• บทช่วยสอน

ทุกคน สวัสดีตอนบ่าย- ในบทความนี้ ฉันต้องการแสดงวิธีการก่อสร้างแบบกราฟิกวิธีใดวิธีหนึ่ง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบไดนามิกซึ่งเรียกว่า กราฟพันธบัตร(“ พันธบัตร” - การเชื่อมต่อ, “กราฟ” - กราฟ) ในวรรณคดีรัสเซีย ฉันพบคำอธิบายของวิธีนี้ในหนังสือเรียนของ Tomsky เท่านั้น มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิค, เอ.วี. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 ยังแสดงวิธีการแบบคลาสสิกผ่านสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 ด้วย

วิธีลากรองจ์

ฉันจะไม่อธิบายทฤษฎี ฉันจะแสดงขั้นตอนการคำนวณพร้อมความคิดเห็นเล็กน้อย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันเรียนรู้จากตัวอย่างได้ง่ายกว่าอ่านทฤษฎี 10 รอบ สำหรับฉันดูเหมือนว่าในวรรณคดีรัสเซียคำอธิบายของวิธีนี้และคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์โดยทั่วไปนั้นอุดมไปด้วยมาก สูตรที่ซับซ้อนซึ่งจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่จริงจัง ในขณะที่ศึกษาวิธีลากรองจ์ (ฉันเรียนที่มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งตูริน ประเทศอิตาลี) ฉันศึกษาวรรณคดีรัสเซียเพื่อเปรียบเทียบวิธีการคำนวณ และเป็นการยากสำหรับฉันที่จะติดตามความคืบหน้าในการแก้ไขวิธีนี้ แม้กระทั่งการจำหลักสูตรการสร้างแบบจำลองที่ Kharkov สถาบันการบิน" การได้มาของวิธีการดังกล่าวนั้นยุ่งยากมากและไม่มีใครใส่ใจในการพยายามทำความเข้าใจปัญหานี้ นี่คือสิ่งที่ฉันตัดสินใจเขียนซึ่งเป็นคู่มือสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ตามลากรองจ์เนื่องจากปรากฎว่ามันไม่ยากเลย แต่ก็เพียงพอที่จะรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ตามเวลาและอนุพันธ์ย่อย สำหรับโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น จะมีการเพิ่มเมทริกซ์การหมุนด้วย แต่ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในนั้นเช่นกัน

คุณสมบัติของวิธีการสร้างแบบจำลอง:

• นิวตัน-ออยเลอร์: สมการเวกเตอร์ตามสมดุลไดนามิก บังคับและ ช่วงเวลา
• ลากรองจ์: สมการสเกลาร์ตามฟังก์ชันสถานะที่เกี่ยวข้องกับจลน์ศาสตร์และศักย์ไฟฟ้า พลังงาน
• จำนวนพันธบัตร: วิธีการตามการไหล พลังระหว่างองค์ประกอบระบบ

เริ่มต้นด้วย ตัวอย่างง่ายๆ- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์ เราละเลยแรงโน้มถ่วง

รูปที่ 1- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์

ก่อนอื่นเรากำหนด:

• ระบบเริ่มต้นพิกัด(NSK) หรือ SK คงที่ R0(i0,j0,k0)- ที่ไหน? คุณสามารถชี้นิ้วของคุณขึ้นไปบนฟ้าได้ แต่ด้วยการกระตุกส่วนปลายของเซลล์ประสาทในสมอง แนวคิดนี้ก็ส่งผ่านไปยังการวาง NSC บนแนวการเคลื่อนไหวของร่างกาย M1
• ระบบพิกัดของร่างกายแต่ละส่วนด้วยมวล(เรามี M1 R1(i1,j1,k1)) การวางแนวอาจเป็นไปตามอำเภอใจ แต่เหตุใดชีวิตของคุณจึงซับซ้อนโดยตั้งค่าให้มีความแตกต่างน้อยที่สุดจาก NSC
• พิกัดทั่วไป คิว_ฉัน (ปริมาณขั้นต่ำตัวแปรที่สามารถอธิบายการเคลื่อนไหวได้) ใน ในตัวอย่างนี้พิกัดทั่วไปหนึ่งพิกัด เคลื่อนที่ตามแกน j เท่านั้น

