ทางแยกของมุมที่อยู่ติดกัน มุม

เรขาคณิตเป็นศาสตร์ที่มีหลายแง่มุม พัฒนาตรรกะ จินตนาการ และความเฉลียวฉลาด แน่นอนเนื่องจากความซับซ้อนและ จำนวนมหาศาลทฤษฎีบทและสัจพจน์ เด็กนักเรียนไม่ชอบมันเสมอไป นอกจากนี้ มีความจำเป็นที่จะต้องพิสูจน์ข้อสรุปอย่างต่อเนื่องโดยใช้มาตรฐานและกฎเกณฑ์ที่ยอมรับโดยทั่วไป

มุมประชิดและมุมตั้งเป็นส่วนสำคัญของรูปทรงเรขาคณิต เด็กนักเรียนหลายคนชื่นชอบพวกเขาอย่างแน่นอนเพราะคุณสมบัติของพวกเขาชัดเจนและพิสูจน์ได้ง่าย

การก่อตัวของมุม

มุมใดๆ เกิดขึ้นได้จากจุดตัดของเส้นสองเส้นหรือวาดรังสีสองเส้นจากจุดหนึ่ง สามารถเรียกได้ทั้งหนึ่งตัวอักษรหรือสามตัวซึ่งกำหนดจุดก่อสร้างมุมอย่างต่อเนื่อง

มุมมีหน่วยวัดเป็นองศาและสามารถเรียกต่างกัน (ขึ้นอยู่กับค่าของมัน) ดังนั้นจึงมีมุมฉาก แหลม ป้าน และปรับใช้ แต่ละชื่อสอดคล้องกับการวัดระดับหรือช่วงเวลา

มุมแหลมคือมุมที่วัดได้ไม่เกิน 90 องศา

มุมป้านคือมุมที่มากกว่า 90 องศา

เรียกว่ามุมขวาเมื่อวัดได้ 90

ในกรณีที่เกิดจากเส้นตรงที่ต่อเนื่องกันหนึ่งเส้น และการวัดระดับของมันคือ 180 จะเรียกว่าปรับใช้

มีมุม ด้านทั่วไปด้านที่สองซึ่งต่อเนื่องกันเรียกว่าประชิด พวกเขาสามารถคมหรือทื่อ จุดตัดของเส้นสร้างมุมประชิด คุณสมบัติของพวกเขามีดังนี้:

1. ผลรวมของมุมดังกล่าวจะเท่ากับ 180 องศา (มีทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้) ดังนั้นหนึ่งในนั้นสามารถคำนวณได้ง่ายหากรู้จักอีกอันหนึ่ง
2. จากข้อแรก มุมประชิดไม่สามารถเกิดจากมุมป้านสองมุมหรือมุมแหลมสองมุมได้

ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถคำนวณการวัดระดับของมุมหนึ่งๆ ได้เสมอโดยให้ค่าของมุมอื่น หรืออย่างน้อยก็เป็นอัตราส่วนระหว่างมุมนั้น

มุมแนวตั้ง

มุมที่ด้านต่อเนื่องกันเรียกว่าแนวตั้ง พันธุ์ใดก็ได้ที่สามารถทำหน้าที่เป็นคู่ได้ มุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ

พวกมันเกิดขึ้นเมื่อเส้นตัดกัน มีมุมที่อยู่ติดกันอยู่เสมอ มุมสามารถอยู่ติดกันสำหรับมุมหนึ่งและแนวตั้งสำหรับอีกมุมหนึ่ง

เมื่อข้ามเส้นโดยพลการ จะมีการพิจารณามุมอีกหลายประเภทด้วย เส้นดังกล่าวเรียกว่าเซแคนต์ และก่อตัวเป็นมุมด้านเดียวและมุมขวางที่สอดคล้องกัน พวกเขาเท่าเทียมกัน สามารถดูได้ในแง่ของคุณสมบัติที่มีมุมแนวตั้งและมุมประชิด

ดังนั้นหัวข้อของมุมจึงค่อนข้างง่ายและเข้าใจได้ คุณสมบัติทั้งหมดนั้นง่ายต่อการจดจำและพิสูจน์ การแก้ปัญหาไม่ใช่เรื่องยากตราบใดที่มุมตรงกัน ค่าตัวเลข. ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อการศึกษาเรื่องบาปและ cos เริ่มขึ้น คุณจะต้องท่องจำให้มาก สูตรที่ซับซ้อนข้อสรุปและผลที่ตามมา ก่อนหน้านั้น คุณก็สามารถสนุกไปกับปริศนาง่าย ๆ ที่คุณต้องหามุมที่อยู่ติดกันให้ได้

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราต่อด้านของมุมบางมุมเลยจุดยอดไป เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABC และ ∠CBD ซึ่งด้านหนึ่งของ BC เป็นมุมร่วม และอีกสองมุมคือ AB และ BD ประกอบเป็นเส้นตรง .

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเท่ากันและอีกสองมุมเป็นเส้นตรงเรียกว่ามุมประชิด

นอกจากนี้ยังสามารถรับมุมที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นตรงที่กำหนด) เราก็จะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น ∠ADF และ ∠FDВ เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมประชิดรวมกันเป็นมุมตรง เป็นต้น ผลรวมของสอง มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180°

ดังนั้น มุมฉากสามารถกำหนดให้เป็นมุมที่เท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบค่าของมุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่ง เราสามารถหาค่าของมุมที่อยู่ติดกันอีกมุมหนึ่งได้

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งเป็น 54° มุมที่สองจะเป็น:

180° - 54° = l26°.

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านของมุมออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC อยู่ในแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

ให้ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 76) ∠2 ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° เช่น 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณว่า ∠3 และ ∠4 คืออะไร

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠4

คุณสามารถแก้ปัญหาเดียวกันนี้ได้อีกหลายครั้ง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม นั่นคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งเท่ากันเสมอ การพิจารณาแต่ละมุมนั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างตัวเลขเนื่องจากการสรุปบนพื้นฐานของตัวอย่างเฉพาะบางครั้งอาจผิดพลาดได้

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสมบัติถูกต้อง มุมแนวตั้งจำเป็นโดยหลักฐาน

สามารถดำเนินการพิสูจน์ได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠+∠ค= 180°;

∠ข +∠ค= 180°;

(เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°)

∠+∠ค = ∠ข +∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้คือ 180° และด้านขวาของมันคือ 180° ด้วย)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมที่เหมือนกัน กับ.

ถ้าเรามาจาก ค่าเท่ากันลบเท่าๆ กัน ก็จะเหลือเท่าๆ กัน ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขนั่นคือมุมแนวตั้งเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วมกัน

ในรูปวาด 79 ∠1 ∠2 ∠3 และ ∠4 อยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรงและมีจุดยอดร่วมกันบนเส้นนี้ สรุปแล้ว มุมเหล่านี้ประกอบกันเป็นมุมตรง นั่นคือ

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

ในการวาด 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 และ ∠5 มีจุดยอดร่วมกัน ผลรวมของมุมเหล่านี้คือ เต็มมุมเช่น ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°

วัสดุอื่นๆ

บทที่ 1

แนวคิดพื้นฐาน.

§สิบเอ็ด มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราทำต่อด้านหนึ่งของมุมเลยจุดยอด เราจะได้สองมุม (รูปที่ 72): / ดวงอาทิตย์และ / SVD ซึ่งด้านหนึ่งเป็น BC เหมือนกัน และอีกสองด้านเป็น AB และ BD เป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเท่ากันและอีกสองมุมเป็นเส้นตรงเรียกว่ามุมประชิด

นอกจากนี้ยังสามารถรับมุมที่อยู่ติดกันได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นตรงที่กำหนด) เราก็จะได้มุมที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่างเช่น, / ADF และ / FDВ - มุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมประชิดรวมกันเป็นมุมตรง เป็นต้น umma ของสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 2ง.

ดังนั้น มุมฉากสามารถกำหนดให้เป็นมุมที่เท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบค่าของมุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่ง เราสามารถหาค่าของมุมที่อยู่ติดกันอีกมุมหนึ่งได้

ตัวอย่างเช่น ถ้าหนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 3/5 งแล้วมุมที่สองจะเท่ากับ:

2ง- 3 / 5 ง= ล. 2 / 5 ง.

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านของมุมออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในภาพวาด 75 มุม EOF และ AOC อยู่ในแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นส่วนต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

อนุญาต / 1 = 7 / 8 ง(รูปที่ 76) อยู่ติดกันเลย / 2 จะเท่ากับ 2 ง- 7 / 8 งเช่น 1 1/8 ง.

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณสิ่งที่เท่ากับ / 3 และ / 4.
/ 3 = 2ง - 1 1 / 8 ง = 7 / 8 ง; / 4 = 2ง - 7 / 8 ง = 1 1 / 8 ง(รูปที่ 77)

เราเห็นอย่างนั้น / 1 = / 3 และ / 2 = / 4.

คุณสามารถแก้ปัญหาเดียวกันนี้ได้อีกหลายครั้ง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม นั่นคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละตัวนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากข้อสรุปที่ได้จากตัวอย่างเฉพาะอาจผิดพลาดได้ในบางครั้ง

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งโดยใช้เหตุผลโดยการพิสูจน์

สามารถดำเนินการพิสูจน์ได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

/ +/ ค = 2ง;
/ ข +/ ค = 2ง;

(เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 2 ง).

/ +/ ค = / ข +/ ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับ 2 งและด้านขวาก็เท่ากับ 2 ด้วย ง).

ความเท่าเทียมกันนี้รวมถึงมุมที่เหมือนกัน กับ.

ถ้าเราลบเท่าๆ กันจากค่าที่เท่ากัน มันจะเหลือเท่าๆ กัน ผลลัพธ์จะเป็น: / ก = / ขนั่นคือมุมแนวตั้งเท่ากัน

เมื่อพิจารณาคำถามเกี่ยวกับมุมแนวตั้ง ก่อนอื่นเราจะอธิบายว่ามุมใดเรียกว่าแนวตั้ง นั่นคือเราให้ คำนิยามมุมแนวตั้ง

จากนั้นเราทำการตัดสิน (คำแถลง) เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของมุมแนวตั้ง และเราเชื่อมั่นในความถูกต้องของการตัดสินนี้โดยการพิสูจน์ การตัดสินดังกล่าวซึ่งความถูกต้องจะต้องได้รับการพิสูจน์เรียกว่า ทฤษฎีบท. ดังนั้น ในส่วนนี้เราได้ให้คำจำกัดความของมุมแนวตั้ง และยังระบุและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมนั้นด้วย

ในอนาคตเมื่อเรียนเรขาคณิตเราจะต้องพบกับคำจำกัดความและการพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างต่อเนื่อง

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วมกัน

บนภาพวาด 79 / 1, / 2, / 3 และ / 4 อยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรงและมีจุดยอดร่วมกันบนเส้นตรงนี้ สรุปแล้ว มุมเหล่านี้ประกอบกันเป็นมุมตรง นั่นคือ
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ง.

บนภาพวาด 80 / 1, / 2, / 3, / 4 และ / 5 มีด้านบนทั่วไป สรุปแล้ว มุมเหล่านี้ประกอบกันเป็นมุมเต็ม นั่นคือ / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ง.

การออกกำลังกาย.

1. หนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 0.72 ง.คำนวณมุมที่เกิดจากเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันเหล่านี้

2. พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

3. พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมประชิดของมุมทั้งสองก็จะเท่ากันด้วย

4. รูปวาด 81 มีมุมติดกันกี่คู่

5. มุมที่อยู่ติดกัน 1 คู่ประกอบด้วยมุมแหลม 2 มุมได้หรือไม่ จากสองมุมป้าน? จากมุมขวาและมุมป้าน? จากโดยตรงและ มุมแหลม?

