ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

อนุญาต ม 0 – ชุดวิธีแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (4) สมการเชิงเส้น.

คำนิยาม 6.12เวกเตอร์ กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพีซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์เรียกว่า ชุดโซลูชั่นพื้นฐาน(ตัวย่อ FNR) ถ้า

1) เวกเตอร์ กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพีเป็นอิสระเชิงเส้น (เช่น ไม่มีสิ่งใดสามารถแสดงในรูปของอย่างอื่นได้)

2) คำตอบอื่นใดของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์สามารถแสดงในรูปของคำตอบได้ กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพี.

โปรดทราบว่าถ้า กับ 1 ,กับ 2 , …, กับพี– f.n.r. ใดๆ ตามด้วยนิพจน์ เค 1× กับ 1 + เค 2× กับ 2 + … + เคพี× กับพีคุณสามารถอธิบายทั้งชุดได้ ม 0 โซลูชั่นให้กับระบบ (4) จึงเรียกว่า มุมมองทั่วไปของโซลูชันระบบ (4).

ทฤษฎีบท 6.6ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ที่ไม่แน่นอนใดๆ ก็มีชุดคำตอบพื้นฐานอยู่แล้ว

วิธีค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานมีดังนี้:

หา วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น

สร้าง ( n – ร) วิธีแก้ปัญหาบางส่วนของระบบนี้ ในขณะที่ค่าของไม่ทราบค่าอิสระต้องก่อตัวขึ้น เมทริกซ์เอกลักษณ์;

เขียนรูปแบบทั่วไปของโซลูชันที่รวมอยู่ในนั้น ม 0 .

ตัวอย่างที่ 6.5ค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน ระบบถัดไป:

สารละลาย- เรามาหาวิธีแก้ไขทั่วไปสำหรับระบบนี้กัน

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ มีสิ่งแปลกปลอมห้าอย่างในระบบนี้ ( n= 5) โดยมีสองสิ่งที่ไม่ทราบหลักๆ ( ร= 2) มีสิ่งที่ไม่ทราบฟรีสามรายการ ( n – ร) นั่นคือชุดคำตอบพื้นฐานประกอบด้วยเวกเตอร์คำตอบสามตัว มาสร้างพวกมันกันเถอะ เรามี x 1 และ x 3 – สิ่งที่ไม่ทราบหลัก x 2 , x 4 , x 5 – สิ่งที่ไม่รู้จักฟรี

ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี x 2 , x 4 , x 5 สร้างเมทริกซ์เอกลักษณ์ อีลำดับที่สาม ได้เวกเตอร์นั่น กับ 1 ,กับ 2 , กับ 3 รูปแบบ f.n.r. ของระบบนี้ จากนั้นชุดคำตอบของระบบเอกพันธ์นี้จะเป็นดังนี้ ม 0 = {เค 1× กับ 1 + เค 2× กับ 2 + เค 3× กับ 3 , เค 1 , เค 2 , เค 3 โอ อาร์)

ตอนนี้ให้เราค้นหาเงื่อนไขของการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่งคือ เงื่อนไขของการมีอยู่ของชุดคำตอบพื้นฐาน

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ ไม่แน่ใจว่าหรือไม่

1) ตำแหน่งของเมทริกซ์หลักของระบบ จำนวนน้อยลงไม่ทราบ;

2) ในระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ

3) ถ้าในระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันจำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักเท่ากับศูนย์ (เช่น | ก| = 0).

ตัวอย่างที่ 6.6- ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด กระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์หรือไม่?

สารละลาย- ลองเขียนเมทริกซ์หลักของระบบนี้แล้วหาดีเทอร์มิแนนต์: = = 1×(–1) 1+1 × = – ก– 4. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ ก = –4.

คำตอบ: –4.

7. เลขคณิต n-มิติ พื้นที่เวกเตอร์

แนวคิดพื้นฐาน

ในส่วนก่อนหน้านี้ เราได้พบแนวคิดเรื่องชุดของจำนวนจริงที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอนแล้ว นี่คือเมทริกซ์แถว (หรือเมทริกซ์คอลัมน์) และวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ ข้อมูลนี้สามารถสรุปได้

คำจำกัดความ 7.1 n-เวกเตอร์เลขคณิตมิติเรียกว่าชุดสั่งของ nตัวเลขจริง

วิธี ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) โดยที่ ฉันโออาร์ ฉัน = 1, 2, …, n– มุมมองทั่วไปของเวกเตอร์ ตัวเลข nเรียกว่า มิติเวกเตอร์ และตัวเลข ฉันถูกเรียกว่าของเขา พิกัด.

ตัวอย่างเช่น: ก= (1, –8, 7, 4, ) – เวกเตอร์ห้ามิติ

พร้อมแล้ว n-เวกเตอร์มิติมักจะแสดงเป็น ร.

คำจำกัดความ 7.2เวกเตอร์สองตัว ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) และ ข= (ข 1 , ข 2 , …, ข n) ที่มีมิติเดียวกัน เท่ากันถ้าหากพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากันนั่นคือ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= ข n.

คำจำกัดความ 7.3จำนวนสอง n-มิติเวกเตอร์ ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) และ ข= (ข 1 , ข 2 , …, ข n) เรียกว่าเวกเตอร์ ก + ข= (ก 1 + ข 1, 2 + ข 2, …, ก n+ข n).

คำจำกัดความ 7.4 การทำงานจำนวนจริง เคเป็นเวกเตอร์ ก= (ก 1 , 2 , …, ก n) เรียกว่าเวกเตอร์ เค× ก = (เค×ก 1, เค×ก 2 , …, เค×ก n)

คำจำกัดความ 7.5เวกเตอร์ โอ= (0, 0, …, 0) ถูกเรียก ศูนย์(หรือ เวกเตอร์ที่เป็นโมฆะ).

มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าการกระทำ (การดำเนินการ) ของการเพิ่มเวกเตอร์และการคูณด้วย จำนวนจริงมี คุณสมบัติดังต่อไปนี้: " ก, ข, ค Î ร, " เค, ลโอ อาร์:

1) ก + ข = ข + ก;

2) ก + (ข+ ค) = (ก + ข) + ค;

3) ก + โอ = ก;

4) ก+ (–ก) = โอ;

5) 1× ก = ก, 1 โอ อาร์;

6) เค×( ล× ก) = ล×( เค× ก) = (ล× เค)× ก;

7) (เค + ล)× ก = เค× ก + ล× ก;

8) เค×( ก + ข) = เค× ก + เค× ข.

คำจำกัดความ 7.6มากมาย รด้วยการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และคูณด้วยจำนวนจริงที่กำหนด เรียกว่า ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์.

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสม่ำเสมอและมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย
- เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญมีอยู่ จำเป็นต้องมีอันดับของเมทริกซ์ มีจำนวนน้อยกว่าไม่ทราบ:

.

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน
เรียกระบบการแก้ปัญหาในรูปแบบของเวกเตอร์คอลัมน์
ซึ่งสอดคล้องกับพื้นฐานที่เป็นที่ยอมรับเช่น พื้นฐานที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจ
สลับกันตั้งเป็นหนึ่ง ส่วนที่เหลือตั้งเป็นศูนย์

จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์จะมีรูปแบบ:

ที่ไหน
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาโดยรวมคือการรวมกันเชิงเส้นของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ดังนั้น จึงสามารถหาคำตอบพื้นฐานได้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไป หากค่าไม่ทราบค่าอิสระได้รับค่าเป็น 1 ในทางกลับกัน โดยตั้งค่าค่าอื่นๆ ทั้งหมดให้เท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง- เรามาหาวิธีแก้ไขระบบกันดีกว่า

ยอมรับซะ แล้วเราจะได้คำตอบในรูปแบบ:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา:

.

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนเป็น:

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก็เป็นคำตอบอีกครั้ง

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์มานานหลายศตวรรษ ผลลัพธ์แรกเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 18 ในปี ค.ศ. 1750 G. Kramer (1704–1752) ตีพิมพ์ผลงานของเขาเกี่ยวกับปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จตุรัส และเสนออัลกอริทึมสำหรับการค้นหา เมทริกซ์ผกผัน- ในปี ค.ศ. 1809 เกาส์ได้สรุปวิธีการแก้ปัญหาแบบใหม่ที่เรียกว่าวิธีการกำจัด

วิธีเกาส์เซียนหรือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าของรูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ระบบดังกล่าวทำให้สามารถค้นหาสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดตามลำดับตามลำดับ

ให้เราสมมุติว่าในระบบ (1)
(ซึ่งเป็นไปได้เสมอ)

(1)

การคูณสมการแรกทีละสมการด้วยสิ่งที่เรียกว่า ตัวเลขที่เหมาะสม

และบวกผลลัพธ์การคูณด้วยสมการที่สอดคล้องกันของระบบ เราก็จะได้ระบบที่เทียบเท่ากัน ซึ่งในสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรกจะไม่มีใครไม่ทราบ เอ็กซ์ 1

(2)

ตอนนี้ให้เราคูณสมการที่สองของระบบ (2) ด้วยตัวเลขที่เหมาะสม โดยสมมติว่า

,

และบวกกับอันที่ต่ำกว่า เราก็กำจัดตัวแปรออกไป จากสมการทั้งหมดเริ่มจากสมการที่สาม

ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปหลังจากนั้น
ขั้นตอนที่เราได้รับ:

(3)

ถ้าอย่างน้อยก็มีตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันจึงขัดแย้งกัน และระบบ (1) ไม่สอดคล้องกัน ในทางกลับกัน สำหรับระบบจำนวนร่วมใดๆ
มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเลข ไม่มีอะไรมากไปกว่าอันดับของเมทริกซ์ของระบบ (1)

เรียกว่าการเปลี่ยนจากระบบ (1) เป็น (3) ตรงไปข้างหน้า วิธีเกาส์ และการหาสิ่งที่ไม่ทราบจาก (3) – ในทางกลับกัน .

ความคิดเห็น : สะดวกกว่าที่จะดำเนินการแปลงไม่ใช่ด้วยสมการ แต่ใช้เมทริกซ์แบบขยายของระบบ (1)

ตัวอย่าง- เรามาหาวิธีแก้ไขระบบกันดีกว่า

.

ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

.

ลองเพิ่มอันแรกในบรรทัด 2,3,4 คูณด้วย (-2), (-3), (-2) ตามลำดับ:

.

มาสลับแถวที่ 2 และ 3 จากนั้นในเมทริกซ์ผลลัพธ์ให้เพิ่มแถว 2 เป็นแถวที่ 4 คูณด้วย :

.

เพิ่มในบรรทัดที่ 4 บรรทัดที่ 3 คูณด้วย
:

.

เห็นได้ชัดว่า
ดังนั้นระบบจึงมีความสม่ำเสมอ จากระบบสมการผลลัพธ์

เราพบวิธีแก้ปัญหาด้วยการทดแทนแบบย้อนกลับ:

,
,
,
.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาวิธีแก้ไขระบบ:

.

เห็นได้ชัดว่าระบบเข้ากันไม่ได้เพราะว่า
, ก
.

ข้อดีของวิธีเกาส์ :

ใช้แรงงานน้อยกว่าวิธีของแครมเมอร์

สร้างความเข้ากันได้ของระบบอย่างชัดเจนและช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขได้

ทำให้สามารถกำหนดอันดับของเมทริกซ์ใดๆ ได้

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) หัวข้อที่สำคัญที่สุดหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น จำนวนมหาศาลปัญหาจากคณิตศาสตร์ทุกสาขาลดลงไปสู่การแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ

• หยิบ วิธีการที่เหมาะสมที่สุดคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
• ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
• แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ

ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความ แนวคิด และการแนะนำสัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมด

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว ประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธี การกำจัดตามลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จัก) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน

หลังจากนี้ เราจะมาต่อกันที่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น มุมมองทั่วไปโดยที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิด ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เราจะอาศัยโครงสร้างของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของเนื้อเดียวกันและอย่างแน่นอน ระบบที่แตกต่างกันสมการพีชคณิตเชิงเส้น ขอให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา และแสดงให้เห็นว่าคำตอบทั่วไปของ SLAE เขียนโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาอย่างไร สำหรับ ความเข้าใจที่ดีขึ้นลองดูตัวอย่างบางส่วน

โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (บางค่าจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.

ใน รูปแบบเมทริกซ์ระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นตัวตนด้วย

หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ- หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา- ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว และในกรณีของระบบเอกพันธ์ ตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวใน โรงเรียนมัธยมปลาย- เมื่อทำการแก้โจทย์ เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้รับจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น - นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีการของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ - มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน (เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : :

การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

คำตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก ดังนั้นเมทริกซ์ A จึงกลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์.

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์:

เพราะ

ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ การใช้เมทริกซ์ผกผันสามารถหาคำตอบของระบบนี้ได้ดังนี้ .

ลองสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จาก การบวกพีชคณิตองค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ):

ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

คำตอบ:

หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ เมทริกซ์จตุรัสลำดับสูงกว่าสาม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ: ตัวแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากตัวที่สอง จากนั้น x 2 ก็ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากตัวที่สาม และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n เท่านั้น สมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปเป็นสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุเป้าหมายนี้ได้ตลอดเวลาโดยการแลกเปลี่ยนสมการของระบบ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่เราทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไปเราจะเริ่มต้น จังหวะย้อนกลับวิธีเกาส์: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ xn เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไปเราจะพบ x 1 จากสมการแรก

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกไปทางซ้ายของสมการและ ด้านขวาด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย:

นี่เป็นการสิ้นสุดจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์

จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์

คำตอบ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

ใน กรณีทั่วไปจำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเป็นเอกพจน์ด้วย

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเป็น เท่ากับอันดับเมทริกซ์แบบขยายนั่นคือ Rank(A)=Rank(T)

ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อกำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

สารละลาย.

- เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ:

เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง

ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้

ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์

ส่วนน้อย ลำดับสูงสุดเรียกว่าเมทริกซ์ A ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีเมทริกซ์รองได้หลายตัวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับสามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้น องค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา

ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี

ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและสามารถหาคำตอบได้เพียงวิธีเดียวโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ตัวอย่าง.

.

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์

และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2

เป็นพื้นฐานรองที่เราใช้ - มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง:


สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์:


นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:


คำตอบ:

x 1 = 1, x 2 = 2

หากจำนวนสมการ r ใน SLAE ผลลัพธ์น้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ดังนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะปล่อยเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของ สมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss

ลองดูด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

สารละลาย.

ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นตัวรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้:


นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:


ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง:


เราทิ้งเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการของระบบ และโอนส่วนที่เหลือจาก สัญญาณตรงกันข้ามทางด้านขวา:


ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ , ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ


ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:


เพราะฉะนั้น, .

ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

คำตอบ:

ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน

มาสรุปกัน

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก

ถ้าเป็นคำสั่งพื้นฐานรอง เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก ดังนั้น SLAE จึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งเราค้นหาด้วยวิธีใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก

หากลำดับของฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราพบสิ่งที่ไม่ทราบหลักๆ ตัวแปรตามวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์เซียน

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ ก็ตาม โดยไม่ต้องทดสอบความสอดคล้องของระบบก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า

ดูมัน คำอธิบายโดยละเอียดและวิเคราะห์ตัวอย่างในบทความเรื่องวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ

ในส่วนนี้ เราจะคุยกันในระบบเอกพันธ์และเอกพันธ์พร้อมกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มี ชุดอนันต์การตัดสินใจ

ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

หากเราแสดงว่าคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) เป็นคอลัมน์ เมทริกซ์ของมิติ n คูณ 1) จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์นี้จะแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาโดยพลการ ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ C 1, C 2, ..., C (n-r) นั่นคือ .

คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (oroslau) หมายถึงอะไร

ความหมายนั้นง่าย: สูตรกำหนดทุกสิ่ง แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ SLAE ดั้งเดิมกล่าวอีกนัยหนึ่งว่ารับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ..., C (n-r) โดยใช้สูตรเราจะได้หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น

ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบ และโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม มาแจกสิ่งไม่รู้ฟรีกันเถอะ ค่าตัวแปร 1,0,0,…,0 และคำนวณค่าไม่ทราบหลักโดยการแก้ระบบมูลฐานของสมการเชิงเส้นที่เป็นผลลัพธ์ด้วยวิธีใดก็ตาม เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน ถ้าจะให้ฟรี ค่าที่ไม่รู้จัก 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าไม่ทราบหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,…,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . มันจะถูกสร้างขึ้นเช่นนี้ ระบบพื้นฐานคำตอบของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันและคำตอบทั่วไปของมันสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับจากการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ ​0,0,…,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า:

พบลำดับรองที่สองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้:

เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานจะเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ
.

เราจะยังคงขัดเกลาเทคโนโลยีของเราต่อไป การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น บน ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น.
จากย่อหน้าแรก เนื้อหาอาจดูน่าเบื่อและปานกลาง แต่ความประทับใจนี้กลับหลอกลวง นอกจากจะมีการพัฒนาต่อยอดแล้ว เทคนิคจะมีมาก ข้อมูลใหม่ดังนั้นโปรดอย่าละเลยตัวอย่างในบทความนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คืออะไร?

คำตอบนั้นบ่งบอกตัวมันเอง ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันหากใช้เงื่อนไขอิสระ ทุกคนสมการของระบบเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่า ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอนั่นคือมันย่อมมีทางแก้เสมอ และก่อนอื่น สิ่งที่ดึงดูดสายตาของคุณคือสิ่งที่เรียกว่า เล็กน้อยสารละลาย - Trivial สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจความหมายของคำคุณศัพท์เลย หมายถึง ไม่โอ้อวด แน่นอนว่าไม่ใช่เชิงวิชาการ แต่อย่างชาญฉลาด =) ...ทำไมต้องทำอะไรบ้าๆ บอๆ มาดูกันว่าระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาอื่นหรือไม่:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: เพื่อแก้ระบบเอกพันธ์จำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ระบบและด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจึงนำมาสู่ มุมมองขั้นบันได- โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องเขียนแถบแนวตั้งและคอลัมน์ศูนย์ของคำศัพท์อิสระ ท้ายที่สุดไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับศูนย์ พวกมันก็จะยังคงเป็นศูนย์:

(1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –3

(2) บรรทัดที่สองบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –1

การหารบรรทัดที่สามด้วย 3 นั้นไม่สมเหตุสมผลนัก

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะได้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เทียบเท่ากัน และการใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโซลูชันมีลักษณะเฉพาะ

คำตอบ:

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่ชัดเจน: มีระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน เท่านั้น วิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย , ถ้า อันดับเมทริกซ์ของระบบ(วี ในกรณีนี้ 3) เท่ากับจำนวนตัวแปร (ในกรณีนี้ – 3 ชิ้น)

มาอุ่นเครื่องและปรับวิทยุของเราให้เข้ากับคลื่นของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

เพื่อรวมอัลกอริธึมในที่สุด มาวิเคราะห์งานสุดท้ายกัน:

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบเอกพันธ์ เขียนคำตอบในรูปแบบเวกเตอร์

สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

(1) ป้ายบรรทัดแรกมีการเปลี่ยนแปลง ฉันดึงความสนใจไปที่เทคนิคที่พบหลายครั้งอีกครั้งซึ่งช่วยให้คุณดำเนินการต่อไปได้ง่ายขึ้นอย่างมาก

(1) เพิ่มบรรทัดแรกเข้ากับบรรทัดที่ 2 และ 3 บรรทัดแรกคูณด้วย 2 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่ 4

(3) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน โดยลบสองบรรทัดออกแล้ว

ผลลัพธ์ที่ได้คือมาตรฐาน เมทริกซ์ขั้นตอนและวิธีการแก้ปัญหาดำเนินต่อไปตามรางที่มีปุ่ม:

– ตัวแปรพื้นฐาน
– ตัวแปรอิสระ

ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ จากสมการที่ 2:

– แทนลงในสมการที่ 1:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

เนื่องจากในตัวอย่างที่พิจารณามีตัวแปรอิสระสามตัว ระบบพื้นฐานจึงมีเวกเตอร์สามตัว

ลองแทนค่าสามเท่าดู ลงในสารละลายทั่วไปและรับเวกเตอร์ที่มีพิกัดเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบเอกพันธ์ และขอย้ำอีกครั้งว่าขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบเวกเตอร์ที่ได้รับแต่ละรายการ - ใช้เวลาไม่นาน แต่จะปกป้องคุณจากข้อผิดพลาดอย่างสมบูรณ์