รูปที่ 2- เราวางระบบพิกัดและพิกัดทั่วไป

รูปที่ 3- ตำแหน่งและความเร็วของร่างกาย M1

จากนั้นเราจะค้นหาพลังงานจลน์ (C) และพลังงานศักย์ (P) และฟังก์ชันการกระจาย (D) สำหรับแดมเปอร์โดยใช้สูตร:

รูปที่ 4. ครบสูตรพลังงานจลน์

ในตัวอย่างของเรา ไม่มีการหมุน องค์ประกอบที่สองคือ 0

รูปที่ 5- การคำนวณจลนศาสตร์ พลังงานศักย์และฟังก์ชันการกระจายตัว

สมการลากรองจ์มีรูปแบบดังนี้

รูปที่ 6- สมการลากรองจ์และลากรองจ์

เดลต้า W_iนี้ งานเสมือนจริงสมบูรณ์แบบด้วยแรงและช่วงเวลาที่ใช้ มาหาเธอกันเถอะ:

รูปที่ 7- การคำนวณงานเสมือนจริง

ที่ไหน เดลต้า q_1การเคลื่อนไหวเสมือนจริง

เราแทนทุกอย่างลงในสมการลากรองจ์:

รูปที่ 8- ผลลัพธ์ที่ได้คือโมเดลมวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์

นี่คือจุดที่วิธีการของลากรองจ์สิ้นสุดลง อย่างที่คุณเห็น มันไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น แต่ก็ยังเป็นตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งส่วนใหญ่แล้ววิธีของนิวตัน-ออยเลอร์จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ สำหรับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีวัตถุหลายชิ้นหมุนสัมพันธ์กันในมุมที่ต่างกัน วิธีลากรองจ์จะง่ายกว่า

วิธีกราฟพันธบัตร

ฉันจะแสดงให้คุณดูทันทีว่าแบบจำลองนี้มีลักษณะอย่างไรในกราฟบอนด์สำหรับตัวอย่างที่มีมวล สปริง และแดมเปอร์:

รูปที่ 9- มวลกราฟบอนด์พร้อมสปริงและแดมเปอร์

ที่นี่คุณจะต้องบอกทฤษฎีเล็กน้อยซึ่งเพียงพอที่จะสร้างแบบจำลองง่ายๆ หากใครสนใจสามารถอ่านหนังสือได้ ( วิธีการกราฟพันธบัตร) หรือ ( โวโรนิน เอ.วี. การสร้างแบบจำลองระบบเมคคาทรอนิกส์: คู่มือการฝึกอบรม- – ตอมสค์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคทอมสค์, 2551).

ให้เราพิจารณาก่อนว่า ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยหลายโดเมน ตัวอย่างเช่น มอเตอร์ไฟฟ้าประกอบด้วยชิ้นส่วนหรือโดเมนทางไฟฟ้าและเครื่องกล

กราฟพันธบัตรโดยอาศัยการแลกเปลี่ยนอำนาจระหว่างโดเมนระบบย่อยเหล่านี้ โปรดทราบว่าการแลกเปลี่ยนพลังงานไม่ว่าจะในรูปแบบใดก็ตาม จะถูกกำหนดโดยตัวแปรสองตัวเสมอ ( พลังงานที่แปรผัน) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถศึกษาปฏิสัมพันธ์ได้ ระบบย่อยต่างๆเป็นส่วนหนึ่งของระบบไดนามิก (ดูตาราง)

ดังที่เห็นจากตาราง การแสดงออกของอำนาจแทบจะเหมือนกันทุกที่ โดยสรุป พลัง- งานนี้” ไหล - ฉ" ถึง " ความพยายาม - อี».

