หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ตัวอย่าง และคำตอบที่กำหนด

คำแนะนำ

หากเวกเตอร์เดิมแสดงในภาพวาดในระบบพิกัดสองมิติรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและต้องสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากในที่เดียวกัน ให้ดำเนินการต่อจากคำจำกัดความของความตั้งฉากของเวกเตอร์บนระนาบ โดยระบุว่ามุมระหว่างส่วนที่กำกับคู่นั้นต้องเท่ากับ 90° เป็นไปได้ที่จะสร้างเวกเตอร์ดังกล่าวจำนวนอนันต์ ดังนั้น ให้วาดเส้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมในตำแหน่งที่สะดวกบนระนาบ แยกส่วนที่เท่ากับความยาวของจุดคู่ที่จัดลำดับไว้ และกำหนดปลายด้านหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตั้งฉาก ทำเช่นนี้กับไม้โปรแทรกเตอร์และไม้บรรทัด

หากเวกเตอร์ดั้งเดิมถูกกำหนดโดยพิกัดสองมิติ ā = (X₁;Y₁) ให้ดำเนินการจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ตั้งฉากคู่หนึ่งต้องเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องเลือกเวกเตอร์ที่ต้องการ ō = (X₂,Y₂) พิกัดดังกล่าวที่ความเท่าเทียมกัน (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 จะถือ สามารถทำได้ดังนี้: เลือก ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ สำหรับพิกัด X₂ และคำนวณพิกัด Y₂ โดยใช้สูตร Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (15;5) จะมีเวกเตอร์ ō โดยที่ abscissa เท่ากับหนึ่งและพิกัดเท่ากับ -(15*1)/5 = -3 นั่นคือ o = (1;-3)

สำหรับระบบพิกัดสามมิติและแบบอื่นๆ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์นั้นเป็นจริง - ผลคูณของสเกลาร์จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น หากกำหนดส่วนทิศทางเดิมโดยพิกัด ā = (X₁,Y₁,Z₁) สำหรับจุดคู่ที่เรียงลำดับ ō = (X₂,Y₂,Z₂) ตั้งฉากกับมัน ให้เลือกพิกัดดังกล่าวที่ตรงตามเงื่อนไข (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0 วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดค่าเดี่ยวให้กับ X₂ และ Y₂ และคำนวณ Z₂ จากสมการแบบง่าย Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (3,5,4) จะใช้รูปแบบต่อไปนี้: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0 จากนั้นใช้ abscissa และกำหนดของ เวกเตอร์ตั้งฉากเป็นเอกภาพ และในกรณีนี้ จะเท่ากับ -(3+5)/4 = -2

ที่มา:

• หาเวกเตอร์ถ้ามันตั้งฉาก

ตั้งฉากเรียกว่า เวกเตอร์, มุมระหว่างซึ่งคือ90º. เวกเตอร์ตั้งฉากถูกสร้างขึ้นโดยใช้เครื่องมือวาดภาพ หากทราบพิกัดของพวกมัน ก็สามารถตรวจสอบหรือค้นหาความตั้งฉากของเวกเตอร์ด้วยวิธีการวิเคราะห์ได้

คุณจะต้องการ

• - ไม้โปรแทรกเตอร์;
• - เข็มทิศ;
• - ไม้บรรทัด.

คำแนะนำ

สร้างเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ที่จุดที่เป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ให้คืนค่าตั้งฉากกับมัน สามารถทำได้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ โดยตั้งค่ามุม 90º ไว้ หากไม่มีไม้โปรแทรกเตอร์ ให้ทำด้วยเข็มทิศ

ตั้งไว้ที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ วาดวงกลมที่มีรัศมีตามอำเภอใจ จากนั้นสร้างสองจุดศูนย์กลางที่จุดที่วงกลมแรกตัดกับเส้นที่เวกเตอร์วางอยู่ รัศมีของวงกลมเหล่านี้ต้องเท่ากันและมากกว่าวงกลมที่สร้างขึ้นครั้งแรก ที่จุดตัดของวงกลม ให้สร้างเส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์เดิมที่จุดเริ่มต้น แล้ววางเวกเตอร์ตั้งฉากกับจุดที่กำหนดบนจุดนั้น

เวกเตอร์หน่วยคือ: , โดยที่ คือโมดูลัสของเวกเตอร์

ตอบ:
.

บันทึก.พิกัดของเวกเตอร์หน่วยต้องไม่เกินหนึ่ง

6.3. หาความยาวและทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์ . เปรียบเทียบกับคำตอบในวรรคก่อน วาดข้อสรุปของคุณเอง

ความยาวของเวกเตอร์คือโมดูลัส:

และเราสามารถหาทิศทางโคไซน์ได้โดยใช้สูตรวิธีใดวิธีหนึ่งในการระบุเวกเตอร์:

จากสิ่งที่เราได้มา เราจะเห็นว่าทิศทางของโคไซน์คือพิกัดของเวกเตอร์หน่วย

ตอบ:
,
,
,
.

6.4. หา
.

จำเป็นต้องดำเนินการคูณของเวกเตอร์ด้วยจำนวน การบวก และโมดูลัส

เราคูณพิกัดของเวกเตอร์ด้วยเทอมตัวเลขตามเทอม

เราเพิ่มพิกัดของเทอมเวกเตอร์ตามเทอม

หาโมดูลัสของเวกเตอร์

ตอบ:

6.5. กำหนดพิกัดเวกเตอร์
, collinear กับเวกเตอร์ , รู้ว่า
และมันชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ .

เวกเตอร์ collinear กับเวกเตอร์ เวกเตอร์หน่วยจึงเท่ากับเวกเตอร์หน่วย ด้วยเครื่องหมายลบเท่านั้นเพราะ มุ่งไปในทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์หน่วยมีความยาว 1 ซึ่งหมายความว่าหากคูณด้วย 5 ความยาวของมันจะเท่ากับห้า

เราพบว่า

ตอบ:

6.6. คำนวณผลิตภัณฑ์ดอท
และ
. เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากหรือไม่? และ ,และ ระหว่างกัน?

ลองทำผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์กัน

ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณดอทของพวกมันจะเป็นศูนย์

เราจะเห็นว่าในกรณีของเราเวกเตอร์ และ ตั้งฉาก

ตอบ:
,
, เวกเตอร์ไม่ตั้งฉาก

บันทึก.ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีการใช้งานเพียงเล็กน้อยในทางปฏิบัติ แต่ยังคงมีอยู่ ผลลัพธ์ของการกระทำดังกล่าวสามารถแสดงและคำนวณทางเรขาคณิตได้

6.7. หางานที่ทำโดยจุดวัสดุที่ใช้แรง
เมื่อย้ายจากจุด B ไปยังจุด C

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์คืองาน เวกเตอร์แรงที่นี่ , เวกเตอร์การกระจัดคือ
. และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นงานที่ต้องการ

หางาน

6.8. หามุมภายในที่ vertex อา และมุมด้านนอกด้านบน ค สามเหลี่ยม ABC .

จากนิยาม ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เราได้สูตรการหามุม: .

ที่
เราจะมองหามุมภายในเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ออกมาจากจุดหนึ่ง

ในการหามุมด้านนอก คุณต้องรวมเวกเตอร์เข้าด้วยกันเพื่อให้มันออกมาจากจุดเดียวกัน รูปอธิบายสิ่งนี้

เป็นที่น่าสังเกตว่า
มีเพียงพิกัดเริ่มต้นที่แตกต่างกันเท่านั้น

การหาเวกเตอร์และมุมที่จำเป็น

คำตอบ: มุมภายในที่จุดยอด A \u003d , มุมภายนอกที่จุดยอด B = .

6.9. หาเส้นโครงของเวกเตอร์: และ

เรียกคืนเวกเตอร์-orts:
,
,
.

นอกจากนี้ยังพบการฉายจากผลคูณสเกลาร์

-ฉายภาพ ขบน เอ.

เราได้รับมาก่อนหน้านี้ vectors

,
,

หาการฉายภาพ

หาเส้นโครงที่สอง

ตอบ:
,

บันทึก.เครื่องหมายลบเมื่อค้นหาการฉายภาพหมายความว่าการฉายภาพไม่ได้อยู่บนเวกเตอร์ แต่ไปในทิศทางตรงกันข้ามบนเส้นที่เวกเตอร์นี้อยู่

6.10. คำนวณ
.

ดำเนินการผลคูณของเวกเตอร์

มาหาโมดูลกัน

เราพบไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จากนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ตอบ:
,
,
.

