ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ระบุโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี แผนเบอร์นูลลี

อย่าคิดเรื่องสูงส่งเป็นเวลานาน - มาเริ่มกันที่คำจำกัดความกันดีกว่า

- นี่คือเวลาที่ทำการทดลองอิสระประเภทเดียวกัน n ครั้ง โดยแต่ละการทดลองอาจปรากฏเหตุการณ์ A ที่เราสนใจ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ P(A) = p เป็นที่รู้จัก เราจำเป็นต้องหาความน่าจะเป็นที่หลังจากการทดลอง n ครั้ง เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน k ครั้ง

ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้โครงการเบอร์นูลลีนั้นมีความหลากหลายมาก: จากปัญหาง่าย ๆ (เช่น "ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดน 1 ครั้งใน 10") ไปจนถึงปัญหาที่รุนแรงมาก (เช่น ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์หรือ เล่นไพ่- ในความเป็นจริงโครงการนี้มักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบคุณภาพของผลิตภัณฑ์และความน่าเชื่อถือของกลไกต่าง ๆ ซึ่งต้องทราบลักษณะทั้งหมดก่อนเริ่มงาน

กลับมาที่คำจำกัดความกัน เนื่องจาก เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการทดลองอิสระ และในแต่ละการทดลอง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะเท่ากัน โดยมีเพียงสองผลลัพธ์เท่านั้นที่เป็นไปได้:

A คือเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p;
“ไม่ใช่ A” - เหตุการณ์ A ไม่ปรากฏ ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − p

เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดโดยที่แผนการของเบอร์นูลลีไม่สูญเสียความหมายก็คือความมั่นคง ไม่ว่าเราจะทำการทดลองกี่ครั้ง เราก็สนใจเหตุการณ์ A เดียวกัน ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p เท่ากัน

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นจะถูกลดทอนลงสู่สภาวะคงที่ ครูสอนพิเศษที่มีความสามารถจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- แม้แต่เรื่องง่ายๆ อย่างการนำลูกบอลหลากสีออกจากกล่องก็ไม่ใช่ประสบการณ์ที่มีเงื่อนไขคงที่ พวกเขาหยิบลูกบอลอีกลูกออกมา - อัตราส่วนของสีในกล่องเปลี่ยนไป ผลที่ตามมาคือความน่าจะเป็นก็เปลี่ยนไปด้วย

หากเงื่อนไขคงที่ เราสามารถระบุความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นได้อย่างแม่นยำ k ครั้งจาก n ที่เป็นไปได้ ให้เรากำหนดข้อเท็จจริงนี้ในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองคงที่และเท่ากับ p จากนั้น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะปรากฏเป็น k ครั้งในการทดลองอิสระ n ครั้งจะคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ C n k คือจำนวนชุดค่าผสม, q = 1 − p

สูตรนี้เรียกว่า: . เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าปัญหาที่ระบุด้านล่างสามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ต้องใช้สูตรนี้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้สูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นได้ อย่างไรก็ตาม ปริมาณการคำนวณจะไม่สมจริง

งาน. ความน่าจะเป็นในการผลิตสินค้าชำรุดบนเครื่องจักรคือ 0.2 กำหนดความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจำนวน 10 ชิ้นที่ผลิตในเครื่องนี้จะมีชิ้นส่วน k ชิ้นที่ไม่มีข้อบกพร่อง แก้ปัญหาสำหรับ k = 0, 1, 10

ตามเงื่อนไขเราสนใจเหตุการณ์ A ปล่อยสินค้าไม่มีตำหนิซึ่งเกิดขึ้นแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น p = 1 − 0.2 = 0.8 เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้น k ครั้ง เหตุการณ์ A ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" เช่น การปล่อยผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

ดังนั้นเราจึงได้: n = 10; พี = 0.8; คิว = 0.2

ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนทั้งหมดในชุดมีข้อบกพร่อง (k = 0) มีเพียงชิ้นส่วนเดียวที่ไม่มีข้อบกพร่อง (k = 1) และไม่มีชิ้นส่วนที่ชำรุดเลย (k = 10):

งาน. โยนเหรียญ 6 ครั้ง การได้เสื้อคลุมแขนและศีรษะก็มีโอกาสเท่าเทียมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

แขนเสื้อจะปรากฏสามครั้ง

แขนเสื้อจะปรากฏเพียงครั้งเดียว

แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง

เราจึงสนใจเหตุการณ์ A เมื่อแขนเสื้อหลุดออกมา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ p = 0.5 เหตุการณ์ A ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" เมื่อผลลัพธ์เป็นหัว ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − 0.5 = 0.5 เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏเป็น k ครั้ง

ดังนั้นเราจึงได้: n = 6; พี = 0.5; คิว = 0.5

ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อถูกดึงออกมาสามครั้งนั่นคือ เค = 3:

ตอนนี้เรามาดูความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อขึ้นมาเพียงครั้งเดียวนั่นคือ เค = 1:

ยังคงต้องพิจารณาถึงความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง ประเด็นหลักอยู่ที่วลี “ไม่น้อย” ปรากฎว่า k ใด ๆ ยกเว้น 0 และ 1 จะเหมาะกับเรานั่นคือ เราต้องหาค่าของผลรวม X = P 6 (2) + P 6 (3) + … + P 6 (6)

โปรดทราบว่าผลรวมนี้ก็เท่ากับ (1 − P 6 (0) − P 6 (1)) เช่น เพียงพอแล้ว ตัวเลือกที่เป็นไปได้“ตัดออก” พวกที่แขนเสื้อหลุดออก 1 ครั้ง (k = 1) หรือไม่หลุดเลย (k = 0) เนื่องจากเรารู้ P 6 (1) แล้ว จึงยังคงต้องหา P 6 (0):

งาน. ความน่าจะเป็นที่ทีวีจะมีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่คือ 0.2 ทีวี 20 เครื่องมาถึงโกดัง เหตุการณ์ใดมีโอกาสมากกว่า: ในชุดนี้มีทีวีสองเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนเร้นหรือสามเครื่อง

เหตุการณ์ที่สนใจ A คือการมีอยู่ของข้อบกพร่องที่แฝงอยู่ มีทีวีทั้งหมด n = 20 เครื่อง ความน่าจะเป็นของข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่คือ p = 0.2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะรับทีวีโดยไม่มีข้อบกพร่องแอบแฝงคือ q = 1 − 0.2 = 0.8

เราได้รับเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับโครงการ Bernoulli: n = 20; พี = 0.2; คิว = 0.8

มาหาความน่าจะเป็นที่จะได้ทีวีที่ "ชำรุด" สองเครื่อง (k = 2) และสามเครื่อง (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

เห็นได้ชัดว่า P 20 (3) > P 20 (2) เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้รับโทรทัศน์สามเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนเร้นนั้นมากกว่าความน่าจะเป็นที่จะได้รับโทรทัศน์ดังกล่าวเพียงสองเครื่อง อีกทั้งความแตกต่างก็ไม่อ่อนแอ

ข้อมูลสั้นๆ เกี่ยวกับแฟกทอเรียล หลายๆ คนรู้สึกไม่สบายอย่างคลุมเครือเมื่อเห็นข้อความ “0!” (อ่านว่า “ศูนย์แฟกทอเรียล”) ดังนั้น 0! = 1 ตามคำจำกัดความ

ป.ล. และความน่าจะเป็นที่ใหญ่ที่สุดในงานสุดท้ายคือการได้ทีวีสี่เครื่องที่มีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ คำนวณด้วยตัวคุณเองและดูด้วยตัวคุณเอง

ดูเพิ่มเติมที่:

ขอบคุณสำหรับการอ่านและแบ่งปันกับผู้อื่น

เมื่อแก้ไขปัญหาความน่าจะเป็น เรามักจะพบกับสถานการณ์ที่มีการทดสอบเดียวกันซ้ำหลายครั้ง และผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของผู้อื่น การทดลองนี้เรียกอีกอย่างว่า ซ้ำแล้วซ้ำเล่า การทดสอบอิสระ หรือ แผนเบอร์นูลลี.

ตัวอย่างการทดสอบซ้ำ:

1) นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศซ้ำๆ โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลที่ดึงออกมานั้นจะต้องใส่กลับเข้าไปในโกศหลังจากลงทะเบียนสีแล้ว

2) การทำซ้ำโดยผู้ยิงหนึ่งนัดในเป้าหมายเดียวกันโดยมีเงื่อนไขว่าความน่าจะเป็นของการโจมตีที่ประสบความสำเร็จในแต่ละนัดจะถือว่าเท่ากัน (บทบาทของการเป็นศูนย์จะไม่ถูกนำมาพิจารณา)

ดังนั้น ปล่อยให้การทดสอบเป็นไปได้ ผลลัพธ์สองประการ: เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะปรากฏขึ้น กหรือเหตุการณ์ตรงกันข้าม ลองทำการทดสอบเบอร์นูลลีกัน ซึ่งหมายความว่าการทดลองทั้งหมดมีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $A$ จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองแต่ละครั้งหรือการทดลองเดี่ยวนั้นคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงจากการทดลองหนึ่งไปอีกการทดลองหนึ่ง (นั่นคือ การทดลองจะดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน) ให้เราแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ ในการทดลองครั้งเดียวด้วยตัวอักษร $p$ นั่นคือ $p=P(A)$ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม (เหตุการณ์ $A$ ไม่ได้เกิดขึ้น) - โดยมีตัวอักษร $q=P(\overline(A))=1-p$

แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กจะปรากฏอยู่ในสิ่งเหล่านี้ nทดสอบอย่างแน่นอน เคครั้งที่แสดงออกมา สูตรของเบอร์นูลลี

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

เรียกว่าการกระจายจำนวนความสำเร็จ (เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น) การแจกแจงแบบทวินาม.

เครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับสูตรของเบอร์นูลลี

ปัญหายอดนิยมบางประเภทที่ใช้สูตรเบอร์นูลลีมีการพูดคุยกันในบทความและมีเครื่องคิดเลขออนไลน์ คุณสามารถไปตามลิงก์:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี

ตัวอย่าง.ในโกศมีลูกบอลสีขาว 20 ลูกและสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกดึงออกจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ก่อนที่จะหยิบลูกบอลถัดไปออกมา และลูกบอลในโกศจะถูกผสมกัน

สูตรของเบอร์นูลลี การแก้ปัญหา

จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาสี่ลูกจะมีลูกสีขาว 2 ลูก

สารละลาย.เหตุการณ์ ก- เข้าใจแล้ว ลูกบอลสีขาว- แล้วความน่าจะเป็น
, .
ตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ
.

ตัวอย่าง.จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีลูกสาวไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน

สารละลาย.ความน่าจะเป็นของการมีหญิงสาว
, แล้ว .

ลองหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีเด็กหญิงในครอบครัว มีเด็กหญิงหนึ่ง สอง หรือสามคนเกิด:

, ,

, .

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตัวอย่าง.ในบรรดาชิ้นส่วนที่ดำเนินการโดยคนงาน โดยเฉลี่ย 4% นั้นเป็นชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่นำมาทดสอบ 30 ชิ้น มี 2 ชิ้นที่ไม่ได้มาตรฐาน

สารละลาย.ประสบการณ์ประกอบด้วยการตรวจสอบคุณภาพแต่ละชิ้นส่วนจากทั้งหมด 30 ชิ้น

เหตุการณ์ A คือ “การปรากฏตัวของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน” ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นคือ จากตรงนี้ เราพบโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี
.

ตัวอย่าง.ในแต่ละนัดจากปืน ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายคือ 0.9 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จาก 20 ช็อต จำนวนช็อตที่สำเร็จจะเป็นอย่างน้อย 16 ช็อตและไม่เกิน 19 ช็อต

สารละลาย.เราคำนวณโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

ตัวอย่าง.การทดสอบอิสระดำเนินต่อไปจนถึงงาน กจะไม่เกิดขึ้น เคครั้งหนึ่ง. ค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการ nการทดสอบ (n ³ k) หากในแต่ละอัน .

สารละลาย.เหตุการณ์ ใน- อย่างแน่นอน nทดสอบก่อน เค- การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ ก– เป็นผลงานของสองเหตุการณ์ต่อไปนี้:

ดี-อิน n- การทดสอบครั้งที่ กเกิดขึ้น;

ค - ก่อน (n–1)- การทดสอบครั้งที่ กปรากฏขึ้น (ฎ-1)ครั้งหนึ่ง.

ทฤษฎีบทการคูณและสูตรของเบอร์นูลลีให้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ควรสังเกตว่าการใช้กฎทวินามมักเกี่ยวข้องกับปัญหาในการคำนวณ ดังนั้นด้วยมูลค่าที่เพิ่มขึ้น nและ มขอแนะนำให้ใช้สูตรโดยประมาณ (Poisson, Moivre-Laplace) ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปนี้

วิดีโอสอนสูตรเบอร์นูลลี

สำหรับผู้ที่ต้องการคำอธิบายวิดีโอที่สอดคล้องกัน วิดีโอความยาว 15 นาที:

สูตรความน่าจะเป็นรวม: ทฤษฎีและตัวอย่างการแก้ปัญหา

สูตรความน่าจะเป็นรวมและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์

สูตร ความน่าจะเป็นเต็ม เป็นผลมาจากกฎพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น - กฎการบวกและกฎการคูณ

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้ กซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้กับแต่ละอย่างเท่านั้น nเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันซึ่งเกิดขึ้น ระบบที่สมบูรณ์หากทราบความน่าจะเป็น และ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์ต่างๆ กสัมพันธ์กับแต่ละเหตุการณ์ของระบบจะเท่ากัน

เหตุการณ์เรียกอีกอย่างว่าสมมติฐาน ดังนั้นในวรรณคดีคุณสามารถค้นหาการกำหนดไม่ได้ด้วยตัวอักษร บีและจดหมาย ชม(สมมติฐาน).

ในการแก้ปัญหาเงื่อนไขดังกล่าวจำเป็นต้องพิจารณา 3, 4, 5 หรือ กรณีทั่วไป nความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก- กับทุกเหตุการณ์

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เราจะได้ผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ของระบบโดย ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์ต่างๆ กเกี่ยวกับแต่ละเหตุการณ์ของระบบ

การทดสอบ 21 เบอร์นูลลี สูตรของเบอร์นูลลี

นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หรือโดยทั่วไป

ซึ่งเรียกว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด .

สูตรความน่าจะเป็นรวม: ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1มีโกศที่มีลักษณะเหมือนกันสามอัน: อันแรกมีลูกบอลสีขาว 2 อันและสีดำ 3 อัน อันที่สองมีสีขาว 4 อันและสีดำหนึ่งอัน อันที่สามมีลูกบอลสีขาวสามอัน มีคนสุ่มเข้าใกล้โกศอันหนึ่งและหยิบลูกบอลออกมาหนึ่งลูก การเอาเปรียบ สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดให้หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกนี้จะเป็นสีขาว

สารละลาย. เหตุการณ์ ก- ลักษณะเป็นลูกบอลสีขาว เราเสนอสมมติฐานสามข้อ:

— เลือกกล่องลงคะแนนใบแรกแล้ว

— เลือกกล่องลงคะแนนใบที่สองแล้ว

— โกศที่สามถูกเลือก

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับสมมติฐานแต่ละข้อ:

, , .

เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ได้คือความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ตัวอย่างที่ 2ที่โรงงานแห่งแรก ในทุกๆ 100 หลอด มีการผลิตหลอดไฟมาตรฐานเฉลี่ย 90 หลอดที่โรงงานที่สอง - 95 ที่โรงงานที่สาม - 85 และผลิตภัณฑ์ของโรงงานเหล่านี้ประกอบด้วย 50%, 30% และตามลำดับ 20% ของหลอดไฟทั้งหมดที่จำหน่ายให้กับร้านค้าในบางพื้นที่ ค้นหาความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐาน

สารละลาย. ให้เราแสดงความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐานด้วย กและเหตุการณ์ที่ผลิตหลอดไฟที่ซื้อมาในโรงงานแห่งที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ โดยผ่าน ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้เป็นที่รู้จัก: , และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับแต่ละเรื่อง: , , - นี่คือความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐาน โดยมีเงื่อนไขว่าจะผลิตที่โรงงานที่หนึ่ง สอง และสาม ตามลำดับ

เหตุการณ์ กจะเกิดขึ้นหากมีเหตุการณ์เกิดขึ้น เค— หลอดไฟถูกผลิตขึ้นที่โรงงานแห่งแรกและเป็นมาตรฐานหรืองานอีเว้นท์ ล— หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งที่สองและเป็นมาตรฐานหรืองานอีเว้นท์ ม— หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งที่ 3 และเป็นมาตรฐาน

ความเป็นไปได้อื่นๆ ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น กเลขที่ ดังนั้นการจัดงาน กคือผลรวมของเหตุการณ์ เค, ลและ มซึ่งเข้ากันไม่ได้ เมื่อใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น เราจะจินตนาการถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ กในรูปแบบ

และด้วยทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่เราได้รับ

นั่นคือ กรณีพิเศษสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด.

เมื่อแทนค่าความน่าจะเป็นทางด้านซ้ายของสูตร เราจะได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก:

ไม่มีเวลาเจาะลึกวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม? สั่งงานได้เลย!

ตัวอย่างที่ 3เครื่องบินกำลังลงจอดที่สนามบิน หากสภาพอากาศเอื้ออำนวย นักบินจะลงจอดโดยใช้อุปกรณ์สังเกตการณ์นอกเหนือจากเครื่องมือ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการลงจอดอย่างปลอดภัยจะเท่ากับ หากสนามบินถูกปกคลุมไปด้วยเมฆต่ำ นักบินจะลงจอดโดยต้องมีอุปกรณ์นำทางเท่านั้น ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการลงจอดอย่างปลอดภัยจะเท่ากับ -

อุปกรณ์ที่ให้การลงจอดแบบตาบอดมีความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลว) ป- ในที่ที่มีเมฆต่ำและอุปกรณ์ลงจอดที่ล้มเหลว ความน่าจะเป็นของการลงจอดสำเร็จจะเท่ากับ - สถิติแสดงให้เห็นว่าใน เค% ของการลงจอดที่สนามบินถูกปกคลุมไปด้วยเมฆระดับต่ำ หา ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ก- การลงจอดเครื่องบินอย่างปลอดภัย

สารละลาย. สมมติฐาน:

— ไม่มีเมฆชั้นต่ำ

– มีความขุ่นเล็กน้อย

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้ (เหตุการณ์):

;

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

เราจะค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอีกครั้งโดยใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดพร้อมสมมติฐาน

— อุปกรณ์ลงจอดแบบตาบอดใช้งานได้

— อุปกรณ์ลงจอดแบบตาบอดล้มเหลว

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้:

ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 4อุปกรณ์สามารถทำงานได้สองโหมด: ปกติและผิดปกติ โหมดปกติพบได้ใน 80% ของทุกกรณีการทำงานของอุปกรณ์ และพบโหมดผิดปกติใน 20% ของกรณีทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวภายใน เวลาที่แน่นอน ทีเท่ากับ 0.1; ในภาวะผิดปกติ 0.7 หา ความน่าจะเป็นเต็มความล้มเหลวของอุปกรณ์เมื่อเวลาผ่านไป ที.

สารละลาย. เราแสดงถึงความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวอีกครั้ง ก- ดังนั้นเกี่ยวกับการทำงานของอุปกรณ์ในแต่ละโหมด (เหตุการณ์) ความน่าจะเป็นจะทราบตามเงื่อนไข: สำหรับโหมดปกติคือ 80% () สำหรับโหมดผิดปกติ - 20% () ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก(นั่นคือความล้มเหลวของอุปกรณ์) ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์แรก (โหมดปกติ) เท่ากับ 0.1 (); ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่สอง (โหมดผิดปกติ) - 0.7 ( - เราแทนค่าเหล่านี้เป็นสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด (นั่นคือผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ของระบบด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับแต่ละเหตุการณ์ของระบบ) และต่อหน้าเราคือผลลัพธ์ที่ต้องการ

อย่าคิดเรื่องสูงส่งเป็นเวลานาน - มาเริ่มกันที่คำจำกัดความกันดีกว่า

แผนของเบอร์นูลลีคือเมื่อไม่มีการทดลองอิสระที่เหมือนกันเกิดขึ้น โดยแต่ละการทดลองอาจปรากฏเหตุการณ์ที่เราสนใจปรากฏเป็น A และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ P (A) = p เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว เราจำเป็นต้องหาความน่าจะเป็นที่หลังจากการทดลอง n ครั้ง เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน k ครั้ง

ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้แผนการของ Bernoulli นั้นมีความหลากหลายมาก: จากปัญหาง่ายๆ (เช่น "ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะตี 1 ครั้งจาก 10 ครั้ง") ไปจนถึงปัญหาที่รุนแรงมาก (เช่น ปัญหาเกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์หรือการเล่นไพ่) . ในความเป็นจริงโครงการนี้มักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบคุณภาพของผลิตภัณฑ์และความน่าเชื่อถือของกลไกต่าง ๆ ซึ่งต้องทราบลักษณะทั้งหมดก่อนเริ่มงาน

กลับมาที่คำจำกัดความกัน เนื่องจากเรากำลังพูดถึงการทดลองอิสระ และในการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะเท่ากัน จึงมีเพียงสองผลลัพธ์เท่านั้นที่เป็นไปได้:

A คือเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p;
“ไม่ใช่ A” - เหตุการณ์ A ไม่ปรากฏ ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − p

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นจะถูกลดทอนลงสู่สภาวะคงที่ ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ระดับสูงที่มีความสามารถจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ แม้แต่เรื่องง่ายๆ อย่างการนำลูกบอลหลากสีออกจากกล่องก็ไม่ใช่ประสบการณ์ที่มีเงื่อนไขคงที่ พวกเขาหยิบลูกบอลอีกลูกออกมา - อัตราส่วนของสีในกล่องเปลี่ยนไป ผลที่ตามมาคือความน่าจะเป็นก็เปลี่ยนไปด้วย

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองคงที่และเท่ากับ p จากนั้น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะปรากฏเป็น k ครั้งในการทดลองอิสระ n ครั้งจะคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ C n k คือจำนวนชุดค่าผสม, q = 1 − p

สูตรนี้เรียกว่าสูตรของเบอร์นูลลี เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าปัญหาที่ระบุด้านล่างสามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ต้องใช้สูตรนี้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้สูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นได้ อย่างไรก็ตาม ปริมาณการคำนวณจะไม่สมจริง

งาน. ความน่าจะเป็นในการผลิตสินค้าชำรุดบนเครื่องจักรคือ 0.2 กำหนดความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจำนวน 10 ชิ้นที่ผลิตในเครื่องนี้จะมีชิ้นส่วน k ชิ้นที่ไม่มีข้อบกพร่อง แก้ปัญหาสำหรับ k = 0, 1, 10

ดังนั้นเราจึงได้: n = 10; พี = 0.8; คิว = 0.2

งาน. โยนเหรียญ 6 ครั้ง การได้เสื้อคลุมแขนและศีรษะก็มีโอกาสเท่าเทียมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

แขนเสื้อจะปรากฏสามครั้ง

แขนเสื้อจะปรากฏเพียงครั้งเดียว

แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง

ดังนั้นเราจึงได้: n = 6; พี = 0.5; คิว = 0.5

ยังคงต้องพิจารณาถึงความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง ประเด็นหลักอยู่ที่วลี “ไม่น้อย” ปรากฎว่าเราจะพอใจกับ k ใดๆ ยกเว้น 0 และ 1 นั่นคือ เราจำเป็นต้องค้นหาค่าของผลรวม X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6)

โปรดทราบว่าผลรวมนี้ก็เท่ากับ (1 − P 6 (0) − P 6 (1)) เช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะ "ตัด" จากตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อเสื้อคลุมแขนหลุดออก 1 ครั้ง (k = 1) หรือไม่ปรากฏเลย (k = 0) เนื่องจากเรารู้ P 6 (1) แล้ว จึงยังคงต้องหา P 6 (0):

งาน. ความน่าจะเป็นที่ทีวีจะมีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่คือ 0.2 ทีวี 20 เครื่องมาถึงโกดัง เหตุการณ์ใดมีโอกาสมากกว่า: ในชุดนี้มีทีวีสองเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนเร้นหรือสามเครื่อง

เราได้รับเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับโครงการ Bernoulli: n = 20; พี = 0.2; คิว = 0.8

ป. ส. และความน่าจะเป็นที่ใหญ่ที่สุดในงานสุดท้ายคือการได้ทีวีสี่เครื่องที่มีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ คำนวณด้วยตัวคุณเองและดูด้วยตัวคุณเอง

ก่อนที่จะนำเสนอคำถามที่สามของการบรรยาย ครูระบุปัญหาที่จำเป็นในการพิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับการทำซ้ำของการทดลอง โดยสังเกตว่าในหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นที่กำลังศึกษาอยู่ มีเพียงทฤษฎีบทเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับการทำซ้ำของการทดลองอิสระเท่านั้น แต่ละเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ จะได้รับการพิจารณา

หลังจากนั้นครูจะแสดงข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ (ที่มาของสูตรของเบอร์นูลลี)

เพื่ออธิบายสาระสำคัญทางกายภาพของทฤษฎีบทที่กำลังพิจารณา ครูจะใช้เครื่องฉายเหนือศีรษะและสไลด์ที่เตรียมไว้

ในตอนท้ายของการบรรยาย ครูอธิบายว่าเหตุใดการกระจายความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในชุดการทดสอบ n ชุดในสภาวะที่ไม่สอดคล้องกันและรวมกลุ่มของเหตุการณ์ทั้งหมดจึงเรียกว่าทวินามและดึงความสนใจไปที่ความสำคัญ ของการรู้การกระจายนี้เพื่อแก้ไขปัญหาประยุกต์

จนถึงขณะนี้ เราได้พิจารณาการรวมกันของเหตุการณ์จำนวนค่อนข้างน้อย เมื่อการใช้กฎการบวกและการคูณความน่าจะเป็นโดยตรงไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาในการคำนวณมากนัก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจำนวนเหตุการณ์หรือจำนวนการทดลองที่อาจปรากฏเหตุการณ์ที่สนใจเพิ่มขึ้น วิธีการคำนวณที่เรียนรู้จึงยุ่งยากมาก

ยิ่งไปกว่านั้น ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายก็ต่อเมื่อการทดลองเป็นอิสระเท่านั้น

เรียกว่าการทดลองหลายครั้ง เป็นอิสระถ้าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของการทดลองแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่น

ในทางปฏิบัติมีหลายกรณีที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในการทดลองอิสระทั้งหมด อาจเหมือนกันหรือแตกต่างกันไปในแต่ละการทดลอง ตัวอย่างเช่น หากคุณปรับการยิงหลังจากแต่ละนัด ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายจะเปลี่ยนไปตามแต่ละนัด

ในกรณีที่ในการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เปลี่ยนแปลงจากการทดลองไปสู่การทดลอง จะใช้ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับการทำซ้ำของการทดลอง และเมื่อในการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์จะไม่เปลี่ยนจากการทดลอง ในการทดลองจะใช้ทฤษฎีบทเฉพาะเกี่ยวกับการทำซ้ำของการทดลอง

ในหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เรากำลังศึกษาอยู่ เราจะพิจารณาเฉพาะหัวข้อเฉพาะของการทดลองซ้ำเมื่อจำเป็นเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กในชุดการทดลองอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน

ตัวอย่างเช่น มีความจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่ว่าด้วยการยิงห้านัดจากปืนที่การตั้งค่าคงที่ จะได้รับการโจมตีสองครั้งที่เป้าหมายอย่างแน่นอนหากการยิงเป็นอิสระ และในแต่ละนัด ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายนั้นเป็นที่รู้จักและไม่ เปลี่ยน.

หากเรารวมเหตุการณ์ที่เราสนใจ A 1 เข้าด้วยกัน เราจะได้:

จะมีการผสมผสานที่เป็นไปได้ 10 แบบซึ่งเหตุการณ์ A=(โดน 2 ครั้งด้วยการยิง 5 นัด) เกิดขึ้น

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์อิสระ เราจะได้:

การเพิ่มจำนวนเหตุการณ์หรือการทดสอบที่เราสนใจจะนำไปสู่การเพิ่มปริมาณการดำเนินการทางคอมพิวเตอร์มากขึ้น ดังนั้นงานจึงเกิดขึ้นจากการหาวิธีการคำนวณที่ใช้แรงงานน้อยลง

คำชี้แจงปัญหา:

ให้เราถือว่าภายใต้เงื่อนไขที่เหมือนกัน เพื่อทำการทดสอบอิสระ n รายการ ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละอย่างอาจเป็นการเกิดของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง กหรือสิ่งที่ตรงกันข้าม .

ให้เราแสดงโดย ก 1 การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กในการทดสอบครั้งแรก ก 2 - ในการทดสอบครั้งที่สอง ก n- ในการทดสอบครั้งสุดท้าย

เนื่องจากเงื่อนไขการทดสอบมีความสม่ำเสมอ:

พี(เอ 1 ) = P(ก 2 ) = … P(ก n ) = หน้า

เราสนใจในความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งพอดีในการทดลอง n ครั้ง แต่จะไม่เกิดขึ้นในการทดลอง n-m ที่เหลือ (กล่าวคือ เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น - ).

ให้เราถือว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจ กเกิดขึ้นต่อเนื่องกัน m ครั้ง เริ่มตั้งแต่ครั้งแรกคือ มีเหตุการณ์เกิดขึ้น - อี.

อี= ก 1 ก 2 …ก ม -1 ก ม 
(1)

ม n- ม

ตามเงื่อนไขของการทดสอบซ้ำ เหตุการณ์ที่รวมอยู่ในชุดค่าผสมนี้มีความเป็นอิสระ ในขณะที่ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A 1 ก 2 ,… ก ม -1 , ก มเหมือนกันและเท่าเทียมกัน พี: พี(ก 1 ) = P(ก 2 ) =…= ป(ก ม ) = พีและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ที่ไม่เกิดขึ้น
เหมือนกันและเท่าเทียมกัน ถาม=1-ร:.

เมื่อใช้กฎการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระกับนิพจน์ 1 เราได้รับ:

ป(อี) = ป(ก 1 ) พี(เอ 2 ) … ป(ก ม -1 ) พี(เอ ม ) พี(
= หน้า ม (1-ร) n  - ม = หน้า ม ถาม n - ม

เนื่องจากความสม่ำเสมอของเงื่อนไขการทดสอบ เราจึงถือว่าเหตุการณ์นี้เป็นที่สนใจของเรา กเกิดขึ้นเป็นแถว m ครั้ง เริ่มจากครั้งแรก แต่เหตุการณ์. กวี nบททดสอบอาจมาอย่างแน่นอน มครั้งในลำดับหรือชุดค่าผสมที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เราไม่แยแสกับลำดับที่แน่นอนซึ่งเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้นทุกประการ มครั้งหนึ่ง.

จำนวนชุดค่าผสมดังกล่าวเท่ากับจำนวนชุดค่าผสม ขององค์ประกอบ n โดย ม.

เนื่องจากการรวมกันของเหตุการณ์เหล่านี้ (คล้ายกับการรวม E) เข้ากันไม่ได้ และเราไม่สนใจลำดับการเกิดของเหตุการณ์ กในการทดสอบอย่างแน่นอน มครั้ง แล้วแสดงถึงความน่าจะเป็นที่เราสนใจ ร มเราได้รับ:

ร ม =
ร ม (1-ร) n - ม =
=

ที่ไหน
- จำนวนชุดค่าผสมของ nองค์ประกอบโดย ม.

สูตรนี้เรียกว่าสูตรของเบอร์นูลลี

สูตรของเบอร์นูลลีช่วยให้เราได้คำตอบของคำถาม: ความน่าจะเป็นที่เมื่อมีการทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำเล่าคือเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง กมาอย่างแน่นอน มครั้ง หากในการทดลองแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กคงที่และเท่าเทียมกัน พี(ก) = พี

สูตรเบอร์นูลลีข้างต้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบซ้ำภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน เช่น ด้วยเงื่อนไขดังกล่าวซึ่งกฎแห่งทฤษฎีความน่าจะเป็นปรากฏออกมา

บทสรุปของการบรรยาย:

ในการบรรยาย เราได้ตรวจสอบประเด็นพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม และแนะนำเครื่องมือแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการศึกษาเพิ่มเติมในสาขาวิชา: คำจำกัดความ ตัวแปรสุ่มการจำแนกประเภท; แนวคิดของกฎหมายการกระจายและรูปแบบสำหรับ ประเภทต่างๆตัวแปรสุ่ม

ในการเตรียมการบรรยายและแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติครั้งต่อไป คุณจะต้องเสริมบันทึกการบรรยายของคุณอย่างอิสระในขณะที่ศึกษาวรรณกรรมที่แนะนำในเชิงลึกและแก้ไขปัญหาที่นำเสนอ

นอกจากนี้ ในบทเรียนต่อๆ ไป เราจะศึกษาทฤษฎีบทและการพึ่งพาที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ปรากฏตามจำนวนครั้งที่ต้องการหรือในช่วงเวลาหนึ่ง เช่น ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมาย

สำรวจ:

เวนเซล อี.เอส. ทฤษฎีความน่าจะเป็น หนังสือเรียน. ฉบับที่แปดโปรเฟสเซอร์. – ม.: บัณฑิตวิทยาลัย, 2545 - 575 น. – หน้า 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ทางวิศวกรรม คู่มือการศึกษา ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3 แก้ไขและขยายความ – อ.: “สถาบันการศึกษา”, 2546 – 464 หน้า – หน้า 73-93

กรัมเมอร์มาน วี.อี. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ บทช่วยสอน- ฉบับที่สิบแบบโปรเฟสเซอร์ - ม.: อุดมศึกษา", 2547 - 480 น. หน้า 64-73

ในบทนี้ เราจะค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระเมื่อทำการทดลองซ้ำ - การทดลองจะเรียกว่าเป็นอิสระ หากความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่นของการทดลองแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่นๆ - การทดสอบอิสระสามารถทำได้ทั้งภายใต้เงื่อนไขเดียวกันและภายใต้เงื่อนไขที่ต่างกัน ในกรณีแรก ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์บางอย่างจะเกิดขึ้นจะเท่ากันในการทดลองทั้งหมด ในกรณีที่สองจะแตกต่างกันไปในแต่ละการทดลอง

ตัวอย่างการทดสอบซ้ำโดยอิสระ :

หนึ่งในโหนดอุปกรณ์หรือสองหรือสามโหนดจะล้มเหลว และความล้มเหลวของแต่ละโหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับโหนดอื่น และความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของโหนดหนึ่งจะคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
ผลิตออกมาคงที่บ้าง เงื่อนไขทางเทคโนโลยีส่วนหนึ่งหรือสาม, สี่, ห้าส่วนจะกลายเป็นไม่ได้มาตรฐานและส่วนหนึ่งอาจกลายเป็นไม่ได้มาตรฐานโดยไม่คำนึงถึงส่วนอื่น ๆ และความน่าจะเป็นที่ส่วนหนึ่งจะกลายเป็นไม่ได้มาตรฐาน คงที่ในการทดสอบทั้งหมด
จากการยิงหลายนัดเข้าเป้า หนึ่ง, สามหรือสี่นัดเข้าเป้าโดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของนัดอื่นและความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้านั้นคงที่ในการทดลองทั้งหมด
เมื่อหยอดเหรียญ เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องหนึ่ง สองครั้ง หรือจำนวนครั้งอื่นๆ โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการหยอดเหรียญอื่นๆ และความน่าจะเป็นที่เครื่องจะทำงานได้อย่างถูกต้องจะคงที่ตลอดการทดลองทั้งหมด

เหตุการณ์เหล่านี้สามารถอธิบายได้ในแผนภาพเดียว แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทราบผลลัพธ์ของการทดลองครั้งก่อน การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าอิสระ และเรียกว่าวงจร แผนเบอร์นูลลี - สันนิษฐานว่าการทดสอบดังกล่าวสามารถทำซ้ำได้ตามต้องการ จำนวนมากครั้งหนึ่ง.

หากมีความน่าจะเป็น พีการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กจะคงที่ในการทดลองแต่ละครั้ง แล้วความน่าจะเป็นที่ในนั้น nกิจกรรมการทดสอบอิสระ กจะมา มครั้ง ตั้งอยู่โดย สูตรของเบอร์นูลลี :

(ที่ไหน ถาม= 1 – พี- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น)

ให้เรากำหนดงาน - เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีเหตุการณ์ประเภทนี้เข้ามา nการทดสอบอิสระจะมา มครั้งหนึ่ง.

สูตรของเบอร์นูลลี: ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากห้าส่วนที่สุ่มมา มี 2 ส่วนที่เป็นมาตรฐาน ถ้าความน่าจะเป็นที่แต่ละส่วนกลายเป็นมาตรฐานคือ 0.9

สารละลาย. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กประกอบด้วยส่วนที่สุ่มมานั้นเป็นมาตรฐานนั่นเอง พี=0.9 และมีความน่าจะเป็นที่ไม่ได้มาตรฐาน ถาม=1–พี=0.1 . เหตุการณ์ที่กำหนดในคำชี้แจงปัญหา (เราแสดงโดย ใน) จะเกิดขึ้นหาก เช่น สองส่วนแรกกลายเป็นมาตรฐาน และสามส่วนถัดไปไม่ได้มาตรฐาน แต่เหตุการณ์. ในจะเกิดขึ้นเช่นกันหากส่วนที่หนึ่งและสามกลายเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน หรือหากส่วนที่สองและห้าเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน มีความเป็นไปได้อื่น ๆ ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ใน- สิ่งใดสิ่งหนึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะด้วยความจริงที่ว่าจากห้าส่วนที่ถูกยึด สองซึ่งครอบครองสถานที่ใด ๆ ในห้าจะกลายเป็นมาตรฐาน เพราะฉะนั้น, จำนวนทั้งหมดความเป็นไปได้ต่าง ๆ ในการเกิดเหตุการณ์ ในเท่ากับจำนวนความเป็นไปได้ในการวางชิ้นส่วนมาตรฐานสองชิ้นในห้าตำแหน่ง ได้แก่ เท่ากับจำนวนการรวมกันของห้าองค์ประกอบคูณสอง และ

ความน่าจะเป็นของความเป็นไปได้แต่ละอย่าง ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น มีค่าเท่ากับผลคูณของปัจจัย 5 ตัว ซึ่งมี 2 ตัว สอดคล้องกับรูปลักษณ์ภายนอกชิ้นส่วนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.9 และส่วนที่เหลืออีกสามชิ้นซึ่งสอดคล้องกับลักษณะของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจะเท่ากับ 0.1 เช่น ความน่าจะเป็นนี้คือ เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้ง 10 ประการนี้ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ตามทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ในซึ่งเราแสดงถึง

ตัวอย่างที่ 2ความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรจะต้องได้รับการดูแลจากพนักงานภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.6 สมมติว่าปัญหาบนเครื่องจักรนั้นเป็นอิสระจากกัน ให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรหนึ่งเครื่องจากสี่เครื่องที่เขาทำงานจะต้องได้รับความสนใจจากพนักงานภายในหนึ่งชั่วโมง

สารละลาย. โดยใช้ สูตรของเบอร์นูลลีที่ n=4 , ม=1 , พี=0.6 และ ถาม=1–พี=0.4 เราได้

ตัวอย่างที่ 3สำหรับการใช้งานเวรตามปกติ จะต้องมีรถในเส้นทางอย่างน้อยแปดคัน และมีสิบคัน ความน่าจะเป็นที่รถแต่ละคันไม่เข้าเส้นคือ 0.1 หาความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของอู่ซ่อมรถในวันถัดไป

สารละลาย. รถร่วมจะใช้งานได้ตามปกติ (งาน เอฟ) ถ้าแปดหรือแปดมาในบรรทัด (event ก) หรือเก้า (event ใน) หรืองานรถทั้งสิบคัน (event ค- ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็น

เราพบแต่ละเทอม ตามสูตรของแบร์นูลลี- ที่นี่ n=10 , ม=8; 10 และ พี=1-0.1=0.9 เนื่องจาก พีควรระบุความน่าจะเป็นที่รถจะเข้าเส้น แล้ว ถาม=0.1 . เป็นผลให้เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 4ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าต้องการรองเท้าผู้ชายเบอร์ 41 เท่ากับ 0.25 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อจากหกราย อย่างน้อยสองคนต้องการรองเท้าขนาด 41

ให้ทำการทดสอบเกี่ยวกับเหตุการณ์ A เรามาแนะนำเหตุการณ์กันดีกว่า: Ak - เหตุการณ์ A เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $ k=1,2,\dots , n$ จากนั้น $\bar(A)_(k) $ เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม (เหตุการณ์ A ไม่ได้เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $k=1,2,\dots , n$)

การทดสอบที่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นอิสระคืออะไร?

คำนิยาม

การทดสอบถือเป็นประเภทเดียวกันกับเหตุการณ์ A หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , Аn$ ตรงกัน: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้งจะคงที่ในทุกการทดลอง)

แน่นอน ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่ตรงกันข้ามเหมือนกัน: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$

คำนิยาม

การทดสอบจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระโดยคำนึงถึงเหตุการณ์ A ถ้าเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , Аn$ มีความเป็นอิสระ

ในกรณีนี้

ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่เมื่อเหตุการณ์ Аk ถูกแทนที่ด้วย $\bar(A)_(k) $

ปล่อยให้ทำการทดสอบอิสระชนิดเดียวกันจำนวน n ชุดโดยสัมพันธ์กับเหตุการณ์ A เราใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: p—ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง; q คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ สำหรับ k ใดๆ และ p+q=1

ความน่าจะเป็นที่อนุกรมของเหตุการณ์การทดลอง A n เหตุการณ์จะเกิดขึ้น k ครั้งพอดี (0 ≤ k ≤ n) คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

ความเท่าเทียมกัน (1) เรียกว่าสูตรของเบอร์นูลลี

ความน่าจะเป็นที่ในชุดของเหตุการณ์การทดลองอิสระที่เหมือนกัน n เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างน้อย k1 ครั้งและไม่เกิน k2 ครั้ง คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

การประยุกต์สูตรของแบร์นูลลีสำหรับ ค่าขนาดใหญ่ n นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยาก ดังนั้นในกรณีนี้ ควรใช้สูตรอื่น - เส้นกำกับจะดีกว่า

ลักษณะทั่วไปของแผนของเบอร์นูลลี

ลองพิจารณาภาพรวมของแผนการของเบอร์นูลลี หากในชุดการทดลองอิสระ n ชุด แต่ละการทดลองมีผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ขนานและเป็นไปได้ Ak ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน Pk = pk(Ak) ดังนั้นสูตรการแจกแจงพหุนามจึงใช้ได้:

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะติดเชื้อไข้หวัดใหญ่ในช่วงที่มีการแพร่ระบาดคือ 0.4 จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานของบริษัท 6 คนจะป่วย

พนักงาน 4 คนพอดี
พนักงานไม่เกิน 4 คน

สารละลาย. 1) แน่นอนว่า เพื่อแก้ปัญหานี้ สูตรเบอร์นูลลีจึงถูกนำมาใช้ โดยที่ n=6; ค่าเค=4; พี=0.4; คิว=1-р=0.6 เมื่อใช้สูตร (1) เราจะได้: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$

ในการแก้ปัญหานี้ ให้ใช้สูตร (2) โดยที่ k1=0 และ k2=4 เรามี:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ ประมาณ 0.959.) \end(array)\]

ควรสังเกตว่าปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายกว่าโดยใช้เหตุการณ์ตรงกันข้าม - พนักงานมากกว่า 4 คนป่วย จากนั้น เมื่อพิจารณาสูตรบัญชี (7) เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม เราจะได้:

คำตอบ: $\$0.959.

ตัวอย่างที่ 2

ในโกศมีลูกบอลสีขาว 20 ลูกและสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกดึงออกจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ก่อนที่จะเอาลูกบอลถัดไปออก และลูกบอลในโกศจะถูกผสมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาสี่ลูกจะมีลูกสีขาว 2 ลูก (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สารละลาย. ให้เหตุการณ์ A เท่ากับว่าลูกบอลสีขาวถูกหยิบออกมา จากนั้นความน่าจะเป็น $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

ตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $

คำตอบ: $\frac(8)(27) $

ตัวอย่างที่ 3

จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีลูกสาวไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกสาว $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ คือความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชาย ครอบครัวหนึ่งมีเด็กหญิงไม่เกินสามคน ซึ่งหมายความว่ามีเด็กหญิงหนึ่ง สองคน หรือสามคนเกิดมา หรือครอบครัวนั้นเป็นเด็กผู้ชายทั้งหมด

ลองหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีเด็กผู้หญิงในครอบครัว เด็กผู้หญิงหนึ่ง สอง หรือสามคนเกิด: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $

คำตอบ: $\frac(13)(16) $

ตัวอย่างที่ 4

ผู้ยิงคนแรกที่มีนัดเดียวสามารถยิงสิบอันดับแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.6, เก้าคนด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และแปดคนที่มีความน่าจะเป็น 0.1 ความน่าจะเป็นที่ยิง 10 ครั้งเขาจะติดสิบอันดับแรกหกครั้ง, เก้าครั้งสามครั้งและแปดครั้ง?