สมการทั่วไปของพลศาสตร์ พลวัตเชิงวิเคราะห์

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สำหรับระบบที่มีการเชื่อมต่อใดๆ (หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์ที่รวมกันหรือ สมการทั่วไปของกลศาสตร์):

โดยที่แรงแอคทีฟที่ใช้กับจุดที่ th ของระบบคือที่ไหน – ความแข็งแรงของปฏิกิริยาของพันธะ – แรงเฉื่อยจุด – การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

ในกรณีของความสมดุลของระบบ เมื่อแรงเฉื่อยทั้งหมดของจุดของระบบหายไป มันจะเปลี่ยนเป็นหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ โดยปกติจะใช้สำหรับระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข

ในกรณีนี้ (229) มีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง:

. (230)

ดังนั้น, ตามสมการทั่วไปของไดนามิก ณ เวลาใดๆ ของการเคลื่อนที่ของระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงแอคทีฟทั้งหมดและแรงเฉื่อยของจุดต่างๆ ของระบบจะเท่ากับศูนย์ในการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบที่อนุญาต โดยการเชื่อมต่อ.

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สามารถให้รูปแบบอื่นที่เทียบเท่าได้ การขยายผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ก็สามารถแสดงเป็น

พิกัดของจุดที่ระบบอยู่ที่ไหน เมื่อพิจารณาว่าการฉายแรงเฉื่อยบนแกนพิกัดผ่านการฉายภาพความเร่งบนแกนเหล่านี้แสดงออกมาด้วยความสัมพันธ์

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สามารถกำหนดรูปแบบได้

ในรูปแบบนี้เรียกว่า สมการพลศาสตร์ทั่วไปในรูปแบบการวิเคราะห์.

เมื่อใช้สมการทั่วไปของไดนามิก จำเป็นต้องคำนวณงานเบื้องต้นของแรงเฉื่อยของระบบในการกระจัดที่เป็นไปได้ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงใช้สูตรที่เกี่ยวข้องสำหรับงานเบื้องต้นที่ได้รับสำหรับกองกำลังธรรมดา ขอให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้กับแรงเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งโดยเฉพาะในกรณีของการเคลื่อนที่

ระหว่างเคลื่อนที่ไปข้างหน้า ในกรณีนี้ ร่างกายมีอิสระสามระดับ และเนื่องจากข้อจำกัดที่กำหนด จึงสามารถดำเนินการได้เฉพาะการเคลื่อนไหวแบบแปลเท่านั้น การเคลื่อนไหวของร่างกายที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้เกิดการเชื่อมต่อก็เป็นสิ่งที่แปลได้เช่นกัน

แรงเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปลจะลดลงตามผลลัพธ์ - สำหรับผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงเฉื่อยต่อการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นไปได้ในการแปล

โดยที่การกระจัดที่เป็นไปได้ของจุดศูนย์กลางมวลและจุดใด ๆ ของร่างกายเนื่องจากการกระจัดที่เป็นไปได้ของทุกจุดของร่างกายจะเหมือนกัน: ความเร่งก็เหมือนกันเช่นกันนั่นคือ

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ ร่างกายในกรณีนี้มีอิสระระดับหนึ่ง สามารถหมุนรอบแกนคงที่ได้ การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ที่อนุญาตโดยการเชื่อมต่อที่ซ้อนทับก็คือการหมุนของร่างกายด้วยมุมพื้นฐานรอบแกนคงที่

แรงเฉื่อยที่ลดลงจนถึงจุดบนแกนการหมุนจะลดลงเหลือเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลัก เวกเตอร์หลักของแรงเฉื่อยถูกนำไปใช้กับจุดคงที่ และงานเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจัดที่เป็นไปได้คือศูนย์ สำหรับช่วงเวลาหลักของแรงเฉื่อย งานเบื้องต้นที่ไม่เป็นศูนย์จะดำเนินการโดยการฉายภาพบนแกนหมุนเท่านั้น ดังนั้น สำหรับผลรวมของการทำงานของแรงเฉื่อยต่อการกระจัดที่เป็นไปได้ที่เรามี

ถ้ามุมถูกรายงานไปในทิศทางของลูกศรส่วนโค้งของการเร่งความเร็วเชิงมุม

ในการเคลื่อนที่แบบเรียบ ในกรณีนี้ ข้อจำกัดที่กำหนดบนวัตถุแข็งเกร็งอนุญาตให้มีการเคลื่อนที่ในระนาบเท่านั้น ในกรณีทั่วไป ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ในการแปลที่เป็นไปได้พร้อมกับเสา ซึ่งเราเลือกจุดศูนย์กลางมวล และการหมุนผ่านมุมพื้นฐานรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและตั้งฉากกับระนาบขนานกับที่ ร่างกายสามารถเคลื่อนไหวระนาบได้

เนื่องจากแรงเฉื่อยในการเคลื่อนที่ของเครื่องบินของวัตถุแข็งเกร็งสามารถลดลงเป็นเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลัก (หากเราเลือกจุดศูนย์กลางมวลเป็นจุดศูนย์กลางของการลดลง) ดังนั้นผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงเฉื่อยบน การกระจัดที่เป็นไปได้ของเครื่องบินจะลดลงเป็นงานเบื้องต้นของเวกเตอร์ส่งคืนของแรงเฉื่อยต่อการกระจัดที่เป็นไปได้ของจุดศูนย์กลางมวลและงานเบื้องต้นของโมเมนต์หลักของแรงเฉื่อยในการกระจัดของการหมุนเบื้องต้นรอบแกนที่ผ่าน ศูนย์กลางของมวล ในกรณีนี้ งานประถมศึกษาที่ไม่เป็นศูนย์สามารถทำได้โดยการฉายภาพโมเมนต์หลักของแรงเฉื่อยบนแกนเท่านั้น เช่น - ดังนั้นในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเราก็มี

การแนะนำ

จลนศาสตร์เกี่ยวข้องกับการอธิบายประเภทการเคลื่อนไหวทางกลที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ สาเหตุที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งของร่างกายสัมพันธ์กับร่างกายอื่นๆ ไม่ได้ถูกแตะต้อง และระบบอ้างอิงได้รับเลือกด้วยเหตุผลเพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหาเฉพาะ ในเชิงไดนามิก ก่อนอื่น เหตุผลที่วัตถุบางชิ้นเริ่มเคลื่อนที่สัมพันธ์กับวัตถุอื่น รวมถึงปัจจัยที่ทำให้เกิดความเร่ง นั้นเป็นที่สนใจ อย่างไรก็ตาม กฎหมายในกลศาสตร์ หากพูดอย่างเคร่งครัด มีรูปแบบที่แตกต่างกันในระบบอ้างอิงที่แตกต่างกัน เป็นที่ยอมรับแล้วว่ามีระบบอ้างอิงซึ่งกฎหมายและรูปแบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบอ้างอิง ระบบอ้างอิงดังกล่าวเรียกว่า ระบบเฉื่อย(ไอเอสโอ) ในระบบอ้างอิงเหล่านี้ ขนาดของการเร่งความเร็วจะขึ้นอยู่กับแรงกระทำเท่านั้น และไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบอ้างอิง กรอบอ้างอิงเฉื่อยคือ กรอบอ้างอิงเฮลิโอเซนทริคซึ่งมีต้นกำเนิดอยู่ที่ใจกลางดวงอาทิตย์ ระบบอ้างอิงที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอสัมพันธ์กับระบบเฉื่อยก็เป็นระบบเฉื่อยเช่นกัน และระบบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งสัมพันธ์กับระบบเฉื่อยคือ ไม่ใช่เฉื่อย- ด้วยเหตุผลเหล่านี้ หากพูดอย่างเคร่งครัด พื้นผิวโลกจึงเป็นกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย ในปัญหาหลายๆ อย่าง กรอบอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับโลกถือได้ว่ามีความเฉื่อยและมีความแม่นยำในระดับดี

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์ในด้านเฉื่อยและไม่เฉื่อย

ระบบอ้างอิง

ความสามารถของร่างกายในการรักษาสภาวะการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอหรือหยุดนิ่งใน ISO เรียกว่า ความเฉื่อยของร่างกาย- การวัดความเฉื่อยของร่างกายคือ น้ำหนัก- มวลคือปริมาณสเกลาร์ ซึ่งมีหน่วยวัดเป็นกิโลกรัม (กก.) ในระบบ SI การวัดปฏิสัมพันธ์คือปริมาณที่เรียกว่า ด้วยกำลัง- แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งวัดเป็นนิวตัน (N) ในระบบ SI

กฎข้อแรกของนิวตัน ในระบบอ้างอิงเฉื่อย จุดจะเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงหรืออยู่นิ่งถ้าผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อจุดนั้นเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ:

แรงที่กระทำต่อจุดที่กำหนดอยู่ที่ไหน

กฎข้อที่สองของนิวตัน ในระบบเฉื่อย วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งหากผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุไม่เท่ากับศูนย์ และผลคูณของมวลของร่างกายและความเร่งเท่ากับผลรวมของแรงเหล่านี้ กล่าวคือ:

กฎข้อที่สามของนิวตัน แรงที่วัตถุกระทำต่อกันมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม กล่าวคือ: .

กองกำลังซึ่งเป็นมาตรการวัดปฏิสัมพันธ์มักเกิดเป็นคู่

เพื่อให้แก้ไขปัญหาส่วนใหญ่ได้สำเร็จโดยใช้กฎของนิวตัน จำเป็นต้องปฏิบัติตามลำดับการกระทำบางอย่าง (อัลกอริทึมชนิดหนึ่ง)

ประเด็นหลักของอัลกอริทึม

1. วิเคราะห์สภาพของปัญหาและค้นหาว่าร่างกายใดที่ร่างกายดังกล่าวโต้ตอบกัน จากข้อมูลนี้ ให้กำหนดจำนวนแรงที่กระทำต่อร่างกายที่ต้องการ สมมติว่าจำนวนแรงที่กระทำต่อร่างกายมีค่าเท่ากับ จากนั้นทำการวาดภาพที่ถูกต้องตามแผนผังเพื่อวาดแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย

2. ใช้สภาวะของปัญหา กำหนดทิศทางความเร่งของร่างกายที่ต้องการ และแสดงเวกเตอร์ความเร่งในรูป

3. เขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์ เช่น

ที่ไหน แรงที่กระทำต่อร่างกาย

4. เลือกระบบอ้างอิงเฉื่อย วาดรูประบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม โดยแกน OX ซึ่งกำกับไปตามเวกเตอร์ความเร่ง แกน OY และ OZ ตั้งฉากกับแกน OX

5. ใช้คุณสมบัติพื้นฐานของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เขียนกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการฉายเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด เช่น:

6. หากเกิดปัญหา นอกเหนือจากแรงและความเร่งแล้ว จำเป็นต้องกำหนดพิกัดและความเร็ว นอกเหนือจากกฎข้อที่สองของนิวตันแล้ว ยังจำเป็นต้องใช้สมการการเคลื่อนที่แบบจลนศาสตร์ด้วย เมื่อเขียนระบบสมการแล้วจำเป็นต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบในปัญหานี้

ขอให้เราพิจารณากรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่รอบแกนที่เคลื่อนที่ในเชิงแปลด้วยความเร็วที่สัมพันธ์กับกรอบเฉื่อย ในกรณีนี้ ความเร่งของจุดในกรอบเฉื่อย () มีความสัมพันธ์กับความเร่งในกรอบที่ไม่เฉื่อย () โดยความสัมพันธ์:

โดยที่ คือความเร่งของระบบไม่เฉื่อยเทียบกับระบบเฉื่อย ซึ่งเป็นความเร็วเชิงเส้นของจุดในระบบไม่เฉื่อย จากความสัมพันธ์สุดท้าย แทนที่จะเป็นความเร่ง เราแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกัน (1) เราได้นิพจน์:

อัตราส่วนนี้เรียกว่า กฎข้อที่สองของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย

แรงเฉื่อย ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

1. – แรงเฉื่อยไปข้างหน้า;

2. – แรงโบลิทาร์;

3 – แรงเหวี่ยงของความเฉื่อย.

ในปัญหา แรงแปลของความเฉื่อยจะแสดงต่อเวกเตอร์โดยการเร่งความเร็วของการเคลื่อนที่เชิงการแปลของกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย () แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยจะแสดงจากจุดศูนย์กลางการหมุนตามรัศมี () ทิศทางของแรงโบลิทาร์ถูกกำหนดโดยกฎ เสื้อกั๊กสำหรับผลคูณไขว้ของเวกเตอร์

พูดอย่างเคร่งครัด แรงเฉื่อยไม่ใช่แรงในความหมายที่สมบูรณ์ เพราะ กฎข้อที่สามของนิวตันใช้ไม่ได้กับกฎข้อนี้ กล่าวคือ พวกเขาไม่ได้จับคู่กัน

อำนาจ

แรงโน้มถ่วงสากล แรงโน้มถ่วงสากลเกิดขึ้นในกระบวนการปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุกับมวล และคำนวณจากความสัมพันธ์:

. (4)

เรียกว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน ค่าคงที่แรงโน้มถ่วง- ค่าของมันในระบบ SI เท่ากับ .

