ค้นหาการแจกแจงแบบปกติของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงแบบปกติของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

กฎปกติของการแจกแจงความน่าจะเป็น

สามารถเรียกได้ว่าเป็นกฎหมายทางปรัชญา จากการสังเกตวัตถุและกระบวนการต่าง ๆ ของโลกรอบตัวเรา เรามักจะพบกับความจริงที่ว่ามีบางอย่างไม่เพียงพอและมีบรรทัดฐาน:

นี่คือมุมมองพื้นฐาน ฟังก์ชันความหนาแน่นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ และขอต้อนรับคุณเข้าสู่บทเรียนที่น่าสนใจที่สุดนี้

สามารถยกตัวอย่างอะไรได้บ้าง? พวกเขาเป็นเพียงความมืด ตัวอย่างเช่น นี่คือส่วนสูง น้ำหนักของคน (และไม่เพียงเท่านั้น) ความแข็งแรงของร่างกาย ความสามารถทางจิต ฯลฯ มี "มวล" (ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง)และมีการเบี่ยงเบนไปทั้งสองทาง

สิ่งเหล่านี้เป็นลักษณะที่แตกต่างกันของวัตถุที่ไม่มีชีวิต (ขนาด น้ำหนักเท่ากัน) นี่คือระยะเวลาสุ่มของกระบวนการ ตัวอย่างเช่น เวลาของการแข่งขันหนึ่งร้อยเมตรหรือการเปลี่ยนเรซินเป็นสีเหลืองอำพัน จากฟิสิกส์ โมเลกุลของอากาศอยู่ในใจ: ในหมู่พวกมันมีอันที่ช้า, มีอันที่เร็ว แต่ส่วนใหญ่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว "มาตรฐาน"

ต่อไป เราเบี่ยงเบนจากจุดศูนย์กลางด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอีกหนึ่งค่า และคำนวณความสูง:

ทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาด (สีเขียว)และเราเห็นว่าเพียงพอแล้ว

ในขั้นตอนสุดท้าย เราวาดกราฟอย่างระมัดระวังและ อย่างระมัดระวังเป็นพิเศษสะท้อนมัน ความนูน/ความเว้า! คุณอาจรู้มานานแล้วว่าแกน abscissa คืออะไร เส้นกำกับแนวนอนและเป็นไปไม่ได้ที่จะ "ปีน" อย่างแน่นอน!

ด้วยการออกแบบทางอิเล็กทรอนิกส์ของโซลูชัน ทำให้สร้างกราฟได้ง่ายใน Excel และโดยไม่คาดคิดสำหรับตัวฉันเอง ฉันถึงกับบันทึกวิดีโอสั้นๆ เกี่ยวกับหัวข้อนี้ แต่ก่อนอื่นเรามาพูดถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของเส้นโค้งปกติขึ้นอยู่กับค่าของ และ .

เมื่อเพิ่มหรือลด "a" (ด้วย "sigma" ไม่เปลี่ยนแปลง)กราฟยังคงรูปร่างและ เลื่อนไปทางขวา / ซ้ายตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เมื่อฟังก์ชันใช้แบบฟอร์ม และกราฟของเรา "เลื่อน" ไปทางซ้าย 3 หน่วย - ตรงกับจุดกำเนิด:

ปริมาณที่กระจายตามปกติโดยไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้รับชื่อที่เป็นธรรมชาติอย่างสมบูรณ์ - เป็นศูนย์กลาง; ฟังก์ชันความหนาแน่นของมัน – สม่ำเสมอและกราฟมีความสมมาตรรอบแกน y

ในกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลง "sigma" (มีค่าคงที่ "a")กราฟ "ยังคงอยู่ที่เดิม" แต่เปลี่ยนรูปร่าง เมื่อขยายใหญ่ขึ้น มันจะต่ำลงและยาวขึ้น เหมือนปลาหมึกยักษ์ที่ยืดหนวดของมัน และในทางกลับกันเมื่อกราฟลดลง จะแคบลงและสูงขึ้น- ปรากฎว่า "ปลาหมึกประหลาดใจ" ใช่ที่ ลด"sigma" สองครั้ง: กราฟก่อนหน้าแคบลงและยืดขึ้นสองครั้ง:

ทุกอย่างเป็นไปตาม การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ.

การแจกแจงแบบปกติที่มีค่าหน่วย "ซิกมา" เรียกว่า ทำให้เป็นมาตรฐานและถ้าเป็นเช่นนั้นด้วย เป็นศูนย์กลาง(กรณีของเรา) จากนั้นเรียกว่าการกระจายดังกล่าว มาตรฐาน. มีฟังก์ชันความหนาแน่นที่ง่ายกว่าที่เคยพบมาแล้วใน ทฤษฎีบทลาปลาซท้องถิ่น: . การกระจายมาตรฐานพบการใช้งานอย่างกว้างขวางในทางปฏิบัติ และในไม่ช้าเราก็จะเข้าใจจุดประสงค์ของมันในที่สุด

ตอนนี้มาดูหนังกันเถอะ:

ใช่ค่อนข้างถูกต้อง - เรายังคงอยู่ในเงามืดอย่างไม่สมควร ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น. เราจำเธอได้ คำนิยาม:
- ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าน้อยกว่าตัวแปร ซึ่ง "รัน" ค่าจริงทั้งหมดเป็น "บวก" อินฟินิตี้

ภายในอินทิกรัล มักใช้ตัวอักษรอื่นเพื่อไม่ให้ "ซ้อนทับ" กับสัญกรณ์ เนื่องจากแต่ละค่าจะถูกกำหนด อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม ซึ่งเท่ากับบางคน ตัวเลขจากช่วงเวลา

ค่าเกือบทั้งหมดไม่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ แต่อย่างที่เราเพิ่งเห็นว่าด้วยพลังการคำนวณสมัยใหม่นี่ไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้นสำหรับฟังก์ชั่น ของการแจกแจงมาตรฐาน ฟังก์ชัน excel ที่สอดคล้องกันโดยทั่วไปประกอบด้วยหนึ่งอาร์กิวเมนต์:

=NORMSDIST(ซี)

หนึ่ง สอง - และคุณทำเสร็จแล้ว:

ภาพวาดแสดงการดำเนินการทั้งหมดอย่างชัดเจน คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายและจากความแตกต่างทางเทคนิคที่นี่คุณควรให้ความสนใจ เส้นกำกับแนวนอนและจุดกลับตัว

ตอนนี้เรามานึกถึงภารกิจสำคัญอย่างหนึ่งของหัวข้อคือค้นหาวิธีค้นหา - ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มปกติ จะใช้ค่าจากช่วงเวลา. ทางเรขาคณิต ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งปกติและแกน x ในส่วนที่เกี่ยวข้อง:

แต่แต่ละครั้งจะบดเป็นค่าโดยประมาณ ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นจึงควรใช้อย่างมีเหตุผลมากกว่า สูตร "ง่าย":
.

! ยังจำได้ , อะไร

ที่นี่คุณสามารถใช้ Excel ได้อีกครั้ง แต่มี "แต่" ที่สำคัญสองสามประการ: ประการแรกมันไม่ได้อยู่ในมือเสมอไปและประการที่สองค่า "สำเร็จรูป" มักจะทำให้เกิดคำถามจากครู ทำไม

ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก: ครั้งหนึ่ง (และไม่นานมานี้) เครื่องคิดเลขธรรมดาเป็นสิ่งฟุ่มเฟือยและวิธี "ด้วยตนเอง" ในการแก้ปัญหาภายใต้การพิจารณานั้นยังคงอยู่ในเอกสารการศึกษา สาระสำคัญคือการ สร้างมาตรฐานค่า "alpha" และ "beta" นั่นคือลดวิธีแก้ปัญหาเป็นการกระจายมาตรฐาน:

บันทึก : ฟังก์ชั่นนี้หาได้ง่ายจากเคสทั่วไปโดยใช้เส้นตรง การทดแทน. จากนั้น และ:

และจากการแทนที่เพียงทำตามสูตร การเปลี่ยนจากค่าของการแจกแจงโดยพลการไปเป็นค่าที่สอดคล้องกันของการแจกแจงมาตรฐาน

ทำไมถึงจำเป็น? ความจริงก็คือค่านั้นคำนวณอย่างรอบคอบโดยบรรพบุรุษของเราและสรุปไว้ในตารางพิเศษซึ่งอยู่ในหนังสือหลายเล่มบนเทอร์เวอร์ แต่สิ่งที่พบได้บ่อยกว่านั้นคือตารางค่าซึ่งเราได้จัดการไปแล้ว ทฤษฎีบทอินทิกรัลลาปลาซ:

หากเรามีตารางค่าของฟังก์ชัน Laplace จากนั้นเราจะแก้ไขมัน:

ค่าเศษส่วนจะถูกปัดเศษเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่งดังที่ทำในตารางมาตรฐาน และเพื่อการควบคุม ข้อ 5 เค้าโครง.

ฉันเตือนคุณว่า และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน อยู่ในการควบคุมเสมอตารางฟังก์ชัน WHAT ต่อหน้าต่อตาคุณ

ตอบจะต้องระบุเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คำนวณได้จะต้องคูณด้วย 100 และให้ผลลัพธ์พร้อมความคิดเห็นที่มีความหมาย:

- เมื่อบินจาก 5 ถึง 70 ม. กระสุนประมาณ 15.87% จะตก

เราฝึกฝนด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 3

เส้นผ่านศูนย์กลางของตลับลูกปืนที่ผลิตในโรงงานเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติโดยคาดไว้ที่ 1.5 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 0.04 ซม. จงหาความน่าจะเป็นที่ขนาดของตลับลูกปืนที่นำมาสุ่มจะมีค่าตั้งแต่ 1.4 ถึง 1.6 ซม.

ในโซลูชันตัวอย่างและด้านล่าง ฉันจะใช้ฟังก์ชัน Laplace เป็นตัวเลือกที่ใช้บ่อยที่สุด โดยวิธีการ โปรดทราบว่าตามถ้อยคำ คุณสามารถรวมจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาในการพิจารณาได้ที่นี่ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่สำคัญ

และในตัวอย่างนี้ เราได้พบกับกรณีพิเศษ - เมื่อช่วงเวลามีความสมมาตรตามความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ในสถานการณ์เช่นนี้สามารถเขียนในรูปแบบและใช้ความแปลกของฟังก์ชัน Laplace ทำให้สูตรการทำงานง่ายขึ้น:

พารามิเตอร์เดลต้าถูกเรียก เบี่ยงเบนจากความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ และอสมการทวีคูณสามารถ “บรรจุ” ได้โดยใช้ โมดูล:

คือความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า

ทางออกที่ลงตัวในบรรทัดเดียว :)
คือความน่าจะเป็นที่เส้นผ่านศูนย์กลางของตลับลูกปืนที่สุ่มแตกต่างจาก 1.5 ซม. ไม่เกิน 0.1 ซม.

ผลลัพธ์ของงานนี้ใกล้เคียงกับความสามัคคี แต่ฉันต้องการความน่าเชื่อถือมากขึ้น - กล่าวคือเพื่อค้นหาขอบเขตที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง เกือบทุกคนตลับลูกปืน. มีเกณฑ์สำหรับเรื่องนี้หรือไม่? มีอยู่! คำถามได้รับคำตอบจากสิ่งที่เรียกว่า

กฎสามซิกมา

สาระสำคัญของมันคือว่า เชื่อถือได้จริง คือความจริงที่ว่าตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติจะรับค่าจากช่วงเวลา .

แน่นอน ความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนจากความคาดหวังนั้นน้อยกว่า:
หรือ 99.73%

ในแง่ของ "ตลับลูกปืน" - มี 9973 ชิ้นที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.38 ถึง 1.62 ซม. และสำเนา "ต่ำกว่ามาตรฐาน" เพียง 27 ชุด

ในการวิจัยเชิงปฏิบัติ กฎ "ซิกม่าสาม" มักจะใช้ในทิศทางตรงกันข้าม: ถ้า ทางสถิติพบว่าเกือบทุกค่า ตัวแปรสุ่มที่กำลังศึกษาอยู่พอดีกับช่วงเวลา 6 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อได้ว่าค่านี้กระจายไปตามกฎหมายปกติ การตรวจสอบดำเนินการโดยใช้ทฤษฎี สมมติฐานทางสถิติ.

เรายังคงแก้ปัญหาโซเวียตที่รุนแรงต่อไป:

ตัวอย่างที่ 4

ค่าสุ่มของข้อผิดพลาดในการชั่งน้ำหนักจะกระจายไปตามกฎปกติโดยมีค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 กรัม จงหาความน่าจะเป็นที่การชั่งน้ำหนักครั้งต่อไปจะมีค่าสัมบูรณ์ผิดพลาดไม่เกิน 5 กรัม

วิธีการแก้ง่ายมาก. ตามเงื่อนไขและเราทราบทันทีว่าในการชั่งน้ำหนักครั้งต่อไป (บางสิ่งหรือบางคน)เราจะได้ผลลัพธ์เกือบ 100% ด้วยความแม่นยำ 9 กรัม แต่ในปัญหามีความเบี่ยงเบนที่แคบกว่าและเป็นไปตามสูตร :

- ความน่าจะเป็นที่การชั่งน้ำหนักครั้งต่อไปจะดำเนินการโดยมีข้อผิดพลาดไม่เกิน 5 กรัม

ตอบ:

ปัญหาที่ได้รับการแก้ไขนั้นแตกต่างจากปัญหาที่ดูเหมือนคล้ายกันโดยพื้นฐาน ตัวอย่างที่ 3บทเรียนเกี่ยวกับ กระจายสม่ำเสมอ. มีข้อผิดพลาด การปัดเศษผลการวัด ในที่นี้เรากำลังพูดถึงข้อผิดพลาดแบบสุ่มของการวัดเอง ข้อผิดพลาดดังกล่าวเกิดขึ้นเนื่องจากลักษณะทางเทคนิคของอุปกรณ์เอง (ตามกฎแล้วช่วงของข้อผิดพลาดที่อนุญาตจะระบุไว้ในหนังสือเดินทางของเขา)และด้วยความผิดของผู้ทดลอง - ตัวอย่างเช่นเมื่อ "ด้วยตา" เราอ่านค่าจากลูกศรที่มีขนาดเดียวกัน

นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่า อย่างเป็นระบบข้อผิดพลาดในการวัด มันอยู่แล้ว ไม่สุ่มข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเนื่องจากการตั้งค่าหรือการทำงานของอุปกรณ์ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น เครื่องชั่งแบบตั้งพื้นที่ไม่ได้ปรับแต่งสามารถ "เพิ่ม" กิโลกรัมได้อย่างสม่ำเสมอ หรือไม่เป็นระบบเพราะคุณสามารถชอร์ตได้ อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าในกรณีใด ข้อผิดพลาดดังกล่าวจะไม่เกิดขึ้นแบบสุ่ม และความคาดหวังจะแตกต่างจากศูนย์

…ฉันกำลังพัฒนาหลักสูตรฝึกอบรมการขายอย่างเร่งด่วน =)

มาแก้ปัญหาด้วยตัวเราเอง:

ตัวอย่างที่ 5

เส้นผ่านศูนย์กลางของลูกกลิ้งเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติแบบสุ่มส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือมม. ค้นหาความยาวของช่วง สมมาตรตามความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ซึ่งความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกปัดจะลดลงด้วยความน่าจะเป็น

รายการที่ 5* รูปแบบการออกแบบเพื่อช่วย. โปรดทราบว่าไม่ทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่นี่ แต่สิ่งนี้ไม่ได้รบกวนการแก้ปัญหาแม้แต่น้อย

และงานสอบซึ่งฉันขอแนะนำให้รวบรวมเนื้อหา:

ตัวอย่างที่ 6

ตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติจะได้รับจากพารามิเตอร์ (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) และ (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ที่จำเป็น:

a) เขียนความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและแสดงกราฟของมัน
b) ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะใช้ค่าจากช่วงเวลา ;
ค) หาความน่าจะเป็นที่โมดูโลเบี่ยงเบนไม่เกิน ;
ง) ใช้กฎของ "ซิกม่าสาม" ค้นหาค่าของตัวแปรสุ่ม .

ปัญหาดังกล่าวมีอยู่ทุกที่และตลอดหลายปีที่ผ่านมาฉันสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้เป็นร้อยเป็นร้อย อย่าลืมฝึกวาดมือและใช้สเปรดชีตกระดาษ ;)

ฉันจะวิเคราะห์ตัวอย่างของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น:

ตัวอย่างที่ 7

ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มมีรูปแบบ . ค้นหา , ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ , ความแปรปรวน , ฟังก์ชันการแจกแจง , ความหนาแน่นของการลงจุดและฟังก์ชันการแจกแจง , ค้นหา

วิธีการแก้: ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจกันก่อนว่าเงื่อนไขไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับลักษณะของตัวแปรสุ่ม โดยตัวของมันเองแล้ว การปรากฏตัวของผู้เข้าร่วมงานไม่ได้มีความหมายอะไรเลย ตัวอย่างเช่น สาธิตหรือโดยพลการโดยทั่วไป กระจายอย่างต่อเนื่อง. ดังนั้น "ความเป็นปกติ" ของการกระจายยังคงต้องมีการพิสูจน์:

ตั้งแต่ฟังก์ชั่น กำหนดที่ ใดๆมูลค่าที่แท้จริง และสามารถลดรูปแบบได้ จากนั้นตัวแปรสุ่มจะถูกกระจายตามกฎปกติ

พวกเรานำเสนอ. สำหรับสิ่งนี้ เลือกตารางเต็มและจัดระเบียบ เศษส่วนสามชั้น:

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ทำการตรวจสอบ โดยคืนตัวบ่งชี้กลับเป็นรูปแบบเดิม:

ซึ่งเป็นสิ่งที่เราอยากเห็น

ทางนี้:
- บน กฎแห่งอำนาจ"หยิกออก". และที่นี่คุณสามารถเขียนลักษณะตัวเลขที่ชัดเจนได้ทันที:

ทีนี้มาหาค่าของพารามิเตอร์กัน เนื่องจากตัวคูณการแจกแจงแบบปกติมีรูปแบบ และ ดังนั้น:
จากที่เราแสดงและแทนที่ในหน้าที่ของเรา:
หลังจากนั้นเราจะตรวจสอบบันทึกด้วยตาของเราอีกครั้งและตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันผลลัพธ์มีรูปแบบ .

มาวางแผนความหนาแน่นกัน:

และพล็อตของฟังก์ชันการกระจาย :

หากไม่มี Excel และแม้แต่เครื่องคิดเลขธรรมดาอยู่ในมือ แผนภูมิสุดท้ายก็สร้างได้ง่ายๆ ด้วยตนเอง! ณ จุดนี้ ฟังก์ชันการแจกแจงจะใช้ค่า และนี่คือ

คำนิยาม. ปกติเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ซึ่งอธิบายโดยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

การแจกแจงแบบปกติเรียกอีกอย่างว่า กฎหมายเกาส์.

กฎการแจกแจงแบบปกติเป็นศูนย์กลางของทฤษฎีความน่าจะเป็น นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ากฎหมายนี้ปรากฏตัวในทุกกรณีเมื่อตัวแปรสุ่มเป็นผลมาจากการกระทำของปัจจัยต่าง ๆ จำนวนมาก กฎหมายการกระจายอื่น ๆ ทั้งหมดเข้าใกล้กฎหมายปกติ

สามารถแสดงได้ง่ายว่าพารามิเตอร์ และ รวมอยู่ในความหนาแน่นของการกระจายตามลำดับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์.

มาหาฟังก์ชันการกระจายกัน ฉ(x) .

พล็อตการกระจายความหนาแน่นแบบปกติเรียกว่า เส้นโค้งปกติหรือ เส้นโค้งเกาส์เซียน.

เส้นโค้งปกติมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) ฟังก์ชันถูกกำหนดบนแกนจำนวนทั้งหมด

2) สำหรับทุกคน เอ็กซ์ฟังก์ชันการแจกแจงจะใช้ค่าบวกเท่านั้น

3) แกน OX เป็นเส้นกำกับแนวนอนของกราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เนื่องจาก ด้วยค่าสัมบูรณ์ของอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด เอ็กซ์ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็นศูนย์

4) ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

เพราะ ที่ ย’ > 0 ที่ x < มและ ย’ < 0 ที่ x > มแล้วที่จุด x = เสื้อฟังก์ชันมีค่าสูงสุดเท่ากับ
.

5) ฟังก์ชันสมมาตรเทียบกับเส้นตรง x = ก, เพราะ ความแตกต่าง

(x - ก) เข้าสู่ฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่นกำลังสอง

6) ในการหาจุดเปลี่ยนของกราฟ เราจะหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันความหนาแน่น

ที่ x = ม+  และ x = ม-  อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเท่ากับศูนย์ และเมื่อผ่านจุดเหล่านี้ อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น ที่จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันมีการผัน

ณ จุดเหล่านี้ ค่าของฟังก์ชันคือ
.

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่น (รูปที่ 5)

กราฟถูกสร้างขึ้นสำหรับ ที=0 และสามค่าที่เป็นไปได้ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  = 1,  = 2 และ  = 7 อย่างที่คุณเห็น เมื่อค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มขึ้น กราฟจะราบเรียบขึ้น และค่าสูงสุดจะลดลง

ถ้า ก ก> 0 กราฟจะเปลี่ยนไปในทิศทางบวก ถ้า ก < 0 – в отрицательном.

ที่ ก= 0 และ  = 1 เรียกว่าเส้นโค้ง ทำให้เป็นมาตรฐาน. สมการเส้นโค้งปกติ:

ฟังก์ชันลาปลาซ

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎปกติจะตกอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด

แสดงว่า

เพราะ อินทิกรัล
ไม่แสดงในรูปของฟังก์ชันมูลฐาน แล้วจึงแสดงฟังก์ชัน

ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันลาปลาซหรือ อินทิกรัลความน่าจะเป็น.

ค่าของฟังก์ชันนี้สำหรับค่าต่างๆ เอ็กซ์คำนวณและนำเสนอในตารางพิเศษ

บนมะเดื่อ 6 แสดงกราฟของฟังก์ชัน Laplace

ฟังก์ชัน Laplace มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) ฉ(0) = 0;

2) เอฟ(-x) = - ฉ(x);

3) ฉ( ) = 1.

เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน Laplace ฟังก์ชันข้อผิดพลาดและแสดงว่า erf x.

ยังคงใช้งานอยู่ ทำให้เป็นมาตรฐานฟังก์ชัน Laplace ซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Laplace โดยความสัมพันธ์:

บนมะเดื่อ 7 แสดงพล็อตของฟังก์ชัน Laplace ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน

พี กฎสามซิกมา

เมื่อพิจารณาการแจกแจงแบบปกติ จะมีการแยกแยะกรณีพิเศษที่สำคัญซึ่งเรียกว่า กฎสามซิกมา.

ลองเขียนความน่าจะเป็นที่การเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นน้อยกว่าค่าที่กำหนด :

หากเรายอมรับ = 3 เราจะได้โดยใช้ตารางค่าของฟังก์ชัน Laplace:

เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนที่มากกว่าสามเท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์

กฎนี้เรียกว่า กฎสามซิกมา.

ในทางปฏิบัติ มีการพิจารณาว่าถ้าตัวแปรสุ่มใด ๆ เป็นไปตามกฎของซิกมาสามตัว ตัวแปรสุ่มนี้จะมีการแจกแจงแบบปกติ

สรุปการบรรยาย:

ในการบรรยาย เราได้ตรวจสอบกฎของการกระจายของปริมาณต่อเนื่อง ในการเตรียมตัวสำหรับการบรรยายครั้งต่อไปและแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติ คุณควรเสริมเอกสารประกอบการบรรยายของคุณด้วยการศึกษาเชิงลึกของวรรณกรรมที่แนะนำและการแก้ปัญหาที่เสนออย่างอิสระ

ทฤษฎีโดยย่อ

Normal คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ซึ่งความหนาแน่นมีรูปแบบดังนี้

โดยที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความน่าจะเป็นที่จะใช้ค่าที่เป็นของช่วงเวลา:

ฟังก์ชัน Laplace อยู่ที่ไหน:

ความน่าจะเป็นที่ค่าสัมบูรณ์ของส่วนเบี่ยงเบนน้อยกว่าจำนวนบวก:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

เมื่อแก้ปัญหาที่ฝึกฝนมา เราต้องจัดการกับการแจกแจงต่างๆ ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

นอกจากการแจกแจงแบบปกติแล้ว กฎการกระจายหลักสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือ:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ชิ้นส่วนทำบนเครื่อง ความยาวของมันเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎปกติโดยมีพารามิเตอร์ , . ค้นหาความน่าจะเป็นที่ความยาวของชิ้นส่วนจะอยู่ระหว่าง 22 ถึง 24.2 ซม. ความยาวส่วนเบี่ยงเบนใดที่สามารถรับประกันได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.92 0.98? ภายในขอบเขตใดที่สมมาตรด้วยความเคารพ มิติทั้งหมดของชิ้นส่วนจะอยู่ได้จริงหรือไม่

เข้าร่วมกลุ่ม VK.

วิธีการแก้:

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎปกติจะอยู่ในช่วง:

เราได้รับ:

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มซึ่งกระจายตามกฎปกติ เบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยไม่เกิน :

ตามเงื่อนไข

หากคุณไม่ต้องการความช่วยเหลือในตอนนี้ แต่อาจต้องการในอนาคต เพื่อไม่ให้ขาดการติดต่อ

นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับโซลูชันอิสระซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้

การแจกแจงแบบปกติ: รากฐานทางทฤษฎี

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎปกติ ได้แก่ ความสูงของบุคคล มวลของปลาที่จับได้ในสายพันธุ์เดียวกัน การแจกแจงแบบปกติหมายถึงสิ่งต่อไปนี้ : มีค่าความสูงของมนุษย์มวลของปลาในสายพันธุ์เดียวกันซึ่งในระดับที่เข้าใจได้ง่ายจะถูกมองว่าเป็น "ปกติ" (และในความเป็นจริง - ค่าเฉลี่ย) และพวกมันมีอยู่ทั่วไปในขนาดใหญ่พอสมควร ตัวอย่างมากกว่าที่แตกต่างกันขึ้นหรือลง

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (บางครั้งการแจกแจงแบบเกาส์เซียน) สามารถเรียกว่ารูประฆังเนื่องจากฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงนี้ซึ่งมีความสมมาตรเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยนั้นคล้ายกับการตัดระฆัง ( เส้นโค้งสีแดงในรูปด้านบน)

ความน่าจะเป็นที่จะพบค่าบางอย่างในตัวอย่างเท่ากับพื้นที่ของตัวเลขใต้เส้นโค้งและในกรณีของการแจกแจงแบบปกติเราจะเห็นว่าใต้ด้านบนของ "ระฆัง" ซึ่งสอดคล้องกับ สำหรับค่าที่พุ่งเข้าหาค่าเฉลี่ยพื้นที่และด้วยเหตุนี้ความน่าจะเป็นจึงมากกว่าใต้ขอบ ดังนั้นเราจึงได้รับสิ่งเดียวกันกับที่ได้กล่าวไปแล้ว: ความน่าจะเป็นที่จะพบคนที่มีความสูง "ปกติ" จับปลาที่มีน้ำหนัก "ปกติ" นั้นสูงกว่าค่าที่แตกต่างกันขึ้นหรือลง ในทางปฏิบัติหลายๆ กรณี ข้อผิดพลาดในการวัดจะกระจายไปตามกฎหมายที่ใกล้เคียงกับปกติ

เรามาหยุดอีกครั้งที่รูปที่จุดเริ่มต้นของบทเรียนซึ่งแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติ กราฟของฟังก์ชันนี้ได้มาจากการคำนวณตัวอย่างข้อมูลบางส่วนในชุดซอฟต์แวร์ สถิติ. คอลัมน์ฮิสโตแกรมแสดงช่วงเวลาของค่าตัวอย่างที่มีการแจกแจงใกล้เคียงกัน (หรือตามที่ระบุไว้ในสถิติ ไม่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ) กับกราฟฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติซึ่งเป็นเส้นโค้งสีแดง กราฟแสดงว่าเส้นโค้งนี้เป็นรูประฆังจริงๆ

การแจกแจงแบบปกติมีค่าในหลายๆ ทาง เพราะการรู้เฉพาะค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรนั้นได้

การแจกแจงแบบปกติมีประโยชน์เพิ่มเติมจากการเป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดในการใช้งาน เกณฑ์ทางสถิติที่ใช้ทดสอบสมมติฐานทางสถิติ - การทดสอบค่าทีของนักเรียน- สามารถใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ข้อมูลตัวอย่างเป็นไปตามกฎหมายการกระจายแบบปกติ

ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ที่ไหน x- ค่าของตัวแปร - ค่าเฉลี่ย - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน อี\u003d 2.71828 ... - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ \u003d 3.1416 ...

คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่นแบบปกติ

การเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยจะย้ายเส้นโค้งรูประฆังไปในทิศทางของแกน วัว. หากเพิ่มขึ้น เส้นโค้งจะเลื่อนไปทางขวา หากลดลง จะเลื่อนไปทางซ้าย

หากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเปลี่ยนไป ความสูงของจุดยอดของเส้นโค้งจะเปลี่ยนไป เมื่อส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มขึ้น ส่วนบนของเส้นโค้งจะสูงขึ้น เมื่อลดลง ก็จะต่ำลง

ความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติจะอยู่ในช่วงที่กำหนด

ในย่อหน้านี้เราจะเริ่มแก้ปัญหาในทางปฏิบัติซึ่งมีความหมายระบุไว้ในชื่อเรื่อง ให้เราวิเคราะห์ความเป็นไปได้ที่ทฤษฎีมีไว้สำหรับการแก้ปัญหา แนวคิดเริ่มต้นสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติซึ่งตกอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดคือฟังก์ชันอินทิกรัลของการแจกแจงแบบปกติ

ฟังก์ชันการแจกแจงปกติแบบอินทิกรัล:

อย่างไรก็ตาม การหาตารางสำหรับทุกค่าผสมที่เป็นไปได้ของค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานอาจมีปัญหา ดังนั้น หนึ่งในวิธีง่ายๆ ในการคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติซึ่งอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดคือการใช้ตารางความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงแบบปกติที่เป็นมาตรฐาน

การแจกแจงแบบปกติเรียกว่าการแจกแจงแบบมาตรฐานหรือการแจกแจงแบบปกติซึ่งมีค่าเฉลี่ยคือ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ

ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติมาตรฐาน:

ฟังก์ชันสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน:

รูปด้านล่างแสดงฟังก์ชันอินทิกรัลของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ซึ่งเป็นกราฟที่ได้มาจากการคำนวณตัวอย่างข้อมูลในชุดซอฟต์แวร์ สถิติ. กราฟนั้นเป็นเส้นโค้งสีแดงและค่าตัวอย่างกำลังเข้าใกล้

หากต้องการขยายภาพให้คลิกด้วยปุ่มซ้ายของเมาส์

การกำหนดมาตรฐานให้กับตัวแปรสุ่มหมายถึงการย้ายจากหน่วยเดิมที่ใช้ในงานไปยังหน่วยมาตรฐาน การกำหนดมาตรฐานจะดำเนินการตามสูตร

ในทางปฏิบัติ มักจะไม่ทราบค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ดังนั้น ค่าของค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงไม่สามารถระบุได้อย่างแม่นยำ พวกเขาจะถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการสังเกตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ส. ค่า ซีแสดงค่าเบี่ยงเบนของค่าของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเมื่อวัดส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เปิดช่วงเวลา

ตารางความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานซึ่งมีอยู่ในหนังสือเกี่ยวกับสถิติเกือบทุกเล่ม มีความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Zรับค่าน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด ซี. นั่นคือมันจะตกอยู่ในช่วงเวลาที่เปิดจากลบอินฟินิตี้ถึง ซี. ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ค่า Zน้อยกว่า 1.5 เท่ากับ 0.93319

ตัวอย่างที่ 1บริษัทผลิตชิ้นส่วนที่มีอายุการใช้งานปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 1,000 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 200 ชั่วโมง

สำหรับชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่ม ให้คำนวณความเป็นไปได้ที่อายุการใช้งานของชิ้นส่วนนั้นจะอยู่ที่อย่างน้อย 900 ชั่วโมง

วิธีการแก้. ขอแนะนำสัญกรณ์แรก:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ค่าของตัวแปรสุ่มอยู่ในช่วงเปิด แต่เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าที่น้อยกว่าค่าที่กำหนดได้ และตามเงื่อนไขของโจทย์ จำเป็นต้องหาค่าที่เท่ากันหรือมากกว่าค่าที่กำหนด นี่คือส่วนอื่นของพื้นที่ใต้โค้งระฆัง ดังนั้นเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการจำเป็นต้องลบออกจากความน่าจะเป็นที่กล่าวถึงซึ่งตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าน้อยกว่า 900 ที่ระบุ:

ตอนนี้ตัวแปรสุ่มจำเป็นต้องได้รับมาตรฐาน

เรายังคงแนะนำสัญกรณ์:

ซี = (เอ็กซ์ ≤ 900) ;

x= 900 - ค่าที่กำหนดของตัวแปรสุ่ม

μ = 1,000 - ค่าเฉลี่ย;

σ = 200 - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

จากข้อมูลเหล่านี้ เราได้รับเงื่อนไขของปัญหา:

ตามตารางของตัวแปรสุ่มมาตรฐาน (ขอบเขตช่วงเวลา) ซี= −0.5 สอดคล้องกับความน่าจะเป็น 0.30854 ลบออกจากความสามัคคีและรับสิ่งที่จำเป็นในเงื่อนไขของปัญหา:

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะมีอายุการใช้งานอย่างน้อย 900 ชั่วโมงคือ 69%

สามารถรับความน่าจะเป็นนี้ได้โดยใช้ฟังก์ชัน MS Excel NORM.DIST (ค่าของค่าอินทิกรัลคือ 1):

พี(เอ็กซ์≥900) = 1 - พี(เอ็กซ์≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1,000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915

เกี่ยวกับการคำนวณใน MS Excel - ในย่อหน้าถัดไปของบทเรียนนี้

ตัวอย่างที่ 2ในบางเมือง รายได้เฉลี่ยของครอบครัวต่อปีเป็นตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 300,000 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 50,000 เป็นที่ทราบกันดีว่ารายได้ของครอบครัว 40% น้อยกว่ามูลค่า ก. ค้นหาค่า ก.

วิธีการแก้. ในปัญหานี้ 40% ไม่มีอะไรมากไปกว่าความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะรับค่าจากช่วงเปิดที่น้อยกว่าค่าที่กำหนดซึ่งระบุด้วยตัวอักษร ก.

เพื่อหาค่า กอันดับแรก เราสร้างฟังก์ชันอินทิกรัล:

ตามหน้าที่

μ = 300,000 - ค่าเฉลี่ย;

σ = 50,000 - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

x = กคือค่าที่หาได้

สร้างความเท่าเทียม

จากตารางสถิติ เราพบว่าความน่าจะเป็นที่ 0.40 สอดคล้องกับค่าของขอบเขตช่วง ซี = −0,25 .

ดังนั้นเราจึงสร้างความเท่าเทียมกัน

และหาทางออกของมัน:

ก = 287300 .

คำตอบ: รายได้ 40% ของครอบครัวน้อยกว่า 287300

ช่วงเวลาปิด

ในหลายๆ ปัญหา จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่กระจายตามปกติจะใช้ค่าในช่วงเวลาจาก ซี 1 ถึง ซี 2. นั่นคือมันจะตกอยู่ในช่วงเวลาปิด ในการแก้ปัญหาดังกล่าวจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นในตารางที่สอดคล้องกับขอบเขตของช่วงเวลาจากนั้นค้นหาความแตกต่างระหว่างความน่าจะเป็นเหล่านี้ สิ่งนี้ต้องการการลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า ตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปเหล่านี้มีดังต่อไปนี้ และเสนอให้แก้ไขด้วยตนเอง จากนั้นคุณจะเห็นวิธีแก้ปัญหาและคำตอบที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3กำไรของวิสาหกิจในช่วงเวลาหนึ่งเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0.5 ล้าน c.u. และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.354 ตรวจสอบด้วยความแม่นยำของทศนิยมสองตำแหน่ง ความน่าจะเป็นที่กำไรขององค์กรจะอยู่ที่ 0.4 ถึง 0.6 c.u.