เพื่อคุณค่าสามประการ ค้นหาเวกเตอร์

และสุดท้ายสำหรับทั้งสามคน เราได้เวกเตอร์ที่สาม:

คำตอบ: , ที่ไหน

ผู้ที่ประสงค์จะหลีกหนี ค่าเศษส่วนอาจพิจารณาแฝดสาม และได้รับคำตอบในรูปแบบที่เทียบเท่า:

การพูดของเศษส่วน ลองดูเมทริกซ์ที่ได้รับจากปัญหา และให้เราถามตัวเองว่า: เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมง่ายขึ้น? ท้ายที่สุดแล้ว อันดับแรกเราแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านเศษส่วน จากนั้นจึงแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านเศษส่วน และฉันต้องบอกว่ากระบวนการนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดและไม่น่าพึงพอใจที่สุด

วิธีแก้ปัญหาที่สอง:

ความคิดคือการพยายาม เลือกตัวแปรพื้นฐานอื่นๆ- ลองดูที่เมทริกซ์แล้วสังเกตสองตัวในคอลัมน์ที่สาม แล้วทำไมไม่มีศูนย์ที่ด้านบนล่ะ? ลองทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นอีกครั้งหนึ่ง:

สั่งได้นะคะ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดงานของคุณ!!!

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานคุณสามารถชมวิดีโอบทช่วยสอนสำหรับตัวอย่างเดียวกันนี้ได้โดยการคลิก ตอนนี้เรามาดูคำอธิบายที่แท้จริงของงานที่จำเป็นทั้งหมดกันดีกว่า ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของปัญหานี้ได้ละเอียดยิ่งขึ้น

จะหาระบบพื้นฐานของการแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

ลองยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

เรามาหาวิธีแก้ไขปัญหานี้กัน ระบบเชิงเส้นสมการ เริ่มต้นด้วยพวกเรา คุณต้องเขียนเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ

ลองแปลงเมทริกซ์นี้ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมดูเราเขียนบรรทัดแรกใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(11)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ หากต้องการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(21)$ คุณต้องลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สอง และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สอง หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สามและเขียนผลต่างในบรรทัดที่สาม หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(41)$ คุณต้องลบค่าแรกคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สี่ และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สี่ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบค่าแรกคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่ห้า และเขียนผลต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเขียนบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(22)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(32)$ คุณต้องลบอันที่สองคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สาม แล้วเขียนผลต่างในบรรทัดที่สาม หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(42)$ คุณต้องลบค่าที่สองคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สี่ และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สี่ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(52)$ คุณต้องลบค่าที่สองคูณด้วย 3 ออกจากบรรทัดที่ห้า และเขียนผลต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเห็นสิ่งนั้น สามบรรทัดสุดท้ายเหมือนกันดังนั้นหากคุณลบส่วนที่สามจากส่วนที่สี่และห้า ค่าเหล่านั้นจะกลายเป็นศูนย์

ตามเมทริกซ์นี้ เขียนลงไป ระบบใหม่สมการ.

เราจะเห็นว่าเรามีสมการอิสระเชิงเส้นเพียงสามสมการ และสมการไม่ทราบค่าห้ารายการ ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นพวกเรา เราต้องย้ายสิ่งไม่รู้สองตัวสุดท้ายไปทางขวา.

ตอนนี้เราเริ่มแสดงสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านขวา เราเริ่มต้นด้วยสมการสุดท้าย ขั้นแรกเราแทนค่า $x_3$ จากนั้นแทนผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สองและแทนค่า $x_2$ และจากนั้นเข้าไปในสมการแรก และตรงนี้เราแทนค่า $x_1$ ดังนั้นเราจึงแสดงสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านขวา

จากนั้น แทนที่จะเป็น $x_4$ และ $x_5$ เราสามารถแทนที่ตัวเลขใดๆ และหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ ได้ ตัวเลขห้าตัวแต่ละตัวจะเป็นรากของระบบสมการดั้งเดิมของเรา เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น เอฟเอสอาร์เราจำเป็นต้องแทนที่ 1 แทนที่จะเป็น $x_4$ และแทนที่ 0 แทน $x_5$ แล้วหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ จากนั้นในทางกลับกัน $x_4=0$ และ $x_5=1$