พลังแห่งปฏิกิริยา แรงปฏิกิริยาเกิดขึ้นเมื่อร่างกายมีปฏิสัมพันธ์กับโครงสร้างต่างๆ ที่จำกัดตำแหน่งในอวกาศ ตัวอย่างเช่น วัตถุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายจะถูกกระทำโดยแรงปฏิกิริยา ซึ่งมักเรียกว่าแรง ความเครียด. แรงตึงของด้ายจะพุ่งไปตามด้ายเสมอไม่มีสูตรในการคำนวณมูลค่าของมัน โดยปกติแล้วค่าของมันจะพบได้จากกฎข้อที่หนึ่งหรือสองของนิวตัน แรงปฏิกิริยายังรวมถึงแรงที่กระทำต่ออนุภาคบนพื้นผิวเรียบด้วย พวกเขาโทรหาเธอ แรงปฏิกิริยาปกติ, แสดงถึง. แรงปฏิกิริยาจะตั้งฉากกับพื้นผิวที่พิจารณาเสมอ- เรียกว่าแรงที่กระทำต่อพื้นผิวเรียบจากด้านข้างลำตัว แรงกดปกติ- ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน แรงปฏิกิริยาจะมีขนาดเท่ากับแรงความดันปกติ แต่เวกเตอร์ของแรงเหล่านี้มีทิศทางตรงกันข้าม

แรงยืดหยุ่น แรงยืดหยุ่นจะเกิดขึ้นในร่างกายหากร่างกายมีรูปร่างผิดปกติ เช่น หากรูปร่างของร่างกายหรือปริมาตรเปลี่ยนไป เมื่อการเสียรูปหยุดลง แรงยืดหยุ่นจะหายไป ควรสังเกตว่าแม้ว่าแรงยืดหยุ่นจะเกิดขึ้นในระหว่างการเปลี่ยนรูปของร่างกาย แต่การเสียรูปไม่ได้นำไปสู่การเกิดแรงยืดหยุ่นเสมอไป แรงยืดหยุ่นเกิดขึ้นในร่างกายที่สามารถคืนรูปร่างได้หลังจากที่อิทธิพลภายนอกหยุดลง เรียกว่าร่างกายดังกล่าวและการเสียรูปที่เกี่ยวข้อง ยืดหยุ่น- ด้วยการเปลี่ยนรูปพลาสติก การเปลี่ยนแปลงจะไม่หายไปอย่างสมบูรณ์หลังจากการยุติอิทธิพลภายนอก ตัวอย่างที่ชัดเจนของการแสดงออกของแรงยืดหยุ่นอาจเป็นแรงที่เกิดขึ้นในสปริงที่อาจเกิดการเสียรูป สำหรับการเสียรูปแบบยืดหยุ่นที่เกิดขึ้นในร่างกายที่ผิดรูป แรงยืดหยุ่นจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของการเสียรูปเสมอ เช่น:

, (5)

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น (หรือความแข็ง) ของสปริงคือเวกเตอร์การเปลี่ยนรูปของสปริง

คำสั่งนี้เรียกว่า กฎของฮุค

แรงเสียดทาน เมื่อวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวของอีกวัตถุหนึ่ง แรงจะเกิดขึ้นซึ่งขัดขวางการเคลื่อนไหวนี้ กองกำลังดังกล่าวมักเรียกว่า แรงเสียดทานแบบเลื่อน- ขนาดของแรงเสียดทานสถิตอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับแรงภายนอกที่ใช้ ที่ค่าหนึ่งของแรงภายนอก แรงเสียดทานสถิตจะถึงค่าสูงสุด หลังจากนั้นร่างกายก็เริ่มเลื่อน มีการทดลองแล้วว่าแรงเสียดทานแบบเลื่อนเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงกดปกติของร่างกายบนพื้นผิวตามกฎข้อที่สามของนิวตัน แรงกดปกติของวัตถุบนพื้นผิวจะเท่ากับแรงปฏิกิริยาที่พื้นผิวกระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เสมอ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ สูตรในการคำนวณขนาดของแรงเสียดทานแบบเลื่อนมีรูปแบบ:

, (6)

ขนาดของแรงปฏิกิริยาอยู่ที่ไหน ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานแบบเลื่อน แรงเสียดทานจากการเลื่อนที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่จะถูกพุ่งเข้าหาความเร็วเสมอไปตามพื้นผิวสัมผัส

พลังแห่งการต่อต้าน เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ในของเหลวและก๊าซ แรงเสียดทานก็เกิดขึ้นเช่นกัน แต่จะแตกต่างอย่างมากจากแรงเสียดทานแบบแห้ง กองกำลังเหล่านี้เรียกว่า แรงเสียดทานที่มีความหนืด, หรือ กองกำลังต้านทาน- แรงเสียดทานที่มีความหนืดเกิดขึ้นเฉพาะระหว่างการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของวัตถุเท่านั้น แรงต้านทานขึ้นอยู่กับหลายปัจจัย ได้แก่ ขนาดและรูปร่างของวัตถุ คุณสมบัติของตัวกลาง (ความหนาแน่น ความหนืด) กับความเร็วของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ ที่ความเร็วต่ำ แรงลากจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเร็วของร่างกายสัมพันธ์กับตัวกลาง กล่าวคือ:

. (7)

ที่ความเร็วสูง แรงลากจะเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของความเร็วของร่างกายสัมพันธ์กับตัวกลาง กล่าวคือ:

, (8)

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน.

สมการพื้นฐานของพลศาสตร์

สมการพื้นฐานของไดนามิกของจุดวัสดุนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของกฎข้อที่สองของนิวตัน:

. (9)

ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ผลรวมของแรงทั้งหมดจะรวมเฉพาะแรงที่ใช้วัดปฏิสัมพันธ์เท่านั้น ในกรอบที่ไม่เฉื่อย ผลรวมของแรงจะรวมแรงเฉื่อยด้วย

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ (9) คือสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของจุดในรูปแบบเวกเตอร์ การแก้ปัญหาคือปัญหาหลักของพลวัตของจุดวัสดุ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 1 แก้ววางอยู่บนแผ่นกระดาษ ต้องเคลื่อนแผ่นกระดาษด้วยความเร่งเท่าใดจึงจะดึงออกจากใต้กระจกได้ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างกระจกกับแผ่นกระดาษเท่ากับ 0.3?

สมมติว่ามีแรงกระทำต่อแผ่นกระดาษ กระจกจะเคลื่อนที่ไปพร้อมกับแผ่นกระดาษ ให้เราแยกกันอธิบายแรงที่กระทำต่อกระจกที่มีมวล วัตถุต่อไปนี้กระทำบนกระจก: โลกด้วยแรงโน้มถ่วง, แผ่นกระดาษที่มีแรงปฏิกิริยา, แผ่นกระดาษที่มีแรงเสียดทานพุ่งไปตามความเร็วการเคลื่อนที่ของกระจก การเคลื่อนที่ของกระจกมีความเร่งสม่ำเสมอ ดังนั้นเวกเตอร์ความเร่งจึงถูกกำหนดทิศทางตามความเร็วการเคลื่อนที่ของกระจก

ขอให้เราพรรณนาถึงเวกเตอร์ความเร่งของกระจกในรูปนี้ ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์สำหรับแรงที่กระทำต่อกระจก:

ลองกำหนดทิศทางแกน OX ไปตามเวกเตอร์ความเร่งของกระจก และให้แกน OY ¾ ขึ้นในแนวตั้ง ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในการฉายภาพลงบนแกนพิกัดเหล่านี้แล้วได้สมการต่อไปนี้:

(1.1)

เมื่อแรงที่กระทำต่อแผ่นกระดาษเพิ่มขึ้น ขนาดของแรงเสียดทานที่แผ่นกระดาษกระทำต่อกระจกจะเพิ่มขึ้น ที่ค่าหนึ่งของแรง ขนาดของแรงเสียดทานจะถึงค่าสูงสุด ซึ่งมีขนาดเท่ากับแรงเสียดทานแบบเลื่อน จากนี้ไปกระจกจะเริ่มเลื่อนเมื่อเทียบกับพื้นผิวของกระดาษ ค่าจำกัดของแรงเสียดทานสัมพันธ์กับแรงปฏิกิริยาที่กระทำบนกระจก ดังนี้

จากความเท่าเทียมกัน (1.2) เราแสดงขนาดของแรงปฏิกิริยา แล้วแทนที่มันเป็นความสัมพันธ์สุดท้าย เรามี . จากความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น เราพบขนาดของแรงเสียดทานและทำให้มันเท่ากัน (1.1) เราได้นิพจน์เพื่อกำหนดความเร่งสูงสุดของกระจก:

แทนที่ค่าตัวเลขของปริมาณด้วยความเท่าเทียมกันสุดท้ายเราจะพบค่าความเร่งสูงสุดของแก้ว:

ค่าความเร่งที่เกิดขึ้นของกระจกจะเท่ากับความเร่งขั้นต่ำของแผ่นกระดาษที่สามารถ "ดึง" ออกจากใต้กระจกได้

คำตอบ: .

ให้เราพรรณนาถึงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย นอกเหนือจากแรงภายนอกแล้ว โลกยังกระทำต่อวัตถุด้วยแรงโน้มถ่วง พื้นผิวแนวนอนที่มีแรงปฏิกิริยาและแรงเสียดทานที่พุ่งเข้าหาความเร็วของร่างกาย ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ ดังนั้นเวกเตอร์ความเร่งจึงถูกกำหนดทิศทางตามความเร็วของการเคลื่อนไหว ลองพรรณนาเวกเตอร์ในรูปนี้กัน เราเลือกระบบพิกัดดังแสดงในรูป เราเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์:

การใช้คุณสมบัติหลักของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์เราเขียนสมการสำหรับการฉายภาพเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สุดท้าย:

เราเขียนความสัมพันธ์ของแรงเสียดทานแบบเลื่อน

จากความเท่าเทียมกัน (2.2) เราพบขนาดของแรงปฏิกิริยา

จากนิพจน์ผลลัพธ์ เราแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกัน (2.3) แทนขนาดของแรงปฏิกิริยา เราจะได้นิพจน์

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ของแรงเสียดทานให้เป็นความเท่าเทียมกัน (2.1) เราจะมีสูตรคำนวณความเร่งของร่างกาย:

เราแทนที่ข้อมูลตัวเลขในระบบ SI ลงในสูตรสุดท้ายและค้นหาขนาดของความเร่งของโหลด:

คำตอบ: .

สำหรับขนาดแรงขั้นต่ำ เราจะกำหนดทิศทางของแรงเสียดทานที่กระทำต่อบล็อกพัก ลองจินตนาการว่าแรงนั้นน้อยกว่าแรงขั้นต่ำที่เพียงพอสำหรับร่างกายที่จะนิ่งเฉย ในกรณีนี้ ร่างกายจะเคลื่อนลง และแรงเสียดทานที่ใช้กับร่างกายจะเคลื่อนตัวขึ้นในแนวตั้ง ในการหยุดร่างกาย คุณต้องเพิ่มขนาดของแรงที่ใช้ นอกจากนี้ วัตถุนี้ยังถูกโลกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงที่พุ่งลงมาในแนวตั้ง เช่นเดียวกับผนังที่มีแรงปฏิกิริยาพุ่งในแนวนอนไปทางซ้าย ให้เราพรรณนาถึงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายในรูป ลองใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมซึ่งแกนจะถูกกำหนดทิศทางดังแสดงในรูป สำหรับวัตถุที่อยู่นิ่ง เราจะเขียนกฎข้อแรกของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์:

สำหรับความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ที่พบเราเขียนความเท่าเทียมกันของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัดเราจะได้สมการต่อไปนี้:

ที่ค่าต่ำสุดของแรงภายนอก ขนาดของแรงเสียดทานสถิตจะถึงค่าสูงสุดเท่ากับขนาดของแรงเสียดทานแบบเลื่อน:

จากความเท่าเทียมกัน (3.1) เราค้นหาขนาดของแรงปฏิกิริยาและแทนที่มันด้วยความเท่าเทียมกัน (3.3) เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับแรงเสียดทาน:

ให้เราแทนที่ด้านขวาของความสัมพันธ์นี้แทนแรงเสียดทานด้วยความเท่าเทียมกัน (3.2) และรับสูตรสำหรับคำนวณขนาดของแรงที่ใช้:

จากสูตรสุดท้าย เราพบขนาดของแรง:

คำตอบ: .

ขอให้เราพรรณนาถึงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อลูกบอลที่เคลื่อนที่ในแนวตั้งลงในอากาศ มันถูกกระทำโดยโลกด้วยแรงโน้มถ่วงและอากาศด้วยพลังต้านทาน ให้เราพรรณนาถึงกองกำลังที่พิจารณาในรูป ในช่วงเวลาเริ่มต้น ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดจะมีค่าสูงสุด เนื่องจากความเร็วของลูกบอลเป็นศูนย์และแรงต้านทานก็เป็นศูนย์เช่นกัน ขณะนี้ลูกบอลมีความเร่งสูงสุดเท่ากับ เมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ ความเร็วจะเพิ่มขึ้น ส่งผลให้แรงต้านของอากาศเพิ่มขึ้น ณ จุดหนึ่ง แรงต้านทานจะมีค่าเท่ากับแรงโน้มถ่วง จากจุดนี้ไปลูกบอลจะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอ ลองเขียนกฎข้อแรกของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์สำหรับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของลูกบอล:

ลองกำหนดแกน OY ในแนวตั้งลงด้านล่าง สำหรับความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นี้ ขอให้เราเขียนความเท่าเทียมกันของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน OY:

. (4.1)

แรงต้านทานขึ้นอยู่กับพื้นที่หน้าตัดของลูกบอลและขนาดของความเร็วดังนี้

, (4.2)

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทาน

จากความเท่าเทียมกัน (4.1) และ (4.2) ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

. (4.3)

ให้เราแสดงมวลของลูกบอลผ่านความหนาแน่นและปริมาตรของมัน และปริมาตรในทางกลับกันผ่านรัศมีของลูกบอล:

. (4.4)

จากนิพจน์นี้ เราค้นหามวลและแทนที่มันด้วยความเท่าเทียมกัน (4.3) เราจะได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

. (4.5)

เราแสดงพื้นที่หน้าตัดของลูกบอลในแง่ของรัศมี:

โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ของบัญชี (4.6) ความเท่าเทียมกัน (4.5) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ให้เราแสดงว่าเป็นรัศมีของลูกบอลลูกแรก เป็นรัศมีของลูกที่สอง ให้เราเขียนสูตรสำหรับความเร็วการเคลื่อนที่คงที่ของลูกบอลลูกแรกและลูกที่สอง:

จากความเท่าเทียมกันที่ได้รับเราจะพบอัตราส่วนความเร็ว:

จากเงื่อนไขของปัญหา อัตราส่วนของรัศมีของลูกบอลเท่ากับ 2 เมื่อใช้เงื่อนไขนี้ เราจะพบอัตราส่วนความเร็ว:

คำตอบ: .

วัตถุที่เคลื่อนที่ขึ้นไปตามระนาบเอียงจะถูกกระทำโดยวัตถุภายนอก: ก) โลกที่มีแรงโน้มถ่วงชี้ลงในแนวตั้ง; b) ระนาบเอียงที่มีแรงปฏิกิริยาตั้งฉากกับระนาบเอียง c) ระนาบเอียงที่มีแรงเสียดทานพุ่งตรงต่อการเคลื่อนไหวของร่างกาย d) วัตถุภายนอกที่มีแรงพุ่งขึ้นไปตามระนาบเอียง ภายใต้อิทธิพลของแรงเหล่านี้ ร่างกายจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอขึ้นไปบนระนาบเอียง ดังนั้นเวกเตอร์ความเร่งจึงมุ่งไปตามการเคลื่อนไหวของร่างกาย ลองพรรณนาเวกเตอร์ความเร่งในรูปนี้ ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์:

ให้เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม โดยมีแกน OX กำกับตามความเร่งของร่างกาย และแกน OY ตั้งฉากกับระนาบเอียง ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในการฉายภาพลงบนแกนพิกัดเหล่านี้แล้วได้สมการต่อไปนี้:

แรงเสียดทานแบบเลื่อนสัมพันธ์กับแรงปฏิกิริยาโดยมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

จากความเท่าเทียมกัน (5.2) เราจะหาขนาดของแรงปฏิกิริยาและแทนที่มันด้วยความเท่าเทียมกัน (5.3) เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับแรงเสียดทาน:

. (5.4)

การแทนที่ด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (5.4) ด้วยความเท่าเทียมกัน (5.1) แทนที่จะเป็นแรงเสียดทาน เราได้สมการต่อไปนี้สำหรับการคำนวณขนาดของแรงที่ต้องการ:

ลองคำนวณขนาดของแรง:

คำตอบ: .

ขอให้เราพรรณนาถึงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายและบนบล็อก ให้เราพิจารณากระบวนการเคลื่อนที่ของร่างกายที่เชื่อมต่อกันด้วยด้ายที่โยนข้ามบล็อก ด้ายไม่มีน้ำหนักและยืดไม่ได้ ดังนั้น ขนาดของแรงตึงบนส่วนใดๆ ของด้ายจะเท่ากัน กล่าวคือ และ .

การกระจัดของวัตถุในช่วงเวลาใด ๆ จะเท่ากันดังนั้น ณ เวลาใด ๆ ค่าของความเร็วและความเร่งของวัตถุเหล่านี้จะเท่ากัน จากการที่บล็อกหมุนโดยไม่มีแรงเสียดทานและไม่มีน้ำหนัก แรงตึงของเกลียวทั้งสองด้านของบล็อกจะเท่ากัน กล่าวคือ: .

นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกันของแรงดึงของด้ายที่กระทำต่อวัตถุตัวแรกและตัวที่สองนั่นคือ - ให้เราพรรณนาในรูปเวกเตอร์ความเร่งของวัตถุตัวแรกและตัวที่สอง ให้เราพรรณนาแกน OX สองแกน ลองกำหนดแกนแรกตามเวกเตอร์ความเร่งของวัตถุตัวแรก แกนที่สอง - ตามเวกเตอร์ความเร่งของวัตถุที่สอง ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับแต่ละวัตถุที่ฉายลงบนแกนพิกัดเหล่านี้:

เมื่อพิจารณาว่า และแสดงจากสมการแรก เราแทนสมการที่สอง เราก็ได้

จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราพบค่าความเร่ง:

จากความเท่าเทียมกัน (1) เราพบขนาดของแรงดึง:

คำตอบ: , .

เมื่อวงแหวนเล็กๆ หมุนรอบเส้นรอบวง แรงสองแรงจะกระทำต่อวงแหวนนั้น คือ แรงโน้มถ่วงที่พุ่งลงด้านล่างในแนวตั้ง และแรงปฏิกิริยาที่พุ่งเข้าหาศูนย์กลางของวงแหวน ลองพรรณนาถึงพลังเหล่านี้ในรูปและแสดงวิถีโคจรของวงแหวนด้วย เวกเตอร์ความเร่งสู่ศูนย์กลางของวงแหวนอยู่ในระนาบของวิถีและมุ่งตรงไปยังแกนการหมุน ลองพรรณนามันในภาพ ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์ของวงแหวนหมุน:

ให้เราเลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยม โดยแกน OX จะถูกกำกับตามความเร่งสู่ศูนย์กลาง และแกน OY - ขึ้นในแนวตั้งตามแกนหมุน มาเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันโดยใช้เส้นโครงบนแกนพิกัดเหล่านี้:

จากความเท่าเทียมกัน (7.2) เราค้นหาขนาดของแรงปฏิกิริยาและแทนที่มันด้วยความเท่าเทียมกัน (7.1) เราได้นิพจน์:

. (7.3)

ความเร่งสู่ศูนย์กลางสัมพันธ์กับความเร็วในการหมุนดังนี้: โดยที่รัศมีการหมุนของวงแหวนเล็กคือ การแทนที่ด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้ายแทนเป็นสูตร (7.3) เราจะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

. (7.4)

จากรูป เราจะหาค่าแทนเจนต์ของมุมอัลฟาได้ - เมื่อคำนึงถึงนิพจน์นี้ ความเท่าเทียมกัน (7.4) จะอยู่ในรูปแบบ:

จากสมการสุดท้าย เราพบความสูงที่ต้องการ:

คำตอบ: .

แรงสามแรงกระทำต่อวัตถุที่หมุนด้วยจาน: แรงโน้มถ่วง แรงปฏิกิริยา และแรงเสียดทานที่พุ่งเข้าหาแกนการหมุน ลองพรรณนาถึงพลังทั้งหมดในรูปนี้ ให้เราแสดงทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งสู่ศูนย์กลางในรูปนี้ เราเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบเวกเตอร์:

ให้เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมดังแสดงในรูป ลองเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในการฉายภาพบนแกนพิกัด:

; (8.1)

. (8.2)

ลองเขียนความสัมพันธ์ของความเร่งสู่ศูนย์กลาง:

. (8.3)

ให้เราแทนที่ด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (8.3) แทนการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางเป็นความเท่าเทียมกัน (8.1) เราจะได้:

. (8.4)

จากความเท่าเทียมกัน (8.4) เห็นได้ชัดว่าขนาดของแรงเสียดทานเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมีการหมุน ดังนั้นเมื่อรัศมีการหมุนเพิ่มขึ้น แรงเสียดทานสถิตจะเพิ่มขึ้น และเมื่อถึงค่าหนึ่ง แรงเสียดทานสถิตจะไปถึง ค่าสูงสุดเท่ากับแรงเสียดทานแบบเลื่อน ()

เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (8.2) เราจะได้นิพจน์สำหรับแรงเสียดทานสถิตสูงสุด:

การแทนที่ด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันแทนแรงเสียดทานด้วยความเท่าเทียมกัน (4) เราได้รับความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

จากสมการนี้ เราพบค่าจำกัดของรัศมีการหมุน:

คำตอบ: .

ในระหว่างการร่อนของวัตถุ แรงสองแรงจะกระทำกับมัน: แรงโน้มถ่วงและแรงลาก ลองพรรณนาถึงพลังทั้งหมดในรูปนี้ ให้เราเลือกแกนตั้งตรง OY ซึ่งต้นกำเนิดจะตั้งอยู่บนพื้นผิวโลก มาเขียนสมการพื้นฐานของไดนามิกกัน:

ฉายความเท่าเทียมกันบนแกน OY เราจะมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ลองหารทั้งสองข้างของความเสมอภาคสุดท้ายด้วยและคูณทั้งสองข้างพร้อมกัน โดยคำนึงว่า เราได้นิพจน์:

ลองหารทั้งสองข้างของพจน์นี้ด้วย เราได้รับความสัมพันธ์:

เรารวมความสัมพันธ์หลังและได้รับการพึ่งพาความเร็วตรงเวลา: .

เราค้นหาค่าคงที่จากเงื่อนไขเริ่มต้น ( ) เราได้รับการขึ้นอยู่กับความเร็วตามเวลาที่ต้องการ:

เรากำหนดความเร็วสูงสุดจากเงื่อนไข :

คำตอบ: ; .

ให้เราพรรณนาในรูปถึงแรงที่กระทำต่อเด็กซน มาเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในการฉายภาพบนแกน OX, OY และ OZ

เพราะ , จากนั้นสำหรับวิถีการเคลื่อนที่ทั้งหมดของเครื่องซักผ้าสูตรนี้ใช้ได้กับแรงเสียดทานซึ่งเมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของ OZ จะถูกแปลงเป็นรูปแบบ:

เมื่อคำนึงถึงความสัมพันธ์นี้ ความเท่าเทียมกันของแกน OX จะอยู่ในรูปแบบ

เราฉายกฎข้อที่สองของนิวตันบนเส้นสัมผัสของวิถีลูกเด็กซน ณ จุดที่พิจารณา และเราได้ความสัมพันธ์:

ขนาดของความเร่งวงสัมผัสอยู่ที่ไหน เมื่อเปรียบเทียบทางด้านขวามือของค่าเท่ากันสุดท้าย เราก็สรุปได้ว่า

ตั้งแต่ และ จากนั้นเมื่อคำนึงถึงความสัมพันธ์ก่อนหน้านี้ เรามีความเท่าเทียมกัน การรวมซึ่งนำไปสู่การแสดงออก โดยที่ ค่าคงที่การรวมรวมคือ ลองแทนที่ในนิพจน์สุดท้าย เราได้รับการขึ้นอยู่กับความเร็วของมุม:

ให้เรากำหนดค่าคงที่จากเงื่อนไขเริ่มต้น (เมื่อ . - เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้แล้วเราจะเขียนการพึ่งพาขั้นสุดท้าย

จะได้ค่าความเร็วต่ำสุดเมื่อ และเวกเตอร์ความเร็วมีทิศทางขนานกับแกน OX และค่าของมันจะเท่ากับ

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้: สำหรับความสมดุลของระบบกลไกที่มีจุดเชื่อมต่อในอุดมคติ จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดที่กระทำต่อระบบดังกล่าวสำหรับการกระจัดที่เป็นไปได้จะเท่ากับศูนย์ หรือในการประมาณการ: .

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้ทำให้เกิดสภาวะสมดุลสำหรับระบบกลไกใดๆ ในรูปแบบทั่วไป และเป็นวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหาทางสถิตยศาสตร์

หากระบบมีระดับความเป็นอิสระหลายระดับ สมการของหลักการของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้จะถูกรวบรวมสำหรับการเคลื่อนไหวอิสระแต่ละรายการแยกกัน เช่น จะมีสมการมากเท่าที่ระบบมีดีกรีอิสระ

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้นั้นสะดวกเมื่อพิจารณาถึงระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติ ปฏิกิริยาของพวกมันจะไม่ถูกนำมาพิจารณาและจำเป็นต้องทำงานด้วยแรงที่แอคทีฟเท่านั้น

หลักการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้มีดังต่อไปนี้:

เพื่อที่จะผสมพันธุ์ ระบบที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคตินั้นอยู่ในสภาวะนิ่ง มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของงานเบื้องต้นที่ดำเนินการโดยกองกำลังแอคทีฟต่อการกระจัดของจุดที่เป็นไปได้ในระบบจะเป็นค่าบวก

สมการทั่วไปของพลศาสตร์ - เมื่อระบบเคลื่อนที่ด้วยการเชื่อมต่อในอุดมคติในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำที่ประยุกต์ทั้งหมดและแรงเฉื่อยทั้งหมดต่อการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบจะเท่ากับศูนย์ สมการนี้ใช้หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้และหลักการของดาล็องแบร์ และช่วยให้คุณสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของระบบกลไกใดๆ ได้ ให้วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาไดนามิก

ลำดับการรวบรวม:

ก) แรงที่ระบุซึ่งกระทำต่อวัตถุนั้นถูกนำไปใช้กับร่างกายแต่ละส่วน และแรงและโมเมนต์ของแรงเฉื่อยคู่ก็ถูกนำมาใช้ตามเงื่อนไขเช่นกัน

b) แจ้งระบบการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

c) จัดทำสมการสำหรับหลักการของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้โดยพิจารณาว่าระบบอยู่ในสมดุล

ควรสังเกตว่าสมการทั่วไปของไดนามิกยังสามารถนำไปใช้กับระบบที่มีการเชื่อมต่อที่ไม่เหมาะ ในกรณีนี้เท่านั้น ปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อที่ไม่เหมาะ เช่น แรงเสียดทานหรือโมเมนต์แรงเสียดทานการหมุน จะต้องจัดเป็นแรงกระทำ .

งานเกี่ยวกับการกระจัดที่เป็นไปได้ของทั้งแรงแอคทีฟและแรงเฉื่อยนั้นค้นหาในลักษณะเดียวกับงานเบื้องต้นเกี่ยวกับการกระจัดจริง:

พลังที่เป็นไปได้: .

งานที่เป็นไปได้ของช่วงเวลา (คู่บังคับ): .

พิกัดทั่วไปของระบบกลไกคือพารามิเตอร์ q 1 , q 2 , ..., q S ซึ่งเป็นอิสระจากกันในทุกมิติ ซึ่งจะกำหนดตำแหน่งของระบบโดยไม่ซ้ำกันได้ตลอดเวลา

จำนวนพิกัดทั่วไปเท่ากับ ส - จำนวนองศาอิสระของระบบกลไก ตำแหน่งของแต่ละจุดที่ ν ของระบบ ซึ่งก็คือเวกเตอร์รัศมี ในกรณีทั่วไป สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปได้เสมอ:

สมการทั่วไปของพลศาสตร์ในพิกัดทั่วไปมีลักษณะเหมือนระบบสมการ S ดังนี้

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

นี่คือแรงทั่วไปที่สอดคล้องกับพิกัดทั่วไป:

(26)

a คือแรงเฉื่อยทั่วไปที่สอดคล้องกับพิกัดทั่วไป:

จำนวนการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้อย่างอิสระร่วมกันของระบบเรียกว่าจำนวนระดับความเป็นอิสระของระบบนี้ ตัวอย่างเช่น. ลูกบอลบนเครื่องบินสามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดก็ได้ แต่การเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ใดๆ ของลูกบอลนั้นสามารถหาได้จากผลรวมทางเรขาคณิตของการเคลื่อนที่สองครั้งบนแกนสองแกนตั้งฉากกัน ร่างกายแข็งเกร็งอิสระมีระดับความอิสระ 6 องศา

กองกำลังทั่วไปสำหรับแต่ละพิกัดทั่วไป เราสามารถคำนวณแรงทั่วไปที่สอดคล้องกันได้ คิวเค.

การคำนวณทำตามกฎนี้

เพื่อกำหนดกำลังทั่วไป คิวเคซึ่งสอดคล้องกับพิกัดทั่วไป คิวเคคุณต้องให้พิกัดนี้เพิ่มขึ้น (เพิ่มพิกัดตามจำนวนนี้) โดยปล่อยให้พิกัดอื่น ๆ ทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลรวมของการทำงานของแรงทั้งหมดที่ใช้กับระบบตามการกระจัดของจุดที่สอดคล้องกันและหารด้วยการเพิ่มขึ้นของ พิกัด:

(7)

การกระจัดอยู่ที่ไหน ฉัน-จุดนั้นของระบบที่ได้มาจากการเปลี่ยนแปลง เค- พิกัดทั่วไปนั้น

แรงทั่วไปถูกกำหนดโดยงานเบื้องต้น ดังนั้นแรงนี้สามารถคำนวณได้แตกต่างออกไป:

และเนื่องจากมีการเพิ่มขึ้นของเวกเตอร์รัศมีเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของพิกัดกับพิกัดและเวลาคงที่อื่น ๆ ทีความสัมพันธ์สามารถกำหนดเป็นอนุพันธ์บางส่วนได้ แล้ว

โดยที่พิกัดของจุดเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (5)

หากระบบเป็นแบบอนุรักษ์นิยม นั่นคือ การเคลื่อนไหวเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงสนามศักย์ ซึ่งการคาดการณ์คือ ที่ไหน และพิกัดของจุดนั้นเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปแล้ว

แรงทั่วไปของระบบอนุรักษ์นิยมคืออนุพันธ์ย่อยของพลังงานศักย์ตามพิกัดทั่วไปที่สอดคล้องกันซึ่งมีเครื่องหมายลบ

แน่นอนว่าเมื่อคำนวณแรงทั่วไปนี้ พลังงานศักย์ควรถูกกำหนดเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป

พี = พี( ถาม 1 , ถาม 2 , ถาม 3 ,…,ถาม).

หมายเหตุ

อันดับแรก. เมื่อคำนวณแรงปฏิกิริยาทั่วไป จะไม่คำนึงถึงการเชื่อมต่อในอุดมคติ

ที่สอง. มิติของแรงทั่วไปขึ้นอยู่กับมิติของพิกัดทั่วไป

สมการลากรองจ์ชนิดที่ 2ได้มาจากสมการทั่วไปของไดนามิกในพิกัดทั่วไป จำนวนสมการสอดคล้องกับจำนวนองศาอิสระ:

(28)

ในการรวบรวมสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 จะมีการเลือกพิกัดทั่วไปและค้นหาความเร็วทั่วไป . พบพลังงานจลน์ของระบบซึ่งเป็นฟังก์ชันของความเร็วทั่วไป , และในบางกรณี พิกัดทั่วไป ดำเนินการหาความแตกต่างของพลังงานจลน์ที่จัดทำโดยด้านซ้ายของสมการลากรองจ์ นิพจน์ผลลัพธ์จะเท่ากับแรงทั่วไปสำหรับการค้นหาซึ่งนอกเหนือจากสูตร (26) แล้วมักใช้สิ่งต่อไปนี้ในการแก้ปัญหา:

(29)

ในตัวเศษทางด้านขวาของสูตรคือผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำทั้งหมดที่มีต่อการกระจัดที่เป็นไปได้ของระบบซึ่งสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของพิกัดทั่วไป i-th - . ด้วยการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้นี้ พิกัดทั่วไปอื่นๆ ทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของระบบเครื่องกลด้วย ส ระดับความเป็นอิสระ

ในกรณีนี้ (229) มีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง:

. (230)

สมการทั่วไปของพลศาสตร์สามารถกำหนดรูปแบบได้

ในรูปแบบนี้เรียกว่า สมการพลศาสตร์ทั่วไปในรูปแบบการวิเคราะห์.

ถ้ามุมถูกรายงานไปในทิศทางของลูกศรส่วนโค้งของการเร่งความเร็วเชิงมุม

หลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้เป็นวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาสถิตยศาสตร์ ในทางกลับกัน หลักการของดาล็องแบร์อนุญาตให้ใช้วิธีการทางสถิติเพื่อแก้ปัญหาแบบไดนามิกได้ ดังนั้น เมื่อใช้หลักการทั้งสองนี้พร้อมกัน เราจะได้วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาไดนามิก

ให้เราพิจารณาระบบจุดวัสดุซึ่งมีการเชื่อมต่อในอุดมคติ หากเราเพิ่มแรงเฉื่อยที่สอดคล้องกันในทุกจุดของระบบ นอกเหนือจากแรงแอคทีฟและปฏิกิริยาปฏิกิริยาที่กระทำต่อจุดเหล่านั้น ดังนั้นตามหลักการของดาล็องแบร์ ระบบแรงที่เกิดขึ้นจะอยู่ในสภาวะสมดุล จากนั้นเราได้นำหลักการของการกระจัดที่เป็นไปได้มาใช้กับกองกำลังเหล่านี้

แต่ผลรวมสุดท้ายตามเงื่อนไข (98) เท่ากับศูนย์ และสุดท้ายจะเป็น:

หลักการดาล็องแบร์-ลากรองจ์ต่อไปนี้เป็นไปตามผลลัพธ์ที่ได้รับ: เมื่อระบบกลไกที่มีการเชื่อมต่อในอุดมคติเคลื่อนที่ ในแต่ละช่วงเวลา ผลรวมของงานเบื้องต้นของแรงกระทำที่ประยุกต์ทั้งหมดและแรงเฉื่อยทั้งหมดต่อการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของระบบ จะเท่ากับศูนย์

สมการ (102) ซึ่งแสดงถึงหลักการนี้เรียกว่าสมการทั่วไปของพลศาสตร์ ในรูปแบบการวิเคราะห์ สมการ (102) จะมีรูปแบบ

สมการ (102) หรือ (103) ช่วยให้เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของระบบกลไกได้

หากระบบเป็นกลุ่มของวัตถุแข็งบางส่วนดังนั้นในการวาดสมการจำเป็นต้องเพิ่มแรงที่กระทำต่อแต่ละวัตถุให้กับแรงที่กระทำต่อวัตถุแต่ละชิ้นที่จุดศูนย์กลางใด ๆ เท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงเฉื่อยและสองสามช่วงเวลา เท่ากับโมเมนต์หลักของแรงเฉื่อยที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางนี้ (หรือค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ ดูมาตรา 134) จากนั้นใช้หลักการของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้

ปัญหา 173 ในตัวควบคุมแรงเหวี่ยงหมุนสม่ำเสมอรอบแกนตั้งด้วยความเร็วเชิงมุม c (รูปที่ 362) น้ำหนักของลูกบอลแต่ละลูกและเท่ากับน้ำหนักของข้อต่อเท่ากับ Q ละเลยน้ำหนักของแท่ง ให้กำหนดมุม a ถ้า

สารละลาย. เราเพิ่มแรงเฉื่อยแบบแรงเหวี่ยงให้กับแรงแอคทีฟ (แรงเฉื่อยของการมีเพศสัมพันธ์จะเท่ากับศูนย์อย่างเห็นได้ชัด) และเขียนสมการไดนามิกทั่วไปในรูปแบบ (103) จากนั้นเราจะได้การคำนวณการฉายภาพของแรงทั้งหมดบนแกนพิกัด

พิกัดของจุดที่ใช้กำลังเท่ากัน:

เราพบว่าการแสดงออกเหล่านี้แตกต่าง:

เราจะได้การแทนที่ค่าที่พบทั้งหมดลงในสมการ (a)

จากนี้ไปในที่สุด

เนื่องจากลูกบอลจะเบี่ยงเบนเมื่อ ด้วยมุมที่เพิ่มขึ้น a เพิ่มขึ้นโดยมีแนวโน้มไปที่ 90° ที่

ปัญหาที่ 174 ในลิฟต์ที่แสดงในรูปที่ 1 363 โมเมนต์การหมุน M ถูกนำไปใช้กับเฟืองที่มีน้ำหนักและรัศมีความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนของมัน จงหาความเร่งของภาระที่ยกขึ้น 3 ด้วยน้ำหนัก Q โดยไม่สนใจน้ำหนักของเชือกและความเสียดทานในแกน ดรัมที่เชือกพันนั้นเชื่อมต่อกับเกียร์อื่นอย่างแน่นหนา น้ำหนักรวมของมันเท่ากับ และรัศมีความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนการหมุน รัศมีของเฟืองจะเท่ากันตามลำดับกับรัศมีของดรัม

สารละลาย. เราพรรณนาถึงแรงแอคทีฟ Q และแรงบิด M ที่กระทำต่อระบบ (แรงไม่ทำงาน) เราเพิ่มแรงเฉื่อยของโหลดและโมเมนต์คู่กับโมเมนต์และแรงเฉื่อยของวัตถุที่หมุนอยู่ให้ลดลง (ดูมาตรา 134)