อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังคงปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทเรียนนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม พิจารณาอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น และทำความคุ้นเคยกับลูกเล่นและลูกเล่นใหม่ๆ ในการหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุพันธ์ลอการิทึม

สำหรับผู้อ่านที่ ระดับต่ำการเตรียมการดูบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างโซลูชันซึ่งจะทำให้คุณสามารถเพิ่มทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ต่อไปต้องศึกษาเพจให้ดี อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้อย่างมีเหตุผลเป็นลำดับที่สามติดต่อกัน และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะยึดติดกับตำแหน่ง "ที่อื่น? แค่นั้นก็พอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากของจริง งานควบคุมและมักพบเจอในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราได้พิจารณาตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และภาคอื่นๆ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- คุณจะต้องสร้างความแตกต่างบ่อยครั้ง และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ในการวาดตัวอย่างอย่างละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์ในช่องปาก "ผู้สมัคร" ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดเช่น:

โดยกฎแห่งความแตกต่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้ออื่น ๆ ของ Matan ในอนาคต การบันทึกรายละเอียดดังกล่าวมักไม่จำเป็น สันนิษฐานว่านักเรียนสามารถค้นหาอนุพันธ์ที่คล้ายกันบนหม้อแปลงไฟฟ้าอัตโนมัติ ลองนึกดูว่าตอนตี 3 มีอา สายเข้า, และ เสียงที่ไพเราะถาม: "อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ x สองตัวคืออะไร" ตามด้วยการตอบสนองที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะตั้งใจทันทีสำหรับ โซลูชันอิสระ.

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในขั้นตอนเดียวเช่น: . ในการทำงานให้สำเร็จคุณจะต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้าเธอยังไม่จำ) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนอีกครั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้นแล้ว ตัวอย่างที่มีส่วนต่อประสานการทำงาน 3-4-5 จะน่ากลัวน้อยลง บางทีสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าเข้าใจแล้ว (บางคนอาจต้องทนทุกข์) อย่างอื่นก็เกือบหมด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก

ตัวอย่าง 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตามที่ระบุไว้แล้ว เมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน จำเป็นอันดับแรก ขวาเข้าใจการลงทุน กรณีที่มีข้อสงสัย ข้าพเจ้าขอเตือน เทคนิคที่มีประโยชน์: เราใช้ค่าทดลอง "x" ตัวอย่างเช่น และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อทดแทน ค่าที่กำหนดเป็นการแสดงออกที่น่ากลัว

1) อันดับแรก เราต้องคำนวณนิพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นการซ้อนที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นลูกบาศก์โคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันนอกสุดคือ รากที่สอง:

สูตรสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน สมัครใน กลับลำดับจากฟังก์ชันชั้นนอกสุดสู่ชั้นในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...

(1) เราหาอนุพันธ์ของรากที่สอง

(2) เราหาอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของสามเท่าเท่ากับศูนย์ เทอมที่สอง เราหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) เราหาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) เราหาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) สุดท้าย เราหาอนุพันธ์ของรังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างคอลเล็กชั่นของ Kuznetsov และคุณจะประทับใจกับเสน่ห์และความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นโซลูชันแบบสแตนด์อโลน

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: ขั้นแรกเราใช้กฎของความเป็นเส้นตรงและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ได้เวลาเปลี่ยนไปสู่สิ่งที่กะทัดรัดและสวยงามยิ่งขึ้นแล้ว
ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสถานการณ์ที่ผลคูณไม่ใช่สอง แต่มีฟังก์ชันสามอย่างให้ไว้ในตัวอย่าง วิธีหาอนุพันธ์ของ ผลิตภัณฑ์สามตัวคูณ?

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อันดับแรก เราดู แต่เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันสามฟังก์ชันเป็นผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บเหลี่ยมได้ แต่ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับคือสำหรับ "y" เราหมายถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และสำหรับ "ve" - ​​​​ลอการิทึม: ทำไมสิ่งนี้จึงสามารถทำได้? ใช่ไหม - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎไม่ทำงาน?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:

คุณยังสามารถบิดเบือนและเอาบางอย่างออกจากวงเล็บได้ แต่ใน กรณีนี้เป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ - จะตรวจสอบได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างที่แก้ไขด้วยวิธีแรก

พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปได้หลายวิธี:

หรือเช่นนี้:

แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนให้กระชับมากขึ้นได้ ถ้าอย่างแรกเลย เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหาร , หาตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้ว ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว และหากปล่อยไว้ในรูปแบบนี้ ก็จะไม่มีข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบฉบับร่างเสมอ แต่เป็นไปได้ไหมที่จะลดความซับซ้อนของคำตอบ เรานำนิพจน์ของตัวเศษมาที่ ตัวส่วนร่วมและ กำจัดเศษส่วนสามชั้น:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อหาอนุพันธ์ แต่เมื่อมีการเปลี่ยนโรงเรียนซ้ำซากจำเจ ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานและขอให้ "นึกถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 7

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงเชี่ยวชาญเทคนิคในการหาอนุพันธ์ และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" สำหรับการสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 8

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกสุดทำให้คุณหมดหวังในทันที - คุณต้องใช้อนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของ องศาเศษส่วนแล้วจากเศษส่วนด้วย

นั่นเป็นเหตุผลที่ ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "แฟนซี" ก่อนหน้านี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่รู้จักกันดี:

! หากคุณมีสมุดบันทึกสำหรับฝึกหัดพกติดตัว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่น ถ้าคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้วาดบนกระดาษ เพราะตัวอย่างที่เหลือของบทเรียนจะกล่าวถึงสูตรเหล่านี้

โซลูชันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกันเถอะ:

เราพบอนุพันธ์:

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของฟังก์ชันเองทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง ขอแนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 9

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 10

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นเพลงที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมเทียม? สามารถ! และถึงแม้จะจำเป็น

ตัวอย่าง 11

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่คล้ายกันที่เราเพิ่งพิจารณา จะทำอย่างไร? สามารถใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารได้อย่างต่อเนื่อง และจากนั้นกฎการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นจำนวนมาก ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมเช่นอนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดระเบียบเทียมโดย "แขวน" ไว้ทั้งสองข้าง:

บันทึก : เพราะ ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบได้ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ที่หายไปจากความแตกแยก อย่างไรก็ตาม การออกแบบในปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยค่าเริ่มต้น ซับซ้อนค่า แต่ถ้าด้วยความเข้มงวดทั้งหมดแล้วในทั้งสองกรณีจำเป็นต้องทำการจองที่.

ตอนนี้คุณต้อง "แยกย่อย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้อย่างละเอียด:

เริ่มจากความแตกต่างกันก่อน
เราสรุปทั้งสองส่วนด้วยจังหวะ:

อนุพันธ์ของด้านขวานั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็นเพราะถ้าคุณอ่านข้อความนี้ คุณควรจะสามารถจัดการกับมันได้อย่างมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางซ้ายมือมี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน. ฉันคาดว่าคำถาม: "ทำไม มีตัวอักษร "y" อยู่ใต้ลอการิทึมหนึ่งตัวหรือไม่

ความจริงก็คือว่านี้ "หนึ่งตัวอักษร y" - เป็นฟังก์ชันในตัวเอง(หากไม่ชัดเจนมากนัก ให้อ้างอิงบทความ Derivative of a function ที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้น ลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันผสม :

ทางด้านซ้าย ราวกับว่าโดยเวทมนตร์ เรามีอนุพันธ์ นอกจากนี้ ตามกฎของสัดส่วน เราโยน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนขวา:

และตอนนี้เราจำได้ว่า "เกม" - ฟังก์ชั่นประเภทใดที่เราพูดถึงเมื่อสร้างความแตกต่าง? ลองดูเงื่อนไข:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 12

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง ตัวอย่างเทมเพลตการออกแบบ ประเภทนี้ในตอนท้ายของบทเรียน

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ลอการิทึม มันเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างใด ๆ หมายเลข 4-7 อีกอย่างคือฟังก์ชันที่นั่นง่ายกว่าและบางทีการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมก็ไม่สมเหตุสมผลนัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชั่นนี้เรายังไม่ได้พิจารณา ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันที่มี และระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกซึ่งจะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือการบรรยายใด ๆ :

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้อย่างไร?

จำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งพิจารณา - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้ว ระดับจะถูกลบออกจากลอการิทึมทางด้านขวา:

เป็นผลให้ทางด้านขวาเรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชั่นซึ่งจะแตกต่างกันโดย สูตรมาตรฐาน .

