สมการพาราเมตริกของเส้นตรงออนไลน์ สมการของเส้นตรงบนระนาบ

บทเรียนจากซีรีส์ "อัลกอริธึมเรขาคณิต"

สวัสดีผู้อ่านที่รัก!

วันนี้เราจะเริ่มเรียนรู้อัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิต ความจริงก็คือมีปัญหาค่อนข้างมากในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงคำนวณ และการแก้ปัญหาดังกล่าวมักทำให้เกิดปัญหา

ในบทเรียนสองสามบท เราจะพิจารณาปัญหาย่อยเบื้องต้นจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ของเรขาคณิตเชิงคำนวณ

ในบทนี้เราจะเขียนโปรแกรมสำหรับ การหาสมการเส้นตรงผ่านที่ให้ไว้ สองจุด. ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต เราต้องการความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงคำนวณ เราจะอุทิศส่วนหนึ่งของบทเรียนเพื่อทำความรู้จักกับพวกเขา

ข้อมูลจากเรขาคณิตเชิงคำนวณ

เรขาคณิตเชิงคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่ศึกษาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

ข้อมูลเบื้องต้นสำหรับปัญหาดังกล่าวอาจเป็นชุดของจุดบนระนาบ ชุดของเซ็กเมนต์ รูปหลายเหลี่ยม (เช่น รายการจุดยอดในลำดับตามเข็มนาฬิกา) เป็นต้น

ผลลัพธ์อาจเป็นคำตอบสำหรับคำถามบางข้อ (เช่น จุดอยู่ในส่วนใด ส่วนสองส่วนตัดกัน ...) หรือวัตถุเรขาคณิต (เช่น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่เล็กที่สุดที่เชื่อมต่อจุดที่กำหนด พื้นที่ของ รูปหลายเหลี่ยม ฯลฯ ) .

เราจะพิจารณาปัญหาของเรขาคณิตเชิงคำนวณบนระนาบและในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น

เวกเตอร์และพิกัด

ในการใช้วิธีการคำนวณทางเรขาคณิต จำเป็นต้องแปลภาพเรขาคณิตเป็นภาษาของตัวเลข เราจะถือว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รับบนระนาบซึ่งทิศทางของการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเรียกว่าค่าบวก

ตอนนี้วัตถุทางเรขาคณิตได้รับนิพจน์เชิงวิเคราะห์ ดังนั้นเพื่อกำหนดจุด การระบุพิกัดก็เพียงพอแล้ว: ตัวเลขคู่หนึ่ง (x; y) สามารถระบุเซกเมนต์ได้โดยการระบุพิกัดของจุดสิ้นสุด สามารถระบุเส้นตรงได้โดยการระบุพิกัดของจุดคู่

แต่เครื่องมือหลักในการแก้ปัญหาจะเป็นเวกเตอร์ ฉันขอเตือนคุณถึงข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับพวกเขา

ส่วนของเส้น ABซึ่งมีจุด แต่ถือเป็นจุดเริ่มต้น (จุดสมัคร) และจุด ที่- จุดสิ้นสุดเรียกว่าเวกเตอร์ ABและเขียนแทนด้วย , หรือตัวพิมพ์เล็กตัวหนา เช่น เอ .

เพื่อแสดงความยาวของเวกเตอร์ (นั่นคือ ความยาวของเซ็กเมนต์ที่เกี่ยวข้อง) เราจะใช้สัญลักษณ์โมดูล (เช่น )

เวกเตอร์ตามอำเภอใจจะมีพิกัดเท่ากับความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น:

จุดที่นี่ อาและ บี มีพิกัด ตามลำดับ

สำหรับการคำนวณ เราจะใช้แนวคิด มุมเอียงนั่นคือมุมที่คำนึงถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์

มุมเชิงระหว่างเวกเตอร์ เอ และ ข บวกถ้าการหมุนอยู่ห่างจากเวกเตอร์ เอ เป็นเวกเตอร์ ข จะทำในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) และลบในกรณีอื่น ดู fig.1a, fig.1b. ยังกล่าวอีกว่าเวกเตอร์คู่หนึ่ง เอ และ ข ในเชิงบวก (เชิงลบ) ที่มุ่งเน้น

ดังนั้น ค่าของมุมวางแนวจึงขึ้นอยู่กับลำดับของการแจงนับของเวกเตอร์ และสามารถรับค่าในช่วง .

