ความหมายของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก - ใช้เมื่อ ข้อมูลสถิติไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับน้ำหนักสำหรับตัวแปรแต่ละตัวของประชากร แต่ทราบผลิตภัณฑ์ของค่าของแอตทริบิวต์ที่แตกต่างกันและน้ำหนักที่สอดคล้องกัน

สูตรทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกมีดังนี้:

x คือค่าของคุณสมบัติตัวแปร

w คือผลคูณของค่าคุณลักษณะตัวแปรและน้ำหนัก (xf)

ในกรณีที่ปริมาณปรากฏการณ์ทั้งหมดเช่น ผลคูณของค่าคุณลักษณะและน้ำหนักเท่ากัน จากนั้นจึงใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่าย:

x - ค่าส่วนบุคคลของแอตทริบิวต์ (ตัวเลือก)

n คือจำนวนตัวเลือกทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกใช้สำหรับการคำนวณเมื่อน้ำหนักไม่ใช่หน่วยของประชากร - พาหะของลักษณะ แต่เป็นผลคูณของหน่วยเหล่านี้และค่าของลักษณะ (เช่น m = Xf) ควรใช้การหยุดทำงานของฮาร์โมนิกเฉลี่ยในกรณีของการกำหนด ตัวอย่างเช่น ต้นทุนเฉลี่ยของแรงงาน เวลา วัสดุต่อหน่วยการผลิต ต่อส่วนสำหรับองค์กรสอง (สาม สี่ ฯลฯ) คนงานที่มีส่วนร่วมในการผลิต สินค้าชนิดเดียวกัน ส่วนเดียวกัน สินค้า.

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลา

เฉลี่ยเรขาคณิต

หากมี n ปัจจัยการเจริญเติบโต สูตรสำหรับสัมประสิทธิ์เฉลี่ยคือ:

นี่คือสูตรค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเท่ากับรากของกำลัง n ของผลิตภัณฑ์ของสัมประสิทธิ์การเติบโตซึ่งกำหนดลักษณะอัตราส่วนของค่าของแต่ละช่วงต่อกับค่าของช่วงเวลาก่อนหน้า

ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลา - ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากค่าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ใช้ในการคำนวณระดับเฉลี่ยของอนุกรมโมเมนต์ ในกรณีที่ข้อมูลที่มีอยู่อ้างถึงเวลาคงที่ c ในช่วงเวลาเท่ากันจากนั้นใช้สูตรต่อไปนี้:

X - ค่าของระดับของซีรีส์

n คือจำนวนตัวบ่งชี้ที่มีอยู่

ระดับโมเมนต์เฉลี่ย อนุกรมไดนามิกที่มีวันที่เว้นระยะไม่เท่ากัน กำหนดโดยสูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามลำดับเวลา:

=

ระดับของอนุกรมเวลาอยู่ที่ไหน

— ระยะเวลาของช่วงเวลาระหว่างระดับ

ตาราง. ความสัมพันธ์ของอำนาจหมายถึง

หากปริมาณที่จะเฉลี่ยแสดงอยู่ในรูปแบบ ฟังก์ชันสี่เหลี่ยม, เฉลี่ย กำลังสอง. ตัวอย่างเช่น ใช้ค่ากลางของฐานราก คุณสามารถกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของท่อ ล้อ ฯลฯ

ค่าเฉลี่ยรากที่สองของสแควร์ไพรม์ถูกกำหนดโดยการแยก รากที่สองจากผลหารหารผลรวมกำลังสอง ค่าส่วนบุคคลลงชื่อเข้าใช้หมายเลขของพวกเขา

ค่าเฉลี่ยรากถ่วงน้ำหนักกำลังสองคือ:

แนวความคิดของแฟชั่น การคำนวณโหมดสำหรับชุดการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องและแบบช่วงเวลา

ในการกำหนดลักษณะโครงสร้างของประชากรทางสถิติ จะใช้ตัวบ่งชี้ที่เรียกว่าค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง ซึ่งรวมถึงโหมดและค่ามัธยฐาน

โหมด (Mo) เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด โหมดคือค่าของจุดสนใจที่สอดคล้องกับจุดสูงสุดของเส้นโค้งการกระจายทางทฤษฎี

โหมดนี้แสดงถึงค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดหรือค่าปกติ

แฟชั่นถูกนำมาใช้ในเชิงพาณิชย์เพื่อศึกษาความต้องการของผู้บริโภคและบันทึกราคา

ที่ ซีรีส์ไม่ต่อเนื่องแฟชั่นเป็นตัวแปรกับ ความถี่สูงสุด. ในอนุกรมการแปรผันตามช่วงเวลา ตัวแปรกลางของช่วงเวลาซึ่งมีความถี่สูงสุด (ความเฉพาะเจาะจง) ถือเป็นโหมด

ภายในช่วงเวลา จำเป็นต้องค้นหาค่าของแอตทริบิวต์ซึ่งเป็นโหมด

โดยที่ хо คือขีดจำกัดล่างของช่วงโมดอล

h คือค่าของช่วงโมดอล

fm คือความถี่ของช่วงกิริยา

ft-1 คือความถี่ของช่วงก่อนโมดอล

fm+1 คือความถี่ของช่วงหลังโมดอล

โหมดขึ้นอยู่กับขนาดของกลุ่ม บนตำแหน่งที่แน่นอนของขอบเขตของกลุ่ม

Mode คือตัวเลขที่เกิดขึ้นจริงบ่อยที่สุด (คือค่าของค่าที่แน่นอน
nnaya) ในทางปฏิบัติมีแอปพลิเคชันที่กว้างที่สุด (ผู้ซื้อประเภททั่วไปที่สุด)

ฮาร์โมนิกเฉลี่ย— ϶ᴛᴏ ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ᴛ.ᴇ. ประกอบด้วย ค่านิยมซึ่งกันและกันเข้าสู่ระบบ.

ตัวอย่างที่ 5การคำนวณเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของแผน มีข้อมูลต่อไปนี้:

ในตัวอย่าง ตัวบ่งชี้ระดับของการดำเนินการตามแผน (ตัวเลือก) ทำหน้าที่เป็นคุณลักษณะที่แตกต่างกัน และแผนถือเป็นน้ำหนัก (ความถี่) ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยจะได้รับเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต:

ถ้าเมื่อกำหนด ระดับกลางวางแผนสำหรับน้ำหนักที่จะไม่ใช้งาน แต่การใช้งานจริงแล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตใน กรณีนี้จะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง:

ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเมื่อชั่งน้ำหนักตามประสิทธิภาพที่แท้จริงของงานจะให้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก:

ที่ไหน w— ถ่วงน้ำหนัก หมายถึง ถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก

เงื่อนไขการใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะใช้เมื่อไม่ใช้หน่วยของประชากร (ผู้ให้บริการของคุณลักษณะ) เป็นน้ำหนัก .

จากกฎข้อนี้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกในสถิติคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่แปลงแล้ว ซึ่งใช้เมื่อไม่ทราบขนาดของประชากร และจำเป็นต้องชั่งน้ำหนักตัวเลือกด้วยปริมาตรของแอตทริบิวต์

2. ถ้าตาชั่งคือ ค่าสัมบูรณ์การดำเนินการขั้นกลางใดๆ ในการคำนวณค่าเฉลี่ยควรให้ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญทางเศรษฐกิจ

ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของการปฏิบัติตามแผน เราจะคูณตัวบ่งชี้การปฏิบัติตามแผนด้วยงานที่วางแผนไว้และรับการปฏิบัติตามแผนจริง อย่างไรก็ตาม หากตัวบ่งชี้การดำเนินการตามแผนคูณด้วยการดำเนินการตามจริง จากมุมมองทางเศรษฐกิจ ผลลัพธ์จะไร้สาระ ซึ่งหมายความว่าใช้แบบฟอร์มเฉลี่ยอย่างไม่ถูกต้อง)

อ่านยัง

— ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

เมื่อข้อมูลทางสถิติไม่มีความถี่สำหรับตัวเลือกประชากรแต่ละกลุ่ม แต่แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ กล่าวคือ ต้องคำนวณความถี่แยกกันโดยพิจารณาจากตัวแปร X และผลิตภัณฑ์ X f ที่รู้จัก โดยใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก เฉลี่ย… [อ่านเพิ่มเติม].

— ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือรูปแบบพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มีการคำนวณในกรณีเหล่านั้นเมื่อไม่ได้ระบุน้ำหนัก fi โดยตรง แต่รวมเป็นปัจจัยหนึ่งในตัวบ่งชี้ที่มีอยู่ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถเป็น... [อ่านเพิ่มเติม]

— ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

— ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถเป็นแบบง่ายและให้น้ำหนักได้ ลักษณะของชุดแปรผันพร้อมกับ ... [อ่านเพิ่มเติม]

— ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ใช้เมื่อน้ำหนักที่ใช้เป็นตัวบ่งชี้จำนวนสินค้าใน ในประเภท; โดยที่ pq คือมูลค่าการซื้อขายในรูเบิล ใช้เมื่อข้อมูลการขายถูกใช้เป็นตุ้มน้ำหนัก ...

ค่าเฉลี่ยและตัวบ่งชี้ความแปรปรวน

— ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถเป็นแบบง่ายและให้น้ำหนักได้ ดังนั้นสูตรคำนวณค่าเฉลี่ย ... [อ่านเพิ่มเติม]

— ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ย ปริมาณฮาร์มอนิก

สาระสำคัญและความหมายของค่าเฉลี่ย ประเภท แบบฟอร์มที่พบบ่อยที่สุด ตัวบ่งชี้ทางสถิติคือค่าเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ในรูปของค่าเฉลี่ยแสดง ระดับปกติลักษณะโดยรวม การใช้ค่าเฉลี่ยอย่างกว้างขวาง… [อ่านเพิ่มเติม]

— ฮาร์มอนิกเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถเป็นแบบง่ายและให้น้ำหนักได้ … [อ่านเพิ่มเติม].

— ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก, ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต, ค่าเฉลี่ยกำลังสอง, กฎกำลัง

เมื่อแก้ปัญหาการคำนวณ ขนาดกลางเริ่มต้นด้วยการรวบรวมความสัมพันธ์เริ่มต้น - สูตรทางวาจาเชิงตรรกะของค่าเฉลี่ย มันถูกรวบรวมบนพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีและเชิงตรรกะ บางครั้งไม่สามารถใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ ในกรณีนี้ ใน... [อ่านเพิ่มเติม]

— ค่าฮาร์มอนิกเฉลี่ย

หากตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องให้ผลรวมของค่าส่วนกลับของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยจะเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือ: ตัวอย่างเช่น รถที่มี... [อ่านเพิ่มเติม]

70. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ฮาร์โมนิกเฉลี่ย ตัวเลขบวก o, b คือจำนวนที่มีส่วนกลับเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตระหว่าง นั่นคือ ตัวเลข

ปัญหา 358 พิสูจน์ว่าค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกไม่เกินค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยในสถิติ: สาระสำคัญ คุณสมบัติ ประเภท ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือค่าเฉลี่ย เลขคณิตส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข ดังนั้นจึงยังคงหมายถึงความไม่เท่าเทียมกันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเรขาคณิต

ปัญหา 359 ตัวเลขเป็นบวก พิสูจน์สิ

วิธีการแก้. ความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องการสามารถเขียนใหม่เป็น

กล่าวคือ จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก สิ่งนี้จะชัดเจนถ้าเราแทรกค่าเฉลี่ยเรขาคณิตระหว่างพวกเขา:

ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายลดความไม่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและ เลขเรขาคณิต.

โซลูชันอื่นใช้เคล็ดลับต่อไปนี้ มาพิสูจน์กันมากขึ้น ความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป(เรียกว่าอสมการคอชี-บุนยาคอฟสกี)

(ถ้าเราเปลี่ยนมันเราจะได้อันที่ต้องการ)

เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy-Bunyakovsky ให้พิจารณาไตรนามกำลังสอง

เปิดวงเล็บในนั้นและจัดกลุ่มเงื่อนไขตามยกกำลังของ x เราได้ trinomial

สำหรับ x ใดๆ ไตรนามนี้ไม่เป็นลบ เพราะเป็นผลรวมของกำลังสอง ดังนั้นการเลือกปฏิบัติจึงไม่ใช่ เหนือศูนย์, เช่น.

คุณชอบเคล็ดลับนี้อย่างไร?

ตัวอย่าง : จะกำหนด อายุเฉลี่ยนักเรียน แบบฟอร์มขาดเรียนการฝึกอบรมเกี่ยวกับข้อมูลที่ระบุในตารางต่อไปนี้:

อายุนักเรียน ปี ( X)	จำนวนนักเรียน คน ( ฉ)	ค่าเฉลี่ยของช่วงเวลา (x',xcentral)	xi*fผม
อายุ 26 ปีขึ้นไป
ทั้งหมด:

ในการคำนวณค่าเฉลี่ยในชุดช่วงเวลา ก่อนอื่นให้กำหนดค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาเป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขอบเขตบนและล่าง จากนั้นคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถ่วงน้ำหนัก

ด้านบนนี้เป็นตัวอย่างที่มีช่วงเวลาเท่ากัน โดยที่ 1 และสุดท้ายเปิดอยู่

.

ตอบ:อายุนักเรียนเฉลี่ย 22.6 ปีหรือประมาณ 23 ปี

ฮาร์โมนิกเฉลี่ยมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ใช้ในกรณีที่ ข้อมูลสถิติไม่มีความถี่สำหรับบุคคล ค่าคุณลักษณะและแสดงโดยผลคูณของค่าคุณลักษณะโดย ความถี่ . ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นค่าเฉลี่ยกำลังมีลักษณะดังนี้:

ขึ้นอยู่กับรูปแบบการนำเสนอของข้อมูลเบื้องต้น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถคำนวณได้ง่ายและมีน้ำหนัก หากข้อมูลต้นฉบับไม่ได้จัดกลุ่ม ดังนั้น เฉลี่ย ฮาร์โมนิกง่าย :

จะใช้ในกรณีของการกำหนด เช่น ต้นทุนเฉลี่ยของแรงงาน วัสดุ ฯลฯ

ฮาร์โมนิกเฉลี่ยง่ายและถ่วงน้ำหนัก

ต่อหน่วยผลผลิตสำหรับหลายองค์กร

เมื่อทำงานกับข้อมูลที่จัดกลุ่ม ให้ใช้ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก:

เฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในกรณีเหล่านั้น เมื่อปริมาณรวมของคุณลักษณะเฉลี่ยเป็นค่าทวีคูณ,เหล่านั้น. ไม่ได้ถูกกำหนดโดยการรวม แต่โดยการคูณค่าส่วนบุคคลของแอตทริบิวต์.

รูปร่างของค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเรขาคณิต ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ ไม่สามารถใช้ได้ .

รูตหมายถึงกำลังสอง ใช้ในกรณีที่เมื่อแทนที่ค่าแต่ละค่าของคุณสมบัติด้วยค่าเฉลี่ย จำเป็นต้องรักษาผลรวมของกำลังสองของค่าดั้งเดิมไว้ไม่เปลี่ยนแปลง .

บ้าน ขอบเขตการใช้งาน - การวัดระดับความผันผวนของค่าส่วนบุคคลของลักษณะที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยเลขคณิต(เฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน). นอกจากนี้ ค่าเฉลี่ยรากที่สองยังใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยของจุดสนใจที่แสดงเป็นกำลังสองหรือ ลูกบาศก์หน่วยการวัด (เมื่อคำนวณขนาดเฉลี่ยของส่วนสี่เหลี่ยม เส้นผ่านศูนย์กลางเฉลี่ยของท่อ เพลา ฯลฯ)

ค่าเฉลี่ยรูตกำลังสองคำนวณในสองรูปแบบ:

กำลังทั้งหมดหมายถึงแตกต่างกันตามค่าของเลขชี้กำลังโดยที่ ยิ่งเลขชี้กำลังสูงเท่าไรมูลค่าเชิงปริมาณของค่าเฉลี่ย:

คุณสมบัติของอำนาจนี้เรียกว่า คุณสมบัติของส่วนใหญ่หมายถึง.

ค่าฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ภายใต้เงื่อนไขของการทดแทนใน สูตรทั่วไป(6.1) ค่า k= –1 สามารถรับได้ หมายถึงค่าฮาร์มอนิกซึ่งมีรูปแบบที่เรียบง่ายและมีน้ำหนัก

สำหรับอนุกรมที่มีลำดับ จะใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก เรียบง่ายค่าซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

โดยที่ n คือ ความแข็งแกร่งทั้งหมดตัวเลือก; - ความหมายย้อนกลับของตัวเลือก

สมมติว่ามีหลักฐานว่าเมื่อขนส่งมันฝรั่งความเร็วของรถที่บรรทุกได้คือ 30 กม. / ชม. โดยไม่ต้องบรรทุก - 60 กม. / ชม. ต้องหาให้เจอ ความเร็วเฉลี่ยการเคลื่อนไหวของยานพาหนะ เมื่อมองแวบแรก วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายมากดูเหมือนว่า: ใช้วิธีการของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าอย่างง่าย กล่าวคือ

อย่างไรก็ตาม หากเราระลึกไว้เสมอว่าความเร็วของการเคลื่อนที่เท่ากับระยะทางที่เดินทางหารด้วยเวลาที่ผ่านไป ก็ค่อนข้างชัดเจนว่าผลลัพธ์ (45 กม. / ชม.) นั้นไม่แม่นยำเนื่องจากเส้นทางของ เส้นทางเดียวกันโดยรถยนต์ที่มีภาระและไม่มีโหลด ( ไปและกลับ) เวลาที่ใช้จะแตกต่างกันอย่างมาก ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยที่แม่นยำยิ่งขึ้นของรถยนต์ที่มีภาระและไม่มีภาระสามารถคำนวณได้จากค่าฮาร์มอนิกที่เรียบง่ายโดยเฉลี่ย:

ดังนั้น ความเร็วเฉลี่ยของรถที่บรรทุกของและไม่มีบรรทุกจึงไม่ใช่ 45 แต่อยู่ที่ 40 กม./ชม.

อนุกรมแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบช่วงเวลาใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ถ่วงน้ำหนักค่า:

โดยที่ W คือผลคูณของตัวเลือกและความถี่ (ตัวเลือกแบบถ่วงน้ำหนัก xf)

พิจารณา ตัวอย่าง.ความเข้มแรงงานของการผลิตมันฝรั่ง 1 ตันในแผนกแรกขององค์กรเกษตรคือ 10 ชั่วโมงการทำงานในวินาที - 30 ชั่วโมงการทำงาน ในทั้งสองแผนกใช้ 30,000 ชั่วโมงในการผลิตมันฝรั่ง จำเป็นต้องคำนวณความเข้มแรงงานเฉลี่ยเลขคณิตของมันฝรั่งในองค์กรเกษตรกรรม ดูเหมือนว่าความเข้มแรงงานเฉลี่ยจะหาได้ง่ายเนื่องจากครึ่งหนึ่งของผลรวมของความเข้มแรงงานของมันฝรั่งในสองดิวิชั่น กล่าวคือ โดยวิธีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าอย่างง่าย:

อย่างไรก็ตาม มีข้อผิดพลาดสองประการในการตัดสินใจครั้งนี้ ข้อผิดพลาดพื้นฐานประการแรกคือเมื่อคำนวณความเข้มแรงงานเฉลี่ยโดยวิธีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าง่าย ๆ สาระสำคัญของความเข้มแรงงานเองซึ่งพบว่าเป็นอัตราส่วนของต้นทุนแรงงานโดยตรงต่อปริมาณการผลิตคือ ไม่ได้นำมาพิจารณา ข้อผิดพลาดประการที่สองคือการแก้ปัญหาไม่ได้คำนึงถึงจำนวนต้นทุนแรงงานเฉพาะสำหรับการผลิตมันฝรั่งตามเงื่อนไขของปัญหา (แต่ละ 30,000 รูเบิล)

ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

ชั่วโมงการทำงาน ในทั้งสองแผนก) วิธีนี้ทำให้คุณสามารถคำนวณความถี่ (น้ำหนัก) สำหรับการป้อนแรงงานมันฝรั่ง และด้วยเหตุนี้จึงค้นหาอินพุตของแรงงานที่ถ่วงน้ำหนักเลขคณิต ซึ่งจะถูกแทนที่ได้สำเร็จโดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักแบบฮาร์มอนิก:

ดังนั้นความเข้มแรงงานเฉลี่ยของมันฝรั่งในองค์กรเกษตรไม่ใช่ 20 ตามที่คำนวณไว้ข้างต้น แต่เป็น 15 คน ชั่วโมง/ที

ค่าฮาร์มอนิกเฉลี่ยส่วนใหญ่จะใช้ในกรณีที่ตัวแปรของซีรีส์แสดงด้วยค่าส่วนกลับ และความถี่ (น้ำหนัก) จะถูกซ่อนไว้ในปริมาตรรวมของลักษณะที่ศึกษา

ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

ในบางกรณี เพื่อให้ได้ลักษณะทั่วไปของประชากรทางสถิติสำหรับคุณลักษณะบางอย่าง เราต้องใช้สิ่งที่เรียกว่า ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง. ได้แก่ แฟชั่นและ ค่ามัธยฐาน.

แฟชั่นแสดงถึงตัวแปรที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในประชากรทางสถิติที่กำหนด ในชุดจัดอันดับ ปกติโหมดจะไม่ถูกกำหนด เนื่องจากตัวแปรแต่ละตัวสอดคล้องกับความถี่เท่ากับหนึ่ง

โหมดในซีรีย์แบบไม่ต่อเนื่องสอดคล้องกับตัวแปรที่มีความถี่สูงสุดในขณะที่ ค่าสุ่มสามารถมี mod ได้หลายแบบ เมื่อมีหนึ่งในนั้น การกระจายของประชากรทางสถิติมักจะเรียกว่า ยูนิโมดัลในที่ที่มีสองโหมด - สองโหมด, สามโหมดหรือมากกว่า - หลายรูปแบบ การมีอยู่ของหลายโหมดมักจะหมายถึงการรวมหน่วยทางสถิติที่มีคุณภาพต่างกันในชุดเดียว

โหมดสำหรับชุดช่วงเวลาที่มีช่วงเวลาเท่ากันคำนวณโดยสูตร

(6.12)

โดยที่ x mo sub> คือขีดจำกัดล่างของช่วงโมดอล i mo - ค่าของช่วงเวลา;

f mo คือความถี่ของช่วงโมดอล f dmo คือความถี่ของช่วงพรีโมดอล f zmo คือความถี่ของช่วงนอกโมดอล

สมมติราคาตลาดของแอปเปิลในศูนย์กลางภูมิภาคของภูมิภาคได้พัฒนาดังนี้ (ตารางที่ 6.8) จากข้อมูลเหล่านี้ จำเป็นต้องคำนวณโหมดราคาตลาดสำหรับมันฝรั่ง

T a b l e 6.8. ราคาตลาดของแอปเปิ้ล

จากข้อมูลในตาราง 6.8 แสดงให้เห็นว่าจำนวนสูงสุดของตลาดกระจุกตัวอยู่ในช่วงที่สาม และการกระจายของประชากรทางสถิติเป็นแบบเดียว ในการคำนวณโหมดราคาตลาดของแอปเปิล เราใช้สูตร (6.12):

ดังนั้น ราคาตลาดแบบโมดอลสำหรับแอปเปิลในศูนย์กลางภูมิภาคของภูมิภาคคือ 1690 R/kg

ตัวแปรโมดอลในการจำแนกลักษณะประชากรทางสถิติสามารถใช้ในกรณีที่การคำนวณค่าเฉลี่ยทำได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้ เช่น ในสภาวะตลาดเมื่อศึกษาอุปสงค์และอุปทาน ระดับราคา ฯลฯ

ค่ามัธยฐาน- ตัวเลือกที่อยู่ตรงกลางของชุดรูปแบบต่างๆ ค่ามัธยฐานในชุดจัดอันดับมีดังนี้ ขั้นแรก คำนวณจำนวนค่ามัธยฐานของตัวเลือก:

โดยที่ nme คือจำนวนตัวเลือกค่ามัธยฐาน n คือจำนวนตัวเลือกทั้งหมดในแถว

ประการที่สอง ในอนุกรมที่จัดอันดับ ค่ามัธยฐานของตัวเลือกจะถูกกำหนด: หากจำนวนตัวเลือกทั้งหมดเป็นเลขคี่ ค่ามัธยฐานจะสอดคล้องกับตัวเลขที่คำนวณโดยสูตร (6.13)

สมมติว่าชุดที่จัดอันดับประกอบด้วย 99 หน่วย จัดจำหน่ายโดยผลผลิตหัวบีทน้ำตาล จำนวนตัวเลือกกลางหาได้จากสูตร (6.13): .

ซึ่งหมายความว่าภายใต้หมายเลข 50 คือผลผลิตมัธยฐานที่ต้องการ ซึ่งก็คือ ตัวอย่างเช่น 500c/ha

หากจำนวนตัวเลือกทั้งหมดเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่ามัธยฐานสองตัวที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น ในชุดจัดอันดับ มีหน่วยสถิติ 100 หน่วย กระจายอีกครั้งตามผลผลิตของหัวบีท ดังนั้นจึงมีตัวเลขมัธยฐานสองจำนวนในชุดดังกล่าว ดังจะเห็นได้จากการคำนวณต่อไปนี้โดยใช้สูตร (6.13)

ดังนั้น ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานจะถือเป็นอันดับที่ 50 และ 51 และค่ามัธยฐานของผลผลิตน้ำตาลหัวบีต เช่น สามารถคำนวณเป็นผลรวมครึ่งถัดไปของผลผลิต 2 ตัวที่อยู่ติดกัน นั่นคือ

สำหรับชุดการแจกแจงแบบแยกส่วน ค่ามัธยฐานจะคำนวณจากความถี่สะสม: อันดับแรก ให้หาผลรวมครึ่งหนึ่งของความถี่สะสม ประการที่สอง พวกเขาจะกำหนดความสอดคล้องของผลรวมครึ่งหนึ่งนี้กับตัวแปรเฉพาะ ซึ่งจะเป็นค่ามัธยฐาน

ตัวอย่างเช่น ผลผลิตนมประจำปีของโคถูกแจกจ่ายเป็นอนุกรมต่อเนื่อง ซึ่งผลรวมของความถี่สะสมคือ 200 หน่วย และดังนั้น ผลรวมครึ่งหนึ่งคือ 100 หน่วย

ค่ามัธยฐานนี้อยู่ในกลุ่มของหน่วยทางสถิติของอนุกรมวิธานและสอดคล้องกับผลผลิตน้ำนมประจำปีที่ 5,000 กิโลกรัมของนม ซึ่งเป็นค่ามัธยฐานของอนุกรมวิธานแบบไม่ต่อเนื่อง

ในอนุกรมความแปรผันตามช่วงเวลา ค่ามัธยฐานคำนวณโดยสูตร

, (6.14)

โดยที่ M e คือค่ามัธยฐานของอนุกรมช่วงเวลา xme คือขีดจำกัดล่างของช่วงค่ามัธยฐาน ฉัน ฉัน - ค่าของช่วงมัธยฐาน; Σf คือผลรวมของความถี่สะสมในชุดช่วง f n - ความถี่สะสมของช่วงก่อนค่ามัธยฐาน; fme คือความถี่ของช่วงมัธยฐาน

ในการคำนวณค่ามัธยฐานในชุดช่วง เราจะใช้ข้อมูลต่อไปนี้ (ตารางที่ 6.9)

T a b l e 6.9.

ผลผลิตมันฝรั่งในแปลงย่อยส่วนบุคคล

ครัวเรือนของประชากร

จากข้อมูลในตาราง 6.9 อย่างแรกจะเห็นได้ว่าช่วงที่สี่เป็นค่ามัธยฐาน นอกจากนี้ การคำนวณอย่างง่ายยังแสดงให้เห็นว่าผลรวมของความถี่สะสม (จำนวนฟาร์มทั้งหมด) คือ 200 หน่วย และความถี่สะสมของช่วงก่อนค่ามัธยฐานคือ 90 หน่วย

เราใช้สูตร (6.14) และคำนวณผลผลิตมันฝรั่งมัธยฐาน:

ดังนั้น ผลผลิตเฉลี่ยของมันฝรั่งในแปลงย่อยส่วนบุคคลของประชากรคือ 256 q/ha

การใช้ค่ามัธยฐานมีลักษณะเฉพาะ ดังนั้น หากอนุกรมความแปรผันมีขนาดค่อนข้างเล็ก ค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจได้รับอิทธิพลจากการผันผวนแบบสุ่มของตัวเลือกสุดขั้ว ซึ่งจะไม่ส่งผลต่อขนาดของค่ามัธยฐาน

ก่อนหน้า45678910111213141516171819ถัดไป

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งคำนวณจากส่วนกลับของเครื่องหมายเฉลี่ย ขึ้นอยู่กับลักษณะของวัสดุที่มีอยู่ จะใช้เมื่อไม่ต้องคูณน้ำหนัก แต่หารด้วยตัวเลือก หรืออะไรที่เหมือนกัน คูณด้วยค่าผกผัน ดังนั้น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะถูกคำนวณเมื่อทราบข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติระดับเสียง (W=hf)และ ค่าส่วนบุคคลคุณลักษณะ (x) และน้ำหนักที่ไม่รู้จัก (φ) เนื่องจากปริมาณคุณลักษณะเป็นผลคูณของค่าคุณลักษณะ (X)ไปที่ความถี่ f จากนั้นความถี่ f จะถูกกำหนดโดยแบบถอดได้ = W: x

สูตรฮาร์โมนิกส์และค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคือ:

อย่างที่คุณเห็น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือรูปแบบที่แปลงแล้วของค่าเฉลี่ยเลขคณิต แทนที่จะเป็นฮาร์มอนิก คุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เสมอ โดยก่อนหน้านี้ได้กำหนดน้ำหนักของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ เมื่อคำนวณน้ำหนักฮาร์มอนิกเฉลี่ยคือปริมาตรของคุณสมบัติ

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่ายจะใช้ในกรณีที่ปริมาตรของปรากฏการณ์สำหรับแต่ละระดับแอตทริบิวต์

ตัวอย่างเช่น ผู้ปฏิบัติงานรวมสามคนทำงานเกี่ยวกับการเก็บเกี่ยวพืชผล รถเกี่ยวแรกที่เก็บเกี่ยว 1 เฮกตาร์ ระหว่างกะ 7 ชั่วโมง ใช้เวลา 35 นาที วินาที - 31 นาที ครั้งที่ 3 - 33 นาที จำเป็นต้องกำหนดต้นทุนแรงงานเฉลี่ยสำหรับการเก็บเกี่ยวพืชผล 1 เฮกตาร์

การคำนวณเวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการเก็บเกี่ยวเมล็ดพืช 1 เฮกตาร์โดยใช้สูตรง่าย ๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะถูกต้อง

เมื่อผู้เก็บเกี่ยวทั้งหมดระหว่างกะรวบรวมพืชผลได้ 1 เฮกตาร์หรือจำนวนเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ระหว่างกะ ตัวผสมแต่ละตัวจะรวบรวม พื้นที่ต่างๆพืชผลธัญพืช

ความไม่ถูกต้องของการใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตยังอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่าตัวบ่งชี้ต้นทุนแรงงานต่อหน่วยของงาน (การเก็บเกี่ยวพืชผล 1 เฮกตาร์) เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพแรงงาน (การเก็บเกี่ยวพืชผลต่อหน่วยเวลา) .

เวลาเฉลี่ยที่จำเป็นสำหรับการเก็บเกี่ยวพืชผล 1 เฮกตาร์สำหรับผู้ผสมทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของเวลาที่ใช้โดยผู้ผสมทั้งหมดต่อ ทั้งหมดเฮกตาร์ที่เก็บเกี่ยว ในตัวอย่างของเรา ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเฮกตาร์ที่เครื่องผสมแต่ละเครื่องเก็บเกี่ยวจริง อย่างไรก็ตาม ปริมาณเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

โดยที่เวลาทั้งหมดที่ใช้สำหรับเครื่องผสมแต่ละเครื่องจะเท่ากับ 420 นาที (7 ปี o 60 นาที)

จากนั้นเวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการเก็บเกี่ยวพืชผล 1 เฮกตาร์สามารถกำหนดได้โดยสูตร:

การคำนวณจะง่ายขึ้นอย่างมากหากเราใช้สูตรง่าย ๆ ของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก:

ดังนั้น ตามข้อมูลของชุดผสมนี้ โดยเฉลี่ยแล้วใช้เวลา 32.9 นาทีในการเก็บเกี่ยวพืชผล 1 เฮกตาร์

เราจะพิจารณาขั้นตอนการคำนวณหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้ (ตารางที่ 4.3)

ตารางที่ 4.3. ข้อมูลสำหรับคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก

เนื่องจากผลผลิตเฉลี่ยคืออัตราส่วนของการเก็บเกี่ยวรวมต่อพื้นที่หว่าน เราจึงกำหนดพื้นที่หว่านมันฝรั่งสำหรับแต่ละฟาร์มก่อน แล้วจึงกำหนดผลผลิตเฉลี่ย:

ตามคุณสมบัติข้อใดข้อหนึ่ง ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะไม่เปลี่ยนแปลง หากปริมาตรของปรากฏการณ์ซึ่งเป็นน้ำหนักของตัวเลือกแต่ละรายการ ถูกคูณหรือหารด้วยจำนวนใดๆ สิ่งนี้ทำให้เมื่อคำนวณแล้วจะใช้ not ตัวชี้วัดที่แน่นอน, และพวกเขา แรงดึงดูดเฉพาะ. สมมติว่าคุณจำเป็นต้องกำหนดราคาขายเฉลี่ยของมันฝรั่งตามข้อมูลต่อไปนี้ (ตารางที่ 4.4)

ตารางที่ 4.4 ข้อมูลการคำนวณราคาขายเฉลี่ยของมันฝรั่ง

ในตัวอย่างข้างต้น ไม่มีข้อมูลรายได้จากการขายมันฝรั่งแต่ละพันธุ์ ซึ่งเป็นผลผลิตจากราคาขาย 1 เซ็นต์ และจำนวนมันฝรั่งที่ขาย ดังนั้น แทนที่จะใช้ปริมาตรของปรากฏการณ์ คุณสามารถใช้อัตราส่วน นั่นคือ แรงดึงดูดเฉพาะมันฝรั่งแต่ละพันธุ์ในรายได้รวม โดยใช้ข้อมูลตาราง เรากำหนดราคาขายเฉลี่ยของมันฝรั่ง:

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกยังใช้เพื่อกำหนดผลผลิตเฉลี่ยสำหรับกลุ่มของพืชที่เป็นเนื้อเดียวกัน หากทราบการเก็บเกี่ยวรวมและผลผลิตของพืชแต่ละชนิด เพื่อคำนวณเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของการปฏิบัติตามแผนการผลิตและการขายผลิตภัณฑ์สำหรับ ประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกัน หากข้อมูลเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ที่ผลิตหรือขายจริงและเปอร์เซ็นต์ของแผนสำหรับวัตถุแต่ละชิ้น ฯลฯ

รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดของสถิติคือ เฉลี่ยขนาด. ตัวบ่งชี้ในรูปของค่าเฉลี่ยแสดงถึงระดับทั่วไปของคุณลักษณะในประชากร การใช้ค่าเฉลี่ยอย่างแพร่หลายอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบค่าของแอตทริบิวต์ในหน่วยที่เป็นของประชากรต่างๆ ตัวอย่างเช่น สามารถเปรียบเทียบระยะเวลาเฉลี่ยของวันทำงาน ประเภทค่าจ้างเฉลี่ยของคนงาน ระดับกลาง ค่าจ้างสำหรับสถานประกอบการต่างๆ

สาระสำคัญของค่าเฉลี่ยอยู่ในความจริงที่ว่าพวกเขายกเลิกการเบี่ยงเบนของค่าของแอตทริบิวต์ในแต่ละหน่วยของประชากรเนื่องจากการกระทำของปัจจัยสุ่ม ดังนั้นจึงต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรจำนวนมากพอสมควร (ตามกฎหมายว่าด้วยจำนวนมาก) ความน่าเชื่อถือของค่าเฉลี่ยยังขึ้นอยู่กับความผันผวนของค่าของลักษณะโดยรวม ที่ กรณีทั่วไปยิ่งการเปลี่ยนแปลงของแอตทริบิวต์น้อยและจำนวนประชากรที่ใช้หาค่าเฉลี่ยมากเท่าใด ก็ยิ่งมีความน่าเชื่อถือมากขึ้นเท่านั้น

ความธรรมดาของค่าเฉลี่ยก็เกี่ยวข้องโดยตรงกับ ความสม่ำเสมอของประชากรทางสถิติค่าเฉลี่ยจะสะท้อนถึงระดับปกติของเครื่องหมายเมื่อคำนวณจากประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพเท่านั้น มิฉะนั้น จะใช้วิธีเฉลี่ยร่วมกับวิธีการจัดกลุ่ม หากประชากรต่างกัน ค่าเฉลี่ยทั่วไปจะถูกแทนที่หรือเสริมด้วยค่าเฉลี่ยกลุ่มที่คำนวณสำหรับกลุ่มที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ

การเลือกประเภทค่าเฉลี่ยมันถูกกำหนดโดยเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้ที่ศึกษาและข้อมูลเบื้องต้น ที่ใช้กันมากที่สุดในสถิติ ประเภทต่อไปนี้ค่าเฉลี่ย: ค่าเฉลี่ยกำลัง (เลขคณิต, ฮาร์มอนิก, เรขาคณิต, กำลังสอง, ลูกบาศก์, ฯลฯ ), ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลา เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยโครงสร้าง (โหมดและค่ามัธยฐาน)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตส่วนใหญ่มักพบในการศึกษาทางสังคมและเศรษฐกิจ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้ในรูปของค่าเฉลี่ยอย่างง่ายและค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

คำนวณจากข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มตามสูตร (4.1):

ที่ไหน x- ค่าส่วนบุคคลของแอตทริบิวต์ (ตัวเลือก);

น- จำนวนหน่วยประชากร

ตัวอย่าง. จำเป็นต้องค้นหาผลผลิตเฉลี่ยของคนงานในทีม 15 คนหากทราบจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยคนงานหนึ่งคน (ชิ้น) 21; ยี่สิบ; ยี่สิบ; 19; 21; 19; สิบแปด; 22; 19; ยี่สิบ; 21; ยี่สิบ; สิบแปด; 19; ยี่สิบ.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณจากข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มตามสูตร (4.2):

โดยที่ f คือความถี่ของการทำซ้ำของค่าที่สอดคล้องกันของคุณสมบัติ (ตัวแปร)

∑f คือจำนวนหน่วยประชากรทั้งหมด (∑f = n)

ตัวอย่าง. จากข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับการกระจายของกองพลทำงานตามจำนวนผลิตภัณฑ์ที่พวกเขาผลิต จำเป็นต้องค้นหาผลผลิตเฉลี่ยของผู้ปฏิบัติงานในกองพลน้อย

หมายเหตุ 1ค่าเฉลี่ยของลักษณะในประชากรสามารถคำนวณได้ทั้งบนพื้นฐานของค่าส่วนบุคคลของลักษณะและบนพื้นฐานของค่าเฉลี่ยกลุ่ม (ส่วนตัว) ที่คำนวณสำหรับแต่ละส่วนของประชากร ในกรณีนี้ จะใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก และค่าเฉลี่ยกลุ่ม (ส่วนตัว) ( xj).

ตัวอย่าง.มีข้อมูลเกี่ยวกับระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของคนงานในร้านค้าของโรงงาน จำเป็นต้องกำหนดระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของคนงานในโรงงานทั้งหมด

โน้ต 2.ในกรณีที่ค่าของแอตทริบิวต์เฉลี่ยได้รับในรูปแบบของช่วงเวลาเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ค่าเลขคณิตตามค่าของคุณสมบัติในกลุ่ม ค่าเฉลี่ยของช่วงเวลาเหล่านี้จะถูกนำมา ( X') . ทางนี้, อนุกรมช่วงเวลาแปลงเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีนี้ ค่าของช่วงเวลาที่เปิด หากมี (ตามกฎแล้ว ค่าเหล่านี้เป็นค่าแรกและค่าสุดท้าย) จะเท่ากับค่าของช่วงที่อยู่ติดกันตามเงื่อนไข

ตัวอย่าง. มีข้อมูลการกระจายคนงานในสถานประกอบการตามระดับค่าจ้าง

ค่าฮาร์มอนิกเฉลี่ยเป็นการดัดแปลงค่าเฉลี่ยเลขคณิต ใช้ในกรณีที่ทราบค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์เช่น ตัวแปร ( x) และผลิตภัณฑ์ของตัวแปรตามความถี่ (xf = M) แต่ไม่ทราบความถี่เอง ( ฉ).

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกคำนวณโดยสูตร (4.3):

ตัวอย่าง. จำเป็นต้องกำหนด ขนาดเฉลี่ยค่าจ้างลูกจ้างของสมาคมประกอบด้วยสามวิสาหกิจ ถ้าทราบกองทุนค่าจ้างและเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานสำหรับแต่ละวิสาหกิจ

ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกที่เรียบง่ายในทางปฏิบัติมักใช้น้อยมาก ในกรณีเหล่านั้นเมื่อ xf = Mm = const การถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกเฉลี่ยจะกลายเป็นฮาร์มอนิกอย่างง่ายเฉลี่ย (4.4):

ตัวอย่าง. รถสองคันไปทางเดียวกัน ในเวลาเดียวกัน หนึ่งในนั้นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 60 กม. / ชม. ครั้งที่สอง - ด้วยความเร็ว 80 กม. / ชม. จำเป็นต้องกำหนดความเร็วเฉลี่ยของรถยนต์บนท้องถนน

ค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทอื่น ลำดับเหตุการณ์โดยเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการคำนวณไดนามิกเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถูกนำไปใช้ในรูปแบบของค่าเฉลี่ยอย่างง่าย (สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม) และค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (สำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม)

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตง่าย (4.5):

โดยที่ n คือจำนวนค่าคุณลักษณะ

P คือสัญลักษณ์ของงาน

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเรขาคณิต(4.6):

ปานกลาง ค่ากำลังสอง ใช้ในการคำนวณตัวบ่งชี้ความผันแปร โดยจะใช้ในรูปแบบที่เรียบง่ายและมีน้ำหนัก

ค่าเฉลี่ยกำลังสองง่าย (4.7):

ค่าเฉลี่ยกำลังสองถ่วงน้ำหนัก (4.8):

ค่าลูกบาศก์เฉลี่ยใช้ในการคำนวณตัวบ่งชี้ความไม่สมดุลและความโด่ง มันถูกนำไปใช้ในรูปแบบของการถ่วงน้ำหนักอย่างง่าย

ลูกบาศก์เฉลี่ยง่าย (4.9):

น้ำหนักลูกบาศก์เฉลี่ย (4.10) :

ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลาใช้เพื่อคำนวณระดับเฉลี่ยของอนุกรมเวลา (4.11):

ค่าเฉลี่ยโครงสร้าง

นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยที่กล่าวถึงข้างต้นแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง ซึ่งรวมถึงโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่น(โม) คือค่าของลักษณะที่ศึกษา (ตัวแปร) ซึ่งมักพบในผลรวม ในซีรีย์ที่ไม่ต่อเนื่องโหมดถูกกำหนดค่อนข้างง่าย - โดยตัวบ่งชี้ความถี่สูงสุด ในอนุกรมการแปรผันของช่วงเวลา โหมดโดยประมาณจะสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของช่วงโมดอล กล่าวคือ ช่วงเวลาที่มีความถี่สูง (ความถี่)

ค่าเฉพาะของโหมดคำนวณโดยสูตร (4.12):

ขีด จำกัด ล่างของช่วงกิริยาอยู่ที่ไหน

ความกว้างของช่วงกิริยา

ความถี่ที่สอดคล้องกับช่วงกิริยา

ความถี่ของช่วงเวลาก่อนโมดอล

ความถี่ของช่วงหลังโมดอล

ค่ามัธยฐาน (Me) คือค่าของจุดสนใจที่อยู่ตรงกลางของซีรีส์ที่จัดอันดับ อนุกรมที่ได้รับการจัดอันดับเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นชุดที่เรียงลำดับจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปหาน้อยของค่าแอตทริบิวต์ ค่ามัธยฐานแบ่งชุดที่ได้รับการจัดอันดับออกเป็นสองส่วน โดยส่วนหนึ่งมีค่าคุณลักษณะไม่มากกว่าค่ามัธยฐาน และอีกส่วนไม่น้อย

สำหรับซีรีย์อันดับที่มีสมาชิกเป็นเลขคี่ ค่ามัธยฐานคือตัวแปรที่อยู่ตรงกลางของซีรีส์ ตำแหน่งของค่ามัธยฐานถูกกำหนดโดยหมายเลขซีเรียลของหน่วยของอนุกรมตามสูตร (4.13):

โดยที่ n คือจำนวนสมาชิกของซีรีส์ที่จัดอันดับ

สำหรับซีรี่ส์ที่มีการจัดอันดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคู่ ค่ามัธยฐานคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่อยู่ติดกันสองค่าที่อยู่ตรงกลางของชุดข้อมูล

ในอนุกรมความแปรผันตามช่วงเวลา สูตรต่อไปนี้ (4.14) ถูกใช้เพื่อค้นหาค่ามัธยฐาน:

ขีด จำกัด ล่างของช่วงมัธยฐานอยู่ที่ไหน

ความกว้างของช่วงมัธยฐาน

ความถี่สะสมของช่วงก่อนค่ามัธยฐาน
ความถี่ของช่วงค่ามัธยฐาน

ตัวอย่าง. กองพลทำงานประกอบด้วย9ต่อ มีอัตราค่าไฟฟ้าดังนี้ อันดับ: 4; 3; สี่; 5; 3; 3; 6; 2;6. จำเป็นต้องกำหนดค่าโมดอลและค่ามัธยฐานของหมวดหมู่ภาษี

เนื่องจากทีมนี้มีคนงานมากที่สุดในประเภทที่ 3 หมวดหมู่นี้จึงเป็นกิริยาช่วย เช่น Mo = 3

เพื่อกำหนดค่ามัธยฐาน มาจัดอันดับซีรีส์ดั้งเดิมโดยเรียงจากน้อยไปมากของค่าแอตทริบิวต์:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

ค่าที่ห้าของแอตทริบิวต์เป็นศูนย์กลางในชุดนี้ ดังนั้น ฉัน = 4

ตัวอย่าง.จำเป็นต้องกำหนดประเภทภาษีโมดอลและค่ามัธยฐานของพนักงานในโรงงานตามข้อมูลของชุดการแจกจ่ายต่อไปนี้

เนื่องจากอนุกรมการแจกแจงเริ่มต้นเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ค่าโมดอลจะถูกกำหนดโดยดัชนีความถี่สูงสุด ในตัวอย่างนี้ โรงงานมีผู้ปฏิบัติงานในประเภทที่ 3 มากที่สุด (f max = 30) กล่าวคือ การปลดปล่อยนี้เป็นกิริยาช่วย (Mo = 3)

ลองกำหนดตำแหน่งของค่ามัธยฐาน อนุกรมการแจกแจงเริ่มต้นสร้างขึ้นบนพื้นฐานของอนุกรมที่จัดลำดับ โดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามากของค่าแอททริบิวต์ ตรงกลางของแถวอยู่ระหว่าง 50 และ 51 ซีเรียลนัมเบอร์ค่าแอตทริบิวต์ มาดูกันว่าคนงานที่มีหมายเลขซีเรียลเหล่านี้อยู่ในกลุ่มใด สำหรับสิ่งนี้ เราคำนวณความถี่สะสม ความถี่สะสมระบุว่าค่ามัธยฐานของหมวดหมู่ภาษีเท่ากับสาม (ฉัน = 3) เนื่องจากค่าของคุณสมบัติที่มีหมายเลขซีเรียลตั้งแต่ 39 ถึง 68 รวมถึง 50 และ 51 เท่ากับ 3

ตัวอย่าง. จำเป็นต้องกำหนดค่าจ้างแบบโมดอลและค่ามัธยฐานของคนงานในโรงงานตามชุดการแจกจ่ายต่อไปนี้

เนื่องจากอนุกรมการแจกแจงเริ่มต้นเป็นช่วง ค่าโมดอลของค่าจ้างจึงคำนวณโดยสูตร ในกรณีนี้ ช่วงโมดอลคือ 360-420 โดยมีความถี่สูงสุดเท่ากับ 30

ค่ามัธยฐานค่าจ้างยังคำนวณโดยสูตร ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานคือช่วง 360-420 ความถี่สะสมคือ 70 ในขณะที่ความถี่สะสมของช่วงก่อนหน้าคือ 40 ที่ จำนวนทั้งหมดหน่วยเท่ากับ 100

ค่าเฉลี่ยแบ่งออกเป็นสองประเภทใหญ่: หมายถึงอำนาจและโครงสร้างหมายถึง

ค่าเฉลี่ยกำลัง:

เลขคณิต

ฮาร์โมนิก

เรขาคณิต

กำลังสอง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือระยะเฉลี่ย ในการพิจารณาว่าปริมาณรวมของแอตทริบิวต์ที่กำหนดในชุดข้อมูลใดมีการกระจายเท่าๆ กันในทุกหน่วยที่รวมอยู่ในชุดนี้ ดังนั้น ผลผลิตเฉลี่ยต่อปีต่อคนงานหนึ่งคน คือปริมาณของผลผลิตที่จะตกลงกับพนักงานแต่ละคน หากปริมาณผลผลิตทั้งหมดมีการกระจายเท่าๆ กันในหมู่พนักงานทุกคนในองค์กร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยสูตร:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย- เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ต่อจำนวนแอตทริบิวต์ในการรวม

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต

หากปริมาตรของชุดข้อมูลมีขนาดใหญ่และแสดงถึงชุดการแจกแจง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักจะถูกคำนวณ นี่คือวิธีการกำหนดราคาถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่อหน่วยการผลิต: ต้นทุนการผลิตทั้งหมด (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ตามปริมาณและราคาหน่วยการผลิต) หารด้วยปริมาณการผลิตทั้งหมด

เราแสดงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก- เท่ากับอัตราส่วน (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าแอตทริบิวต์ต่อความถี่ของการทำซ้ำของแอตทริบิวต์นี้) ถึง (ผลรวมของความถี่ของแอตทริบิวต์ทั้งหมด) ใช้เมื่อตัวแปรของประชากรที่ศึกษาเกิดขึ้นไม่เท่ากัน จำนวนครั้ง.