เราพบอนุพันธ์ สำหรับสิ่งนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนภายใต้สโตรก:

การดำเนินการเพิ่มเติมเป็นเรื่องง่าย:

ในที่สุด:

หากการเปลี่ยนแปลงบางอย่างไม่ชัดเจน โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อีกครั้งอย่างละเอียด

ที่ งานปฏิบัติฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายที่พิจารณาเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - "x" และ "ลอการิทึมของลอการิทึมของ x" (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) เมื่อสร้างความแตกต่างของค่าคงที่ ดังที่เราจำได้ เป็นการดีกว่าที่จะเอามันออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้มาขวางทาง และแน่นอนใช้กฎที่คุ้นเคย :

เมื่อเราต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังของรูปแบบ y = (f (x)) g (x) หรือแปลงนิพจน์ที่ยุ่งยากด้วยเศษส่วน เราก็สามารถใช้อนุพันธ์ลอการิทึมได้ ภายในกรอบของเนื้อหานี้ เราจะยกตัวอย่างการใช้สูตรนี้หลายตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีใช้ตารางอนุพันธ์ ทำความคุ้นเคยกับกฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง และเข้าใจว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนคืออะไร

วิธีหาสูตรอนุพันธ์ลอการิทึม

เพื่อให้ได้สูตรนี้ คุณต้องนำลอการิทึมไปที่ฐาน e ก่อน แล้วจึงลดความซับซ้อนของฟังก์ชันผลลัพธ์โดยใช้ คุณสมบัติพื้นฐานลอการิทึม. หลังจากนั้น คุณต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y(ln(f(x)))"

ตัวอย่างการใช้สูตร

มาแสดงตัวอย่างวิธีการทำกัน

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังของตัวแปร x ยกกำลัง x

วิธีการแก้

เราดำเนินการลอการิทึมในฐานที่ระบุและรับ ln y = ln x x โดยพิจารณาคุณสมบัติของลอการิทึม ซึ่งสามารถแสดงเป็น ln y = x · ln x ตอนนี้เราแยกความแตกต่างของส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันและได้ผลลัพธ์:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

ตอบ: x x "= x x (ln x + 1)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้อีกทางหนึ่ง โดยไม่มีอนุพันธ์ลอการิทึม อันดับแรก เราต้องแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อเปลี่ยนจากการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังเป็นการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

y = x x = e ln x x = e x ln x ⇒ y " = (e x ln x)" = e x ln x x ln x " = x x x" ln x + x (ln x)" = = x + x 1 x 1 ln x = x x ln x + 1

ลองพิจารณาอีกปัญหาหนึ่ง

ตัวอย่าง 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x

วิธีการแก้

ฟังก์ชันเดิมแสดงเป็นเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแก้ปัญหาโดยใช้การดิฟเฟอเรนติเอชันได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องมีการแปลงจำนวนมาก ดังนั้นเราจึงควรใช้อนุพันธ์ลอการิทึมที่นี่ y " = y · ln (f (x)) " ให้เราอธิบายว่าทำไมการคำนวณดังกล่าวจึงสะดวกกว่า

เริ่มจากการหา ln (f (x)) กันก่อน สำหรับการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมเราต้องการ คุณสมบัติดังต่อไปนี้ลอการิทึม:

• ลอการิทึมของเศษส่วนสามารถแสดงเป็นผลต่างของลอการิทึมได้
• ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงเป็นผลรวมได้
• ถ้านิพจน์ใต้ลอการิทึมมีกำลัง เราสามารถเอาออกมาเป็นสัมประสิทธิ์ได้

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 บาป x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 บาป x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln บาป x

เป็นผลให้เราได้นิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งอนุพันธ์นั้นง่ายต่อการคำนวณ:

(ln (f (x))) "= 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln บาป x" == 1 3 ln (x 2 + 1) "- 3 2 ln x" - 1 2 ln บาป x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln บาป x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 บาป x (บาป x)" = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 บาป x

ตอนนี้ สิ่งที่เราทำไป จำเป็นต้องแทนที่ลงในสูตรของอนุพันธ์ลอการิทึม

ตอบ: y " \u003d y ln (f (x)) " \u003d x 2 + 1 3 x 3 บาป x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 บาป x

ในการรวบรวมเนื้อหา ให้ศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้สองสามตัวอย่าง เฉพาะการคำนวณที่มีความคิดเห็นขั้นต่ำเท่านั้นที่จะได้รับที่นี่

ตัวอย่างที่ 3

ดาน่าเผย ฟังก์ชั่นพลังงาน y = (x 2 + x + 1) x 3 . คำนวณอนุพันธ์ของมัน

วิธีการแก้:

y "= y (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " \u003d \ u003d (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ลิตร (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ลิตร (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

ตอบ: y "= y (ln (f(x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ y = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2

วิธีการแก้

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

y " = y ln x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " == y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

ตอบ:

y "= x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2x + 2 2 (x 2 + 2x + 2) .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คุณคิดว่ายังมีเวลาอีกมากก่อนสอบหรือไม่? หนึ่งเดือนเหรอ? สอง? ปี? การฝึกฝนแสดงให้เห็นว่านักเรียนจะรับมือกับการสอบได้ดีที่สุดหากเขาเริ่มเตรียมตัวล่วงหน้า มีมากมายในการสอบ งานยากซึ่งยืนขวางทางนักเรียนและผู้สมัครในอนาคตให้ได้คะแนนสูงสุด อุปสรรคเหล่านี้ต้องเรียนรู้ที่จะเอาชนะ นอกจากนั้น การทำเช่นนี้ทำได้ไม่ยาก คุณต้องเข้าใจหลักการทำงานต่าง ๆ จากตั๋ว แล้วจะไม่มีปัญหากับของใหม่

ลอการิทึมในแวบแรกดูซับซ้อนอย่างไม่น่าเชื่อ แต่เมื่อวิเคราะห์อย่างใกล้ชิดแล้ว สถานการณ์ก็ง่ายขึ้นมาก ถ้าอยากสอบผ่าน คะแนนสูงสุดคุณควรเข้าใจแนวคิดที่เป็นปัญหาซึ่งเราเสนอให้ทำในบทความนี้

ก่อนอื่น เรามาแยกคำจำกัดความเหล่านี้กัน ลอการิทึม (ล็อก) คืออะไร? นี่คืออำนาจที่จะต้องยกฐานเพื่อให้ได้มา ระบุหมายเลข. หากไม่ชัดเจน เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างเบื้องต้น

ในกรณีนี้ต้องยกฐานด้านล่างยกกำลังสองเพื่อให้ได้เลข 4

ทีนี้มาจัดการกับแนวคิดที่สองกัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบใด ๆ เรียกว่าแนวคิดที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ โปรแกรมโรงเรียนและหากคุณประสบปัญหากับแนวคิดเหล่านี้แยกกัน ก็ควรทำซ้ำหัวข้อนี้

อนุพันธ์ของลอการิทึม

ที่ ใช้การมอบหมายสามารถยกตัวอย่างได้หลายตัวอย่างในหัวข้อนี้ เริ่มจากอนุพันธ์ลอการิทึมที่ง่ายที่สุดกันก่อน เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

เราต้องหาอนุพันธ์อันดับต่อไป

มีสูตรพิเศษ.

ในกรณีนี้ x=u, log3x=v. แทนค่าจากฟังก์ชันของเราลงในสูตร

อนุพันธ์ของ x จะเท่ากับหนึ่ง ลอการิทึมยากขึ้นเล็กน้อย แต่คุณจะเข้าใจหลักการถ้าคุณเพียงแค่แทนที่ค่า จำได้ว่าอนุพันธ์ lg x คืออนุพันธ์ ลอการิทึมทศนิยมและอนุพันธ์ ln x เป็นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ (อิงจาก e)

ตอนนี้เพียงแทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตร ลองด้วยตัวเองแล้วตรวจสอบคำตอบ

มีปัญหาอะไรที่นี่สำหรับบางคน เราแนะนำแนวคิด ลอการิทึมธรรมชาติ. มาพูดถึงมันและในขณะเดียวกันก็หาวิธีแก้ไขปัญหาด้วย คุณจะไม่เห็นอะไรซับซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณเข้าใจหลักการทำงานของมัน คุณควรชินกับมันเพราะมันมักจะใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ (ในระดับสูง สถาบันการศึกษาโดยเฉพาะ).

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

ที่แกนกลางของมันคืออนุพันธ์ของลอการิทึมกับฐาน e (นี่คือ จำนวนอตรรกยะซึ่งมีค่าประมาณ 2.7) อันที่จริง ln นั้นง่ายมาก ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ที่จริงแล้ว การแก้ปัญหากับเขาจะไม่เป็นปัญหาเช่นกัน เป็นที่น่าจดจำว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติกับฐาน e จะเท่ากับหนึ่งหารด้วย x การแก้ปัญหาของตัวอย่างต่อไปนี้จะชี้ให้เห็นมากที่สุด

ลองนึกภาพว่าเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันง่ายๆ สองฟังก์ชัน

พอที่จะแปลงร่างได้

เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของ u เทียบกับ x

อนุญาต
(1)
เป็นฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลของ x ก่อนอื่นเราจะพิจารณาในชุดของค่า x ที่ y รับ ค่าบวก: . ต่อไปนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับนั้นใช้ได้กับ .ด้วย ค่าลบ.

