธี Gauss-Jordan และการใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต ประการแรกแสดงถึงการแปลงเบื้องต้นจำนวนมากภายในเมทริกซ์ ประการที่สอง - การคำนวณตัวกำหนดและการเพิ่มพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมด ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออนไลน์ คุณสามารถใช้บริการอื่นของเรา - การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออนไลน์

.

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันบนเว็บไซต์

เว็บไซต์ช่วยให้คุณค้นหา เมทริกซ์ผกผันออนไลน์รวดเร็วและฟรี ในเว็บไซต์ บริการของเราทำการคำนวณและแสดงผลลัพธ์พร้อมโซลูชันโดยละเอียดสำหรับการค้นหา เมทริกซ์ผกผัน. เซิร์ฟเวอร์จะให้คำตอบที่แน่นอนและถูกต้องเสมอ ในงานตามความหมาย เมทริกซ์ผกผันออนไลน์มันเป็นสิ่งจำเป็นที่ปัจจัย เมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ มิฉะนั้น เว็บไซต์จะรายงานความเป็นไปไม่ได้ในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมมีค่าเท่ากับศูนย์ หางาน เมทริกซ์ผกผันพบได้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดของพีชคณิตและเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในปัญหาประยุกต์ เป็นอิสระ นิยามเมทริกซ์ผกผันต้องใช้ความพยายามอย่างมาก เวลามาก การคำนวณและการดูแลอย่างดีเพื่อไม่ให้การคำนวณผิดพลาดหรือผิดพลาดเล็กน้อย ดังนั้นบริการของเรา การหาเมทริกซ์ผกผันออนไลน์จะช่วยให้งานของคุณง่ายขึ้นมากและจะกลายเป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าคุณจะ ค้นหาเมทริกซ์ผกผันด้วยตัวคุณเอง เราขอแนะนำให้ตรวจสอบโซลูชันของคุณบนเซิร์ฟเวอร์ของเรา ป้อนเมทริกซ์ดั้งเดิมของคุณใน Calculate Inverse Matrix Online และตรวจสอบคำตอบของคุณ ระบบของเราไม่เคยผิดพลาดและพบ เมทริกซ์ผกผันขนาดที่กำหนดในโหมด ออนไลน์ทันที! ออนไลน์ เว็บไซต์อนุญาตให้ป้อนอักขระในองค์ประกอบ เมทริกซ์, ในกรณีนี้ เมทริกซ์ผกผันออนไลน์จะนำเสนอในรูปแบบสัญลักษณ์ทั่วไป

สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่เอกฐานใดๆ จะมีเมทริกซ์ A -1 เฉพาะอยู่เช่นนั้น

ก*ก -1 =ก -1 *ก = E,

โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกับ A เมทริกซ์ A -1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์ A

ถ้ามีคนลืม ในเมทริกซ์เอกลักษณ์ ยกเว้นเส้นทแยงมุมที่เต็มไปด้วย 1 ตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกเติมด้วยศูนย์ ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์:

การหาเมทริกซ์ผกผันด้วยวิธีเมทริกซ์ประชิด

เมทริกซ์ผกผันถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ A ij - องค์ประกอบ a ij .

เหล่านั้น. ในการคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์ คุณต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้ จากนั้นค้นหาการเพิ่มพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดและสร้างเมทริกซ์ใหม่จากองค์ประกอบเหล่านั้น ถัดไป คุณต้องขนส่งเมทริกซ์นี้ และหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ใหม่ด้วยดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เดิม

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ค้นหา A -1 สำหรับเมทริกซ์

วิธีแก้ไข หา A -1 โดยเมทริกซ์ประชิด เรามี det A = 2 ให้เราหาส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A ในกรณีนี้ ส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์จะเป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์เอง โดยมีเครื่องหมายตาม สูตร

เรามี A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2 เราสร้างเมทริกซ์ติดกัน

เราขนส่งเมทริกซ์ A*:

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:

เราได้รับ:

ใช้วิธีการเมทริกซ์ติดกันเพื่อค้นหา A -1 ถ้า

วิธีแก้ไข ก่อนอื่น เราคำนวณเมทริกซ์ที่กำหนดเพื่อให้แน่ใจว่ามีเมทริกซ์ผกผัน เรามี

ที่นี่เราได้เพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สามลงในองค์ประกอบของแถวที่สอง คูณก่อนหน้านี้ด้วย (-1) จากนั้นขยายดีเทอร์มิแนนต์ด้วยแถวที่สอง เนื่องจากคำจำกัดความของเมทริกซ์นี้แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่ ในการสร้างเมทริกซ์ประชิด เราจะหาการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์นี้ เรามี

