ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยวิธีพาราเมตริก

อย่าเครียดในย่อหน้านี้ทุกอย่างค่อนข้างง่าย สามารถเขียนได้ สูตรทั่วไปพาราเมตริก ฟังก์ชันที่กำหนดแต่เพื่อให้ชัดเจนฉันจะเขียนทันที ตัวอย่างเฉพาะ. ในรูปแบบพาราเมตริก ฟังก์ชันจะได้รับจากสมการสองสมการ: บ่อยครั้งที่สมการไม่ได้เขียนภายใต้วงเล็บปีกกา แต่เขียนตามลำดับ:,.

ตัวแปรเรียกว่าพารามิเตอร์และสามารถรับค่าจาก "อินฟินิตี้ลบ" ถึง "บวกอินฟินิตี้" ตัวอย่างเช่น พิจารณาค่าและแทนค่าลงในสมการทั้งสอง: . หรือแบบมนุษย์: "ถ้า x เท่ากับสี่ แล้ว y เท่ากับหนึ่ง" บน ระนาบพิกัดคุณสามารถทำเครื่องหมายจุด และจุดนี้จะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาจุดสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ "te" สำหรับฟังก์ชัน "สามัญ" สำหรับชาวอเมริกันอินเดียนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก สิทธิ์ทั้งหมดจะได้รับการเคารพเช่นกัน: คุณสามารถพล็อตกราฟ ค้นหาอนุพันธ์ และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม หากจำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก ให้ดาวน์โหลดโปรแกรมเรขาคณิตของฉันที่หน้านี้ สูตรทางคณิตศาสตร์และโต๊ะ.

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เป็นไปได้ที่จะแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน เราแสดงพารามิเตอร์จากสมการแรก: แล้วแทนลงในสมการที่สอง: . ผลลัพธ์คือฟังก์ชันลูกบาศก์ปกติ

ในกรณีที่ "รุนแรง" มากขึ้น เคล็ดลับดังกล่าวใช้ไม่ได้ แต่นี่ไม่ใช่ปัญหาเพราะเพื่อหาอนุพันธ์ ฟังก์ชันพาราเมตริกมีสูตร:

เราพบอนุพันธ์ของ "ผู้เล่นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร te":

กฎความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์นั้นถูกต้องแน่นอนสำหรับตัวอักษร ดังนั้น ไม่มีความแปลกใหม่ในกระบวนการหาอนุพันธ์. เพียงแค่แทนที่ "x" ทั้งหมดในตารางด้วยตัวอักษร "te"

เราพบอนุพันธ์ของ "x เทียบกับตัวแปร te":

ตอนนี้เหลือเพียงการแทนที่อนุพันธ์ที่พบในสูตรของเรา:

พร้อม. อนุพันธ์ก็ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ เช่นเดียวกับฟังก์ชันเอง

สำหรับสัญกรณ์ แทนที่จะเขียนในสูตร เราสามารถเขียนได้โดยไม่ต้องมีตัวห้อย เนื่องจากนี่คืออนุพันธ์ "ธรรมดา" "โดย x" แต่ในวรรณกรรมมีตัวแปรเสมอดังนั้นฉันจะไม่เบี่ยงเบนจากมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 6

เราใช้สูตร

ที่ กรณีนี้:

ทางนี้:

คุณลักษณะของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริกคือข้อเท็จจริงที่ว่า ในแต่ละขั้นตอน เป็นประโยชน์ในการทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้. ในตัวอย่างที่พิจารณา เมื่อค้นหา ฉันเปิดวงเล็บใต้รูท (แม้ว่าฉันอาจไม่ได้ทำสิ่งนี้ก็ตาม) มีโอกาสมากที่เมื่อเปลี่ยนตัวและเข้าสูตรแล้ว หลายๆ อย่างจะลดลงด้วยดี แน่นอนว่ามีตัวอย่างพร้อมคำตอบที่เงอะงะ

ตัวอย่างที่ 7

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง

ในบทความ โปรโตซัว งานทั่วไปด้วยอนุพันธ์ เราพิจารณาตัวอย่างที่จำเป็นในการหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก คุณยังสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ซึ่งหาได้จากสูตรต่อไปนี้: เห็นได้ชัดว่าในการหาอนุพันธ์อันดับสอง เราต้องหาอนุพันธ์อันดับสองก่อน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

ลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งก่อน
เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

แทนอนุพันธ์ที่พบในสูตร เพื่อความง่าย เราใช้สูตรตรีโกณมิติ:

ผมสังเกตเห็นว่าในโจทย์การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก ค่อนข้างบ่อย เพื่อให้ง่ายขึ้น ต้องใช้ สูตรตรีโกณมิติ . จดจำหรือเก็บไว้ใกล้มือ และอย่าพลาดโอกาสในการทำให้แต่ละรายการง่ายขึ้น ผลลัพธ์ระดับกลางและคำตอบ เพื่ออะไร? ตอนนี้เราต้องหาอนุพันธ์ของ และนี่ดีกว่าการหาอนุพันธ์ของ

ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน
เราใช้สูตร: .

ลองดูสูตรของเรา พบตัวส่วนแล้วในขั้นตอนที่แล้ว ยังคงต้องค้นหาตัวเศษ - อนุพันธ์ของอนุพันธ์ตัวแรกที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร "te":

ยังคงใช้สูตร:

ในการรวมเนื้อหา ฉันขอเสนอตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 9

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาและสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก

ขอให้คุณโชคดี!

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์ และตอนนี้คุณสามารถค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยายและฟังก์ชันพาราเมตริกได้อย่างง่ายดาย

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3: วิธีแก้ไข:






ทางนี้:

สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยวิธีพาราเมตริก บทพิสูจน์และตัวอย่างการใช้สูตรนี้ ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์อันดับ 1 อันดับ 2 และ 3

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในลักษณะพาราเมตริก:
(1)
โดยที่ตัวแปรบางตัวเรียกว่าพารามิเตอร์ และให้ฟังก์ชันและมีอนุพันธ์ที่บางค่าของตัวแปร นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่น ฟังก์ชันผกผันในละแวกใกล้เคียงบางจุด จากนั้นฟังก์ชัน (1) มีอนุพันธ์ที่จุดซึ่งกำหนดโดยสูตรในรูปแบบพาราเมตริก:
(2)

ที่นี่ และ เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันและเกี่ยวกับตัวแปร (พารามิเตอร์) มักเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:
;
.

จากนั้นระบบ (2) สามารถเขียนได้ดังนี้:

การพิสูจน์

ตามเงื่อนไข ฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผัน มาแสดงว่าเป็น
.
จากนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนได้:
.
ลองหาอนุพันธ์โดยใช้กฎของความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนและผกผัน:
.

กฎได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิสูจน์ด้วยวิธีที่สอง

ลองหาอนุพันธ์ด้วยวิธีที่สอง โดยพิจารณาจากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด :
.
มาแนะนำสัญกรณ์:
.
จากนั้นสูตรก่อนหน้าจะใช้รูปแบบ:
.

ขอให้เราใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผันในบริเวณใกล้เคียงกับจุด
ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
; ;
; .
หารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย:
.
ที่ , . แล้ว
.

กฎได้รับการพิสูจน์แล้ว

อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ในการค้นหาอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อขายที่สูงขึ้น จำเป็นต้องดำเนินการแยกความแตกต่างหลายครั้ง สมมติว่าเราต้องการหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบพาราเมตริก ดังนี้
(1)

ตามสูตร (2) เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่งซึ่งกำหนดโดยพาราเมตริกด้วย:
(2)

แสดงอนุพันธ์อันดับหนึ่งโดยใช้ตัวแปร:
.
จากนั้น หากต้องการหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร การพึ่งพาอาศัยกันของตัวแปรในตัวแปรยังระบุในลักษณะพาราเมตริกด้วย:
(3)
การเปรียบเทียบ (3) กับสูตร (1) และ (2) เราพบ:

ตอนนี้ขอแสดงผลลัพธ์ในแง่ของฟังก์ชันและ ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่และใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของเศษส่วน:
.
แล้ว
.

จากที่นี่เราได้อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับตัวแปร:

นอกจากนี้ยังกำหนดในรูปแบบพาราเมตริก โปรดทราบว่าบรรทัดแรกสามารถเขียนได้ดังนี้:
.

ดำเนินการตามขั้นตอนต่อไป เป็นไปได้ที่จะได้รับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปรของคำสั่งที่สามและสูงกว่า

โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่แนะนำสัญกรณ์สำหรับตราสารอนุพันธ์ สามารถเขียนได้ดังนี้:
;
.

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยวิธีพาราเมตริก:

การตัดสินใจ

เราหาอนุพันธ์ของ และ เทียบกับ
จากตารางอนุพันธ์เราพบ:
;
.
เราสมัคร:

.
ที่นี่ .

.
ที่นี่ .

อนุพันธ์ที่ต้องการ:
.

ตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แสดงผ่านพารามิเตอร์:

การตัดสินใจ

เรามาเปิดวงเล็บโดยใช้สูตรสำหรับฟังก์ชันยกกำลังและราก:
.

เราพบอนุพันธ์:

.

เราหาอนุพันธ์ ในการทำเช่นนี้ เราแนะนำตัวแปรและใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

.

เราพบอนุพันธ์ที่ต้องการ:
.

ตอบ

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองและสามของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริกในตัวอย่างที่ 1:

การตัดสินใจ

ในตัวอย่างที่ 1 เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:

มาแนะนำสัญกรณ์กัน จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นอนุพันธ์เทียบกับ มันถูกตั้งค่าเป็นพาราเมตริก:

ในการหาอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ

เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ
.
เราพบอนุพันธ์ในตัวอย่างที่ 1:
.
อนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ เท่ากับ อนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ:
.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวกับรูปแบบพาราเมตริก:

ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของลำดับที่สาม มาแนะนำสัญกรณ์กัน จากนั้นเราต้องหาอนุพันธ์ตัวแรกของฟังก์ชัน ซึ่งกำหนดด้วยวิธีพาราเมตริก:

เราหาอนุพันธ์เทียบกับ ในการทำเช่นนี้ เราเขียนใหม่ในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
จาก

.

อนุพันธ์อันดับสามเทียบกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ:
.

ความคิดเห็น

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่แนะนำตัวแปร และ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ และ ตามลำดับ จากนั้นคุณสามารถเขียนได้ดังนี้:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

ตอบ

ในการแสดงพาราเมตริก อนุพันธ์อันดับสองมี มุมมองถัดไป:

อนุพันธ์อันดับสาม:

จนถึงตอนนี้ เราได้พิจารณาสมการของเส้นบนระนาบซึ่งเกี่ยวข้องโดยตรงกับพิกัดปัจจุบันของจุดของเส้นเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม มักจะใช้วิธีอื่นในการระบุเส้น ซึ่งพิกัดปัจจุบันถือเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สาม

ให้สองฟังก์ชั่นของตัวแปรจะได้รับ

พิจารณาด้วยค่า t ที่เท่ากัน จากนั้นค่าใด ๆ เหล่านี้ของ t สอดคล้องกับ ค่าบางอย่างและค่าหนึ่งของ y และเป็นผลให้ และ จุดหนึ่ง. เมื่อตัวแปร t วิ่งผ่านค่าทั้งหมดจากโดเมนฟังก์ชัน (73) จุดจะอธิบายถึงบรรทัด C ในระนาบ สมการ (73) เรียกว่า สมการพาราเมตริกบรรทัดนี้ และตัวแปรคือพารามิเตอร์

สมมติว่าฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผัน เมื่อแทนฟังก์ชันนี้ลงในสมการที่สอง (73) จะได้สมการ

แสดง y เป็นฟังก์ชัน

ให้เราตกลงที่จะบอกว่าฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้เป็นพาราเมตริกโดยสมการ (73) การเปลี่ยนจากสมการเหล่านี้เป็นสมการ (74) เรียกว่าการขจัดพารามิเตอร์ เมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก การยกเว้นพารามิเตอร์ไม่เพียงแต่ไม่จำเป็นเท่านั้น แต่ยังเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติเสมอไปอีกด้วย

ในหลายกรณี การถามจะสะดวกกว่ามาก ความหมายที่แตกต่างกันพารามิเตอร์ จากนั้นใช้สูตร (73) คำนวณค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน y

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 ให้ - จุดโดยพลการวงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี R พิกัดคาร์ทีเซียน x และ y ของจุดนี้แสดงในรูปของรัศมีเชิงขั้วและมุมเชิงขั้ว ซึ่งเราแทนด้วย t ดังนี้ (ดู Ch. I, § 3, ข้อ 3):

สมการ (75) เรียกว่าสมการพาราเมตริกของวงกลม พารามิเตอร์ในนั้นคือมุมขั้วซึ่งแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง

ถ้าสมการ (75) เป็นเทอมต่อเทอมกำลังสองและเพิ่ม เนื่องจากเอกลักษณ์ พารามิเตอร์จะถูกตัดออกและจะได้สมการของวงกลมใน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัดที่กำหนดฟังก์ชันพื้นฐานสองฟังก์ชัน:

ฟังก์ชันเหล่านี้แต่ละฟังก์ชันระบุด้วยพาราเมตริกโดยสมการ (75) แต่ช่วงของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์สำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะต่างกัน สำหรับอันแรก ; กราฟของฟังก์ชันนี้คือครึ่งวงกลมบน สำหรับฟังก์ชันที่สอง กราฟของมันคือครึ่งวงกลมล่าง

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาวงรีพร้อมกัน

และวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมี a (รูปที่ 138)

ในแต่ละจุด M ของวงรี เราเชื่อมโยงจุด N ของวงกลมซึ่งมีอักษร abscissa เหมือนกับจุด M และตั้งอยู่บนด้านเดียวกันของแกน Ox ตำแหน่งของจุด N และจุด M ถูกกำหนดโดยมุมขั้ว t ของจุด ในกรณีนี้ สำหรับ abscissa ทั่วไป เราได้ การแสดงออกต่อไปนี้: x = ก. เราหาพิกัดที่จุด M จากสมการวงรี:

เครื่องหมายถูกเลือกเนื่องจากพิกัดที่จุด M และพิกัดที่จุด N ต้องมีเครื่องหมายเหมือนกัน

ดังนั้น จะได้สมการพาราเมตริกต่อไปนี้สำหรับวงรี:

ที่นี่พารามิเตอร์ t เปลี่ยนจาก 0 เป็น

ตัวอย่างที่ 3 พิจารณาวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด a) และรัศมี a ซึ่งสัมผัสแกน x ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 139) สมมติว่าเป็นวงกลมนี้ที่ม้วนโดยไม่ไถลไปตามแกน x จากนั้นจุด M ของวงกลมซึ่งประจวบเหมาะ ช่วงเวลาเริ่มต้นด้วยจุดกำเนิดจะอธิบายถึงเส้นที่เรียกว่าไซโคลิด

เราได้มาจากสมการพาราเมทริกของไซโคลลอยด์ โดยใช้พารามิเตอร์ t มุมของการหมุนของวงกลม MSW เมื่อย้ายจุดคงที่จากตำแหน่ง O ไปยังตำแหน่ง M จากนั้นสำหรับพิกัดและ y ของจุด M เราได้นิพจน์ต่อไปนี้:

เนื่องจากวงกลมหมุนไปตามแกนโดยไม่ลื่นไถล ความยาวของเซ็กเมนต์ OB จึงเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง VM เนื่องจากความยาวของส่วนโค้ง VM เท่ากับผลคูณของรัศมี a โดย มุมกลางเ, แล้ว. ดังนั้น . แต่ด้วยเหตุนี้

สมการเหล่านี้เป็นสมการพาราเมตริกของไซโคลลอยด์ เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ t จาก 0 เป็นวงกลมจะทำให้หนึ่ง เลี้ยวเต็ม. จุด M จะอธิบายถึงส่วนโค้งหนึ่งของไซโคลิด

การยกเว้นพารามิเตอร์ t ทำให้เกิดนิพจน์ที่ยุ่งยากและไม่สามารถนำไปใช้ได้จริง

นิยามพาราเมตริกของเส้นมักใช้เป็นพิเศษในกลศาสตร์ และเวลามีบทบาทเป็นพารามิเตอร์

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดวิถีกระสุนของกระสุนปืนที่ยิงด้วย ความเร็วเริ่มต้นทำมุม a กับเส้นขอบฟ้า แรงต้านอากาศและขนาดของกระสุนปืนโดยพิจารณา จุดวัสดุเราละเลย

มาเลือกระบบพิกัดกันเถอะ สำหรับที่มาของพิกัด เราจะใช้จุดที่กระสุนปืนออกจากปากกระบอกปืน ให้แกน Ox อยู่ในแนวนอนและแกน Oy - ในแนวตั้งโดยวางไว้ในระนาบเดียวกันกับปากกระบอกปืน หากไม่มีแรงโน้มถ่วง โพรเจกไทล์จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงทำมุม a กับแกนวัว และเมื่อถึงเวลา t โพรเจกไทล์จะเคลื่อนที่ไปตามเส้นทาง พิกัดของโพรเจกไทล์ที่เวลา t จะเท่ากันตามลำดับ: . เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกกระสุนปืนจะต้องตกลงในแนวตั้งตามค่า ณ เวลานี้ ดังนั้นในความเป็นจริง ณ เวลา t พิกัดของกระสุนปืนจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ในสมการเหล่านี้ - ค่าคงที่. เมื่อ t เปลี่ยน พิกัดของจุดวิถีกระสุนก็จะเปลี่ยนไปด้วย สมการเหล่านี้เป็นสมการพาราเมทริกของวิถีกระสุนปืน ซึ่งพารามิเตอร์คือเวลา

แสดงจากสมการแรกแล้วแทนค่าลงไป

สมการที่สอง เราได้สมการของวิถีกระสุนปืนในรูปแบบ นี่คือสมการของพาราโบลา