6. ถ้ามุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง ค่าของมุมที่อยู่ติดกันนั้นบอกอะไรได้บ้าง

7. ถ้าที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นมีมุมฉากหนึ่งมุม ขนาดของมุมที่เหลืออีกสามมุมจะบอกอะไรได้บ้าง

เท่ากับสองมุมฉาก .

กำหนดสองมุมที่อยู่ติดกัน: อบกและ วอส. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า:

∠AOW+∠BOS=d+ ง = 2 วัน

มาฟื้นฟูจากจุด อเป็นเส้นตรง เครื่องปรับอากาศตั้งฉาก โอดี. เราได้แบ่งมุม AOB ออกเป็นสองส่วน AOD และ DOB เพื่อให้เราสามารถเขียน:

∠AOข = ∠ อบจD+∠ งสตง

ให้เราบวกทั้งสองข้างของความเท่ากันนี้ด้วยมุมที่เท่ากัน ธปททำไมความเท่าเทียมกันถึงไม่ถูกละเมิด:

∠ อบจข + ∠ ทบจาก= ∠ ออด + ∠ งสตง + ∠ ทบจาก

ตั้งแต่จำนวนเงิน งสตง + ธปทเป็น มุมฉาก ทำจาก, แล้ว

∠ อบจบี+ ∠ ทบจาก= ∠ อบจง + ∠ ทำจาก= ง + ง = 2 ง,

คิวอีดี

ผลที่ตามมา.

1. ผลรวมของมุม (อบจขธปท, ซีโอดี, อย) อยู่บริเวณจุดยอดร่วม (อ) ด้านหนึ่งของเส้นตรง ( เออี) เท่ากับ 2 ง= 180 0 เพราะผลรวมนี้เป็นผลรวมของสอง มุมที่อยู่ติดกัน, เช่น: AOC + COE

2. ผลรวมของมุมตั้งอยู่รอบ ๆ ส่วนกลาง ยอดเขา (อ) ทั้งสองข้างของเส้นตรง เท่ากับ 4 d=360 0 ,

ทฤษฎีบทผกผัน

ถ้า ก ผลรวมของสองมุมมีจุดยอดร่วมและด้านร่วมและไม่บังกัน เท่ากับสองมุมฉาก (2d) แล้วมุมดังกล่าว - ที่เกี่ยวข้อง, เช่น. อีกสองด้านคือ เส้นตรง.

หากจากจุดหนึ่ง (O) ของเส้นตรง (AB) เราคืนค่าตั้งฉากให้แต่ละด้าน จากนั้นเส้นตั้งฉากเหล่านี้ประกอบกันเป็นเส้นตรงหนึ่งเส้น (CD) จากจุดใดก็ได้ที่อยู่นอกเส้น คุณสามารถลงมาที่เส้นนี้ได้ ตั้งฉากและมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

เพราะ ผลรวมของมุม ซังและ ทบเท่ากับ 2d

ตรงจากส่วนที่ อจากและ โอดีตั้งฉากกับเส้น เอบีเรียกว่า เส้นตั้งฉากกับ เอบี.

ถ้าตรง จากงตั้งฉากกับเส้น เอบี, และในทางกลับกัน: เอบีตั้งฉากกับ จากงเพราะชิ้นส่วน สสจและ สตงให้บริการในแนวตั้งฉากกับ จากง. ดังนั้นโดยตรง เอบีและ จากงเรียกว่า ตั้งฉากซึ่งกันและกัน.

สองตัวตรงๆ เอบีและ จากงตั้งฉากกันโดยมีลายลักษณ์อักษรเป็น เอบี^ จากง.

ทั้งสองมุมเรียกว่า แนวตั้งถ้าด้านหนึ่งมีความต่อเนื่องจากด้านอื่น

ดังนั้น เมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน เอบีและ จากงมุมแนวตั้งสองคู่ถูกสร้างขึ้น: อบจงและ ซัง; อคสและ งสตง .

ทฤษฎีบท.

สอง มุมแนวตั้งเท่ากัน .

ให้กำหนดมุมแนวตั้งสองมุม: อ.ต.กและ จากสตงเหล่านั้น. สตงมีภาคต่อ สสจ, ก อจากความต่อเนื่อง โอดี.

จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า อ.ต.ก = จากสตง.

ตามคุณสมบัติของมุมประชิด เราเขียนได้ดังนี้

อบจง + งสตง= 2 ง

ทบ. + BOC = 2d

วิธี: AOD + ทบ = ทบ + BOC

หากคุณลบออกจากทั้งสองส่วนนี้ ความเท่าเทียมกันตามมุม งสตง, เราได้รับ:

อบจง = ธปทซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์

ในทำนองเดียวกันเราจะพิสูจน์ว่า อคส = งสตง.

บน บทเรียนนี้เราจะพิจารณาและทำความเข้าใจแนวคิดของมุมที่อยู่ติดกันด้วยตัวเราเอง พิจารณาทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา มาแนะนำแนวคิดของ "มุมแนวตั้ง" พิจารณาข้อเท็จจริงสนับสนุนเกี่ยวกับมุมเหล่านี้ ต่อไป เราจะกำหนดและพิสูจน์สองผลสรุปเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมแนวตั้ง ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้

เริ่มต้นบทเรียนของเราด้วยแนวคิดของ "มุมที่อยู่ติดกัน" รูปที่ 1 แสดงมุมที่พัฒนาขึ้น ∠AOC และ ray OB ซึ่งแบ่งมุมนี้ออกเป็น 2 มุม

ข้าว. 1. มุม ∠AOC

พิจารณามุม ∠AOB และ ∠BOC ค่อนข้างชัดเจนว่าพวกเขามี VO ด้านเดียวกัน ในขณะที่ด้าน AO และ OS นั้นตรงกันข้าม Rays OA และ OS เสริมซึ่งกันและกัน ซึ่งหมายความว่าทั้งสองอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุม ∠AOB และ ∠BOC อยู่ติดกัน

คำจำกัดความ: ถ้ามุมสองมุมมีด้านร่วมกัน และอีกสองด้านเป็นรังสีคู่สม ก็จะเรียกมุมเหล่านี้ ที่เกี่ยวข้อง.

ทฤษฎีบทที่ 1: ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 o

ข้าว. 2. การวาดภาพสำหรับทฤษฎีบท 1

∠MOL + ∠LON = 180o ข้อความนี้เป็นจริงเนื่องจากรังสี OL แบ่งมุมตรง ∠MON ออกเป็นสองมุมที่อยู่ติดกัน นั่นคือเราไม่รู้ การวัดระดับไม่มีมุมที่อยู่ติดกัน แต่เรารู้เพียงผลรวมของมัน - 180 o

พิจารณาจุดตัดของเส้นสองเส้น รูปแสดงจุดตัดของเส้นสองเส้นที่จุด O

ข้าว. 3. มุมแนวตั้ง ∠BOA และ ∠COD

คำจำกัดความ: ถ้าด้านของมุมหนึ่งต่อเนื่องจากมุมที่สอง มุมดังกล่าวจะเรียกว่าแนวตั้ง นั่นคือเหตุผลที่รูปแสดงมุมแนวตั้งสองคู่: ∠AOB และ ∠COD รวมถึง ∠AOD และ ∠BOC

ทฤษฎีบทที่ 2 มุมแนวตั้งเท่ากัน

ลองใช้รูปที่ 3 พิจารณามุมที่พัฒนาแล้ว ∠AOC ∠AOB \u003d ∠AOC - ∠BOC \u003d 180 o - β พิจารณามุมที่พัฒนาขึ้น ∠BOD ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180 o - β

จากการพิจารณาเหล่านี้ เราสรุปได้ว่า ∠AOB = ∠COD = α ในทำนองเดียวกัน ∠AOD = ∠BOC = β

ข้อสังเกตที่ 1: มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันคือ 90°

ข้าว. 4. การวาดเพื่อผล 1

เนื่องจาก OL เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ∠BOA ดังนั้นมุม ∠LOB = คล้ายกับ ∠BOK = ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . ผลรวมของมุม α + β เท่ากับ 180 o เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน

ข้อสังเกต 2: มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมแนวตั้งคือ 180°

ข้าว. 5. การวาดเพื่อผล 2

KO คือเส้นแบ่งครึ่งของ ∠AOB, LO คือเส้นแบ่งครึ่งของ ∠COD เห็นได้ชัดว่า ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o ผลรวมของมุม α + β เท่ากับ 180 o เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน

ลองพิจารณางานบางอย่าง:

ค้นหามุมที่อยู่ติดกับ ∠AOC ถ้า ∠AOC = 111 o

มาวาดรูปสำหรับงานกันเถอะ:

ข้าว. 6. ตัวอย่างการวาดภาพ1

เนื่องจาก ∠AOC = β และ ∠COD = α เป็นมุมประชิด ดังนั้น α + β = 180 o นั่นคือ 111 o + β \u003d 180 o

ดังนั้น β = 69 o

ปัญหาประเภทนี้ใช้ประโยชน์จากทฤษฎีบทผลรวมของมุมประชิด

มุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่งเป็นมุมฉาก ส่วนอีกมุมหนึ่ง (แหลม ป้าน หรือมุมฉาก) คือมุมใด

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้องและผลรวมของมุมทั้งสองมุมเท่ากับ 180° มุมอีกมุมหนึ่งก็จะถูกต้องเช่นกัน งานนี้ทดสอบความรู้เกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน

จริงหรือไม่ว่าถ้ามุมประชิดเท่ากันก็เป็นมุมฉาก?

สร้างสมการกัน: α + β = 180 o แต่เนื่องจาก α = β ดังนั้น β + β = 180 o ซึ่งหมายความว่า β = 90 o

คำตอบ: ใช่ ข้อความนี้เป็นความจริง

ให้สอง มุมที่เท่ากัน. จริงหรือไม่ที่มุมที่อยู่ติดกับพวกมันจะเท่ากันด้วย?

ข้าว. 7. ตัวอย่างการวาดภาพ4

หากมุมสองมุมเท่ากับ α มุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 o - α นั่นคือพวกเขาจะเท่ากัน

คำตอบ: ข้อความนี้เป็นความจริง

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. ฯลฯ เรขาคณิต 7. - ม.: การตรัสรู้.
2. Atanasyan L.S. , Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. et al. เรขาคณิต 7. 5th ed. - ม.: การตรัสรู้.
3. \Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Prasolova V.V. เรขาคณิต 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov แก้ไขโดย V.A. ซาดอฟนิชี่. - ม.: การศึกษา, 2553.

1. การวัดส่วน ()
2. บทเรียนทั่วไปเกี่ยวกับเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ()
3. เส้นตรง ส่วน ()

1. หมายเลข 13, 14. Butuzov V.F. , Kadomtsev S.B. , Prasolova V.V. เรขาคณิต 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov แก้ไขโดย V.A. ซาดอฟนิชี่. - ม.: การศึกษา, 2553.
2. หามุมที่อยู่ติดกัน 2 มุม ถ้ามุมหนึ่งเป็น 4 คูณของอีกมุมหนึ่ง
3. ให้มุม สร้างมุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้งสำหรับมัน สามารถสร้างมุมดังกล่าวได้กี่มุม?
4. * ในกรณีใดจะได้มุมแนวตั้งมากกว่ากัน: เมื่อมีเส้นสามเส้นตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสามจุด