ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้วิธีการพิกัด จำเป็นต้องมีจุดตัดกัน ซึ่งพิกัดที่ใช้ในการแก้ปัญหา สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดตัดของสองเส้นบนระนาบหรือกำหนดพิกัดของเส้นเดียวกันในอวกาศ บทความนี้พิจารณากรณีการหาพิกัดของจุดที่เส้นที่กำหนดตัดกัน

Yandex.RTB R-A-339285-1

จำเป็นต้องกำหนดจุดตัดของสองเส้น

ส่วนที่เกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นบนระนาบแสดงว่าสามารถคู่กันได้ ขนานกัน ตัดกันที่จุดร่วมจุดเดียว หรือตัดกัน เส้นสองเส้นในอวกาศเรียกว่าตัดกันหากมีจุดร่วมหนึ่งจุด

คำจำกัดความของจุดตัดของเส้นมีลักษณะดังนี้:

คำจำกัดความ 1

จุดที่เส้นสองเส้นตัดกันเรียกว่าจุดตัดกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดตัดของเส้นคือจุดตัดกัน

พิจารณารูปด้านล่าง

ก่อนจะหาพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้น ควรพิจารณาตัวอย่างด้านล่างก่อน

หากมีระบบพิกัด O x y บนระนาบ ให้เส้นตรงสองเส้น a และ b ตรงสอดคล้อง สมการทั่วไปของรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 สำหรับเส้นตรง b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 จากนั้น M 0 (x 0 , y 0) เป็นจุดบางจุดของระนาบ จึงจำเป็นต้องพิจารณาว่าจุด M 0 จะเป็นจุดตัดของเส้นเหล่านี้หรือไม่

ในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องปฏิบัติตามคำจำกัดความ จากนั้นเส้นจะต้องตัดกันที่จุดที่มีพิกัดเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดตัดกันจะถูกแทนที่ในสมการที่กำหนดทั้งหมด หากพวกเขาระบุตัวตนที่ถูกต้องเมื่อแทนที่ M 0 (x 0 , y 0) จะถือเป็นจุดตัดกัน

ตัวอย่าง 1

ให้สองเส้นตัดกัน 5 x - 2 y - 16 = 0 และ 2 x - 5 y - 19 = 0 . จุด M 0 ที่มีพิกัด (2, - 3) เป็นจุดตัดหรือไม่

วิธีการแก้

เพื่อให้จุดตัดของเส้นเป็นจริง จำเป็นต้องให้พิกัดของจุด M 0 เป็นไปตามสมการของเส้นตรง สิ่งนี้ได้รับการยืนยันโดยการแทนที่พวกเขา เราได้รับสิ่งนั้น

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

ความเท่าเทียมกันทั้งสองเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า M 0 (2, - 3) เป็นจุดตัดของเส้นที่กำหนด

มาวาดภาพกันเถอะ การตัดสินใจครั้งนี้บนเส้นพิกัดของรูปด้านล่าง

ตอบ:คะแนนที่กำหนดโดยมีพิกัด (2, - 3) เป็นจุดตัดของเส้นที่กำหนด

ตัวอย่าง 2

เส้น 5 x + 3 y - 1 = 0 และ 7 x - 2 y + 11 = 0 ตัดกันที่จุด M 0 (2 , - 3) หรือไม่

วิธีการแก้

ในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแทนที่พิกัดของจุดในสมการทั้งหมด เราได้รับสิ่งนั้น

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

ความเท่าเทียมกันที่สองไม่เป็นความจริง ซึ่งหมายความว่าจุดที่กำหนดไม่ได้อยู่ในเส้น 7 x - 2 y + 11 = 0 . ดังนั้น เรามีจุด M 0 ไม่ใช่จุดตัดของเส้นตรง

ภาพวาดแสดงให้เห็นชัดเจนว่า M 0 ไม่ใช่จุดตัดของเส้น พวกเขามีจุดร่วมที่มีพิกัด (-1 , 2) .

ตอบ:จุดที่มีพิกัด (2, - 3) ไม่ใช่จุดตัดของเส้นที่กำหนด

เราหันไปหาพิกัดของจุดตัดของสองเส้นโดยใช้สมการที่กำหนดบนระนาบ

เส้นตัดกันสองเส้น a และ b ถูกกำหนดโดยสมการของรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ที่อยู่ใน O x y เมื่อกำหนดจุดตัด M 0 เราพบว่าเราควรค้นหาพิกัดต่อไปตามสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

จากคำจำกัดความจะเห็นได้ชัดเจนว่า M 0 เป็นจุดตัดร่วมของเส้นตรง ในกรณีนี้พิกัดต้องเป็นไปตามสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือคำตอบของระบบผลลัพธ์ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

ซึ่งหมายความว่าในการหาพิกัดของจุดตัด จำเป็นต้องเพิ่มสมการทั้งหมดลงในระบบและแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 3

ให้สองบรรทัด x - 9 y + 14 = 0 และ 5 x - 2 y - 16 = 0 บนเครื่องบิน คุณต้องหาทางแยกของพวกเขา

วิธีการแก้

ข้อมูลเกี่ยวกับเงื่อนไขของสมการจะต้องถูกรวบรวมเข้าสู่ระบบหลังจากนั้นเราจะได้ x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0 ในการแก้สมการนี้ สมการแรกได้รับการแก้ไขสำหรับ x นิพจน์จะถูกแทนที่เป็นสมการที่สอง:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

ตัวเลขที่ได้คือพิกัดที่ต้องการค้นหา

ตอบ: M 0 (4 , 2) คือจุดตัดของเส้น x - 9 y + 14 = 0 และ 5 x - 2 y - 16 = 0 .

การค้นหาพิกัดลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ถ้าตามเงื่อนไขให้รูปแบบอื่นของสมการก็ควรลดให้อยู่ในรูปแบบปกติ

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น x - 5 = y - 4 - 3 และ x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

วิธีการแก้

ในการเริ่มต้น จำเป็นต้องนำสมการมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป จากนั้นเราจะได้ x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R ถูกแปลงด้วยวิธีนี้:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

จากนั้นเราใช้สมการของรูปแบบบัญญัติ x - 5 = y - 4 - 3 และแปลง เราได้รับสิ่งนั้น

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

ดังนั้นเราจึงได้พิกัดที่เป็นจุดตัดกัน

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

ลองใช้วิธีการของ Cramer เพื่อค้นหาพิกัด:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

ตอบ:ม 0 (- 5 , 1) .

มีอีกวิธีหนึ่งในการหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่อยู่บนเครื่องบิน มันใช้ได้เมื่อหนึ่งในบรรทัดถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริกของรูปแบบ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . จากนั้น x = x 1 + a x λ และ y = y 1 + a y λ จะถูกแทนที่ด้วย x โดยที่เราจะได้ λ = λ 0 ที่สอดคล้องกับจุดตัดที่มีพิกัด x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R และ x - 5 = y - 4 - 3 .

วิธีการแก้

จำเป็นต้องทำการแทนที่ใน x - 5 \u003d y - 4 - 3 โดยนิพจน์ x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ จากนั้นเราจะได้:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

เมื่อแก้เราได้รับนั้น λ = - 1 . นี่หมายความว่ามีจุดตัดระหว่างเส้น x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R และ x - 5 = y - 4 - 3 . ในการคำนวณพิกัด จำเป็นต้องแทนที่นิพจน์ λ = - 1 ลงในสมการพาราเมตริก จากนั้นเราจะได้ว่า x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

ตอบ:ม 0 (- 5 , 1) .

เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้ คุณจำเป็นต้องรู้ความแตกต่างบางประการ

ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจตำแหน่งของเส้น เมื่อพวกมันมาบรรจบกัน เราจะพบพิกัด ในกรณีอื่นๆ จะไม่มีทางแก้ไขได้ เพื่อหลีกเลี่ยงการตรวจสอบนี้ เราสามารถเขียนระบบในรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 หากมีวิธีแก้ปัญหา เราสรุปได้ว่าเส้นตัดกัน หากไม่มีวิธีแก้ปัญหาแสดงว่าขนานกัน เมื่อระบบมี ชุดอนันต์วิธีแก้ปัญหาก็ว่ากันไป

ตัวอย่างที่ 6

เส้นที่กำหนด x 3 + y - 4 = 1 และ y = 4 3 x - 4 . ตรวจสอบว่ามีจุดร่วมหรือไม่.

วิธีการแก้

ทำให้สมการที่กำหนดง่ายขึ้น เราได้ 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 และ 4 3 x - y - 4 = 0 .

จำเป็นต้องรวบรวมสมการในระบบเพื่อหาคำตอบที่ตามมา:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

นี่แสดงว่าสมการถูกแสดงออกมาซึ่งกันและกัน จากนั้นเราจะได้คำตอบจำนวนอนันต์ จากนั้นสมการ x 3 + y - 4 = 1 และ y = 4 3 x - 4 กำหนดเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่มีจุดตัดกัน

ตอบ:สมการที่กำหนดกำหนดเส้นตรงเดียวกัน

ตัวอย่าง 7

หาพิกัดของจุดตัดของเส้น 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 และ 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

วิธีการแก้

ตามเงื่อนไข เป็นไปได้ที่เส้นจะไม่ตัดกัน เขียนระบบสมการและแก้สมการ สำหรับวิธีแก้ปัญหา จำเป็นต้องใช้วิธีเกาส์ เนื่องจากคุณสามารถตรวจสอบสมการความเข้ากันได้ได้โดยใช้ความช่วยเหลือ เราได้รับระบบของแบบฟอร์ม:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

เราได้ความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ระบบจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา เราสรุปได้ว่าเส้นขนานกัน ไม่มีจุดตัดกัน

ทางออกที่สอง

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดจุดตัดของเส้น

n 1 → = (2 , 2 - 3) เป็นเวกเตอร์ปกติของเส้น 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 จากนั้นเวกเตอร์ n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - เวกเตอร์ปกติสำหรับเส้นตรง 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

มีความจำเป็นต้องตรวจสอบ collinearity ของเวกเตอร์ n 1 → = (2, 2 - 3) และ n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . เราได้รับความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . ถูกต้องเพราะ 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 ตามมาด้วยเวกเตอร์เป็น collinear ซึ่งหมายความว่าเส้นขนานกันและไม่มีจุดตัดกัน

ตอบ:ไม่มีจุดตัด เส้นขนานกัน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาพิกัดทางแยกของเส้นที่กำหนด 2 x - 1 = 0 และ y = 5 4 x - 2 .

วิธีการแก้

ในการแก้ เราสร้างระบบสมการ เราได้รับ

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลัก สำหรับสิ่งนี้ 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . เนื่องจากไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีโซลูชัน 1 รายการ ตามมาด้วยเส้นตัดกัน มาแก้ระบบการหาพิกัดของจุดตัดกัน:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

เราได้จุดตัดของเส้นที่กำหนดมีพิกัด M 0 (1 2 , - 11 8)

ตอบ:ม 0 (1 2 , - 11 8) .

การหาพิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นในอวกาศ

ในทำนองเดียวกันจะพบจุดตัดของเส้นอวกาศ

เมื่อบรรทัด a และ b ถูกกำหนดใน พิกัดเครื่องบินประมาณ x y z โดยสมการของระนาบตัดกัน แล้วจะมีเส้นตรง a ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้ ระบบที่กำหนด A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 และเส้นตรง b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

เมื่อจุด M 0 เป็นจุดตัดของเส้น พิกัดของจุดนั้นจะต้องเป็นคำตอบของสมการทั้งสอง เราได้รับสมการเชิงเส้นในระบบ:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

ลองพิจารณางานดังกล่าวด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 9

หาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่กำหนด x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 และ 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

วิธีการแก้

เราเขียนระบบ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 และแก้มัน ในการหาพิกัด จำเป็นต้องแก้ผ่านเมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้เมทริกซ์หลักของรูปแบบ   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 และเมทริกซ์ขยาย T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์ตามแบบเกาส์

เราได้รับสิ่งนั้น

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

ตามมาด้วยอันดับของเมทริกซ์เสริมคือ 3 . จากนั้นระบบสมการ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 ให้ผลลัพธ์ในคำตอบเดียวเท่านั้น

ฐานรองมีดีเทอร์มีแนนต์ 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 แล้วสมการสุดท้ายไม่พอดี เราได้ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . วิธีแก้ปัญหาของระบบ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

ดังนั้นเราจึงมีจุดตัดกัน x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 และ 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 มีพิกัด (1 , - 3 , 0) .

ตอบ: (1 , - 3 , 0) .

ระบบของรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 มีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น ดังนั้นเส้น a และ b ตัดกัน

ในกรณีอื่นๆ สมการไม่มีคำตอบ นั่นคือ จุดร่วมด้วย. นั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะหาจุดที่มีพิกัดเนื่องจากไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นระบบของรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ถูกแก้โดยวิธีเกาส์ ด้วยความเข้ากันไม่ได้ เส้นจึงไม่ตัดกัน หากมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

คุณสามารถตัดสินใจได้โดยการคำนวณอันดับหลักและขยายของเมทริกซ์ จากนั้นใช้ทฤษฎีบท Kronecker-Capelli เราได้รับการแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง หลายๆ อย่างหรือขาดหายไปทั้งหมด

ตัวอย่าง 10

สมการของเส้นตรง x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 และ x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 หาจุดตัด.

วิธีการแก้

ขั้นแรก มาตั้งค่าระบบสมการกันก่อน เราได้ x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . เราแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์เซียน:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

แน่นอน ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตัดกัน ไม่มีจุดตัดกัน

ตอบ:ไม่มีจุดตัด

หากกำหนดเส้นโดยใช้รูปกรวยหรือ สมการพาราเมตริกคุณต้องนำมาเป็นสมการของระนาบตัดกัน แล้วหาพิกัด

ตัวอย่าง 11

ให้สองบรรทัด x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R และ x 2 = y - 3 0 = z 5 ใน O x y z . หาจุดตัด.

วิธีการแก้

เรากำหนดเส้นตรงด้วยสมการของระนาบตัดกันสองระนาบ เราได้รับสิ่งนั้น

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

เราพบพิกัด 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 สำหรับสิ่งนี้เราคำนวณอันดับของเมทริกซ์ อันดับเมทริกซ์คือ 3 และ ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าต้องแยกสมการสุดท้ายออกจากระบบ เราได้รับสิ่งนั้น

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

มาแก้ระบบด้วยวิธีการของแครมเมอร์ เราได้สิ่งนั้น x = - 2 y = 3 z = - 5 . จากที่นี่เราจะได้จุดตัดของเส้นที่กำหนดเป็นจุดที่มีพิกัด (- 2 , 3 , - 5)

ตอบ: (- 2 , 3 , - 5) .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

โอ้ โอ้ โอ้ โอ้ โอ้ ... มันไม่เล็กราวกับว่าคุณอ่านประโยคให้ตัวเอง =) อย่างไรก็ตามการผ่อนคลายจะช่วยได้โดยเฉพาะเมื่อฉันซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมในวันนี้ ดังนั้น ไปต่อกันที่ส่วนแรกกันเลย ฉันหวังว่าบทความจะจบลงด้วยอารมณ์ร่าเริง

การจัดเรียงเส้นตรงสองเส้นร่วมกัน

กรณีที่ห้องโถงร้องพร้อมกัน สองบรรทัดสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนานกัน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ความช่วยเหลือสำหรับหุ่น : โปรดจำไว้ เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ทางแยกก็จะเกิดขึ้นบ่อยมาก รายการหมายความว่าเส้นตัดกับเส้นที่จุด

จะกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของสองบรรทัดได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรก:

สองบรรทัดจะตรงกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ตามลำดับเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ความเท่าเทียมกัน

ลองพิจารณาเส้นตรงและเขียนสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: จากสมการแต่ละสมการจะเป็นไปตามนั้น ดังนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แน่นอนถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ คูณด้วย -1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ลดลง 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:

กรณีที่สองเมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพวกมันที่ตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร :

อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นสองเส้นตัดกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่เท่าเทียมกัน

ดังนั้นสำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกจะเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ดังนั้น ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาในทางปฏิบัติ สามารถใช้รูปแบบการแก้ปัญหาที่เพิ่งพิจารณาได้ อย่างไรก็ตาม มันคล้ายกับอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับความสอดคล้อง ซึ่งเราพิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานเวกเตอร์. แต่มีแพ็คเกจอารยะมากกว่า:

ตัวอย่าง 1

ค้นหา การจัดการร่วมกันโดยตรง:

วิธีการแก้จากการศึกษาเวกเตอร์กำกับเส้นตรง:

ก) จากสมการ เราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ดังนั้นเวกเตอร์ไม่ขนานกันและเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีตัวชี้ที่ทางแยก:

ที่เหลือกระโดดข้ามหินแล้วเดินต่อไปตรงไปยัง Kashchei the Deathless =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองขนานหรือเท่ากัน ที่นี่ไม่จำเป็นต้องใช้ดีเทอร์มีแนนต์

เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเป็นสัดส่วน ในขณะที่ .

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ทางนี้,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นแนวร่วม เส้นจะขนานหรือตรง

ปัจจัยด้านสัดส่วน "แลมบ์ดา" นั้นง่ายต่อการดูโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางแนวร่วม อย่างไรก็ตาม ยังสามารถพบได้ผ่านสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ผลลัพธ์ที่ได้คือความพึงพอใจ สมการนี้(มันเหมาะกับตัวเลขใด ๆ โดยทั่วไป).

ดังนั้นเส้นจึงตรงกัน

ตอบ:

ในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้ (หรือเรียนรู้ไปแล้ว) เพื่อแก้ปัญหาที่พิจารณาด้วยวาจาอย่างแท้จริงภายในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ข้าพเจ้าไม่เห็นเหตุที่จะถวายสิ่งใดให้ โซลูชันอิสระจะดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในฐานเรขาคณิต:

จะวาดเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ด้วยความไม่รู้เรื่องนี้ งานที่ง่ายที่สุดลงโทษผู้ปล้นไนติงเกลอย่างรุนแรง

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นขนานที่ลากผ่านจุดนั้น

วิธีการแก้: ระบุบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร เงื่อนไขบอกอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้? เส้นผ่านจุด และถ้าเส้นขนานกัน ก็เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น "ce" ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้น "te" เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้นอย่างเหมาะสม เวกเตอร์จะเป็นเส้นตรง)

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่นั้นง่ายต่อการดำเนินการด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะเข้าใจได้อย่างรวดเร็วว่าเส้นขนานกันอย่างไรโดยไม่ต้องวาด

ตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาตัวเองในวันนี้จะมีความคิดสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องแข่งขันกับ Baba Yaga และเธอก็เป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นที่ลากผ่านจุดขนานกับเส้น if

มีวิธีแก้ที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมาก วิธีที่สั้นที่สุดคือเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

เราทำงานเล็ก ๆ น้อย ๆ กับเส้นขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นประจวบกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นให้พิจารณาปัญหาที่คุณรู้จักเป็นอย่างดีจาก หลักสูตรโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด จากนั้นพิกัดคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

นี่เพื่อคุณ ความรู้สึกทางเรขาคณิตระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีค่าไม่ทราบค่าสองตัวเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (ส่วนใหญ่) บนระนาบ

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดของเส้น

วิธีการแก้: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและเชิงวิเคราะห์

วิธีแบบกราฟิกคือการวาดเส้นที่กำหนดและหาจุดตัดโดยตรงจากรูปวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันในแต่ละสมการของเส้นตรง โดยให้พอดีทั้งสองที่นั่นและที่นั่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ อันที่จริง เราพิจารณาวิธีแก้ไขแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองนิรนาม

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจด้วยวิธีนี้ แต่ประเด็นคือต้องใช้เวลาในการวาดภาพที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงควรค้นหาจุดตัดด้วยวิธีการวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบ ใช้วิธีการบวกเชิงระยะของสมการ เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง เยี่ยมชมบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

ตอบ:

การตรวจสอบเป็นเรื่องเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดต้องเป็นไปตามสมการแต่ละข้อของระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดของเส้นตรงหากตัดกัน

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง งานสามารถแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอนได้อย่างสะดวก การวิเคราะห์เงื่อนไขแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับหลาย ๆ คน ปัญหาทางเรขาคณิตและฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำๆ

โซลูชั่นที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน:

รองเท้าคู่หนึ่งยังไม่สึกเมื่อเรามาถึงส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
มุมระหว่างเส้น

มาเริ่มกันที่แบบฉบับและแบบสุดๆ งานสำคัญ. ในส่วนแรก เราเรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดและตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะเปลี่ยนเป็น 90 องศา:

วิธีการวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการเส้นตั้งฉากผ่านจุด

วิธีการแก้: เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉาก เคล็ดลับจึงง่าย:

จากสมการ เรา "ลบ" เวกเตอร์ตั้งฉาก: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

เราเขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์กำกับ:

ตอบ:

มาแฉร่างเรขาคณิตกัน:

อืม...ฟ้าส้ม ทะเลส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบวิเคราะห์โซลูชั่น:

1) แยกเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เราสรุปได้ว่าเส้นนั้นตั้งฉากกันจริง ๆ : .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ มันง่ายยิ่งขึ้นไปอีก

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การยืนยันอีกครั้งทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่าง 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉาก ถ้าทราบสมการ และจุด

นี่คือตัวอย่างที่ต้องทำด้วยตัวเอง มีการดำเนินการหลายอย่างในงาน ดังนั้นจึงสะดวกในการจัดเรียงโซลูชันทีละจุด

ของเรา การเดินทางที่น่าขบขันดำเนินการต่อ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ก่อนที่เราจะเป็นแนวตรงของแม่น้ำและหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงในวิธีที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวาง และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักใช้แทนด้วยอักษรกรีก "ro" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดถึงเส้น แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

วิธีการแก้: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังและคำนวณ:

ตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

พิจารณางานอื่นตามรูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุด ซึ่งสมมาตรกับจุดที่เทียบกับเส้น . ฉันเสนอให้ดำเนินการด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม ฉันจะกำหนดอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วย ผลลัพธ์ขั้นกลาง:

1) หาเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงในรายละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เราทราบพิกัดของจุดกึ่งกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรพิกัดกึ่งกลางเซกเมนต์หา .

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเท่ากับ 2.2 หน่วย

ความยากลำบากที่นี่อาจเกิดขึ้นในการคำนวณ แต่ในหอคอย ไมโครแคลคูเลเตอร์ช่วยได้มาก ช่วยให้คุณนับได้ เศษส่วนทั่วไป. ได้แนะนำหลายครั้งแล้วและจะแนะนำอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของโซลูชันอิสระ คำแนะนำเล็กน้อย: มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวคุณเอง ฉันคิดว่าคุณสามารถแยกย้ายกันไปความเฉลียวฉลาดของคุณได้ดี

มุมระหว่างสองเส้น

ไม่ว่ามุมไหนก็วงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถูกนำมาเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้เป็นมุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุด้วยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" หรือ ตรงกันข้ามมุมแดง

หากเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมใดๆ ก็สามารถนำมาเป็นมุมระหว่างพวกมันได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของ "การเลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง ประการที่สอง มุมเชิงลบเขียนด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า .

ทำไมฉันถึงพูดแบบนี้? ดูเหมือนว่าคุณสามารถผ่านแนวคิดปกติของมุมได้ ความจริงก็คือว่าในสูตรที่เราจะหามุมได้ก็จะออกมาอย่างง่ายดาย ผลลบและไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในการวาดภาพสำหรับมุมลบ จำเป็นต้องระบุทิศทาง (ตามเข็มนาฬิกา) ด้วยลูกศร

จะหามุมระหว่างสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่าง 10

หามุมระหว่างเส้น

วิธีการแก้และ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาสองบรรทัด กำหนดโดยสมการใน ปริทัศน์:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, แล้ว มุ่งเน้นมุมระหว่างพวกเขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ที่สุด ใส่ใจหันไปหาตัวส่วน - นี่แหละ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ถ้า จากนั้นตัวส่วนของสูตรจะหายไป และเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือเหตุผลที่ทำการจองเกี่ยวกับการไม่ตั้งฉากของเส้นในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น โซลูชันนี้ถูกทำให้เป็นทางการโดยสะดวกในสองขั้นตอน:

1) คำนวณ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
เส้นจึงไม่ตั้งฉาก

2) เราหามุมระหว่างเส้นโดยสูตร:

โดยใช้ ฟังก์ชันผกผันหามุมได้ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความแปลกประหลาดของอาร์คแทนเจนต์ (ดูรูปที่ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

ตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน เช่นเดียวกับค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งหน่วยองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ก็ได้ ลบก็ได้ นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นแนวลบเพราะในสภาพของปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและ "การบิด" ของมุมเริ่มต้นอย่างแม่นยำจากมัน

ถ้าอยากได้จริงๆ มุมบวกคุณต้องสลับเส้น นั่นคือ หาสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

จุดตัดบนแกน x ต้องแก้สมการ y₁=y₂ นั่นคือ k₁x+b₁=k₂x+b₂

เปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันนี้เพื่อรับ k₁x-k₂x=b₂-b₁ ตอนนี้แสดง x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂) วิธีนี้คุณจะพบจุดตัดของกราฟ ซึ่งอยู่ตามแนวแกน OX หาจุดตัดกันบนแกน y แค่แทนค่าของ x ที่คุณพบก่อนหน้านี้ในฟังก์ชันใดๆ ก็ได้

ตัวเลือกก่อนหน้านี้เหมาะสำหรับแผนภูมิ หากเป็นฟังก์ชัน ให้ใช้ คำแนะนำต่อไปนี้. เช่นเดียวกับกับ ฟังก์ชันเชิงเส้นหาค่า x เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แก้สมการกำลังสอง ในสมการ 2x² + 2x - 4=0 ค้นหา (สมการจะได้รับเป็นตัวอย่าง) ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้สูตร: D= b² - 4ac โดยที่ b คือค่าก่อน X และ c คือค่าตัวเลข

ทดแทน ค่าตัวเลขรับนิพจน์เช่น D= 4 + 4*4= 4+16= 20 สมการขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ ตอนนี้เพิ่มหรือลบ (ในทางกลับกัน) รูทจาก discriminant ที่เป็นผลลัพธ์เป็นค่าของตัวแปร b ด้วยเครื่องหมาย "-" แล้วหารด้วย สินค้าคู่ค่าสัมประสิทธิ์ คุณจะพบรากของสมการ นั่นคือ พิกัดของจุดตัดกัน

กราฟฟังก์ชันมีคุณสมบัติ: แกน OX จะตัดกันสองครั้ง นั่นคือ คุณจะพบพิกัดสองแกนของแกน x หากคุณได้รับ ค่าเป็นระยะการพึ่งพา X บน Y แล้วรู้ว่ากราฟตัดกันที่จุดจำนวนอนันต์กับแกน x ตรวจสอบว่าคุณพบจุดตัดกันหรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แทนที่ค่า X ลงในสมการ f(x)=0

ที่มา:

• การหาจุดตัดของเส้น

ถ้าคุณรู้ค่าของ a คุณก็บอกได้ว่าคุณได้แก้สมการกำลังสองแล้ว เพราะจะหารากของมันได้ง่ายมาก

คุณจะต้องการ

• -สูตรของการเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสอง
• -ความรู้เรื่องตารางสูตรคูณ

คำแนะนำ

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองสามารถเป็นค่าบวก ค่าลบ หรือเท่ากับ 0

ที่มา:

• วิธีการแก้ สมการกำลังสอง
• การเลือกปฏิบัตินั้นสม่ำเสมอ

เคล็ดลับ 3: วิธีหาพิกัดของจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน y \u003d f (x) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบ พิกัด x ซึ่งเป็นไปตามความสัมพันธ์ y \u003d f (x) กราฟฟังก์ชันแสดงให้เห็นลักษณะการทำงานและคุณสมบัติของฟังก์ชันด้วยสายตา ในการสร้างกราฟมักจะเลือกค่าหลายค่าของอาร์กิวเมนต์ x และคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน y=f(x) สำหรับการสร้างกราฟที่แม่นยำและมองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น การหาจุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัดจะเป็นประโยชน์

คำแนะนำ

เมื่อข้ามแกน x (แกน X) ค่าของฟังก์ชันจะเป็น 0 นั่นคือ y=f(x)=0. ในการคำนวณ x คุณต้องแก้สมการ f(x)=0 ในกรณีของฟังก์ชัน เราได้สมการ ax+b=0, และเราจะพบ x=-b/a

ดังนั้น แกน X ตัดกันที่จุด (-b/a,0)

มากขึ้น กรณียากตัวอย่างเช่น ในกรณีของการพึ่งพากำลังสองของ y บน x สมการ f (x) \u003d 0 มีสองราก ดังนั้น แกน x ตัดกันสองครั้ง ในกรณีของการพึ่งพา y บน x เช่น y=sin(x) จะมีจุดตัดกับแกน x นับไม่ถ้วน

ในการตรวจสอบความถูกต้องของการค้นหาพิกัดของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกน X จำเป็นต้องแทนที่ค่าที่พบของ x f (x) ค่าของนิพจน์สำหรับ x ที่คำนวณใดๆ จะต้องเท่ากับ 0

คำแนะนำ

อันดับแรก จำเป็นต้องหารือเกี่ยวกับการเลือกระบบพิกัดที่สะดวกสำหรับการแก้ปัญหา โดยปกติ ในปัญหาประเภทนี้ สามเหลี่ยมหนึ่งรูปจะถูกวางบนแกน 0X เพื่อให้จุดหนึ่งตรงกับจุดกำเนิด ดังนั้นคุณไม่ควรเบี่ยงเบนจากหลักการที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปของการตัดสินใจและทำเช่นเดียวกัน (ดูรูปที่ 1) วิธีการระบุรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่ได้มีบทบาทพื้นฐาน เนื่องจากคุณสามารถเปลี่ยนจากหนึ่งในนั้นไปยัง (ซึ่งคุณสามารถดูได้ในภายหลัง)

ให้เวกเตอร์สองตัวของด้าน AC และ AB กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการได้ a(x1, y1) และ b(x2, y2) ตามลำดับ นอกจากนี้ โดยการก่อสร้าง y1=0. ด้านที่สามของ BC สอดคล้องกับ c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2) ตามภาพประกอบนี้ จุด A อยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด นั่นคือ พิกัดก(0, 0). สังเกตง่ายด้วย พิกัด B (x2, y2), a C (x1, 0) จากนี้ เราสามารถสรุปได้ว่านิยามของรูปสามเหลี่ยมด้วยเวกเตอร์สองเวกเตอร์นั้นใกล้เคียงกับคำจำกัดความของสามเหลี่ยมโดยอัตโนมัติด้วยจุดสามจุด

ถัดไป คุณควรกรอกสามเหลี่ยมที่ต้องการให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABDC ที่สอดคล้องกับขนาด ยิ่งไปกว่านั้น ณ จุดนั้น ทางแยกเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งออก ดังนั้น AQ จะเป็นค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ลงมาจาก A ไปทางด้าน BC เวกเตอร์แนวทแยง มีอันนี้ และตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลรวมเรขาคณิตก และ ข. จากนั้น s = a + b และมัน พิกัด s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2) เหมือน พิกัดจะอยู่ที่จุด D(x1+x2, y2) ด้วย

ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการรวบรวมสมการของเส้นตรงที่มี s ค่ามัธยฐานของ AQ และที่สำคัญที่สุด จุดที่ต้องการ ทางแยกค่ามัธยฐาน H เนื่องจากเวกเตอร์เป็นตัวชี้นำสำหรับเส้นนี้ และจุด A (0, 0) ของเส้นนี้เป็นที่รู้จักกัน วิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้สมการของเส้นระนาบในรูปแบบมาตรฐาน: (x -x0) / m =(y-y0)/n. ที่นี่ (x0, y0) พิกัด จุดโดยพลการเส้นตรง (จุด А(0, 0)) และ (m, n) – พิกัด s (เวกเตอร์ (x1+x2, y2) ดังนั้น เส้นที่ต้องการ l1 จะมีลักษณะดังนี้: x/(x1+x2)=y/ y2

ทางที่จะพบก็คือที่ทางแยก ดังนั้นควรหาเส้นตรงอีกหนึ่งเส้นที่มีสิ่งที่เรียกว่า สำหรับสิ่งนี้ ในรูปที่ โครงสร้าง 1 ของสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกอัน APBC ซึ่งเส้นทแยงมุม g=a+c =g(2x1-x2, -y2) มี CW ค่ามัธยฐานที่สอง ซึ่งลดลงจาก C ไปทางด้าน AB เส้นทแยงมุมนี้มีจุด C(x1, 0) พิกัดซึ่งจะมีบทบาทเป็น (x0, y0) และเวกเตอร์ทิศทางที่นี่จะเป็น g(m, n)=g(2x1-x2, -y2) จากตรงนี้ l2 ถูกกำหนดโดยสมการ: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2)

ที่ วันเก่า ๆฉันชอบคอมพิวเตอร์กราฟิกทั้ง 2D และ 3D รวมทั้งการแสดงข้อมูลทางคณิตศาสตร์ สิ่งที่เรียกว่าเพียงเพื่อความสนุกสนาน ในฐานะนักเรียน ฉันได้เขียนโปรแกรมที่แสดงภาพร่าง N ที่หมุนในทุกมิติ แม้ว่าในทางปฏิบัติแล้ว มันก็เพียงพอแล้วสำหรับฉันที่จะกำหนดจุดสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ 4 มิติ แต่นี่เป็นเพียงคำใบ้ ความรักในเรขาคณิตยังคงอยู่กับฉันตั้งแต่นั้นมาจนถึงทุกวันนี้ และฉันก็ยังชอบที่จะแก้ไข งานที่น่าสนใจวิธีที่น่าสนใจ
หนึ่งในงานเหล่านี้เกิดขึ้นกับฉันในปี 2010 ภารกิจนั้นค่อนข้างไม่สำคัญ: จำเป็นต้องค้นหาว่าเซกเมนต์ 2 มิติสองส่วนตัดกันหรือไม่ และหากพวกมันตัดกัน ให้หาจุดตัดของพวกมัน ที่น่าสนใจกว่าคือวิธีแก้ปัญหาซึ่งฉันคิดว่าค่อนข้างหรูหราและฉันต้องการเสนอให้ผู้อ่าน ฉันไม่ได้แสร้งทำเป็นเป็นต้นฉบับในอัลกอริทึม (แม้ว่าฉันต้องการ) แต่ฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกันในเน็ต

งาน

มีการแจกแจงสองส่วน แต่ละส่วนมีจุดสองจุด: (v11, v12), (v21, v22) จำเป็นต้องพิจารณาว่าพวกมันตัดกันหรือไม่ และหากพวกมันตัดกัน ให้หาจุดตัดของพวกมัน

วิธีการแก้

ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาว่าส่วนต่างๆ ตัดกันหรือไม่ จำเป็นและ สภาพที่เพียงพอจุดตัดที่ต้องสังเกตสำหรับทั้งสองส่วนมีดังต่อไปนี้: จุดสิ้นสุดของส่วนใดส่วนหนึ่งต้องอยู่ในระนาบครึ่งที่ต่างกัน หากระนาบถูกหารด้วยเส้นที่ส่วนที่สองอยู่ ลองสาธิตสิ่งนี้ด้วยรูปภาพ

รูปด้านซ้าย (1) แสดงสองส่วน โดยทั้งสองส่วนตรงตามเงื่อนไข และส่วนที่ตัดกัน ทางด้านขวา (2) รูป ตรงตามเงื่อนไขสำหรับเซ็กเมนต์ b แต่สำหรับเซ็กเมนต์ a ไม่เป็นไปตาม ตามลำดับ เซ็กเมนต์จะไม่ตัดกัน
อาจดูเหมือนว่าการพิจารณาว่าประเด็นนั้นอยู่ด้านใดของเส้นนั้นไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย แต่ความกลัวมีนัยน์ตาที่โต และทุกอย่างก็ไม่ได้ยากนัก เรารู้ว่าการคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวให้เวกเตอร์ตัวที่สามแก่เรา ทิศทางนั้นขึ้นอยู่กับว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ที่หนึ่งและที่สองเป็นค่าบวกหรือค่าลบ ตามลำดับ การดำเนินการดังกล่าวเป็นการต่อต้านการสลับกัน เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดอยู่บน เครื่องบิน X-Yจากนั้นผลคูณเวกเตอร์ของพวกมัน (ซึ่งต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่คูณ) จะมีเฉพาะองค์ประกอบ Z ที่ไม่เป็นศูนย์ตามลำดับ และผลคูณของผลคูณของเวกเตอร์จะอยู่ในองค์ประกอบนี้เท่านั้น นอกจากนี้ เมื่อเปลี่ยนลำดับของการคูณเวกเตอร์ (อ่าน: มุมระหว่างเวกเตอร์ที่คูณ) จะประกอบด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบนี้เท่านั้น
ดังนั้น เราสามารถคูณเวกเตอร์กับเวกเตอร์ของส่วนที่แยกด้วยเวกเตอร์ที่กำกับจากจุดเริ่มต้นของส่วนที่แยกไปยังจุดทั้งสองของส่วนที่ตรวจสอบ

หากส่วนประกอบ Z ของผลิตภัณฑ์ทั้งสองจะมี สัญญาณที่แตกต่างกันจากนั้นมุมหนึ่งมีค่าน้อยกว่า 0 แต่มากกว่า -180 และมุมที่สองมีค่ามากกว่า 0 และน้อยกว่า 180 ตามลำดับจุดจะเรียงตาม ด้านต่างๆจากเส้นตรง หากส่วนประกอบ Z ของผลิตภัณฑ์ทั้งสองมี เครื่องหมายเดียวกันจึงนอนตะแคงข้างเดียวกัน
หากองค์ประกอบ Z ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเรามีกรณีของเส้นเขตเมื่อจุดนั้นอยู่บนเส้นที่กำลังตรวจสอบพอดี ปล่อยให้ผู้ใช้ตัดสินใจว่าเขาต้องการพิจารณาว่านี่เป็นทางแยกหรือไม่
จากนั้น เราต้องทำซ้ำการดำเนินการสำหรับส่วนอื่นและเส้นตรง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าตำแหน่งของจุดสิ้นสุดนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขด้วย
ดังนั้น หากทุกอย่างเรียบร้อยและทั้งสองส่วนเป็นไปตามเงื่อนไข ทางแยกก็จะมีอยู่ มาหากัน แล้วผลคูณเวกเตอร์จะช่วยเราด้วย
เนื่องจากในผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เรามีเฉพาะส่วนประกอบ Z ที่ไม่ใช่ศูนย์ โมดูลัสของมัน (ความยาวของเวกเตอร์) จะเท่ากับตัวเลขของส่วนประกอบเฉพาะนี้ มาดูวิธีการหาจุดตัดกัน

ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และ b (ดังที่เราพบ เท่ากับตัวเลขขององค์ประกอบ Z) เท่ากับผลคูณของโมดูลของเวกเตอร์เหล่านี้และไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน (|a| |b | บาป(ab)). ดังนั้น สำหรับการกำหนดค่าในรูป เรามีดังต่อไปนี้: |AB x AC| = |AB||AC|บาป(α) และ |AB x AD| = |AB||โฆษณา| บาป(β). |AC|sin(α) คือเส้นตั้งฉากจากจุด C ไปยังส่วน AB และ |AD|sin(β) คือเส้นตั้งฉากจากจุด D ไปยังส่วน AB (ขา ADD") เนื่องจากมุม γ และ δ เป็น มุมแนวตั้งจากนั้นพวกมันจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม PCC" และ PDD" นั้นคล้ายกัน และดังนั้น ความยาวของด้านทั้งหมดจึงได้สัดส่วนเท่ากัน
ให้ Z1 (AB x AC ดังนั้น |AB||AC|sin(α)) และ Z2 (AB x AD ดังนั้น |AB||AD|sin(β)) เราสามารถคำนวณ CC"/DD" (ซึ่งจะ เท่ากับ Z1 / Z2) และรู้ด้วยว่า CC "/DD" = CP / DP คุณสามารถคำนวณตำแหน่งของจุด P ได้ง่ายๆ โดยส่วนตัวแล้วทำแบบนี้

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

นั่นคือทั้งหมดที่ สำหรับฉันแล้วมันดูเรียบง่ายและสง่างามมาก โดยสรุปฉันต้องการให้โค้ดฟังก์ชันที่ดำเนินการ อัลกอริทึมนี้. ฟังก์ชันนี้ใช้เวกเตอร์เทมเพลตที่สร้างขึ้นเอง ซึ่งเป็นเทมเพลตเวกเตอร์ของมิติข้อมูลที่มีส่วนประกอบของชื่อประเภท ผู้ที่ต้องการจะปรับฟังก์ชันให้เข้ากับเวกเตอร์ประเภทของตนเองได้อย่างง่ายดาย

1 แม่แบบ bool are_crossing(เวกเตอร์ const &v11, เวกเตอร์ const &v12, เวกเตอร์ const &v21, เวกเตอร์ const &v22, vector *ข้าม) 3 ( 4 เวกเตอร์ คัท1(v12-v11), คัท2(v22-v21); 5 เวกเตอร์ ผลผลิต1, ผลผลิต2; 6 7 prod1 = กากบาท(ตัด1 * (v21-v11)); 8 prod2 = กากบาท(ตัด1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // ตัดขอบเคสด้วย 11 คืนค่าเท็จ; 12 13 prod1 = กากบาท(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = กากบาท(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // ตัดขอบเคสด้วย 17 คืนค่าเท็จ; 18 19 if(crossing) ( // ตรวจสอบว่าเราต้องกำหนดจุดตัด 20 (*crossing)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]) หรือไม่ ]- prod1[Z]); 21 (*การข้าม)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 คืนค่าจริง; 25)

บทเรียนจากซีรีส์ "อัลกอริธึมเรขาคณิต"

สวัสดีผู้อ่านที่รัก!

มาทำความรู้จักกันต่อครับ อัลกอริทึมทางเรขาคณิต. ในบทเรียนที่แล้ว เราพบสมการของเส้นตรงในพิกัดของจุดสองจุด เรามีสมการของรูปแบบ:

วันนี้เราจะเขียนฟังก์ชันที่ใช้สมการของเส้นตรงสองเส้นเพื่อหาพิกัดของจุดตัดกัน (ถ้ามี) ในการตรวจสอบความเท่าเทียมกันของจำนวนจริง เราจะใช้ฟังก์ชันพิเศษ RealEq()

จุดบนเครื่องบินอธิบายด้วยจำนวนจริงคู่หนึ่ง เมื่อใช้รุ่นจริง ควรจัดเรียงการดำเนินการเปรียบเทียบด้วยฟังก์ชันพิเศษ

เหตุผลเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว: ไม่มีความสัมพันธ์ของคำสั่งประเภท Real ในระบบการเขียนโปรแกรม Pascal ดังนั้นรายการของแบบฟอร์ม a = b โดยที่ a และ b ตัวเลขจริงจะดีกว่าที่จะไม่ใช้
วันนี้เราจะมาแนะนำฟังก์ชัน RealEq() เพื่อใช้การดำเนินการ “=" (เท่ากับอย่างเคร่งครัด):

ฟังก์ชัน RealEq(Const a, b:Real):บูลีน; (เท่ากันอย่างเคร่งครัด) เริ่ม RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

งาน. สมการของเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนด: และ . หาจุดตัดของพวกเขา

วิธีการแก้. ทางออกที่ชัดเจนคือการแก้ระบบสมการเส้นตรง: ลองเขียนระบบนี้ใหม่ให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย:
(1)

เราแนะนำสัญกรณ์: , , . ในที่นี้ D คือดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ และเป็นดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากการแทนที่คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่สอดคล้องกันด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระ หาก แสดงว่าระบบ (1) แน่ชัด แสดงว่ามีโซลูชันเฉพาะ วิธีแก้ปัญหานี้สามารถพบได้โดยสูตรต่อไปนี้: , ซึ่งเรียกว่า สูตรของแครมเมอร์. ผมขอเตือนคุณว่าคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สองอย่างไร ดีเทอร์มีแนนต์แยกความแตกต่างระหว่างเส้นทแยงมุมสองเส้น: เส้นหลักและเส้นรอง เส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีทิศทางจากมุมซ้ายบนของดีเทอร์มีแนนต์ไปยังมุมล่างขวา เส้นทแยงมุม - จากบนขวาไปซ้ายล่าง ดีเทอร์มีแนนต์อันดับสองเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักลบผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงทุติยภูมิ

รหัสใช้ฟังก์ชัน RealEq() เพื่อตรวจสอบความเท่าเทียมกัน การคำนวณมากกว่าจำนวนจริงนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสูงสุด _Eps=1e-7

โปรแกรม geom2; Const _Eps: จริง = 1e-7; (ความแม่นยำในการคำนวณ) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; ฟังก์ชัน RealEq(Const a, b:Real):บูลีน; (เท่ากันอย่างเคร่งครัด) เริ่ม RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

เราได้รวบรวมโปรแกรมที่คุณสามารถหาพิกัดของจุดตัดกันได้โดยรู้สมการของเส้นตรง