ในบางกรณี ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1) จะสะดวกที่จะหาลอการิทึมในเบื้องต้น
,
แล้วคำนวณอนุพันธ์ จากนั้นตามกฎการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
จากที่นี่
(2) .

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเรียกว่าอนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน y = เอฟ(x) เป็นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันนี้: (ล็อก f(x))′.

กรณีของค่าลบ y

พิจารณากรณีที่ตัวแปรสามารถรับค่าได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ในกรณีนี้ ให้หาลอการิทึมของโมดูลัสและหาอนุพันธ์ของมัน:
.
จากที่นี่
(3) .
นั่นคือใน กรณีทั่วไปคุณต้องหาอนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชัน

การเปรียบเทียบ (2) และ (3) เรามี:
.
นั่นคือผลลัพธ์อย่างเป็นทางการของการคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึมไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเราหาโมดูโลหรือไม่ ดังนั้น เมื่อคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึม เราไม่ต้องกังวลว่าฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายอะไร

สถานการณ์นี้สามารถชี้แจงได้ด้วยความช่วยเหลือของจำนวนเชิงซ้อน ให้สำหรับค่าบางค่าของ x เป็นลบ: . หากเราพิจารณาเพียง ตัวเลขจริงฟังก์ชันจะไม่ถูกกำหนด แต่ถ้าเราคำนึงถึง ตัวเลขเชิงซ้อนจากนั้นเราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
.
นั่นคือฟังก์ชันและค่าคงที่เชิงซ้อนแตกต่างกัน:
.
เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ดังนั้น
.

คุณสมบัติของอนุพันธ์ลอการิทึม

จากการพิจารณาดังกล่าวจึงเห็นว่า อนุพันธ์ลอการิทึมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากฟังก์ชันคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ :
.
อันที่จริงการสมัคร คุณสมบัติลอการิทึม, สูตร ผลรวมอนุพันธ์และ อนุพันธ์ของค่าคงที่, เรามี:

.

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

มันสะดวกที่จะใช้อนุพันธ์ลอการิทึมในกรณีที่ฟังก์ชันดั้งเดิมประกอบด้วยผลคูณของกำลังหรือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง. ในกรณีนี้ การดำเนินการลอการิทึมจะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลรวม ทำให้การคำนวณอนุพันธ์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

วิธีการแก้

เราใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x .
ในตารางอนุพันธ์เราพบ:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
;
;
;
;
(P1.1) .
ลองคูณด้วย:

.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์ลอการิทึม:
.
จากที่นี่ เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

หากเราต้องการใช้เฉพาะจำนวนจริง เราควรหาลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.
แล้ว
;
.
และเราได้สูตร (A1.1) ผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนแปลง

ตอบ

ตัวอย่าง 2

ใช้อนุพันธ์ลอการิทึม หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.

วิธีการแก้

ลอการิทึม:
(P2.1) .
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x :
;
;

;
;
;
.

ลองคูณด้วย:
.
จากที่นี่เราได้อนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

ในที่นี้ ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่เป็นค่าลบ: . ถูกกำหนดไว้ที่ หากเราไม่คิดว่าลอการิทึมสามารถกำหนดค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ ให้เขียนสูตร (A2.1) ดังนี้:
.
เพราะว่า

และ
,
ก็จะไม่กระทบกระเทือน ผลสุดท้าย.

ตอบ

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์
.

วิธีการแก้

การแยกความแตกต่างทำได้โดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึม โดยที่:
(P3.1) .

โดยการแยกความแตกต่าง เราได้อนุพันธ์ลอการิทึม
;
;
;
(P3.2) .

ตั้งแต่นั้นมา

.

บันทึก

มาทำการคำนวณโดยไม่สมมติว่าสามารถกำหนดลอการิทึมสำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.
จากนั้นแทนที่จะเป็น (A3.1) เรามี:
;

.
เปรียบเทียบกับ (A3.2) เราเห็นว่าผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง