พารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้นคำนวณตาม สมการถดถอย

เรื่อง:องค์ประกอบของทฤษฎีสหสัมพันธ์

วัตถุแถว ประชากรทั่วไปมีลักษณะหลายประการ X, Y, ... ที่สามารถศึกษาได้ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นระบบปริมาณที่สัมพันธ์กัน ตัวอย่างได้แก่: น้ำหนักของสัตว์และปริมาณฮีโมโกลบินในเลือด ความสูงของผู้ชายและปริมาตรของหน้าอก การเพิ่มขึ้นของสถานที่ทำงานในห้องและอุบัติการณ์ของการติดเชื้อไวรัส ปริมาณของยาที่จ่ายและ ความเข้มข้นในเลือด ฯลฯ

เห็นได้ชัดว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างปริมาณเหล่านี้ แต่ไม่สามารถพึ่งพาการทำงานที่เข้มงวดได้ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงในปริมาณใดปริมาณหนึ่งไม่เพียงได้รับอิทธิพลจากการเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัจจัยอื่น ๆ ด้วย ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่าปริมาณทั้งสองมีความเกี่ยวข้องกัน สุ่ม(เช่นสุ่ม) การพึ่งพาอาศัยกัน เราจะเรียน กรณีพิเศษการพึ่งพาแบบสุ่ม – การพึ่งพาความสัมพันธ์.

คำนิยาม:สุ่มหากการเปลี่ยนแปลงในหนึ่งในนั้นไม่เพียงได้รับอิทธิพลจากการเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัจจัยอื่น ๆ ด้วย

คำนิยาม:การพึ่งพาตัวแปรสุ่มเรียกว่า ทางสถิติ,หากการเปลี่ยนแปลงในอันใดอันหนึ่งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในกฎหมายการกระจายของอีกอัน

คำนิยาม:หากการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรสุ่มตัวใดตัวหนึ่งทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มตัวอื่น การพึ่งพาทางสถิติจะถูกเรียกว่า ความสัมพันธ์

ตัวอย่าง การพึ่งพาความสัมพันธ์เป็นการเชื่อมต่อระหว่าง:

น้ำหนักและส่วนสูงของร่างกาย

ปริมาณ รังสีไอออไนซ์และจำนวนการกลายพันธุ์

เม็ดสีผมมนุษย์และสีตา

ตัวชี้วัดมาตรฐานการครองชีพของประชากรและอัตราการเสียชีวิต

จำนวนผู้บรรยายที่พลาดและเกรดสอบ ฯลฯ

เป็นการพึ่งพาสหสัมพันธ์ซึ่งมักพบในธรรมชาติเนื่องจากอิทธิพลซึ่งกันและกันและการผสมผสานอย่างใกล้ชิดของปัจจัยที่แตกต่างกันมากที่หลากหลายซึ่งกำหนดค่าของตัวบ่งชี้ที่กำลังศึกษา

ผลลัพธ์ของการสังเกตที่ดำเนินการกับวัตถุทางชีววิทยาเฉพาะตามคุณลักษณะที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ Y และ X สามารถแสดงเป็นจุดบนระนาบได้โดยการสร้างระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ผลลัพธ์ที่ได้คือแผนภาพกระจายที่ช่วยให้สามารถตัดสินรูปแบบและความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่แตกต่างกันได้

หากความสัมพันธ์นี้สามารถประมาณได้ด้วยเส้นโค้ง จะสามารถคาดการณ์การเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งด้วยการเปลี่ยนแปลงเป้าหมายในพารามิเตอร์อื่นได้

การพึ่งพาสหสัมพันธ์จาก
สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการของแบบฟอร์ม

(1)

ช
เดอ
ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขปริมาณ สอดคล้องกับค่า ปริมาณ
, ก
ฟังก์ชั่นบางอย่าง เรียกสมการ (1) บน
.

รูปที่ 1. การถดถอยเชิงเส้นสำคัญ. แบบอย่าง
.

การทำงาน
เรียกว่า การถดถอยตัวอย่าง บน
และกราฟของมันคือ เส้นการถดถอยตัวอย่าง บน
.

ค่อนข้างคล้ายกัน ตัวอย่างสมการถดถอย
บน คือสมการ
.

ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการการถดถอยและรูปร่างของเส้นการถดถอยที่สอดคล้องกัน รูปร่างของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่พิจารณาจะถูกกำหนด - เชิงเส้น กำลังสอง เลขชี้กำลัง เลขชี้กำลัง

คำถามที่สำคัญที่สุดคือการเลือกประเภทของฟังก์ชันการถดถอย
[หรือ
] เช่น เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น (เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ)

ในทางปฏิบัติ ประเภทของฟังก์ชันการถดถอยสามารถกำหนดได้โดยการสร้างชุดของจุดบนระนาบพิกัดที่สอดคล้องกับคู่การสังเกตที่มีอยู่ทั้งหมด (
).

ข้าว. 2. การถดถอยเชิงเส้นไม่มีนัยสำคัญ แบบอย่าง
.

ร
เป็น. 3. โมเดลไม่เชิงเส้น
.

ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 1 มีแนวโน้มเห็นคุณค่าที่เพิ่มขึ้นอย่างเห็นได้ชัด มีการเจริญเติบโต
ในขณะที่ค่าเฉลี่ย สายตาตั้งอยู่บนเส้นตรง มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะใช้โมเดลเชิงเส้น (ประเภทของการพึ่งพา จาก
มักเรียกว่าแบบจำลองการพึ่งพา จาก
.

ในรูปที่ 2 ค่าเฉลี่ย ไม่ต้องพึ่ง ดังนั้นการถดถอยเชิงเส้นจึงไม่มีนัยสำคัญ (ฟังก์ชันการถดถอยมีค่าคงที่และเท่ากับ ).

ในรูป 3. มีแนวโน้มที่แบบจำลองจะไม่เป็นเชิงเส้น

ตัวอย่างของการพึ่งพาเชิงเส้น:

เพิ่มปริมาณไอโอดีนที่บริโภคและลดอุบัติการณ์ของโรคคอพอก

เพิ่มระยะเวลาในการให้บริการของพนักงานและเพิ่มผลผลิต

ตัวอย่างของการพึ่งพาเส้นโค้ง:

เมื่อปริมาณฝนเพิ่มขึ้น ผลผลิตจะเพิ่มขึ้น แต่สิ่งนี้เกิดขึ้นจนถึงขีดจำกัดปริมาณฝนที่แน่นอน หลังจากจุดวิกฤติ ฝนตกมากเกินไป ดินล้นหลาม และผลผลิตลดลง

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณคลอรีนที่ใช้ฆ่าเชื้อในน้ำกับจำนวนแบคทีเรียใน 1 มิลลิลิตร น้ำ. เมื่อปริมาณคลอรีนเพิ่มขึ้น จำนวนแบคทีเรียในน้ำจะลดลง แต่เมื่อถึงจุดวิกฤติ จำนวนแบคทีเรียจะยังคงที่ (หรือหายไปเลย) ไม่ว่าเราจะเพิ่มปริมาณคลอรีนมากเพียงใดก็ตาม

การถดถอยเชิงเส้น

เมื่อเลือกประเภทของฟังก์ชันการถดถอยแล้ว เช่น ประเภทของรูปแบบการพึ่งพาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา จาก X (หรือ X จาก Y) เช่น โมเดลเชิงเส้น
จำเป็นต้องกำหนดค่าเฉพาะของสัมประสิทธิ์แบบจำลอง

สำหรับค่านิยมที่แตกต่างกัน กและ
คุณสามารถสร้างการขึ้นต่อกันของแบบฟอร์มได้ไม่จำกัดจำนวน
กล่าวคือเปิด ประสานงานเครื่องบินเส้นตรงมีจำนวนอนันต์ แต่เราต้องการการพึ่งพาที่สอดคล้องกับค่าที่สังเกตได้ดีที่สุด ดังนั้นงานจึงต้องเลือกค่าสัมประสิทธิ์ที่ดีที่สุด

วิธีกำลังสองน้อยที่สุด (LS)

ฟังก์ชันเชิงเส้น
เราค้นหาตามข้อสังเกตที่มีอยู่จำนวนหนึ่งเท่านั้น เราใช้เพื่อค้นหาฟังก์ชันที่เหมาะสมที่สุดกับค่าที่สังเกตได้ วิธี กำลังสองน้อยที่สุด.

รูปที่ 4. คำอธิบายสำหรับการประมาณค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

เรามาแสดงว่า: - ค่าที่คำนวณจากสมการ

- ค่าที่วัดได้

- ความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้และค่าที่คำนวณได้โดยใช้สมการ

ใน วิธีกำลังสองน้อยที่สุดมันเป็นสิ่งจำเป็นอย่างนั้น ความแตกต่างระหว่างการวัด และค่าที่คำนวณโดยใช้สมการ น้อยที่สุด ดังนั้นเราจึงสามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ได้ กและ เพื่อให้ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าที่สังเกตได้จากค่าบนเส้นถดถอยตรงมีค่าน้อยที่สุด:

เงื่อนไขนี้จะเกิดขึ้นได้หากพารามิเตอร์ กและ จะถูกคำนวณโดยใช้สูตร:

เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย; เรียกว่า สมาชิกฟรีสมการถดถอย

เส้นตรงที่ได้จะเป็นค่าประมาณของเส้นถดถอยตามทฤษฎี

เรามี
ดังนั้น, เป็น

สมการการถดถอยเชิงเส้น
การถดถอยสามารถทำได้โดยตรง
.

คำนิยาม: และย้อนกลับ การถดถอยแบบย้อนกลับ

หมายความว่าเมื่อพารามิเตอร์หนึ่งเพิ่มขึ้น ค่าของพารามิเตอร์อื่นจะลดลง

การถดถอยเชิงเส้นคู่

แบบฝึกหัด

การถดถอยเชิงเส้นคู่: การประชุมเชิงปฏิบัติการ -

การศึกษาวิชาเศรษฐมิติเกี่ยวข้องกับการที่นักเรียนได้รับประสบการณ์ในการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐมิติ การตัดสินใจเกี่ยวกับข้อกำหนดและการระบุแบบจำลอง การเลือกวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง การประเมินคุณภาพ การตีความผลลัพธ์ การขอรับค่าประมาณการคาดการณ์ ฯลฯ การประชุมเชิงปฏิบัติการจะช่วยให้นักเรียน ได้รับทักษะการปฏิบัติในประเด็นเหล่านี้

ได้รับการอนุมัติจากกองบรรณาธิการและสำนักพิมพ์

เรียบเรียงโดย: ม.บ. Perova เศรษฐศาสตร์ดุษฎีบัณฑิต ศาสตราจารย์

บทบัญญัติทั่วไป การวิจัยทางเศรษฐมิติเริ่มต้นด้วยทฤษฎีที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างปรากฏการณ์ จากปัจจัยทั้งหมดที่มีอิทธิพลต่อคุณลักษณะที่มีประสิทธิผล จะมีการเน้นปัจจัยที่สำคัญที่สุด หลังจากระบุความสัมพันธ์ระหว่างลักษณะที่กำลังศึกษาแล้ว ประเภทของความสัมพันธ์ที่แน่นอนจะถูกกำหนดโดยใช้.

การวิเคราะห์การถดถอยการวิเคราะห์การถดถอย ปริมาณอิสระ(เครื่องหมายแฟคทอเรียล) ความสัมพันธ์นี้สามารถหาปริมาณได้โดยการสร้างสมการถดถอยหรือฟังก์ชันการถดถอย

แบบจำลองการถดถอยพื้นฐานคือแบบจำลองการถดถอยแบบจับคู่ (ปัจจัยเดียว) การถดถอยคู่– สมการการเชื่อมต่อระหว่างตัวแปรสองตัว ที่และ เอ็กซ์:

ที่ไหน – ตัวแปรตาม (คุณลักษณะผลลัพธ์)

– ตัวแปรอิสระที่อธิบายได้ (ลักษณะแฟคทอเรียล)

ขึ้นอยู่กับลักษณะของการเปลี่ยนแปลง ที่ด้วยการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์แยกความแตกต่างระหว่างการถดถอยเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

การถดถอยเชิงเส้น

ฟังก์ชันการถดถอยนี้เรียกว่าพหุนามของดีกรี 1 และใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่มีการพัฒนาอย่างสม่ำเสมอเมื่อเวลาผ่านไป

การมีสมาชิกแบบสุ่ม (ข้อผิดพลาดการถดถอย) มีความเกี่ยวข้องกับผลกระทบต่อตัวแปรตามของปัจจัยอื่น ๆ ที่ไม่ได้นำมาพิจารณาในสมการ กับความไม่เชิงเส้นที่เป็นไปได้ของแบบจำลอง ข้อผิดพลาดในการวัด และดังนั้นลักษณะที่ปรากฏ สมการข้อผิดพลาดแบบสุ่มการถดถอยอาจเนื่องมาจากวัตถุประสงค์ดังต่อไปนี้ เหตุผล:

1) การไม่เป็นตัวแทนของกลุ่มตัวอย่าง แบบจำลองการถดถอยแบบคู่ประกอบด้วยปัจจัยที่ไม่สามารถอธิบายความแปรผันในลักษณะผลลัพธ์ได้ครบถ้วน ซึ่งอาจได้รับอิทธิพลจากปัจจัยอื่นๆ อีกมากมาย (ละเว้นตัวแปร) ในขอบเขตที่สูงกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ค่าจ้างอาจขึ้นอยู่กับระดับการศึกษา ประสบการณ์การทำงาน เพศ ฯลฯ นอกเหนือจากคุณสมบัติ

2) มีความเป็นไปได้ที่ตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองอาจถูกวัดโดยมีข้อผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ข้อมูลค่าใช้จ่ายด้านอาหารในครัวเรือนรวบรวมจากบันทึกของผู้เข้าร่วมการสำรวจ ซึ่งสันนิษฐานว่าบันทึกค่าใช้จ่ายรายวันอย่างระมัดระวัง แน่นอนว่าข้อผิดพลาดก็เกิดขึ้นได้

จากการสังเกตตัวอย่าง สมการการถดถอยตัวอย่างจะถูกประมาณ ( เส้นถดถอย):

ที่ไหน
– การประมาณค่าพารามิเตอร์ของสมการถดถอย (
).

รูปแบบการวิเคราะห์ของการพึ่งพาระหว่างคู่คุณลักษณะที่ศึกษา (ฟังก์ชันการถดถอย) จะถูกกำหนดโดยใช้สิ่งต่อไปนี้ วิธีการ:

ขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์ทางทฤษฎีและตรรกะธรรมชาติของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา สาระสำคัญทางเศรษฐกิจและสังคม

ตัวอย่างเช่น หากมีการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างรายได้ของครัวเรือนกับขนาดของเงินฝากในครัวเรือนในธนาคาร ก็จะเห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นไปโดยตรงวิธีการแบบกราฟิก

เมื่อประเมินลักษณะของการเชื่อมต่อด้วยสายตา เอ็กซ์การพึ่งพานี้สามารถเห็นได้ชัดเจนหากคุณสร้างกราฟโดยพล็อตค่าของแอตทริบิวต์บนแกน x ที่และในการกำหนด - ค่าของคุณลักษณะ เอ็กซ์และ ที่- โดยการวางแผนจุดที่สอดคล้องกับค่า เราได้รับ:

ก) หากคะแนนกระจายแบบสุ่มทั่วทั้งสนาม แสดงว่าไม่มีการพึ่งพาระหว่างคุณสมบัติเหล่านี้

b) หากจุดนั้นกระจุกตัวอยู่รอบแกนที่วิ่งจากมุมล่างซ้ายไปมุมขวาบนแสดงว่ามีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างคุณลักษณะนั้น

c) หากจุดนั้นกระจุกตัวอยู่รอบแกนที่เริ่มจากมุมซ้ายบนไปขวาล่าง - จากนั้น ความสัมพันธ์แบบผกผันระหว่างสัญญาณ

ถ้าเราเชื่อมโยงจุดต่างๆ บนสนามสหสัมพันธ์กับส่วนของเส้นตรง เราจะได้ เส้นขาดโดยมีแนวโน้มสูงขึ้นบ้าง นี่จะเป็นสายการสื่อสารเชิงประจักษ์หรือ เส้นการถดถอยเชิงประจักษ์- จากรูปลักษณ์ภายนอกเราสามารถตัดสินได้ไม่เพียง แต่การมีอยู่เท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปแบบของการพึ่งพาระหว่างลักษณะที่ศึกษาด้วย

การสร้างสมการถดถอยคู่

การสร้างสมการถดถอยมาจากการประมาณค่าพารามิเตอร์ การประมาณค่าพารามิเตอร์เหล่านี้สามารถพบได้หลายวิธี หนึ่งในนั้นคือวิธีกำลังสองน้อยที่สุด (LSM) สาระสำคัญของวิธีการมีดังนี้ แต่ละค่า สอดคล้องกับค่าเชิงประจักษ์ (สังเกตได้) - โดยการสร้างสมการถดถอย เช่น สมการเส้นตรง สำหรับแต่ละค่า จะสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎี (คำนวณ) - ค่าที่สังเกตได้ อย่าอยู่บนเส้นถดถอยอย่างแน่นอน เช่น ไม่ตรงกัน - เรียกว่าความแตกต่างระหว่างค่าจริงและค่าที่คำนวณได้ของตัวแปรตาม ส่วนที่เหลือ:

