ตัวอย่างรูปแบบกำลังสองแรก แบบฟอร์มกำลังสอง

แนวคิดเรื่องรูปแบบกำลังสอง เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง รูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสอง วิธีลากรองจ์ มุมมองปกติของรูปแบบกำลังสอง อันดับ ดัชนี และลายเซ็นของรูปแบบกำลังสอง รูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก รูปสี่เหลี่ยม

แนวคิดของรูปแบบกำลังสอง:ฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพหุนามเอกพันธ์ของดีกรีที่สองในพิกัดของเวกเตอร์

แบบฟอร์มกำลังสองจาก nไม่ทราบ เรียกว่าผลรวม ซึ่งแต่ละเทอมจะเป็นกำลังสองของค่าไม่ทราบค่าหนึ่ง หรือผลคูณของค่าไม่ทราบค่าสองค่าที่แตกต่างกัน

เมทริกซ์กำลังสอง:เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์รูปกำลังสองตามเกณฑ์ที่กำหนด หากลักษณะเฉพาะของสนามไม่เท่ากับ 2 เราสามารถสรุปได้ว่าเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองนั้นสมมาตร กล่าวคือ

เขียนเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง:

เพราะฉะนั้น,

ในรูปแบบเมทริกซ์เวกเตอร์ รูปแบบกำลังสองคือ:

เอ ที่ไหน

รูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสอง:รูปแบบกำลังสองเรียกว่ารูปแบบบัญญัติถ้าทั้งหมด เช่น.

รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้น ในทางปฏิบัติมักใช้วิธีการดังต่อไปนี้

วิธีลากรองจ์ : การเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ถ้า

จากนั้นจึงทำขั้นตอนที่คล้ายกันกับรูปแบบกำลังสอง เป็นต้น ถ้าอยู่ในรูปกำลังสอง ทุกอย่างเป็นแต่ หลังจากเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นแล้วเรื่องก็จะเข้าสู่ขั้นตอนการพิจารณา ตัวอย่างเช่น หากเราถือว่า

รูปแบบปกติของรูปแบบกำลังสอง:รูปแบบกำลังสองปกติคือรูปแบบกำลังสองมาตรฐานซึ่งสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะเท่ากับ +1 หรือ -1

อันดับ ดัชนี และลายเซ็นของรูปแบบกำลังสอง:อันดับของรูปแบบกำลังสอง กเรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ก- อันดับของรูปแบบกำลังสองจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่ไม่เสื่อมลงของสิ่งที่ไม่ทราบ

จำนวนสัมประสิทธิ์ลบเรียกว่าดัชนีรูปแบบลบ

จำนวนพจน์ที่เป็นบวกในรูปแบบมาตรฐานเรียกว่าดัชนีความเฉื่อยเชิงบวกของรูปแบบกำลังสอง จำนวนพจน์ที่เป็นลบเรียกว่าดัชนีเชิงลบ ความแตกต่างระหว่างดัชนีบวกและลบเรียกว่าลายเซ็นของรูปแบบกำลังสอง

รูปแบบกำลังสองที่แน่นอนเชิงบวก:รูปแบบกำลังสองจริง เรียกว่าบวกแน่นอน (ลบแน่นอน) ถ้าสำหรับค่าจริงใด ๆ ของตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

. (36)

ในกรณีนี้เมทริกซ์เรียกอีกอย่างว่าบวกแน่นอน (ลบแน่นอน)

คลาสของแบบฟอร์มเชิงบวกแน่นอน (negative definite) เป็นส่วนหนึ่งของคลาสของแบบฟอร์มที่ไม่เป็นลบ (resp. ไม่ใช่เชิงบวก)

สี่เหลี่ยม:สี่เหลี่ยม - n- ไฮเปอร์พื้นผิวมิติใน nปริภูมิ +1 มิติ กำหนดเป็นเซตของศูนย์ของพหุนามของดีกรีที่สอง หากคุณป้อนพิกัด ( x 1 , x 2 , เอ็กซ์เอ็น+1 ) (ในปริภูมิแบบยุคลิดหรือปริภูมิสัมพัทธ์) สมการทั่วไปของกำลังสองคือ

