มาดูกันว่าจริงไหม สมการคลื่นอธิบาย คุณสมบัติพื้นฐาน คลื่นเสียงในสิ่งแวดล้อม ก่อนอื่น เราต้องการอนุมานว่า การสั่นสะเทือนของโซนิคหรือการก่อกวน, เคลื่อนไปด้วย ความเร็วคงที่. นอกจากนี้ เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าการสั่นสะเทือนที่แตกต่างกันสองแบบสามารถส่งผ่านถึงกันได้อย่างอิสระ กล่าวคือ หลักการของการซ้อนทับ เราต้องการพิสูจน์ด้วยว่าเสียงสามารถแพร่กระจายได้ทั้งทางขวาและทางซ้าย คุณสมบัติทั้งหมดนี้ต้องอยู่ในสมการเดียวของเรา

ก่อนหน้านี้ เราสังเกตว่าการก่อกวนใดๆ ที่มีรูปแบบของระนาบคลื่นและเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่สามารถเขียนได้เป็น ฉ(x—vt). ทีนี้มาดูกันว่า ฉ(x— โวลต์ที) คำตอบของสมการคลื่น คอมพิวเตอร์ ดู/dx,เราได้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ง χ / งx= ฉ`(x—vt). เราพบความแตกต่างอีกครั้ง

ความแตกต่างของฟังก์ชั่นเดียวกัน χ บน ที, รับค่า - โวลต์, คูณด้วยอนุพันธ์หรือ ง χ / งที = —โวลต์ฉ`(x — vt); อนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวกับเวลาให้

เห็นได้ชัดว่าฉ (X — vt) เป็นไปตามสมการคลื่นถ้า โวลต์ เท่ากับ คส.
ดังนั้น จากกฎของกลศาสตร์ เราพบว่าการรบกวนทางเสียงใด ๆ แพร่กระจายด้วยความเร็ว คส และนอกจากนี้,

ด้วยประการฉะนี้ เราได้เชื่อมโยงความเร็วของคลื่นเสียงกับคุณสมบัติสิ่งแวดล้อม.

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคลื่นเสียงสามารถแพร่กระจายไปในทิศทางที่เป็นลบได้เช่นกัน เอ็กซ์,นั่นคือเสียงรบกวนของแบบฟอร์ม χ(x, t)=g(x+vt) ก็เป็นไปตามสมการคลื่นเช่นกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างคลื่นนี้กับคลื่นที่แพร่กระจายจากซ้ายไปขวาคือสัญลักษณ์ โวลต์แต่ลงชื่อ ง 2 χ / งt2ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือก x+vtหรือ เอ็กซ์—โวลต์เสื้อเนื่องจากอนุพันธ์นี้มีเฉพาะ โวลต์ 2 .ดังนั้นคำตอบของสมการจะอธิบายถึงคลื่นที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางใดๆ ด้วยความเร็ว คส .


สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือคำถามเกี่ยวกับการซ้อนทับของโซลูชัน สมมติว่าเราพบวิธีแก้ปัญหาหนึ่งข้อ สมมุติว่า χ 1 . ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์อันดับสอง χ 1 . บน เอ็กซ์เท่ากับอนุพันธ์อันดับสอง χ 1 บน เสื้อคูณด้วย 1/c 2 วินาที . และปล่อยให้มีทางออกที่สอง χ 2 มีคุณสมบัติเหมือนกัน เมื่อเพิ่มโซลูชันทั้งสองนี้เข้าไป เราจะได้รับ

ตอนนี้เราต้องการให้แน่ใจว่า χ(x,เสื้อ)ยังแสดงถึงคลื่นบางอย่างเช่น χ เป็นไปตามสมการคลื่นด้วย นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะพิสูจน์เนื่องจาก

มันจึงเป็นไปตามนั้น ง 2 χ/งx 2 = (1/ค 2 วินาที)d2χ ลงt2,จึงมีการตรวจสอบความถูกต้องของหลักการซ้อนทับ การมีอยู่ของหลักการซ้อนทับนั้นเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการคลื่น เชิงเส้นบน χ .


ตอนนี้มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะคาดหวังให้แฟลต คลื่นแสงแพร่กระจายไปตามแกน เอ็กซ์และโพลาไรซ์เพื่อให้สนามไฟฟ้าพุ่งไปตามแกน ที่, เป็นไปตามสมการคลื่นด้วย

ที่ไหน กับคือความเร็วแสง สมการคลื่นสำหรับคลื่นแสงเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ของสมการของแมกซ์เวลล์ สมการของอิเล็กโทรไดนามิกส์นำไปสู่สมการคลื่นสำหรับแสง เช่นเดียวกับสมการของกลศาสตร์นำไปสู่สมการคลื่นสำหรับเสียง