วิธีกำลังสองน้อยที่สุดทำให้สามารถรับค่าประมาณพารามิเตอร์ดังกล่าวได้ ซึ่งผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าจริงของลักษณะผลลัพธ์ ที่จากทางทฤษฎี , เช่น. ผลรวมของกำลังสองของเศษเหลือน้อยที่สุด:

สำหรับสมการเชิงเส้นและสมการไม่เชิงเส้นที่สามารถลดเป็นเชิงเส้นได้ ระบบต่อไปนี้จะได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพ กและ ข:

ที่ไหน n– ขนาดตัวอย่าง

เมื่อแก้ระบบสมการแล้ว เราก็จะได้ค่าต่างๆ กและ ขซึ่งทำให้เราสามารถเขียนได้ สมการถดถอย(สมการถดถอย):

ที่ไหน – ตัวแปรอธิบาย (อิสระ)

–ตัวแปรอธิบาย (ขึ้นอยู่กับ)

เส้นถดถอยผ่านจุด ( ,) และมีความเท่าเทียมกัน:

คุณสามารถใช้สูตรสำเร็จรูปที่ตามมาจากระบบสมการนี้:

ที่ไหน – ค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะ

– ค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะอิสระ

– ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลิตภัณฑ์ที่มีลักษณะเฉพาะและเป็นอิสระ

– ความแปรปรวนของคุณลักษณะอิสระ

– ความแปรปรวนร่วมระหว่างคุณลักษณะขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างสองตัวแปร เอ็กซ์, ที่เรียกว่า ค่าเฉลี่ยผลคูณของการเบี่ยงเบนของตัวแปรเหล่านี้จากค่าเฉลี่ย

พารามิเตอร์ ขที่ เอ็กซ์มีที่ดี ความสำคัญในทางปฏิบัติและเรียกว่าสัมประสิทธิ์การถดถอย สัมประสิทธิ์การถดถอยแสดงจำนวนหน่วยที่ค่าเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย ที่ เอ็กซ์ต่อ 1 หน่วยของการวัด

เครื่องหมายพารามิเตอร์ ขในสมการการถดถอยแบบคู่บ่งชี้ทิศทางของความสัมพันธ์:

ถ้า
จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดที่ศึกษาจะเป็นทางตรงเช่น โดยมีเครื่องหมายปัจจัยเพิ่มขึ้น เอ็กซ์สัญญาณที่มีประสิทธิภาพก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ที่และในทางกลับกัน;

ถ้า
จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างตัวบ่งชี้ที่ศึกษาจะกลับกันนั่นคือ โดยมีเครื่องหมายปัจจัยเพิ่มขึ้น เอ็กซ์เครื่องหมายผลลัพธ์ ที่ลดลง และในทางกลับกัน

ค่าพารามิเตอร์ กในสมการการถดถอยคู่ในบางกรณีสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าเริ่มต้นของคุณลักษณะผลลัพธ์ ที่- การตีความพารามิเตอร์นี้ กเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีค่า
สมเหตุสมผล

หลังจากสร้างสมการถดถอยแล้วจะได้ค่าที่สังเกตได้ ยสามารถแสดงเป็น:

ของเหลือ เหมือนความผิดพลาด , เป็น ตัวแปรสุ่มอย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนข้อผิดพลาด , สังเกตได้. ส่วนที่เหลือคือส่วนหนึ่งของตัวแปรตาม ยซึ่งไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการถดถอย

โดยอาศัยสมการถดถอยสามารถคำนวณได้ ค่าทางทฤษฎี เอ็กซ์สำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์.

ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ มักใช้แนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นความยืดหยุ่น
คำนวณเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ยการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ x- ความยืดหยุ่นจะแสดงตามเปอร์เซ็นต์ที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง
เมื่อตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลงไป 1%

เนื่องจากความยืดหยุ่นของฟังก์ชันเชิงเส้น
ไม่ใช่ ค่าคงที่แต่ขึ้นอยู่กับ เอ็กซ์จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นมักจะคำนวณเป็นความยืดหยุ่นโดยเฉลี่ย

ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นแสดงโดยเปอร์เซ็นต์โดยเฉลี่ยมูลค่าของลักษณะผลลัพธ์ที่จะเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย ที่เมื่อลักษณะปัจจัยเปลี่ยนแปลงไป เอ็กซ์ 1% ของมูลค่าเฉลี่ย:

ที่ไหน
– ค่าเฉลี่ยของตัวแปร เอ็กซ์และ ที่ในตัวอย่าง

การประเมินคุณภาพของแบบจำลองการถดถอยที่สร้างขึ้น

คุณภาพของโมเดลการถดถอย– ความเพียงพอของแบบจำลองที่สร้างขึ้นต่อข้อมูลต้นฉบับ (สังเกตได้)

เพื่อวัดความแน่นของการเชื่อมต่อ เช่น ในการวัดว่าค่าความใกล้เคียงกับฟังก์ชันนั้นอยู่ใกล้แค่ไหน คุณจะต้องพิจารณาความแปรปรวนซึ่งจะวัดค่าความเบี่ยงเบน ที่จาก ที่ เอ็กซ์และแสดงลักษณะความแปรผันของสารตกค้างเนื่องจากปัจจัยอื่นๆ เป็นพื้นฐานของตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะของแบบจำลองการถดถอย

คุณภาพของการถดถอยแบบคู่ถูกกำหนดโดยใช้การกำหนดลักษณะสัมประสิทธิ์

1) ความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อ - ดัชนีสหสัมพันธ์, ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นคู่;

2) ข้อผิดพลาดในการประมาณ;

3) คุณภาพของสมการการถดถอยและพารามิเตอร์แต่ละตัว - ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของสมการการถดถอยโดยรวมและพารามิเตอร์แต่ละตัว

สำหรับสมการการถดถอยประเภทใดก็ตาม จะมีการกำหนดไว้ ดัชนีความสัมพันธ์ซึ่งแสดงเฉพาะความรัดกุมของการพึ่งพาสหสัมพันธ์เท่านั้นเช่น ระดับของการประมาณการเชื่อมต่อการทำงาน:

ที่ไหน – การกระจายตัวแบบแฟคทอเรียล (เชิงทฤษฎี)

– ความแปรปรวนทั้งหมด

ดัชนีความสัมพันธ์ใช้ค่า
ในเวลาเดียวกัน

ถ้า

ถ้า
- การเชื่อมต่อระหว่างป้ายต่างๆ เอ็กซ์และ ที่ใช้งานได้ดียิ่งขึ้น ถึง 1 ยิ่งพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่ศึกษามากขึ้นเท่านั้น ถ้า
จากนั้นถือว่าการเชื่อมต่อปิด

ความแปรปรวนที่จำเป็นในการคำนวณตัวบ่งชี้ความหนาแน่นของข้อต่อถูกคำนวณ:

ผลต่างรวม, วัด รูปแบบทั่วไปเนื่องจากการกระทำของปัจจัยทั้งหมด:

ความแปรปรวนของปัจจัย (ทางทฤษฎี)การวัดความแปรผันของลักษณะผลลัพธ์ ที่เนื่องจากการกระทำของเครื่องหมายปัจจัย เอ็กซ์:

ผลต่างที่เหลือบ่งบอกถึงความแปรผันของลักษณะ ที่เนื่องจากปัจจัยทั้งหมดยกเว้น เอ็กซ์(เช่น ด้วยการยกเว้น เอ็กซ์):

จากนั้นตามกฎของการบวกผลต่าง:

คุณภาพของห้องอบไอน้ำ เชิงเส้นการถดถอยยังสามารถกำหนดได้โดยใช้ ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นคู่:

ที่ไหน
– ความแปรปรวนร่วมของตัวแปร เอ็กซ์และ ที่;

– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะอิสระ

– ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของลักษณะเฉพาะ

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นแสดงถึงความใกล้ชิดและทิศทางของความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่กำลังศึกษา มีการวัดภายใน [-1; +1]:

ถ้า
– จากนั้นความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะจะเป็นทางตรง

ถ้า
– จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณจะกลับกัน

ถ้า
– ดังนั้นจึงไม่มีความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะ

ถ้า
หรือ
– จากนั้นการเชื่อมต่อระหว่างคุณลักษณะต่างๆ จะทำงานได้ เช่น โดดเด่นด้วยการติดต่อสื่อสารที่สมบูรณ์ระหว่าง เอ็กซ์และ ที่- ยิ่งใกล้. ถึง 1 ยิ่งพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่ศึกษามากขึ้นเท่านั้น

หากดัชนีสหสัมพันธ์ (สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นคู่) ถูกยกกำลังสอง เราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ– แสดงถึงส่วนแบ่งของความแปรปรวนของปัจจัยในผลรวม และแสดงด้วยเปอร์เซ็นต์ของการแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์ ที่อธิบายโดยการแปรผันของคุณลักษณะของปัจจัย เอ็กซ์:

มันไม่ได้แสดงลักษณะเฉพาะของรูปแบบทั้งหมด ที่จากเครื่องหมายปัจจัย เอ็กซ์แต่เฉพาะส่วนที่สอดคล้องกับสมการการถดถอยเชิงเส้นเท่านั้น กล่าวคือ การแสดง ความถ่วงจำเพาะการแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์ สัมพันธ์เชิงเส้นตรงกับการแปรผันของคุณลักษณะปัจจัย

ขนาด
– สัดส่วนของการแปรผันในลักษณะผลลัพธ์ที่แบบจำลองการถดถอยไม่สามารถนำมาพิจารณาได้

การกระจายตัวของจุดในฟิลด์สหสัมพันธ์อาจมีขนาดใหญ่มากและสมการการถดถอยที่คำนวณได้อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมากในการประมาณค่าตัวบ่งชี้ที่วิเคราะห์

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ยแสดงความเบี่ยงเบนเฉลี่ยของค่าที่คำนวณได้จากค่าจริง:

ค่าสูงสุดที่อนุญาตคือ 12–15%

ข้อผิดพลาดมาตรฐานคือการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรตามรอบเส้นการถดถอย จะมีการคำนวณสำหรับชุดค่าที่สังเกตได้ทั้งหมด มาตรฐาน (rms) ข้อผิดพลาดสมการถดถอยซึ่งเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจริง ที่สัมพันธ์กับค่าทางทฤษฎีที่คำนวณโดยใช้สมการถดถอย ที่ เอ็กซ์ .

ที่ไหน
– จำนวนระดับความเป็นอิสระ

ม– จำนวนพารามิเตอร์ของสมการถดถอย (สำหรับสมการเส้นตรง ม=2).

ประมาณการค่าเฉลี่ย ข้อผิดพลาดกำลังสองคุณสามารถเปรียบเทียบมันได้

ก) ด้วยค่าเฉลี่ยของลักษณะผลลัพธ์ ที่;

b) มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะ ที่:

ถ้า
ดังนั้นการใช้สมการถดถอยนี้มีความเหมาะสม

ประเมินแยกกัน มาตรฐาน ข้อผิดพลาด (ค่าเฉลี่ยกำลังสอง) ของพารามิเตอร์สมการและดัชนีสหสัมพันธ์:

;
;
.

 เอ็กซ์– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เอ็กซ์.

การตรวจสอบความสำคัญของสมการถดถอยและตัวบ่งชี้ความแน่นของการเชื่อมต่อ

เพื่อให้แบบจำลองที่สร้างขึ้นนำไปใช้ในการคำนวณทางเศรษฐกิจต่อไป การตรวจสอบคุณภาพของแบบจำลองที่สร้างขึ้นนั้นยังไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องตรวจสอบนัยสำคัญ (นัยสำคัญ) ของการประมาณสมการการถดถอยที่ได้รับโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดและตัวบ่งชี้ความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ เช่น จำเป็นต้องตรวจสอบความสอดคล้องกับพารามิเตอร์ที่แท้จริงของความสัมพันธ์

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าตัวบ่งชี้ที่คำนวณจากประชากรที่จำกัดยังคงรักษาองค์ประกอบของการสุ่มที่มีอยู่ในค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ ดังนั้นจึงเป็นเพียงการประมาณการรูปแบบทางสถิติบางอย่างเท่านั้น จำเป็นต้องประเมินระดับความถูกต้องและความสำคัญ (ความน่าเชื่อถือ นัยสำคัญ) ของพารามิเตอร์การถดถอย ภายใต้ ความสำคัญเข้าใจความน่าจะเป็นที่ค่าของพารามิเตอร์ที่จะทดสอบไม่เป็นศูนย์และไม่รวมค่าของเครื่องหมายตรงกันข้าม

การตรวจสอบความสำคัญ– การตรวจสอบสมมติฐานว่าพารามิเตอร์แตกต่างจากศูนย์

การประเมินความสำคัญของสมการถดถอยคู่ลงมาเพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความสำคัญของสมการถดถอยโดยรวมและพารามิเตอร์แต่ละตัว ( ก, ข) สัมประสิทธิ์คู่ของการกำหนดหรือดัชนีสหสัมพันธ์

ในกรณีนี้สามารถหยิบยกสิ่งต่อไปนี้: สมมติฐานหลักชม 0 :

1)
– ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยไม่มีนัยสำคัญและสมการการถดถอยก็ไม่มีนัยสำคัญเช่นกัน

2)
– ค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ของการกำหนดไม่มีนัยสำคัญและสมการการถดถอยก็ไม่มีนัยสำคัญเช่นกัน

สมมติฐานต่อไปนี้เป็นทางเลือก (หรือย้อนกลับ):

1)
– ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากศูนย์ และสมการการถดถอยที่สร้างขึ้นมีนัยสำคัญ

2)
– ค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ของการกำหนดมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากศูนย์ และสมการการถดถอยที่สร้างขึ้นนั้นมีนัยสำคัญ

ทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความสำคัญของสมการถดถอยคู่

เพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญทางสถิติของสมการการถดถอยโดยรวมและสัมประสิทธิ์การกำหนด เราใช้ เอฟ-เกณฑ์(การทดสอบฟิชเชอร์):

หรือ

ที่ไหน เค 1 = ม–1 ; เค 2 = n– ม – จำนวนระดับความเป็นอิสระ

n– จำนวนหน่วยประชากร

ม– จำนวนพารามิเตอร์สมการถดถอย

– การกระจายตัวของปัจจัย

–ความแปรปรวนคงเหลือ

สมมติฐานได้รับการทดสอบดังนี้:

1) ถ้าเป็นค่าจริง (สังเกตได้) เอฟ-เกณฑ์มีค่ามากกว่าค่าวิกฤต (ตาราง) ของเกณฑ์นี้
แล้วด้วยความน่าจะเป็น
สมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของสมการการถดถอยหรือสัมประสิทธิ์การกำหนดคู่ถูกปฏิเสธ และถือว่าสมการการถดถอยมีนัยสำคัญ

2) ถ้าค่าจริง (สังเกตได้) ของเกณฑ์ F น้อยกว่าค่าวิกฤตของเกณฑ์นี้
แล้วมีความน่าจะเป็น (
) ยอมรับสมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของสมการการถดถอยหรือสัมประสิทธิ์การจับคู่ของการกำหนด และสมการการถดถอยที่สร้างขึ้นถือว่าไม่มีนัยสำคัญ

ค่าวิกฤต เอฟ-เกณฑ์จะพบได้ในตารางที่เกี่ยวข้องขึ้นอยู่กับระดับนัยสำคัญ และจำนวนระดับความเป็นอิสระ
.

จำนวนองศาความเป็นอิสระ– ตัวบ่งชี้ซึ่งหมายถึงความแตกต่างระหว่างขนาดตัวอย่าง ( n) และจำนวนพารามิเตอร์โดยประมาณสำหรับตัวอย่างที่กำหนด ( ม- สำหรับแบบจำลองการถดถอยแบบคู่ จำนวนองศาอิสระจะถูกคำนวณดังนี้
เนื่องจากพารามิเตอร์สองตัวถูกประมาณจากตัวอย่าง (
).

ระดับความสำคัญ – มูลค่าที่กำหนด
,

ที่ไหน – ความน่าจะเป็นความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์โดยประมาณที่ตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่น โดยปกติจะยอมรับ 0.95 ดังนั้น คือความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์โดยประมาณจะไม่ตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่น เท่ากับ 0.05 (5%)

จากนั้น ในกรณีประเมินนัยสำคัญของสมการการถดถอยคู่ ค่าวิกฤตของการทดสอบ F จะถูกคำนวณดังนี้
:

การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการถดถอยคู่และดัชนีสหสัมพันธ์

เมื่อตรวจสอบความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการ (สมมติฐานว่าพารามิเตอร์แตกต่างจากศูนย์) สมมติฐานหลักจะถูกหยิบยกขึ้นมาเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของการประมาณค่าที่ได้รับ (
- เนื่องจากมีการนำเสนอสมมติฐานทางเลือก (ผกผัน) เกี่ยวกับความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการ (
).

เพื่อทดสอบสมมติฐานที่หยิบยกมาใช้ ที -เกณฑ์ (ที-สถิติ) การทดสอบของนักเรียน- ค่าที่สังเกตได้ ที-เกณฑ์จะถูกเปรียบเทียบกับค่า ที-เกณฑ์ที่กำหนดจากตารางการแจกแจงนักเรียน (ค่าวิกฤต) ค่าวิกฤต ที-เกณฑ์
ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัว: ระดับนัยสำคัญ และจำนวนระดับความเป็นอิสระ
.

สมมติฐานที่นำเสนอได้รับการทดสอบดังนี้:

1) ถ้าเป็นค่าสัมบูรณ์ของค่าที่สังเกตได้ ที-เกณฑ์ที่มากกว่าค่าวิกฤต ที-เกณฑ์ เช่น
แล้วด้วยความน่าจะเป็น
สมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของพารามิเตอร์การถดถอยถูกปฏิเสธ เช่น พารามิเตอร์การถดถอยไม่เท่ากับ 0

2) ถ้าเป็นค่าสัมบูรณ์ของค่าที่สังเกตได้ ที-เกณฑ์มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าวิกฤต ที-เกณฑ์ เช่น
แล้วด้วยความน่าจะเป็น
ยอมรับสมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของพารามิเตอร์การถดถอยเช่น พารามิเตอร์การถดถอยแทบจะไม่แตกต่างจาก 0 หรือเท่ากับ 0

การประเมินความสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโดยใช้การทดสอบของนักเรียนนั้นดำเนินการโดยการเปรียบเทียบค่าประมาณกับค่าของข้อผิดพลาดมาตรฐาน:

;

เพื่อประเมินนัยสำคัญทางสถิติของดัชนีสหสัมพันธ์ (สัมประสิทธิ์เชิงเส้น) ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน ที-แบบทดสอบของนักเรียน

ในระหว่างการศึกษา นักเรียนมักจะพบกับสมการที่หลากหลาย หนึ่งในนั้นคือสมการการถดถอย ซึ่งมีการกล่าวถึงในบทความนี้ สมการประเภทนี้ใช้เพื่ออธิบายลักษณะของความสัมพันธ์ระหว่างกันโดยเฉพาะ พารามิเตอร์ทางคณิตศาสตร์. ประเภทนี้ความเท่าเทียมกันถูกใช้ในสถิติและเศรษฐมิติ

คำจำกัดความของการถดถอย

ในทางคณิตศาสตร์ การถดถอยหมายถึงปริมาณที่แน่นอนซึ่งอธิบายการพึ่งพาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลกับค่าของปริมาณอื่น สมการการถดถอยจะแสดงค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะอื่นเป็นฟังก์ชันของคุณลักษณะหนึ่งๆ ฟังก์ชันการถดถอยมีรูปแบบ สมการง่ายๆ y = x โดยที่ y ทำหน้าที่เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ (ฟีเจอร์-แฟคเตอร์) ในความเป็นจริง การถดถอยจะแสดงเป็น y = f (x)

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรมีกี่ประเภท?

โดยทั่วไป มีความสัมพันธ์สองประเภทที่ตรงข้ามกัน: สหสัมพันธ์และการถดถอย

ประการแรกมีลักษณะเฉพาะคือความเท่าเทียมกันของตัวแปรตามเงื่อนไข ใน ในกรณีนี้ไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าตัวแปรใดขึ้นอยู่กับตัวแปรอื่น

หากไม่มีความเท่าเทียมกันระหว่างตัวแปรและเงื่อนไขที่บอกว่าตัวแปรใดเป็นคำอธิบายและขึ้นอยู่กับตัวแปรใด เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการมีอยู่ของการเชื่อมต่อประเภทที่สองได้ ในการสร้างสมการการถดถอยเชิงเส้น จำเป็นต้องค้นหาว่าความสัมพันธ์ประเภทใดที่สังเกตได้

ประเภทของการถดถอย

ปัจจุบัน มีการถดถอยที่แตกต่างกัน 7 ประเภท: ไฮเพอร์โบลิก, เชิงเส้น, พหุคูณ, ไม่เชิงเส้น, เป็นคู่, ผกผัน, เชิงเส้นแบบลอการิทึม

ไฮเปอร์โบลิก เชิงเส้น และลอการิทึม

สมการการถดถอยเชิงเส้นใช้ในสถิติเพื่ออธิบายพารามิเตอร์ของสมการอย่างชัดเจน ดูเหมือนว่า y = c+t*x+E สมการไฮเพอร์โบลิกมีรูปแบบของไฮเปอร์โบลาปกติ y = c + m / x + E สมการเชิงเส้นแบบลอการิทึมเป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์โดยใช้ ฟังก์ชันลอการิทึม: ใน y = ใน c + t* ใน x + ใน E.

หลายรายการและไม่เชิงเส้น

อีกสอง ประเภทที่ซับซ้อนการถดถอยเป็นแบบทวีคูณและไม่เป็นเชิงเส้น สมการ การถดถอยหลายครั้งแสดงได้ด้วยฟังก์ชัน y = f(x 1, x 2 ...x c) + E ในสถานการณ์นี้ y ทำหน้าที่เป็นตัวแปรตาม และ x ทำหน้าที่เป็นตัวแปรอธิบาย ตัวแปร E เป็นแบบสุ่ม โดยรวมถึงอิทธิพลของปัจจัยอื่นๆ ในสมการด้วย สมการไม่เชิงเส้นการถดถอยค่อนข้างขัดแย้ง ในแง่หนึ่ง เมื่อเทียบกับตัวบ่งชี้ที่นำมาพิจารณา มันไม่เชิงเส้น แต่ในทางกลับกัน ในบทบาทของการประเมินตัวบ่งชี้ มันเป็นเชิงเส้น

การถดถอยประเภทผกผันและคู่

ค่าผกผันเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่ต้องแปลง มุมมองเชิงเส้น- ในแอปพลิเคชันแบบดั้งเดิมส่วนใหญ่ จะมีรูปแบบของฟังก์ชัน y = 1/c + m*x+E สมการการถดถอยแบบคู่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลเป็นฟังก์ชันของ y = f (x) + E เช่นเดียวกับสมการอื่นๆ y ขึ้นอยู่กับ x และ E เป็นพารามิเตอร์สุ่ม

แนวคิดเรื่องความสัมพันธ์

นี่เป็นตัวบ่งชี้ที่แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างปรากฏการณ์หรือกระบวนการสองอย่าง ความเข้มแข็งของความสัมพันธ์แสดงเป็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ค่าของมันผันผวนภายในช่วง [-1;+1] ตัวบ่งชี้เชิงลบบ่งบอกถึงความพร้อม ข้อเสนอแนะ, บวก - เกี่ยวกับเส้นตรง หากค่าสัมประสิทธิ์รับค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าไม่มีความสัมพันธ์ ยิ่งค่าเข้าใกล้ 1 มากเท่าใด ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

วิธีการ

วิธีพาราเมตริกสหสัมพันธ์สามารถประเมินความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ได้ ใช้บนพื้นฐานของการประมาณการกระจายเพื่อศึกษาพารามิเตอร์ที่เป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบปกติ

พารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้นจำเป็นต่อการระบุประเภทของการพึ่งพา ฟังก์ชันของสมการการถดถอย และประเมินตัวบ่งชี้ของสูตรความสัมพันธ์ที่เลือก ฟิลด์ความสัมพันธ์จะใช้เป็นวิธีระบุการเชื่อมต่อ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจะต้องแสดงเป็นภาพกราฟิก ข้อมูลที่ทราบทั้งหมดจะต้องถูกลงจุดในระบบพิกัดสองมิติรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นี่คือวิธีการสร้างฟิลด์สหสัมพันธ์ ค่าของปัจจัยที่อธิบายจะถูกทำเครื่องหมายตามแกน abscissa ในขณะที่ค่าของปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับจะถูกทำเครื่องหมายตามแกนกำหนด หากมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างพารามิเตอร์ พารามิเตอร์เหล่านั้นจะเรียงกันเป็นเส้น

หากค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของข้อมูลดังกล่าวน้อยกว่า 30% เราอาจพูดถึงการขาดการเชื่อมต่อที่เกือบจะสมบูรณ์ หากอยู่ระหว่าง 30% ถึง 70% แสดงว่ามีการเชื่อมต่อแบบปิดปานกลาง ตัวบ่งชี้ 100% เป็นหลักฐานของการเชื่อมต่อที่ใช้งานได้

สมการการถดถอยแบบไม่เชิงเส้น เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น จะต้องเสริมด้วยดัชนีสหสัมพันธ์ (R)

สหสัมพันธ์สำหรับการถดถอยพหุคูณ

ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดคือเลขชี้กำลังกำลังสอง ความสัมพันธ์หลายประการ- เขาพูดถึงความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดของชุดตัวบ่งชี้ที่นำเสนอกับคุณลักษณะที่กำลังศึกษาอยู่ นอกจากนี้ยังสามารถพูดคุยเกี่ยวกับลักษณะของอิทธิพลของพารามิเตอร์ที่มีต่อผลลัพธ์ได้ สมการการถดถอยพหุคูณประมาณโดยใช้ตัวบ่งชี้นี้

ในการคำนวณตัวบ่งชี้ความสัมพันธ์หลายรายการ จำเป็นต้องคำนวณดัชนี

วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

วิธีนี้เป็นวิธีการประมาณค่าปัจจัยการถดถอย สาระสำคัญของมันคือการลดผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการพึ่งพาปัจจัยในฟังก์ชัน

สมการการถดถอยเชิงเส้นแบบคู่สามารถประมาณได้โดยใช้วิธีการดังกล่าว สมการประเภทนี้ใช้เมื่อตรวจพบความสัมพันธ์เชิงเส้นคู่ระหว่างตัวบ่งชี้

พารามิเตอร์สมการ

พารามิเตอร์แต่ละตัวของฟังก์ชันการถดถอยเชิงเส้นมีความหมายเฉพาะ สมการการถดถอยเชิงเส้นคู่ประกอบด้วยพารามิเตอร์สองตัว: c และ m พารามิเตอร์ m แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในตัวบ่งชี้สุดท้ายของฟังก์ชัน y โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปร x ลดลง (เพิ่มขึ้น) หนึ่งหน่วยทั่วไป ถ้าตัวแปร x เป็นศูนย์ ฟังก์ชันจะเท่ากับพารามิเตอร์ c ถ้าตัวแปร x ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าปัจจัย c จะไม่มีการดำเนินการ ความรู้สึกทางเศรษฐกิจ- สิ่งเดียวที่มีอิทธิพลต่อฟังก์ชันคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าตัวประกอบ c หากมีลบก็บอกได้ว่าการเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์นั้นช้าเมื่อเทียบกับปัจจัย หากมีเครื่องหมายบวก แสดงว่าผลลัพธ์มีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว

พารามิเตอร์แต่ละตัวที่เปลี่ยนค่าของสมการการถดถอยสามารถแสดงผ่านสมการได้ ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบ c มีรูปแบบ c = y - mx

ข้อมูลที่จัดกลุ่ม

มีเงื่อนไขของงานที่ข้อมูลทั้งหมดถูกจัดกลุ่มตามแอตทริบิวต์ x แต่ในเวลาเดียวกัน กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันของตัวบ่งชี้ที่ขึ้นอยู่กับจะถูกระบุ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยจะกำหนดลักษณะของตัวบ่งชี้ที่ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลง x ดังนั้นข้อมูลที่จัดกลุ่มจะช่วยค้นหาสมการถดถอย มันถูกใช้เป็นการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มีข้อเสียอยู่ น่าเสียดายที่ตัวชี้วัดโดยเฉลี่ยมักขึ้นอยู่กับความผันผวนจากภายนอก ความผันผวนเหล่านี้ไม่ได้สะท้อนถึงรูปแบบของความสัมพันธ์ แต่เพียงแต่ปกปิด "เสียงรบกวน" เท่านั้น ค่าเฉลี่ยแสดงรูปแบบของความสัมพันธ์ที่แย่กว่าสมการถดถอยเชิงเส้นมาก อย่างไรก็ตามสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการค้นหาสมการได้ โดยการคูณจำนวนประชากรแต่ละรายด้วยค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกัน เราจะได้ผลรวม y ภายในกลุ่ม ถัดไป คุณต้องบวกจำนวนเงินทั้งหมดที่ได้รับและค้นหาตัวบ่งชี้สุดท้าย y การคำนวณด้วยตัวบ่งชี้ผลรวม xy จะยากขึ้นเล็กน้อย หากช่วงเวลาน้อย เราสามารถนำตัวบ่งชี้ x สำหรับทุกหน่วย (ภายในกลุ่ม) ให้เท่ากันตามเงื่อนไขได้ คุณควรคูณมันด้วยผลรวมของ y เพื่อหาผลรวมของผลคูณของ x และ y จากนั้นนำจำนวนเงินทั้งหมดมารวมกันแล้วปรากฎว่า จำนวนเงินทั้งหมดฮะ

สมการการถดถอยหลายคู่: การประเมินความสำคัญของความสัมพันธ์

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น การถดถอยพหุคูณมีฟังก์ชันในรูปแบบ y = f (x 1,x 2,…,x m)+E ส่วนใหญ่แล้วสมการดังกล่าวจะใช้ในการแก้ปัญหาอุปสงค์และอุปทานของผลิตภัณฑ์ ดอกเบี้ยรับจากหุ้นที่ซื้อคืน และเพื่อศึกษาสาเหตุและประเภทของฟังก์ชันต้นทุนการผลิต นอกจากนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาและการคำนวณเศรษฐศาสตร์มหภาคที่หลากหลาย แต่ในระดับเศรษฐศาสตร์จุลภาคสมการนี้มีการใช้น้อยกว่าเล็กน้อย

ภารกิจหลักของการถดถอยพหุคูณคือการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่มีข้อมูลจำนวนมากเพื่อกำหนดเพิ่มเติมว่าปัจจัยใดที่มีอิทธิพลต่อแต่ละปัจจัยแยกกันและในจำนวนรวมทั้งหมดที่มีต่อตัวบ่งชี้ที่จำเป็นต้องมีการสร้างแบบจำลองและค่าสัมประสิทธิ์ของมัน สมการการถดถอยสามารถรับค่าได้หลากหลาย ในกรณีนี้ เพื่อประเมินความสัมพันธ์ มักใช้ฟังก์ชันสองประเภท: เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นแสดงในรูปแบบของความสัมพันธ์ต่อไปนี้: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m ในกรณีนี้ a2, a m ถือเป็นสัมประสิทธิ์การถดถอย "บริสุทธิ์" จำเป็นต้องระบุลักษณะการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในพารามิเตอร์ y โดยมีการเปลี่ยนแปลง (ลดลงหรือเพิ่มขึ้น) ในแต่ละพารามิเตอร์ x ที่สอดคล้องกันทีละหนึ่งหน่วย ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ของตัวบ่งชี้อื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น สมการไม่เชิงเส้นมีรูปแบบ ฟังก์ชั่นพลังงาน y=ขวาน 1 b1 x 2 b2 ...x ม. bm . ในกรณีนี้ตัวบ่งชี้ b 1, b 2 ..... b m เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นซึ่งแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์จะเปลี่ยนแปลงอย่างไร (เท่าใด%) เมื่อเพิ่มขึ้น (ลดลง) ในตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้อง x 1% และ โดยมีดัชนีชี้วัดปัจจัยอื่นๆ คงที่

ปัจจัยใดที่ต้องนำมาพิจารณาเมื่อสร้างการถดถอยพหุคูณ

ในการสร้างการถดถอยพหุคูณอย่างถูกต้อง จำเป็นต้องค้นหาว่าปัจจัยใดที่ควรให้ความสำคัญเป็นพิเศษ

จำเป็นต้องมีความเข้าใจถึงธรรมชาติของความสัมพันธ์ระหว่างกัน ปัจจัยทางเศรษฐกิจและเป็นแบบอย่าง ปัจจัยที่จะต้องรวมจะต้องเป็นไปตามเกณฑ์ต่อไปนี้:

จะต้องอยู่ภายใต้การวัดเชิงปริมาณ ในการใช้ปัจจัยที่อธิบายคุณภาพของวัตถุ ไม่ว่าในกรณีใด ควรให้รูปแบบเชิงปริมาณ
ไม่ควรมีความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยหรือความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ การกระทำดังกล่าวส่วนใหญ่มักนำไปสู่ผลที่ตามมาอย่างถาวร - ระบบ สมการสามัญกลายเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข และสิ่งนี้นำมาซึ่งความไม่น่าเชื่อถือและการประเมินที่ไม่ชัดเจน
ในกรณีที่มีตัวบ่งชี้ความสัมพันธ์ขนาดใหญ่อยู่ ไม่มีวิธีใดที่จะระบุอิทธิพลของปัจจัยที่แยกได้ ผลลัพธ์สุดท้ายตัวบ่งชี้จึงไม่สามารถตีความค่าสัมประสิทธิ์ได้

วิธีการก่อสร้าง

มีอยู่ จำนวนมากวิธีการและเทคนิคที่อธิบายวิธีการเลือกตัวประกอบสำหรับสมการ อย่างไรก็ตาม วิธีการทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตัวบ่งชี้สหสัมพันธ์ ในหมู่พวกเขาคือ:

วิธีการกำจัด
วิธีการสลับ
การวิเคราะห์การถดถอยแบบขั้นตอน

วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการกรองค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดออกจากชุดทั้งหมด วิธีที่สองเกี่ยวข้องกับการแนะนำชุด ปัจจัยเพิ่มเติม- อย่างที่สามคือการกำจัดปัจจัยที่เคยใช้สำหรับสมการก่อนหน้านี้ แต่ละวิธีเหล่านี้มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่ พวกเขามีข้อดีและข้อเสีย แต่พวกเขาก็สามารถแก้ไขปัญหาการกำจัดตัวบ่งชี้ที่ไม่จำเป็นด้วยวิธีของตนเองได้ โดยปกติแล้วผลลัพธ์ที่ได้รับแต่ละครั้ง วิธีการแยกใกล้พอแล้ว