6.11. หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC และความยาวของส่วนสูงมีขนจากจุด C

ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูลของผลิตภัณฑ์กากบาทคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมยังสามารถหาได้จากผลคูณของความสูงคูณฐานหารด้วยสอง ซึ่งคุณจะได้สูตรในการหาความสูง

ดังนั้นเราจึงพบความสูง

ตอบ:
,
.

6.12. ค้นหาเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ .

ผลลัพธ์ของดอทโปรดัคคือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสองอันเดิม เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์หารด้วยความยาว

ก่อนหน้านี้เราพบว่า:

,

ตอบ:
.

6.13. กำหนดขนาดและทิศทางโคไซน์ของโมเมนต์แรง
ใช้กับ A เทียบกับจุด C

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์คือโมเมนต์ของแรง ให้ภาพประกอบสำหรับงานนี้

หาโมเมนต์แห่งพลัง

ตอบ:
.

6.14. ทำเวกเตอร์โกหก ,และ ในระนาบเดียวกัน? เวกเตอร์เหล่านี้สามารถสร้างฐานของช่องว่างได้หรือไม่? ทำไม ถ้าเป็นไปได้ ให้ขยายเวกเตอร์ตามเกณฑ์นี้
.

เพื่อตรวจสอบว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือไม่ จำเป็นต้องทำผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้

ผลคูณผสมไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น เวกเตอร์ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน (ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน) และสามารถสร้างฐานได้ มาย่อยสลาย บนพื้นฐานนี้.

เราขยายฐานโดยการแก้สมการ

คำตอบ: เวกเตอร์ ,และ อย่านอนระนาบเดียวกัน
.

6.15. หา
. ปริมาตรของปิรามิดที่มีจุดยอด A, B, C, D และความสูงลดลงจากจุด A ถึงฐาน BCD คือเท่าใด

G ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์ผสมคือปริมาตรของเวกเตอร์คู่ขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้

ปริมาตรของปิรามิดน้อยกว่าปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถึงหกเท่า

สามารถหาปริมาตรของปิรามิดได้ดังนี้:

ได้สูตรการหาส่วนสูง

การหาส่วนสูง

ตอบ ปริมาตร = 2.5 ส่วนสูง = .

6.16. คำนวณ
และ
.

เราขอเชิญคุณคิดเกี่ยวกับงานนี้ด้วยตัวคุณเอง

- มาทำงานกันเถอะ

เคยได้รับ

ตอบ:
.

6.17. คำนวณ

มาทำทีละขั้นตอน

3)

เราสรุปค่าที่ได้รับ

ตอบ:
.

6.18. ค้นหาเวกเตอร์
โดยรู้ว่าตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ , และการฉายภาพลงบนเวกเตอร์ เท่ากับ 5

ขอแบ่งปัญหานี้ออกเป็นสองงานย่อย

1) ค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ และ ความยาวโดยพลการ

เราจะได้เวกเตอร์ตั้งฉากจากผลคูณไขว้

ก่อนหน้านี้เราพบว่า:

เวกเตอร์ที่ต้องการมีความยาวแตกต่างกันเท่านั้น จากค่าที่ได้รับ

2) ค้นหา ผ่านสมการ

6.19. ค้นหาเวกเตอร์
, ตรงตามเงื่อนไข
,
,
.

ลองพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น

นี่คือระบบสมการเชิงเส้น มาสร้างและแก้ปัญหาระบบนี้กันเถอะ

ตอบ:

6.20. กำหนดพิกัดของเวกเตอร์บางตัว
, coplanar กับเวกเตอร์ และ , และตั้งฉากกับเวกเตอร์
.

ในงานนี้ มีเงื่อนไขสองประการ: เวกเตอร์เป็นระนาบเดียวกันและตั้งฉาก เราปฏิบัติตามเงื่อนไขแรกก่อน แล้วตามด้วยเงื่อนไขที่สอง

1) ถ้าเวกเตอร์เป็นระนาบเดียวกัน ผลคูณของพวกมันจะเป็นศูนย์

จากที่นี่เราได้รับการพึ่งพาพิกัดของเวกเตอร์

มาหาเวกเตอร์กัน .

2) ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณของสเกลาร์จะเป็นศูนย์

เราได้รับการขึ้นต่อกันครั้งที่สองของพิกัดของเวกเตอร์ที่ต้องการ

สำหรับค่าใด ๆ เวกเตอร์จะเป็นไปตามเงื่อนไข ทดแทน
.

ตอบ:
.

เรขาคณิตวิเคราะห์

บทความนี้จะเปิดเผยความหมายของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบในพื้นที่สามมิติ และการหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์คู่หนึ่งหรือทั้งคู่ หัวข้อนี้ใช้กับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการของเส้นและระนาบ

เราจะพิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉาก ตัดสินใจเกี่ยวกับวิธีการหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด และสัมผัสสถานการณ์ในการหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว

Yandex.RTB R-A-339285-1

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉาก

ลองใช้กฎเกี่ยวกับเวกเตอร์ตั้งฉากบนระนาบและในปริภูมิสามมิติกัน

คำจำกัดความ 1

ให้ค่ามุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเท่ากับ 90 ° (π 2 เรเดียน) เรียกว่า ตั้งฉาก.

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร และในสถานการณ์ใดบ้างที่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับความตั้งฉาก

การสร้างฉากตั้งฉากสามารถทำได้โดยการวาด เมื่อพล็อตเวกเตอร์บนระนาบจากจุดที่กำหนด คุณสามารถวัดมุมระหว่างจุดทั้งสองในเชิงเรขาคณิตได้ ความตั้งฉากของเวกเตอร์ หากกำหนดไว้ ไม่ถูกต้องทั้งหมด ส่วนใหญ่ ปัญหาเหล่านี้ไม่อนุญาตให้คุณทำเช่นนี้กับไม้โปรแทรกเตอร์ ดังนั้น วิธีนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อไม่ทราบอย่างอื่นเกี่ยวกับเวกเตอร์

กรณีส่วนใหญ่ในการพิสูจน์ความตั้งฉากของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวบนระนาบหรือในอวกาศนั้นทำได้โดยใช้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว.

ทฤษฎีบท 1

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a → และ b → เท่ากับศูนย์เพื่อเติมเต็มความเท่าเทียมกัน a → , b → = 0 เพียงพอสำหรับการตั้งฉากของพวกมัน

หลักฐาน 1

ให้เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ตั้งฉาก จากนั้นเราจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a ⇀ , b → = 0 .

จากนิยามของ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เรารู้ว่ามันเท่ากับ ผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ตามเงื่อนไข a → และ b → ตั้งฉากและดังนั้นตามคำจำกัดความมุมระหว่างพวกเขาคือ 90 ° จากนั้นเราจะได้ a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

ส่วนที่สองของการพิสูจน์

ภายใต้เงื่อนไขเมื่อ a ⇀ , b → = 0 พิสูจน์ความตั้งฉากของ a → และ b →

อันที่จริงการพิสูจน์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับข้อก่อนหน้า เป็นที่ทราบกันว่า a → และ b → ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจากความเท่าเทียมกัน a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ เราพบโคไซน์ จากนั้นเราจะได้ cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 เนื่องจากโคไซน์เป็นศูนย์ เราสามารถสรุปได้ว่ามุม a → , b → ^ ของเวกเตอร์ a → และ b → คือ 90 ° . ตามคำจำกัดความ นี่เป็นคุณสมบัติที่จำเป็นและเพียงพอ

สภาพตั้งฉากบนระนาบพิกัด

บท จุดสินค้าในพิกัดแสดงให้เห็นถึงความไม่เท่าเทียมกัน (a → , b →) = a x b x + a y b y ใช้ได้สำหรับเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) บนระนาบและ (a → , b → ) = a x b x + a y b y สำหรับเวกเตอร์ a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ในอวกาศ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉากในระนาบพิกัดคือ a x · b x + a y · b y = 0 สำหรับพื้นที่สามมิติ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0

ลองนำไปปฏิบัติและดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบคุณสมบัติของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

วิธีการแก้

ในการแก้ปัญหานี้ คุณต้องค้นหาผลคูณสเกลาร์ ถ้าตามเงื่อนไข มันจะเท่ากับศูนย์ พวกมันจะตั้งฉาก

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . เงื่อนไขเป็นที่พอใจ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่กำหนดตั้งฉากบนระนาบ

ตอบ:ใช่ เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ตั้งฉาก

ตัวอย่าง 2

กำหนดเวกเตอร์พิกัด i → , j → , k → ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → สามารถตั้งฉากได้หรือไม่

วิธีการแก้

เพื่อที่จะจำวิธีการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องอ่านบทความเกี่ยวกับ พิกัดเวกเตอร์ในพิกัดสี่เหลี่ยมดังนั้นเราจึงได้รับว่าเวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → มีพิกัดที่สอดคล้องกัน (1, - 1, 0) และ (1, 2, 2) . แทนที่ค่าตัวเลขและรับ: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

นิพจน์ไม่เป็นศูนย์ (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → ไม่ใช่ ตั้งฉากเพราะสภาพไม่เป็นที่พอใจ

ตอบ:ไม่ เวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → ไม่ตั้งฉาก

ตัวอย่างที่ 3

ให้เวกเตอร์ a → = (1 , 0 , - 2) และ b → = (λ , 5 , 1) ค้นหาค่า λ ที่เวกเตอร์ที่กำหนดตั้งฉาก

วิธีการแก้

เราใช้เงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในอวกาศในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากนั้นเราจะได้

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

ตอบ:เวกเตอร์ตั้งฉากที่ค่า λ = 2

มีหลายกรณีที่คำถามเกี่ยวกับความตั้งฉากเป็นไปไม่ได้แม้จะอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ ด้วยข้อมูลที่ทราบทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมบนเวกเตอร์สองตัว จึงสามารถหาได้ มุมระหว่างเวกเตอร์และตรวจสอบออก

ตัวอย่างที่ 4

ให้สามเหลี่ยม A B C ที่มีด้าน A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm ตรวจสอบเวกเตอร์ A B → และ A C → สำหรับการตั้งฉาก

วิธีการแก้

เมื่อเวกเตอร์ A B → และ A C → ตั้งฉาก สามเหลี่ยม A B C จะถือเป็นสี่เหลี่ยม จากนั้นเราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยที่ BC คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกัน BC 2 = A B 2 + A C 2 จะต้องเป็นไปตามนั้น ตามด้วย 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . ดังนั้น A B และ A C คือขาของสามเหลี่ยม A B C ดังนั้น A B → และ A C → จึงตั้งฉาก

สิ่งสำคัญคือต้องเรียนรู้วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับพิกัดที่กำหนด สิ่งนี้เป็นไปได้ทั้งบนระนาบและในอวกาศ โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกัน

การหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับอันที่กำหนดในระนาบ

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → สามารถมีจำนวนเวกเตอร์ตั้งฉากในระนาบได้ไม่จำกัด ลองแสดงบนเส้นพิกัด

กำหนดเวกเตอร์ a → ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งวางอยู่บนเส้น a จากนั้น b → ที่กำหนด ซึ่งอยู่บนเส้นใด ๆ ที่ตั้งฉากกับเส้น a จะกลายเป็นแนวตั้งฉากและ a → . หากเวกเตอร์ i → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ j → หรือเวกเตอร์ใดๆ λ · j → โดยที่ λ เท่ากับจำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ จากนั้นให้หาพิกัดของเวกเตอร์ b → ตั้งฉากกับ a → = (a x , a y) ลดเหลือชุดโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่จำเป็นต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ a → = (a x , a y) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์ในรูปแบบต่อไปนี้ a x · b x + a y · b y = 0 . เรามี b x และ b y ซึ่งเป็นพิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ตั้งฉาก เมื่อ a x ≠ 0 ค่าของ b y ไม่เป็นศูนย์ และ b x คำนวณจากอสมการ a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x เมื่อ a x = 0 และ a y ≠ 0 เรากำหนดค่า b x ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และพบ b y จากนิพจน์ b y = - a x · b x a y

ตัวอย่างที่ 5

รับเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 2 , 2) หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

วิธีการแก้

แสดงเวกเตอร์ที่ต้องการเป็น b → (b x , b y) คุณสามารถหาพิกัดได้จากเงื่อนไขที่เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉาก จากนั้นเราได้รับ: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . กำหนด b y = 1 และแทนที่: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . จากสูตรเราได้ b x = - 2 - 2 = 1 2 . ดังนั้นเวกเตอร์ b → = (1 2 , 1) จึงเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับ a →

ตอบ: b → = (1 2 , 1) .

หากมีคำถามเกี่ยวกับพื้นที่สามมิติ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขตามหลักการเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x , a y , a z) จะมีเซตอนันต์ของเวกเตอร์ตั้งฉาก จะแก้ไขบนระนาบพิกัด 3 มิติ ให้ a → นอนอยู่บนเส้น a . ระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง a แทนด้วย α ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ b → จากระนาบ α จะตั้งฉากกับ a →

จำเป็นต้องหาพิกัด b → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → = (a x , a y , a z)

ให้ b → ถูกกำหนดด้วยพิกัด b x , b y และ b z ในการค้นหาพวกมัน จำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของเงื่อนไขความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว ความเท่าเทียมกัน a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ต้องถือไว้ จากเงื่อนไข a → - ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าหนึ่งในพิกัดมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ สมมติว่า a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 หรือ a z ≠ 0) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์แบ่งความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด a x b x + a y b y + a z b z = 0 ด้วยพิกัดนี้ เราจะได้นิพจน์ b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x เรากำหนดค่าใดๆ ให้กับพิกัด b y และ b x คำนวณค่า b x ตามสูตร b x = - a y · b y + a z · b z a x เวกเตอร์ตั้งฉากที่ต้องการจะมีค่า a → = (a x , a y , a z)

ลองดูหลักฐานพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 6

รับเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (1 , 2 , 3) ​​​​  . หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

วิธีการแก้

แสดงเวกเตอร์ที่ต้องการเป็น b → = (b x , b y , b z) ตามเงื่อนไขที่เวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณสเกลาร์ต้องเท่ากับศูนย์

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

ถ้าค่า b y = 1 , b z = 1 แล้ว b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ b → (- 5 , 1 , 1) . เวกเตอร์ b → เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ตอบ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

การหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว

คุณต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ มันตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์ a → (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ภายใต้เงื่อนไขที่เวกเตอร์ a → และ b → เป็นแบบ collinear ในปัญหา มันจะเพียงพอที่จะหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับ a → หรือ b → .

เมื่อแก้จะใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

ผลคูณของเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้ง a → และ b → พร้อมกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ ใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ a → × b → สำหรับพื้นที่สามมิติ จะมีรูปแบบ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

ให้เราวิเคราะห์ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในรายละเอียดเพิ่มเติมโดยใช้ตัวอย่างของปัญหา

ตัวอย่าง 7

เวกเตอร์ b → = (0 , 2 , 3) ​​​​และ a → = (2 , 1 , 0) จะได้รับ ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับข้อมูลพร้อมกัน

วิธีการแก้

ในการแก้ คุณต้องหาผลคูณของเวกเตอร์ (ต้องอ้างอิงถึงวรรค การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เพื่อหาเวกเตอร์) เราได้รับ:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 ผม → + (- 6) j → + 4 k →

ตอบ: (3 , - 6 , 4) - พิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ a → และ b → พร้อมกัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในส่วนคำถาม ให้หาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยผู้เขียน Anna Afanasyevaคำตอบที่ดีที่สุดคือ พบเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ขนานสองตัวเป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ahb เพื่อหามัน คุณต้องสร้างดีเทอร์มีแนนต์ บรรทัดแรกจะประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วย I, j, k, วินาทีของ พิกัดของเวกเตอร์ a, พิกัดที่สามของเวกเตอร์ใน ดีเทอร์มีแนนต์ถือเป็นส่วนเสริมในบรรทัดแรก ในกรณีของคุณจะกลายเป็น axb=20i-10k หรือ axb=(20,0,-10)

คำตอบจาก 22 คำตอบ[คุรุ]

สวัสดี! นี่คือหัวข้อที่เลือกสรรพร้อมคำตอบสำหรับคำถามของคุณ: ค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ให้มาสองตัว

คำตอบจาก ยืด[มือใหม่]
เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกันสองตัวถูกพบเป็น ahb ผลคูณของพวกมัน เพื่อหามัน คุณต้องสร้างดีเทอร์มีแนนต์ แถวแรกจะประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วย I, j, k, พิกัดที่สองของ เวกเตอร์ a, หนึ่งในสามของพิกัดของเวกเตอร์ใน ดีเทอร์มีแนนต์ถือเป็นส่วนเสริมในบรรทัดแรก ในกรณีของคุณจะกลายเป็น axb=20i-10k หรือ axb=(20,0,-10)

คำตอบจาก เฮย์กะ[คุรุ]
ตัดสินใจประมาณนี้ แต่อ่านเอาเองก่อน! !
คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์ d และ r ถ้า d=-c+a+2b; r=-b+2a.
โมดูลัสของเวกเตอร์ a คือ 4 โมดูลัสของเวกเตอร์ b คือ 6 มุมระหว่างเวกเตอร์ a และ b คือ 60 องศา เวกเตอร์ c ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b
จุด E และ F อยู่ตามลำดับด้าน AD และ BC ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยที่ AE=ED, BF: FC = 4: 3 a) แสดงเวกเตอร์ EF ในรูปของเวกเตอร์ m = เวกเตอร์ AB และเวกเตอร์ n = vector AD . b) เวกเตอร์ EF = x สามารถคูณด้วยเวกเตอร์ซีดีสำหรับค่าของ x ได้หรือไม่ .

โอห์ม. ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นเราขอแนะนำแนวคิดของเซ็กเมนต์

คำจำกัดความ 1

เซ็กเมนต์เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ล้อมรอบด้วยจุดทั้งสองด้าน

คำจำกัดความ 2

ส่วนปลายของส่วนจะเรียกว่าจุดที่จำกัด

เพื่อแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์ ปลายด้านหนึ่งของเซ็กเมนต์จะเรียกว่าจุดเริ่มต้น

คำจำกัดความ 3

เราจะเรียกเวกเตอร์ (ส่วนกำกับ) ส่วนดังกล่าวซึ่งระบุว่าจุดขอบเขตใดคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

สัญกรณ์: \overline(AB) - vector AB เริ่มต้นที่จุด A และสิ้นสุดที่จุด B

มิฉะนั้น ให้ใช้อักษรตัวเล็กตัวเดียว: \overline(a) (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 4

เวกเตอร์ศูนย์คือจุดใดๆ ที่เป็นของระนาบ

การกำหนด: \overline(0) .

ตอนนี้เราแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์คอลลิเนียร์โดยตรง

นอกจากนี้เรายังแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งเราต้องการด้านล่าง

คำจำกัดความ 6

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดเป็นสเกลาร์ (หรือตัวเลข) ที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ทั้งสองนี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด

ในทางคณิตศาสตร์อาจมีลักษณะดังนี้:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

นอกจากนี้ยังสามารถหา dot product ได้โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ดังนี้

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

สัญลักษณ์ของความตั้งฉากผ่านสัดส่วน

ทฤษฎีบท 1

เพื่อให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากซึ่งกันและกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะต้องเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์.

ต้องการ: ให้เราได้รับเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) ซึ่งมีพิกัด (α_1,α_2,α_3) และ (β_1,β_2,β_3) ตามลำดับและตั้งฉากกัน จากนั้นเราต้องพิสูจน์ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้

เนื่องจากเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) ตั้งฉาก มุมระหว่างพวกมันคือ 90^0 ให้หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตรจากนิยาม 6

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

พอเพียง : ให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง \overline(α)\cdot \overline(β)=0. ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) จะตั้งฉากกัน

ตามนิยาม 6 ความเสมอภาคจะเป็นจริง

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

ดังนั้นเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) จะตั้งฉากกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด (1,-5,2) และ (2,1,3/2) ตั้งฉากกัน

การพิสูจน์.

ลองหาดอทโปรดัคของเวกเตอร์เหล่านี้ผ่านสูตรที่ให้ไว้ด้านบนกัน

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 1 เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉาก

การหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวผ่านผลคูณไขว้

เรามาแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันก่อน

คำจำกัดความ 7

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองที่กำหนด และความยาวของมันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ และเวกเตอร์นี้ด้วย สองอันเริ่มต้นมีการวางแนวเดียวกันกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

การกำหนด: \overline(α)x\overline(β)x.

ในการหาผลคูณของเวกเตอร์ เราจะใช้สูตร

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

เนื่องจากเวกเตอร์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองนี้ ดังนั้นมันจะเป็นเวกเตอร์การอ้างสิทธิ์ นั่นคือ ในการหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว คุณแค่ต้องหาผลคูณของพวกมัน

ตัวอย่าง 2

ค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ด้วยพิกัด \overline(α)=(1,2,3) และ \overline(β)=(-1,0,3)

หาผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x