ตามสูตร

เราขนส่งเมทริกซ์ A*:

แล้วตามสูตร

การหาเมทริกซ์ผกผันด้วยวิธีการแปลงเบื้องต้น

นอกจากวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันซึ่งต่อจากสูตร (วิธีเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง) แล้ว ยังมีวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันที่เรียกว่า วิธีการแปลงมูลฐาน

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น

การแปลงต่อไปนี้เรียกว่าการแปลงเมทริกซ์มูลฐาน:

1) การเปลี่ยนแปลงของแถว (คอลัมน์);

2) การคูณแถว (คอลัมน์) ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

3) การเพิ่มองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของแถวอื่น (คอลัมน์) ก่อนหน้านี้คูณด้วยจำนวนที่แน่นอน

ในการค้นหาเมทริกซ์ A -1 เราสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้า B \u003d (A | E) ของคำสั่ง (n; 2n) โดยกำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ให้กับเมทริกซ์ A ทางด้านขวาผ่านเส้นแบ่ง:

พิจารณาตัวอย่าง

ใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น หา A -1 ถ้า

วิธีแก้ปัญหา เราสร้างเมทริกซ์ B:

แสดงแถวของเมทริกซ์ B ถึง α 1 , α 2 , α 3 มาทำการแปลงต่อไปนี้ในแถวของเมทริกซ์ B

เมทริกซ์ A -1 เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันที่เกี่ยวกับเมทริกซ์ A ถ้า A * A -1 \u003d E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n เมทริกซ์ผกผันสามารถมีได้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น

การกำหนดบริการ. เมื่อใช้บริการออนไลน์นี้ คุณจะพบการบวกพีชคณิต เมทริกซ์ทรานสโพส AT เมทริกซ์ยูเนี่ยน และเมทริกซ์ผกผัน วิธีแก้ปัญหาดำเนินการโดยตรงบนเว็บไซต์ (ออนไลน์) และฟรี ผลการคำนวณจะแสดงในรายงานในรูปแบบ Word และในรูปแบบ Excel (นั่นคือสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้) ดูตัวอย่างการออกแบบ

คำแนะนำ. คุณต้องระบุมิติของเมทริกซ์ ถัดไป ในกล่องโต้ตอบใหม่ กรอกเมทริกซ์ A

มิติเมทริกซ์ 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ดูเพิ่มเติมที่ Inverse Matrix โดยวิธี Jordan-Gauss

อัลกอริทึมสำหรับหาเมทริกซ์ผกผัน

1. การหาเมทริกซ์ทรานสโพส A T
2. ความหมายของการบวกเชิงพีชคณิต แทนที่แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยการเติมเต็มเชิงพีชคณิต
3. การรวบรวมเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมทริกซ์ผลลัพธ์จะตรงกันข้ามกับเมทริกซ์เดิม

ถัดไป อัลกอริทึมเมทริกซ์ผกผันคล้ายกับขั้นตอนก่อนหน้า ยกเว้นบางขั้นตอน ขั้นแรกให้คำนวณส่วนเติมเต็มเกี่ยวกับพีชคณิต จากนั้นจึงกำหนดเมทริกซ์ยูเนี่ยน C

1. ตรวจสอบว่าเมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้นจะไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับมัน
2. การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A . หากไม่เท่ากับศูนย์ เราจะแก้ปัญหาต่อไป มิฉะนั้น เมทริกซ์ผกผันจะไม่มีอยู่จริง
3. ความหมายของการบวกเชิงพีชคณิต
4. กรอกเมทริกซ์สหภาพ (ร่วมกัน, ติดกัน) C .
5. การรวบรวมเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ติดกัน C หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เดิม เมทริกซ์ผลลัพธ์จะตรงกันข้ามกับเมทริกซ์เดิม
6. ตรวจสอบ: คูณเมทริกซ์ดั้งเดิมและผลลัพธ์ ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

ตัวอย่าง #1 เราเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ:

การเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิต

ก 1.1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2.1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2.2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2.3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

ก 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

ก 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

ก 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
แล้ว เมทริกซ์ผกผันสามารถเขียนเป็น:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

ก -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

อัลกอริทึมอื่นสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

เรานำเสนอรูปแบบอื่นสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสอง A
2. เราพบการเพิ่มเชิงพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ A
3. เราเขียนส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบของแถวลงในคอลัมน์ (การขนย้าย)
4. เราแบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A

อย่างที่คุณเห็น การดำเนินการย้ายตำแหน่งสามารถใช้ได้ทั้งที่จุดเริ่มต้น บนเมทริกซ์ดั้งเดิม และที่ส่วนท้าย เหนือการบวกเชิงพีชคณิตที่เป็นผลลัพธ์

เป็นกรณีพิเศษ: ผกผันที่เกี่ยวกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ E

คำจำกัดความ 1:เมทริกซ์เรียกว่าเสื่อมถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

คำจำกัดความ 2:เมทริกซ์เรียกว่าไม่เอกพจน์หากดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์

เรียกว่าเมทริกซ์ "A" เมทริกซ์ผกผันถ้าตรงตามเงื่อนไข A*A-1 = A-1 *A = E (identity matrix)

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจะกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อมันไม่เป็นเอกพจน์

โครงการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน:

1) คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ "A" ถ้า ∆ A = 0 แสดงว่าไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

2) ค้นหาส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตทั้งหมดของเมทริกซ์ "A"

3) เขียนเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต (Aij )

4) ย้ายเมทริกซ์ของการเติมเต็มพีชคณิต (Aij )T

5) คูณเมทริกซ์ทรานสโพสด้วยส่วนกลับของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้

6) เรียกใช้การตรวจสอบ:

ได้อย่างรวดเร็วก่อนอาจดูเหมือนว่าเป็นเรื่องยาก แต่ในความเป็นจริงทุกอย่างง่ายมาก วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดขึ้นอยู่กับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย สิ่งสำคัญเมื่อแก้ปัญหาคืออย่าสับสนกับเครื่องหมาย "-" และ "+" และอย่าทำหาย

และตอนนี้มาแก้ปัญหาภาคปฏิบัติร่วมกับคุณโดยการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

งาน: ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน "A" ดังแสดงในภาพด้านล่าง:

เราแก้ไขทุกอย่างตามที่ระบุไว้ในแผนการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

1. สิ่งแรกที่ต้องทำคือการหาปัจจัยของเมทริกซ์ "A":

คำอธิบาย:

เราได้ทำให้ดีเทอร์มีแนนต์ของเราง่ายขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันหลัก อันดับแรก เราเพิ่มองค์ประกอบของแถวแรกลงในแถวที่ 2 และ 3 คูณด้วยตัวเลขหนึ่งตัว

ประการที่สอง เราเปลี่ยนคอลัมน์ที่ 2 และ 3 ของดีเทอร์มีแนนต์ และตามคุณสมบัติของมัน เราเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้า

ประการที่สาม เราดึงตัวประกอบร่วม (-1) ของแถวที่สองออกมา เราจึงเปลี่ยนเครื่องหมายอีกครั้ง และมันก็กลายเป็นบวก เรายังลดความซับซ้อนของบรรทัดที่ 3 ด้วยวิธีเดียวกับที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง

เรามีดีเทอร์มีแนนต์รูปสามเหลี่ยม ซึ่งองค์ประกอบด้านล่างเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากับ 0 และโดยคุณสมบัติ 7 จะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุม เป็นผลให้เราได้ ∆ A = 26 ดังนั้นจึงมีเมทริกซ์ผกผัน

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. ขั้นตอนต่อไปคือการรวบรวมเมทริกซ์จากการเพิ่มเติมที่ได้:

5. เราคูณเมทริกซ์นี้ด้วยส่วนกลับของดีเทอร์มีแนนต์ นั่นคือ 1/26:

6. ตอนนี้เราต้องตรวจสอบ:

ในระหว่างการตรวจสอบ เราได้รับเมทริกซ์ข้อมูลประจำตัว ดังนั้น การตัดสินใจจึงถูกต้องอย่างยิ่ง

2 วิธีในการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

1. การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์

2. เมทริกซ์ผกผันผ่านตัวแปลงพื้นฐาน

การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นประกอบด้วย:

1. การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

2. การบวกในบรรทัดใด ๆ ของบรรทัดอื่น คูณด้วยจำนวน

3. การสลับแถวของเมทริกซ์

4. การใช้ห่วงโซ่ของการแปลงเบื้องต้น เราได้เมทริกซ์อีกอันหนึ่ง

และ -1 = ?

1. (ก|จ) ~ (จ|ก -1 )

2. ก -1*A=อี

ลองดูสิ่งนี้ในตัวอย่างที่ใช้ได้จริงกับจำนวนจริง

ออกกำลังกาย:ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

การตัดสินใจ:

ตรวจสอบ:

คำอธิบายเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา:

ก่อนอื่น เราสลับแถวที่ 1 และ 2 ของเมทริกซ์ จากนั้นเราคูณแถวแรกด้วย (-1)

หลังจากนั้น แถวแรกคูณด้วย (-2) และเพิ่มในแถวที่สองของเมทริกซ์ จากนั้นเราก็คูณแถวที่ 2 ด้วย 1/4

ขั้นตอนสุดท้ายของการเปลี่ยนแปลงคือการคูณแถวที่สองด้วย 2 และการเพิ่มเติมจากแถวแรก เป็นผลให้เรามีเมทริกซ์เอกลักษณ์ทางด้านซ้าย ดังนั้น เมทริกซ์ผกผันจึงเป็นเมทริกซ์ทางด้านขวา

หลังจากตรวจสอบแล้ว เรามั่นใจว่าคำตัดสินนั้นถูกต้อง

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณเมทริกซ์ผกผันนั้นง่ายมาก

ในการสรุปการบรรยายนี้ ผมขออุทิศเวลาให้กับคุณสมบัติของเมทริกซ์ดังกล่าวด้วย

วิธีการหาเมทริกซ์ผกผัน พิจารณาเมทริกซ์สี่เหลี่ยม

แสดงว่า Δ = det A

เราเรียกเมทริกซ์สี่เหลี่ยม A ไม่เสื่อมหรือ ไม่พิเศษถ้าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ และ เสื่อม,หรือ พิเศษ, ถ้าΔ = 0.

เมทริกซ์กำลังสอง B มีอยู่สำหรับเมทริกซ์กำลังสอง A ที่มีลำดับเดียวกัน ถ้าผลคูณ A B = B A = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ A และ B

ทฤษฎีบท . เพื่อให้เมทริกซ์ A มีเมทริกซ์ผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มิแนนต์จะต้องไม่เป็นศูนย์

เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย A- 1 ดังนั้น B = A - 1 และคำนวณโดยสูตร

, (1)

โดยที่ А i j - การเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบ a i j ของเมทริกซ์ A..

การคำนวณ A -1 ตามสูตร (1) สำหรับเมทริกซ์ลำดับสูงนั้นลำบากมาก ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงสะดวกที่จะหา A -1 โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น (EP) เมทริกซ์เอกพจน์ A ใดๆ สามารถลดลงได้โดย EP ของเฉพาะคอลัมน์ (หรือเฉพาะแถว) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E หากใช้ EP ที่ดำเนินการบนเมทริกซ์ A ในลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ผลลัพธ์ที่ได้คือ เมทริกซ์ผกผัน สะดวกที่จะทำ EP บนเมทริกซ์ A และ E พร้อมกัน โดยเขียนเมทริกซ์ทั้งสองเคียงข้างกันผ่านบรรทัด เราทราบอีกครั้งว่าเมื่อค้นหารูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ เพื่อค้นหามัน เราสามารถใช้การแปลงแถวและคอลัมน์ได้ หากคุณต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน คุณควรใช้เฉพาะแถวหรือเฉพาะคอลัมน์ในกระบวนการแปลง

ตัวอย่าง 2.10. สำหรับเมทริกซ์ หา A -1

การตัดสินใจ.ก่อนอื่นเราจะหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A
ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่และเราสามารถหาได้จากสูตร: โดยที่ A i j (i,j=1,2,3) - การเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบ a i j ของเมทริกซ์ดั้งเดิม

ที่ไหน .

ตัวอย่าง 2.11. ใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น หา A -1 สำหรับเมทริกซ์: A=

การตัดสินใจ.เรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ดั้งเดิมทางด้านขวา: . ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงคอลัมน์เบื้องต้น เราลด "ครึ่ง" ด้านซ้ายให้เหลือหนึ่งเอกลักษณ์ โดยดำเนินการแปลงดังกล่าวในเมทริกซ์ด้านขวาพร้อมกัน
ในการทำเช่นนี้ ให้สลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง: ~ . เราเพิ่มคอลัมน์แรกลงในคอลัมน์ที่สาม และคอลัมน์แรกคูณด้วย -2 ถึงคอลัมน์ที่สอง: . จากคอลัมน์แรกเราลบวินาทีสองเท่าและจากคอลัมน์ที่สาม - ที่สองคูณด้วย 6 . เพิ่มคอลัมน์ที่สามในคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง: . คูณคอลัมน์สุดท้ายด้วย -1: . เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่ได้มาทางด้านขวาของแถบแนวตั้งคือเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ A ที่กำหนด ดังนั้น
.