วิธีการวิเคราะห์หลายตัวแปร

วิธีการกำหนดปัจจัยดังกล่าวขึ้นอยู่กับการพิจารณาลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกัน ซึ่งรวมถึงการวิเคราะห์จำแนก การจดจำรูปร่าง การวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก และการวิเคราะห์คลัสเตอร์ นอกจากนี้ยังมีการวิเคราะห์ปัจจัยด้วย แต่ปรากฏเนื่องจากการพัฒนาวิธีการแบบองค์ประกอบ ทั้งหมดมีผลบังคับใช้ในบางสถานการณ์ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขและปัจจัยบางประการ

x เรียกว่าตัวทำนาย - ตัวแปรอิสระหรือตัวแปรอธิบาย

สำหรับปริมาณ x ที่กำหนด Y คือค่าของตัวแปร y (เรียกว่าตัวแปรตาม เอาต์พุต หรือการตอบสนอง) ที่อยู่บนบรรทัดการประเมิน นี่คือค่าที่เราคาดหวังสำหรับ y (โดยเฉลี่ย) ถ้าเรารู้ค่าของ x และเรียกว่า “ค่าทำนายของ y” (รูปที่ 5)

a คือระยะอิสระ (จุดตัด) ของเส้นประเมิน นี่คือค่าของ Y เมื่อ x = 0

ข- ความลาดชันหรือการไล่ระดับสีของเส้นประมาณ มันแสดงถึงจำนวนที่ Y เพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ยถ้าเราเพิ่ม x ขึ้นหนึ่งหน่วย (รูปที่ 5) ค่าสัมประสิทธิ์ b เรียกว่าสัมประสิทธิ์การถดถอย

ตัวอย่างเช่น เมื่ออุณหภูมิร่างกายเพิ่มขึ้น 1 o C อัตราชีพจรจะเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 10 ครั้งต่อนาที

รูปที่ 5 เส้นการถดถอยเชิงเส้นแสดงค่าสัมประสิทธิ์ กและความลาดชัน ข(ปริมาณที่เพิ่มขึ้น ยด้วยการเพิ่มขึ้น เอ็กซ์ต่อหน่วย)

ในทางคณิตศาสตร์ การแก้สมการการถดถอยเชิงเส้นจะลดลงเป็นการคำนวณพารามิเตอร์ a และ b ในลักษณะที่จุดของข้อมูลเริ่มต้นของฟิลด์สหสัมพันธ์ วางให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อกำหนดทิศทางการถดถอย .

การใช้คำว่าการถดถอยทางสถิติมาจากปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการถดถอยต่อค่าเฉลี่ย ซึ่งมาจาก Francis Galton (1889) เขาแสดงให้เห็นว่าถึงแม้พ่อตัวสูงมักจะมีลูกชายตัวสูง แต่ส่วนสูงโดยเฉลี่ยของลูกชายยังน้อยกว่าพ่อตัวสูงอีกด้วย ความสูงเฉลี่ยของบุตรชาย "ถดถอย" หรือ "ถอยหลัง" ต่อความสูงเฉลี่ยของบิดาทุกคนในประชากร ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว พ่อตัวสูงจะมีลูกชายที่ตัวเตี้ยกว่า (แต่ก็ยังค่อนข้างสูง) และพ่อตัวเตี้ยก็มีลูกชายที่สูงกว่า (แต่ก็ยังค่อนข้างเตี้ย)

เราเห็นการถดถอยของค่าเฉลี่ยในการตรวจคัดกรองและการทดลองทางคลินิก ซึ่งอาจเลือกกลุ่มย่อยของผู้ป่วยเพื่อรับการรักษาได้ เนื่องจากระดับของตัวแปรบางอย่าง เช่น คอเลสเตอรอล นั้นสูงมาก (หรือต่ำ) หากการวัดนี้ทำซ้ำเมื่อเวลาผ่านไป ค่าเฉลี่ยของการอ่านค่าครั้งที่สองสำหรับกลุ่มย่อยมักจะน้อยกว่าการอ่านครั้งแรก โดยมีแนวโน้ม (เช่น การถดถอย) ไปยังค่าเฉลี่ยประชากรที่จับคู่อายุและเพศ โดยไม่คำนึงถึงการรักษาที่พวกเขาอาจได้รับ ผู้ป่วยที่ได้รับการคัดเลือกเข้าสู่การทดลองทางคลินิกตาม ระดับสูงระดับคอเลสเตอรอลในการตรวจครั้งแรกจึงมีแนวโน้มที่จะแสดงระดับคอเลสเตอรอลลดลงโดยเฉลี่ยในการตรวจครั้งที่สอง แม้ว่าจะไม่ได้รับการรักษาในช่วงเวลานี้ก็ตาม

บ่อยครั้งที่วิธีการวิเคราะห์การถดถอยใช้เพื่อพัฒนามาตราส่วนเชิงบรรทัดฐานและมาตรฐานของการพัฒนาทางกายภาพ

เส้นการถดถอยที่พอดีกับข้อมูลสามารถตัดสินได้โดยการคำนวณสัมประสิทธิ์ R (โดยปกติจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์และเรียกว่าสัมประสิทธิ์การกำหนด) ซึ่งเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (r2) มันแสดงถึงสัดส่วนหรือเปอร์เซ็นต์ของความแปรปรวนใน y ที่สามารถอธิบายได้ด้วยความสัมพันธ์กับ x นั่นคือ ส่วนแบ่งของการแปรผันในคุณลักษณะผลลัพธ์ที่พัฒนาขึ้นภายใต้อิทธิพลของคุณลักษณะอิสระ สามารถรับค่าได้ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือตั้งแต่ 0 ถึง 100% ความแตกต่าง (100% - R) แสดงถึงเปอร์เซ็นต์ของความแปรปรวนในหน่วย y ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ด้วยปฏิสัมพันธ์นี้

ตัวอย่าง

ความสัมพันธ์ระหว่างความสูง (วัดเป็นซม.) และความดันโลหิตซิสโตลิก (SBP วัดเป็น mmHg) ในเด็ก เราทำการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นคู่ของความสัมพันธ์ระหว่าง SBP และความสูง (รูปที่ 6) มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงที่สำคัญระหว่างความสูงและ SBP

รูปที่ 6 กราฟสองมิติแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความดันโลหิตซิสโตลิกและส่วนสูง แสดงเส้นการถดถอยโดยประมาณซึ่งก็คือความดันโลหิตซิสโตลิก

สมการของเส้นการถดถอยโดยประมาณมีดังนี้:

SBP = 46.28 + 0.48 x สูง

ในตัวอย่างนี้ คำตัดขวางไม่เป็นที่สนใจ (การเติบโตของศูนย์จะเห็นได้ชัดว่าอยู่นอกช่วงของค่าที่สังเกตในการศึกษา) อย่างไรก็ตาม เราสามารถตีความความชันได้ คาดว่า SBP จะเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 0.48 มม. ปรอทในเด็กเหล่านี้ โดยมีส่วนสูงเพิ่มขึ้นหนึ่งเซนติเมตร

เราสามารถใช้สมการการถดถอยเพื่อทำนายค่า SBP ที่เราคาดหวังได้ว่าเด็กจะมีความสูงตามที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เด็กที่สูง 115 ซม. จะมีค่า SBP ที่คาดการณ์ไว้ที่ 46.28 + (0.48 x 115) = 101.48 mmHg ศิลปะ เด็กที่มีส่วนสูง 130 มี SBP ที่คาดการณ์ไว้ที่ 46.28 + (0.48 x 130) = 108.68 มม. ปรอท ศิลปะ.

เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พบว่ามีค่าเท่ากับ 0.55 ซึ่งบ่งบอกถึงความสัมพันธ์โดยตรง ความแข็งแรงปานกลาง- ในกรณีนี้คือค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ ร 2 = 0.55 2 = 0.3- ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าส่วนแบ่งของอิทธิพลของความสูงต่อระดับความดันโลหิตในเด็กนั้นไม่เกิน 30% ดังนั้นปัจจัยอื่น ๆ จึงคิดเป็น 70% ของอิทธิพล

การถดถอยเชิงเส้น (อย่างง่าย) จำกัดอยู่ที่การดูความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามและตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวเท่านั้น หากมีตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวในความสัมพันธ์ เราต้องหันไปใช้การถดถอยพหุคูณ สมการสำหรับการถดถอยดังกล่าวมีลักษณะดังนี้:

y = a + bx 1 +b 2 x 2 +.... + b n x n

เราอาจสนใจผลกระทบของตัวแปรอิสระหลายตัว x 1, x 2, .., xn ต่อตัวแปรตอบสนอง y หากเราเชื่อว่าค่า x เหล่านี้อาจพึ่งพาอาศัยกัน เราไม่ควรแยกดูผลของการเปลี่ยนค่า x หนึ่งต่อ y แต่ควรคำนึงถึงขนาดของ x ตัวอื่นๆ ทั้งหมดไปพร้อมๆ กัน

ตัวอย่าง

เนื่องจากมีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างส่วนสูงและน้ำหนักของเด็ก เราอาจสงสัยว่าความสัมพันธ์ระหว่างส่วนสูงและความดันโลหิตซิสโตลิกจะเปลี่ยนแปลงไปหรือไม่เมื่อคำนึงถึงน้ำหนักและเพศของเด็กด้วย การถดถอยเชิงเส้นพหุคูณจะตรวจสอบผลร่วมของตัวแปรอิสระหลายตัวที่มีต่อ y

สมการการถดถอยพหุคูณในกรณีนี้สามารถมีลักษณะดังนี้:

SBP = 79.44 - (0.03 x สูง) + (1.18 x น้ำหนัก) + (4.23 x เพศ)*

* - (สำหรับแอตทริบิวต์เพศ ค่าคือ 0 - เด็กผู้ชาย 1 - เด็กหญิง)

จากสมการนี้ เด็กผู้หญิงที่มีส่วนสูง 115 ซม. และมีน้ำหนักตัว 37 กก. จะมีค่า SBP ที่ทำนายไว้:

SBP = 79.44 - (0.03 x 115) + (1.18 x 37) + (4.23 x 1) = 123.88 มิลลิเมตรปรอท

การถดถอยโลจิสติกคล้ายกับการถดถอยเชิงเส้นมาก ใช้เมื่อมีผลไบนารี่ที่น่าสนใจ (เช่น การมีอยู่/ไม่มีอาการ หรือบุคคลที่มี/ไม่มีโรค) และตัวทำนายจำนวนหนึ่ง จากสมการการถดถอยโลจิสติก เราสามารถระบุได้ว่าตัวทำนายตัวใดมีอิทธิพลต่อผลลัพธ์ และใช้ค่าตัวทำนายของผู้ป่วยในการประมาณความน่าจะเป็นที่เขา/เธอจะได้ผลลัพธ์เฉพาะ เช่น ภาวะแทรกซ้อนจะเกิดขึ้นหรือไม่ การรักษาจะได้ผลหรือไม่ก็ตาม

เริ่มต้นสร้างตัวแปรไบนารี่เพื่อแสดงถึงผลลัพธ์ทั้งสอง (เช่น “มีโรค” = 1 “ไม่มีโรค” = 0) อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถใช้ค่าทั้งสองนี้เป็นตัวแปรตามในการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นได้ เนื่องจากสมมติฐานภาวะปกติถูกละเมิด และเราไม่สามารถตีความค่าที่ทำนายไว้ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์หรือหนึ่งค่าได้

ที่จริงแล้ว เราใช้ความน่าจะเป็นที่วัตถุถูกจัดอยู่ในหมวดหมู่ที่ใกล้เคียงที่สุด (เช่น "เป็นโรค") ของตัวแปรตาม และเพื่อเอาชนะความยากลำบากทางคณิตศาสตร์ ให้ใช้การแปลงลอจิสติกกับสมการการถดถอย - ลอการิทึมธรรมชาติอัตราส่วนของความน่าจะเป็นของ “โรค” (p) ต่อความน่าจะเป็นของ “ไม่มีโรค” (1-p)

กระบวนการเชิงบูรณาการที่เรียกว่าความน่าจะเป็นสูงสุด แทนที่จะเป็นการถดถอยแบบธรรมดา (เนื่องจากเราไม่สามารถใช้ขั้นตอนการถดถอยเชิงเส้นได้) จะสร้างการประมาณสมการการถดถอยโลจิสติกจากข้อมูลตัวอย่าง

logit (p) = a + bx 1 +b 2 x 2 +.... + bnxn

logit (p) - การประมาณความน่าจะเป็นที่แท้จริงที่ผู้ป่วยที่มีชุดค่าเฉพาะสำหรับ x 1 ... xn มีโรค

a คือค่าประมาณของค่าคงที่ (ระยะอิสระ, ทางแยก)

b 1, b 2,..., bn - การประมาณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติก

1. คำถามในหัวข้อบทเรียน:

1. กำหนดการเชื่อมต่อการทำงานและความสัมพันธ์

2. ยกตัวอย่างความสัมพันธ์โดยตรงและผกผัน

3. ระบุขนาดของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สำหรับค่าอ่อน ปานกลาง และ การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งระหว่างสัญญาณ

4. ใช้ในกรณีใดบ้าง? วิธีการจัดอันดับกำลังคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์?

5. การคำนวณสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สันใช้ในกรณีใด

6. ขั้นตอนหลักในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์โดยใช้วิธีอันดับคืออะไร?

7. กำหนด “การถดถอย” สาระสำคัญของวิธีการถดถอยคืออะไร?

8. อธิบายสูตรสมการการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย

9. กำหนดค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย

10. ถ้าค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยของน้ำหนักต่อส่วนสูงเท่ากับ 0.26 กก./ซม. จะได้ข้อสรุปอย่างไร

11. สูตรสมการถดถอยใช้ทำอะไร?

12. ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจคืออะไร?

13. สมการถดถอยพหุคูณใช้ในกรณีใดบ้าง?

14. วิธี Logistic Regression ใช้ทำอะไร?

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา

สถานะ สถาบันการศึกษาการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

สถาบันการเงินและเศรษฐกิจทางจดหมายทั้งหมดของรัสเซีย

สาขาในตูลา

ทดสอบ

ในสาขาวิชา "เศรษฐมิติ"

ตูลา - 2010

ปัญหาที่ 2 (ก, ข)

สำหรับองค์กรอุตสาหกรรมเบาได้รับข้อมูลที่แสดงถึงการพึ่งพาปริมาณผลผลิต (Y, ล้านรูเบิล) กับปริมาณการลงทุน (X, ล้านรูเบิล) ตาราง 1.

เอ็กซ์	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
ย	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

ที่จำเป็น:

1. ค้นหาพารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้น ให้การตีความทางเศรษฐศาสตร์ของสัมประสิทธิ์การถดถอย

2. คำนวณส่วนที่เหลือ หา จำนวนคงเหลือสี่เหลี่ยม; ประมาณการความแปรปรวนของส่วนที่เหลือ

- วางแผนส่วนที่เหลือ

3. ตรวจสอบการปฏิบัติตามข้อกำหนดเบื้องต้นของ MNC

4. ตรวจสอบความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการถดถอยโดยใช้การทดสอบของนักเรียน (α=0.05)

5. คำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด ตรวจสอบความสำคัญของสมการถดถอยโดยใช้การทดสอบ F ของฟิชเชอร์ (α=0.05) ค้นหาค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์โดยเฉลี่ยของการประมาณ สรุปเกี่ยวกับคุณภาพของแบบจำลอง

6. ทำนายค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้ Y ที่ระดับนัยสำคัญที่ α=0.1 หากค่าที่ทำนายของปัจจัย X คือ 80% ของค่าสูงสุด

7. นำเสนอแบบกราฟิก: ค่าจริงและแบบจำลอง Y, จุดพยากรณ์

8. สร้างสมการถดถอยไม่เชิงเส้น:

ซึ่งเกินความจริง;

สงบ;

บ่งชี้

แสดงกราฟของสมการถดถอยที่สร้างขึ้น

9. สำหรับรุ่นที่ระบุ ให้ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดและค่าเฉลี่ย ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องการประมาณ เปรียบเทียบแบบจำลองตามคุณลักษณะเหล่านี้และสรุปผล

1. โมเดลเชิงเส้นมีรูปแบบ:

เราค้นหาพารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้นโดยใช้สูตร

การคำนวณค่าพารามิเตอร์แสดงไว้ในตาราง 2.

ที	ย	x	ใช่
1	43	33	1419	1089	42,236	0,764	0,584	90,25	88,36	0,018
2	27	17	459	289	27,692	-0,692	0,479	42,25	43,56	0,026
3	32	23	736	529	33,146	-1,146	1,313	0,25	2,56	0,036
4	29	17	493	289	27,692	1,308	1,711	42,25	21,16	0,045
5	45	36	1620	1296	44,963	0,037	0,001	156,25	129,96	0,001
6	35	25	875	625	34,964	0,036	0,001	2,25	1,96	0,001
7	47	39	1833	1521	47,69	-0,69	0,476	240,25	179,56	0,015
8	32	20	640	400	30,419	1,581	2,500	12,25	2,56	0,049
9	22	13	286	169	24,056	-2,056	4,227	110,25	134,56	0,093
10	24	12	288	144	23,147	0,853	0,728	132,25	92,16	0,036
∑	336	235	8649	6351	12,020	828,5	696,4	0,32
เฉลี่ย	33,6	23,5	864,9	635,1