เรานำเสนอสมการที่ไม่รู้จักทางด้านซ้าย วิธีสอนลูกให้แก้สมการ
สมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นไม่ใช่หัวข้อที่ยากที่สุดในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มีเทคนิคบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้แต่นักเรียนที่ผ่านการฝึกอบรมแล้ว ลองคิดดูสิ?)
โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นถูกกำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบ:
ขวาน + ข = 0 ที่ไหน ก และ ข– ตัวเลขใดก็ได้
2x + 7 = 0 ตรงนี้ ก=2, ข=7
0.1x - 2.3 = 0 ที่นี่ ก=0.1, ข=-2.3
12x + 1/2 = 0 ที่นี่ ก=12, ข=1/2
ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตเห็นคำว่า: "โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ"... และถ้าคุณสังเกตและคิดอย่างไม่ระมัดระวังล่ะ?) ถ้าอย่างนั้น ก=0, ข=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราจะได้สำนวนตลก:
แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,ก ข=5,นี่กลายเป็นสิ่งที่ไม่ธรรมดาโดยสิ้นเชิง:
ซึ่งน่ารำคาญและบั่นทอนความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ ใช่แล้ว...) โดยเฉพาะช่วงสอบ แต่จากสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีอยู่เลย และที่น่าประหลาดใจคือ X นี้หาง่ายมาก เราจะเรียนรู้การทำเช่นนี้ ในบทเรียนนี้
จะจดจำสมการเชิงเส้นตามรูปลักษณ์ได้อย่างไร? ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ภายนอกด้วย) เคล็ดลับก็คือ สมการเชิงเส้นไม่ใช่แค่สมการของแบบฟอร์มเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่สามารถลดทอนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ด้วยการแปลงและทำให้ง่ายขึ้น แล้วใครจะรู้ว่าจะลงหรือเปล่า?)
สมการเชิงเส้นสามารถรับรู้ได้อย่างชัดเจนในบางกรณี สมมติว่าถ้าเรามีสมการที่มีแต่ค่าที่ไม่รู้จักในระดับแรกและตัวเลขเท่านั้น และในสมการก็ไม่มี เศษส่วนหารด้วย ไม่ทราบ , นี่เป็นสิ่งสำคัญ! และแบ่งตาม ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข ยินดีด้วย! ตัวอย่างเช่น:
นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนตรงนี้ แต่ไม่มี x อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x ในตัวส่วน เช่น เลขที่ หารด้วย x- และนี่คือสมการ
ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ ตรงนี้ X ล้วนอยู่ในระดับแรก แต่ก็มีอยู่ การหารด้วยนิพจน์ด้วย x- หลังจากลดความซับซ้อนและการแปลงแล้ว คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง หรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ
ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจดจำสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางอย่างจนกว่าคุณจะเกือบจะแก้มันได้ นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ในงานมอบหมายตามกฎแล้วเขาไม่ถามถึงรูปแบบของสมการใช่ไหม? งานมอบหมายจะถามหาสมการ ตัดสินใจ.สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข)
การแก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.
ผลเฉลยของสมการเชิงเส้นทั้งหมดประกอบด้วยการแปลงสมการที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (สองอย่าง!) เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแก้ปัญหา ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเหล่านี้และจบลงด้วยคำตอบแบบเต็ม ตามลิงค์ไปก็เข้าท่าใช่ไหม?) ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นอยู่ที่นั่นด้วย
ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการนี้
x - 3 = 2 - 4x
นี่คือสมการเชิงเส้น X ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่จริงๆ แล้ว มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าสมการจะเป็นแบบไหน เราจำเป็นต้องแก้ไขมัน โครงการที่นี่เรียบง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกสิ่งที่ไม่มีเครื่องหมาย X (ตัวเลข) ทางด้านขวา
ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำการโอน - 4x ไปทางซ้าย พร้อมเปลี่ยนป้ายแน่นอน และ - 3 - ไปทางขวา โดยวิธีการนี้คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ซึ่งหมายความว่าคุณไม่ได้ติดตามลิงก์ แต่ไร้ประโยชน์...) เราได้รับ:
x + 4x = 2 + 3
นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน เราพิจารณา:
เราต้องการอะไรเพื่อความสุขที่สมบูรณ์? ใช่ เพื่อให้มี X บริสุทธิ์ทางด้านซ้าย! ห้าขวางทางอยู่ กำจัดทั้งห้าด้วยความช่วยเหลือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 5 เราได้คำตอบพร้อมแล้ว:
แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างเบื้องต้น นี่เป็นการวอร์มอัพ) ยังไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันถึงจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันได้ที่นี่ ตกลง. เอาวัวข้างเขากันเถอะ) มาตัดสินใจอะไรที่มั่นคงกว่านี้กันดีกว่า
ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:
เราจะเริ่มต้นที่ไหน? ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? นั่นเป็นไปได้ ก้าวเล็ก ๆ ไปตามถนนยาว หรือคุณสามารถทำได้ทันทีด้วยวิธีที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าหากคุณมีการแปลงสมการที่เหมือนกันในคลังแสงของคุณ
ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้
95 จาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน - คำตอบนั้นถูกต้อง เรามากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง- คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรจึงจะลดตัวส่วนลงได้หมด? ถูกต้องตอนตี 3 และทางขวา? คูณ 4 แต่คณิตศาสตร์ยอมให้เราคูณทั้งสองข้างได้ หมายเลขเดียวกัน- เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12 กัน! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นทั้งสามและสี่ก็จะลดลง อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน โดยสิ้นเชิง- ขั้นตอนแรกจะมีลักษณะดังนี้:
การขยายวงเล็บ:
ใส่ใจ! เศษ (x+2)ฉันใส่มันไว้ในวงเล็บแล้ว! เพราะเวลาคูณเศษส่วน ตัวเศษก็ต้องคูณด้วย! ตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนได้:
ขยายวงเล็บที่เหลือ:
ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่เป็นความสุขอย่างแท้จริง!) ตอนนี้เรามาจำคาถาจากโรงเรียนประถมกันดีกว่า: มี X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา!และใช้การแปลงนี้:
นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:
และหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:
แค่นั้นแหละ. คำตอบ: เอ็กซ์=0,16
โปรดทราบ: เพื่อนำสมการสับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่ดี เราใช้สอง (เพียงสอง!) การเปลี่ยนแปลงตัวตน– การแปลซ้าย-ขวาด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและการคูณหารของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ด้วย ใดๆ สมการ! ใครก็ได้อย่างแน่นอน นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดซ้ำเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้อย่างน่าเบื่อ)
อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้การแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่หลักการของการแก้ปัญหา
แต่... มีเรื่องน่าประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นระดับพื้นฐานที่สุดจนทำให้คุณมึนงงได้...) โชคดีที่มีเรื่องน่าประหลาดใจได้เพียงสองเรื่องเท่านั้น เรามาเรียกพวกเขาว่ากรณีพิเศษกันดีกว่า
กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น
ความประหลาดใจครั้งแรก
สมมติว่าคุณเจอสมการพื้นฐานบางอย่าง เช่น:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
เบื่อเล็กน้อย เราย้ายมันโดยให้ X ไปทางซ้าย โดยไม่มี X - ไปทางขวา... เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมาย ทุกอย่างสมบูรณ์แบบ... เราได้รับ:
2x-5x+3x=5-2-3
เรานับแล้ว...อุ๊ย!!! เราได้รับ:
ความเท่าเทียมกันในตัวเองนี้เป็นสิ่งที่น่ารังเกียจไม่ได้ ศูนย์ก็คือศูนย์จริงๆ แต่ X หายไป! และเราต้องเขียนลงในคำตอบว่า x เท่ากับอะไร?ไม่เช่นนั้นจะไม่นับวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม...) การหยุดชะงัก?
เงียบสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัย กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะช่วยคุณได้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า หาค่าทั้งหมดของ x ซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการดั้งเดิมแล้วจะทำให้เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
แต่เรามีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เรียบร้อยแล้วมันได้ผล! 0=0 แม่นกว่าขนาดไหน! ยังต้องดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นกับ x อะไร ค่า X ใดที่สามารถทดแทนได้ ต้นฉบับสมการถ้า x พวกนี้ พวกเขาจะยังคงลดลงเหลือศูนย์หรือไม่?มาเร็ว?)
ใช่!!! X ก็ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอันไหน? อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็ตรวจสอบได้) แทนค่า X ใดๆ ลงไป ต้นฉบับสมการและคำนวณ คุณจะได้รับความจริงอันบริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ
นี่คือคำตอบของคุณ: x - ตัวเลขใด ๆ
คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์
ความประหลาดใจครั้งที่สอง
ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนตัวเลขเพียงตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราก็ได้สิ่งที่น่าสนใจ:
แบบนี้. เราแก้สมการเชิงเส้นแล้วได้ความเท่าเทียมกันแปลกๆ ในแง่คณิตศาสตร์เราได้ ความเท่าเทียมกันที่ผิดพลาดแต่พูดง่ายๆ นี่ไม่เป็นความจริง เรฟ. แต่ถึงกระนั้นก็ตาม เรื่องไร้สาระนี้เป็นเหตุผลที่ดีมากในการแก้สมการอย่างถูกต้อง)
เราคิดตามกฎทั่วไปอีกครั้ง เมื่อแทนค่า x ในสมการเดิม เราจะได้อะไร จริงความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มีค่า X ดังกล่าว ใส่อะไรลงไปทุกอย่างก็ลดลงเหลือแต่เรื่องไร้สาระ)
นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
นี่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์เช่นกัน ในทางคณิตศาสตร์มักพบคำตอบเช่นนี้
แบบนี้. ตอนนี้ ฉันหวังว่าการหายไปของ X ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่ทำให้คุณสับสนเลย นี่เป็นเรื่องคุ้นเคยอยู่แล้ว)
ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว ก็สมเหตุสมผลที่จะแก้มัน
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้สมการทางคณิตศาสตร์อยู่ในโหมด ออนไลน์- เว็บไซต์ www.site อนุญาต แก้สมการเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์- เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ สมการออนไลน์- หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้สมการออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต สมการออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์, สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์และยัง สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. สมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ สมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ สมการสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ สมการและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ สมการพีชคณิต, สมการตรีโกณมิติหรือ สมการซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ คุณจะต้องพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้สมการ- ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์- ดังนั้นเพื่อ การแก้สมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ แก้สมการพีชคณิตออนไลน์, สมการตรีโกณมิติออนไลน์และยัง สมการเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหารากเหง้าต่างๆ สมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา สมการออนไลน์ตัวคุณเองก็มีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้สมการออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้สมการออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ถูกต้องเมื่อใด การแก้สมการออนไลน์ไม่ว่าจะเป็น พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ สมการด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก
ให้เราวิเคราะห์คำตอบสองประเภทสำหรับระบบสมการ:
1. การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการทดแทน
2. การแก้ระบบโดยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม
เพื่อที่จะแก้ระบบสมการ โดยวิธีทดแทนคุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมง่ายๆ:
1. ด่วน. จากสมการใด ๆ เราแสดงตัวแปรหนึ่งตัว
2. ทดแทน. เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นสมการอื่นแทนตัวแปรที่แสดง
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ
เพื่อตัดสินใจ ระบบโดยวิธีบวก (ลบ) ทีละเทอมจำเป็นต้อง:
1. เลือกตัวแปรที่เราจะสร้างสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน
2. เราบวกหรือลบสมการส่งผลให้ได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว
3. แก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์ เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ
วิธีแก้ของระบบคือจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน
ให้เราพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่าง #1:
ลองแก้ด้วยวิธีทดแทนกัน
การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน2x+5y=1 (1 สมการ)
x-10y=3 (สมการที่ 2)
1. ด่วน
จะเห็นได้ว่าในสมการที่สอง มีตัวแปร x ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งหมายความว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงตัวแปร x จากสมการที่สอง
x=3+10y
2.หลังจากที่เราเขียนออกมาแล้ว เราก็แทนที่ 3+10y ลงในสมการแรกแทนตัวแปร x
2(3+10y)+5y=1
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว
2(3+10y)+5y=1 (เปิดวงเล็บ)
6+20y+5y=1
25ป=1-6
25ป=-5 |: (25)
ย=-5:25
ย=-0.2
วิธีแก้ของระบบสมการคือจุดตัดกันของกราฟ ดังนั้นเราจึงต้องหา x และ y เนื่องจากจุดตัดกันประกอบด้วย x และ y ลองหา x ในจุดแรกที่เราเขียนแทนค่า y ตรงนั้น .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนจุดในตอนแรกที่เราเขียนตัวแปร x และอันดับที่สองเขียนตัวแปร y
คำตอบ: (1; -0.2)
ตัวอย่าง #2:
ลองแก้โดยใช้วิธีบวก (ลบ) ทีละเทอม
การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก3x-2y=1 (1 สมการ)
2x-3y=-10 (สมการที่ 2)
1. เราเลือกตัวแปร สมมติว่าเราเลือก x ในสมการแรก ตัวแปร x มีค่าสัมประสิทธิ์ 3 ในสมการที่สอง - 2 เราจำเป็นต้องทำให้สัมประสิทธิ์เท่ากัน ด้วยเหตุนี้ เราจึงมีสิทธิ์คูณสมการหรือหารด้วยตัวเลขใดก็ได้ เราคูณสมการแรกด้วย 2 และสมการที่สองด้วย 3 และได้สัมประสิทธิ์รวมเป็น 6
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. ลบสมการที่สองออกจากสมการแรกเพื่อกำจัดตัวแปร x
__6x-4y=2
5y=32 | :5
ย=6.4
3. หา x เราแทนค่า y ที่พบลงในสมการใดๆ สมมติว่าเป็นสมการแรก
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
จุดตัดจะเป็น x=4.6; ย=6.4
คำตอบ: (4.6; 6.4)
อยากเตรียมตัวสอบฟรีมั้ย? ติวเตอร์ออนไลน์ ฟรี- ไม่มีเรื่องตลก
มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง
สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0
ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:
- ไม่มีราก
- มีรากเพียงอันเดียว
- พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน
นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.
เลือกปฏิบัติ
ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac
คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:
- ถ้า D< 0, корней нет;
- ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
- ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน
โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:
งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0
ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131
การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0
การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง
โปรดทราบว่ามีการเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ
อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น
รากของสมการกำลังสอง
ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:
สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง
เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 − 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0
สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16
D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:
สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64
D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]
ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0
D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:
อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด
สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0
สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:
สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์
แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.
ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:
เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:
- หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้รากสองอัน สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
- ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.
อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามีจำนวนบวกก็จะมีรากสองตัว ถ้าเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย
ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:
งาน. แก้สมการกำลังสอง:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5