ปัญหาเรขาคณิตเชิงคำนวณจำนวนมากใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ (เอียงหรือเทียม) ของเวกเตอร์

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และ b คือผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ในพิกัด:

นิพจน์ทางด้านขวาเป็นตัวกำหนดลำดับที่สอง:

ไม่เหมือนกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในเรขาคณิตวิเคราะห์ นี่คือสเกลาร์

เครื่องหมายกากบาทกำหนดตำแหน่งของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กัน:

เอ และ ข ที่มุ่งเน้นในเชิงบวก

ถ้าค่าเป็น แสดงว่าคู่ของเวกเตอร์ เอ และ ข ที่มุ่งเน้นเชิงลบ

ผลคูณของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพวกมันเป็น collinear ( ). ซึ่งหมายความว่าอยู่บนเส้นเดียวกันหรือบนเส้นคู่ขนาน

ลองพิจารณางานง่าย ๆ ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น

ลองกำหนดสมการของเส้นตรงโดยพิกัดของจุดสองจุด

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดต่าง ๆ สองจุดที่กำหนดโดยพิกัด

ให้จุดที่ไม่ตรงกันสองจุดบนเส้น: ด้วยพิกัด (x1;y1) และพิกัด (x2; y2) ดังนั้น เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดและจุดสิ้นสุดที่จุดจึงมีพิกัด (x2-x1, y2-y1) ถ้า P(x, y) เป็นจุดใดก็ได้บนเส้นของเรา พิกัดของเวกเตอร์คือ (x-x1, y - y1)

ด้วยความช่วยเหลือของ cross product เงื่อนไขสำหรับ collinearity ของเวกเตอร์และสามารถเขียนได้ดังนี้:

เหล่านั้น. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

เราเขียนสมการสุดท้ายใหม่ดังนี้:

ขวาน + โดย + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

ดังนั้น เส้นตรงสามารถหาได้จากสมการของรูปแบบ (1)

ภารกิจที่ 1 ให้พิกัดของสองจุด ค้นหาการแสดงในรูปแบบ ax + โดย + c = 0

ในบทเรียนนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับข้อมูลบางส่วนจากเรขาคณิตเชิงคำนวณ เราแก้ปัญหาการหาสมการเส้นตรงโดยพิกัดสองจุด

ในบทต่อไป เราจะเขียนโปรแกรมหาจุดตัดของเส้นสองเส้นจากสมการของเรา

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

ดังที่ทราบกันดีว่าจุดใดๆ บนเครื่องบินถูกกำหนดโดยพิกัดสองพิกัดในระบบพิกัดบางระบบ ระบบพิกัดอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐานและที่มา

คำนิยาม. สมการเส้นคือความสัมพันธ์ y = f(x) ระหว่างพิกัดของจุดที่ประกอบเป็นเส้นนี้

โปรดทราบว่าสมการเส้นสามารถแสดงในรูปแบบพาราเมตริก กล่าวคือ แต่ละพิกัดของแต่ละจุดแสดงผ่านพารามิเตอร์อิสระบางตัว t.

ตัวอย่างทั่วไปคือวิถีของจุดเคลื่อนที่ ในกรณีนี้ เวลามีบทบาทเป็นพารามิเตอร์

สมการของเส้นตรงบนระนาบ

คำนิยาม. เส้นใดๆ ในระนาบสามารถกำหนดได้โดยสมการลำดับที่หนึ่ง

อา + วู + C = 0,

นอกจากนี้ ค่าคงที่ A, B จะไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน กล่าวคือ A 2 + B 2  0. สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรง

ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, B และ C กรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

C \u003d 0, A  0, B  0 - เส้นผ่านจุดเริ่มต้น

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - เส้นขนานกับแกน Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - เส้นขนานกับแกน Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - เส้นตรงตรงกับแกน Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - เส้นตรงตรงกับแกน Ox

สมการของเส้นตรงสามารถนำเสนอในรูปแบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

สมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ตั้งฉาก

คำนิยาม. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B) จะตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดโดยสมการ Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง.หาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A (1, 2) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

ให้เราเขียนที่ A \u003d 3 และ B \u003d -1 สมการของเส้นตรง: 3x - y + C \u003d 0 ในการหาสัมประสิทธิ์ C เราแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์

เราได้รับ: 3 - 2 + C \u003d 0 ดังนั้น C \u003d -1

รวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 \u003d 0

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด

ให้สองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ในช่องว่าง จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดเหล่านี้:

หากตัวส่วนใดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่ตรงกันควรตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์

บนระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1  x 2 และ x \u003d x 1 ถ้า x 1 \u003d x 2

เศษส่วน
=k เรียกว่า ปัจจัยความชันตรง.

ตัวอย่าง.จงหาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

ใช้สูตรข้างต้นเราได้รับ:

สมการของเส้นตรงโดยจุดและความชัน

หากสมการทั่วไปของเส้นตรง Axe + Vy + C = 0 นำไปสู่รูปแบบ:

และกำหนด
จากนั้นสมการผลลัพธ์จะเรียกว่า สมการเส้นตรงที่มีความชันk.

สมการของเส้นตรงบนจุดและเวกเตอร์กำกับ

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถป้อนการกำหนดเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงได้

คำนิยาม. ทุกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ( 1 ,  2) ส่วนประกอบที่เป็นไปตามเงื่อนไข A 1 + B 2 = 0 เรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้น

อา + วู + C = 0

ตัวอย่าง.หาสมการเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

เราจะมองหาสมการของเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบ: Ax + By + C = 0 ตามคำจำกัดความสัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1A + (-1)B = 0 เช่น เอ = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบดังนี้: Ax + Ay + C = 0 หรือ x + y + C/A = 0

ที่ x = 1, y = 2 เราได้ С/A = -3, เช่น สมการที่ต้องการ:

สมการของเส้นตรงในส่วน

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ah + Wu + C = 0 C 0 จากนั้นหารด้วย –C เราจะได้:
หรือ

, ที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์คือสัมประสิทธิ์ เอคือพิกัดของจุดตัดของเส้นกับแกน x และ ข- พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกน Oy

ตัวอย่าง.จากสมการทั่วไปของเส้น x - y + 1 = 0 จงหาสมการของเส้นนี้ในเซ็กเมนต์

ค \u003d 1,
, a = -1, b = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ Axe + Wy + C = 0 หารด้วยตัวเลข
, ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราจะได้

xcos + อิซิน - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง

ต้องเลือกเครื่องหมาย  ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้С< 0.

p คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกจากจุดกำเนิดไปยังเส้นตรง และ  คือมุมที่เกิดขึ้นจากแนวตั้งฉากนี้กับทิศทางบวกของแกน Ox

ตัวอย่าง.จากสมการทั่วไปของเส้น 12x - 5y - 65 = 0 จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ สำหรับเส้นนี้

สมการของเส้นตรงนี้ในส่วน:

สมการของเส้นตรงนี้ที่มีความชัน: (หารด้วย 5)

สมการปกติของเส้นตรง:

; cos = 12/13; บาป = -5/13; พี=5

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ ได้ เช่น เส้นตรงที่ขนานกับแกนหรือการส่งผ่านจุดกำเนิด

ตัวอย่าง.เส้นตรงตัดส่วนบวกที่เท่ากันบนแกนพิกัดออก เขียนสมการของเส้นตรงถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนเหล่านี้คือ 8 ซม. 2

สมการเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้
, a = b = 1; ab/2 = 8; ก = 4; -สี่.

a = -4 ไม่เข้ากับสภาพของปัญหา

ทั้งหมด:
หรือ x + y - 4 = 0

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A (-2, -3) และจุดกำเนิด

สมการเส้นตรงมีรูปแบบดังนี้
โดยที่ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3

มุมระหว่างเส้นบนระนาบ

คำนิยาม. หากให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 มุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 .

สองเส้นตั้งฉากถ้า k 1 = -1/k 2 .

ทฤษฎีบท. เส้นตรง Ax + Vy + C = 0 และ A 1 x + ข 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ A เป็นสัดส่วน 1 =  A, B 1 =  ข. ถ้ายัง C 1 =  C แล้วเส้นตรง

พิกัดของจุดตัดของเส้นสองเส้นพบเป็นคำตอบของระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนด

ตั้งฉากกับเส้นนี้

คำนิยาม. เส้นที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้น y \u003d kx + b แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นจุด M(x 0 , y 0 ) จากนั้นระยะทางไปยังเส้น Axe + Vy + C = 0 ถูกกำหนดเป็น

การพิสูจน์. ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่หลุดจากจุด M ไปยังเส้นที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถหาได้จากการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้น แก้ เราได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างเส้น: y = -3x + 7; y = 2x + 1

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

ตัวอย่าง.แสดงว่าเส้น 3x - 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y - 3 = 0 ตั้งฉากกัน

เราพบ: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1 ดังนั้นเส้นจึงตั้งฉาก

ตัวอย่าง.จุดยอดของสามเหลี่ยม A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) หาสมการความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

เราพบสมการของด้าน AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการคือ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b

k = . แล้ว y =
. เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้:
โดยที่ b = 17. รวม:
.

คำตอบ: 3x + 2y - 34 = 0

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ในอวกาศ

สมการเส้นในช่องว่าง

สมการของเส้นตรงในอวกาศโดยจุดและ

เวกเตอร์ทิศทาง

ลากเส้นตามอำเภอใจและเวกเตอร์ (m, n, p) ขนานกับเส้นที่กำหนด เวกเตอร์ เรียกว่า คู่มือเวกเตอร์ตรง.

ลองหาจุดใดก็ได้สองจุด M 0 (x 0 , y 0 , z 0) และ M(x, y, z) บนเส้นตรง

ให้เราแทนเวกเตอร์รัศมีของจุดเหล่านี้เป็น และ เห็นได้ชัดว่า - =
.

เพราะ เวกเตอร์
และ เป็น collinear แล้วความสัมพันธ์ก็เป็นจริง
= t โดยที่ t คือพารามิเตอร์บางตัว

โดยรวมแล้วเราสามารถเขียน: = + ที

เพราะ สมการนี้ได้รับความพึงพอใจจากพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง จากนั้นสมการที่ได้จะเป็น สมการพาราเมทริกของเส้นตรง.

สมการเวกเตอร์นี้สามารถแสดงในรูปแบบพิกัดได้:

การแปลงระบบนี้และเท่ากับค่าของพารามิเตอร์ t เราได้รับสมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศ:

คำนิยาม. โคไซน์ทิศทางตรงคือทิศทางโคไซน์ของเวกเตอร์ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

;

.

จากที่นี่เราได้รับ: m: n: p = cos : cos : cos

ตัวเลข m, n, p เรียกว่า ปัจจัยความชันตรง. เพราะ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ m, n และ p ไม่สามารถเป็นศูนย์พร้อมกันได้ แต่ตัวเลขเหล่านี้หนึ่งหรือสองจำนวนอาจเป็นศูนย์ได้ ในกรณีนี้ ในสมการของเส้นตรง ตัวเศษที่ตรงกันควรมีค่าเท่ากับศูนย์

สมการของเส้นตรงในช่องว่างที่ผ่าน

ผ่านสองจุด

หากจุดใดก็ได้ M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ขีดเส้นตรงในช่องว่าง พิกัดของจุดเหล่านี้จะต้องเป็นไปตามสมการของ เส้นตรงที่ได้รับด้านบน:

นอกจากนี้ สำหรับจุด M 1 เราสามารถเขียน:

การแก้สมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้:

นี่คือสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดในอวกาศ

สมการทั่วไปของเส้นตรงในช่องว่าง

สมการของเส้นตรงถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตัดของระนาบสองระนาบ

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ระนาบในรูปเวกเตอร์สามารถกำหนดได้โดยสมการ:

+ D = 0 โดยที่

- เครื่องบินปกติ - เวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่งของระนาบ

บทความนี้แสดงที่มาของสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่อยู่บนระนาบ เราได้รับสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เราจะแสดงให้เห็นภาพและแก้ไขตัวอย่างต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาที่ครอบคลุม

Yandex.RTB R-A-339285-1

ก่อนที่จะได้สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด จำเป็นต้องให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงบางประการเสียก่อน มีสัจพจน์ที่บอกว่าผ่านจุดที่ไม่บังเอิญสองจุดบนระนาบ เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงและจุดเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่ง สองจุดที่กำหนดของระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้

หากระนาบได้รับจากระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy เส้นตรงใดๆ ที่แสดงอยู่บนระนาบนั้นจะสอดคล้องกับสมการของเส้นตรงบนระนาบ นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่อกับเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงด้วยข้อมูลเหล่านี้เพียงพอที่จะวาดสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

พิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาที่คล้ายกัน จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นตรง a ที่ผ่านจุดสองจุดที่ไม่ตรงกัน M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) ซึ่งอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ในสมการบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบซึ่งมีรูปแบบ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y ถูกกำหนดด้วยเส้นตรงที่ตัดกับมันที่จุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1) พร้อมเวกเตอร์ไกด์ a → = (a x , a y) .

จำเป็นต้องเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรง a ซึ่งจะผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) .

เส้นตรง a มีเวกเตอร์กำกับ M 1 M 2 → พร้อมพิกัด (x 2 - x 1, y 2 - y 1) เนื่องจากมันตัดกับจุด M 1 และ M 2 เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นเพื่อแปลงสมการบัญญัติด้วยพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) และพิกัดของจุด M 1 ที่วางอยู่บนนั้น (x 1, y 1) และ M 2 (x 2 , y 2) . เราได้สมการของรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 หรือ x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1

พิจารณารูปด้านล่าง

หลังจากการคำนวณ เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในระนาบที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) . เราได้สมการของรูปแบบ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ หรือ x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ

มาดูตัวอย่างกันให้ละเอียดยิ่งขึ้น

ตัวอย่าง 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6

วิธีการแก้

สมการบัญญัติสำหรับเส้นตรงตัดกันที่จุดสองจุดด้วยพิกัด x 1 , y 1 และ x 2 , y 2 อยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามีว่า x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 จำเป็นต้องแทนที่ค่าตัวเลขในสมการ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . จากที่นี่เราจะได้สมการบัญญัติอยู่ในรูปแบบ x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

คำตอบ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

หากจำเป็นต้องแก้ปัญหาด้วยสมการประเภทอื่น สำหรับการเริ่มต้น คุณสามารถไปที่สมการบัญญัติได้ เนื่องจากง่ายกว่าที่จะหาสมการอื่นจากสมการนั้น

ตัวอย่าง 2

เขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด M 1 (1, 1) และ M 2 (4, 2) ในระบบพิกัด O x y

วิธีการแก้

ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการบัญญัติของเส้นที่กำหนดซึ่งผ่านจุดสองจุดที่กำหนด เราได้สมการของรูปแบบ x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

เรานำสมการบัญญัติมาสู่รูปแบบที่ต้องการ จากนั้นเราจะได้:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

ตอบ: x - 3 y + 2 = 0 .

ตัวอย่างของงานดังกล่าวได้รับการพิจารณาในตำราเรียนของบทเรียนพีชคณิต งานของโรงเรียนต่างกันตรงที่ทราบสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชันโดยมีรูปแบบ y \u003d k x + b หากคุณต้องการหาค่าความชัน k และจำนวน b ซึ่งสมการ y \u003d k x + b กำหนดเส้นตรงในระบบ O x y ที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และ M 2 (x 2, y 2) โดยที่ x 1 ≠ x 2 . เมื่อ x 1 = x 2 จากนั้นความชันจะใช้ค่าอนันต์และเส้นตรง M 1 M 2 ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่สมบูรณ์ทั่วไปของรูปแบบ x - x 1 = 0 .

เพราะจุด M 1และ M2อยู่บนเส้นตรง จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการ y 1 = k x 1 + b และ y 2 = k x 2 + b จำเป็นต้องแก้ระบบสมการ y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b เทียบกับ k และ b

ในการทำเช่นนี้เราพบ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 หรือ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

ด้วยค่า k และ b ดังกล่าว สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดจะมีรูปแบบดังนี้ y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 หรือ y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2

การจดจำสูตรจำนวนมากในคราวเดียวจะไม่ทำงาน ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนการทำซ้ำในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่มีความชันผ่านจุดที่มีพิกัด M 2 (2, 1) และ y = k x + b

วิธีการแก้

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรที่มีความชันที่มีรูปแบบ y \u003d k x + b สัมประสิทธิ์ k และ ข ต้องใช้ค่าที่สมการนี้สอดคล้องกับเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดด้วยพิกัด M 1 (- 7 , - 5) และ M 2 (2 , 1) .

คะแนน M 1และ M2อยู่บนเส้นตรง จากนั้นพิกัดควรกลับสมการ y = k x + b เป็นค่าเท่ากัน จากตรงนี้เราจะได้ว่า - 5 = k · (- 7) + b และ 1 = k · 2 + b ให้รวมสมการเข้ากับระบบ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b แล้วแก้

เมื่อแทนที่เราจะได้สิ่งนั้น

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ตอนนี้ค่า k = 2 3 และ b = - 1 3 ถูกแทนที่ลงในสมการ y = k x + b . เราได้สมการที่ต้องการผ่านจุดที่กำหนดจะเป็นสมการที่มีรูปแบบ y = 2 3 x - 1 3 .

