แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงเกิดขึ้นแล้วในสมัยโบราณ อาร์คิมีดีสมีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการพัฒนาทฤษฎีจุดศูนย์ถ่วง แม้จะมีความจริงที่ว่าแนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงมีการศึกษาในบทเรียนฟิสิกส์มากกว่าคณิตศาสตร์ แต่ก็มีบทบาทอย่างมากในเรขาคณิตเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงทำให้อาร์คิมิดีสสามารถค้นหาพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ ได้ง่ายขึ้น (เช่น ส่วนของพาราโบลา) รวมถึงปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ต่างๆ (โดยเฉพาะ ลูกบอล)

ในบทความเรื่อง "บนความสมดุลของร่างกายระนาบหรือบนจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงระนาบ" อาร์คิมีดีสอธิบายทฤษฎีจุดศูนย์ถ่วงตามความเป็นจริง เช่นเดียวกับที่ยุคลิดได้อธิบายเรขาคณิตในหนังสือ "Beginnings" ขั้นแรกให้ "ข้อสันนิษฐาน" จำนวนหนึ่งซึ่งก็คือสัจพจน์

ในที่นี้ "เท่ากัน" อีกครั้งหมายถึงขนาดเท่ากัน ในกรณีนี้คือมีน้ำหนักเท่ากัน ความหมายของข้อเสนอคือหากตัวเลขบางส่วนที่ถูกระงับอยู่ในสมดุลสมดุลจะไม่ถูกรบกวนเมื่อแทนที่ด้วยตัวเลขที่มีน้ำหนักเท่ากัน

ข้าว. 2. ตัวเลขสองตัวที่มีน้ำหนักเท่ากันกับตัวเลขที่สามมีค่าเท่ากัน

จากสมมติฐานเหล่านี้ อาร์คิมิดีสได้พิสูจน์ข้อพิสูจน์หลายประการ

การพิสูจน์ในหนังสือ "บนดุลยภาพ ... " ส่วนใหญ่ดำเนินการโดยวิธี "โดยความขัดแย้ง" ลองพิจารณาตัวอย่างข้อ 1 ปล่อยให้น้ำหนักที่กำหนดซึ่งสมดุลกับความยาวเท่ากัน ไม่เท่ากัน จากนั้นหลังจากลบบางสิ่งออกจากอันที่ใหญ่กว่าและเพิ่มไปยังอันที่เล็กกว่า ความสมดุลจะต้องถูกหัก (ตามสัจพจน์ที่ 2 และ 3) และสิ่งนี้ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าวัตถุที่เท่ากันที่ความยาวเท่ากันนั้นมีความสมดุล (ตามสัจพจน์ที่ 1)

ล. 1 / ล. 2 \u003d พี 2 / พี 1.

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ อาร์คิมีดีสแยกพิจารณาสองกรณี: น้ำหนักที่ให้มานั้นสมน้ำสมเนื้อหรือสมน้ำสมเนื้อกัน ในกรณีแรก น้ำหนักของวัตถุทั้งสองเป็นทวีคูณของน้ำหนักบางส่วน P 0: P 1 = n 1 P 0 , P 2 = n 2 P 0 . อาร์คิมิดีสแทนที่วัตถุที่มีน้ำหนัก P 1 ด้วย n 1 วัตถุที่มีน้ำหนัก P 0 อย่างละชิ้น และวัตถุที่มีน้ำหนัก P 2 ด้วย n 2 วัตถุที่มีน้ำหนัก P 0 อย่างละชิ้น และจัดเรียงวัตถุทั้งหมด (n 1 + n 2) เหล่านี้บนตัวตรง เพื่อให้จุดศูนย์ถ่วงที่อยู่ประชิดอยู่ห่างกันเท่าๆ กัน

ยิ่งไปกว่านั้น ตามสมมติฐานที่ 6 การแทนที่แบบนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง และเนื่องจากตามข้อ 3 สำหรับวัตถุเหล่านี้ (n 1 + n 2) จุดศูนย์ถ่วงอยู่ตรงกลาง ดังนั้นสำหรับวัตถุดั้งเดิมทั้งสองจึงอยู่ในที่เดียวกันด้วย นี่หมายความว่า l 1 /l 2 = P 2 /P 1

ในกรณีของน้ำหนักที่ประเมินค่าไม่ได้ อาร์คิมิดีสพิสูจน์อีกครั้งด้วยความขัดแย้ง: เขาสันนิษฐานว่าวัตถุที่มีน้ำหนักและแขวนอยู่บนส่วนที่ตรงตามเงื่อนไขจะไม่อยู่ในสภาวะสมดุล ซึ่งหมายความว่าน้ำหนักจะมากหรือน้อยเกินความจำเป็นสำหรับสภาวะสมดุล ถ้ามันใหญ่กว่าเราจะลบน้ำหนักออกเพื่อให้น้ำหนักที่เหลืออยู่ในแง่หนึ่งยังคงเกินความจำเป็นสำหรับความสมดุลและอีกนัยหนึ่งเพื่อให้มันสมน้ำสมเนื้อกับจากนั้นในอีกด้านหนึ่ง (ตั้งแต่ เกินความจำเป็นสำหรับดุลยภาพ) แต่ในทางกลับกัน (เพราะมันกลายเป็นความขัดแย้ง หมายความว่ามีไม่เกินความจำเป็นสำหรับดุลยภาพ ถ้าน้อยกว่าที่จำเป็นสำหรับดุลยภาพ ก็ให้เหตุผลเดียวกันมากกว่าและค่อนข้างเท่ากันทั้งหมด สามารถดำเนินการได้ ดังนั้น กฎแห่งคันโยกได้รับการพิสูจน์แล้ว

(เป็นที่ทราบกันว่าคันโยกครอบครองพื้นที่ขนาดใหญ่ในกิจกรรมของอาร์คิมิดีส - ไม่เพียง แต่เป็นช่างกลเชิงทฤษฎีเท่านั้น แต่ยังเป็นผู้ออกแบบอุปกรณ์เชิงกลที่ใช้จริงอีกด้วย คำพูดของอาร์คิมิดีสมักถูกอ้างถึงว่า "ให้ศูนย์กลางแก่ฉันแล้วฉันจะ เคลื่อนโลก")

จากสิ่งที่กล่าวมาแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าจะหาจุดศูนย์ถ่วงของน้ำหนักจุดเท่ากันสามจุดซึ่งอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยม ABC ได้อย่างไร กล่าวคือจุดศูนย์ถ่วงของน้ำหนักบรรทุกที่จุด A และ B (ถือเป็นเนื้อเดียว) อยู่ตรงกลางของส่วน AB และจุดศูนย์ถ่วงของจุดยอดทั้งสามจะต้องอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอด C กับ จุดกึ่งกลางของด้าน AB นั่นคือบนค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุด C และต้องหารด้วยความสัมพันธ์ (PA + PB ) : PC = 2:1 นับจากจุดบนสุดของ C . เนื่องจากเหตุผลเดียวกันนี้ใช้กับค่ามัธยฐานอีกสองตัว ปรากฎว่าค่ามัธยฐานทั้งสามตัดกันที่จุดหนึ่ง (กล่าวคือ ที่จุดศูนย์ถ่วงจุดเดียว) และหารด้วยอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากด้านบน ข้อความนี้เรียกโดยทั่วไปว่า "ทฤษฎีบทมัธยฐาน" ข้าว. 7. ทฤษฎีบทค่ามัธยฐานได้รับการพิสูจน์โดยใช้กฎของเลเวอเรจ ใช้แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วง ลองพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้สำหรับ DABC จัตุรมุขตามอำเภอใจ (นั่นคือ พีระมิดรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม 4 รูป) อาร์คิมิดีสในงานของเขากำลังมองหาจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบนๆ (สันนิษฐานว่าพวกมันมีความหนาและความหนาแน่นเท่ากัน) ค่อนข้างง่ายที่จะเข้าใจจากสมมาตรว่าจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ที่จุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน ไม่ชัดเจนว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน ปรากฎว่ามันอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานด้วย: จุดนี้จึงเรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม (ไม่ใช่แค่จุดศูนย์ถ่วงของจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม) ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่ค่ามัธยฐานโดยพลการของสามเหลี่ยม อาร์คิมีดีสดำเนินการพิสูจน์ในสองวิธี เราจะพิจารณาเพียงอย่างเดียว อีกครั้ง อาร์คิมิดีสพิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง: ให้จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม ABC เป็นจุด G ที่ไม่อยู่บนค่ามัธยฐาน เชื่อมต่อจุดนี้กับจุด A , B และ C วาดส่วน DE, DF และ EF โดยที่ E คือจุดกึ่งกลางของ AB และ F คือจุดกึ่งกลางของ AC ขนานกับ AG ให้วาด EK และ FL (K อยู่บน AG , L อยู่บน BG ) ให้ EF ตัดกับ AG ที่จุด M และ KL ตัดกับ DG ที่จุด N พิจารณาสามเหลี่ยม BED เนื่องจากมันคล้ายกับสามเหลี่ยม BAC ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงในนั้นจึงอยู่ในลักษณะเดียวกันดังนั้นจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุด K (โดยความเท่าเทียมกันของมุมในรูปสามเหลี่ยม BAG และ BEK พวกมันจึงคล้ายกัน) ในทำนองเดียวกัน จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม DFC ตรงกับจุด L รูปที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้มีจุดศูนย์ถ่วงอยู่ตรงกลางของส่วน KL (เนื่องจากรูปสามเหลี่ยม BED และ DFC เท่ากัน) และตรงกับจุด N (ซึ่งสามารถแสดงโดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันได้เช่นกัน) จุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน LEDF คือจุด M ดังนั้น สำหรับสามเหลี่ยม ABC ทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม BED และ DFC จุดศูนย์ถ่วงจึงเป็นของส่วน MN ดังนั้น จุด G จึงอยู่บนส่วน MN ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เว้นแต่ว่า G จะไม่อยู่บนค่ามัธยฐาน ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมจึงตรงกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน

ในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรม มันจำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบนที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบง่ายๆ ที่ทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง งานนี้เป็นส่วนหนึ่งของงานกำหนด...

ลักษณะทางเรขาคณิตของหน้าตัดประกอบของคานและเส้น บ่อยครั้งที่คำถามดังกล่าวต้องเผชิญกับวิศวกรผู้ออกแบบแม่พิมพ์เจาะรูเมื่อกำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของความดัน ผู้พัฒนาแผนการโหลดสำหรับยานพาหนะต่าง ๆ เมื่อวางโหลด ผู้ออกแบบโครงสร้างโลหะอาคารเมื่อเลือกส่วนขององค์ประกอบ และแน่นอนนักเรียนเมื่อศึกษา สาขาวิชา "กลศาสตร์เชิงทฤษฎี" และ "ความแข็งแรงของวัสดุ"

ห้องสมุดของตัวเลขเบื้องต้น

สำหรับรูปทรงระนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะตรงกับจุดศูนย์กลางสมมาตร กลุ่มวัตถุพื้นฐานที่สมมาตรประกอบด้วย: วงกลม, สี่เหลี่ยมผืนผ้า (รวมถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส), สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รวมถึงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน), รูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากสิบตัวเลขที่แสดงในรูปด้านบน มีเพียงสองตัวเท่านั้นที่เป็นพื้นฐาน นั่นคือการใช้สามเหลี่ยมและส่วนของวงกลมคุณสามารถรวมตัวเลขที่น่าสนใจในทางปฏิบัติได้เกือบทั้งหมด เส้นโค้งตามอำเภอใจสามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และแทนที่ด้วยส่วนโค้งของวงกลม

ตัวเลขแปดตัวที่เหลือเป็นตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงรวมอยู่ในห้องสมุดประเภทนี้ ในการจำแนกประเภทของเรา องค์ประกอบเหล่านี้ไม่ใช่องค์ประกอบพื้นฐาน สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมด้านขนาน และสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถประกอบขึ้นจากสามเหลี่ยมสองรูป รูปหกเหลี่ยมเป็นผลรวมของรูปสามเหลี่ยมสี่รูป ส่วนของวงกลมคือความแตกต่างระหว่างส่วนของวงกลมและสามเหลี่ยม ภาควงแหวนของวงกลมคือความแตกต่างระหว่างสองภาค วงกลมเป็นส่วนของวงกลมที่มีมุม α=2*π=360˚ ครึ่งวงกลมคือเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=π=180˚ ตามลำดับ

การคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขผสมใน Excel

การส่งและรับรู้ข้อมูลด้วยการพิจารณาตัวอย่างนั้นง่ายกว่าเสมอ กว่าการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณทางทฤษฎีล้วนๆ พิจารณาวิธีแก้ปัญหา "จะหาจุดศูนย์ถ่วงได้อย่างไร" ในตัวอย่างรูปประกอบที่แสดงในรูปด้านล่างข้อความนี้

ส่วนประสมคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ที่มีขนาด ก1 =80 มม. ข1 \u003d 40 มม.) ซึ่งเพิ่มสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ด้านบนซ้าย (ด้วยขนาดของฐาน ก2 =24 มม. และสูง ชม.2 \u003d 42 มม.) และครึ่งวงกลมถูกตัดจากด้านบนขวา (อยู่กึ่งกลางที่จุดที่มีพิกัด x03 =50 มม. และ ย03 =40 มม. รัศมี ร3 =26 มม.)

เพื่อช่วยคุณในการคำนวณ เราจะเกี่ยวข้องกับโปรแกรม เอ็มเอส เอ็กเซล หรือโปรแกรม Oo คำนวณ . คนใดคนหนึ่งจะรับมือกับงานของเราได้อย่างง่ายดาย!

ในเซลล์ด้วย สีเหลือง การเติมสามารถทำได้ ตัวช่วยเบื้องต้น การคำนวณ .

ในเซลล์ที่มีการเติมสีเหลืองอ่อน เราจะนับผลลัพธ์

สีฟ้า แบบอักษรคือ ข้อมูลเริ่มต้น .

สีดำ แบบอักษรคือ ระดับกลาง ผลการคำนวณ .

สีแดง แบบอักษรคือ สุดท้าย ผลการคำนวณ .

เราเริ่มแก้ปัญหา - เราเริ่มค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

ข้อมูลเริ่มต้น:

1. ชื่อของตัวเลขพื้นฐานที่สร้างส่วนประกอบจะถูกป้อนตามนั้น

ไปที่เซลล์ D3: สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ไปที่เซลล์ E3: สามเหลี่ยม

ไปที่เซลล์ F3: ครึ่งวงกลม

2. การใช้ "ไลบรารีของตัวเลขพื้นฐาน" ที่นำเสนอในบทความนี้กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงขององค์ประกอบของส่วนประกอบ xciและ ใช่หน่วยเป็น มม. เทียบกับแกนที่เลือกโดยพลการ 0x และ 0y และเขียน

ไปยังเซลล์ D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = ก 1 /2

ไปที่เซลล์ D5: =40/2 =20,000

ปี 1 = ข 1 /2

ไปที่เซลล์ E4: =24/2 =12,000

xc 2 = ก 2 /2

ไปที่เซลล์ E5: =40+42/3 =54,000

ปี 2 = ข 1 + ชม. 2 /3

ไปที่เซลล์ F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

ไปยังเซลล์ F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

ปี 3 = ย 03 -4* r3 /3/ π

3. คำนวณพื้นที่ขององค์ประกอบ ฉ 1 , ฉ 2 , ฉ3 ใน mm2 โดยใช้สูตรจากส่วน "ไลบรารีของตัวเลขพื้นฐาน" อีกครั้ง

ในเซลล์ D6: =40*80 =3200

ฉ1 = ก 1 * ข1

ในเซลล์ E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

ในเซลล์ F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

พื้นที่ขององค์ประกอบที่สาม - ครึ่งวงกลม - เป็นค่าลบเนื่องจากช่องเจาะนี้เป็นพื้นที่ว่าง!

การคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง:

4. กำหนดพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลขสุดท้าย ฉ0 ในหน่วย mm2

ในเซลล์ที่ผสาน D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

ฉ0 = ฉ 1 + ฉ 2 + ฉ3

5. คำนวณช่วงเวลาคงที่ของตัวเลขประกอบ เอสเอ็กซ์และ ไซใน mm3 เทียบกับแกนที่เลือก 0x และ 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

เอสเอ็กซ์ = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

ในเซลล์ที่ผสาน D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

ไซ = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. และสุดท้าย เราคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนประกอบ Xcและ ปีหน่วยเป็น มม. ในระบบพิกัดที่เลือก 0x - 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = ไซ / ฉ0

ในเซลล์ที่ผสาน D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

งานได้รับการแก้ไขการคำนวณใน Excel เสร็จสมบูรณ์ - พบพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่รวบรวมโดยใช้องค์ประกอบง่ายๆ สามอย่าง!

บทสรุป.

ตัวอย่างในบทความได้รับเลือกให้เรียบง่ายมากเพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น วิธีการนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขที่ซับซ้อนใดๆ ควรแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่ายๆ ด้วยตำแหน่งที่ทราบของจุดศูนย์ถ่วง และควรทำการคำนวณขั้นสุดท้ายสำหรับทั้งส่วน

หากส่วนประกอบด้วยโปรไฟล์แบบม้วน - มุมและช่องก็ไม่จำเป็นต้องแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยตัดวงกลม "π / 2" - ภาค พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของโปรไฟล์เหล่านี้ระบุไว้ในตาราง GOST นั่นคือทั้งมุมและช่องจะเป็นองค์ประกอบพื้นฐานพื้นฐานในการคำนวณส่วนประกอบของคุณ (ไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึง I-beams ท่อ , แท่งและหกเหลี่ยม - เป็นส่วนสมมาตรจากส่วนกลาง)

แน่นอนว่าตำแหน่งของแกนพิกัดบนตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของรูปนั้นไม่ส่งผลกระทบ! ดังนั้น เลือกระบบพิกัดที่ทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น ถ้าฉันหมุนระบบพิกัด 45˚ ตามเข็มนาฬิกาในตัวอย่างของเรา การคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม และครึ่งวงกลมจะกลายเป็นอีกขั้นตอนการคำนวณที่แยกจากกันและยุ่งยากซึ่งคุณไม่สามารถทำได้ “ ในหัวของคุณ".

ไฟล์การคำนวณ Excel ที่แสดงด้านล่างไม่ใช่โปรแกรมในกรณีนี้ แต่เป็นภาพร่างของเครื่องคิดเลข อัลกอริทึม เทมเพลตที่ตามมาในแต่ละกรณี สร้างลำดับสูตรของคุณเองสำหรับเซลล์ที่มีการเติมสีเหลืองสดใส.

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาจุดศูนย์ถ่วงของส่วนใดส่วนหนึ่งแล้ว! การคำนวณที่สมบูรณ์ของลักษณะทางเรขาคณิตทั้งหมดของส่วนคอมโพสิตที่ซับซ้อนตามอำเภอใจจะได้รับการพิจารณาในบทความถัดไปในหัวข้อ "" ติดตามข่าวสารได้ที่บล็อก

สำหรับ รับ ข้อมูลเกี่ยวกับการเปิดตัวบทความใหม่ และสำหรับ ดาวน์โหลดไฟล์โปรแกรมทำงาน ฉันขอให้คุณสมัครรับประกาศในหน้าต่างที่อยู่ท้ายบทความหรือในหน้าต่างด้านบนของหน้า

หลังจากป้อนที่อยู่อีเมลของคุณและคลิกที่ปุ่ม "รับประกาศเกี่ยวกับบทความ" อย่าลืม ยืนยันการสมัคร โดยคลิกที่ลิงค์ ในจดหมายที่จะมาถึงคุณทันทีที่จดหมายที่ระบุ (บางครั้ง - ในโฟลเดอร์ « สแปม » )!

คำสองสามคำเกี่ยวกับแก้ว เหรียญ และส้อมสองอัน ซึ่งแสดงอยู่ใน "ภาพประกอบไอคอน" ที่ตอนต้นของบทความ หลายๆ คนคงคุ้นเคยกับ "กลอุบาย" นี้อย่างแน่นอน ซึ่งกระตุ้นการจ้องมองอย่างชื่นชมจากเด็กและผู้ใหญ่ที่ไม่ได้ฝึกหัด หัวข้อของบทความนี้คือจุดศูนย์ถ่วง มันคือเขาและศูนย์กลาง เล่นกับสติและประสบการณ์ของเรา เพียงแค่หลอกความคิดของเรา!

จุดศูนย์ถ่วงของระบบ "ส้อม + เหรียญ" จะอยู่ที่เดิมเสมอ แก้ไขแล้วระยะทาง แนวตั้งลงจากขอบเหรียญซึ่งจะเป็นจุดศูนย์กลาง นี่คือตำแหน่งของสมดุลที่มั่นคง!หากคุณเขย่าส้อม จะเห็นได้ชัดว่าระบบกำลังพยายามรักษาตำแหน่งเดิมที่มั่นคง! ลองนึกภาพลูกตุ้ม - จุดยึด (= จุดรองรับของเหรียญที่ขอบกระจก) แกนแกนของลูกตุ้ม (= ในกรณีของเรา แกนเป็นเสมือน เนื่องจากมวลของส้อมทั้งสอง ถูกแยกออกจากกันในทิศทางต่างๆ ของพื้นที่) และโหลดที่ด้านล่างของแกน (= จุดศูนย์ถ่วงของระบบ "ส้อม" ทั้งหมด + เหรียญ") หากคุณเริ่มเบี่ยงเบนลูกตุ้มจากแนวตั้งในทิศทางใด ๆ (ไปข้างหน้า, ถอยหลัง, ซ้าย, ขวา) จากนั้นมันจะกลับสู่ตำแหน่งเดิมอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง สภาวะสมดุลคงที่(เช่นเดียวกันกับส้อมและเหรียญของเรา)!

ใครไม่เข้าใจ แต่ต้องการเข้าใจ - คิดออกด้วยตัวคุณเอง "เข้าถึง" ตัวเองได้น่าสนใจมาก! ฉันจะเพิ่มว่ามีการใช้หลักการเดียวกันของการใช้เครื่องชั่งที่มั่นคงในของเล่น Roly-Get Up เฉพาะจุดศูนย์ถ่วงของของเล่นนี้เท่านั้นที่อยู่เหนือจุดศูนย์กลาง แต่อยู่ใต้ศูนย์กลางของซีกโลกของพื้นผิวรองรับ

ความคิดเห็นของคุณยินดีต้อนรับเสมอผู้อ่านที่รัก!

ฉันขอ, เคารพ ผลงานของผู้เขียน ดาวน์โหลดไฟล์ หลังจากสมัครสมาชิก สำหรับประกาศบทความ

งานห้องปฏิบัติการ

“การกำหนดช่วงเวลาของความเฉื่อยของลิงค์

กลไกโดยวิธีลูกตุ้มทางกายภาพ”

1. วัตถุประสงค์ของงาน

ทำความคุ้นเคยกับการกำหนดช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของการเชื่อมโยงของกลไกโดยใช้วิธีการของลูกตุ้มทางกายภาพ

2. ส่วนทางทฤษฎี

ลูกตุ้มทางกายภาพเป็นร่างกายที่แข็งและมีรูปร่างตามอำเภอใจซึ่งแขวนอยู่บนแกนคงที่ในแนวนอน ตัวอย่างเช่นลูกตุ้มทางกายภาพสามารถเป็นก้านสูบได้ 1 ติดตั้งด้วยตาที่ขอบของปริซึมคงที่ 2 (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ลูกตุ้มทางกายภาพ

ถ้าก้านต่อเบี่ยงออกจากแนวตั้งแล้วปล่อย ก้านต่อก็จะเริ่มแกว่งในระนาบตั้งฉากกับขอบปริซึมรอบจุด . ระหว่างช่วงเวลาของการแกว่งและโมเมนต์ความเฉื่อยของก้านสูบที่สัมพันธ์กับแกนของมันภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงมีความสัมพันธ์บางอย่าง:

, (1)

ที่ไหน
โมเมนต์ความเฉื่อยของก้านสูบรอบจุดศูนย์ถ่วง
;
แรงโน้มถ่วงของก้านสูบ,
;
ระยะห่างจากจุดศูนย์ถ่วงของก้านสูบถึงแกนช่วงล่าง
;
ระยะเวลาการสั่น, ;

, (2)

ที่ไหน
โมเมนต์ความเฉื่อยของก้านสูบที่สัมพันธ์กับแกนช่วงล่าง
.

เป็นที่ทราบกันดีว่าข้อผิดพลาดที่น้อยที่สุดในการกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของการเชื่อมโยงโดยวิธีการของลูกตุ้มทางกายภาพนั้นจะได้รับด้วยแอมพลิจูดการสั่นสูงถึง . นอกจากนี้ วิธีนี้ยังสามารถใช้ได้กับข้อต่อที่แขวนอยู่บนขอบของปริซึมสามหน้าอย่างสะดวก (แท่ง ข้อเหวี่ยง และข้อต่อคันโยกอื่นๆ ที่มีสลัก)

การคำนวณผิดพลาด เมื่อกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยสามารถทำได้หากทำตามสูตร (1)

และ
.

. (3)

. (4)

. (5)

. (6)

อันดับแรก ตามสูตร (6) จะพิจารณาข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ และ จากนั้นตามสูตร (5) – ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์
และ
และสุดท้าย ตามสูตร (4) ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ของค่า .

เมื่อพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อย จำเป็นต้องกำหนดแรงโน้มถ่วงของลิงค์และตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงด้วย แรงโน้มถ่วงของลิงค์ถูกกำหนดโดยการชั่งน้ำหนัก ตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง - ขึ้นอยู่กับขนาดและรูปร่างของลิงค์ - โดยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

2.1. การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของขนาดเล็ก

ลิงค์ 1 วางบนขอบของปริซึมสามชั้นเพื่อให้อยู่ในสภาวะสมดุล (ดูรูปที่ 2) คะแนนถูกทำเครื่องหมายไว้ที่ลิงค์ " " และ " » วางชิดขอบปริซึม จากนั้นจุดเหล่านี้จะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง จุดตัดของเส้นนี้กับแกนสมมาตร
กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง .

ข้าว. 2. การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของลิงค์ที่มีแกนสมมาตร

ระยะทาง " » จากจุดศูนย์ถ่วงจนถึงจุดช่วงล่างถูกกำหนดโดยใช้สเกลบาร์

2.2. การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงขนาดใหญ่

ลิงก์ที่มีแกนสมมาตร

ลิงค์ 1 (ดูรูปที่ 3) แขวนอยู่บนด้าย 2 ติดอยู่ที่ปลายของมัน มีสายดิ่งติดอยู่ที่จุดกันสะเทือน 3 . จุดตัดของเส้นดิ่งกับแกนสมมาตรของลิงค์
และกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของลิงค์

2.3. การกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของลิงค์

ไม่มีแกนสมมาตร

การกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงนั้นดำเนินการโดยการหยุดการเชื่อมโยงที่จุดสองจุดอย่างต่อเนื่อง (รูปที่ 4) ด้วยการระงับแต่ละครั้งด้วยเส้นลูกดิ่งให้ทำเครื่องหมายเส้น
และ
. จุด การข้ามเส้น
และ
จะเป็นจุดศูนย์ถ่วงที่ต้องการ

3. เครื่องมือและอุปกรณ์เสริมสำหรับการทำงาน

1) อุปกรณ์ ТММ25 และ ТММ25а; 2) นาฬิกาจับเวลาแบบเข็มเดียว รุ่น SM-60; 3) ไม้บรรทัดวัดโลหะ 4) เครื่องชั่ง 5) สายไฟที่มีลูกดิ่ง 6) ลิงค์ (ก้านสูบ, ข้อเหวี่ยง, คันโยก) ซึ่งกำหนดช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย

4. คำอธิบายของอุปกรณ์

ส่วนหลักของอุปกรณ์ TMM25 (รูปที่ 5) คือปริซึมเหล็กชุบแข็งและกราวด์ 1 แก้ไขบนชั้นวาง 2 เพื่อให้ขอบการทำงานหงายขึ้น ตู้แร็ค 2 ติดตั้งบนขาตั้งกล้อง 3 ติดตั้งสกรูสองตัว 4 และระดับรอบ 6 เพื่อนำขอบการทำงานของปริซึมไปยังตำแหน่งแนวนอน ภายใต้ปริซึมบนชั้นวาง 2 แถบรูปลิ่มคงที่ 5 ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวบ่งชี้แอมพลิจูดการแกว่งสูงสุดที่อนุญาตของลิงค์

อุปกรณ์ TMM25a (ดูรูปที่ 6) ประกอบด้วยตัวยึด 2 ยึดกับผนังอย่างแน่นหนาด้วยสลักเกลียว 3 . ปริซึม 1 ฝังอยู่ในวงเล็บ 2 .

คำแนะนำ

ลองหาศูนย์ดูครับ แรงโน้มถ่วงแบน ตัวเลขจากประสบการณ์ นำดินสอที่ยังไม่เหลาใหม่มาตั้งตรง วางรูปแบนไว้ด้านบน ทำเครื่องหมายจุดบนรูปที่จับดินสออย่างแน่นหนา ที่นี่จะเป็นศูนย์กลาง แรงโน้มถ่วงของคุณ ตัวเลข. แทนที่จะใช้ดินสอ เพียงใช้นิ้วชี้ที่ยื่นขึ้นมา แต่ท้ายที่สุดแล้วจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่านิ้วตั้งตรงไม่แกว่งหรือสั่น

เพื่อแสดงให้เห็นว่าจุดที่ได้คือจุดศูนย์กลางมวล ให้ใช้เข็มเจาะรู สอดด้ายผ่านรูผูกปมที่ปลายด้านหนึ่ง - เพื่อไม่ให้ด้ายโผล่ออกมา จับปลายอีกด้านของด้ายแขวนไว้ ถ้าศูนย์ แรงโน้มถ่วงถูกต้องตัวเลขจะอยู่ขนานกับพื้น ด้านข้างของเธอจะไม่แกว่งไปแกว่งมา

ค้นหาศูนย์ แรงโน้มถ่วง ตัวเลขในทางเรขาคณิต หากคุณมีรูปสามเหลี่ยม ให้สร้างรูปสามเหลี่ยมขึ้นมา ส่วนเหล่านี้เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม จุดจะกลายเป็น ศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม คุณยังสามารถพับครึ่งร่างเพื่อหาจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งได้ แต่โปรดจำไว้ว่าการทำเช่นนี้จะทำให้ความสม่ำเสมอไม่เท่ากัน ตัวเลข.

เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้ทางเรขาคณิตและเชิงประจักษ์ สร้างความคืบหน้าของการทดลอง ข้อผิดพลาดเล็กน้อยถือว่าเป็นเรื่องปกติ พวกเขาอธิบายได้ด้วยความไม่สมบูรณ์ ตัวเลข, ความไม่แม่นยำของเครื่องมือ, ปัจจัยจากมนุษย์ (ข้อบกพร่องเล็กน้อยในการทำงาน, ความไม่สมบูรณ์ของสายตามนุษย์ ฯลฯ)

แหล่งที่มา:

• การคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงระนาบ

ศูนย์กลางของภาพสามารถพบได้หลายวิธีขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบอยู่แล้ว ควรพิจารณาหาจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งเป็นจุดรวมที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากันเนื่องจากตัวเลขนี้เป็นหนึ่งในจุดที่พบมากที่สุด

คุณจะต้องการ

• - สี่เหลี่ยม;
• - ไม้บรรทัด.

คำแนะนำ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาจุดศูนย์กลางของวงกลมคือการงอกระดาษที่วาดไว้ โดยดูที่แสง ว่าพับครึ่งพอดีเป๊ะ จากนั้นพับแผ่นตั้งฉากกับพับแรก ดังนั้นคุณจะได้เส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งเป็นจุดตัดกันซึ่งอยู่ตรงกลางของรูป

P1= m1*g, P2= m2*g;

จุดศูนย์ถ่วงอยู่ระหว่างมวลทั้งสอง และถ้าร่างกายทั้งหมดถูกระงับใน tO มูลค่าของความสมดุลจะเกิดขึ้นนั่นคือสิ่งเหล่านี้จะหยุดการชั่งน้ำหนักซึ่งกันและกัน

รูปทรงเรขาคณิตที่หลากหลายมีกายภาพและการคำนวณเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วง แต่ละคนมีแนวทางและวิธีการของตัวเอง

เมื่อพิจารณาจากดิสก์เราชี้แจงว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่ภายในเส้นผ่านศูนย์กลางอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น (ดังแสดงในรูปในจุด C - จุดตัดของเส้นผ่านศูนย์กลาง) ในทำนองเดียวกันจะพบศูนย์กลางของลูกบอลคู่ขนานหรือลูกบอลที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ดิสก์ที่นำเสนอและวัตถุสองชิ้นที่มีมวล m1 และ m2 มีมวลสม่ำเสมอและมีรูปร่างปกติ สามารถสังเกตได้ว่าจุดศูนย์ถ่วงที่เรากำลังมองหาอยู่ภายในวัตถุเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ในร่างกายที่มีมวลไม่เป็นเนื้อเดียวกันและมีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ จุดศูนย์กลางสามารถอยู่ถัดไปได้ คุณเองรู้สึกว่างานนั้นยากขึ้นแล้ว

แฟชั่นสำหรับ "ผู้หญิงที่ดูเหมือนเด็กผู้ชาย" ผ่านไปนานแล้ว แต่เพศที่ยุติธรรมกว่าหลายคนยังคงต้องการมีรองเท้าบู้ทแบน แม้ว่าวันนี้จะเป็น "แฟชั่น" เพื่อแสดงให้เห็นถึงเรื่องเพศที่เบ่งบานร่างกายที่กลมกลืนสวยงามและได้รับการฝึกฝน ในกรณีนี้ลาที่สวยงามเป็นองค์ประกอบที่ขาดไม่ได้ไม่เพียง แต่ผู้หญิงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความงามของผู้ชายด้วย

คำแนะนำ

ถึง ตูดแบน คุณต้องทำดังต่อไปนี้ 1 แบบฝึกหัด "ยกขา" แบบฝึกหัดนี้มีหลายเวอร์ชัน ขึ้นทั้งสี่ - ไปที่ตำแหน่งเริ่มต้นจากนั้นยกขาแต่ละข้างสลับกันเพื่อให้ต้นขาขนานกับพื้น ล็อกขาให้อยู่ในท่ากดเพื่อเคลื่อนไหวขึ้นอย่างสปริงตัว ในเวลาเดียวกันให้ความสนใจกับการตรึงขาของคุณไว้ที่ข้อเท้าและข้อเข่า พยายามอย่าเปลี่ยนตำแหน่งนี้

แบบฝึกหัดที่ 2 "ยกกระดูกเชิงกราน" นอนราบ วางแขนขนานกับลำตัว แล้วงอเข่า หลังจากนั้นให้ยกกระดูกเชิงกรานขึ้นจากพื้น เกร็งก้นอย่างแรง ในเวลาเดียวกันส่วนบนและมือไม่ควรหลุดออกจากพื้น ในตำแหน่งเดียวกันให้เคลื่อนไหวขึ้นสปริง

แบบฝึกหัดที่ 3 "Lifting" ยืนขึ้น แยกเท้าให้กว้างเท่าหัวไหล่ ยกและลดเข่าข้างหนึ่งให้สูงที่สุด เมื่อยกเข่าขึ้นให้พยายามอยู่ให้นานที่สุดโดยไม่ขยับ ขาข้างเดียว ท่านี้ใช้ได้ผลดีกับบริเวณที่อยู่เหนือบั้นท้ายพอดี

แบบฝึกหัดที่ 4 "หมอบด้วยการลักพาตัวของกระดูกเชิงกราน" ยืนเพื่อให้ขาของคุณกว้างกว่าไหล่และเท้าของคุณขนานกับพวกเขา ในกรณีนี้ขาซ้ายควรอยู่ด้านหลังขวาเล็กน้อย จากนั้นนั่งลง พิงขาซ้ายของคุณแล้วเอากระดูกเชิงกรานของคุณไปด้านหลัง ในขณะเดียวกันให้เหยียดแขนไปข้างหน้าเท้าซ้ายให้หลังตรง หลังจากนั้น ยืนขึ้น ถ่ายน้ำหนักทั้งหมดไปที่ขาขวา เอนหลังซ้าย แล้วยกแขนขึ้นเหนือศีรษะ ทำซ้ำ 10 ครั้ง แล้วเปลี่ยนขา

แบบฝึกหัดที่ 5 "Lunges with a wheel" พุ่งไปข้างหน้าโดยเริ่มจากเท้าซ้ายหมุนตามเข็มนาฬิกาเล็กน้อย จากนั้นโน้มตัวไปข้างหน้าจากสะโพก ในขณะเดียวกันให้กางแขนออกให้กว้างราวกับว่าคุณต้องการทำล้อ ค้างไว้สองสามวินาทีในท่านี้ จากนั้นยืนขึ้นโดยรักษาตำแหน่งของขาขวาไว้ ก้าวไปทางซ้ายแล้วหันปลายเท้าออกไปทางซ้าย หมอบลงและเอนไปทางซ้าย

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

แหล่งที่มา:

• พื้นเรียบในปี 2019

ในความหมายทั่วไป จุดศูนย์ถ่วงถูกมองว่าเป็นจุดที่ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายสามารถนำไปใช้ได้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการแกว่งของเด็กในรูปแบบของกระดานปกติ หากไม่มีการคำนวณใด ๆ เด็ก ๆ จะรับการสนับสนุนจากกระดานในลักษณะที่สมดุล (หรืออาจเกินดุล) คนตัวหนักบนชิงช้า ในกรณีของเนื้อหาและส่วนต่างๆ ที่ซับซ้อน การคำนวณที่แม่นยำและสูตรที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ แม้ว่าจะได้รับการแสดงออกที่ยุ่งยาก แต่สิ่งสำคัญคืออย่ากลัวพวกเขา แต่ต้องจำไว้ว่าในตอนแรกเรากำลังพูดถึงงานที่เกือบจะเป็นพื้นฐาน

คำแนะนำ

พิจารณาคันโยกที่ง่ายที่สุด (ดูรูปที่ 1) ในตำแหน่งสมดุล วางบนแกนนอน x₁₂ โดยมี abscissa และวางจุดมวล m₁ และ m₂ ที่ขอบ พิจารณาพิกัดตามแกน 0x ที่ทราบและเท่ากับ x₁ และ x₂ คันโยกอยู่ในตำแหน่งสมดุลถ้าโมเมนต์ของน้ำหนัก Р₁=m₁g และ P₂=m₂g เท่ากัน โมเมนต์มีค่าเท่ากับผลคูณของแรงและไหล่ของมัน ซึ่งหาได้จากความยาวของเส้นตั้งฉากที่ทิ้งจากจุดที่ออกแรงไปยังแนวดิ่ง x=x₁₂ ดังนั้น จากรูปที่ 1 m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=x₁₂-x₁, ℓ₂=x₂-x₁₂ จากนั้น m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂) แก้สมการนี้แล้วจะได้ x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂)

ในการหาพิกัด y₁₂ ให้ใช้เหตุผลและการคำนวณแบบเดียวกับในขั้นตอนที่ 1 ทำตามภาพประกอบในรูปที่ 1 ต่อไป โดยที่ m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y₁₂ จากนั้น m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂) ผลลัพธ์คือ y₁₂=(m₁y₁+m₂y₂)/(m₁+m₂) นอกจากนี้ ให้พิจารณาว่าแทนที่จะเป็นระบบสองจุด มีจุด M₁₂(x12, y12) หนึ่งจุดของมวลทั้งหมด (m₁+m₂)

ในระบบของจุดสองจุด ให้เพิ่มมวล (m₃) ด้วยพิกัด (x₃, y₃) เมื่อทำการคำนวณ คุณควรพิจารณาว่าคุณกำลังจัดการกับจุดสองจุด โดยที่จุดที่สองมีมวล (m₁ + m₂) และพิกัด (x12, y12) ทำขั้นตอนที่ 1 และ 2 ซ้ำทั้งหมดสำหรับสองจุดนี้ คุณจะมาถึงจุดศูนย์กลางของสามจุด จากนั้นเพิ่มจุดที่สี่ ห้าและอื่นๆ หลังจากทำซ้ำขั้นตอนเดิมหลายๆ ครั้ง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับระบบที่มี n จุด พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงจะคำนวณตามสูตร (ดูรูปที่ 2) สังเกตว่าในกระบวนการทำงาน ความเร่งของแรงโน้มถ่วง g ลดลง ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลและแรงโน้มถ่วงจึงตรงกัน

ลองนึกภาพว่าในส่วนที่พิจารณามีพื้นที่ D ซึ่งความหนาแน่นของพื้นผิวคือ ρ=1 จากด้านบนและด้านล่างของรูปจะถูกจำกัดโดยกราฟของเส้นโค้ง y=φ(x) และ y=ψ(x), x є [a,b] แบ่งพื้นที่ D ด้วยแนวตั้ง x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) ออกเป็นแถบบางๆ เพื่อให้พิจารณาได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน ∆xi โดยประมาณ (ดู รูปที่ .3) ในกรณีนี้ ให้พิจารณาจุดกึ่งกลางของส่วน ∆xi ให้ตรงกับจุดศูนย์กลางมวล ξi=(1/2) พิจารณาความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยประมาณเท่ากับ [φ(ξi)-ψ(ξi)] จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของพื้นที่ประถมศึกษาคือ ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)]

เนื่องจากการกระจายความหนาแน่นสม่ำเสมอ ให้พิจารณาว่าจุดศูนย์กลางมวลของแถบนั้นตรงกับจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต มวลมูลฐานที่สอดคล้องกัน ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi มีความเข้มข้นที่จุด (ξi,ηi) ช่วงเวลานี้มาถึงแล้วสำหรับการเปลี่ยนกลับจากมวลซึ่งแสดงอยู่ในรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่องไปสู่มวลที่ต่อเนื่องกัน ตามสูตรการคำนวณพิกัด (ดูรูปที่ 2) ของจุดศูนย์ถ่วงจะมีการสร้างผลรวมรวมดังแสดงในรูปที่ 4a เมื่อผ่านถึงขีดจำกัดที่ ∆xi→0 (ξi→xi) จากผลรวมเป็นปริพันธ์แน่นอน คุณจะได้คำตอบสุดท้าย (รูปที่ 4b) ไม่มีมวลในคำตอบ ควรเข้าใจความเท่าเทียมกัน S=M ว่าเป็นค่าเชิงปริมาณเท่านั้น ขนาดแตกต่างกันที่นี่

จุดศูนย์ถ่วง(หรือ ศูนย์กลางมวล) ขององค์ใดองค์หนึ่งเรียกว่าจุดที่มีคุณสมบัติ คือ ถ้าองค์นั้นระงับจากจุดนี้แล้วก็จะคงตำแหน่งไว้.

ด้านล่างเราจะพิจารณาปัญหา 2 มิติและ 3 มิติที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาจุดศูนย์กลางมวลต่างๆ โดยส่วนใหญ่มาจากมุมมองของเรขาคณิตเชิงคำนวณ

ในโซลูชันที่กล่าวถึงด้านล่าง มีสองหลัก ข้อเท็จจริง. ประการแรกคือจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วนกับมวล ข้อเท็จจริงประการที่สองคือ ถ้าเราทราบจุดศูนย์กลางมวลของตัวเลขสองรูปที่ไม่ตัดกัน จุดศูนย์กลางมวลของพวกมันจะอยู่ในส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสอง และจะแบ่งมันในอัตราส่วนที่เท่ากันกับมวลของ ตัวเลขที่สองสัมพันธ์กับมวลของตัวเลขแรก

กรณีสองมิติ: รูปหลายเหลี่ยม

ในความเป็นจริง เมื่อพูดถึงจุดศูนย์กลางมวลของรูปสองมิติ อาจหมายถึงหนึ่งในสามต่อไปนี้: งาน:

• จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด - เช่น มวลทั้งหมดจะกระจุกตัวอยู่ที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น
• จุดศูนย์กลางมวลของเฟรม - เช่น มวลของรูปหลายเหลี่ยมจะกระจุกตัวอยู่ที่เส้นรอบรูป
• จุดศูนย์กลางมวลของของแข็ง - เช่น มวลของรูปหลายเหลี่ยมจะกระจายไปทั่วพื้นที่ทั้งหมด

ปัญหาเหล่านี้แต่ละข้อมีวิธีแก้ไขที่แยกจากกัน และจะพิจารณาแยกกันด้านล่าง

จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด

นี่เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดในสามปัญหา และวิธีแก้ปัญหาคือสูตรทางกายภาพที่รู้จักกันดีสำหรับจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัสดุ:

โดยที่มวลของจุดคือเวกเตอร์รัศมี (ระบุตำแหน่งเทียบกับจุดกำเนิด) และเป็นเวกเตอร์รัศมีที่ต้องการของจุดศูนย์กลางมวล

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าทุกจุดมีมวลเท่ากัน พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลก็คือ เฉลี่ยพิกัดจุด. สำหรับ สามเหลี่ยมจุดนี้เรียกว่า ศูนย์กลางและตรงกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน:

สำหรับ หลักฐานของสูตรเหล่านี้เพียงพอที่จะระลึกได้ว่าถึงจุดสมดุลที่ผลรวมของช่วงเวลาของแรงทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ สิ่งนี้จะกลายเป็นเงื่อนไขสำหรับผลรวมของเวกเตอร์รัศมีของจุดทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดนั้น คูณด้วยมวลของจุดที่สอดคล้องกัน เพื่อให้มีค่าเท่ากับศูนย์:

และจากที่นี่ เราได้รับสูตรที่ต้องการ

จุดศูนย์ถ่วงของเฟรม

แต่จากนั้นแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมสามารถถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว - ตรงกลางของส่วนนี้ (เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันคือตรงกลางของส่วนนี้) โดยมีมวลเท่ากับความยาวของส่วนนี้

ตอนนี้เราได้รับปัญหาเกี่ยวกับระบบของจุดวัสดุและใช้วิธีแก้ปัญหาจากย่อหน้าก่อนหน้ากับมัน เราพบ:

โดยที่จุดกึ่งกลางของด้านที่ 3 ของรูปหลายเหลี่ยมคือความยาวของด้านที่ 3 คือเส้นรอบรูป เช่น ผลรวมของความยาวของด้าน

สำหรับ สามเหลี่ยมสามารถแสดงข้อความต่อไปนี้: จุดนี้คือ จุดตัดแบ่งครึ่งรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดกึ่งกลางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเดิม (เพื่อแสดงสิ่งนี้ เราต้องใช้สูตรด้านบน จากนั้นสังเกตว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ในอัตราส่วนเดียวกับจุดศูนย์กลางมวลของด้านเหล่านี้)

จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงตัน

เราเชื่อว่ามวลมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วร่าง นั่นคือ ความหนาแน่นที่แต่ละจุดของรูปจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เคสสามเหลี่ยม

เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยม คำตอบยังคงเหมือนเดิม ศูนย์กลาง, เช่น. จุดที่เกิดจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด:

กรณีสามเหลี่ยม: หลักฐาน

เราให้หลักฐานเบื้องต้นที่ไม่ใช้ทฤษฎีปริพันธ์

อาร์คิมิดีสเป็นผู้พิสูจน์หลักฐานทางเรขาคณิตล้วน ๆ เป็นครั้งแรก แต่มีความซับซ้อนมาก เนื่องจากมีสิ่งก่อสร้างทางเรขาคณิตจำนวนมาก หลักฐานที่ให้ไว้ในที่นี้นำมาจากบทความของ Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way"

หลักฐานแสดงให้เห็นว่าจุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ค่ามัธยฐานค่าใดค่าหนึ่ง ทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกสองครั้ง เราจึงแสดงว่าจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน ซึ่งก็คือเซนทรอยด์

แบ่งสามเหลี่ยมนี้ออกเป็นสี่ส่วนโดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างดังแสดงในรูป:

สามเหลี่ยมผลลัพธ์ทั้งสี่จะคล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์

รูปสามเหลี่ยมหมายเลข 1 และหมายเลข 2 รวมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม (เนื่องจากเป็นรูปสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นทแยงมุมทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าจุดศูนย์กลางมวล ต้องอยู่บนเส้นทแยงมุมทั้งสองด้าน) จุดอยู่ตรงกลางด้านร่วมของสามเหลี่ยมหมายเลข 1 และหมายเลข 2 และยังอยู่บนค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมด้วย:

ตอนนี้ให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมหมายเลข 1 และให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดไปยังจุด (ซึ่ง จำได้ว่าคือจุดกึ่งกลางของด้านที่มันอยู่) :

เป้าหมายของเราคือการแสดงว่าเวกเตอร์และมีความใกล้เคียงกัน

แสดงโดย และ จุดที่เป็นจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมหมายเลข 3 และหมายเลข 4 จากนั้น เห็นได้ชัดว่าจุดศูนย์กลางมวลของผลรวมของสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเป็นจุด ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน นอกจากนี้ เวกเตอร์จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งจะเหมือนกับเวกเตอร์

จุดศูนย์กลางมวลที่ต้องการของสามเหลี่ยมอยู่ตรงกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดต่างๆ และ (เนื่องจากเราได้แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนในพื้นที่เท่าๆ กัน: หมายเลข 1-หมายเลข 2 และหมายเลข 3-หมายเลข 4):

ดังนั้น เวกเตอร์จากจุดยอดถึงเซนทรอยด์คือ ในทางกลับกันตั้งแต่ สามเหลี่ยมหมายเลข 1 คล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีค่าสัมประสิทธิ์ แล้วเวกเตอร์เดียวกันจะเท่ากับ . จากที่นี่เราได้สมการ:

