ค้นหามุมระหว่างการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน สนามสเกลาร์การวิเคราะห์เวกเตอร์ของเส้นพื้นผิวและเส้นระดับ อนุพันธ์เชิงทิศทาง การไล่ระดับอนุพันธ์ของสนามสเกลาร์ คุณสมบัติพื้นฐานของคำนิยามไม่แปรผันของการไล่ระดับสีของกฎการคำนวณการไล่ระดับสีแบบไล่ระดับสี

1 0 การไล่ระดับสีจะถูกส่งตรงไปยังพื้นผิวระดับปกติ (หรือไปยังเส้นระดับหากสนามเรียบ)

2 0 การไล่ระดับสีมุ่งตรงไปที่การเพิ่มฟังก์ชันฟิลด์

3 0 โมดูลัสเกรเดียนต์เท่ากับอนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดในทิศทาง ณ จุดที่กำหนดในสนาม:

คุณสมบัติเหล่านี้ให้คุณลักษณะที่ไม่แปรเปลี่ยนของการไล่ระดับสี พวกเขาบอกว่าเวกเตอร์ gradU ระบุทิศทางและขนาดของการเปลี่ยนแปลงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสนามสเกลาร์ ณ จุดที่กำหนด

หมายเหตุ 2.1.ถ้าฟังก์ชัน U(x,y) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ก็จะเป็นเวกเตอร์

(2.3)

อยู่ในระนาบออกซิเจน

ให้ U=U(x,y,z) และ V=V(x,y,z) หาอนุพันธ์ได้ ณ ฟังก์ชันจุด M 0 (x,y,z) จากนั้นมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ก) ผู้สำเร็จการศึกษา()= ; b) ผู้สำเร็จการศึกษา(UV)=VgradU+UgradV;

c) ผู้สำเร็จการศึกษา(UV)=ผู้สำเร็จการศึกษาU gradV; ง) ง) ผู้สำเร็จการศึกษา = , วี ;

e) gradU( = gradU โดยที่ , U=U() มีอนุพันธ์เกี่ยวกับ .

ตัวอย่างที่ 2.1กำหนดให้ฟังก์ชัน U=x 2 +y 2 +z 2 กำหนดความชันของฟังก์ชันที่จุด M(-2;3;4)

สารละลาย.ตามสูตร (2.2) ที่เรามี

.

พื้นผิวระดับของสนามสเกลาร์นี้คือตระกูลของทรงกลม x 2 +y 2 +z 2 เวกเตอร์ gradU=(-4;6;8) คือ เวกเตอร์ปกติเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 2.2ค้นหาความชันของสนามสเกลาร์ U=x-2y+3z

สารละลาย.ตามสูตร (2.2) ที่เรามี

พื้นผิวระดับของสนามสเกลาร์ที่กำหนดคือระนาบ

x-2y+3z=C; เวกเตอร์ gradU=(1;-2;3) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบของตระกูลนี้

ตัวอย่างที่ 2.3จงหาความชันสูงสุดของพื้นผิวที่เพิ่มขึ้น U=x y ที่จุด M(2;2;4)

สารละลาย.เรามี:

ตัวอย่างที่ 2.4หา เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับพื้นผิวระดับของสนามสเกลาร์ U=x 2 +y 2 +z 2

สารละลาย.พื้นผิวระดับของทรงกลมสนามสเกลาร์ที่กำหนด x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0)

การไล่ระดับสีจะถูกส่งตรงไปยังพื้นผิวระดับปกติดังนั้น

กำหนดเวกเตอร์ปกติให้กับพื้นผิวระดับที่จุด M(x,y,z) สำหรับเวกเตอร์ปกติหนึ่งหน่วยเราจะได้นิพจน์

, ที่ไหน

.

