เมทริกซ์ผกผัน การแก้สมการเมทริกซ์

โอดีเอ- โต๊ะทรงสี่เหลี่ยมประกอบด้วย ตเส้นและ nเรียกว่าคอลัมน์ของจำนวนจริง เมทริกซ์ขนาด เสื้อ×พี- เมทริกซ์แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: A, B,... และอาร์เรย์ของตัวเลขจะคั่นด้วยวงเล็บกลมหรือสี่เหลี่ยม

ตัวเลขที่รวมอยู่ในตารางเรียกว่าองค์ประกอบเมทริกซ์และแสดงด้วยตัวอักษรละตินขนาดเล็กพร้อมดัชนีคู่โดยที่ ฉัน– หมายเลขบรรทัด เจ– จำนวนคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบนั้น โดยทั่วไปเมทริกซ์จะเขียนดังนี้:

พิจารณาเมทริกซ์สองตัว เท่ากันถ้าองค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่ากัน

ถ้าเป็นจำนวนแถวของเมทริกซ์ ตเท่ากับจำนวนคอลัมน์ nจากนั้นจึงเรียกเมทริกซ์ สี่เหลี่ยม(มิฉะนั้น – สี่เหลี่ยม)

ขนาดเมทริกซ์
เรียกว่าเมทริกซ์แถว ขนาดเมทริกซ์

เรียกว่าเมทริกซ์คอลัมน์

องค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีดัชนีเท่ากัน (
ฯลฯ) แบบฟอร์ม เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ เส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งเรียกว่าเส้นทแยงมุมด้านข้าง

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส เส้นทแยงมุมหากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งมีองค์ประกอบในแนวทแยงเท่ากับหนึ่ง เดี่ยวเมทริกซ์และมีสัญลักษณ์มาตรฐาน E:

หากองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดที่อยู่ด้านบน (หรือด้านล่าง) เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ดังกล่าวจะมีรูปแบบสามเหลี่ยม:

§2 การดำเนินงานเกี่ยวกับเมทริกซ์

1. การขนย้ายเมทริกซ์ - การเปลี่ยนแปลงที่แถวของเมทริกซ์ถูกเขียนเป็นคอลัมน์โดยยังคงรักษาลำดับไว้ สำหรับเมทริกซ์จตุรัส การแปลงนี้จะเทียบเท่ากับการแมปสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก:

.

2. เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันสามารถสรุปได้ (ลบออก) ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกัน โดยแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ดั้งเดิม:

3. เมทริกซ์ใดๆ สามารถคูณด้วยตัวเลขได้ ผลคูณของเมทริกซ์ตามตัวเลขคือเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกัน โดยแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ดั้งเดิมตามจำนวนนี้:

.

4. หากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์หนึ่งเท่ากับจำนวนแถวของอีกเมทริกซ์หนึ่ง คุณสามารถคูณเมทริกซ์แรกด้วยวินาทีได้ ผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวคือเมทริกซ์ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ขององค์ประกอบของแถวที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์แรกและองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ที่สอง

ผลที่ตามมา- การยกกำลังเมทริกซ์ ถึง>1 คือผลคูณของเมทริกซ์ A ถึงครั้งหนึ่ง. กำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น

ตัวอย่าง.

คุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+เอซี;

   (A+B)C=เอซี+บีซี;

   k(AB)=(kA)B=A(กิโลโวลต์);

   ก(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kAT;

   (A+B) T =A T +B T;

   (AB) T =B T A T;

คุณสมบัติที่ระบุไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกับคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติเฉพาะของเมทริกซ์อีกด้วย ซึ่งรวมถึงคุณสมบัติเฉพาะของการคูณเมทริกซ์ เป็นต้น หากมีผลิตภัณฑ์ AB แสดงว่าผลิตภัณฑ์ BA

อาจไม่มีอยู่จริง

อาจแตกต่างจาก AB

ตัวอย่าง- บริษัทผลิตสินค้า 2 ประเภท A และ B และใช้วัตถุดิบ 3 ประเภท S 1, S 2 และ S 3 อัตราการใช้วัตถุดิบระบุโดยเมทริกซ์ N=
, ที่ไหน n ฉัน– ปริมาณวัตถุดิบ เจใช้จ่ายในการผลิตหน่วยผลผลิต ฉัน- แผนการผลิตกำหนดโดยเมทริกซ์ C=(100 200) และเมทริกซ์กำหนดต้นทุนต่อหน่วยของวัตถุดิบแต่ละประเภท - กำหนดต้นทุนวัตถุดิบที่จำเป็นสำหรับการผลิตตามแผนและต้นทุนรวมของวัตถุดิบ

สารละลาย. เรากำหนดต้นทุนวัตถุดิบเป็นผลคูณของเมทริกซ์ C และ N:

เราคำนวณต้นทุนรวมของวัตถุดิบเป็นผลิตภัณฑ์ของ S และ P

เมทริกซ์ขนาด ม ? nคือตารางตัวเลขสี่เหลี่ยมที่มีแถว m และ n คอลัมน์ เรียกตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์

เมทริกซ์แสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน ( ก บี ค...)และเพื่อกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์ จะใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กที่มีการจัดทำดัชนีคู่:

ที่ไหน ฉัน- หมายเลขบรรทัด เจ- หมายเลขคอลัมน์

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์

หรือเรียกสั้น ๆ ว่า A=(); ฉัน=1,2…, ม; เจ=1,2, …, น.

มีการใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์อื่นๆ เช่น , ? -

เมทริกซ์สองตัว กและ ในเรียกว่าขนาดเท่ากัน เท่ากันถ้ามันเกิดขึ้นพร้อมกันทีละองค์ประกอบนั่นคือ = ที่ไหน ฉัน= 1, 2, 3, …, ม, ก เจ= 1, 2, 3, …, น.

พิจารณาเมทริกซ์ประเภทหลัก:

1. ให้ m = n แล้วเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับ n:

องค์ประกอบต่างๆ จะสร้างเส้นทแยงมุมหลัก องค์ประกอบต่างๆ จะสร้างเส้นทแยงมุมรอง

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส เส้นทแยงมุมถ้าองค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์:

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงและสี่เหลี่ยมจัตุรัส เดี่ยวถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ 1:

โปรดทราบว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์อะนาล็อกของหนึ่งในเซตของจำนวนจริง และเรายังเน้นว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น

นี่คือตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์:

เมทริกซ์จตุรัส

เรียกว่าสามเหลี่ยมบนและล่างตามลำดับ

• 2. ให้ ม= 1 แล้วก็เมทริกซ์ ก- เมทริกซ์แถวซึ่งมีลักษณะดังนี้:
• 3. ให้ n=1 แล้วเมทริกซ์ ก- เมทริกซ์คอลัมน์ ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

4. เมทริกซ์ศูนย์คือเมทริกซ์ลำดับ mn ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 0:

โปรดทราบว่าเมทริกซ์ว่างอาจเป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมทริกซ์แถว หรือเมทริกซ์คอลัมน์ก็ได้ เมทริกซ์ศูนย์คือเมทริกซ์อะนาล็อกของศูนย์ในชุดของจำนวนจริง

5. เมทริกซ์ถูกเรียกว่า ย้ายไปยังเมทริกซ์ และแสดงว่าคอลัมน์ของมันคือแถวของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับตัวเลข

ตัวอย่าง- อนุญาต

โปรดทราบว่าถ้าเมทริกซ์ กมีคำสั่ง นาทีจากนั้นเมทริกซ์ที่ถูกย้ายจะมีลำดับ นาโนเมตร.

6. เมทริกซ์ A เรียกว่าสมมาตรถ้า A = และเรียกว่าสมมาตรถ้า A =

ตัวอย่าง- ตรวจสอบความสมมาตรของเมทริกซ์ กและ ใน.

ดังนั้นเมทริกซ์ ก- สมมาตรเพราะว่า เอ =.

ดังนั้นเมทริกซ์ ใน- เอียงสมมาตรเนื่องจาก ข = -.

โปรดทราบว่าเมทริกซ์แบบสมมาตรและแบบเบ้สมมาตรจะเป็นทรงสี่เหลี่ยมเสมอ องค์ประกอบใดๆ สามารถอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สมมาตรได้ และองค์ประกอบที่เหมือนกันจะต้องวางสัมพันธ์กันอย่างสมมาตรกับเส้นทแยงมุมหลัก นั่นคือศูนย์จะปรากฏบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์เอียงสมมาตรเสมอ และสัมพันธ์กับสมมาตรหลักกับเส้นทแยงมุมหลักเสมอ

การยกเลิกลาปลาซสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมทริกซ์

คำจำกัดความโดยเมทริกซ์– เรียกว่าตารางตัวเลขที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์จำนวนหนึ่ง

องค์ประกอบของเมทริกซ์คือตัวเลขในรูปแบบ a ij โดยที่ i คือหมายเลขแถว j คือหมายเลขคอลัมน์

ตัวอย่างที่ 1 i = 2 j = 3

การกำหนด: ก=

ประเภทของเมทริกซ์:

1. หากจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์จะถูกเรียก สี่เหลี่ยม:

2. หากจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์แสดงว่าเมทริกซ์นั้นถูกเรียก สี่เหลี่ยม:

จำนวนแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์จตุรัสเรียกว่ามัน ตามลำดับ- ในตัวอย่าง n = 2

พิจารณาเมทริกซ์จตุรัสของลำดับ n:

เส้นทแยงมุมที่มีองค์ประกอบ a 11, 22......., nn เรียกว่า หลัก , และเส้นทแยงมุมที่มีองค์ประกอบ a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – เสริม

เมทริกซ์ที่เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีเฉพาะองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ เส้นทแยงมุม:

ตัวอย่างที่ 4 n=3

3. หากเมทริกซ์แนวทแยงมีองค์ประกอบเท่ากับ 1 แสดงว่าเมทริกซ์นั้นถูกเรียก เดี่ยวและถูกกำหนดด้วยตัวอักษร E:

ตัวอย่างที่ 6 n=3

4. เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบทั้งหมดเท่ากับศูนย์ โมฆะ เมทริกซ์และแสดงด้วยตัวอักษร O

ตัวอย่างที่ 7

5. สามเหลี่ยมเมทริกซ์ลำดับที่ n คือเมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์:

ตัวอย่างที่ 8 n=3

การดำเนินการกับเมทริกซ์:

ผลรวมของเมทริกซ์ A และ B คือเมทริกซ์ C ซึ่งมีองค์ประกอบเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ A และ B

คุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันเท่านั้น

ผลคูณของเมทริกซ์ A และจำนวน kเมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่า kA ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับ ka ij

ตัวอย่างที่ 10

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขจะลดลงเป็นการคูณองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ด้วยตัวเลขนั้น

ผลคูณของเมทริกซ์ในการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ คุณต้องเลือกแถวแรกของเมทริกซ์แรกและคูณด้วยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ที่สอง แล้วบวกผลลัพธ์ วางผลลัพธ์นี้ในเมทริกซ์ผลลัพธ์ในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 10 เราทำการกระทำเดียวกันกับองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมด: บรรทัดที่ 1 ไปยังคอลัมน์ที่สอง, ไปยังคอลัมน์ที่ 3 เป็นต้น จากนั้นด้วยบรรทัดต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 11

การคูณเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์ B เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

- มีงานอยู่;

- งานไม่มีอยู่

ตัวอย่างที่ 12 ไม่มีอะไรจะคูณบรรทัดสุดท้ายในเมทริกซ์ II ด้วยเช่น ไม่มีงานอยู่

เมทริกซ์ทรานสโพสการดำเนินการแทนที่องค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์เรียกว่า:

ตัวอย่างที่ 13

ด้วยการยกอำนาจขึ้นเรียกว่าการคูณเมทริกซ์ตามลำดับด้วยตัวมันเอง

คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาด ม× nเรียกว่าชุด นาทีตัวเลขเรียงกันเป็นตารางสี่เหลี่ยม มเส้นและ nคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ตัวเดียวได้ เช่น กหรือ ใน.

โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ขนาด ม× nเขียนแบบนี้

.

เรียกตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์- สะดวกในการจัดเตรียมองค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีสองดัชนี ไอจ: อันแรกระบุหมายเลขแถว และอันที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากเมทริกซ์มีจำนวนแถวเท่ากันกับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นั้นจะถูกเรียก สี่เหลี่ยมและเรียกจำนวนแถวหรือคอลัมน์ ตามลำดับเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ตัวที่สองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส - ลำดับคือ 3 และเมทริกซ์ตัวที่สี่คือลำดับ 1

เมทริกซ์ที่เรียกว่าจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ สี่เหลี่ยม- ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์ตัวแรกและเมทริกซ์ตัวที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียวด้วย

เรียกเมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด โมฆะและเขียนแทนด้วย (0) หรือเพียง 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัสเราเรียกว่าเส้นทแยงมุมที่เริ่มจากซ้ายบนไปมุมขวาล่าง

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเท่ากับศูนย์ สามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นหรือ.

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การดำเนินการกับเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์- เมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเท่ากันหากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันและมีองค์ประกอบที่ตรงกันเท่ากัน ไอจ = บีจ- แล้วถ้า และ , ที่ ก=ข, ถ้า ก 11 = ข 11, 12 = ข 12, 21 = ข 21และ ก 22 = ข 22.

ย้าย- พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ กจาก มเส้นและ nคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ได้ บีจาก nเส้นและ มคอลัมน์ ซึ่งแต่ละแถวเป็นคอลัมน์เมทริกซ์ กด้วยจำนวนเดียวกัน (ดังนั้นแต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน) แล้วถ้า , ที่ .

เมทริกซ์นี้ บีเรียกว่า ย้ายเมทริกซ์ กและการเปลี่ยนผ่านจาก กถึง การขนย้ายบี.

ดังนั้นการขนย้ายจึงเป็นการกลับรายการบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์ถูกย้ายไปยังเมทริกซ์ กมักจะแสดงแทน ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ กและทรานสโพสของมันสามารถเขียนได้ในรูป

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของเมทริกซ์ที่กำหนด

การบวกเมทริกซ์ปล่อยให้เมทริกซ์ กและ บีประกอบด้วยจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากัน กล่าวคือ มี ขนาดเดียวกัน- แล้วเพื่อที่จะบวกเมทริกซ์ กและ บีจำเป็นสำหรับองค์ประกอบเมทริกซ์ กเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ บียืนอยู่ในที่เดียวกัน ดังนั้นผลรวมของเมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ เช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสับเปลี่ยน ก+บี=บี+เอและการเชื่อมโยง ( เอ+บี)+ค=ก+(บี+ซี).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขเพื่อคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคจำเป็นต้องมีทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์ กคูณด้วยจำนวนนี้ ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและเมทริกซ์ กและ บีมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราทราบว่าขนาดของเมทริกซ์ตัวประกอบจะต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณได้เฉพาะเมทริกซ์ที่จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (นั่นคือ ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) การทำงานเมทริกซ์ กไม่ใช่เมทริกซ์ บีเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ ค=เอบีซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 จาก 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในเมทริกซ์ที่ 2 จากนั้นคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องและเพิ่มผลคูณที่ได้ และองค์ประกอบอื่นๆ ของเมทริกซ์ผลคูณได้มาจากผลคูณที่คล้ายกันของแถวของเมทริกซ์แรกและคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไปหากเราคูณเมทริกซ์ A = (อาจ)ขนาด ม× nถึงเมทริกซ์ B = (บีจ)ขนาด n× พีแล้วเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× พีซึ่งมีองค์ประกอบคำนวณดังนี้: องค์ประกอบ ซีจได้มาจากผลคูณของธาตุ ฉันแถวที่หนึ่งของเมทริกซ์ กไปยังองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ บีและการเพิ่มเติมของพวกเขา

จากกฎนี้ คุณจะสามารถนำเมทริกซ์จตุรัสสองตัวที่มีลำดับเดียวกันมาคูณกันได้ตลอดเวลา และผลที่ได้คือเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์จตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ เช่น กำลังสองมัน

อีกกรณีที่สำคัญคือการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ และความกว้างของเมทริกซ์แรกจะต้องเท่ากับความสูงของเมทริกซ์ที่สอง ส่งผลให้ได้เมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง (เช่น หนึ่งองค์ประกอบ) จริงหรือ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้น ตัวอย่างง่ายๆ เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่สับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เอ·บี ≠ บี∙เอ - ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างระมัดระวัง

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงและการแจกแจง เช่น (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=เอซี+บีซี.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบเมื่อคูณเมทริกซ์จตุรัส กไปจนถึงเมทริกซ์ประจำตัว อีในลำดับเดียวกันเราจะได้เมทริกซ์อีกครั้ง ก, และ AE=อีเอ=ก.

สามารถสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสนใจดังต่อไปนี้ ดังที่คุณทราบ ผลคูณของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ อาจไม่เป็นเช่นนั้น กล่าวคือ ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวอาจกลายเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , ที่

.

แนวคิดของปัจจัยกำหนด

ให้เมทริกซ์ลำดับที่สองได้รับ - เมทริกซ์จัตุรัสประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์นี้ คือจำนวนที่ได้รับดังนี้ 11 ถึง 22 – 12 ถึง 21.

ดีเทอร์มิแนนต์จะระบุด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น เพื่อที่จะหาดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบในเส้นทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ลำดับที่สามและดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องได้

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สามที่กำหนด คือตัวเลขที่แสดงและได้รับดังนี้

.

ดังนั้น สูตรนี้จึงให้ส่วนขยายของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11, 12, 13และลดการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับปัจจัยกำหนดที่สี่ ห้า ฯลฯ ได้ คำสั่ง ลดลำดับลงโดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของแถวที่ 1 โดยมีเครื่องหมาย “+” และ “–” ของคำศัพท์สลับกัน

ดังนั้น ไม่เหมือนกับเมทริกซ์ซึ่งเป็นตารางตัวเลข ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง

มีการดำเนินการหลายอย่างกับเมทริกซ์ดังกล่าว: คูณกัน, ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ ฯลฯ เมทริกซ์- กรณีพิเศษของอาร์เรย์: หากอาร์เรย์สามารถมีจำนวนมิติเท่าใดก็ได้ จะมีเฉพาะอาร์เรย์สองมิติเท่านั้นที่เรียกว่าเมทริกซ์

ในการเขียนโปรแกรมเมทริกซ์เรียกอีกอย่างว่าอาเรย์สองมิติ อาร์เรย์ใดๆ ในโปรแกรมจะมีชื่อเหมือนกับว่าเป็นตัวแปรตัวเดียว เพื่อชี้แจงว่าเซลล์ใดในอาเรย์หมายถึงเซลล์ใด เมื่อกล่าวถึงในโปรแกรม จำนวนเซลล์ในเซลล์จะใช้ร่วมกับตัวแปร ทั้งเมทริกซ์สองมิติและอาร์เรย์ n มิติในโปรแกรมสามารถมีได้ไม่เพียงแต่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลเชิงสัญลักษณ์ สตริง บูลีน และข้อมูลอื่นๆ ด้วย แต่จะเหมือนกันภายในอาร์เรย์ทั้งหมดเสมอ

เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ A:MxN โดยที่ A คือชื่อของเมทริกซ์ M คือจำนวนแถวในเมทริกซ์ และ N คือจำนวนคอลัมน์ องค์ประกอบจะแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็กที่สอดคล้องกันโดยมีดัชนีระบุหมายเลขในแถวและคอลัมน์ a (m, n)

เมทริกซ์ที่พบบ่อยที่สุดจะมีรูปทรงสี่เหลี่ยม แม้ว่าในอดีตอันไกลโพ้นนักคณิตศาสตร์ยังถือว่าเมทริกซ์เป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย หากจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากันจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในกรณีนี้ M=N มีชื่อของลำดับเมทริกซ์อยู่แล้ว เมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเรียกว่าแถว เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเรียกว่าเมทริกซ์เรียงเป็นแนว เมทริกซ์แนวทแยงคือเมทริกซ์จตุรัสซึ่งมีเฉพาะองค์ประกอบที่อยู่ตามแนวทแยงเท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ หากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง เมทริกซ์จะเรียกว่าเอกลักษณ์ หากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ก็จะเรียกว่าศูนย์

หากคุณสลับแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์ แถวและคอลัมน์นั้นจะถูกย้าย หากองค์ประกอบทั้งหมดถูกแทนที่ด้วยคอนจูเกตที่ซับซ้อน มันก็จะกลายเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ประเภทอื่นๆ ที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่กำหนดให้กับองค์ประกอบเมทริกซ์ แต่เงื่อนไขเหล่านี้ส่วนใหญ่ใช้กับเงื่อนไขกำลังสองเท่านั้น

วิดีโอในหัวข้อ