1. แรงทั่วไปสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร (227) ซึ่งกำหนดไว้เช่น

2. แรงทั่วไปสามารถคำนวณเป็นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันของพิกัดทั่วไปในนิพจน์สำหรับงานประถมศึกษา (226") เช่น

3. วิธีที่เหมาะสมที่สุดในการคำนวณแรงทั่วไปซึ่งได้มาจาก (226 "") คือถ้าระบบได้รับการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ซึ่งมีเพียงพิกัดทั่วไปเดียวเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในขณะที่พิกัดอื่น ๆ ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น ถ้า และส่วนที่เหลือ จากนั้นจาก (179") เรามี

.

ดัชนีบ่งชี้ว่าผลรวมของงานเบื้องต้นคำนวณตามการกระจัดที่เป็นไปได้ ในระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงพิกัดเท่านั้น (แตกต่างกันไป) ถ้าพิกัดของตัวแปรเป็น แล้ว

. (227")

สภาวะสมดุลของระบบแรงในแง่ของแรงทั่วไป

สภาวะสมดุลของระบบ มาจากหลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ ใช้กับระบบที่หลักการนี้ใช้ได้: สำหรับความสมดุลของระบบกลไกภายใต้ข้อจำกัดโฮโลโนมิก คงที่ อุดมคติ และไม่ปล่อย ในขณะที่ความเร็วของจุดทั้งหมดของระบบเท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่แรงทั่วไปทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

. (228")

สมการทั่วไปของพลศาสตร์

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สำหรับระบบที่มีการเชื่อมต่อใดๆ (หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์ที่รวมกันหรือ สมการทั่วไปของกลศาสตร์):

, (229)

โดยที่แรงแอคทีฟที่ใช้กับจุดที่ th ของระบบคือที่ไหน – ความแข็งแรงของปฏิกิริยาของพันธะ – แรงเฉื่อยจุด – การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

ในกรณีของความสมดุลของระบบ เมื่อแรงเฉื่อยทั้งหมดของจุดของระบบหายไป มันจะเปลี่ยนเป็นหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ โดยปกติจะใช้สำหรับระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข

ในกรณีนี้ (229) มีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง:

,

,

. (230)

ดังนั้น, ตามสมการทั่วไปของไดนามิก ณ เวลาใดๆ ของการเคลื่อนที่ของระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงแอคทีฟทั้งหมดและแรงเฉื่อยของจุดต่างๆ ของระบบจะเท่ากับศูนย์ในการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบที่อนุญาต โดยการเชื่อมต่อ.

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สามารถให้รูปแบบอื่นที่เทียบเท่าได้ การขยายผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ก็สามารถแสดงเป็น

พิกัดของจุดที่ระบบอยู่ที่ไหน เมื่อพิจารณาว่าการฉายแรงเฉื่อยบนแกนพิกัดผ่านการฉายภาพความเร่งบนแกนเหล่านี้แสดงออกมาด้วยความสัมพันธ์

,

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สามารถกำหนดรูปแบบได้

ในรูปแบบนี้เรียกว่า สมการพลศาสตร์ทั่วไปในรูปแบบการวิเคราะห์.

เมื่อใช้สมการทั่วไปของไดนามิก จำเป็นต้องคำนวณงานเบื้องต้นของแรงเฉื่อยของระบบในการกระจัดที่เป็นไปได้ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงใช้สูตรที่เกี่ยวข้องสำหรับงานเบื้องต้นที่ได้รับสำหรับกองกำลังธรรมดา ขอให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้กับแรงเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งโดยเฉพาะในกรณีของการเคลื่อนที่

ระหว่างเคลื่อนที่ไปข้างหน้า ในกรณีนี้ ร่างกายมีอิสระสามระดับ และเนื่องจากข้อจำกัดที่กำหนด จึงสามารถดำเนินการได้เฉพาะการเคลื่อนไหวแบบแปลเท่านั้น การเคลื่อนไหวของร่างกายที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้เกิดการเชื่อมต่อก็เป็นสิ่งที่แปลได้เช่นกัน

แรงเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปลจะลดลงตามผลลัพธ์ - สำหรับผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงเฉื่อยต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นไปได้ในการแปล

โดยที่การกระจัดที่เป็นไปได้ของจุดศูนย์กลางมวลและจุดใด ๆ ของร่างกายเนื่องจากการกระจัดที่เป็นไปได้ของทุกจุดของร่างกายจะเหมือนกัน: ความเร่งก็เหมือนกันเช่นกันนั่นคือ

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ ร่างกายในกรณีนี้มีอิสระระดับหนึ่ง สามารถหมุนรอบแกนคงที่ได้ การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ที่อนุญาตโดยการเชื่อมต่อที่ซ้อนทับก็คือการหมุนของร่างกายด้วยมุมพื้นฐานรอบแกนคงที่

แรงเฉื่อยที่ลดลงจนถึงจุดบนแกนการหมุนจะลดลงเหลือเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลัก เวกเตอร์หลักของแรงเฉื่อยถูกนำไปใช้กับจุดคงที่ และงานเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจัดที่เป็นไปได้คือศูนย์ สำหรับช่วงเวลาหลักของแรงเฉื่อย งานเบื้องต้นที่ไม่เป็นศูนย์จะดำเนินการโดยการฉายภาพบนแกนหมุนเท่านั้น ดังนั้น สำหรับผลรวมของการทำงานของแรงเฉื่อยต่อการกระจัดที่เป็นไปได้ที่เรามี

,

ถ้ามุมถูกรายงานไปในทิศทางของลูกศรส่วนโค้งของการเร่งความเร็วเชิงมุม

ในการเคลื่อนที่แบบเรียบ ในกรณีนี้ ข้อจำกัดที่กำหนดบนวัตถุแข็งเกร็งอนุญาตให้มีการเคลื่อนที่ในระนาบเท่านั้น ในกรณีทั่วไป ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ในการแปลที่เป็นไปได้พร้อมกับเสา ซึ่งเราเลือกจุดศูนย์กลางมวล และการหมุนผ่านมุมพื้นฐานรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและตั้งฉากกับระนาบขนานกับที่ ร่างกายสามารถเคลื่อนไหวระนาบได้

ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมและโมเมนตัมเชิงมุมของระบบจุดวัสดุ

กฎการอนุรักษ์ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล โมเมนตัม และโมเมนตัมเชิงมุมของระบบจุดวัสดุ ตัวอย่าง.

งานแห่งกำลังและโมเมนต์แห่งพลัง ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์

สนามพลังศักย์ พลังงานศักย์ของระบบและตัวอย่างการคำนวณ กฎการอนุรักษ์พลังงานกลทั้งหมด

กลศาสตร์การวิเคราะห์ การจำแนกประเภทของการเชื่อมต่อ ตัวอย่าง. การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

การเชื่อมต่อในอุดมคติ หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

พิกัดทั่วไป จำนวนองศาอิสระของระบบ แรงทั่วไป วิธีการคำนวณ สภาวะสมดุลของระบบที่มีข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก แสดงในรูปของแรงทั่วไป

สมการลากรองจ์ชนิดที่สอง สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่แบบระนาบ-ขนานของวัตถุแข็งเกร็ง

คุณสมบัติของไจโรสโคปหนักสามองศา

คุณสมบัติของไจโรสโคปสององศา โมเมนต์ไจโรสโคปิก กฎของ Zhukovsky การใช้ไจโรสโคปในเทคโนโลยี

กลศาสตร์การวิเคราะห์ การจำแนกประเภทของการเชื่อมต่อ ตัวอย่าง. การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

การเชื่อมต่อ– นี่คือความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและความเร็วของจุดต่างๆ ของระบบ นำเสนอในรูปของความเท่าเทียมกันหรืออสมการ

การจำแนกประเภท:

เรขาคณิต– กำหนดข้อจำกัดเฉพาะพิกัดของจุดระบบเท่านั้น (ไม่รวมความเร็ว)

จลนศาสตร์– ความเร็วเข้าสู่สมการ หากคุณสามารถกำจัดความเร็วได้ แสดงว่าการเชื่อมต่อถูกรวมเข้าด้วยกัน

การเชื่อมต่อแบบโฮโลโนมิก– การเชื่อมต่อเชิงอนุพันธ์ทางเรขาคณิตและอินทิเกรต

การเชื่อมต่อเรียกว่า โฮลดิ้ง(กำหนดหรือข้อจำกัดยังคงอยู่ในตำแหน่งใด ๆ ของระบบ) และ ไม่ถูกจำกัดซึ่งไม่มีคุณสมบัตินี้ (จากการเชื่อมต่อดังกล่าวอย่างที่เขาว่ากันว่าระบบสามารถ "ปลดปล่อย" ได้

การย้ายถิ่นฐานที่เป็นไปได้

จิตใดๆ

ไม่มีที่สิ้นสุด

อนุญาตให้ย้ายจุดระบบ

ในเวลานี้

การเชื่อมต่อที่กำหนดบนระบบ

การเคลื่อนไหวที่เกิดขึ้นจริง– ขึ้นอยู่กับแรง เวลา การเชื่อมต่อ เงื่อนไขเริ่มต้น

การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่กับการเชื่อมต่อเท่านั้น

สำหรับการเชื่อมต่อแบบอยู่กับที่ การเคลื่อนไหวจริงคือหนึ่งในการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

การเชื่อมต่อในอุดมคติ หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

ในอุดมคติเรียกว่าการเชื่อมต่อซึ่งผลรวมของงานเบื้องต้นของปฏิกิริยาทั้งหมดต่อการกระจัดใด ๆ ที่เป็นไปได้เท่ากับ 0

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

เพื่อความสมดุลของระบบกลไกที่มีการเชื่อมต่อแบบอยู่กับที่ในอุดมคติ ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดต่อการกระจัดที่เป็นไปได้นั้นมีค่าเท่ากับ 0 ในกรณีนี้ ความเร็วเริ่มต้นจะต้องเท่ากันเพื่อความเพียงพอ เป็นศูนย์ ยอดที่จำเป็น => เพียงพอ => ยอดคงเหลือ

พิกัดทั่วไป จำนวนองศาอิสระของระบบ แรงทั่วไป วิธีการคำนวณ สภาวะสมดุลของระบบที่มีข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก แสดงในรูปของแรงทั่วไป

พิกัดทั่วไป– พารามิเตอร์อิสระที่กำหนดตำแหน่งของระบบอย่างสมบูรณ์และสามารถแสดงพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดในระบบได้

จำนวนองศาอิสระถูกกำหนดโดยจำนวนพิกัดทั่วไป

จำนวนปริมาณสเกลาร์ที่เป็นอิสระต่อกันซึ่งกำหนดตำแหน่งของระบบกลไกในอวกาศโดยไม่ซ้ำกันเรียกว่าจำนวนองศาอิสระ

พิกัดทั่วไปของระบบเครื่องกลคือปริมาณทางเรขาคณิตใดๆ ที่เป็นอิสระจากกัน ซึ่งกำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยไม่ซ้ำกัน

Q i = δA j /δq j หรือ δA j = Q i ⋅ δq j

กำลังทั่วไป- นี่คือแรงที่ทำงานเหมือนกันกับการกระจัดที่เป็นไปได้ตามพิกัดทั่วไปของมันเหมือนกับแรงทั้งหมดที่ใช้กับระบบกับการกระจัดที่สอดคล้องกันของจุดใช้งาน

ในการค้นหาแรงทั่วไป เราจะให้ค่าการกระจัดที่เป็นไปได้ตามพิกัดทั่วไปของมัน โดยไม่เปลี่ยนแปลงพิกัดอื่นๆ จากนั้นเราจะพบการทำงานของแรงทั้งหมดที่ใช้กับระบบแล้วหารด้วยการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ในแง่ของแรงทั่วไป

เนื่องจากในสภาวะสมดุล ผลรวมของงานเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจัดที่เป็นไปได้ ( บีเอ=ขถาม เจ , ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับแต่ละอื่น ๆ ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จะต้องเป็นจริง: Q 1 =0; คำถาม 2 =0; คิวเค =0

ให้เราพิจารณาระบบทางกลที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่แรงกระทำ ปล่อยให้ระบบมีระดับความอิสระและตำแหน่งของมันจะถูกกำหนดโดยพิกัดทั่วไป (104) ให้เราแจ้งให้ระบบทราบถึงการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้อย่างอิสระ โดยที่พิกัดได้รับการเพิ่มขึ้น และพิกัดที่เหลือจะไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นเวกเตอร์รัศมีแต่ละจุดของระบบจะได้รับการเพิ่มขึ้นเบื้องต้น เนื่องจากตามความเท่าเทียมกัน (106) และในระหว่างการเคลื่อนไหวภายใต้การพิจารณาเฉพาะการเปลี่ยนแปลงพิกัด (ส่วนที่เหลือคงค่าคงที่) จึงถูกคำนวณเป็นส่วนต่างบางส่วนและดังนั้น

เมื่อใช้ความเท่าเทียมและสูตร (42) จากมาตรา 87 เราคำนวณผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดในการกระจัดที่พิจารณา ซึ่งเราแสดงว่าเราได้รับ

ในที่สุดเราก็พบการแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ที่ระบุไว้

โดยการเปรียบเทียบกับความเท่าเทียมกันที่กำหนดงานเบื้องต้นของแรง F ปริมาณนี้เรียกว่าแรงทั่วไปที่สอดคล้องกับพิกัด

โดยการแจ้งระบบถึงการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ที่เป็นอิสระอื่น ในระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงพิกัดเท่านั้น เราจะได้นิพจน์สำหรับงานเบื้องต้นของกองกำลังรักษาการทั้งหมดในการเคลื่อนไหวนี้

ปริมาณแสดงถึงแรงทั่วไปที่สอดคล้องกับพิกัด ฯลฯ

เห็นได้ชัดว่าหากระบบได้รับการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ซึ่งเปลี่ยนพิกัดทั่วไปทั้งหมดไปพร้อม ๆ กัน ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงที่ใช้กับการเคลื่อนไหวนี้จะถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

สูตร (112) เป็นนิพจน์สำหรับงานเบื้องต้นทั้งหมดของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อระบบในพิกัดทั่วไป จากความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจนว่าแรงทั่วไปนั้นมีปริมาณเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการเพิ่มขึ้นของพิกัดทั่วไปในการแสดงออกของงานเบื้องต้นทั้งหมดของแรงที่กระทำต่อระบบ

หากการเชื่อมต่อทั้งหมดที่กำหนดบนระบบมีอุดมคติแล้ว งานระหว่างการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้จะดำเนินการโดยแรงกระทำเท่านั้น และปริมาณจะเป็นตัวแทนของแรงกระทำทั่วไปของระบบ

มิติของแรงทั่วไปขึ้นอยู่กับขนาดของพิกัดทั่วไปที่สอดคล้องกัน เนื่องจากสินค้าและดังนั้นจึงมีมิติของการทำงานแล้ว

นั่นคือมิติของแรงทั่วไปเท่ากับมิติของงานหารด้วยมิติของพิกัดทั่วไปที่สอดคล้องกัน จากนี้ เป็นที่แน่ชัดว่าถ้า q เป็นปริมาณเชิงเส้น แล้ว Q จะมีมิติของแรงสามัญ (ใน SI จะวัดเป็นนิวตัน) ถ้า q เป็นมุม (ปริมาณที่ไม่สามารถวัดได้) แล้ว Q จะถูกวัดและมี มิติของช่วงเวลา; ถ้า q คือปริมาตร (เช่น ตำแหน่งของลูกสูบในกระบอกสูบสามารถกำหนดได้จากปริมาตรของพื้นที่ลูกสูบ) แล้ว Q จะถูกวัดและมีมิติของความดัน เป็นต้น

ดังที่เราเห็น โดยการเปรียบเทียบกับความเร็วทั่วไป แนวคิดของแรงทั่วไปครอบคลุมปริมาณทั้งหมดที่เคยพบมาก่อนเป็นการวัดปฏิสัมพันธ์ทางกลของวัตถุ (แรง โมเมนต์ของแรง ความดัน)

เราจะคำนวณแรงทั่วไปโดยใช้สูตรของแบบฟอร์ม (108) (110) ซึ่งจะช่วยลดการคำนวณงานเบื้องต้นที่เป็นไปได้ (ดู§ 140) ขั้นแรกคุณควรกำหนดจำนวนองศาอิสระของระบบเลือกพิกัดทั่วไปและพรรณนาในรูปวาดแรงกระทำและแรงเสียดทานทั้งหมดที่ใช้กับระบบ (หากใช้งานได้) จากนั้นเพื่อพิจารณาว่ามีความจำเป็นต้องแจ้งให้ระบบทราบถึงการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ซึ่งมีเพียงการเปลี่ยนแปลงพิกัดโดยได้รับการเพิ่มขึ้นที่เป็นบวกคำนวณผลรวมของงานเบื้องต้นของกองกำลังที่กระทำทั้งหมดในการเคลื่อนไหวนี้ตามสูตร (101) และ นำเสนอนิพจน์ผลลัพธ์ในรูปแบบ (108) จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ และ ให้ค่าที่ต้องการ คำนวณในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1 ลองคำนวณแรงทั่วไปของระบบดังแสดงในรูปที่ 1 366 โดยที่น้ำหนัก A ถูกข้ามไปตามระนาบลาดเอียง และน้ำหนัก B ถูกข้ามไปตามระนาบแนวนอนที่ขรุขระ ซึ่งสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจะเท่ากับ

ตุ้มน้ำหนักเชื่อมต่อกันด้วยด้ายที่โยนข้ามบล็อก O เราละเลยมวลของด้ายและบล็อก ระบบมีอิสระระดับหนึ่ง โดยตำแหน่งจะถูกกำหนดโดยพิกัด (ทิศทางบวกของการอ้างอิงจะแสดงด้วยลูกศร) เพื่อพิจารณา เราจะแจ้งระบบของการกระจัดที่เป็นไปได้ และคำนวณงานเบื้องต้นของแรงในการกระจัดนี้ แรงที่เหลือจะไม่ทำงาน ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 2 หากละเลยแรงเสียดทาน เราจะพบแรงทั่วไปของระบบดังแสดงในรูปที่ 2 367 แท่งที่เป็นเนื้อเดียวกัน A B มีความยาว l และน้ำหนัก P และสามารถหมุนรอบแกน A ในระนาบแนวตั้งได้ ลูก M ที่ขึงนั้นมีน้ำหนัก ความยาวของสปริง AM จะเท่ากันในสภาวะไม่มีแรงเค้น และความแข็งคือ c

ระบบมีอิสระสองระดับ (การเคลื่อนที่ของลูกบอลไปตามแกนและการหมุนของแกนรอบแกน A มีความเป็นอิสระ) ตามพิกัดทั่วไป เราเลือกมุมและระยะห่างของลูกบอลจากปลายสปริงที่ไม่มีแรง ทิศทางที่เป็นบวกของพิกัดจะแสดงด้วยลูกศร

ก่อนอื่นเราจะแจ้งระบบถึงการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ซึ่งมุมจะเพิ่มขึ้น ในการเคลื่อนไหวนี้ งานจะดำเนินการโดยกองกำลัง ใช้สูตรที่สอง (101) เราพบ (เครื่องหมายลบตรงนี้เพราะทิศทางของโมเมนต์อยู่ตรงข้ามกับทิศทาง)

เพราะฉะนั้น,

ตอนนี้เราแจ้งระบบถึงการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ ในระหว่างที่มีการเปลี่ยนแปลงพิกัดเท่านั้น ได้รับการเพิ่มขึ้น และมุม ในการกระจัดนี้ งานจะดำเนินการโดยแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่น ซึ่งมีโมดูลัสคือ จากนั้น

การปรับตัวและแนวทางพื้นฐานในการปรับตัวสิ่งมีชีวิตให้เข้ากับสภาวะแวดล้อมที่รุนแรง

B) วิธีการแปลคำที่บ่งบอกถึงความเป็นจริงเฉพาะของชาติ

ขึ้นอยู่กับการปรากฏตัวขององค์ประกอบทางสัณฐานวิทยาบางอย่างของผื่น, โรคหลอดเลือดหัวใจตีบประเภทต่างๆมีความโดดเด่น

ในการปฏิบัติทางคลินิกมีความโดดเด่นในรูปแบบต่าง ๆ ของความพิการทางสมอง, dysarthria, alalia, การกลายพันธุ์และการพูดทั่วไปที่ด้อยพัฒนา

ความสัมพันธ์ระหว่างมาตรการคุ้มครองแรงงานกับความสามารถในการทำกำไรขององค์กรธุรกิจ วิธีปรับปรุงสภาพการทำงานและความปลอดภัยอย่างแท้จริงโดยไม่ขัดแย้งกับนายจ้าง

ประเภทของสายลากจูง วิธีการป้อนและยึดเชือกลากจูง

1. ตามคำจำกัดความ (2.26) แรงทั่วไป

โดยคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย เราได้รับ

(2.28)

วิธีการกำหนดแรงทั่วไปนี้เรียกว่าการวิเคราะห์

ตัวอย่าง 2.11.ค้นหาแรงทั่วไป คิว คิว = เจหากอยู่ในกลไกข้อเหวี่ยงเลื่อน (รูปที่ 2.10) OA=AB= ลิตร¾ แนวตั้ง และ ➔ แรงในแนวนอน

สารละลาย. เพราะ ฟ 1 x =0และ F 2 ปี = 0แล้วแรงทั่วไปตาม (2.28)

การฉายแรงและพิกัดของจุดใช้งานถูกกำหนดเป็น

ฉ 1y =- ฉ 1; ฟ 2x = - ฟ 2 ;

รูปที่.2.10y A = l บาปเจ ; x ข = 2 ลเพราะเจ

เพราะฉะนั้น, คิว คิว = เจ= - เอฟ 1 ลเพราะเจ + 2 F 2 ล. บาปเจ

2. ให้เราชี้ให้เห็นวิธีที่ง่ายกว่าในการคำนวณค่าทั่วไป

ความเข้มแข็งมีประโยชน์ในการแก้ปัญหา

แรงทั่วไปสำหรับระบบเครื่องกลที่มีระดับความอิสระหลายระดับ ส=เค > 1ขอแนะนำให้คำนวณตามลำดับโดยคำนึงถึงพิกัดทั่วไปและการเปลี่ยนแปลงของพวกเขา เป็นอิสระจากกันระบบสามารถได้รับแจ้งถึงการเคลื่อนไหวเสมือนดังกล่าวซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงพิกัดทั่วไปเพียงจุดเดียวเท่านั้น ในขณะที่พิกัดอื่นๆ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้จาก (2.27)

- เราได้รับ

(2.29)

ที่ไหน (2.30)

ดัชนี ถามฉันใน (2.30) หมายความว่างานเสมือนของแรงที่กระทำต่อระบบถูกกำหนดโดยการกระจัดของจุดที่ใช้แรงเหล่านี้ซึ่งสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของจุดเดียวเท่านั้น ฉัน- y พิกัดทั่วไป

ตัวอย่าง 2.12ค้นหาแรงทั่วไปของระบบดังแสดงในรูปที่ 1 2.11. มวลของภาระ (1) เท่ากับ ม. 1มวลของกระบอกสูบ (2) เท่ากับ ม. 2และรัศมีของมันคือ ¾ ร.ด้ายไม่เลื่อนไปตามบล็อก (3) และกระบอกสูบ (2) จุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอก (2) เคลื่อนที่ไปตามแนวตั้ง

สารละลาย.เพื่อกำหนดแรงทั่วไป เราตั้งค่าส่วนเพิ่ม ดีเอส¹ 0 พิกัดโหลด (1) และสำหรับมุม เจการหมุนของกระบอกสูบ (2) เราจะพิจารณา

ดีเจ =0.ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางมวลของกระบอกสูบ (2)

จะมีการกระจัดเท่ากับการกระจัดของโหลด เพราะฉะนั้น,

รูปที่.2.11

ที่ไหน ป 1 =ม. 1 ก.; ป 2 =ม. 2 ก.

เมื่อพิจารณาแล้ว เราจะถือว่า ds=0 และดีเจ¹ 0. แล้ว

3. หากแรงที่กระทำต่อระบบกลไกนั้นมีศักยภาพให้พิจารณา กองกำลังทั่วไปคุณสามารถใช้ฟังก์ชันบังคับได้ คุณหรือพลังงานศักย์ ประบบ

ศักยภาพที่แข็งแกร่ง

(2.31)

เมื่อแทนค่าประมาณการแรงลงใน (2.30) เราจะได้

บรรยายครั้งที่ 24

12. พิกัดทั่วไป กองกำลังทั่วไป

เพื่อแนะนำแนวคิดของพิกัดทั่วไป ให้พิจารณาลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คู่แบนที่ประกอบด้วยแท่งยาวไร้น้ำหนักสองแท่ง ล 1 และ ล 2 มีมวลจุด ม 1 และ ม 2 ที่ส่วนท้าย (รูปที่ 12.1) ระบบมีความเป็นอิสระสองระดับ

แกนกลางจริงๆ โอม 1 สามารถหมุนรอบแกนนอนคงที่ได้ เกี่ยวกับตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ xOyและไม้เท้า ม 1 ม 2 – รอบแกนนอนที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 1 ในระนาบเดียวกัน ดังนั้น สมการจำกัดจึงมีรูปแบบดังนี้ z 1 = 0,z 2 = 0,

ดังนั้นตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา n = 2 และจำนวนสมการจำกัด เค= 4 แล้ว ส = 3ไม่มี –เค = 2 คือ พิกัดคาร์ทีเซียนเพียงสองจากหกพิกัดเท่านั้นที่เป็นอิสระและต้องระบุ พิกัดที่เหลือสามารถแสดงได้จากสมการจำกัดผ่านพิกัดอิสระ

ในทางปฏิบัติพิกัด x 1, ย 1z 1 , x 2 , ย 2 , z 2 แสดงผ่านตัวแปรอิสระที่มีลักษณะแตกต่างกัน ในกรณีของเราคือมุมและการเบี่ยงเบนของแท่งจากแนวตั้ง:

เอ็กซ์ 1 = ลิตร 1× เพราะเจ 1 , ปี 1 = ล. 1× บาปเจ 1 , z 1 = 0;

x 2 = ลิตร 1× เพราะเจ 1 + ลิตร 2× เพราะเจ 2 , ปี 2 = ล. 1× บาปเจ 1 + ลิตร 2× บาปเจ 2 , ซี 2 = 0. (12.1)

มุมต่างๆ มีบทบาทเป็นพารามิเตอร์อิสระที่กำหนดตำแหน่งของระบบกลไกที่กำลังพิจารณาโดยเฉพาะ

เรามามีระบบกันเถอะ nจุดวัสดุที่มีการซ้อนทับ เคการเชื่อมต่อแบบโฮโลโนมิกที่กำหนดโดยสมการ (10.2) เนื่องจากจำนวนองศาอิสระเท่ากัน ส, จากนั้นเราจะแนะนำตัวแปรอิสระ ค 1 , คิว 2 , ..., คิวส- จากนั้นสำหรับระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความสัมพันธ์ (12.1) จะอยู่ในรูปแบบ:

x n = x n (ค 1 , ค 2 , ...,ถามที);

ที่ n = ย n (คำถาม 1 , คำถาม 2, ...,ถามที); (n= 1, 2,…,น),

z n = ซ n (ค 1 , คิว 2 , ...,ถามที);

(ค 1 , คิว 2 , ...,ถามที); (n= 1, 2,…, น). (12.2)

โปรดทราบว่าพิกัดที่เป็นอิสระ คิว ม (ม = 1, 2, …,ส) – นี่ไม่จำเป็นต้องเป็นชุด สตัวแปรจากพิกัดคาร์ทีเซียน xn, ยn,zn- พวกมันอาจเป็นตัวแปรที่มีลักษณะแตกต่างกัน ดังนั้นในตัวอย่างข้างต้น แทนที่จะใช้พิกัดคาร์ทีเซียน พิกัดเชิงมุมจึงถูกนำมาใช้แทน

S พารามิเตอร์อิสระq 1, q 2, ..., q s ซึ่งกำหนดตำแหน่งของจุดของระบบวัสดุโดยไม่ซ้ำกันซึ่งเข้ากันได้กับการเชื่อมต่อเรียกว่าพิกัดทั่วไป.

อนุพันธ์ของพิกัดทั่วไปเทียบกับเวลา เรียกว่าความเร็วทั่วไป ( = dq เมตร/dt).

มิติของความเร็วทั่วไปขึ้นอยู่กับมิติของพิกัดทั่วไป: ถ้า คิว มก็คือปริมาณเชิงเส้นแล้ว – ความเร็วเชิงเส้น ถ้า คิว ม– มุมแล้ว – ความเร็วเชิงมุม ถ้า คิว ม– พื้นที่แล้ว – ความเร็วภาค ดังนั้น แนวคิดเรื่องความเร็วทั่วไปจึงครอบคลุมแนวคิดเรื่องความเร็วทั้งหมดที่เรารู้จัก

เพื่อแนะนำแนวคิดเรื่องกำลังทั่วไป ให้พิจารณาระบบโฮโลโนมิกที่ประกอบด้วย nจุดวัตถุซึ่งแรง , , ... กระทำตามลำดับ ให้ระบบมี สองศาความเป็นอิสระและตำแหน่งของมันจะถูกกำหนดโดยพิกัดทั่วไป คำถาม 1 , คำถาม 2, ...,ถาม- ให้เราแจ้งระบบ ณ ช่วงเวลาที่กำหนด เช่น การเคลื่อนไหวเสมือนที่พิกัดทั่วไป คิว มได้รับเพิ่มขึ้น งคิว ม> 0 และพิกัดทั่วไปที่เหลือจะไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นเวกเตอร์รัศมีแต่ละอันจะได้รับการกระจัดเสมือน ( ) มซึ่งคำนวณเป็นผลต่างบางส่วน:

(ง) ม= . (12.3)

ตาม (10.9) งานเสมือนจริงของกองกำลังปฏิบัติการทั้งหมดที่มีการเปลี่ยนแปลง งคิว มพิกัดทั่วไป คิว มจะเขียนอยู่ในรูปแบบ:

ที่ไหน (12.4)

เรียกว่าปริมาณ กำลังทั่วไป, พิกัดทั่วไปที่สอดคล้องกันคิว ม. ถ้าทุกคน สพิกัดทั่วไปในเวลาที่กำหนดจะได้รับการเพิ่มขึ้นในเชิงบวก (รูปแบบ) งคิว 1,งไตรมาสที่ 2, ..., งถามจากนั้นเป็นงานเสมือนทั้งหมดของกองกำลังปฏิบัติการทั้งหมดในพิกัดทั่วไป

จากนิพจน์ (12.5) เป็นไปตามนั้น แรงทั่วไปแสดงถึงค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการแปรผันของพิกัดทั่วไปในนิพจน์สำหรับงานเสมือนจริงเราได้ฉายภาพ (11.4) ลงบนแกนคาร์ทีเซียน

. (12.6)

ถ้ากองกำลังรักษาการทั้งหมดมีศักยภาพ ก็แสดงว่าการคาดการณ์ของพวกเขา เอฟnx, เอฟnย, เอฟnzบนแกนคาร์ทีเซียนสามารถแสดงออกมาในรูปของพลังงานศักย์ ประบบตามสูตร:

(22.7)

เมื่อแทน (12.7) ลงใน (12.6) เราจะได้:

สำหรับระบบทางกลที่อยู่ในสนามแรงศักย์ แรงทั่วไป ถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ย่อยของพลังงานศักย์เทียบกับพิกัดทั่วไปที่สอดคล้องกันที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม:

. (12.8)

โปรดทราบว่ามิติของแรงทั่วไปจะเท่ากับมิติของงานหารด้วยมิติของพิกัดทั่วไป

ตัวอย่างที่ 12.1. หาแรงทั่วไปของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์กับน้ำหนัก ถ้าความยาวของด้ายคือ ล- ใช้มุมเบี่ยงเบนเป็นพิกัดทั่วไป เจลูกตุ้มจากแนวตั้ง (รูปที่ 12.2)

ข้าว. 12.2 รูป 12.3

สารละลาย.ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือระบบที่มีระดับความอิสระหนึ่งระดับ ( ส=1) เนื่องจากเพื่อกำหนดตำแหน่งก็เพียงพอที่จะตั้งค่าพารามิเตอร์เดียว

พิจารณาลูกตุ้มในตำแหน่งที่ต้องการ สำหรับพิกัดทั่วไป ถามมาดูมุมกันดีกว่า เจ. แรงกระทำที่กระทำต่อลูกตุ้มคือแรงโน้มถ่วง .

วิธีที่ 1เนื่องจากแรงมีศักยภาพจึงควรกำหนดแรงทั่วไป ถามลองใช้สูตร (12.8) กัน เพื่อคำนวณพลังงานศักย์ ปลองตั้งแกนของลูกตุ้มดู เอ็กซ์ในแนวตั้งลงมาโดยให้จุดกำเนิดพลังงานศักย์ เกี่ยวกับการระงับลูกตุ้มเช่น ป(x= 0) = 0. พลังงานศักย์ของลูกตุ้มเท่ากับงานที่ทำโดยแรงโน้มถ่วงในการเคลื่อนย้ายจุดวัสดุจากตำแหน่งที่กำหนด มเป็นศูนย์นั่นคือ ป = –ป× เอ็กซ์ 1 = –ป× ล× เพราะเจ- ตาม (12.8)

วิธีที่ 2วิธีการคำนวณแรงทั่วไปที่ใช้กันทั่วไปคือการกำหนดโดยใช้สูตร (11.4) คิว ม. =งเช้า /งคิว ม- ให้เราบอกลูกตุ้มว่าการกระจัดเสมือน ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง งเจ> 0 เช่น ในทิศทางของมุมที่เพิ่มขึ้น เจ(รูปที่ 12.3) และคำนวณงานแรงโน้มถ่วงเบื้องต้นของการเคลื่อนไหวนี้:

งก= – ป× ชม.× งเจ,

ที่ไหน ชั่วโมง = ล× บาปเจ, – แขนแห่งแรงสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางการหมุนของจุด โอ- เพราะฉะนั้น,