ค้นหาการสลายตัวของเวกเตอร์โดยใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์พื้นฐาน การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์
พื้นฐาน(กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน
พื้นฐานในพื้นที่ Rn คือระบบใดๆ จาก n-เชิงเส้น เวกเตอร์อิสระ- เวกเตอร์แต่ละตัวจาก R n ที่ไม่รวมอยู่ในฐานสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้ เช่น กระจายอยู่บนพื้นฐาน
อนุญาต เป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n และ . จากนั้นก็มีตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …, แลมบ์ n แบบนั้น .
ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ในฐาน B หากกำหนดพื้นฐานไว้ ค่าสัมประสิทธิ์เวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน
ความคิดเห็น ในทุก n- มิติพื้นที่เวกเตอร์ที่คุณสามารถเลือกได้ นับไม่ถ้วนฐานที่แตกต่างกัน ในฐานที่ต่างกัน เวกเตอร์เดียวกันจะมี พิกัดที่แตกต่างกันแต่เพียงผู้เดียวในเกณฑ์ที่เลือก ตัวอย่าง.ขยายเวกเตอร์ให้เป็นฐาน
สารละลาย. - ลองแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดแล้วดำเนินการกับพวกมัน:
เมื่อพิกัดเท่ากันเราจะได้ระบบสมการ:
มาแก้กัน: .
ดังนั้นเราจึงได้รับการสลายตัว: .
โดยพื้นฐานแล้ว เวกเตอร์มีพิกัด
สิ้นสุดการทำงาน -
หัวข้อนี้เป็นของส่วน:
แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์
เวกเตอร์คือเซกเมนต์ที่มีทิศทางซึ่งมีความยาวที่แน่นอน เช่น เซ็กเมนต์ ความยาวที่แน่นอนซึ่งมีจุดจำกัดจุดหนึ่ง.. ความยาวของเวกเตอร์เรียกว่าโมดูลัสและเขียนแทนด้วยโมดูลัสสัญลักษณ์ของเวกเตอร์.. เวกเตอร์เรียกว่าศูนย์ ซึ่งแสดงว่าเวกเตอร์เริ่มต้นและสิ้นสุดตรงกัน อันที่เจาะจง..
หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:
เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:
หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณได้ เครือข่ายสังคมออนไลน์:
พื้นฐานของพื้นที่เป็นระบบของเวกเตอร์ซึ่งเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดในอวกาศสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานได้
ในทางปฏิบัติ ทั้งหมดนี้ทำได้ค่อนข้างง่าย ตามกฎแล้วจะมีการตรวจสอบพื้นฐานบนระนาบหรือในอวกาศและด้วยเหตุนี้คุณจะต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่สองและสามที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ ด้านล่างมีการเขียนแผนผัง เงื่อนไขที่เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
ถึง ขยายเวกเตอร์ b ไปเป็นเวกเตอร์ฐาน
e,e...,e[n] มีความจำเป็นต้องค้นหาสัมประสิทธิ์ x, ..., x[n] ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ e,e...,e[n] เท่ากับ เวกเตอร์ ข:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ข.
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สมการเวกเตอร์ควรถูกแปลงเป็นระบบ สมการเชิงเส้นและหาทางแก้ไข นี่ยังค่อนข้างง่ายที่จะนำไปใช้
เรียกค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ x, ..., x[n] พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐานอี,อี...,อี[n].
เรามาดูด้านการปฏิบัติของหัวข้อกันดีกว่า
การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นเวกเตอร์พื้นฐาน
ภารกิจที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a1, a2 ประกอบเป็นฐานบนระนาบหรือไม่
1) ก1 (3; 5), ก2 (4; 2)
วิธีแก้ไข: เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ
ปัจจัยกำหนดไม่เป็นศูนย์, เพราะฉะนั้น เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าพวกมันก่อตัวเป็นพื้นฐาน.
2) เอ1 (2;-3), เอ2 (5;-1)
วิธีแก้: เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์
ดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับ 13 (ไม่เท่ากับศูนย์) - จากนี้จึงเป็นไปตามที่เวกเตอร์ a1, a2 เป็นพื้นฐานบนระนาบ
---=================---
ลองพิจารณาดู ตัวอย่างทั่วไปจากโปรแกรม MAUP ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง
ภารกิจที่ 2 จงแสดงว่าเวกเตอร์ a1, a2, a3 เป็นพื้นฐานของสามมิติ พื้นที่เวกเตอร์และขยายเวกเตอร์ b บนพื้นฐานนี้ (เมื่อแก้ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตใช้วิธีของแครเมอร์)
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
วิธีแก้: ขั้นแรก พิจารณาระบบของเวกเตอร์ a1, a2, a3 และตรวจสอบดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A
สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นศูนย์หนึ่งรายการ ดังนั้นจึงเหมาะสมกว่าในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เป็นกำหนดการในคอลัมน์แรกหรือแถวที่สาม
จากการคำนวณเราพบว่าดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ดังนั้น เวกเตอร์ a1, a2, a3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น.
ตามคำนิยาม เวกเตอร์จะสร้างพื้นฐานใน R3 ลองเขียนตารางเวลาของเวกเตอร์ b กัน
เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากัน
ดังนั้นจากสมการเวกเตอร์เราได้ระบบสมการเชิงเส้น
มาแก้ SLAE กันดีกว่า วิธีการของแครมเมอร์- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนระบบสมการในรูปแบบ
ดีเทอร์มิแนนต์หลักของ SLAE จะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์พื้นฐานเสมอ
ดังนั้นในทางปฏิบัติจะไม่นับสองครั้ง ในการค้นหาปัจจัยเสริม เราใส่คอลัมน์ที่มีพจน์อิสระเข้ามาแทนที่แต่ละคอลัมน์ของปัจจัยหลัก ปัจจัยกำหนดคำนวณโดยใช้กฎสามเหลี่ยม
ลองแทนที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่พบลงในสูตรของแครเมอร์
ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ b ในรูปของฐานจะมีรูปแบบ b=-4a1+3a2-a3 พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐาน a1, a2, a3 จะเป็น (-4,3, 1)
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), ข (3; 5; 1)
วิธีแก้ปัญหา: เราตรวจสอบเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน - เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ
ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จึงไม่เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในอวกาศ- ยังคงต้องค้นหาตารางเวลาของเวกเตอร์ b ผ่านพื้นฐานนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการเวกเตอร์
และแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้น
การบันทึก สมการเมทริกซ์
ต่อไป สำหรับสูตรของแครเมอร์ เราจะหาปัจจัยเสริม
เราใช้สูตรของแครเมอร์
ดังนั้นเวกเตอร์ที่กำหนด b มีตารางเวลาผ่านเวกเตอร์ฐานสองตัว b=-2a1+5a3 และพิกัดของมันในฐานเท่ากับ b(-2,0, 5)
ล. 2-1 แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์
การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน
แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์
เวกเตอร์คือเซตของเซกเมนต์กำกับทั้งหมดที่มี ความยาวเท่ากันและทิศทาง
.
คุณสมบัติ:
การดำเนินการเชิงเส้นเหนือเวกเตอร์
1.
กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
กับ อืมเวกเตอร์สองตัว และ เรียกว่าเวกเตอร์ มาจากจุดกำเนิดร่วมกันและเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ และ ทั้งสองข้าง
กฎรูปหลายเหลี่ยม:
ในการสร้างผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ คุณต้องวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ 2 ที่จุดสิ้นสุดของเทอมที่ 1, จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ 3 ที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่ 2 เป็นต้น เวกเตอร์ที่ปิดผลลัพธ์ เส้นขาดคือผลรวม จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของวันที่ 1 และจุดสิ้นสุดพร้อมกับจุดสิ้นสุดของครั้งสุดท้าย
คุณสมบัติ:
2.
ผลคูณของเวกเตอร์ ต่อหมายเลข , เป็นเวกเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไข:
.
คุณสมบัติ:
3.
โดยความแตกต่างเวกเตอร์ และ เรียกว่าเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ และเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ , เช่น.
.
- กฎขององค์ประกอบตรงกันข้าม (เวกเตอร์)
การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน
ผลรวมของเวกเตอร์ถูกกำหนดด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน
(และเท่านั้น - การดำเนินการย้อนกลับ การสลายตัวของเวกเตอร์ออกเป็นหลายองค์ประกอบ มีความคลุมเครือ: เพื่อให้ไม่คลุมเครือจำเป็นต้องระบุทิศทางที่เวกเตอร์ที่เป็นปัญหาถูกสลายหรืออย่างที่พวกเขาพูดจำเป็นต้องระบุ พื้นฐาน.
ในการพิจารณาพื้นฐาน ข้อกำหนดของเวกเตอร์ที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ใช่เชิงเส้นตรงถือเป็นสิ่งสำคัญ เพื่อให้เข้าใจความหมายของข้อกำหนดนี้ จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์
การแสดงออกตามอำเภอใจของแบบฟอร์ม: , เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์
.
การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์หลายตัวเรียกว่า เล็กน้อยถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
เวกเตอร์
ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์:
(1) จัดให้
- หากความเสมอภาค (1) มีไว้สำหรับทุกคนเท่านั้น
พร้อมกันเท่ากับศูนย์ จากนั้นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์
จะ เป็นอิสระเชิงเส้น.
พิสูจน์ได้ง่าย: เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ ก็ตามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง.
มาเริ่มการพิสูจน์ด้วยข้อความแรกกัน
ปล่อยให้เวกเตอร์ และ คอลลิเนียร์ ลองแสดงว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น อันที่จริงหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน พวกมันก็จะแตกต่างกันด้วยปัจจัยเชิงตัวเลขเท่านั้น เช่น
, เพราะฉะนั้น
- เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นที่ได้นั้นไม่สำคัญอย่างชัดเจนและเท่ากับ "0" ดังนั้นเวกเตอร์ และ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ตอนนี้ให้เราพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว และ - ลองพิสูจน์ว่ามันเป็นอิสระเชิงเส้นกัน ให้เราสร้างหลักฐานโดยขัดแย้งกัน
สมมติว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้นจะต้องมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญ
- สมมุติว่า
, แล้ว
- ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันหมายถึงเวกเตอร์ และ อยู่ในแนวเดียวกัน ซึ่งตรงกันข้ามกับสมมติฐานเริ่มแรกของเรา
ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า: เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวใดๆ ก็ตามมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สองตัวใดๆ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง.
เมื่อกลับไปสู่แนวคิดเรื่องพื้นฐานและปัญหาการสลายตัวของเวกเตอร์บนพื้นฐานที่แน่นอน เราสามารถพูดอย่างนั้นได้ พื้นฐานบนระนาบและในอวกาศถูกสร้างขึ้นจากเซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นแนวคิดเรื่องพื้นฐานนี้เป็นเรื่องทั่วไปเพราะว่า มันใช้กับช่องว่างจำนวนมิติใดก็ได้
การแสดงออกเช่น:
เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ โดยเวกเตอร์ ,…,.
หากเราพิจารณาพื้นฐานในปริภูมิสามมิติแล้วการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
จะ
, ที่ไหน
-พิกัดเวกเตอร์.
ในปัญหาการสลายตัวของเวกเตอร์ตามอำเภอใจในบางพื้นฐาน ข้อความต่อไปนี้มีความสำคัญมาก: เวกเตอร์ใดๆสามารถขยายได้ไม่ซ้ำกันตามเกณฑ์ที่กำหนด
.
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพิกัด
สำหรับเวกเตอร์ใดๆ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
ถูกกำหนดไว้อย่างไม่คลุมเครือ
การแนะนำพื้นฐานในอวกาศและบนระนาบช่วยให้เราสามารถกำหนดเวกเตอร์แต่ละตัวได้ ตัวเลขสาม (คู่) ที่เรียงลำดับ - พิกัดของมัน ผลลัพธ์ที่สำคัญมากนี้ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตกับตัวเลข ทำให้สามารถอธิบายและศึกษาตำแหน่งและการเคลื่อนไหวของวัตถุทางกายภาพในเชิงวิเคราะห์ได้
เซตของจุดและฐานเรียกว่า ระบบพิกัด
หากเวกเตอร์ที่สร้างฐานเป็นหน่วยและตั้งฉากเป็นคู่ ระบบพิกัดจะถูกเรียก สี่เหลี่ยม,และพื้นฐาน ออร์โธนอร์มอล
ล. 2-2 ผลคูณของเวกเตอร์
การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน
พิจารณาเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัด:
.
- ส่วนประกอบเวกเตอร์ ตามทิศทางของเวกเตอร์ฐาน
.
การแสดงออกของแบบฟอร์ม
เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
.
ในทำนองเดียวกันเราสามารถย่อยสลายได้ ตามพื้นฐาน
เวกเตอร์
:
.
โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์ที่กำลังพิจารณา ด้วยเวกเตอร์พื้นฐาน
ถูกเรียกว่า โคไซน์ทิศทาง
;
;
.
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว และ คือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวถือได้ว่าเป็นผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งและการฉายภาพมุมฉากของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งไปยังทิศทางของเวกเตอร์ตัวแรก
.
คุณสมบัติ:
หากทราบพิกัดของเวกเตอร์
และ
จากนั้นจึงแยกเวกเตอร์ออกเป็นพื้นฐาน
:
และ
มาหากัน
, เพราะ
,
, ที่
.
.
เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์ที่จะตั้งฉาก:
.
เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตี้ของอธิการบดี:
.
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์
หรือ
สินค้าเวกเตอร์โดยเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า
ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข:
คุณสมบัติ:
คุณสมบัติพีชคณิตที่พิจารณาช่วยให้เราสามารถค้นหานิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับผลคูณเวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์ส่วนประกอบในลักษณะออร์โธนอร์มอล
ที่ให้ไว้:
และ
.
เพราะ -
,
,
,
,
,
, ที่
- สูตรนี้สามารถเขียนให้สั้นกว่านี้ได้ ในรูปแบบของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม:
.
ผลคูณผสมของเวกเตอร์
ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว ,และ คือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณเวกเตอร์
, คูณสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์ .
ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:
จึงมีการเขียนผลคูณผสม
.
ดังต่อไปนี้จากคำจำกัดความผลลัพธ์ของการผสม ผลิตภัณฑ์ของสามเวกเตอร์คือตัวเลข ตัวเลขนี้มีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน:
โมดูลผลิตภัณฑ์ผสม
เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนจุดลดลง การเริ่มต้นทั่วไปเวกเตอร์ ,และ .
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม:
ถ้าเป็นเวกเตอร์ ,,ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล
พิกัดการคำนวณผลิตภัณฑ์ผสมจะดำเนินการตามสูตร
.
จริงๆ แล้วถ้า.
, ที่
;
;
, แล้ว
.
ถ้าเป็นเวกเตอร์ ,,คือโคพลานาร์ แล้วก็ผลคูณเวกเตอร์
ตั้งฉากกับเวกเตอร์ - และในทางกลับกันถ้า
จากนั้นปริมาตรของเส้นขนานจะเป็นศูนย์ และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เป็นแบบระนาบเดียว (ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น)
ดังนั้น เวกเตอร์สามตัวจะเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อผลคูณผสมของพวกมันเป็นศูนย์
ในแคลคูลัสเวกเตอร์และการประยุกต์ คุ้มค่ามากมีงานการสลายตัวซึ่งประกอบด้วยการแสดงเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวที่เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่กำหนด
เวกเตอร์ ซึ่งงานนี้ก็ได้ กรณีทั่วไปคำตอบจำนวนอนันต์จะค่อนข้างแน่นอนหากคุณระบุองค์ประกอบบางส่วนของเวกเตอร์ส่วนประกอบ
2. ตัวอย่างการสลายตัว
ให้เราพิจารณากรณีการสลายตัวที่พบบ่อยๆ หลายกรณี
1. แยกเวกเตอร์ c ที่กำหนดให้เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบสองตัว โดยเวกเตอร์ตัวหนึ่ง เช่น a กำหนดขนาดและทิศทาง
ปัญหาอยู่ที่การกำหนดความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว อันที่จริง ถ้าเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ c ก็จะต้องได้รับความเท่าเทียมกัน
จากที่นี่จะกำหนดเวกเตอร์องค์ประกอบที่สอง
2. แบ่งเวกเตอร์ c ที่กำหนดออกเป็นสององค์ประกอบ โดยองค์ประกอบหนึ่งต้องอยู่ในนั้น เครื่องบินที่ได้รับและอันที่สองจะต้องนอนอยู่บนเส้นตรงที่กำหนด ก.
ในการกำหนดเวกเตอร์ส่วนประกอบ เราย้ายเวกเตอร์ c เพื่อให้จุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดกับระนาบ (จุด O - ดูรูปที่ 18) จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c (จุด C) เราวาดเส้นตรงไปที่
จุดตัดกับระนาบ (B คือจุดตัด) จากนั้นจากจุด C เราวาดเส้นตรงขนานกัน
เวกเตอร์ และ จะเป็นค่าที่ต้องการ เช่น โดยธรรมชาติแล้ว การขยายตัวที่ระบุเป็นไปได้หากเส้นตรง a และระนาบไม่ขนานกัน
3. ให้เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัว a, b และ c และเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์ c ให้เป็นเวกเตอร์
เรามาแสดงรายการทั้งสามกัน เวกเตอร์ที่กำหนดถึงจุดหนึ่ง O จากนั้น เนื่องจากระนาบเดียวกัน พวกมันจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน บน เวกเตอร์ที่กำหนดเราจะสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานในแนวทแยงโดยด้านข้างขนานกับเส้นการกระทำของเวกเตอร์ (รูปที่ 19) โครงสร้างนี้เป็นไปได้เสมอ (เว้นแต่ว่าเวกเตอร์เป็นแบบแนวเดียวกัน) และมีลักษณะเฉพาะ จากรูป 19 เป็นที่ชัดเจนว่า