ความพยายาม(ภาษาอังกฤษ) ความพยายาม) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือแรงดันไฟฟ้า (e) ในโดเมนทางกลคือแรง (F) หรือแรงบิด (T) ในระบบไฮดรอลิกคือความดัน (p)

ไหล(ภาษาอังกฤษ) ไหล) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือกระแส (i) ในโดเมนทางกลคือความเร็ว (v) หรือ ความเร็วเชิงมุม(โอเมก้า) ในระบบชลศาสตร์ – การไหลของของไหลหรืออัตราการไหล (Q)

จากสัญลักษณ์เหล่านี้ เราได้สำนวนแสดงพลัง:

รูปที่ 10- สูตรกำลังผ่านตัวแปรกำลัง

ในภาษากราฟบอนด์ การเชื่อมต่อระหว่างสองระบบย่อยที่แลกเปลี่ยนพลังงานจะแสดงด้วยพันธะ พันธบัตร- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่า วิธีนี้ กราฟพันธบัตรหรือก การเชื่อมต่อ raf, กราฟที่เชื่อมต่อ- ลองพิจารณาดู แผนภาพบล็อกการเชื่อมต่อในรุ่นที่มีมอเตอร์ไฟฟ้า (ยังไม่ใช่กราฟบอนด์):

รูปที่ 11- บล็อกไดอะแกรมการไหลของพลังงานระหว่างโดเมน

หากเรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าก็จะสร้างแรงดันไฟฟ้าและถ่ายโอนไปยังมอเตอร์เพื่อม้วน (นี่คือสาเหตุที่ลูกศรชี้ไปที่มอเตอร์) ขึ้นอยู่กับความต้านทานของขดลวดกระแสจะปรากฏขึ้นตามกฎของโอห์ม (กำกับ จากมอเตอร์ไปยังแหล่งกำเนิด) ดังนั้น ตัวแปรตัวหนึ่งจะเป็นอินพุตไปยังระบบย่อย และตัวแปรตัวที่สองจะต้องเป็น ออกจากระบบย่อย นี่คือแรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) – อินพุต, กระแส ( ไหล) - ออก

หากคุณใช้แหล่งที่มาปัจจุบัน แผนภาพจะเปลี่ยนไปอย่างไร ขวา. กระแสไฟฟ้าจะถูกส่งไปยังมอเตอร์และแรงดันไฟฟ้าไปยังแหล่งกำเนิด แล้วปัจจุบัน ( ไหล) – อินพุต, แรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) - ออก

ลองดูตัวอย่างในกลศาสตร์ แรงที่กระทำต่อมวล

รูปที่ 12- แรงที่กระทำต่อมวล

แผนภาพบล็อกจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 13- บล็อกไดอะแกรม

ในตัวอย่างนี้ ความแรง ( ความพยายาม) – ตัวแปรอินพุตสำหรับมวล (แรงที่กระทำต่อมวล)
ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

มวลตอบสนองด้วยความเร็ว:

ในตัวอย่างนี้ ถ้ามีตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ( ความแข็งแกร่ง - ความพยายาม) เป็น ทางเข้าเข้าสู่โดเมนทางกล จากนั้นก็มีตัวแปรกำลังอีกตัวหนึ่ง ( ความเร็ว - ไหล) – กลายเป็นโดยอัตโนมัติ ออก.

เพื่อแยกแยะว่าอินพุตอยู่ที่ไหนและเอาต์พุตอยู่ที่ไหน จะใช้เส้นแนวตั้งที่ส่วนท้ายของลูกศร (การเชื่อมต่อ) ระหว่างองค์ประกอบ เส้นนี้เรียกว่า สัญญาณของสาเหตุ หรือ สาเหตุ (สาเหตุ- ปรากฎว่าแรงที่ใช้เป็นสาเหตุ และความเร็วเป็นผล สัญลักษณ์นี้มีความสำคัญมากสำหรับ การก่อสร้างที่ถูกต้องรูปแบบของระบบ เนื่องจากเหตุเป็นผลตามมา พฤติกรรมทางกายภาพและการแลกเปลี่ยนอำนาจของสองระบบย่อย ดังนั้น การเลือกตำแหน่งของสัญญาณเชิงสาเหตุจึงไม่สามารถกำหนดเองได้

รูปที่ 14- การกำหนดสาเหตุ

เส้นแนวตั้งนี้แสดงว่าระบบย่อยใดที่ได้รับแรง ( ความพยายาม) และเป็นผลให้เกิดกระแส ( ไหล- ในตัวอย่างที่มีมวลมันจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 14- ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุสำหรับแรงที่กระทำต่อมวล

จากลูกศรจะชัดเจนว่าอินพุตสำหรับมวลคือ - ความแข็งแกร่งและผลลัพธ์ก็คือ ความเร็ว- ทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้แผนภาพมีลูกศรยุ่งเหยิงและจัดระบบการก่อสร้างแบบจำลอง

ต่อไป จุดสำคัญ. แรงกระตุ้นทั่วไป(ปริมาณการเคลื่อนไหว) และ การย้าย(ตัวแปรพลังงาน).

ตารางตัวแปรกำลังและพลังงานในโดเมนต่างๆ

ตารางด้านบนจะแนะนำปริมาณทางกายภาพเพิ่มเติมอีกสองปริมาณที่ใช้ในวิธีกราฟบอนด์ พวกเขาถูกเรียกว่า แรงกระตุ้นทั่วไป (ร) และ การเคลื่อนไหวทั่วไป (ถาม) หรือตัวแปรพลังงาน และสามารถได้รับโดยการรวมตัวแปรพลังงานเมื่อเวลาผ่านไป:

รูปที่ 15- ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกำลังและพลังงาน

ในด้านไฟฟ้า :

ตามกฎของฟาราเดย์ แรงดันไฟฟ้าที่ปลายตัวนำมีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของ ฟลักซ์แม่เหล็กผ่านตัวนำนี้

ก ความแรงในปัจจุบัน - ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของประจุ Q ที่ผ่านช่วงเวลาหนึ่ง t ภาพตัดขวางตัวนำตามค่าของช่วงเวลานี้

โดเมนเครื่องกล:

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน จะได้ ความแข็งแกร่ง– อนุพันธ์ของเวลาของแรงกระตุ้น

และด้วยเหตุนี้ ความเร็ว- อนุพันธ์ตามเวลาของการกระจัด:

มาสรุปกัน:

องค์ประกอบพื้นฐาน

องค์ประกอบทั้งหมดใน ระบบไดนามิกสามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบสองขั้วและสี่ขั้ว
ลองพิจารณาดู ส่วนประกอบสองขั้ว:

แหล่งที่มา
มีทั้งที่มาของความพยายามและความลื่นไหล การเปรียบเทียบในโดเมนทางไฟฟ้า: แหล่งที่มาของความพยายาม – แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า, แหล่งสตรีม – แหล่งที่มาปัจจุบัน- สัญญาณสาเหตุแหล่งที่มาควรเป็นเช่นนี้เท่านั้น

รูปที่ 16- การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุและการกำหนดแหล่งที่มา

ส่วนประกอบอาร์ – องค์ประกอบกระจาย

องค์ประกอบที่ 1 – องค์ประกอบเฉื่อย

องค์ประกอบ C – องค์ประกอบตัวเก็บประจุ

ดังที่เห็นได้จากตัวเลของค์ประกอบต่าง ๆ ที่เหมือนกัน ประเภท R,C,Iอธิบายด้วยสมการเดียวกัน ความจุไฟฟ้ามีความแตกต่างกันเท่านั้น คุณเพียงแค่ต้องจำไว้!