ตัวอย่างที่ 4ความยาวของชิ้นส่วนที่ผลิตเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎปกติพร้อมพารามิเตอร์ μ =10 และ σ =0.071 . ค้นหาด้วยความแม่นยำของทศนิยมสองตำแหน่ง ความน่าจะเป็นของการแต่งงานหากขนาดที่อนุญาตของชิ้นส่วนควรเป็น 10 ± 0.05

คำแนะนำ: ในปัญหานี้ นอกเหนือจากการค้นหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ตกอยู่ในช่วงเวลาปิด (ความน่าจะเป็นที่จะได้ชิ้นส่วนที่ไม่มีข้อบกพร่อง) จำเป็นต้องมีการดำเนินการอีกหนึ่งอย่าง

ช่วยให้คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่ค่ามาตรฐาน Zไม่น้อย -zและไม่มีอีกต่อไป +ซ, ที่ไหน ซี- ค่าที่เลือกโดยพลการของตัวแปรสุ่มมาตรฐาน

วิธีการโดยประมาณในการตรวจสอบความเป็นปกติของการกระจาย

วิธีการโดยประมาณในการตรวจสอบความเป็นปกติของการแจกแจงของค่าตัวอย่างมีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติของการแจกแจงแบบปกติ: ความเบ้ β 1 และค่าสัมประสิทธิ์เคิร์ตซีส β 2 ศูนย์.

ค่าสัมประสิทธิ์อสมมาตร β 1 ตัวเลขแสดงลักษณะสมมาตรของการแจกแจงเชิงประจักษ์ด้วยความเคารพต่อค่าเฉลี่ย ถ้าความเบ้เท่ากับศูนย์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐาน และฐานนิยมจะเท่ากัน และเส้นโค้งความหนาแน่นของการกระจายจะสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย หากค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่สมมาตรน้อยกว่าศูนย์ (β 1 < 0 ) จากนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะน้อยกว่าค่ามัธยฐานและค่ามัธยฐานก็จะน้อยกว่าโหมด () และ เส้นโค้งเลื่อนไปทางขวา (เทียบกับการแจกแจงแบบปกติ). หากค่าสัมประสิทธิ์ของความไม่สมมาตรมีค่ามากกว่าศูนย์ (β 1 > 0 ) ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมากกว่าค่ามัธยฐานและค่ามัธยฐานก็จะมากกว่าค่าฐานนิยม () และ เส้นโค้งจะเลื่อนไปทางซ้าย (เทียบกับการแจกแจงแบบปกติ).

ค่าสัมประสิทธิ์เคอร์โทซิส β 2 แสดงลักษณะความเข้มข้นของการแจกแจงเชิงประจักษ์รอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตในทิศทางของแกน โอ๊ยและระดับจุดสูงสุดของเส้นโค้งการกระจายความหนาแน่น หากค่าสัมประสิทธิ์ความโค้งเกินศูนย์ เส้นโค้งจะยาวขึ้น (เมื่อเทียบกับการแจกแจงแบบปกติ)ตามแนวแกน โอ๊ย(กราฟจะแหลมกว่า). หากค่าสัมประสิทธิ์ความโค้งน้อยกว่าศูนย์ แสดงว่าเส้นโค้งนั้นแบนราบมากขึ้น (เมื่อเทียบกับการแจกแจงแบบปกติ)ตามแนวแกน โอ๊ย(กราฟจะป้านกว่า)

ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้สามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชัน MS Excel SKRS หากคุณกำลังตรวจสอบข้อมูลอาร์เรย์หนึ่ง คุณต้องป้อนช่วงข้อมูลในช่อง "ตัวเลข" ช่องเดียว

ค่าสัมประสิทธิ์ของเคิร์ตซีสสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชัน MS Excel เคิร์ตซีส เมื่อตรวจสอบอาร์เรย์ข้อมูลหนึ่งชุด การป้อนช่วงข้อมูลในช่อง "ตัวเลข" ช่องเดียวก็เพียงพอแล้ว

ดังที่เราทราบแล้วว่าด้วยการแจกแจงแบบปกติ ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้และเคิร์ตซีสจะเท่ากับศูนย์ แต่จะเป็นอย่างไรถ้าเราได้ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้เท่ากับ -0.14, 0.22, 0.43 และค่าสัมประสิทธิ์ความโค้งเท่ากับ 0.17, -0.31, 0.55 คำถามนี้ค่อนข้างยุติธรรมเนื่องจากในทางปฏิบัติเราจัดการกับค่าความไม่สมดุลและความโด่งโดยประมาณแบบเลือกเท่านั้นซึ่งขึ้นอยู่กับการกระจายที่ไม่สามารถควบคุมได้และหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดให้ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้มีความเท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดเป็นศูนย์ แต่ควรมีค่าใกล้เคียงกับศูนย์เท่านั้น แต่เพียงพอหมายความว่าอย่างไร

จำเป็นต้องเปรียบเทียบค่าเชิงประจักษ์ที่ได้รับกับค่าที่ยอมรับได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ (เปรียบเทียบค่าของโมดูโลสัมประสิทธิ์กับค่าวิกฤต - ขอบเขตของพื้นที่ทดสอบสมมติฐาน)

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์อสมมาตร β 1 .