ประเมินค่าอินทิกรัลโดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย อินทิกรัลแน่นอน

วิธีค้นหารากของสมการ - กฎการคำนวณ

สมการคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งตัว ในการแก้สมการหมายถึงการค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ความเท่าเทียมกันของด้านซ้ายและ ส่วนที่ถูกต้องนิพจน์ ( ตั้งฟังก์ชั่น). ค่าที่พบเรียกว่ารากของสมการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง และสมการลูกบาศก์มีความแตกต่างกัน เพื่อหารากของสมการ บางประเภทใช้วิธีการต่างๆ

สมการเชิงเส้น

นิพจน์เช่น a*x=b เรียกว่า สมการเชิงเส้น. ในนั้น a คือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร b คือเทอมอิสระ มีสามกรณีที่เป็นไปได้:

• และ 0 รากในกรณีนี้คำนวณโดยสูตร: x=b/a ตัวอย่างเช่น ให้สมการ x+3=9-2*x นิพจน์ที่มี "X" จะถูกถ่ายโอนในทิศทางเดียว และสมาชิกฟรีในอีกทางหนึ่ง: x + 2 * x \u003d 9-3 หรือ 3 * x \u003d 6 จากนั้น x=6/3, x=2
• ก=0, ข=0. สมการจะอยู่ในรูปแบบ 0*x=0 ความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ "X" ดังนั้น รากของสมการเป็นจำนวนจริงใดๆ
• a \u003d 0, b 0 จะได้รับนิพจน์ 0 * x \u003d b ซึ่งไม่มีราก

สมการกำลังสอง

สมการในรูปแบบนี้เรียกว่ากำลังสอง (a 0) "A" และ "B" เรียกว่าสัมประสิทธิ์ และ "C" เป็นสมาชิกฟรี จำนวนของรากขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติซึ่งคำนวณโดยสูตร ในกรณีที่:

• ง<0 – для уравнения не существует корней.
• D=0 - มีหนึ่งรูทซึ่งพบโดยสูตร: x=-b/(2*a)
• D>0 - มีสองรากที่กำหนดดังนี้: ตัวอย่างเช่น กำหนดสมการ 3*x2-2*x-5=0 เลือกปฏิบัติ D=4-4*3*(-5)=64. จะมีสองราก

สมการลูกบาศก์

การแสดงออกที่ใจดีเรียกว่า สมการลูกบาศก์. สามารถมีได้หลายรูทสำหรับการคำนวณที่คุณต้องการ:

• ค้นหาหนึ่งในรากที่เป็นตัวหารของค่าคงที่ "d" โดยแทนที่ตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดจนกว่าด้านซ้ายของนิพจน์จะกลายเป็นศูนย์
• หารสมการดั้งเดิมด้วยรูทที่พบซึ่งส่งผลให้นิพจน์ลดลงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• ค้นหารากของสมการผลลัพธ์ เช่น ให้สมการมา ตัวหารของพจน์อิสระ 12 - ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ทางซ้ายรับค่าเท่ากับ 0 ที่ x=2 ดังนั้น 2 คือรากแรก จากนั้นคุณต้องหารนิพจน์ดั้งเดิมด้วย (x-2) ปรากฎว่า สมการกำลังสอง. รากของมันคือตัวเลข..

วิธีการอื่นๆ

นอกเหนือจากการคำนวณเชิงพีชคณิต ค่าที่จำเป็นคุณสามารถใช้ได้:

• เครื่องคิดเลขออนไลน์ฟรี (allcalc.ru)
• ในทางกราฟิก เมื่อมีการลงจุดกราฟของฟังก์ชัน จุดตัดที่มีแกน "X" จะเป็นรากของสมการ

ค่าที่ใช้ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย อยู่ในความเป็นไปได้ที่จะได้รับการประเมินเชิงคุณภาพของค่าบางอย่าง อินทิกรัลโดยไม่ต้องคำนวณ เรากำหนด : หากฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา จากนั้นภายในช่วงเวลานี้จะมีจุดที่ .

สูตรนี้ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการประมาณค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือยุ่งยาก วินาทีเดียวที่ทำให้สูตร โดยประมาณ เป็นสิ่งจำเป็น การเลือกด้วยตนเอง จุด หากเราใช้เส้นทางที่ง่ายที่สุด - ช่วงกลางของการรวม (ตามที่แนะนำในหนังสือเรียนหลายเล่ม) ข้อผิดพลาดอาจมีความสำคัญมาก สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ผลลัพธ์ที่แน่นอน แนะนำ ทำการคำนวณตามลำดับต่อไปนี้:

สร้างกราฟฟังก์ชันในช่วงเวลา ;

วาดเส้นขอบบนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในลักษณะที่ส่วนที่ถูกตัดออกจากกราฟของฟังก์ชัน โดยประมาณเท่ากันในพื้นที่ (นี่เป็นวิธีที่แสดงในรูปด้านบน - รูปสามเหลี่ยมโค้งสองรูปเกือบจะเหมือนกัน);

กำหนดจากรูป ;

ใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณอินทิกรัลอย่างง่าย:

ค่าที่แน่นอน ;

สำหรับช่วงกลางของช่วงเวลา เราจะได้ค่าโดยประมาณ เช่น ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน

เมื่อสร้างกราฟด้วยการวาดด้านบนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำแนะนำแล้ว เราได้รับ จากที่ไหน และค่าโดยประมาณของ . ผลลัพธ์ค่อนข้างน่าพอใจ ข้อผิดพลาด 0.75%

สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู

ความถูกต้องของการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยนั้นขึ้นอยู่กับดังที่แสดงไว้ วัตถุประสงค์การมองเห็น แผนภูมิจุด แน่นอนโดยการเลือกในตัวอย่างเดียวกัน จุด หรือ คุณจะได้รับค่าอื่น ๆ ของอินทิกรัลและข้อผิดพลาดอาจเพิ่มขึ้น ปัจจัยส่วนตัว ขนาดของกราฟ และคุณภาพของภาพวาดมีผลอย่างมากต่อผลลัพธ์ นี้ ไม่สามารถยอมรับได้ ในการคำนวณที่สำคัญ ดังนั้นทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยจะใช้ได้เฉพาะกับความรวดเร็วเท่านั้น คุณภาพ ค่าประมาณรวม

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาวิธีการรวมโดยประมาณที่ได้รับความนิยมมากที่สุดวิธีหนึ่ง - สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู . แนวคิดพื้นฐานของการสร้างสูตรนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งสามารถถูกแทนที่ด้วยเส้นหักโดยประมาณดังแสดงในรูป

ให้เราสันนิษฐานเพื่อความชัดเจน (และตามรูป) ว่าช่วงเวลาการรวมถูกแบ่งออกเป็น เท่ากับ (นี่เป็นทางเลือก แต่สะดวกมาก) ชิ้นส่วน ความยาวของแต่ละส่วนคำนวณโดยสูตรและเรียกว่า ขั้นตอน . abscissas ของจุดแยก หากระบุ จะถูกกำหนดโดยสูตร ที่ไหน มันง่ายที่จะคำนวณลำดับจาก abscissas ที่รู้จัก ดังนั้น,

นี่คือสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับเคส โปรดทราบว่าเทอมแรกในวงเล็บคือผลรวมครึ่งหนึ่งของลำดับเริ่มต้นและขั้นสุดท้าย ซึ่งบวกเข้ากับลำดับขั้นกลางทั้งหมด สำหรับจำนวนพาร์ติชันโดยพลการของช่วงเวลาการรวม สูตรทั่วไปสี่เหลี่ยมคางหมู ดูเหมือนกับ: สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส: สี่เหลี่ยม ซิมป์สัน เกาส์ ฯลฯ พวกเขาสร้างขึ้นจากแนวคิดเดียวกันในการเป็นตัวแทน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งพื้นที่ประถมศึกษา รูปร่างต่างๆดังนั้น หลังจากเชี่ยวชาญสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว การเข้าใจสูตรที่คล้ายกันจึงไม่ใช่เรื่องยาก หลายสูตรไม่ง่ายเหมือนสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูงด้วยพาร์ติชันจำนวนน้อย

ด้วยความช่วยเหลือของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู (หรือสูตรที่คล้ายกัน) คุณสามารถคำนวณด้วยความแม่นยำที่จำเป็นในทางปฏิบัติทั้งอินทิกรัลที่ "ไม่ใช้" และอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือยุ่งยาก