ส่วนประกอบสี่เท่า:

ลองดูองค์ประกอบสองอย่าง: หม้อแปลงไฟฟ้าและไจเรเตอร์

ล่าสุด ส่วนประกอบที่สำคัญในวิธีกราฟบอนด์ จะใช้การเชื่อมต่อ โหนดมีสองประเภท:

นั่นก็คือส่วนประกอบนั่นเอง

ขั้นตอนหลักในการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจากสร้างกราฟพันธบัตร:

1. มอบความสัมพันธ์เชิงสาเหตุให้กับทุกคน แหล่งที่มา
2. ตรวจดูโหนดทั้งหมดและวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจุดที่ 1
3. สำหรับ ส่วนประกอบ Iกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุอินพุต (ความพยายามรวมอยู่ในองค์ประกอบนี้) สำหรับ ส่วนประกอบ Cกำหนดสาเหตุของผลลัพธ์ (ความพยายามออกมาจากองค์ประกอบนี้)
4. ทำซ้ำจุดที่ 2
5. แทรกการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุสำหรับ ส่วนประกอบอาร์

นี่เป็นการสรุปหลักสูตรย่อยเกี่ยวกับทฤษฎี ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่จำเป็นในการสร้างโมเดลแล้ว
ลองแก้ตัวอย่างสองสามตัวอย่าง เริ่มต้นด้วย วงจรไฟฟ้าเป็นการดีกว่าที่จะเข้าใจความคล้ายคลึงของการสร้างกราฟพันธบัตร

ตัวอย่างที่ 1

มาเริ่มสร้างกราฟบอนด์ที่มีแหล่งจ่ายแรงดันกันดีกว่า แค่เขียน Se แล้วใส่ลูกศร

ดูสิทุกอย่างเรียบง่าย! ลองดูเพิ่มเติมว่า R และ L เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมซึ่งหมายความว่ากระแสเดียวกันจะไหลในนั้นหากเราพูดในตัวแปรกำลัง - การไหลเดียวกัน โหนดใดมีโฟลว์เหมือนกัน คำตอบที่ถูกต้องคือ 1 โหนด เราเชื่อมต่อแหล่งกำเนิดความต้านทาน (ส่วนประกอบ - R) และความเหนี่ยวนำ (ส่วนประกอบ - I) เข้ากับ 1 โหนด

ต่อไป เรามีความจุและความต้านทานแบบขนาน ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีแรงดันไฟฟ้าหรือแรงเท่ากัน 0-node มีความเหมาะสมไม่เหมือนใคร เราเชื่อมต่อความจุ (ส่วนประกอบ C) และความต้านทาน (ส่วนประกอบ R) กับ 0-node

เรายังเชื่อมต่อโหนด 1 และ 0 เข้าด้วยกัน ทิศทางของลูกศรถูกเลือกโดยพลการ ทิศทางของการเชื่อมต่อจะมีผลกับเครื่องหมายในสมการเท่านั้น

คุณจะได้กราฟการเชื่อมต่อดังนี้:

ตอนนี้เราจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ ทำตามคำแนะนำสำหรับลำดับตำแหน่ง เรามาเริ่มกันที่แหล่งที่มากันก่อน

1. เรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้า (ความพยายาม) แหล่งกำเนิดดังกล่าวมีสาเหตุเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น - เอาต์พุต มาใส่กันเถอะ
2. ต่อไปเป็นส่วนประกอบ I มาดูสิ่งที่พวกเขาแนะนำกันดีกว่า เราใส่
3. เราวางมันลงสำหรับ 1 โหนด กิน
4. โหนด 0 ต้องมีหนึ่งอินพุตและการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุเอาต์พุตทั้งหมด ตอนนี้เรามีวันหยุดหนึ่งวัน เรากำลังมองหาส่วนประกอบ C หรือ I เราพบแล้ว เราใส่
5. มาแสดงรายการสิ่งที่เหลืออยู่

นั่นคือทั้งหมดที่ มีการสร้างกราฟพันธบัตร ไชโยสหาย!

สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนสมการที่อธิบายระบบของเรา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สร้างตารางที่มี 3 คอลัมน์ อันแรกจะประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งหมดของระบบ ส่วนอันที่สองจะมีตัวแปรอินพุตสำหรับแต่ละองค์ประกอบ และอันที่สามจะมีตัวแปรเอาต์พุตสำหรับส่วนประกอบเดียวกัน เราได้กำหนดอินพุตและเอาต์พุตตามความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแล้ว ดังนั้นจึงไม่น่าจะมีปัญหาใดๆ

เรามากำหนดหมายเลขการเชื่อมต่อแต่ละรายการกันเพื่อความสะดวกในการบันทึกระดับ เราใช้สมการสำหรับแต่ละองค์ประกอบจากรายการส่วนประกอบ C, R, I

เมื่อรวบรวมตารางแล้ว เรากำหนดตัวแปรสถานะ ในตัวอย่างนี้มี 2 ตัวคือ p3 และ q5 ต่อไปคุณต้องเขียนสมการสถานะ:

เพียงเท่านี้โมเดลก็พร้อมแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ฉันอยากจะขอโทษทันทีสำหรับคุณภาพของภาพถ่าย สิ่งสำคัญคือคุณสามารถอ่านได้

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับ ระบบเครื่องกลแบบเดียวกับที่เราแก้ไขโดยใช้วิธีลากรองจ์ ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยไม่มีความคิดเห็น เรามาตรวจสอบว่าวิธีใดต่อไปนี้ง่ายกว่าและง่ายกว่า

ใน Matbala มีการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งสองที่มีพารามิเตอร์เดียวกัน ซึ่งได้มาจากวิธี Lagrange และกราฟบอนด์ ผลลัพธ์อยู่ด้านล่าง: เพิ่มแท็ก

วิธีการลากรองจ์

วิธีการหล่อ รูปแบบกำลังสองถึงผลรวมของกำลังสอง ซึ่งระบุในปี 1759 โดย J. Lagrange ให้มันได้รับ

จากตัวแปร x 0 , x 1 ,...,xน. ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากสนาม เคลักษณะ จำเป็นต้องนำแบบฟอร์มนี้ไปสู่รูปแบบบัญญัติ จิตใจ

โดยใช้ไม่เสื่อม การแปลงเชิงเส้นตัวแปร L.m. ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ (1) ไม่ใช่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ดังนั้นจึงเป็นไปได้สองกรณี 1) สำหรับบางคนกรัม

เส้นทแยงมุมแล้ว โดยที่รูปแบบ f 1 (x) ไม่มีตัวแปรเอ็กซ์ ก. 2) ถ้าทุกอย่าง แต่

ที่ โดยที่รูปแบบ f 2 (x) ไม่มีตัวแปรสองตัวและ เอ็กซ์ ก x ชม. แบบฟอร์มใต้เครื่องหมายสี่เหลี่ยมใน (4) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง โดยนำการแปลงรูป (3) และ (4) รูป (1) มาประยุกต์ใช้ภายหลังจำนวนจำกัด

ขั้นตอนจะลดลงเป็นผลรวมของกำลังสองของรูปแบบเชิงเส้นอิสระเชิงเส้น การใช้อนุพันธ์ย่อยสามารถเขียนสูตร (3) และ (4) ได้ในรูปแบบสว่าง : G a n t m a k h e r F.ร. ทฤษฎีเมทริกซ์ ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ม. 2509; K u r o sh A. G., หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง, 11th ed., M. , 1975; Alexandrov P. S. การบรรยายเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์..., M. , 1968

I. V. Proskuryakovสารานุกรมทางคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต

- ไอ. เอ็ม. วิโนกราดอฟ

พ.ศ. 2520-2528.ดูว่า "วิธี LAGRANGE" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร: วิธีลากรองจ์- วิธีลากรองจ์ - วิธีการแก้ปัญหาหลายระดับ การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์

พ.ศ. 2520-2528.โดยการค้นหาจุดอาน (x*, แล*) ของฟังก์ชันลากรองจ์ ซึ่งทำได้โดยการเท่ากับศูนย์อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้เทียบกับ... ...