คลื่น สมการคลื่น

นอกเหนือจากการเคลื่อนที่ที่เราได้พิจารณาแล้ว ในเกือบทุกด้านของฟิสิกส์ยังมีการเคลื่อนไหวอีกประเภทหนึ่ง - คลื่น. คุณสมบัติที่โดดเด่นการเคลื่อนไหวนี้ทำให้มีลักษณะเฉพาะคือไม่ใช่อนุภาคของสสารที่แพร่กระจายในคลื่น แต่เปลี่ยนสถานะ (ก่อกวน)

การรบกวนที่แพร่กระจายในอวกาศเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่า คลื่น . คลื่นเป็นเครื่องกลและแม่เหล็กไฟฟ้า

คลื่นยืดหยุ่นกำลังแพร่กระจายการก่อกวนของตัวกลางยืดหยุ่น

การรบกวนตัวกลางยืดหยุ่นคือการเบี่ยงเบนใดๆ ของอนุภาคของตัวกลางนี้จากตำแหน่งสมดุล การก่อกวนเกิดขึ้นเนื่องจากการเสียรูปของตัวกลางในสถานที่ใดๆ

ชุดของจุดทั้งหมดที่คลื่นเข้ามา ช่วงเวลานี้เวลา ก่อตัวเป็นพื้นผิวที่เรียกว่า หน้าคลื่น .

ตามรูปร่างของด้านหน้า คลื่นจะแบ่งออกเป็นทรงกลมและระนาบ ทิศทาง กำหนดการแพร่กระจายของหน้าคลื่นตั้งฉากกับหน้าคลื่น ก็เรียก ลำแสง . สำหรับคลื่นทรงกลม รังสีเป็นลำแสงที่แตกต่างกันในแนวรัศมี สำหรับคลื่นระนาบ รังสีคือลำแสงของเส้นขนาน

ในคลื่นเชิงกลใด ๆ จะมีการเคลื่อนไหวสองประเภทพร้อม ๆ กัน: การสั่นของอนุภาคของตัวกลางและการแพร่กระจายของสิ่งรบกวน

คลื่นที่การสั่นของอนุภาคของตัวกลางและการแพร่กระจายของการรบกวนเกิดขึ้นในทิศทางเดียวกันเรียกว่า ตามยาว (รูปที่ 7.2 ก).

คลื่นที่อนุภาคของตัวกลางแกว่งตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของสิ่งรบกวนเรียกว่า ขวาง (รูปที่ 7.2 ข)

ในคลื่นตามยาว การรบกวนแสดงถึงการบีบอัด (หรือการทำให้บริสุทธิ์) ของตัวกลาง และในคลื่นตามขวาง สิ่งเหล่านี้เป็นการกระจัด (เฉือน) ของบางชั้นของตัวกลางที่สัมพันธ์กับชั้นอื่นๆ คลื่นตามยาวสามารถแพร่กระจายได้ในทุกสื่อ (ในของเหลว ของแข็ง และก๊าซ) ในขณะที่คลื่นตามขวางสามารถแพร่กระจายได้เฉพาะในของแข็งเท่านั้น

แต่ละคลื่นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว . ภายใต้ ความเร็วของคลื่น υ เข้าใจความเร็วการแพร่กระจายของสิ่งรบกวนความเร็วของคลื่นถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของตัวกลางที่คลื่นนี้แพร่กระจาย ในของแข็ง ความเร็วของคลื่นตามยาวจะมากกว่าความเร็วของคลื่นตามขวาง

ความยาวคลื่นλ คือระยะทางที่คลื่นเคลื่อนที่ไปในระยะเวลาเท่ากับคาบการแกว่งในแหล่งกำเนิดคลื่น. เนื่องจากความเร็วของคลื่นเป็นค่าคงที่ (สำหรับตัวกลางที่กำหนด) ระยะทางที่คลื่นเดินทางได้จึงเท่ากับผลคูณของความเร็วและเวลาของการแพร่กระจายคลื่น ดังนั้นความยาวคลื่น

เป็นไปตามสมการ (7.1) ที่อนุภาคแยกออกจากกันด้วยช่วง λ แกว่งในเฟสเดียวกัน จากนั้นเราสามารถให้คำจำกัดความของความยาวคลื่นได้ดังต่อไปนี้ ความยาวคลื่นคือระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดสองจุดที่แกว่งไปมาในเฟสเดียวกัน

ให้เราหาสมการของคลื่นในระนาบ ซึ่งช่วยให้เราสามารถระบุการกระจัดของจุดใดๆ ของคลื่นได้ตลอดเวลา ให้คลื่นเคลื่อนที่ไปตามลำแสงจากแหล่งกำเนิดด้วยความเร็วจำนวนหนึ่ง v.

ที่มาตื่นเต้นง่ายๆ การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก, และการกระจัดของจุดใดๆ ของคลื่น ณ ช่วงเวลาใดๆ จะถูกกำหนดโดยสมการ

S = Asinωt (7. 2)

จากนั้นจุดของตัวกลางซึ่งอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดคลื่น x จะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกเช่นกัน แต่มีการหน่วงเวลาเท่ากับ เช่น เวลาที่การสั่นสะเทือนใช้ในการแพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดไปยังจุดนั้น การกระจัดของจุดสั่นเทียบกับตำแหน่งสมดุล ณ ช่วงเวลาใดๆ จะถูกอธิบายโดยความสัมพันธ์

(7. 3)

นี่คือสมการคลื่นระนาบ คลื่นนี้มีลักษณะเฉพาะ พารามิเตอร์ต่อไปนี้:

· S - การกระจัดจากตำแหน่งของจุดสมดุลของตัวกลางยืดหยุ่นซึ่งถึงการสั่นแล้ว

· ω - ความถี่วงจรของการสั่นที่สร้างขึ้นโดยแหล่งกำเนิดซึ่งจุดของตัวกลางก็แกว่งไปด้วย

· υ - ความเร็วการแพร่กระจายคลื่น (ความเร็วเฟส);

x – ระยะทางไปยังจุดนั้นของตัวกลางที่มีการแกว่งไปมาและการกระจัดเท่ากับ S

· t – เวลาที่นับจากจุดเริ่มต้นของการสั่น

การแนะนำความยาวคลื่น λ ในนิพจน์ (7. 3) สามารถเขียนสมการคลื่นระนาบได้ดังนี้

(7. 4)

ที่ไหน เรียกว่าเลขคลื่น (จำนวนคลื่นต่อหน่วยความยาว).

สมการคลื่น

สมการคลื่นระนาบ (7.5) เป็นหนึ่งใน การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปกับอนุพันธ์ย่อย ซึ่งอธิบายกระบวนการแพร่กระจายการก่อกวนในตัวกลาง สมการดังกล่าวเรียกว่า คลื่น . สมการ (7.5) รวมตัวแปร t และ x เช่น การกระจัดเปลี่ยนแปลงเป็นระยะทั้งในเวลาและในอวกาศ S = f(x, t) สามารถรับสมการคลื่นได้โดยการหาอนุพันธ์ (7.5) สองครั้งด้วยความเคารพต่อ t:

และ x สองเท่า

แทนที่สมการแรกลงในสมการที่สอง เราได้สมการของระนาบคลื่นเคลื่อนที่ไปตามแกน X:

(7. 6)

เรียกว่าสมการ (7.6) คลื่นและสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อการกระจัดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสี่ตัว จะมีรูปแบบ

(7.7)

ซึ่งตัวดำเนินการ Laplace อยู่ที่ไหน

§ 7.3 พลังงานคลื่น เวกเตอร์ Umov.

เมื่อแพร่กระจายในตัวกลางระนาบคลื่น

(7.8)

การถ่ายโอนพลังงานเกิดขึ้น ให้เราแยกระดับเสียงพื้นฐาน ∆V ออกมาทางจิตใจ ซึ่งมีขนาดเล็กมากจนสามารถพิจารณาความเร็วของการเคลื่อนที่และการเสียรูปในทุกจุดได้เหมือนกันและเท่ากันตามลำดับ

ปริมาตรที่จัดสรรมีพลังงานจลน์

(7.10)

m=ρ∆V คือมวลของสสารในปริมาตร ∆V, ρ คือความหนาแน่นของตัวกลาง]

(7.11)

แทนค่า (7.10) ค่า เราจะได้

(7.12)

ค่าสูงสุดของพลังงานจลน์ตกลงบนจุดต่างๆ ของตัวกลางที่ผ่านตำแหน่งสมดุลในช่วงเวลาที่กำหนด (S = 0) ในช่วงเวลาเหล่านี้ การเคลื่อนที่แบบสั่นของจุดต่างๆ ของตัวกลางจะมีความเร็วสูงสุด .

ปริมาตรที่พิจารณา ∆V ยังมีพลังงานศักย์ของการเสียรูปแบบยืดหยุ่น

[E - โมดูลัสของ Young; - การยืดตัวหรือการบีบอัดสัมพัทธ์].