จากที่เราพบ:

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ว่าเวกเตอร์และอยู่ในแนวร่วม ซึ่งหมายความว่าเซนทรอยด์ที่ต้องการนั้นอยู่บนค่ามัธยฐานที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด

ยิ่งไปกว่านั้น ระหว่างทาง เราได้พิสูจน์ว่าเซนทรอยด์แบ่งค่ามัธยฐานแต่ละค่าด้วยความเคารพ โดยนับจากด้านบนสุด

กรณีรูปหลายเหลี่ยม

ตอนนี้เรามาที่กรณีทั่วไป - เช่น เนื่องในโอกาส รูปหลายเหลี่ยม. สำหรับเขา เหตุผลดังกล่าวใช้ไม่ได้อีกต่อไป ดังนั้นเราจึงลดปัญหาให้เป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ เราแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม (เช่น สามเหลี่ยม) หาจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมแต่ละรูป แล้วหาจุดศูนย์กลางของ มวลของผลที่ได้ ศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม

สูตรสุดท้ายมีดังนี้:

โดยที่ centroid ของสามเหลี่ยม -th ในรูปสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดคือพื้นที่ของสามเหลี่ยม -th ของรูปสามเหลี่ยมคือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด

การสร้างสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นงานเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาสามเหลี่ยม โดยที่ .

กรณีรูปหลายเหลี่ยม: ทางเลือก

ในทางกลับกัน การใช้สูตรข้างต้นไม่สะดวกนัก รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนเนื่องจากการหาค่าสามเหลี่ยมนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายในตัวเอง แต่สำหรับรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว คุณสามารถหาวิธีที่ง่ายกว่านี้ได้ กล่าวคือให้วาดความคล้ายคลึงกับวิธีหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ: เลือกจุดโดยพลการจากนั้นจึงสรุปพื้นที่เครื่องหมายของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดนี้และจุดของรูปหลายเหลี่ยม: . สามารถใช้เทคนิคที่คล้ายกันในการหาจุดศูนย์กลางมวลได้ เฉพาะตอนนี้เราจะรวมจุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วนของพื้นที่ นั่นคือ สูตรสุดท้ายสำหรับจุดศูนย์กลางมวลคือ:

ที่ไหน เป็นจุดโดยพลการ, เป็นจุดของรูปหลายเหลี่ยม, เป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม , คือพื้นที่เครื่องหมายของสามเหลี่ยมนี้, เป็นพื้นที่เครื่องหมายของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด (เช่น ).

เคส 3 มิติ: รูปทรงหลายเหลี่ยม

เช่นเดียวกับกรณีสองมิติ ในแบบ 3 มิติ เราสามารถพูดถึงปัญหาที่เป็นไปได้สี่รายการพร้อมกัน:

• จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด - จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของกรอบคือขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของพื้นผิว - เช่น มวลจะกระจายไปทั่วพื้นที่ผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยม
• จุดศูนย์กลางมวลของทรงหลายหน้าที่เป็นของแข็ง - เช่น มวลจะกระจายไปทั่วรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด

จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด

ในกรณี 2 มิติ เราสามารถใช้สูตรทางกายภาพและได้ผลลัพธ์เดียวกัน:

ซึ่งในกรณีของมวลเท่ากัน จะกลายเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดทั้งหมด

จุดศูนย์กลางมวลของกรอบรูปทรงหลายเหลี่ยม

เช่นเดียวกับกรณีสองมิติ เราเพียงแทนที่ขอบแต่ละด้านของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วยจุดวัสดุที่อยู่ตรงกลางขอบนี้ และมีมวลเท่ากับความยาวของขอบนี้ เมื่อได้รับปัญหาเกี่ยวกับจุดวัสดุแล้วเราสามารถหาทางออกได้อย่างง่ายดายโดยเป็นผลรวมน้ำหนักของพิกัดของจุดเหล่านี้

จุดศูนย์กลางมวลของพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยม

แต่ละหน้าของพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปสองมิติซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของมวลที่เราสามารถหาได้ การหาจุดศูนย์กลางมวลเหล่านี้และแทนที่แต่ละหน้าด้วยจุดศูนย์กลางมวลนั้น เราพบปัญหาเกี่ยวกับจุดวัสดุซึ่งแก้ไขได้ง่ายอยู่แล้ว

ศูนย์กลางมวลของทรงหลายหน้าทึบ

กรณีจัตุรมุข

ในกรณีสองมิติ อันดับแรกเราจะแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด นั่นคือปัญหาสำหรับจัตุรมุข

มีการระบุไว้ว่าจุดศูนย์กลางมวลของจัตุรมุขตรงกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน (ค่ามัธยฐานของจัตุรมุขคือส่วนที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของหน้าตรงข้าม ดังนั้น ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข ผ่านจุดยอดและผ่านจุดตัดของค่ามัธยฐานของหน้ารูปสามเหลี่ยม)

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? เหตุผลที่คล้ายกับกรณีสองมิตินั้นถูกต้อง: ถ้าเราตัดจัตุรมุขออกเป็นสองจัตุรมุขด้วยความช่วยเหลือของระนาบที่ผ่านจุดยอดของจัตุรมุขและค่ามัธยฐานของหน้าตรงข้าม ผลลัพท์ของจัตุรมุขทั้งสองจะมีปริมาตรเท่ากัน (เนื่องจากค่ามัธยฐานของใบหน้ารูปสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน และความสูงของรูปจัตุรมุขทั้งสองจะไม่เปลี่ยนแปลง) การให้เหตุผลนี้ซ้ำหลายๆ ครั้ง เราพบว่าจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานของจัตุรมุข

จุดนี้ - จุดตัดของค่ามัธยฐานของจัตุรมุข - เรียกว่า ศูนย์กลาง. มันสามารถแสดงให้เห็นว่าจริง ๆ แล้วมันมีพิกัดเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของจัตุรมุข:

(อนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าเซนทรอยด์แบ่งค่ามัธยฐานด้วยความเคารพ)

ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างกรณีของจัตุรมุขและสามเหลี่ยม: จุดที่เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดยอดเป็นจุดศูนย์กลางของมวลในสองสูตรของปัญหาพร้อมกัน: ทั้งสองอย่างเมื่อมวลอยู่ที่จุดยอดเท่านั้น และเมื่อมวลชนถูกกระจายไปทั่วทั้งพื้นที่/ปริมาตร ในความเป็นจริง ผลลัพธ์นี้สรุปเป็นมิติโดยพลการ: ศูนย์กลางมวลของโดยพลการ เริม(ซิมเพล็กซ์) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด

กรณีของรูปทรงหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ให้เราหันไปที่กรณีทั่วไป กรณีของรูปทรงหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ

เช่นเดียวกับกรณีสองมิติ เราลดปัญหานี้ให้เป็นปัญหาที่แก้ไขแล้ว: เราแบ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นจัตุรมุข (กล่าวคือ เราทำให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส) หาจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละอัน และรับคำตอบสุดท้ายสำหรับ ปัญหาในรูปแบบของผลรวมถ่วงน้ำหนักของศูนย์ที่พบโดยน้ำหนัก