ตัวอย่างที่ 2.5ค้นหาความลาดชันของสนาม U= โดยที่ และ เป็นเวกเตอร์คงที่ r คือเวกเตอร์รัศมีของจุด

สารละลาย.อนุญาต

แล้ว:
- ตามกฎการแยกความแตกต่างของดีเทอร์มิแนนต์ที่เราได้รับ

เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 2.6ค้นหาความชันของระยะทาง โดยที่ P(x,y,z) คือจุดสนามที่กำลังศึกษา P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) คือจุดคงที่

สารละลาย.เรามี - เวกเตอร์ทิศทางหน่วย

ตัวอย่างที่ 2.7ค้นหามุมระหว่างการไล่ระดับสีของฟังก์ชันที่จุด M 0 (1,1)

สารละลาย.เราพบการไล่ระดับสีของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จุด M 0 (1,1) ที่เรามี

- มุมระหว่าง gradU และ gradV ที่จุด M 0 ถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น =0

ตัวอย่างที่ 2.8หาอนุพันธ์ของทิศทาง เวกเตอร์รัศมีเท่ากับ

(2.4)

สารละลาย.ค้นหาความชันของฟังก์ชันนี้:

เราได้การแทนที่ (2.5) ลงใน (2.4)

ตัวอย่างที่ 2.9ค้นหาที่จุด M 0 (1;1;1) ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ที่สุดในสนามสเกลาร์ U=xy+yz+xz และขนาดของการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ที่สุด ณ จุดนี้

สารละลาย.ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสนามจะถูกระบุด้วยเวกเตอร์ Grad U(M) เราพบมัน:

และนั่นหมายความว่า... เวกเตอร์นี้กำหนดทิศทางของการเพิ่มขึ้นสูงสุด ของสนามนี้ที่จุด M 0 (1;1;1) ขนาดของการเปลี่ยนแปลงสนามที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดนี้เท่ากับ

.

ตัวอย่างที่ 3.1ค้นหาเส้นเวกเตอร์ของสนามเวกเตอร์ เวกเตอร์คงที่อยู่ที่ไหน

สารละลาย.เรามีเช่นนั้น

(3.3)

คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย x ตัวที่สองด้วย y ตัวที่สามด้วย z แล้วบวกเทอมต่อเทอม เราได้โดยใช้คุณสมบัติของสัดส่วน

ดังนั้น xdx+ydy+zdz=0 ซึ่งหมายถึง

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0 ตอนนี้คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรก (3.3) ด้วย c 1 ตัวที่สองด้วย c 2 ตัวที่สามด้วย c 3 และเพิ่มเทอมต่อเทอมเราจะได้

โดยที่ จาก 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

และด้วยเหตุนี้ด้วย 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 เอ 2 -const

สมการที่ต้องการของเส้นเวกเตอร์

สมการเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเส้นเวกเตอร์ได้มาจากจุดตัดของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมที่จุดกำเนิดด้วยระนาบ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ - เป็นไปตามนั้น เส้นเวกเตอร์คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิดในทิศทางของเวกเตอร์ c ระนาบของวงกลมตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 3.2ค้นหาเส้นสนามเวกเตอร์ ผ่านจุด (1,0,0)

สารละลาย. สมการเชิงอนุพันธ์เส้นเวกเตอร์

ดังนั้นเราจึงมี - การแก้สมการแรก หรือถ้าเราแนะนำพารามิเตอร์ t เราก็จะได้สมการในกรณีนี้ ใช้แบบฟอร์ม หรือ dz=bdt โดยที่ z=bt+c 2

ภารกิจที่ 2. ค้นหาโคไซน์ของมุม a ระหว่างการไล่ระดับสีของสนามที่จุด A(1, 2, 2) และ B(-3, 1, 0) สารละลาย.

ปัญหาที่ 3 สำหรับฟังก์ชัน ให้หาอนุพันธ์ในทิศทางของค่าปกติภายใน พื้นผิวทรงกระบอก x 2 + z 2 = a 2 + c 2 ที่จุด M 0(a, b, c) สารละลาย. ให้ f(x, y, z) = x 2 + z 2 พื้นผิวที่กำหนดในเงื่อนไขคือพื้นผิวระดับสำหรับ f ที่ผ่านจุด M 0 เรามีฟังก์ชัน f ที่จุด M 0 เติบโตเร็วที่สุดในทิศทาง grad f ซึ่งหมายถึงไปในทิศทางของเส้นปกติไปยังพื้นผิวที่กำหนด

จากรูปแบบของฟังก์ชัน f เราสรุปได้ว่านี่คือทิศทางของเส้นปกติภายนอก ดังนั้นเวกเตอร์หน่วยของเส้นปกติภายในที่จุด M 0 จะเท่ากับ

ปัญหาที่ 5. คำนวณฟลักซ์ของสนามเวกเตอร์ a = (z 2 – x, 1, y 5) ถึง พื้นผิวด้านใน S: y 2 = 2 x, ตัดออกด้วยระนาบ: x = 2, z = 0, z = 3 วิธีแก้ไข

สารละลาย. วิธีที่ 1 คอนทัวร์ L คือวงกลมที่มีรัศมี R อยู่ในระนาบ z = 3 ให้เราเลือกการวางแนวดังแสดงในรูป กล่าวคือ ทวนเข็มนาฬิกา สมการพาราเมตริกวงกลมดูเหมือน

วิธีที่สอง ในการคำนวณการไหลเวียนโดยใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์ เราเลือกพื้นผิว S บางส่วนที่ทอดด้วยเส้นขอบ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้ S เป็นวงกลมโดยมีเส้นขอบ L เป็นขอบเขต สมการพื้นผิว S มีรูปแบบ: ตามการวางแนวของเส้นขอบที่เลือกไว้ ค่าปกติของพื้นผิวจะต้องเท่ากับ

ปัญหาที่ 7. ใช้ทฤษฎีบทสโตกส์ หาการไหลเวียนของสนามเวกเตอร์ตามส่วน x 2 + y 2 + z 2 = R 2 โดยระนาบ z = 0 วิธีแก้ไข ตามสูตรสโตกส์

ปัญหาที่ 8. ค้นหาเวกเตอร์ที่ไหลผ่านส่วนหนึ่งของทรงกลม x 2 + y 2 + z 2 = R 2 สำหรับ x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ในทิศทางของเส้นตั้งฉากด้านนอก สารละลาย. ตามคำจำกัดความของฟลักซ์เวกเตอร์ผ่านพื้นผิว เราพบ

หากในแต่ละจุดในช่องว่างหรือบางส่วนของช่องว่าง มีการกำหนดค่าของปริมาณที่แน่นอน พวกเขาบอกว่ามีการระบุฟิลด์ของปริมาณนี้ เขตข้อมูลจะเรียกว่าสเกลาร์หากปริมาณที่พิจารณาเป็นสเกลาร์ กล่าวคือ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวของมันอย่างเต็มที่ ค่าตัวเลข- เช่น สนามอุณหภูมิ ฟิลด์สเกลาร์ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันจุดสเกลาร์ u = /(M) หากมีการใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศ แสดงว่าจะมีฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว x, yt z - พิกัดของจุด M: คำจำกัดความ ระดับพื้นผิวของสนามสเกลาร์คือเซตของจุดที่ฟังก์ชัน f(M) รับค่าเดียวกัน สมการพื้นผิวระดับ ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาพื้นผิวระดับของสนามสเกลาร์ การวิเคราะห์เวกเตอร์ สนามสเกลาร์ พื้นผิวและเส้นระดับ อนุพันธ์เชิงทิศทาง การไล่ระดับสีสนามสเกลาร์ คุณสมบัติพื้นฐานของการไล่ระดับสี คำจำกัดความคงที่ของการไล่ระดับสี กฎสำหรับการคำนวณการไล่ระดับสี -4 ตามคำจำกัดความนั้น สมการของพื้นผิวระดับจะเป็นดังนี้ นี่คือสมการของทรงกลม (โดยมี Ф 0) โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด สนามสเกลาร์จะเรียกว่าแบนถ้าสนามเท่ากันในระนาบทั้งหมดที่ขนานกับระนาบใดระนาบหนึ่ง หากระนาบที่ระบุถูกนำไปใช้เป็นระนาบ xOy ฟังก์ชันฟิลด์จะไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด z กล่าวคือ มันจะเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ x และ y เท่านั้น สามารถกำหนดลักษณะฟิลด์ระนาบได้โดยใช้เส้นระดับ - a เซตของจุดบนระนาบที่ฟังก์ชัน /(x, y) มีจุดเดียวและมีความหมายด้วย สมการของเส้นระดับ - ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาเส้นระดับของสนามสเกลาร์ เส้นระดับถูกกำหนดโดยสมการ เมื่อ c = 0 เราได้เส้นตรงคู่หนึ่ง เราจะได้ตระกูลของไฮเปอร์โบลา (รูปที่ 1) 1.1. อนุพันธ์เชิงทิศทาง ให้มีสนามสเกลาร์ที่กำหนดโดยฟังก์ชันสเกลาร์ u = /(Af) ลองหาจุด Afo แล้วเลือกทิศทางที่กำหนดโดยเวกเตอร์ I ลองหาจุด M อีกจุดหนึ่งเพื่อให้เวกเตอร์ M0M ขนานกับเวกเตอร์ 1 (รูปที่ 2) ให้เราแสดงความยาวของเวกเตอร์ MoM ด้วย A/ และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน /(Af) - /(Afo) ซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของ D1 โดย Di ทัศนคติเป็นตัวกำหนด ความเร็วเฉลี่ยการเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ต่อความยาวหน่วยในทิศทางที่กำหนด ให้มีแนวโน้มเป็นศูนย์เพื่อให้เวกเตอร์ M0M ยังคงขนานกับเวกเตอร์ I ตลอดเวลา ถ้าที่ D/O มีขีดจำกัดจำกัดของความสัมพันธ์ (5) ก็จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด Afo ไปยังทิศทางที่กำหนด I และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 3!^ ดังนั้น ตามคำจำกัดความแล้ว คำจำกัดความนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการเลือกระบบพิกัด กล่าวคือ มีลักษณะ **แปรผัน ลองหานิพจน์ของอนุพันธ์เทียบกับทิศทางเข้ากัน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด ให้ฟังก์ชัน/หาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งได้ ลองพิจารณาค่าของ /(Af) ณ จุดหนึ่งกัน จากนั้นการเพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้ โดยที่ และสัญลักษณ์หมายความว่าอนุพันธ์บางส่วนคำนวณที่จุด Afo ดังนั้น ในที่นี้ปริมาณ jfi, ^ คือโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ เนื่องจากเวกเตอร์ MoM และ I มีทิศทางร่วมกัน โคไซน์ทิศทางของพวกมันจึงเหมือนกัน เนื่องจาก M Afo อยู่บนเส้นตรงเสมอ ขนานกับเวกเตอร์ 1 แล้วมุมคงที่เพราะสุดท้ายจากความเสมอภาค (7) และ (8) เราได้เอี่ยมคือ 1 อนุพันธ์บางส่วนเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันและตามทิศทางของแกนพิกัดเทียบกับ - ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชันในทิศทางไปยังจุด เวกเตอร์มีความยาว โคไซน์ทิศทางของมัน: ตามสูตร (9) เราจะได้ ความจริงที่ว่า หมายความว่าสนามสเกลาร์ ณ จุดหนึ่งในทิศทางที่กำหนดของอายุ - สำหรับสนามแบน อนุพันธ์เทียบกับทิศทางที่ I ณ จุดหนึ่งคือ คำนวณโดยสูตรโดยที่ a คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์ I กับแกน Oh Zmmchmm 2. สูตร (9) สำหรับคำนวณอนุพันธ์เกี่ยวกับทิศทาง I ที่จุดที่กำหนด Afo ยังคงมีผลใช้เมื่อจุด M มีแนวโน้มที่จะชี้ Mo ไปตามเส้นโค้งที่เวกเตอร์ I แทนเจนต์ที่จุด PrIShr 4 คำนวณอนุพันธ์ของ สนามสเกลาร์ที่จุด Afo(l, 1) อยู่ในพาราโบลาในทิศทางของเส้นโค้งนี้ (ในทิศทางของ abscissa ที่เพิ่มขึ้น) ทิศทาง ] ของพาราโบลาที่จุดหนึ่งถือเป็นทิศทางของเส้นสัมผัสกันของพาราโบลา ณ จุดนี้ (รูปที่ 3) ให้แทนเจนต์ของพาราโบลาที่จุด AFO กลายเป็นมุม o กับแกน Ox แล้วโคไซน์ทิศทางของแทนเจนต์มาจากไหน ให้เราคำนวณค่าของ และ ณ จุดนั้นกัน เรามีตอนนี้โดยใช้สูตร (10) ที่เราได้รับ หาอนุพันธ์ของสนามสเกลาร์ที่จุดตามทิศทางของวงกลม สมการเวกเตอร์ของวงกลมมีรูปแบบ เราจะหาเวกเตอร์หน่วย m ของเส้นสัมผัสกันของวงกลม โดยจุดจะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ จุด ให้เราคำนวณค่าของอนุพันธ์บางส่วนของสนามสเกลาร์ที่กำหนด ณ จุดนั้น การไล่ระดับสนามสเกลาร์ ปล่อยให้สนามสเกลาร์ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันสเกลาร์ซึ่งถือว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้คำนิยาม. การไล่ระดับสีของสนามสเกลาร์ "ที่จุดที่กำหนด M เป็นเวกเตอร์ที่แสดงด้วยสัญลักษณ์ grad และและกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์นี้ขึ้นอยู่กับทั้งฟังก์ชัน / และบนจุด M ที่คำนวณอนุพันธ์ของมัน ให้ 1 เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทาง จากนั้นสูตรสำหรับอนุพันธ์ของทิศทางสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันและทิศทาง 1 จึงเท่ากับ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์พื้นผิวระดับ M คุณ = const และเลือกบนพื้นผิวนี้เส้นโค้งเรียบ L ผ่านจุด M (รูปที่ 4) ให้ฉันเป็นเวกเตอร์แทนเจนต์กับเส้นโค้ง L ที่จุด M เนื่องจากบนพื้นผิวระดับ u(M) = u(M|) สำหรับจุดใดๆ Mj e L ในทางกลับกัน = (gradu, 1°) นั่นเป็นเหตุผล ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ grad และ 1° อยู่ในมุมฉาก ดังนั้น เวกเตอร์ grad และตั้งฉากกับสัมผัสใดๆ กับพื้นผิวระดับที่จุด M ดังนั้นจึงตั้งฉากกับพื้นผิวระดับที่จุด M ทฤษฎีบท 2 การไล่ระดับสีมุ่งตรงไปที่การเพิ่มฟังก์ชันฟิลด์ ก่อนหน้านี้ เราได้พิสูจน์ว่าการไล่ระดับสีของสนามสเกลาร์นั้นพุ่งไปตามเส้นปกติจนถึงพื้นผิวระดับ ซึ่งสามารถวางทิศทางในทิศทางของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น u (M) หรือในทิศทางที่ลดลง ให้เราแสดงด้วย n เส้นปกติของพื้นผิวระดับโดยมุ่งไปในทิศทางของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ti(M) และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน u ในทิศทางของเส้นปกตินี้ (รูปที่ 5) เรามี เนื่องจากตามเงื่อนไขของรูปที่ 5 ดังนั้น การวิเคราะห์เวกเตอร์ สนามสเกลาร์ พื้นผิวและเส้นระดับ อนุพันธ์ในทิศทาง การไล่ระดับอนุพันธ์ของสนามสเกลาร์ คุณสมบัติพื้นฐานของการไล่ระดับสี คำจำกัดความคงที่ของการไล่ระดับสี กฎสำหรับการคำนวณการไล่ระดับสี ตามนั้นผู้สำเร็จการศึกษาคือ กำกับไปในทิศทางเดียวกับที่เราเลือก ปกติ nนั่นคือ ในทิศทางของการเพิ่มฟังก์ชัน ยู(M) ทฤษฎีบท 3 ความยาวของเกรเดียนต์เท่ากับอนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดเทียบกับทิศทางที่จุดที่กำหนดในสนาม (ในที่นี้จะตรวจสอบไปตามทิศทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่จุด M ที่กำหนด)เรามีมุมระหว่างเวกเตอร์ 1 และ n อยู่ที่ไหน เนื่องจากค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือตัวอย่างที่ 1 ค้นหาทิศทางของการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ที่สุดของสนามสเกลาร์ที่จุดหนึ่งและขนาดของการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ที่สุดที่จุดที่ระบุด้วย ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสนามสเกลาร์จะถูกระบุด้วยเวกเตอร์ เรามีเพื่อให้เวกเตอร์นี้กำหนดทิศทางของการเพิ่มขึ้นสูงสุดของสนามที่จุดหนึ่ง ขนาดของการเปลี่ยนแปลงสนามที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดนี้คือ 2.2 คำจำกัดความไม่แปรผันของการไล่ระดับสี ปริมาณที่แสดงลักษณะของวัตถุที่ศึกษาและไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัดเรียกว่าค่าคงที่การไล่ระดับสี คำนิยาม. การไล่ระดับสนามสเกลาร์เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางปกติไปยังพื้นผิวระดับในทิศทางของการเพิ่มฟังก์ชันสนามและมีความยาวเท่ากับอนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดในทิศทาง ( ณ จุดที่กำหนด) อนุญาต เป็นเวกเตอร์ปกติที่มีหน่วยชี้ไปในทิศทางของสนามที่เพิ่มขึ้น จากนั้นตัวอย่างที่ 2 ค้นหาความชันของระยะทาง - จุดคงที่บางจุด และ M(x,y,z) - จุดปัจจุบัน 4 เรามีเวกเตอร์ทิศทางหน่วยอยู่ที่ไหน กฎสำหรับการคำนวณการไล่ระดับสีโดยที่ c เป็นตัวเลขคงที่ สูตรที่ให้มาได้โดยตรงจากคำจำกัดความของการไล่ระดับสีและคุณสมบัติของอนุพันธ์ ตามกฎของการหาอนุพันธ์ผลิตภัณฑ์ การพิสูจน์จะคล้ายกับการพิสูจน์คุณสมบัติ ให้ F(u) เป็นฟังก์ชันสเกลาร์เชิงอนุพันธ์ จากนั้น 4 ตามคำจำกัดความของเฟเดียนต์ เราได้ใช้กฎการสร้างอนุพันธ์กับทุกพจน์ทางด้านขวาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน - เราได้มาโดยเฉพาะ สูตร (6) ตามมาจากสูตรตัวอย่างที่ 3 หาอนุพันธ์ตามทิศทางของรัศมีเวกเตอร์ r จากฟังก์ชัน โดยใช้สูตร (3) และใช้สูตร ผลที่ได้คือตัวอย่างที่ 4 . ให้สนามสเกลาร์ระนาบได้รับ - ระยะทางจากระนาบจุดหนึ่งไปยังจุดคงที่สองจุดของระนาบนี้ ขอให้เราพิจารณาวงรีตามใจชอบด้วยจุดโฟกัส Fj และ F] และพิสูจน์ว่ารังสีทุกดวงที่โผล่ออกมาจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี หลังจากสะท้อนจากวงรี ไปสิ้นสุดที่จุดโฟกัสอีกจุดหนึ่ง เส้นระดับของฟังก์ชัน (7) คือ การวิเคราะห์เวกเตอร์ สนามสเกลาร์ พื้นผิวและเส้นระดับ อนุพันธ์เชิงทิศทาง การไล่ระดับสีสนามสเกลาร์อนุพันธ์ คุณสมบัติพื้นฐานของการไล่ระดับสี คำจำกัดความคงที่ของการไล่ระดับสี กฎสำหรับการคำนวณการไล่ระดับสี สมการ (8) อธิบายตระกูลของวงรีที่มีจุดโฟกัสที่ จุด F) และ Fj ตามผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 2 เราได้เกรเดียนต์ดังนี้ฟิลด์ที่กำหนด