โดยพิจารณาจากสูตร (7.8) และนิพจน์ของอนุพันธ์ เราพบว่า พลังงานศักย์เท่ากับ

(7.13)

การวิเคราะห์นิพจน์ (7.12) และ (7.13) แสดงให้เห็นว่าจุดสูงสุดของศักยภาพและ พลังงานจลน์จับคู่. ควรสังเกตว่านี่คือ คุณลักษณะเฉพาะคลื่นวิ่ง เพื่อกำหนด พลังงานเต็มเปี่ยมปริมาตร ∆V คุณต้องหาผลรวมของพลังงานศักย์และพลังงานจลน์:

หารพลังงานนี้ด้วยปริมาตรที่มีอยู่ เราจะได้ความหนาแน่นของพลังงาน:

(7.15)

จากนิพจน์ (7.15) ที่ว่าความหนาแน่นของพลังงานเป็นฟังก์ชันของพิกัด x นั่นคือใน จุดต่างๆเธอมีที่ว่าง ความหมายต่างๆ. มูลค่าสูงสุดความหนาแน่นของพลังงานถึงจุดเหล่านั้นในอวกาศซึ่งการกระจัดเป็นศูนย์ (S = 0) ความหนาแน่นเฉลี่ยพลังงานที่แต่ละจุดของตัวกลางคือ

(7.16)

เพราะค่าเฉลี่ย

ดังนั้นตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจายจึงมีพลังงานเพิ่มเติมซึ่งส่งจากแหล่งกำเนิดของการแกว่งไปยัง พื้นที่ต่างๆสิ่งแวดล้อม.

การถ่ายโอนพลังงานในคลื่นมีลักษณะเชิงปริมาณโดยเวกเตอร์ความหนาแน่นฟลักซ์พลังงาน เวกเตอร์นี้มีไว้สำหรับ คลื่นยืดหยุ่นเรียกว่าเวกเตอร์ Umov (หลังจากนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย N. A. Umov) ทิศทางของเวกเตอร์ Umov นั้นสอดคล้องกับทิศทางของการถ่ายโอนพลังงาน และโมดูลัสของมันมีค่าเท่ากับพลังงานที่ถ่ายโอนโดยคลื่นต่อหน่วยเวลาผ่านพื้นที่หน่วยที่ตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น

กลไกการเกิดคลื่นกลในตัวกลางยืดหยุ่น

คลื่นเชิงกล

1. กลไกการเกิดคลื่นกลในตัวกลางยืดหยุ่น คลื่นตามยาวและตามขวาง สมการคลื่นและคำตอบ คลื่นฮาร์มอนิกและลักษณะเฉพาะของคลื่น

2. ความเร็วเฟสและการกระจายตัวของคลื่น คลื่นแพ็คเก็ตและความเร็วของกลุ่ม

3. แนวคิดของการเชื่อมโยงกัน การรบกวนของคลื่น คลื่นนิ่ง

4. Doppler effect สำหรับคลื่นเสียง

หากการสั่นของอนุภาคของตัวกลางยืดหยุ่น (ของแข็ง ของเหลว หรือก๊าซ) ในสถานที่ใด ๆ นั้นถูกกระตุ้น เนื่องจากการทำงานร่วมกันระหว่างอนุภาค การสั่นนี้จะแพร่กระจายในตัวกลางจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่งด้วยความเร็วที่แน่นอน กระบวนการแพร่กระจายของการสั่นในอวกาศเรียกว่าคลื่น สถานที่ทางเรขาคณิตชี้ไปที่การสั่นตามเวลา t เรียกว่าหน้าคลื่น (หน้าคลื่น)คลื่นอาจเป็นทรงกลม แบน เป็นต้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของด้านหน้า

คลื่นเรียกว่าตามยาวถ้าทิศทางการกระจัดของอนุภาคของตัวกลางตรงกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น

คลื่นตามยาวแพร่กระจายในตัวกลางที่เป็นของแข็ง ของเหลว และก๊าซ

คลื่นเรียกว่าขวางถ้าการกระจัดของอนุภาคของตัวกลางตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น ขวาง คลื่นกลใช้เฉพาะกับ ของแข็ง(ในตัวกลางที่มีความต้านทานแรงเฉือน คลื่นดังกล่าวจึงไม่สามารถแพร่กระจายในของเหลวและก๊าซได้)

สมการเพื่อหาการกระจัด(x, t) ของจุดใดๆ ของตัวกลางที่มีพิกัด x ณ เวลาใดๆ t เรียกว่าสมการคลื่น

ตัวอย่างเช่น สมการคลื่นระนาบ เช่น คลื่นที่แพร่กระจายในทิศทางเดียว เช่น ในทิศทางของแกน x มีรูปแบบ

ให้เราแนะนำค่า ซึ่งเรียกว่าหมายเลขคลื่น

หากคุณคูณจำนวนคลื่นด้วย เวกเตอร์หน่วยทิศทางการแพร่กระจายคลื่น จะได้เวกเตอร์ที่เรียกว่า เวกเตอร์คลื่น

การใช้ตัวดำเนินการ Laplace (ภาษาลาปลาเชียน) สมการนี้สามารถเขียนให้กระชับกว่านี้ได้

(คำตอบของสมการนี้คือสมการคลื่น (28-1), (28-2))

คำจำกัดความ 1

ในกรณีที่คลื่นเคลื่อนที่ในตัวกลางที่เป็นเนื้อเดียวกัน การเคลื่อนที่เข้า กรณีทั่วไปอธิบาย สมการคลื่น (สมการเชิงอนุพันธ์ในอนุพันธ์บางส่วน):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial z^2)\ ขวา)\left(1\right)\]

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

โดยที่ $v$ คือความเร็วเฟสของคลื่น $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2) +\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ คือโอเปอเรเตอร์ Laplace สมการ (1.2) แก้ได้โดยสมการของคลื่นใดๆ เช่น สมการเหล่านี้ใช้ได้ทั้งระนาบและคลื่นทรงกลม

ถ้าระนาบคลื่นแพร่กระจายไปตามแกน $X$ สมการ (1) จะแสดงเป็น:

หมายเหตุ 1

ถ้า ปริมาณทางกายภาพแพร่กระจายเหมือนคลื่น ดังนั้นมันจึงจำเป็นต้องเป็นไปตามสมการของคลื่น ข้อความตรงกันข้ามเป็นจริง: ถ้าปริมาณใดๆ เป็นไปตามสมการคลื่น มันจะแพร่กระจายเหมือนคลื่น ความเร็วการแพร่กระจายคลื่นจะเท่ากับ รากที่สองจากค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นผลรวมของอนุพันธ์เชิงพื้นที่ (ในสัญกรณ์ประเภทนี้)

สมการคลื่นมีบทบาทสำคัญมากในวิชาฟิสิกส์

คำตอบของสมการคลื่นสำหรับระนาบคลื่น

มาจดกันเถอะ การตัดสินใจร่วมกันสมการ (2) สำหรับคลื่นแสงที่แพร่กระจายในสุญญากาศ ถ้า s ฟังก์ชันสเกลาร์ขึ้นอยู่กับตัวแปรคาร์ทีเซียนตัวใดตัวหนึ่งเท่านั้น เช่น $z$ เช่น $s=s(z,t)$ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน $s$ มีค่าคงที่ที่จุดของระนาบที่ตั้งฉากกับ แกน $Z$ สมการคลื่น (1) ในกรณีนี้จะอยู่ในรูปแบบ:

โดยที่ความเร็วของแสงในสุญญากาศเท่ากับ $c$

คำตอบทั่วไปของสมการ (4) ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดจะเป็นนิพจน์:

โดยที่ $s_1\left(z+ct\right)$ คือฟังก์ชันที่อธิบายคลื่น รูปแบบอิสระซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $c$ ในทิศทางลบตามทิศทางของแกน Z$ $s_2\left(z-ct\right)$ เป็นฟังก์ชันที่อธิบายคลื่นตามอำเภอใจ ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $ c$ ในทิศทางบวกตามทิศทางของแกน $Z ควรสังเกตว่าในระหว่างการเคลื่อนไหว ค่าของ $s_1$ และ $s_2$ ที่จุดใดๆ ของคลื่นและรูปร่างของคลื่นจะไม่เปลี่ยนแปลง

ปรากฎว่าคลื่นซึ่งอธิบายโดยการซ้อนทับของสองคลื่น (ตามสูตร (5)) นอกจากนี้ คลื่นส่วนประกอบเหล่านี้จะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ในกรณีนี้ไม่สามารถพูดถึงความเร็วหรือทิศทางของคลื่นได้อีกต่อไป ในมาก กรณีที่เรียบง่ายปรากฎว่า คลื่นนิ่ง. ในกรณีทั่วไป จำเป็นต้องพิจารณาสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่ซับซ้อน

สมการคลื่นและระบบสมการของแมกซ์เวลล์

สมการคลื่นสำหรับความผันผวนของเวกเตอร์ความเข้ม สนามไฟฟ้าและเวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก สนามแม่เหล็กหาได้ง่ายจากระบบสมการของ Maxwell ใน รูปแบบความแตกต่าง. ให้เราเขียนระบบสมการแมกซ์เวลล์สำหรับสารที่ไม่มี ค่าใช้จ่ายฟรีและกระแสการนำไฟฟ้า:

ลองใช้การดำเนินการ $rot$ กับสมการ (7):

ในนิพจน์ (10) คุณสามารถเปลี่ยนลำดับความแตกต่างทางด้านขวาของนิพจน์ได้ เนื่องจากพิกัดเชิงพื้นที่และเวลาเป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้นเราจึงมี:

ให้เราคำนึงถึงสมการนั้น (6) แทนที่ $rot\overrightarrow(B)$ ในนิพจน์ (11) ด้วย ด้านขวาสูตร (6) เรามี:

เมื่อรู้ว่า $rotrot\overrightarrow(E)=gradiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$ และใช้ $div\overrightarrow(E)=0$ เราจะได้รับ:

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถรับสมการคลื่นสำหรับ เวกเตอร์การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก. ดูเหมือนว่า:

ในนิพจน์ (13) และ (14) ความเร็วเฟสของการแพร่กระจายคลื่น $(v)$ เท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 1

งาน:รับคำตอบทั่วไปของสมการคลื่น $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2 )=0(1.1)$ ของคลื่นแสงระนาบหนึ่ง

การตัดสินใจ:

มาแนะนำตัวแปรประเภทอิสระสำหรับฟังก์ชัน $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1.2\right).\]

ในกรณีนี้ อนุพันธ์บางส่วน $\frac(\partial s)(\partial z)$ เท่ากับ:

\[\frac(\partial s)(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial z)+\frac(\partial s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \ขวา).\]

อนุพันธ์บางส่วน $\frac(\partial s)(\partial t)$ คือ:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ ถึง \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \left(1.4\right).\]

ลบเทอมด้วยนิพจน์เทอม (1.4) จากนิพจน์ (1.3) เรามี:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \left(1.5\right).\]

การเติมนิพจน์ตามคำศัพท์ (1.4) และ (1.3) ให้:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \left(1.6\right).\]

ให้เราหาผลคูณของส่วนด้านซ้ายของนิพจน์ (1.5) และ (1.6) และพิจารณาผลลัพธ์ที่เขียนในส่วนด้านขวาของนิพจน์เหล่านี้:

\[\left(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)\left(\frac(\partial s )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\left(1.7\right).\]

ถ้าเรารวมนิพจน์ (1.7) เข้ากับ $\xi $ แล้วเราจะได้ฟังก์ชันที่ไม่ขึ้นกับตัวแปรนี้และขึ้นอยู่กับ $\eta $ เท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันคือ ฟังก์ชั่นโดยพลการ$\Psi(\eta)$. ในกรณีนี้ สมการ (1.7) จะอยู่ในรูปแบบ:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

ให้เรารวม (1.8) กับ $\eta $ ที่เรามี:

โดยที่ $s_1\left(3\right)$ คือแอนติเดริเวทีฟ $s_2\left(\xi \right)$ คือค่าคงตัวของการรวม ยิ่งกว่านั้น ฟังก์ชัน $s_1$ และ $s_2$ เป็นแบบตามอำเภอใจ เมื่อพิจารณานิพจน์ (1.2) แล้ว คำตอบทั่วไปของสมการ (1.1) สามารถเขียนเป็น:

ตอบ:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

ตัวอย่างที่ 2

งาน:กำหนดจากสมการคลื่นความเร็วเฟสของการแพร่กระจายของคลื่นแสงในระนาบคือเท่าใด

การตัดสินใจ:

การเปรียบเทียบสมการคลื่น ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์สนามที่ได้จากสมการของ Maxwell:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) =0(2.1)\]

ด้วยสมการคลื่น:

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

ทำให้เราสามารถสรุปได้ว่าความเร็วการแพร่กระจายคลื่น $(v)$ เท่ากับ:

แต่ที่นี่จำเป็นต้องทราบว่าแนวคิดของความเร็วของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีความหมายเฉพาะกับคลื่นที่มีการกำหนดค่าอย่างง่ายเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ประเภทของคลื่นระนาบเหมาะสำหรับคลื่นดังกล่าว ดังนั้น $v$ จะไม่ใช่ความเร็วของการแพร่กระจายคลื่นในกรณีของผลเฉลยอนุพันธ์ของสมการคลื่น ซึ่งรวมถึง เช่น คลื่นนิ่ง

ตอบ:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

หนึ่งในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่พบบ่อยที่สุดในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรมคือสมการคลื่นที่อธิบาย ชนิดต่างๆความผันผวน เนื่องจากการสั่นเป็นกระบวนการที่ไม่คงที่ หนึ่งในตัวแปรอิสระคือเวลา ที. นอกจากนี้ตัวแปรอิสระในสมการยังเป็นพิกัดเชิงพื้นที่อีกด้วย x, y,ซี. ขึ้นอยู่กับจำนวนของพวกเขา สมการคลื่นหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติจะแตกต่างกัน

สมการคลื่นหนึ่งมิติ- สมการที่อธิบายถึงการสั่นตามยาวของแท่งไม้ ซึ่งส่วนต่างๆ การเคลื่อนไหวสั่นเช่นเดียวกับการสั่นสะเทือนตามขวางของแท่งบาง (สตริง) และงานอื่นๆ สมการคลื่น 2 มิติใช้ศึกษาการสั่น แผ่นบาง(พังผืด). สมการคลื่น 3 มิติอธิบายการแพร่กระจายของคลื่นในอวกาศ (เช่น คลื่นเสียงในของเหลว คลื่นยืดหยุ่นในตัวกลางต่อเนื่อง เป็นต้น)

พิจารณาสมการคลื่นหนึ่งมิติ ซึ่งสามารถเขียนเป็น

สำหรับการสั่นตามขวางของสตริง ฟังก์ชันที่ต้องการ ยู(x, ที) อธิบายตำแหน่งของสตริงในขณะนี้ ที. ในกรณีนี้ ก 2 = ที/r,ที่ไหน ที -ความตึงของสาย, ρ - ความหนาแน่นเชิงเส้น (เชิงเส้น) ความผันผวนจะถือว่าน้อย เช่น แอมพลิจูดมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของสตริง นอกจากนี้ยังเขียนสมการ (2.63) สำหรับกรณี การสั่นสะเทือนฟรี. เมื่อไร การสั่นสะเทือนบังคับมีการเพิ่มฟังก์ชันบางอย่างทางด้านขวาของสมการ ฉ(x, ที), ลักษณะ อิทธิพลภายนอกในขณะที่ความต้านทานของตัวกลาง กระบวนการสั่นไม่นำมาพิจารณา

งานที่ง่ายที่สุดสำหรับสมการ (2.63) คือปัญหา Cauchy: ใน ช่วงเวลาเริ่มต้นเวลา มีการตั้งค่าสองเงื่อนไข (จำนวนเงื่อนไขเท่ากับลำดับของอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับ ที):

เงื่อนไขเหล่านี้อธิบาย แบบฟอร์มเริ่มต้นสตริงและความเร็วของจุด

ในทางปฏิบัติ จำเป็นมากกว่าที่จะแก้ปัญหา Cauchy สำหรับสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่เป็นปัญหาแบบผสมสำหรับสตริงที่มีขอบเขตที่มีความยาวบางส่วน ล. ในกรณีนี้ เงื่อนไขขอบเขตถูกกำหนดไว้ที่ส่วนท้าย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อปลายคงที่ การกระจัดจะเท่ากับศูนย์ และเงื่อนไขขอบเขตจะมีรูปแบบ

ให้เราพิจารณารูปแบบความแตกต่างสำหรับการแก้ปัญหา (2.63)-(2.65) วิธีที่ง่ายที่สุดคือรูปแบบข้ามสามชั้นที่ชัดเจน (เทมเพลตแสดงในรูปที่ 2.21) ให้เราแทนที่สมการ (2.63) อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่ต้องการ ยูบน ทีและ เอ็กซ์ความสัมพันธ์ผลต่างจำกัดโดยใช้ค่าของฟังก์ชันกริดที่โหนดกริด:

ข้าว. 2.21. รูปแบบสคีมาที่ชัดเจน

จากที่นี่ เราสามารถค้นหานิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับค่าของฟังก์ชันกริดได้ที่ ( เจ + 1) ชั้นที่:

ที่นี่ตามปกติในโครงร่างสามชั้นเพื่อกำหนด ค่าที่ไม่รู้จักบน ( เจ + ชั้นที่ 1) จำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหา เจ-om และ ( เจ- ชั้นที่ 1) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะเริ่มนับโดยใช้สูตร (2.66) สำหรับชั้นที่สองเท่านั้น และต้องทราบวิธีแก้ปัญหาในชั้นศูนย์และชั้นแรก พบได้โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (2.64) ที่ชั้นศูนย์เรามี

ในการหาวิธีแก้ปัญหาในชั้นแรก เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่สอง (2.64) เราแทนที่อนุพันธ์ด้วยการประมาณผลต่างจำกัด ในกรณีที่ง่ายที่สุด เราถือว่า

(2.68)

จากความสัมพันธ์นี้ เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันกริดได้ในชั้นเวลาแรก:

โปรดทราบว่าการประมาณ สภาพเริ่มต้นในรูปแบบ (2.68) ทำให้ค่าประมาณของต้นฉบับแย่ลง ปัญหาความแตกต่าง: ข้อผิดพลาดในการประมาณกลายเป็นลำดับของ เช่น ออเดอร์แรกเข้า τ, แม้ว่าโครงร่าง (2.66) เองจะมีลำดับที่สองของการประมาณใน ชม.และ τ. สถานการณ์สามารถแก้ไขได้หากแทน (2.69) เราเป็นตัวแทนที่ถูกต้องกว่า:

(2.70)

แทนที่จะใช้. และนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองสามารถพบได้โดยใช้สมการเดิม (2.63) และเงื่อนไขเริ่มต้นแรก (2.64) รับ

จากนั้น (2.70) ใช้แบบฟอร์ม:

รูปแบบความแตกต่าง (2.66) โดยคำนึงถึง (2.71) มีข้อผิดพลาดโดยประมาณของคำสั่งซื้อ

เมื่อแก้ปัญหาผสมกับเงื่อนไขขอบเขตของแบบฟอร์ม (2.65) เช่น เมื่อค่าของฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้ที่ส่วนท้ายของส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ลำดับที่สองของการประมาณจะถูกรักษาไว้ ในกรณีนี้ เพื่อความสะดวก โหนดสุดขีดของกริดจะอยู่ที่จุดขอบเขต ( x0=0, xI = ล). อย่างไรก็ตาม สามารถระบุเงื่อนไขขอบเขตสำหรับอนุพันธ์ได้เช่นกัน

ตัวอย่างเช่นในกรณีที่ฟรี การสั่นสะเทือนตามยาวคันที่ปลายหลวม สภาพ

หากเงื่อนไขนี้เขียนในรูปแบบที่แตกต่างกับลำดับที่หนึ่งของการประมาณ ดังนั้นข้อผิดพลาดในการประมาณของแบบแผนจะกลายเป็นลำดับของ ดังนั้นเพื่อรักษาลำดับที่สองของโครงการนี้ในแง่ของ ชม.จำเป็นต้องประมาณเงื่อนไขขอบเขต (2.72) ด้วยคำสั่งที่สอง

รูปแบบความแตกต่างที่พิจารณา (2.66) สำหรับการแก้ปัญหา (2.63) - (2.65) มีเสถียรภาพตามเงื่อนไข จำเป็นและ เงื่อนไขเพียงพอความยั่งยืน:

ดังนั้นภายใต้เงื่อนไขนี้และคำนึงถึงการประมาณ แบบแผน (2.66) จะบรรจบกับ ปัญหาเดิมด้วยความเร็ว อ(ชม.2 + τ 2 ). รูปแบบนี้มักใช้ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ ให้ความแม่นยำในการแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ ยู(x, ที), ซึ่งมีอนุพันธ์อันดับสี่ต่อเนื่องกัน

ข้าว. 2.22. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการคลื่น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา (2.63)-(2.65) ด้วยความช่วยเหลือของโครงร่างความแตกต่างที่ชัดเจนนี้แสดงในรูปที่ 2.22. นำเสนอที่นี่ ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดเมื่อค่าทั้งหมดของฟังก์ชันกริดซึ่งสร้างอาร์เรย์สองมิติถูกเก็บไว้ในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ระหว่างการคำนวณ และหลังจากแก้ปัญหาแล้ว ผลลัพธ์จะปรากฏขึ้น เป็นไปได้ที่จะจัดเก็บโซลูชันไว้เพียงสามชั้นซึ่งจะช่วยประหยัดหน่วยความจำ ผลลัพธ์ในกรณีนี้สามารถแสดงได้ในระหว่างขั้นตอนการคำนวณ (ดูรูปที่ 2.13)

มีรูปแบบความแตกต่างอื่น ๆ สำหรับการแก้สมการคลื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะใช้โครงร่างโดยนัยเพื่อกำจัดข้อจำกัดเกี่ยวกับขนาดขั้นตอนที่กำหนดโดยเงื่อนไข (2.73) รูปแบบเหล่านี้มักจะมีความเสถียรอย่างแน่นอน แต่อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาและโปรแกรมคอมพิวเตอร์มีความซับซ้อนมากขึ้น

ให้เราสร้างโครงร่างโดยนัยที่ง่ายที่สุด อนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวกับ ทีในสมการ (2.63) เราประมาณตามรูปแบบสามจุดโดยใช้ค่าของฟังก์ชันกริดบนเลเยอร์ เจ- 1, เจ, เจ + 1. อนุพันธ์ของ เอ็กซ์เราแทนที่ผลรวมครึ่งหนึ่งของการประมาณเป็น ( เจ + 1)-โอห์ม และ ( เจ- 1)ชั้นที่ (รูปที่ 2.23):

ข้าว. 2.23. รูปแบบสคีมาโดยนัย

จากความสัมพันธ์นี้ เราสามารถรับระบบสมการสำหรับค่าที่ไม่รู้จักของฟังก์ชันกริดบน ( เจ+ 1) ชั้นที่:

รูปแบบโดยปริยายที่ได้นั้นมีความเสถียรและมาบรรจบกันที่อัตรา ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่ง (2.74) สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีกวาด ระบบนี้ควรเสริมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตที่แตกต่างกัน ดังนั้นสามารถใช้นิพจน์ (2.67), (2.69) หรือ (2.71) เพื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันกริดในชั้นศูนย์และชั้นเวลาแรก

สำหรับตัวแปรเชิงพื้นที่อิสระสองหรือสามตัว สมการคลื่นจะอยู่ในรูปแบบ

นอกจากนี้ยังสามารถสร้างโครงร่างความแตกต่างได้โดยการเปรียบเทียบกับสมการคลื่นหนึ่งมิติ ข้อแตกต่างคือจำเป็นต้องประมาณอนุพันธ์โดยคำนึงถึงตัวแปรเชิงพื้นที่สองหรือสามตัว ซึ่งทำให้อัลกอริทึมซับซ้อนโดยธรรมชาติและต้องการหน่วยความจำและเวลาในการคำนวณมากขึ้น ปัญหาสองมิติจะได้รับการพิจารณาโดยละเอียดด้านล่างสำหรับสมการความร้อน