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับชุดรูปแบบช่วงเวลา ขั้นแรกให้กำหนดค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วงเป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขอบเขตบนและล่าง แล้วจึงหาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลทั้งหมด ในกรณีของช่วงเปิด ค่าของช่วงล่างหรือช่วงบนจะถูกกำหนดโดยค่าของช่วงที่อยู่ติดกัน

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าโดยประมาณ

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลาเป็นค่าโดยประมาณ ระดับของการประมาณขึ้นอยู่กับขอบเขตที่การกระจายจริงของหน่วยประชากรภายในช่วงเวลาเข้าใกล้ชุดเดียวกัน

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ไม่ใช่แค่สัมบูรณ์แต่ยัง ค่าสัมพัทธ์(ความถี่):

ฮาร์โมนิกเฉลี่ย- ใช้ในกรณีเหล่านั้นเมื่อทราบค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์และผลิตภัณฑ์และไม่ทราบความถี่

ในตัวอย่างด้านล่าง - ทราบผลผลิต - ไม่ทราบพื้นที่ (แม้ว่าจะสามารถคำนวณได้โดยหารการเก็บเกี่ยวเมล็ดพืชรวมด้วยผลผลิต) - รู้จักการเก็บเกี่ยวเมล็ดพืชรวม

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้:

สูตรค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก:

ฮาร์โมนิกง่าย

ในกรณีที่ผลิตภัณฑ์เท่ากันหรือเท่ากับ 1 (z \u003d 1) ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกธรรมดาจะใช้สำหรับการคำนวณ โดยคำนวณโดยสูตร:

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกง่าย - ตัวบ่งชี้ที่ผกผันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตง่าย ๆ คำนวณจากค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตทำให้ไม่เปลี่ยนแปลงไม่ใช่ผลรวม แต่เป็นผลคูณของค่าแต่ละค่าของปริมาณที่กำหนด สามารถกำหนดได้โดยสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตมักใช้ในการวิเคราะห์อัตราการเติบโตของตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจ

ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

ชื่อพารามิเตอร์	ความหมาย
หัวข้อบทความ:	ฮาร์โมนิกเฉลี่ย
รูบริก (หมวดหมู่เฉพาะเรื่อง)	วัฒนธรรม

ฮาร์โมนิกเฉลี่ย- ϶ᴛᴏ ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ᴛ.ᴇ. ประกอบด้วยค่าผกผันของคุณลักษณะ

ตัวอย่างที่ 5การคำนวณเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของแผน มีข้อมูลต่อไปนี้:

ในตัวอย่าง ตัวบ่งชี้ระดับของการดำเนินการตามแผน (ตัวเลือก) ทำหน้าที่เป็นคุณลักษณะที่แตกต่างกัน และแผนถือเป็นน้ำหนัก (ความถี่) ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยจะได้รับเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต:

หากเมื่อเรากำหนดระดับเฉลี่ยของการปฏิบัติตามแผน เราไม่ได้ถือว่างานนั้นเป็นน้ำหนัก แต่เป็นการดำเนินการจริง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในกรณีนี้จะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง:

ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเมื่อชั่งน้ำหนักตามประสิทธิภาพที่แท้จริงของงานจะให้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก:

ที่ไหน w- ถ่วงน้ำหนัก หมายถึง ถ่วงน้ำหนักฮาร์โมนิก

เงื่อนไขการใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก

1. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะใช้เมื่อไม่ใช้หน่วยของประชากร (ผู้ให้บริการของแอตทริบิวต์) เป็นน้ำหนัก แต่ผลิตภัณฑ์ของหน่วยเหล่านี้ตามค่าของแอตทริบิวต์ ᴛ.ᴇ .

จากกฎข้อนี้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกในสถิติคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่แปลงแล้ว ซึ่งใช้เมื่อไม่ทราบขนาดของประชากร และจำเป็นต้องชั่งน้ำหนักตัวเลือกด้วยปริมาตรของแอตทริบิวต์

2. หากค่าสัมบูรณ์ทำหน้าที่เป็นน้ำหนัก การดำเนินการขั้นกลางใดๆ ในการคำนวณค่าเฉลี่ยควรให้ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญทางเศรษฐกิจ

ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของการปฏิบัติตามแผน เราจะคูณตัวบ่งชี้การปฏิบัติตามแผนด้วยงานที่วางแผนไว้และรับการปฏิบัติตามแผนจริง อย่างไรก็ตาม หากตัวบ่งชี้การดำเนินการตามแผนคูณด้วยการดำเนินการตามจริง จากมุมมองทางเศรษฐกิจ ผลลัพธ์จะไร้สาระ ซึ่งหมายความว่าใช้แบบฟอร์มเฉลี่ยอย่างไม่ถูกต้อง)

ฮาร์มอนิกเฉลี่ย - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "ฮาร์มอนิก" 2017, 2018

- ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกคือรูปแบบพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มีการคำนวณในกรณีเหล่านั้นเมื่อไม่ได้ระบุน้ำหนัก fi โดยตรง แต่รวมเป็นปัจจัยหนึ่งในตัวบ่งชี้ที่มีอยู่ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถเป็น... .

- ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

- ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถเป็นแบบง่ายและให้น้ำหนักได้ ลักษณะของชุดแปรผันพร้อมกับ ... .

- ถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิกเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต ใช้ในกรณีที่ใช้ตัวบ่งชี้ปริมาณของสินค้าในแง่กายภาพเป็นน้ำหนัก โดยที่ pq คือมูลค่าการซื้อขายในรูเบิล ใช้ได้เมื่อข้อมูลการขาย...ถูกใช้เป็นน้ำหนัก

- ฮาร์โมนิกเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าส่วนกลับของแอตทริบิวต์ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถเป็นแบบง่ายและให้น้ำหนักได้ ดังนั้นสูตรคำนวณค่าเฉลี่ย ... .

- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

สาระสำคัญและความหมายของค่าเฉลี่ย ประเภทของพวกเขา รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดของตัวบ่งชี้ทางสถิติคือค่าเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ในรูปแบบของค่าเฉลี่ยแสดงถึงระดับทั่วไปของลักษณะในประชากร ประยุกต์กว้างของสื่อ...