ปริมาตรของปริซึมคำนวณโดยสูตร ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ

ปริซึมโดยตรง พื้นผิวและปริมาตรของปริซึมโดยตรง

§ 68. ปริมาณปริซึมโดยตรง

1. ปริมาณของเส้น ปริซึมสามเหลี่ยม.

ให้ต้องหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งพื้นที่ฐานเท่ากับ S และความสูงเท่ากับ ชม.= AA" = = BB" = SS" (รูปที่ 306)

ให้เราวาดฐานของปริซึมแยกกัน นั่นคือ สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 307, a) และทำให้สมบูรณ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งเราวาดเส้นตรง KM ผ่านจุดยอด B || AC และจากจุด A และ C เราวาง AF และ CE ตั้งฉากกับเส้นนี้ เราได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF การวาดความสูง BD ของสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยม ACEF แบ่งออกเป็น 4 สามเหลี่ยมมุมฉาก. และ /\ ทั้งหมด = /\ บีซีดีและ /\ บัฟ = /\ แย่. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF เป็นสองเท่า พื้นที่มากขึ้นสามเหลี่ยม ABC เช่น เท่ากับ 2S

สำหรับปริซึมที่มีฐาน ABC เราเพิ่มปริซึมที่มีฐานทั้งหมดและ BAF และความสูง ชม.(ภาพวาด 307, ข). เราได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับฐาน
เอเซฟ.

ถ้าเราตัดท่อขนานนี้ด้วยระนาบที่ผ่านเส้น BD และ BB" จะเห็นว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วยปริซึม 4 อันพร้อมฐาน
BCD, ALL, BAD และ BAF

ปริซึมที่มีฐาน BCD และ ALL สามารถรวมกันได้ เนื่องจากฐานของปริซึมเท่ากัน ( /\ บีซีดี = /\ ก่อนคริสตศักราช) และยังเท่ากับขอบด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับระนาบเดียว ดังนั้นปริมาตรของปริซึมเหล่านี้จึงเท่ากัน ปริมาตรของปริซึมที่มีฐาน BAD และ BAF ก็เท่ากันเช่นกัน

ดังนั้นปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่กำหนดพร้อมฐาน
ABC เป็นครึ่งหนึ่งของปริมาตร ลูกบาศก์ด้วยฐาน ACEF

เรารู้ว่าปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีค่าเท่ากับสินค้าพื้นที่ฐานถึงความสูงเช่นใน กรณีนี้เท่ากับ 2S ชม.. ดังนั้นปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนี้จึงเท่ากับ S ชม..

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

2. ปริมาตรของปริซึมทรงเหลี่ยมตรง

การหาปริมาตรของปริซึมทรงเหลี่ยมแบบตรง เช่น ห้าเหลี่ยม มีพื้นที่ฐาน S และความสูง ชม.มาแบ่งเป็นปริซึมสามเหลี่ยมกันเถอะ (รูปที่ 308)

แสดงพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมผ่าน S 1, S 2 และ S 3 และปริมาตรของปริซึมเหลี่ยมนี้ผ่าน V เราได้รับ:

วี = ส 1 ชม.+S2 ชม.+ ส3 ชม., หรือ
V = (ส 1 + ส 2 + ส 3) ชม..

และสุดท้าย: V = S ชม..

ในทำนองเดียวกัน จะได้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ฐาน

วิธี, ปริมาตรของปริซึมตรงใด ๆ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

การออกกำลังกาย.

1. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานโดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้:

2. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นสามเหลี่ยมโดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้:

3. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐาน สามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้าน 12 ซม. (32 ซม., 40 ซม.) ปริซึมสูง 60 ซม.

4. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขายาว 12 ซม. และ 8 ซม. (16 ซม. และ 7 ซม.; 9 ม. และ 6 ม.) ความสูงของปริซึมคือ 0.3 ม.

5. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีสี่เหลี่ยมคางหมูที่ฐานด้วย ด้านคู่ขนานที่ 18 ซม. และ 14 ซม. และสูง 7.5 ซม. ความสูงของปริซึมคือ 40 ซม.

6. คำนวณปริมาตรห้องเรียนของคุณ (โรงยิม ห้องของคุณ)

7. พื้นผิวทั้งหมดของลูกบาศก์คือ 150 ซม. 2 (294 ซม. 2, 864 ซม. 2) คำนวณปริมาตรของลูกบาศก์นี้

8. ความยาวของอิฐอาคารคือ 25.0 ซม. ความกว้าง 12.0 ซม. ความหนา 6.5 ซม. a) คำนวณปริมาตร b) กำหนดน้ำหนักถ้า 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรอิฐมวลเบา 1.6 g.

9. ต้องใช้อิฐก่อกี่ก้อนจึงจะแข็งแรง กำแพงอิฐเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขอบขนาน ยาว 12 ม. กว้าง 0.6 ม. สูง 10 ม.? (ขนาดอิฐจากแบบฝึกหัดที่ 8)

10. ความยาวของเขียงที่สะอาดหมดจดคือ 4.5 ม. ความกว้าง 35 ซม. ความหนา 6 ซม. ก) คำนวณปริมาตร ข) กำหนดน้ำหนักหากลูกบาศก์เดซิเมตรของกระดานมีน้ำหนัก 0.6 กก.

11. สามารถใส่หญ้าแห้งได้กี่ตันในโรงฟางที่ปกคลุมด้วยหลังคาจั่ว (รูปที่ 309) หากความยาวของฟางคือ 12 ม. ความกว้าง 8 ม. ความสูง 3.5 ม. และความสูงของ สันหลังคา 1.5 ม.? ( แรงดึงดูดเฉพาะใช้หญ้าแห้งเป็น 0.2.)

12. ต้องขุดคูน้ำยาว 0.8 กม. ในส่วนคูน้ำควรมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน 0.9 ม. และ 0.4 ม. และความลึกของคูน้ำควรเป็น 0.5 ม. (รูปที่ 310) จะต้องเอาดินออกกี่ลูกบาศก์เมตร?

ในวิชาฟิสิกส์ มักใช้ปริซึมสามเหลี่ยมที่ทำจากแก้วเพื่อศึกษาสเปกตรัม แสงสีขาวเนื่องจากสามารถย่อยสลายเป็นส่วนประกอบที่แยกจากกันได้ ในบทความนี้เราจะพิจารณาสูตรปริมาตร

ปริซึมสามเหลี่ยมคืออะไร?

ก่อนให้สูตรปริมาตร ให้พิจารณาคุณสมบัติของรูปนี้

ในการรับสิ่งนี้คุณต้องใช้รูปสามเหลี่ยมโดยพลการแล้วเลื่อนขนานกับตัวมันเองในระยะทางหนึ่ง จุดยอดของสามเหลี่ยมในตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายควรเชื่อมต่อกันด้วยส่วนตรง รูปสามมิติที่ได้เรียกว่าปริซึมสามเหลี่ยม มันมีห้าด้าน ทั้งสองเรียกว่าฐาน: พวกมันขนานกันและเท่ากัน ฐานของปริซึมที่พิจารณาเป็นรูปสามเหลี่ยม ด้านที่เหลืออีกสามด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นอกจากด้านข้างแล้ว ปริซึมที่อยู่ระหว่างการพิจารณายังมีจุดยอดหกจุด (สามจุดสำหรับฐานแต่ละฐาน) และขอบเก้าขอบ (ขอบทั้ง 6 อยู่ในระนาบของฐานและขอบ 3 อันเกิดจากการตัดกันของด้านข้าง) หากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม

ความแตกต่างระหว่างปริซึมสามเหลี่ยมกับรูปทรงอื่นๆ ทั้งหมดในคลาสนี้คือ ปริซึมจะมีลักษณะนูนเสมอ (สี่-, ห้า-, ..., ปริซึม n-gonal ก็สามารถเว้าได้เช่นกัน)

มัน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมชนิดทั่วไป

จะหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมได้อย่างไร? สูตรใน ปริทัศน์คล้ายกับปริซึมทุกชนิด มันมีสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

ที่นี่ h คือความสูงของรูปนั่นคือระยะห่างระหว่างฐาน S o คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ค่าของ S o สามารถพบได้หากทราบพารามิเตอร์บางอย่างสำหรับรูปสามเหลี่ยม เช่น ด้านหนึ่งและสองมุม หรือสองด้านและหนึ่งมุม พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง

สำหรับความสูง h ของรูป การหาปริซึมสี่เหลี่ยมนั้นง่ายที่สุด ที่ กรณีสุดท้าย h ตรงกับความยาวของขอบด้านข้าง

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ

สูตรทั่วไปปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ซึ่งระบุไว้ในส่วนก่อนหน้าของบทความ สามารถใช้คำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับปริซึมสามเหลี่ยมปกติได้ เนื่องจากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของมันคือ:

ทุกคนจะได้สูตรนี้ถ้าจำได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกมุมเท่ากันและประกอบกันเป็น 60 o สัญลักษณ์ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม

ความสูง h คือความยาวของขอบ ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับฐานของปริซึมปกติและสามารถรับค่าได้ตามอำเภอใจ เป็นผลให้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ชนิดที่ถูกต้องดูเหมือนว่า:

เมื่อคำนวณรากแล้ว เราสามารถเขียนสูตรใหม่ได้ดังนี้:

ดังนั้น ในการหาปริมาตรของปริซึมปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องนำด้านของฐานยกกำลังสอง คูณค่านี้ด้วยความสูง แล้วคูณค่าผลลัพธ์ด้วย 0.433

ที่ หลักสูตรของโรงเรียนในรายวิชาการศึกษาสามมิติ ตัวเลขเชิงปริมาตรมักจะเริ่มต้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย - ปริซึมหลายหน้า บทบาทของฐานนั้นดำเนินการโดยรูปหลายเหลี่ยม 2 รูปซึ่งเท่ากัน ระนาบขนาน. กรณีพิเศษคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ 2 รูปซึ่งด้านตั้งฉากกัน มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยมถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร

ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือรูปหกเหลี่ยมที่มีฐาน 2 สี่เหลี่ยมและ ใบหน้าด้านข้างแทนด้วยสี่เหลี่ยม ชื่ออื่นสำหรับสิ่งนี้ รูปทรงเรขาคณิต- ขนานขนานตรง

รูปที่แสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณสามารถดูในภาพ องค์ประกอบที่จำเป็นซึ่งประกอบไปด้วย ร่างกายทางเรขาคณิต . โดยทั่วไปจะเรียกว่า:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณจะพบแนวคิดของส่วน คำจำกัดความจะเป็นดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของร่างกายปริมาตรที่เป็นของระนาบการตัด ส่วนตั้งฉาก (ข้ามขอบของรูปที่มุม 90 องศา) สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยม ให้พิจารณาส่วนทแยงด้วย ( จำนวนเงินสูงสุดส่วนที่สามารถสร้างได้ - 2) ผ่าน 2 ขอบและเส้นทแยงมุมของฐาน

หากส่วนถูกวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือด้านข้าง ผลที่ได้คือปริซึมที่ถูกตัดออก

อัตราส่วนและสูตรต่าง ๆ ถูกนำมาใช้เพื่อค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง บางคนเป็นที่รู้จักจากหลักสูตรของการวัดระนาบ (ตัวอย่างเช่นในการหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ของฐานและความสูง:

V = สริม ชั่วโมง

เนื่องจากฐานของปริซึมทรงจัตุรมุขปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ก,คุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบที่ละเอียดยิ่งขึ้น:

V = a² ชม

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติด้วย ความยาวเท่ากัน, ความกว้าง และความสูง ปริมาตรคำนวณได้ดังนี้

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม คุณต้องจินตนาการถึงการกวาดของมัน

จะเห็นได้จากการวาดภาพว่า พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านเท่า 4 รูป พื้นที่ของมันถูกคำนวณเป็นผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของรูป:

ด้านข้าง = Pos h

เนื่องจากเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ P = 4a,สูตรใช้รูปแบบ:

ด้าน = 4a h

สำหรับลูกบาศก์:

ด้านข้าง = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม ให้เพิ่มพื้นที่ฐาน 2 พื้นที่ลงในพื้นที่ด้านข้าง:

เต็ม = ด้านข้าง + 2Sbase

เมื่อนำไปใช้กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยม สูตรจะมีรูปแบบ:

เต็ม = 4a ชั่วโมง + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อทราบปริมาตรหรือพื้นที่ผิว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของรูปทรงเรขาคณิตได้

การหาองค์ประกอบของปริซึม

บ่อยครั้งที่มีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีดังกล่าว สามารถรับสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = ด้าน / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวซี่โครงด้านข้าง: h = ด้าน / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: สริม = V/h;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ด้าน / 4.

ในการพิจารณาว่าเส้นทแยงมุมมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับตาราง d = a√2.ดังนั้น:

เซียก = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึมจะใช้สูตร:

dprize = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการใช้อัตราส่วนข้างต้น คุณสามารถฝึกฝนและแก้ปัญหาง่ายๆ สองสามข้อได้

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

นี่คืองานบางส่วนที่ปรากฏในการสอบปลายภาคของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์

แบบฝึกหัด 1.

ทรายถูกเทลงในกล่องที่มีรูปร่างเหมือนปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ระดับของทรายจะเป็นอย่างไรถ้าคุณย้ายลงในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีความยาวฐาน 2 เท่า

พึงโต้แย้งดังนี้. ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ปริมาตรในภาชนะนั้นเท่ากัน คุณสามารถกำหนดความยาวของฐานเป็น ก. ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็นดังนี้:

V₁ = ฮา² = 10a²

สำหรับกล่องที่สองคือความยาวของฐาน 2aแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

เพราะว่า V₁ = V₂นิพจน์สามารถบรรจุ:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างลง a² เราจะได้:

ผลที่ตามมา ระดับใหม่ทรายจะเป็น ชั่วโมง = 10 / 4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมปกติ เป็นที่ทราบกันว่า BD = AB₁ = 6√2 ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจว่ารู้จักองค์ประกอบใดบ้าง คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราจึงสรุปได้ว่าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากับ 6√2 เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างจึงมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับฐาน ปรากฎว่าทั้งสามมิติ - ยาว กว้าง และสูง - เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใด ๆ ถูกกำหนดโดยเส้นทแยงมุมที่รู้จัก:

ก = ง / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรสำหรับลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องกำลังปรับปรุง เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้องคือ 2.5 ม. ราคาต่ำสุดในการติดวอลเปเปอร์ห้องคือเท่าไหร่ถ้า 1 ตร.ม. มีราคา 50 รูเบิล

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นสี่เหลี่ยม นั่นคือ สี่เหลี่ยมปกติ และผนังตั้งฉากกับพื้นผิวในแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่ามันเป็นปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ ก = √9 = 3ม.

จัตุรัสจะถูกปกคลุมด้วยวอลล์เปเปอร์ ด้านข้าง = 4 3 2.5 = 30 ตร.ม.

วอลล์เปเปอร์ต้นทุนต่ำที่สุดสำหรับห้องนี้จะเป็น 50 30 = 1500รูเบิล

ดังนั้น เพื่อเป็นการแก้ปัญหาเรื่อง ปริซึมสี่เหลี่ยมก็เพียงพอแล้วที่จะสามารถคำนวณพื้นที่และเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ รวมทั้งรู้สูตรในการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวด้วย

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์

ปริซึมที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีหลายอย่างที่เหมือนกัน ในการหาพื้นที่ฐานของปริซึม คุณต้องหาว่ามันมีลักษณะอย่างไร

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึม คือ รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถอยู่ที่ฐานของมันได้ ตั้งแต่สามเหลี่ยมไปจนถึง n-gon นอกจากนี้ฐานของปริซึมยังเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้าง - ขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ปัญหาไม่ได้พบเฉพาะพื้นที่ฐานของปริซึมเท่านั้น อาจจำเป็นต้องทราบพื้นผิวด้านข้าง นั่นคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน เต็มพื้นผิวจะมีการรวมตัวกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นปริซึม

บางครั้งความสูงปรากฏในงาน มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นส่วนที่เชื่อมต่อเป็นคู่ๆ ของจุดยอดสองจุดที่ไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับด้านข้าง ถ้าพวกเขามี ตัวเลขที่เหมือนกันในใบหน้าส่วนบนและส่วนล่าง พื้นที่ของใบหน้าจะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานมีรูปที่มีจุดยอดสามจุด นั่นคือรูปสามเหลี่ยม เป็นที่ทราบกันดีว่าแตกต่างกัน ถ้าอย่างนั้นก็เพียงพอที่จะจำได้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

หากต้องการทราบพื้นที่ของฐานในรูปแบบทั่วไป สูตรต่างๆ จะมีประโยชน์: นกกระสาและอันที่ครึ่งหนึ่งของด้านถูกนำไปยังความสูงที่วาดไว้

สูตรแรกควรเขียนดังนี้: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). รายการนี้มีค่ากึ่งเส้นรอบวง (p) นั่นคือผลรวมของสามด้านหารด้วยสอง

ที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการทราบพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปกติ สามเหลี่ยมจะกลายเป็นด้านเท่า มีสูตรของตัวเอง: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในแต่ละกรณี ในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรของคุณเอง

ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ของฐานจะถูกกำหนดดังนี้: S = av โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเป็นผู้ตั้งอยู่ที่ฐาน. ส \u003d 2.

ในกรณีที่ฐานเป็นแบบขนานจะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S \u003d a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านข้างของเส้นขนานและมุมใดมุมหนึ่งจะได้รับ จากนั้นในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: na \u003d b * sin A นอกจากนี้ มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูงคือ na ตรงข้ามกับมุมนี้

หากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม ก็จะต้องใช้สูตรเดียวกันนี้ในการกำหนดพื้นที่เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของปริซึม) แต่คุณสามารถใช้อันนี้ได้เช่นกัน: S = ½ d 1 d 2 ตรงนี้ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแยกรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหาพื้นที่ได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นว่าตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าว (สูตรสามารถดูได้ด้านบน) คูณด้วยห้า

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นไปได้ที่จะแบ่งฐานหกเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมนั้นคล้ายกับสูตรก่อนหน้า เฉพาะในนั้นควรคูณด้วยหก

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 และ 2 * √3

งาน

หมายเลข 1 กำหนดเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุม 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายหน้าคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

วิธีการแก้.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้าน คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (n) x 2 \u003d ง 2 - n 2. ในทางกลับกัน ส่วน "x" นี้คือด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยมที่มีขาเท่ากับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 \u003d a 2 + a 2 ดังนั้น ปรากฎว่า a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2

แทนค่า d ด้วยจำนวน 22 และแทนที่ "n" ด้วยค่า - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้หาพื้นที่ฐานได้ง่าย: 12 * 12 \u003d 144 ซม. 2 .

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มค่าของพื้นที่ฐานเป็นสองเท่าและเพิ่มด้านข้างเป็นสี่เท่า สูตรหลังหาง่ายสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมพบว่าเท่ากับ 960 ซม. 2 .

ตอบ.พื้นที่ฐานของปริซึมคือ 144 cm2 พื้นผิวทั้งหมด - 960 ซม. 2 .

หมายเลข 2 Dana ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 6 ซม. ในกรณีนี้เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. คำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

วิธีการแก้.เนื่องจากปริซึมเป็นทรงปกติ ฐานของปริซึมจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้นพื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสองคูณ ¼ และสแควร์รูทของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 6 และ 10 ซม. ในการคำนวณพื้นที่ก็เพียงพอที่จะคูณตัวเลขเหล่านี้ จากนั้นคูณด้วยสาม เนื่องจากปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างจะมีบาดแผล 180 ซม. 2 .

ตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2 พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2

ให้ต้องหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งพื้นที่ฐานเท่ากับ S และความสูงเท่ากับ ชม.= AA' = BB' = CC' (รูปที่ 306)

เราวาดฐานของปริซึมแยกกัน เช่น สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 307, a) และทำให้สมบูรณ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งเราวาดเส้นตรง KM ผ่านจุดยอด B || AC และจากจุด A และ C เราวาง AF และ CE ตั้งฉากกับเส้นนี้ เราได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF เมื่อวาดความสูง BD ของสามเหลี่ยม ABC แล้ว เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยม ACEF แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป นอกจากนี้ \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD และ \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACEF เป็นสองเท่าของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC นั่นคือเท่ากับ 2S

สำหรับปริซึมที่มีฐาน ABC เราเพิ่มปริซึมที่มีฐานทั้งหมดและ BAF และความสูง ชม.(รูปที่ 307, ข). เราได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับฐาน ACEF

ถ้าเราตัดขนานนี้ด้วยระนาบที่ผ่านเส้น BD และ BB' เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยมขนานประกอบด้วยปริซึม 4 อันที่มีฐานเป็น BCD, ALL, BAD และ BAF

ปริซึมที่มีฐานเป็น BCD และ ALL สามารถรวมกันได้ เนื่องจากฐานของปริซึมเท่ากัน (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) และขอบด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับระนาบเดียวก็มีค่าเท่ากันเช่นกัน ดังนั้นปริมาตรของปริซึมเหล่านี้จึงเท่ากัน ปริมาตรของปริซึมที่มีฐาน BAD และ BAF ก็เท่ากันเช่นกัน

ดังนั้น ปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่มีฐาน ABC เท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐาน ACEF

เรารู้ว่าปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง นั่นคือในกรณีนี้เท่ากับ 2S ชม.. ดังนั้นปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนี้จึงเท่ากับ S ชม..

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

2. ปริมาตรของปริซึมทรงเหลี่ยมตรง

การหาปริมาตรของปริซึมทรงเหลี่ยมแบบตรง เช่น ห้าเหลี่ยม มีพื้นที่ฐาน S และความสูง ชม.มาแบ่งเป็นปริซึมสามเหลี่ยมกันเถอะ (รูปที่ 308)

แสดงพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมผ่าน S 1, S 2 และ S 3 และปริมาตรของปริซึมเหลี่ยมนี้ผ่าน V เราได้รับ:

วี = ส 1 ชม.+S2 ชม.+ ส3 ชม., หรือ

V = (ส 1 + ส 2 + ส 3) ชม..

และสุดท้าย: V = S ชม..

ในทำนองเดียวกัน จะได้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ฐาน

วิธี, ปริมาตรของปริซึมตรงใด ๆ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ปริมาณปริซึม

ทฤษฎีบท. ปริมาตรของปริซึมเท่ากับพื้นที่ฐานคูณความสูง

ขั้นแรก เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยม แล้วจึงพิสูจน์สำหรับปริซึมหลายเหลี่ยม

1) วาด (รูปที่ 95) ผ่านขอบ AA 1 ของปริซึมสามเหลี่ยม ABCA 1 B 1 C 1 ระนาบขนานกับใบหน้า BB 1 C 1 C และผ่านขอบ CC 1 - ระนาบขนานกับใบหน้า AA 1 บี 1 บี; จากนั้นเราต่อระนาบของฐานทั้งสองของปริซึมจนกว่าจะตัดกับระนาบที่วาด

จากนั้นเราจะได้ BD 1 แบบขนานซึ่งแบ่งโดยระนาบแนวทแยง AA 1 C 1 C เป็นปริซึมสามเหลี่ยมสองอัน (หนึ่งในนั้นได้รับ) ให้เราพิสูจน์ว่าปริซึมเหล่านี้เท่ากัน ในการทำเช่นนี้ เราวาดส่วนตั้งฉาก เอบีซีดี. ในส่วนนี้ คุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งเป็นเส้นทแยงมุม เอซแบ่งออกเป็นสอง สามเหลี่ยมเท่ากัน. ปริซึมนี้เท่ากับปริซึมตรงที่มีฐานเป็น \(\Delta\) เอบีซี, และความสูงคือขอบ AA 1 . ปริซึมสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่งมีพื้นที่เท่ากับเส้นตรงที่มีฐานเป็น \(\Delta\) โฆษณา, และความสูงคือขอบ AA 1 . แต่ปริซึมตรงสองอันกับ มีเหตุผลเท่าเทียมกันและความสูงเท่ากันจะเท่ากัน (เพราะจะรวมกันเมื่อฝัง) ซึ่งหมายความว่าปริซึม ABCA 1 B 1 C 1 และ ADCA 1 D 1 C 1 มีค่าเท่ากัน จากนี้ไปปริมาตรของปริซึมนี้คือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของขนาน BD 1 ; ดังนั้น เมื่อระบุความสูงของปริซึมผ่าน H เราจะได้รับ:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) วาดผ่านขอบ AA 1 ของปริซึมเหลี่ยม (รูปที่ 96) ระนาบทแยงมุม AA 1 C 1 C และ AA 1 D 1 D

จากนั้นจะตัดปริซึมนี้ออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมหลายๆ ผลรวมของปริมาตรของปริซึมเหล่านี้คือปริมาตรที่ต้องการ หากเราระบุพื้นที่ฐานด้วย ข 1 , ข 2 , ข 3 และความสูงรวมจนถึง H เราได้รับ:

ปริมาตรของปริซึมเหลี่ยม = ข 1H+ ข 2H+ ข 3 ชั่วโมง =( ข 1 + ข 2 + ข 3) เอช =

= (พื้นที่ ABCDE) H.

ผลที่ตามมา ถ้า V, B และ H เป็นตัวเลขที่แสดงปริมาตร พื้นที่ฐาน และความสูงของปริซึมในหน่วยที่เหมาะสม ตามผลการพิสูจน์ เราสามารถเขียนได้ดังนี้

วัสดุอื่นๆ