วิธีการแก้ปัญหานี้จะกำหนดค่าใช้จ่ายของเวลาเป็นจำนวนมากไว้ล่วงหน้า มีวิธีแก้ไขงานในสองขั้นตอนอย่างแท้จริง

เราเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่ลากผ่าน M 2 (2, 1) และ M 1 (- 7, - 5) โดยมีรูปแบบ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ทีนี้มาดูสมการความชันกัน เราได้รับว่า: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

คำตอบ: y = 2 3 x - 1 3 .

หากในพื้นที่สามมิติมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z โดยมีจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) เส้นตรง M ผ่านพวกมัน 1 M 2 จำเป็นต้องได้สมการของเส้นนี้

เรามีสมการบัญญัติรูปแบบ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z และสมการพาราเมตริกของรูปแบบ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ สามารถกำหนดเส้นในระบบพิกัด O x y z ที่ผ่านจุดที่มีพิกัด (x 1, y 1, z 1) ด้วยเวกเตอร์กำกับ a → = (a x, a y, a z)

ตรง M 1 M 2 มีเวกเตอร์ทิศทางของรูปแบบ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) โดยที่เส้นผ่านจุด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ดังนั้น สมการบัญญัติอาจอยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 หรือ x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 ในทางกลับกัน พารามิเตอร์ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ หรือ x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ

พิจารณารูปที่แสดงจุดที่กำหนด 2 จุดในอวกาศและสมการของเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 4

เขียนสมการของเส้นตรงที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ของพื้นที่สามมิติ ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 (2, - 3, 0) และ M 2 (1, - 3, - 5 ) .

วิธีการแก้

เราต้องหาสมการบัญญัติ เนื่องจากเรากำลังพูดถึงพื้นที่สามมิติ หมายความว่าเมื่อเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด สมการบัญญัติที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

โดยเงื่อนไข เรามีว่า x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 ตามมาด้วยสมการที่จำเป็นสามารถเขียนได้ดังนี้:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

คำตอบ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เส้นที่ผ่านจุด K(x 0; y 0) และขนานกับเส้น y = kx + a หาได้จากสูตร:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง

สูตรทางเลือก:
เส้นที่ผ่านจุด M 1 (x 1 ; y 1) และขนานกับเส้น Ax+By+C=0 แสดงโดยสมการ

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

ตัวอย่าง # 1 เขียนสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M 0 (-2.1) และในเวลาเดียวกัน:
ก) ขนานกับเส้นตรง 2x+3y -7 = 0;
b) ตั้งฉากกับเส้น 2x+3y -7 = 0
วิธีการแก้ . ลองแทนสมการความชันเป็น y = kx + a ในการทำเช่นนี้เราจะโอนค่าทั้งหมดยกเว้น y ไปทางด้านขวา: 3y = -2x + 7 . จากนั้นเราหารด้านขวาด้วยสัมประสิทธิ์ 3 . เราได้: y = -2/3x + 7/3
หาสมการ NK ผ่านจุด K(-2;1) ขนานกับเส้นตรง y = -2 / 3 x + 7 / 3
แทนที่ x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 เราได้รับ:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
หรือ
y = -2 / 3 x - 1 / 3 หรือ 3y + 2x +1 = 0

ตัวอย่าง # 2 เขียนสมการของเส้นตรงขนานกับเส้นตรง 2x + 5y = 0 แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับ 5 ร่วมกับแกนพิกัด
วิธีการแก้ . เนื่องจากเส้นขนานกัน สมการของเส้นที่ต้องการคือ 2x + 5y + C = 0 พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ a และ b คือขาของมัน ค้นหาจุดตัดของเส้นที่ต้องการด้วยแกนพิกัด:
;
.
ดังนั้น A(-C/2,0), B(0,-C/5) แทนที่ในสูตรสำหรับพื้นที่: . เราได้รับสองวิธีแก้ปัญหา: 2x + 5y + 10 = 0 และ 2x + 5y - 10 = 0 .

ตัวอย่าง #3 เขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุด (-2; 5) และเส้นขนาน 5x-7y-4=0 .
วิธีการแก้. เส้นตรงนี้สามารถแทนด้วยสมการ y = 5/7 x – 4/7 (ในที่นี้ a = 5/7) สมการของเส้นที่ต้องการคือ y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) เช่น 7(y-5)=5(x+2) หรือ 5x-7y+45=0 .

ตัวอย่าง #4 การแก้ตัวอย่างที่ 3 (A=5, B=-7) โดยใช้สูตร (2) เราพบ 5(x+2)-7(y-5)=0

ตัวอย่างที่ 5 เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (-2;5) และเส้นตรงขนาน 7x+10=0
วิธีการแก้. ที่นี่ A=7, B=0. สูตร (2) ให้ 7(x+2)=0, เช่น x+2=0. สูตร (1) ใช้ไม่ได้ เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้เทียบกับ y (เส้นตรงนี้ขนานกับแกน y)

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุด ในบทความ" " ฉันสัญญาว่าคุณจะวิเคราะห์วิธีที่สองในการแก้ปัญหาที่นำเสนอเพื่อค้นหาอนุพันธ์ด้วยกราฟฟังก์ชันที่กำหนดและแทนเจนต์ของกราฟนี้ เราจะสำรวจวิธีนี้ใน , ไม่ควรพลาด! ทำไมต่อไป?

ความจริงก็คือจะใช้สูตรสมการของเส้นตรงที่นั่น แน่นอน เราสามารถแสดงสูตรนี้และแนะนำให้คุณเรียนรู้มัน แต่เป็นการดีกว่าที่จะอธิบายว่ามันมาจากไหน (ที่มาอย่างไร) มันจำเป็น! ถ้าลืมก็รีบกู้คืนจะไม่ใช่เรื่องยาก รายละเอียดทุกอย่างด้านล่าง เรามีจุด A สองจุดบนระนาบพิกัด(x 1; y 1) และ B (x 2; y 2) เส้นตรงถูกลากผ่านจุดที่ระบุ:

นี่คือสูตรโดยตรง:

*นั่นคือ เมื่อแทนที่พิกัดเฉพาะของจุด เราจะได้สมการของรูปแบบ y=kx+b

** หากสูตรนี้เป็นเพียง "ท่องจำ" มีความเป็นไปได้สูงที่จะสับสนกับดัชนีเมื่อ X. นอกจากนี้ ดัชนียังสามารถแสดงในรูปแบบต่างๆ เช่น

ด้วยเหตุนี้จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจความหมาย

ทีนี้ที่มาของสูตรนี้ ทุกอย่างง่ายมาก!

สามเหลี่ยม ABE และ ACF มีความคล้ายคลึงกันในแง่ของมุมแหลม (สัญญาณแรกของความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมมุมฉาก) จากนี้ไปอัตราส่วนขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันคือ:

ตอนนี้เราเพียงแค่แสดงส่วนเหล่านี้ในแง่ของความแตกต่างในพิกัดของจุด:

แน่นอนว่าจะไม่มีข้อผิดพลาดหากคุณเขียนความสัมพันธ์ขององค์ประกอบในลำดับที่ต่างกัน (สิ่งสำคัญคือต้องเก็บการติดต่อไว้):

ผลที่ได้คือสมการเดียวกันกับเส้นตรง มันคือทั้งหมด!

นั่นคือไม่ว่าจะกำหนดจุดเอง (และพิกัด) อย่างไร เมื่อเข้าใจสูตรนี้ คุณจะพบสมการของเส้นตรงเสมอ

สูตรสามารถอนุมานได้โดยใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์ แต่หลักการของการได้มาจะเหมือนกัน เนื่องจากเราจะพูดถึงสัดส่วนของพิกัดของมัน ในกรณีนี้ ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉากก็ใช้ได้ ในความคิดของฉัน ข้อสรุปที่อธิบายข้างต้นนั้นเข้าใจได้ง่ายกว่า))

ดูเอาต์พุตผ่านพิกัดเวกเตอร์ >>>

ให้สร้างเส้นตรงบนระนาบพิกัดที่ผ่านจุดที่กำหนด A (x 1; y 1) และ B (x 2; y 2) สองจุด ให้เราทำเครื่องหมายจุด C โดยพลการบนเส้นด้วยพิกัด ( x; y). เรายังแสดงถึงเวกเตอร์สองตัว: