ฟังก์ชันผกผัน 3. ฟังก์ชันผกผันซึ่งกันและกัน นิยามพื้นฐาน คุณสมบัติ กราฟ

เสร็จงาน

ผลงานเหล่านี้

ล้าหลังไปมากแล้วและตอนนี้คุณจบการศึกษาแล้วถ้าคุณเขียนวิทยานิพนธ์ตรงเวลา แต่ชีวิตเป็นสิ่งที่ชัดเจนสำหรับคุณว่าเมื่อเลิกเป็นนักเรียนแล้วคุณจะสูญเสียความสุขในการเรียนทั้งหมดซึ่งหลายอย่างที่คุณยังไม่ได้ลอง ละทิ้งทุกอย่างและเลิกใช้ในภายหลัง และตอนนี้แทนที่จะไล่ตาม คุณกำลังแก้ไขวิทยานิพนธ์ของคุณ? มีวิธีที่ยอดเยี่ยม: ดาวน์โหลดวิทยานิพนธ์ที่คุณต้องการจากเว็บไซต์ของเรา - แล้วคุณจะมีเวลาว่างมากมายทันที!
งานประกาศนียบัตรได้รับการปกป้องอย่างประสบความสำเร็จในมหาวิทยาลัยชั้นนำของสาธารณรัฐคาซัคสถาน
ต้นทุนการทำงานจาก 20,000 tenge

ผลงานของหลักสูตร

โครงการหลักสูตรเป็นงานปฏิบัติอย่างจริงจังครั้งแรก มันขึ้นอยู่กับการเขียนภาคนิพนธ์ที่การเตรียมการสำหรับการพัฒนาโครงการสำเร็จการศึกษาเริ่มต้นขึ้น หากนักเรียนเรียนรู้ที่จะระบุเนื้อหาของหัวข้อในโครงการหลักสูตรได้อย่างถูกต้องและวาดได้อย่างถูกต้อง ในอนาคตเขาจะไม่มีปัญหากับการเขียนรายงานหรือการรวบรวมวิทยานิพนธ์หรือการปฏิบัติงานอื่น ๆ เพื่อช่วยเหลือนักเรียนในการเขียนงานของนักเรียนประเภทนี้และเพื่อชี้แจงคำถามที่เกิดขึ้นระหว่างการเตรียมการ ในความเป็นจริงแล้ว ส่วนข้อมูลนี้ถูกสร้างขึ้น
ต้นทุนการทำงานจาก 2 500 tenge

วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโท

ปัจจุบันในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของคาซัคสถานและกลุ่มประเทศ CIS ขั้นตอนของการศึกษาวิชาชีพที่สูงขึ้นซึ่งตามมาหลังจากปริญญาตรี - ปริญญาโทเป็นเรื่องปกติมาก ในด้านการปกครอง นักเรียนเรียนโดยมีเป้าหมายเพื่อรับปริญญาโท ซึ่งเป็นที่ยอมรับในประเทศส่วนใหญ่ของโลกมากกว่าปริญญาตรี และยังได้รับการยอมรับจากนายจ้างต่างชาติอีกด้วย ผลลัพธ์ของการฝึกเป็นผู้พิพากษาคือการป้องกันวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโท
เราจะจัดเตรียมเนื้อหาการวิเคราะห์และข้อความที่ทันสมัยแก่คุณ ราคารวมบทความทางวิทยาศาสตร์ 2 บทความและบทคัดย่อ
ต้นทุนการทำงานจาก 35,000 tenge

รายงานการปฏิบัติ

หลังจากเสร็จสิ้นการฝึกนักศึกษาทุกประเภท (การศึกษา, อุตสาหกรรม, ระดับปริญญาตรี) จำเป็นต้องมีรายงาน เอกสารนี้จะยืนยันการปฏิบัติงานของนักเรียนและเป็นพื้นฐานสำหรับการจัดทำแบบประเมินสำหรับการปฏิบัติ โดยปกติแล้ว ในการรวบรวมรายงานการฝึกงาน คุณต้องรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลเกี่ยวกับองค์กร พิจารณาโครงสร้างและตารางการทำงานขององค์กรที่มีการฝึกงาน จัดทำแผนปฏิทิน และอธิบายกิจกรรมภาคปฏิบัติของคุณ
เราจะช่วยคุณเขียนรายงานเกี่ยวกับการฝึกงานโดยคำนึงถึงกิจกรรมเฉพาะขององค์กรนั้นๆ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• เพื่อสร้างความรู้ในหัวข้อใหม่ตามเนื้อหาของโปรแกรม
• เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการกลับด้านของฟังก์ชันและสอนวิธีการหาฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด

กำลังพัฒนา:

• พัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง การพูดเรื่อง;
• เข้าใจแนวคิดของฟังก์ชันผกผันและเรียนรู้วิธีการหาฟังก์ชันผกผัน

การศึกษา: เพื่อสร้างความสามารถในการสื่อสาร

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์ โปรเจคเตอร์ จอภาพ กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ SMART Board เอกสารแจก (งานอิสระ) สำหรับงานกลุ่ม

ระหว่างเรียน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร

เป้า – เตรียมนักเรียนสำหรับการทำงานในห้องเรียน:

ความหมายของการขาด,

ทัศนคติของนักเรียนต่อการทำงาน การจัดระเบียบความสนใจ

ข้อความเกี่ยวกับหัวข้อและจุดประสงค์ของบทเรียน

2. ปรับปรุงความรู้พื้นฐานของนักเรียนแบบสำรวจความคิดเห็นด้านหน้า

เป้า - เพื่อสร้างความถูกต้องและความตระหนักของเนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา การทำซ้ำของเนื้อหาที่ครอบคลุม<Приложение 1 >

กราฟของฟังก์ชันจะแสดงบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบสำหรับนักเรียน ครูกำหนดงาน - เพื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชันและแสดงรายการคุณสมบัติที่ศึกษาของฟังก์ชัน นักเรียนระบุคุณสมบัติของฟังก์ชันตามการออกแบบการวิจัย ทางด้านขวาของกราฟของฟังก์ชัน ครูเขียนคุณสมบัติที่มีชื่อพร้อมเครื่องหมายบนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

คุณสมบัติของฟังก์ชัน:

ในตอนท้ายของการศึกษาครูรายงานว่าวันนี้ในบทเรียนพวกเขาจะได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติเพิ่มเติมของฟังก์ชัน - การย้อนกลับ สำหรับการศึกษาเนื้อหาใหม่อย่างมีความหมาย ครูเชื้อเชิญให้เด็ก ๆ ทำความคุ้นเคยกับคำถามหลักที่นักเรียนต้องตอบเมื่อจบบทเรียน คำถามเขียนไว้บนกระดานธรรมดาและนักเรียนแต่ละคนมีเอกสารแจก (แจกจ่ายก่อนบทเรียน)

1. ฟังก์ชันย้อนกลับคืออะไร?
2. ทุกฟังก์ชันสามารถย้อนกลับได้หรือไม่?
3. ฟังก์ชันที่กำหนดผกผันคืออะไร?
4. โดเมนของนิยามและเซตของค่าของฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผันมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?
5. หากฟังก์ชันได้รับการวิเคราะห์ คุณจะกำหนดฟังก์ชันผกผันด้วยสูตรได้อย่างไร
6. หากกำหนดฟังก์ชันให้เป็นกราฟิก จะเขียนฟังก์ชันผกผันได้อย่างไร

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

เป้า - เพื่อสร้างความรู้ในหัวข้อใหม่ตามเนื้อหาของโปรแกรม เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการกลับด้านของฟังก์ชันและสอนวิธีการหาฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันที่กำหนด พัฒนาหัวข้อ

ครูดำเนินการนำเสนอเนื้อหาตามเนื้อหาของย่อหน้า บนกระดานโต้ตอบ ครูเปรียบเทียบกราฟของสองฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าเหมือนกัน แต่ฟังก์ชันหนึ่งเป็นแบบโมโนโทนิกและอีกอันไม่ใช่ ด้วยเหตุนี้จึงนำนักเรียนภายใต้แนวคิดของฟังก์ชันกลับด้าน .

จากนั้นครูจะกำหนดนิยามของฟังก์ชันอินเวอร์ทิเบิลและพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันอินเวอร์ทิเบิลโดยใช้กราฟฟังก์ชันโมโนโทนิกบนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

นิยาม 1: ฟังก์ชัน y=f(x), x X ถูกเรียก พลิกกลับได้ถ้ามันใช้ค่าใด ๆ ของมันที่จุดหนึ่งของชุด X เท่านั้น

ทฤษฎีบท: ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) เป็นเสียงเดียวในชุด X ฟังก์ชันนั้นจะกลับด้าน

การพิสูจน์:

1. ให้ฟังก์ชั่น y=ฉ(x)เพิ่มขึ้นโดย เอ็กซ์ปล่อยมันไป x 1 ≠ x 2- สองจุดของชุด เอ็กซ์.
2. เพื่อความชัดเจน x 1< x 2.
   แล้วจากอะไร x 1< x 2ตามนั้น ฉ(x 1) < ฉ(x 2).
3. ดังนั้น ค่าต่างๆ ของอาร์กิวเมนต์จึงสอดคล้องกับค่าต่างๆ ของฟังก์ชัน เช่น ฟังก์ชันสามารถย้อนกลับได้

(ระหว่างการพิสูจน์ทฤษฎีบท ครูจะเขียนคำอธิบายที่จำเป็นทั้งหมดในภาพวาดด้วยเครื่องหมาย)

ก่อนกำหนดนิยามของฟังก์ชันผกผัน ครูขอให้นักเรียนพิจารณาว่าฟังก์ชันใดที่ผันกลับได้ กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบแสดงกราฟของฟังก์ชันและเขียนฟังก์ชันที่กำหนดเชิงวิเคราะห์หลายรายการ:

ข)

ช) y = 2x + 5

ง) y = -x 2 + 7

ครูแนะนำนิยามของฟังก์ชันผกผัน

นิยาม 2: ให้ฟังก์ชันกลับด้าน y=ฉ(x)ที่กำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์และ จ(ฉ)=ย. มาจับคู่กันเถอะ ยจาก วายแล้วความหมายเท่านั้น เอ็กซ์ที่ซึ่ง ฉ(x)=ย.จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชันที่กำหนดไว้ วาย, ก เอ็กซ์คือช่วงของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้แสดง x=ฉ -1 (ย)และเรียกว่าส่วนผกผันของฟังก์ชัน y=ฉ(x).

นักเรียนได้รับเชิญให้สรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนของคำนิยามและชุดของค่าของฟังก์ชันผกผัน

ในการพิจารณาคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่กำหนด ครูให้นักเรียนสองคนมีส่วนร่วม เมื่อวันก่อน เด็ก ๆ ได้รับงานจากครูให้วิเคราะห์วิธีการวิเคราะห์และกราฟิกอย่างอิสระเพื่อค้นหาฟังก์ชันที่กำหนดให้ผกผัน ครูทำหน้าที่เป็นที่ปรึกษาในการเตรียมนักเรียนสำหรับบทเรียน

ข้อความจากนักเรียนคนแรก

หมายเหตุ: ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันคือ เพียงพอเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันผกผัน แต่มัน ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็น

นักเรียนยกตัวอย่างสถานการณ์ต่างๆ เมื่อฟังก์ชันไม่โมโนโทนิกแต่ย้อนกลับได้ เมื่อฟังก์ชันไม่โมโนโทนิกและย้อนกลับไม่ได้ เมื่อเป็นโมโนโทนิกและย้อนกลับได้

จากนั้นให้นักเรียนแนะนำวิธีการหาฟังก์ชันผกผันที่กำหนดโดยการวิเคราะห์

การหาอัลกอริทึม

1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิก
2. แสดง x ในรูปของ y
3. เปลี่ยนชื่อตัวแปร แทนที่จะเป็น x \u003d f -1 (y) พวกเขาเขียน y \u003d f -1 (x)

จากนั้นแก้สองตัวอย่างเพื่อหาฟังก์ชันของการผกผันของสิ่งที่กำหนดให้

ตัวอย่างที่ 1:แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=5x-3 และหานิพจน์วิเคราะห์ของมัน

การตัดสินใจ. ฟังก์ชันเชิงเส้น y=5x-3 ถูกกำหนดบน R, เพิ่มขึ้นใน R และช่วงของมันคือ R ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันจึงมีอยู่ใน R ในการหานิพจน์เชิงวิเคราะห์ เราแก้สมการ y=5x-3 ด้วยความเคารพ x; เราได้ นี่คือฟังก์ชันผกผันที่ต้องการ มันถูกกำหนดและเพิ่มโดย R

ตัวอย่างที่ 2:แสดงว่ามีฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชัน y=x 2 , x≤0 และหานิพจน์วิเคราะห์ของมัน

ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง โมโนโทนในโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงสลับกลับได้ เมื่อวิเคราะห์โดเมนของคำนิยามและชุดของค่าของฟังก์ชันแล้ว จะได้ข้อสรุปที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับนิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันผกผัน

นักเรียนคนที่ 2 นำเสนอเกี่ยวกับ กราฟิกวิธีหาฟังก์ชันผกผัน ในระหว่างการอธิบาย นักเรียนใช้ความสามารถของไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

ในการรับกราฟของฟังก์ชัน y=f -1 (x) ผกผันกับฟังก์ชัน y=f(x) จำเป็นต้องแปลงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ให้สมมาตรเทียบกับเส้นตรง y=x

ในระหว่างการอธิบายบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ งานต่อไปนี้จะดำเนินการ:

สร้างกราฟของฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชันผกผันในระบบพิกัดเดียวกัน เขียนนิพจน์การวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันผกผัน

4. การตรึงเบื้องต้นของวัสดุใหม่

เป้า - เพื่อสร้างความถูกต้องและตระหนักถึงความเข้าใจของเนื้อหาที่ศึกษา เพื่อระบุช่องว่างในความเข้าใจเบื้องต้นของเนื้อหาเพื่อแก้ไข

นักเรียนแบ่งเป็นคู่ๆ พวกเขาได้รับแผ่นงานซึ่งทำงานเป็นคู่ เวลาในการทำงานมี จำกัด (5-7 นาที) นักเรียนคู่หนึ่งทำงานบนคอมพิวเตอร์ โปรเจ็กเตอร์ปิดอยู่ในเวลานี้ และเด็กที่เหลือมองไม่เห็นว่านักเรียนทำงานบนคอมพิวเตอร์อย่างไร

ในตอนท้ายของเวลา (สันนิษฐานว่านักเรียนส่วนใหญ่ทำงานเสร็จแล้ว) กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (โปรเจ็กเตอร์เปิดขึ้นอีกครั้ง) แสดงงานของนักเรียนซึ่งจะมีการชี้แจงในระหว่างการทดสอบว่างานเสร็จสมบูรณ์ใน คู่ หากจำเป็นครูจะดำเนินการแก้ไขและอธิบาย

ทำงานอิสระเป็นคู่<ภาคผนวก 2 >

5. ผลของบทเรียนในคำถามที่ถามก่อนการบรรยาย ประกาศคะแนนสำหรับบทเรียน

การบ้าน §10 №№ 10.6(а,ค) 10.8-10.9(ข) 10.12(ข)

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 ใน 2 ส่วนสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova และอื่น ๆ ; เอ็ด A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

เราพบปัญหาแล้วเมื่อกำหนดฟังก์ชัน f และค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด จำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ แต่บางครั้งเราต้องเผชิญกับปัญหาผกผัน: เพื่อค้นหา โดยกำหนดฟังก์ชันที่รู้จัก f และค่าเฉพาะของมัน y ซึ่งเป็นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันรับค่า y ที่กำหนด

ฟังก์ชันที่รับค่าแต่ละค่า ณ จุดเดียวในโดเมนของนิยามเรียกว่าฟังก์ชันผันกลับได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็น ฟังก์ชันย้อนกลับ. ฟังก์ชันกำลังสองหรือฟังก์ชันไซน์จะไม่ใช่ฟังก์ชันกลับด้าน เนื่องจากฟังก์ชันสามารถรับค่าเดียวกันโดยมีอาร์กิวเมนต์ต่างกัน

ฟังก์ชันผกผัน

สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันพลิกกลับตามอำเภอใจ ตัวเลขแต่ละตัวจากช่วง y0 ตรงกับตัวเลขจากโดเมน x0 เพียงตัวเดียว ดังนั้น f(x0) = y0

หากตอนนี้เรากำหนดค่า y0 ให้กับแต่ละค่าของ x0 เราจะได้ฟังก์ชันใหม่ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น f(x) = k * x + b ฟังก์ชัน g(x) = (x - b)/k จะผกผัน

หากฟังก์ชั่นบางอย่าง ชในทุกจุด เอ็กซ์เรนจ์ของฟังก์ชันอินเวอร์ทิเบิล f รับค่า y ซึ่ง f(y) = x แล้วเราบอกว่าฟังก์ชัน ช- มีฟังก์ชันผกผันกับ f

ถ้าเรามีกราฟของฟังก์ชัน f ที่ผันกลับได้ ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชันผกผัน เราสามารถใช้คำสั่งต่อไปนี้: กราฟของฟังก์ชัน f และฟังก์ชัน g ผกผันจะสมมาตรเมื่อเทียบกับ เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y = x

ถ้าฟังก์ชัน g เป็นส่วนผกผันของฟังก์ชัน f ดังนั้นฟังก์ชัน g จะเป็นฟังก์ชันกลับด้าน และฟังก์ชัน f จะผกผันกับฟังก์ชัน g มักจะกล่าวกันว่าฟังก์ชันสองฟังก์ชัน f และ g นั้นผกผันซึ่งกันและกัน

รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน f และ g ที่ผกผันซึ่งกันและกัน

ให้เราหาทฤษฎีบทต่อไปนี้: ถ้าฟังก์ชัน f เพิ่ม (หรือลดลง) ในบางช่วงเวลา A ก็จะกลับค่าได้ ฟังก์ชัน g ที่ผกผันกับ a ซึ่งกำหนดในช่วงของฟังก์ชัน f ยังเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (หรือ ตามลำดับ ลดลง) ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน.

การถอดเสียง

1 ฟังก์ชันผกผันร่วมกัน ฟังก์ชัน f และ g สองฟังก์ชันเรียกว่าผกผันร่วมกัน ถ้าสูตร y=f(x) และ x=g(y) แสดงความสัมพันธ์ที่เหมือนกันระหว่างตัวแปร x และ y เช่น ถ้าความเท่าเทียมกัน y=f(x) เป็นจริง ถ้าความเท่าเทียมกัน x=g(y) เป็นจริง: y=f(x) x=g(y) ถ้าฟังก์ชัน f และ g สองตัวผกผันกัน แล้ว g เรียกว่าฟังก์ชันผกผันสำหรับ f และในทางกลับกัน f คือฟังก์ชันผกผันสำหรับ g ตัวอย่างเช่น y=10 x และ x=lgy เป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันผกผันร่วมกัน ฟังก์ชัน f มีผกผัน ถ้าจากความสัมพันธ์ y=f(x) ตัวแปร x สามารถแสดงเฉพาะในรูปของ y มีฟังก์ชันที่ไม่สามารถแสดงอาร์กิวเมนต์ผ่านค่าที่กำหนดของฟังก์ชันได้โดยไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น: 1. y= x. สำหรับจำนวนบวกที่กำหนด y มีสองค่าของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่ง x = y ตัวอย่างเช่น ถ้า y \u003d 2 แล้ว x \u003d 2 หรือ x \u003d - 2 ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดง x โดยไม่ซ้ำกันผ่าน y ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการผกผันซึ่งกันและกัน 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. สำหรับค่าที่กำหนดของ y (y 1) มีค่า x มากมายนับไม่ถ้วน เช่น y=sinx ฟังก์ชัน y=f(x) มีการผกผัน ถ้าเส้น y=y 0 ตัดกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ที่ไม่เกินหนึ่งจุด (อาจไม่ตัดกราฟเลยถ้า y 0 ไม่ อยู่ในช่วงของฟังก์ชัน f) . เงื่อนไขนี้สามารถกำหนดได้แตกต่างกัน: สมการ f(x)=y 0 สำหรับแต่ละ y 0 มีคำตอบไม่เกินหนึ่งคำตอบ เงื่อนไขที่ฟังก์ชันมีการผกผันเป็นที่พึงพอใจอย่างแน่นอน หากฟังก์ชันเพิ่มหรือลดอย่างเคร่งครัด ถ้า f เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ดังนั้นสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์สองค่าที่แตกต่างกัน จะใช้ค่าที่แตกต่างกัน เนื่องจากค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ดังนั้น สมการ f(x)=y สำหรับฟังก์ชันมอนอโทนิกอย่างเคร่งครัดจึงมีคำตอบได้มากที่สุดเพียงหนึ่งคำตอบ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล y \u003d a x เป็นแบบเสียงเดียว ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันลอการิทึมผกผัน หลายฟังก์ชันไม่มีการผกผัน ถ้าสมการ b บางตัว f(x)=b มีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ ฟังก์ชัน y=f(x) จะไม่มีผกผัน บนกราฟ หมายความว่าเส้น y=b ตัดกับกราฟของฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งจุด ตัวอย่างเช่น y \u003d x 2; y=บาปx; y=tgx

2 ความคลุมเครือของคำตอบของสมการ f(x)=b สามารถจัดการได้หากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f ลดลงเพื่อให้ช่วงของค่าไม่เปลี่ยนแปลง แต่ต้องใช้ค่าแต่ละค่า ครั้งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น y=x 2, x 0; y=บาปx, ; y=tgx,. กฎทั่วไปในการหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน: 1. เราพบการแก้สมการของ x; 2. การเปลี่ยนการกำหนดตัวแปร x เป็น y และ y เป็น x เราจะได้ฟังก์ชันที่ผกผันกับค่าที่กำหนด คุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันร่วมกัน เอกลักษณ์ ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกัน y=f(x) และ x=g(y) เทียบเท่ากัน: f(g(y))=y และ g(f(x))=x ตัวอย่างเช่น 1. ให้ f เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และ g เป็นฟังก์ชันลอการิทึม เราได้รับ: ฉัน 2. ฟังก์ชัน y \u003d x 2, x 0 และ y \u003d จะผกผันซึ่งกันและกัน เรามีตัวตนสองตัว: และสำหรับ x 0 โดเมนของนิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน โดเมนของฟังก์ชัน f ตรงกับโดเมนของฟังก์ชัน g และในทางกลับกัน โดเมนของฟังก์ชัน f ตรงกับโดเมนของฟังก์ชัน g ตัวอย่าง. โดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือแกนจำนวนเต็ม R และโดเมนของมันคือเซตของจำนวนบวกทั้งหมด ฟังก์ชันลอการิทึมมีสิ่งที่ตรงกันข้าม: โดเมนของคำนิยามคือชุดของจำนวนบวกทั้งหมดและโดเมนของค่าคือชุดทั้งหมด R. ความซ้ำซากจำเจ หากหนึ่งในฟังก์ชันผกผันร่วมกันเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด แสดงว่าอีกอันหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด . การพิสูจน์. ให้ x 1 และ x 2 เป็นตัวเลขสองตัวที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน g และ x 1

3 กราฟของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันร่วมกัน ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน กราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และ x=g(y) มีความสมมาตรซึ่งกันและกันในส่วนที่เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมฮาว การพิสูจน์. ตามนิยามของฟังก์ชันผกผันร่วมกัน สูตร y=f(x) และ x=g(y) แสดงการพึ่งพาที่เหมือนกันระหว่างตัวแปร x และ y ซึ่งหมายความว่าการพึ่งพานี้แสดงโดยกราฟเดียวกันของเส้นโค้ง C บางเส้นโค้ง C คือฟังก์ชันกราฟ y=f(x) ใช้จุดใดก็ได้ P(a; b) C. ซึ่งหมายความว่า b=f(a) และในเวลาเดียวกัน a=g(b). ให้เราสร้างจุด Q ที่สมมาตรกับจุด P ด้วยความเคารพต่อเส้นแบ่งครึ่งของมุม จุด Q จะมีพิกัด (b; a) เนื่องจาก a=g(b) ดังนั้นจุด Q จึงอยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y=g(x): แน่นอน สำหรับ x=b ค่าของ y=a เท่ากับ g(x) ดังนั้น จุดทั้งหมดสมมาตรกับจุดของเส้นโค้ง C ที่เกี่ยวกับเส้นตรงที่ระบุจะอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y \u003d g (x) ตัวอย่างของฟังก์ชันกราฟิกที่มีการผกผันร่วมกัน: y=e x และ y=lnx; y=x 2 (x 0) และ y= ; y=2x4 และ y=+2

4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน กราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และ x=g(y) มีความสมมาตรซึ่งกันและกันในส่วนที่เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมฮาว ลองใช้จุด x=a และคำนวณค่าของฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง ณ จุดนี้: f(a)=b จากนั้นตามนิยามของฟังก์ชันผกผัน g(b)=a จุด (a; f(a))=(a; b) และ (b; g(b))=(b; a) สมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง l เนื่องจากเส้นโค้งมีความสมมาตร การสัมผัสกับเส้นโค้งจึงสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง l จากความสมมาตร มุมของเส้นหนึ่งที่มีแกน x จะเท่ากับมุมของอีกเส้นหนึ่งที่มีแกน y ถ้าเส้นตรงสร้างมุม α กับแกน x ความชันจะเท่ากับ k 1 =tgα; จากนั้นบรรทัดที่สองจะมีความชัน k 2 =tg(α)=ctgα= ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของเส้นที่สมมาตรเทียบกับเส้น l จะผกผันกัน เช่น k 2 = หรือ k 1 k 2 =1 ผ่านอนุพันธ์และพิจารณาว่าความชันของแทนเจนต์คือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส เราสรุปได้: ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันร่วมกัน ณ จุดที่สอดคล้องกันนั้นผกผันซึ่งกันและกัน เช่น ตัวอย่าง 1. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f(x)=x 3, ย้อนกลับได้ การตัดสินใจ. y=f(x)=x 3. ฟังก์ชันผกผันจะเป็นฟังก์ชัน y=g(x)= มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน g: กัน เหล่านั้น. =. งาน 1. พิสูจน์ว่าฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรนั้นกลับด้านได้ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชัน y=2x+1 การตัดสินใจ. ฟังก์ชัน y \u003d 2x + 1 เพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงมีค่าผกผัน เราแสดง x ถึง y: เราได้รับ .. เปลี่ยนเป็นสัญกรณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไป คำตอบ: ภารกิจที่ 2 ค้นหาฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

บทที่ 9 องศา ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. ถ้าเท่ากัน แล้ว ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). ตัวอย่างเช่น () => = = () เป็นต้น

สิ่งที่เราจะศึกษา: บทเรียนในหัวข้อ: การตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจ ฟังก์ชันลดและเพิ่ม ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์และความเป็นเอกเทศของฟังก์ชัน ทฤษฎีบทความเป็นเอกเทศที่สำคัญสองประการ ตัวอย่าง. พวกเรา

6 ปัญหาที่นำไปสู่แนวคิดของอนุพันธ์ ปล่อยให้จุดสำคัญเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในทิศทางเดียวตามกฎ s f (t) โดยที่ t คือเวลา และ s คือเส้นทางที่เดินทางโดยจุดในเวลา t หมายเหตุช่วงเวลาหนึ่ง

1 SA Lavrenchenko บทบรรยาย 12 ฟังก์ชันผกผัน 1 แนวคิดของฟังก์ชันผกผัน คำนิยาม 11 ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหากไม่ใช้ค่าใด ๆ มากกว่าหนึ่งครั้ง ซึ่งต่อจาก

บทบรรยาย 5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานเบื้องต้น บทคัดย่อ: ให้ตีความเชิงฟิสิกส์และเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปร 1 ตัว พิจารณาตัวอย่างความแตกต่างของฟังก์ชันและกฎ

บทที่ 1. ลิมิตและความต่อเนื่อง 1. ชุดตัวเลข 1 0. จำนวนจริง จากคณิตศาสตร์ในโรงเรียน คุณรู้จักจำนวนเต็ม N ธรรมชาติ Z จำนวนตรรกยะ Q และจำนวนจริง R จำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันตัวเลขและลำดับตัวเลข DV Lytkina NPP, I ภาคการศึกษา DV Lytkina (SibSUTI) Mathematical Analysis of NPP, I ภาคเรียนที่ 1 / 35 สารบัญ 1 ฟังก์ชันตัวเลข แนวคิดของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตัวเลข

การบรรยาย 19 อนุพันธ์และการประยุกต์ใช้ คำจำกัดความของอนุพันธ์ ให้เรากำหนดฟังก์ชัน y=f(x) ในบางช่วงเวลา สำหรับแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ x จากช่วงเวลานี้ ฟังก์ชัน y=f(x)

บทที่ 5 การตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้สูตรเทย์เลอร์สุดโต่งเฉพาะที่ของนิยามฟังก์ชัน

ภาควิชาคณิตศาสตร์และองค์ประกอบสารสนเทศของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับนักเรียนอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่เรียนโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล โมดูล แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ รวบรวมโดย:

Department of Mathematics and Informatics Mathematical Analysis Educational and methodological complex for HPE studentsที่เรียนโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล โมดูลที่ 4 การประยุกต์ของอนุพันธ์ รวบรวมโดย: รองศาสตราจารย์

งานเพื่อการตัดสินใจที่เป็นอิสระ ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน 6x ค้นหาเส้นสัมผัสของมุมเอียงกับแกน x ของเส้นสัมผัสที่ผ่านจุด M (;) ของกราฟฟังก์ชัน หาแทนเจนต์ของมุม

หัวข้อ ทฤษฎีของขีดจำกัด แบบฝึกหัด ลำดับตัวเลข ความหมายของลำดับตัวเลข ลำดับที่มีขอบเขตและไม่มีขอบเขต ลำดับเสียงเดียว ขนาดเล็กมาก

44 ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันเชิงซ้อน = sin v cos w โดยที่ v = ln + 1 w= 1 ตามสูตร (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 ตอนนี้เราพบผลต่างทั้งหมด ของฟังก์ชันเชิงซ้อนฉ

MODULE “การประยุกต์ใช้ความต่อเนื่องและอนุพันธ์ การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน การประยุกต์ความต่อเนื่อง.. วิธีการของช่วง.. สัมผัสกับกราฟ. สูตรลากรองจ์. 4. การประยุกต์ใช้อนุพันธ์

สถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยีแห่งมอสโกเอกซ์โพเนนเชียล, สมการลอการิทึมและอสมการ, วิธีการที่มีศักยภาพและลอการิทึมในการแก้ปัญหา คู่มือระเบียบวิธีสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก

บทที่ 8 ฟังก์ชันและกราฟ ตัวแปรและการพึ่งพาระหว่างกัน ปริมาณสองปริมาณและถูกเรียกว่าเป็นสัดส่วนโดยตรงหากอัตราส่วนคงที่ เช่น ถ้า = โดยที่จำนวนคงที่จะไม่เปลี่ยนแปลงตามการเปลี่ยนแปลง

กระทรวงศึกษาธิการของสาธารณรัฐเบลารุส สถาบันการศึกษา "GRODNO STATE UNIVERSITY NAMED AFTER YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

หัวข้อ ฟังก์ชันตัวเลข คุณสมบัติ และกราฟ แนวคิดของฟังก์ชันตัวเลข โดเมนของนิยามและชุดค่าของฟังก์ชัน กำหนดให้ชุดตัวเลข X กฎที่จับคู่แต่ละหมายเลข X ที่มีค่าไม่ซ้ำกัน

I นิยามของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว โดเมนของนิยาม เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ต่าง ๆ เราจะต้องจัดการกับฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิของร่างกาย ณ ขณะนั้น

1. อินทิกรัลแน่นอน 1.1. ให้ f เป็นฟังก์ชันขอบเขตที่กำหนดไว้ในส่วน [, b] R พาร์ติชันของส่วน [, b] คือเซตของจุด τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] นั่น = x< x 1 < < x n 1

การบรรยาย การตรวจสอบฟังก์ชันและการสร้างกราฟ บทคัดย่อ: ฟังก์ชันนี้ตรวจสอบหาความเป็นโมโนโทนิก ความสุดโต่ง ความนูน-ความเว้า สำหรับการมีอยู่ของเส้นกำกับ

ธีม. การทำงาน. วิธีการทำงาน ฟังก์ชันโดยปริยาย ฟังก์ชันผกผัน การจำแนกฟังก์ชัน องค์ประกอบของทฤษฎีเซต แนวคิดพื้นฐาน หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือแนวคิดของเซต

หัวข้อ 2.1 ฟังก์ชันตัวเลข ฟังก์ชัน คุณสมบัติ และกราฟ ปล่อยให้ X และ Y ชุดตัวเลขบางชุด หากแต่ละกฎกำหนด F ให้เป็นองค์ประกอบเดียว พวกเขาจะบอกว่า

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ XI ALGEBRA และการเริ่มต้นของการวิเคราะห์

แอลเอ สเตราส์, I.V. งาน Barinova พร้อมพารามิเตอร์ในแนวทางการตรวจสอบสถานะแบบครบวงจร y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. งานที่มีพารามิเตอร์ใน USE [ข้อความ]: หลักเกณฑ์ / L.A. สเตราส์, I.V.

บทที่ 3 การตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ 3.1 Extremums และ monotonicity พิจารณาฟังก์ชัน y = f () ที่กำหนดในบางช่วงเวลา I R ว่ากันว่ามีสูงสุดเฉพาะที่จุด

ธีม. สมการลอการิทึม อสมการ และระบบสมการ I. คำแนะนำทั่วไป

สิ่งที่เราจะศึกษา: บทเรียนในหัวข้อ: การหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน 1. บทนำ. 2) คะแนนต่ำสุดและสูงสุด 3) ที่สุดของฟังก์ชัน 4) จะคำนวณค่าสุดขีดได้อย่างไร? 5) ตัวอย่าง พวกเรามาดูกัน

1 SA Lavrenchenko บทบรรยาย 13 ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม 1 แนวคิดของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล คำนิยาม 11 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันของค่าคงที่บวกฐานของรูปแบบ โดยที่ฟังก์ชัน

การสัมมนาผ่านเว็บ 5 หัวข้อ: ทบทวนการเตรียมตัวสำหรับการตรวจสอบสถานะแบบครบวงจร (ภารกิจที่ 8) ภารกิจที่ 8 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งแต่ละสมการ a a 0 มีคำตอบเจ็ดหรือแปดคำตอบ อนุญาต จากนั้น t t สมการเริ่มต้น

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโก ตั้งชื่อตาม N.E. Bauman คณะวิทยาศาสตร์พื้นฐาน ภาควิชาการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ А.Н. Kanatnikov, A.P. คริสเชนโก้

ข้อมูลทั่วไป งานที่มีพารามิเตอร์ สมการกับโมดูลงานประเภท C 5 1 การเตรียมการสำหรับการสอบรวมรัฐ Dikhtyar M.B. 1. ค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของจำนวน x คือจำนวน x เอง ถ้า x 0 หมายเลข x,

IV Yakovlev วัสดุในคณิตศาสตร์ MathUs.ru ลอการิทึม

13. อนุพันธ์ย่อยของคำสั่งที่สูงขึ้น อนุญาต = มีและกำหนดไว้ใน D O ฟังก์ชันและเรียกอีกอย่างว่าอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ย่อยอันดับแรกของฟังก์ชัน และโดยทั่วไป

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

เนื้อหาของพีชคณิตและการเริ่มต้นของการวิเคราะห์ฟังก์ชัน...10 คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน...11 คู่และคี่...11 ช่วงเวลา...12 ฟังก์ชันศูนย์...12 ความเป็นเอกเทศ (เพิ่ม, ลดลง)...13 สุดขั้ว (สูงสุด

บทนำสู่การบรรยายการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แนวคิดของชุด คุณสมบัติพื้นฐานของนิยามฟังก์ชัน ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น สารบัญ: องค์ประกอบของทฤษฎีเซต เซตของจำนวนจริง ตัวเลข

หัวข้อ 36 "คุณสมบัติของฟังก์ชัน" เราจะวิเคราะห์คุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้ตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันโดยพลการ y = f (x): 1. โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าทั้งหมดของตัวแปร x ที่มีความสอดคล้องกัน

เส้นกำกับ กราฟของฟังก์ชัน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ฟังก์ชันเชิงเส้น-เศษส่วน

Ural Federal University, Institute of Mathematics and Computer Science, Department of Algebra and Discrete Mathematics ข้อสังเกตเบื้องต้น การบรรยายนี้อุทิศให้กับการศึกษาระนาบ วัสดุที่ประกอบด้วย

สมการเชิงอนุพันธ์ 1. แนวคิดพื้นฐาน สมการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันบางตัวคือสมการที่เชื่อมฟังก์ชันนี้กับตัวแปรอิสระและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้

การใช้คณิตศาสตร์ การมอบหมาย C5 7 อสมการ (วิธีพื้นที่) การบ่งชี้และการแก้ปัญหา แหล่งเอกสารอ้างอิง Koryanov A G, Bryansk ส่งความคิดเห็นและข้อเสนอแนะไปที่: [ป้องกันอีเมล]งานกับพารามิเตอร์

หัวข้อ 41 "งานที่มีพารามิเตอร์" การกำหนดหลักของงานที่มีพารามิเตอร์: 1) ค้นหาค่าพารามิเตอร์ทั้งหมด ซึ่งแต่ละค่าเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด) แก้สมการหรืออสมการด้วย

หัวข้อ 39. "อนุพันธ์ของฟังก์ชัน" ฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เรียกว่าลิมิตของอัตราส่วนของการเพิ่มของฟังก์ชันต่อการเพิ่มของตัวแปร นั่นคือ = lim = lim + () ตารางอนุพันธ์: อนุพันธ์

ภาควิชาคณิตศาสตร์และองค์ประกอบสารสนเทศของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับนักศึกษาอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่เรียนโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล โมดูลทฤษฎีลิมิต รวบรวมโดย: รองศาสตราจารย์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตและกายภาพ เทคนิคการหาอนุพันธ์ คำจำกัดความพื้นฐาน ให้ f () นิยามบน (,) a, b จุดคงที่บางจุด การอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น ณ จุดหนึ่ง

ความแตกต่างของฟังก์ชันโดยนัย พิจารณาฟังก์ชัน (,) = C (C = const) สมการนี้กำหนดฟังก์ชันโดยนัย () สมมติว่าเราได้แก้สมการนี้และพบนิพจน์ที่ชัดเจน = () ตอนนี้เราสามารถ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย Yaroslavl State University ได้รับการตั้งชื่อตาม PG Demidov Department of Discrete Analysis คอลเลกชันของงานสำหรับโซลูชันอิสระบนขีดจำกัดฟังก์ชันหัวข้อ

การประชุมเชิงปฏิบัติทางวิทยาศาสตร์ระดับภูมิภาคของงานการศึกษาการวิจัยและการออกแบบของนักเรียนในเกรด 6-11 "การประยุกต์และประเด็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์" ด้านระเบียบวิธีของการศึกษาคณิตศาสตร์

ขีดจำกัดและความต่อเนื่อง ลิมิตของฟังก์ชัน ให้ฟังก์ชัน = f) ถูกกำหนดในบางย่านของจุด = a ในเวลาเดียวกัน ณ จุด a ฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องถูกกำหนด คำนิยาม. จำนวน b เรียกว่าลิมิต

Unified State Examination in Mathematics, 7 year demo Part A ค้นหาค่าของนิพจน์ 6p p ด้วย p = Solution ใช้คุณสมบัติของดีกรี: แทนที่ในนิพจน์ผลลัพธ์ ถูกต้อง

0.5 สมการลอการิทึมและอสมการ หนังสือมือสอง:. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 0 - แก้ไขโดย A.N. Kolmogorov งานอิสระและการควบคุมในพีชคณิต 0- แก้ไขโดย E.P. Ershov

ระบบงานในหัวข้อ "สมการแทนเจนต์" กำหนดเครื่องหมายของความชันของเส้นสัมผัสที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน y f () ที่จุดที่มี abscissas a, b, c a) b) ระบุจุดที่อนุพันธ์

ความไม่เท่าเทียมกับพารามิเตอร์ในการสอบสถานะแบบรวม VV Silvesrov

สมการพีชคณิตที่นิยาม พีชคณิตเป็นสมการของรูปแบบ 0, P () 0, จำนวนจริงจำนวนหนึ่ง 0 0 ในกรณีนี้ จะเรียกตัวแปรว่า ไม่ทราบ และเรียกเลข 0

สมการของเส้นตรงและระนาบ สมการของเส้นตรงบนระนาบ สมการทั่วไปของเส้นตรง สัญลักษณ์ของความขนานและความตั้งฉากของเส้น ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่ละเส้นในระนาบ Oxy ถูกกำหนดโดย

กราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ช่วงของความเป็นโมโนโทนิกของฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 1 รูปแสดงกราฟ y =f (x) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา (1;13) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างปัญหา MA พื้นฐานและคำถามสำหรับขีดจำกัดลำดับของภาคการศึกษา Simple Calculate Sequence Limit l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Calculate Sequence Limit

ปัญหาในเรขาคณิตวิเคราะห์, เมค-คณิตศาสตร์, มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก ปัญหา Dan เป็นจัตุรมุข O แสดงเวกเตอร์ EF ในรูปของเวกเตอร์ O O O โดยมีจุดเริ่มต้นตรงกลาง E ของขอบ O และสิ้นสุดที่จุด F ของจุดตัดของค่ามัธยฐาน ของสามเหลี่ยม เฉลย Let

คำชี้แจงปัญหา วิธีแบ่งส่วน วิธีคอร์ด (วิธีส่วนสัด 4 วิธีนิวตัน (วิธีแทนเจนต์ 5 วิธีวนซ้ำ (วิธีประมาณต่อเนื่อง) คำชี้แจงปัญหา กำหนดให้

1. นิพจน์และการแปลง 1.1 รากของดีกรี n แนวคิดของรากของดีกรี n คุณสมบัติของรากของดีกรี n: รากของผลคูณและผลคูณของราก: ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ค้นหาค่า รากของผลหาร

การบรรยาย N4. ส่วนต่างของฟังก์ชันของคำสั่งแรกและลำดับที่สูงกว่า ค่าคงที่ของรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น การประยุกต์ใช้ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณ 1. แนวคิดของความแตกต่าง ....

MODULE 7 "ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม" การวางแนวคิดทั่วไปของระดับ รากของดีกรีและสมบัติของมัน.. สมการอตรรกยะ.. ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ.. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง..

13. เลขชี้กำลังและลอการิทึม เพื่อให้การพิสูจน์ข้อเสนอ 12.8 สมบูรณ์ เรายังคงต้องให้คำจำกัดความหนึ่งคำและพิสูจน์หนึ่งข้อเสนอ คำจำกัดความ 13.1. อนุกรม a i เรียกว่าลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ถ้า

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนโวซีบีร์สค์ ศูนย์การศึกษาและวิทยาศาสตร์เฉพาะทาง คณิตศาสตร์ เกรด 10 การวิจัยฟังก์ชั่น โนโวซีบีร์สค์ สำหรับการตรวจสอบ

LECTURE N. สนามสเกลาร์. อนุพันธ์แบบมีทิศทาง การไล่ระดับสี ระนาบสัมผัสและพื้นผิวปกติ สุดโต่งของฟังก์ชันหลายตัวแปร สุดขั้วแบบมีเงื่อนไข ฟิลด์สเกลาร์ อนุพันธ์เทียบกับ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนโวซีบีสค์ ศูนย์การศึกษาเฉพาะทางและวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ เกรด 0 ลิมิตของลำดับ โนโวซีบีร์สค์ ใช้งานง่าย

คำจำกัดความของฟังก์ชันผกผันและคุณสมบัติของฟังก์ชัน บทแทรกเกี่ยวกับความเป็นเอกเทศร่วมกันของฟังก์ชันโดยตรงและผกผัน สมมาตรของกราฟของฟังก์ชันตรงและผกผัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดในส่วนของช่วง ช่วงเวลา และครึ่งช่วง ตัวอย่างของฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างของการแก้ปัญหา การพิสูจน์คุณสมบัติและทฤษฎีบท

ความหมายและคุณสมบัติ

ความหมายของฟังก์ชันผกผัน
ให้ฟังก์ชันมีโดเมน X และชุดของค่า Y . และให้มันมีคุณสมบัติ:
เพื่อทุกสิ่ง .
จากนั้นสำหรับองค์ประกอบใดๆ จากเซต Y จะสามารถเชื่อมโยงได้เพียงองค์ประกอบเดียวของเซต X ซึ่งสำหรับ ความสอดคล้องนี้กำหนดฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันผกผันถึง . ฟังก์ชันผกผันแสดงดังนี้:
.

เป็นไปตามนิยามที่ว่า
;
เพื่อทุกสิ่ง ;
เพื่อทุกสิ่ง .

คุณสมบัติเกี่ยวกับสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันตรงและผกผัน
กราฟของฟังก์ชันทางตรงและทางผกผันมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในส่วน
ให้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเพิ่ม (ลดลง) อย่างเคร่งครัดในช่วงเวลา . จากนั้นในช่วงเวลาฟังก์ชันผกผันถูกกำหนดและต่อเนื่องซึ่งเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างเคร่งครัด

สำหรับฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น สำหรับจากมากไปน้อย - .

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลาหนึ่งๆ
ให้ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและเพิ่ม (ลดลง) อย่างเคร่งครัดในช่วงเปิดหรือช่วงไม่สิ้นสุด . จากนั้นฟังก์ชันผกผันจะถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาซึ่งเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างเคร่งครัด

สำหรับฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น
สำหรับจากมากไปน้อย: .

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงครึ่งช่วง

หากฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่องและเพิ่ม (ลดลง) อย่างเข้มงวดในช่วงครึ่งช่วงหรือ จากนั้นในครึ่งช่วงหรือฟังก์ชันผกผันจะถูกกำหนด ซึ่งจะเพิ่ม (ลดลง) อย่างเคร่งครัด ที่นี่ .

หากเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ช่วงเวลา และ สอดคล้องกับช่วงเวลา และ . หากลดลงอย่างเคร่งครัด ช่วงเวลา และ สอดคล้องกับช่วงเวลา และ
ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับทฤษฎีบทว่าด้วยการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลาหนึ่งๆ

ตัวอย่างของฟังก์ชันผกผัน

อาร์คไซน์

แปลง y= บาป xและฟังก์ชันผกผัน y = อาร์คซิน x.

พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซนัส: . มันถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ แต่ไม่ซ้ำซากจำเจ อย่างไรก็ตาม หากโดเมนของคำจำกัดความแคบลง ส่วนที่ซ้ำซากจำเจก็สามารถแยกแยะได้ ดังนั้นในส่วน ฟังก์ชั่นถูกกำหนดต่อเนื่องเพิ่มอย่างเคร่งครัดและรับค่าจาก -1 ก่อน +1 . ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันซึ่งเรียกว่าอาร์คไซน์ อาร์กไซน์มีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า

ลอการิทึม

แปลง y= 2 xและฟังก์ชันผกผัน y = บันทึก 2 x.

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลถูกกำหนด ต่อเนื่อง และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ชุดค่าของมันคือช่วงเปิด ฟังก์ชันผกผันคือลอการิทึมฐานสอง มีขอบเขตและชุดของค่า

รากที่สอง

พล็อต y=x 2 และฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชั่นพลังงานถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับทุกคน ชุดค่าของมันคือครึ่งช่วง แต่มันไม่ซ้ำซากจำเจสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ อย่างไรก็ตาม ในช่วงครึ่งเวลาจะต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นหากเรารับเซตเป็นโดเมนก็จะมีฟังก์ชันผกผันซึ่งเรียกว่าสแควร์รูท ฟังก์ชันผกผันมีโดเมนของนิยามและชุดของค่า

ตัวอย่าง. หลักฐานการมีอยู่และเอกลักษณ์ของรากของปริญญา n

พิสูจน์ว่าสมการ โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ มีคำตอบเฉพาะบนเซตของจำนวนจริง วิธีแก้ปัญหานี้เรียกว่ารากที่ n ของ a นั่นคือ คุณต้องแสดงว่าจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นลบมีรากของดีกรี n ที่ไม่ซ้ำกัน

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปร x :
(P1) .

ให้เราพิสูจน์ว่ามันต่อเนื่องกัน
โดยใช้คำจำกัดความของความต่อเนื่อง เราแสดงให้เห็นว่า
.
เราใช้สูตรทวินามของนิวตัน:
(P2)
.
ให้เราใช้คุณสมบัติเลขคณิตของลิมิตของฟังก์ชัน . ตั้งแต่ ดังนั้น เทอมแรกเท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์:
.
ความต่อเนื่องได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน (P1) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดเมื่อ
ลองใช้ตัวเลขโดยพลการที่เชื่อมต่อกันด้วยอสมการ:
, , .
เราต้องแสดงให้เห็นว่า มาแนะนำตัวแปรกัน แล้ว . เนื่องจาก จะเห็นได้จาก (A2) ว่า หรือ
.
การเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดได้รับการพิสูจน์แล้ว

ค้นหาชุดของค่าฟังก์ชันสำหรับ
ที่จุด , .
มาหาขีดจำกัดกัน
ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้อสมการแบร์นูลลี เมื่อเรามี:
.
ตั้งแต่ , แล้ว และ .
การนำคุณสมบัติของอสมการของฟังก์ชันขนาดใหญ่มากมาใช้ เราพบว่า
ทางนี้, , .

ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันผกผันถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง นั่นคือสำหรับสิ่งใดก็ตามมีเอกลักษณ์ที่ตรงตามสมการ เนื่องจากเรามี ซึ่งหมายความว่าสมการใด ๆ จึงมีคำตอบเฉพาะซึ่งเรียกว่ารากของระดับ n จากจำนวน x:
.

การพิสูจน์คุณสมบัติและทฤษฎีบท

บทพิสูจน์ของบทแทรกเกี่ยวกับความซ้ำซากจำเจร่วมกันของฟังก์ชันทางตรงและทางผกผัน

ให้ฟังก์ชันมีโดเมน X และชุดของค่า Y . ให้เราพิสูจน์ว่ามันมีฟังก์ชันผกผัน ขึ้นอยู่กับ เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า
เพื่อทุกสิ่ง .

สมมติว่าตรงกันข้าม ให้มีตัวเลขดังนั้น ให้ในเวลาเดียวกัน มิฉะนั้น เราจะเปลี่ยนสัญกรณ์เพื่อให้เป็น . จากนั้น เนื่องจากความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดของ f หนึ่งในอสมการจึงต้องมี:
ถ้า f เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด
ถ้า f ลดลงอย่างมาก
นั่นคือ . มีความขัดแย้ง ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผัน

ให้การปฏิบัติหน้าที่เคร่งครัดขึ้น ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันผกผันนั้นเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดเช่นกัน ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
. นั่นคือเราต้องพิสูจน์ว่า ถ้า แล้ว .

สมมติว่าตรงกันข้าม ให้ แต่ .

ถ้า แล้ว . เคสนี้หมดแล้ว

ปล่อย . จากนั้น เนื่องจากการเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดของฟังก์ชัน , , หรือ มีความขัดแย้ง ดังนั้นจึงเป็นไปได้เฉพาะกรณีเท่านั้น

บทแทรกได้รับการพิสูจน์สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด บทแทรกนี้สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันสำหรับฟังก์ชันการลดลงอย่างเคร่งครัด

การพิสูจน์คุณสมบัติเกี่ยวกับความสมมาตรของกราฟของฟังก์ชันทางตรงและทางผกผัน

อนุญาต เป็นจุดโดยพลการของกราฟฟังก์ชันโดยตรง:
(2.1) .
แสดงว่าจุด สมมาตรกับจุด A เทียบกับเส้น อยู่ในกราฟของฟังก์ชันผกผัน :
.
จากนิยามของฟังก์ชันผกผัน
(2.2) .
ดังนั้นเราต้องแสดง (2.2)

กราฟของฟังก์ชันผกผัน y = f -1(x)มีความสมมาตรกับกราฟของฟังก์ชันตรง y = f (x)เทียบกับเส้นตรง y = x .

จากจุด A และ S เราวางแนวตั้งฉากบนแกนพิกัด แล้ว
, .

ผ่านจุด A เราลากเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง ให้เส้นตัดกันที่จุด C เราสร้างจุด S บนเส้นเพื่อให้ จากนั้นจุด S จะสมมาตรกับจุด A เทียบกับเส้นตรง

พิจารณารูปสามเหลี่ยมและ . พวกมันมีด้านสองด้านที่ยาวเท่ากัน: และ , และมุมที่เท่ากันระหว่างพวกมัน: . ดังนั้นจึงสอดคล้องกัน แล้ว
.

ลองพิจารณารูปสามเหลี่ยม ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
เช่นเดียวกับสามเหลี่ยม:
.
แล้ว
.

ตอนนี้เราพบ:
;
.

ดังนั้นสมการ (2.2):
(2.2)
พอใจเพราะ และ (2.1) พอใจ:
(2.1) .

เนื่องจากเราได้เลือกจุด A โดยพลการ สิ่งนี้จึงใช้ได้กับทุกจุดของกราฟ:
จุดทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน สะท้อนสมมาตรเทียบกับเส้นตรง เป็นของกราฟของฟังก์ชันผกผัน
จากนั้นเราก็สามารถสลับที่กันได้ เป็นผลให้เราได้รับ
จุดทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน สะท้อนสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง เป็นของกราฟของฟังก์ชัน
มันเป็นไปตามที่กราฟของฟังก์ชันและมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง

คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลาหนึ่ง

อนุญาต หมายถึงโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน - ส่วน

1. แสดงว่าชุดของค่าฟังก์ชันเป็นช่วง :
,
ที่ไหน .

แท้จริงแล้ว เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วน ดังนั้นตามทฤษฎีบทไวเออร์สตราส จึงถึงค่าต่ำสุดและสูงสุดบนฟังก์ชันนั้น จากนั้นตามทฤษฎีบท Bolzano-Cauchy ฟังก์ชันจะรับค่าทั้งหมดจากส่วน นั่นคือสำหรับสิ่งใด ๆ ที่มีอยู่ สำหรับสิ่งนั้น เนื่องจากมีค่าต่ำสุดและสูงสุด ฟังก์ชันจึงใช้เฉพาะค่าเซ็กเมนต์จากชุดเท่านั้น

2. เนื่องจากฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด ตามที่กล่าวมาข้างต้น จึงมีฟังก์ชันผกผัน ซึ่งก็เป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดเช่นกัน (เพิ่มขึ้นหากเพิ่มขึ้น และลดลงหากลดลง) โดเมนของฟังก์ชันผกผันคือเซต และเซตของค่าคือเซต

3. ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชันผกผันนั้นต่อเนื่อง

3.1. ปล่อยให้มีจุดภายในของกลุ่มโดยพลการ : . ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันผกผันต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ให้มันตรงประเด็น เนื่องจากฟังก์ชันผกผันเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด นั่นคือจุดภายในของส่วน:
.
ตามคำจำกัดความของความต่อเนื่อง เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสำหรับสิ่งใดก็ตามที่มีฟังก์ชันเช่นนั้น
(3.1) เพื่อทุกสิ่ง .

โปรดทราบว่าเราสามารถใช้ขนาดเล็กโดยพลการ แท้จริงแล้ว หากเราพบฟังก์ชันที่ความไม่เท่าเทียมกัน (3.1) พึงพอใจกับค่าที่น้อยเพียงพอของ แล้วพวกมันจะพึงพอใจโดยอัตโนมัติสำหรับค่าที่มากของ หากเราตั้งค่าสำหรับ

ให้เราใช้มันเล็กจนแต้มและอยู่ในกลุ่ม :
.
ให้เราแนะนำและจัดเรียงสัญกรณ์:



.

เราแปลงอสมการแรก (3.1):
(3.1) เพื่อทุกสิ่ง .
;
;
;
(3.2) .
เนื่องจากเป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดจึงเป็นไปตามนั้น
(3.3.1) , ถ้าเพิ่มขึ้น;
(3.3.2) ถ้ามันลดลง.
เนื่องจากฟังก์ชันผกผันยังเป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด ความไม่เท่าเทียมกัน (3.3) จึงบ่งบอกถึงความไม่เท่าเทียมกัน (3.2)

สำหรับ ε ใดๆ > 0 มีอยู่ δ ดังนั้น |f -1 (y) - ฉ -1 (y 0) |< ε สำหรับทุกคน |y - y 0 | < δ .

ความไม่เท่าเทียมกัน (3.3) กำหนดช่วงเวลาเปิดซึ่งจุดสิ้นสุดถูกแยกออกจากจุดด้วยระยะทาง และ ให้มีระยะทางเหล่านี้น้อยที่สุด:
.
เนื่องจากความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวดของ , , นั่นเป็นเหตุผล จากนั้นช่วงเวลาจะอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดโดยอสมการ (3.3) และสำหรับค่าทั้งหมดที่เป็นของมันความไม่เท่าเทียมกัน (3.2) จะได้รับความพึงพอใจ

ดังนั้นเราจึงพบว่าสำหรับขนาดเล็กเพียงพอ มีอยู่ ดังนั้น
ที่ .
ตอนนี้ขอเปลี่ยนสัญกรณ์
สำหรับขนาดเล็กพอ มีอยู่เช่นนั้น
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่จุดภายใน

3.2. ตอนนี้พิจารณาจุดสิ้นสุดของโดเมนของคำนิยาม ข้อโต้แย้งทั้งหมดยังคงเหมือนเดิม จำเป็นต้องพิจารณาย่านใกล้เคียงด้านเดียวของจุดเหล่านี้เท่านั้น แทนที่จะเป็นจุดจะมี หรือ และแทนที่จะเป็นจุด - หรือ

ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น , .
ที่ .
ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่ เพราะสำหรับค่าใดๆ ที่น้อยเพียงพอ นั่นคือ ดังนั้น
ที่ .

สำหรับฟังก์ชันการลดลง , .
ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่ เพราะสำหรับค่าใดๆ ที่น้อยเพียงพอ นั่นคือ ดังนั้น
ที่ .
ฟังก์ชันผกผันจะต่อเนื่องที่ เพราะสำหรับค่าใดๆ ที่น้อยเพียงพอ นั่นคือ ดังนั้น
ที่ .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันในช่วงเวลา

ให้ หมายถึงโดเมนของฟังก์ชัน - ช่วงเวลาที่เปิด ปล่อยให้เป็นชุดของค่าของมัน ตามข้างต้นมีฟังก์ชันผกผันที่มีโดเมนของคำจำกัดความชุดของค่าและเป็นโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด (เพิ่มขึ้นหากเพิ่มขึ้นและลดลงหากลดลง) มันยังคงอยู่สำหรับเราที่จะพิสูจน์ว่า
1) ชุดเป็นช่วงเปิด และนั่น
2) ฟังก์ชันผกผันต่อเนื่องกับมัน
ที่นี่ .

1. แสดงว่าชุดของค่าฟังก์ชันเป็นช่วงเปิด:
.

เช่นเดียวกับชุดที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีองค์ประกอบที่มีการดำเนินการเปรียบเทียบ ชุดของค่าฟังก์ชันมีขอบเขตล่างและบน:
.
ที่นี่ และ สามารถเป็นตัวเลขหรือสัญลักษณ์ที่จำกัด และ

1.1. ให้เราแสดงว่าจุดและไม่ได้อยู่ในชุดของค่าของฟังก์ชัน นั่นคือชุดของค่าไม่สามารถเป็นเซกเมนต์ได้

ถ้าหรือเป็น ชี้ไปที่อินฟินิตี้: หรือ จุดดังกล่าวไม่ใช่องค์ประกอบของเซต ดังนั้นจึงไม่สามารถอยู่ในชุดของค่าได้

ให้ (หรือ ) เป็นจำนวนจำกัด สมมติว่าตรงกันข้าม ให้จุด (หรือ ) เป็นของชุดค่าของฟังก์ชัน . นั่นคือมีอยู่ซึ่ง (หรือ ) รับคะแนนและตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน:
.
เนื่องจากฟังก์ชั่นเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด
, ถ้า f เพิ่มขึ้น;
ถ้า f ลดลง
นั่นคือเราพบจุดที่ค่าของฟังก์ชันน้อยกว่า (มากกว่า ). แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของใบหน้าส่วนล่าง (บน) ตามที่กล่าว
เพื่อทุกสิ่ง .
ดังนั้นจุด และ ไม่สามารถอยู่ในชุดของค่าได้ ฟังก์ชั่น .

1.2. ตอนนี้ขอแสดงว่าชุดของค่าเป็นช่วง , มากกว่าการรวมกันระหว่างช่วงและจุดต่างๆ นั่นคือสำหรับจุดใด ๆ มีอยู่ , ซึ่ง .

ตามคำจำกัดความของใบหน้าส่วนล่างและส่วนบนในบริเวณใกล้เคียงของจุดต่างๆ และ มีอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของชุด . ปล่อย - จำนวนโดยพลการที่เป็นของช่วงเวลา : . แล้วสำหรับพื้นที่ใกล้เคียง มีอยู่ , ซึ่ง
.
สำหรับพื้นที่ใกล้เคียง มีอยู่ , ซึ่ง
.

เพราะว่า และ , แล้ว . แล้ว
(4.1.1) ถ้า เพิ่มขึ้น;
(4.1.2) ถ้า ลดลง
อสมการ (4.1) พิสูจน์ได้ง่ายด้วยความขัดแย้ง แต่คุณสามารถใช้ ตามที่ในชุด มีฟังก์ชันผกผัน , ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดหาก และลดลงอย่างเคร่งครัดหาก . จากนั้นเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันทันที (4.1)

ดังนั้นเราจึงมีส่วน , ที่ไหน ถ้า เพิ่มขึ้น;
ถ้า ลดลง
ที่ส่วนท้ายของส่วน ฟังก์ชันจะรับค่า และ . เพราะว่า , จากนั้นโดยทฤษฎีบทโบลซาโน-โคชี มีประเด็นหนึ่ง , ซึ่ง .

เพราะว่า , เราได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับใดๆ มีอยู่ , ซึ่ง . ซึ่งหมายความว่าชุดของค่าฟังก์ชัน เป็นช่วงเปิด .

2. ให้เราแสดงว่าฟังก์ชันผกผันนั้นต่อเนื่อง ณ จุดใดก็ได้ ช่วงเวลา : . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ นำไปใช้กับกลุ่ม . เพราะว่า , แล้วฟังก์ชันผกผัน ต่อเนื่องในส่วนของ , รวมทั้งตรงจุด .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

อ้างอิง:
O.I. ปีศาจ การบรรยายเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1 มอสโก 2547
ซม. นิโคลสกี้. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2526