สมการนี้สามารถเขียนใหม่ให้กระชับยิ่งขึ้นในรูปแบบเมทริกซ์:

โดยที่ x = ( x 1 , x 2 , เอ็กซ์เอ็น+1 ) — เวกเตอร์แถว x T คือเวกเตอร์ทรานสโพส ถาม— ขนาดเมทริกซ์ ( n+1)×( n+1) (สันนิษฐานว่าองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งรายการไม่เป็นศูนย์) ปเป็นเวกเตอร์แถว และ ร- คงที่. กำลังสองมากกว่าจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนมักถูกพิจารณา คำจำกัดความสามารถขยายเป็นกำลังสองในพื้นที่ฉายภาพได้ ดูด้านล่าง

โดยทั่วไปแล้ว เซตของศูนย์ของระบบสมการพหุนามเรียกว่าความหลากหลายทางพีชคณิต ดังนั้น กำลังสองคือความหลากหลายทางพีชคณิต (ใกล้เคียงหรือฉายภาพ) ของดีกรีที่สองและมิติข้อมูล 1

การเปลี่ยนแปลงของเครื่องบินและอวกาศ

คำจำกัดความของการเปลี่ยนแปลงระนาบ การตรวจจับความเคลื่อนไหว คุณสมบัติของการเคลื่อนไหว การเคลื่อนไหวสองประเภท: การเคลื่อนไหวของประเภทที่หนึ่งและการเคลื่อนไหวของประเภทที่สอง ตัวอย่างการเคลื่อนไหว การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ของการเคลื่อนไหว การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน (ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดคงที่และเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยน) กลุ่มการเคลื่อนไหวของเครื่องบิน

คำจำกัดความของการเปลี่ยนแปลงเครื่องบิน: คำจำกัดความเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบเพื่อรักษาระยะห่างระหว่างจุด ความเคลื่อนไหว(หรือการเคลื่อนไหว) ของเครื่องบิน เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบ ละเลยถ้ามันแปลงจุดสามจุดใดๆ ที่อยู่ในเส้นเดียวกันเป็นสามจุดก็อยู่บนเส้นเดียวกันด้วยและในเวลาเดียวกันก็รักษาความสัมพันธ์ง่ายๆ ของสามจุดไว้

คำจำกัดความของการเคลื่อนไหว:สิ่งเหล่านี้คือการเปลี่ยนแปลงรูปร่างที่รักษาระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ หากตัวเลขทั้งสองอยู่ในแนวเดียวกันอย่างแม่นยำผ่านการเคลื่อนไหว ตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากันและเท่ากัน

คุณสมบัติการเคลื่อนไหว:การเคลื่อนที่เพื่อรักษาทิศทางของเครื่องบินจะเป็นการแปลแบบขนานหรือการหมุน การเคลื่อนที่ที่เปลี่ยนทิศทางของเครื่องบินจะเป็นสมมาตรตามแนวแกนหรือสมมาตรแบบเลื่อน เมื่อเคลื่อนที่ จุดที่วางอยู่บนเส้นตรงจะเปลี่ยนเป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง และลำดับของตำแหน่งสัมพัทธ์จะยังคงอยู่ เมื่อเคลื่อนที่ มุมระหว่างเส้นครึ่งเส้นจะยังคงอยู่

การเคลื่อนไหวสองประเภท: การเคลื่อนไหวของประเภทที่หนึ่งและการเคลื่อนไหวของประเภทที่สอง:การเคลื่อนไหวประเภทแรกคือการเคลื่อนไหวที่รักษาการวางแนวของฐานของร่างบางรูป สามารถรับรู้ได้ด้วยการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง

การเคลื่อนไหวประเภทที่สองคือการเคลื่อนไหวที่เปลี่ยนทิศทางของฐานไปในทิศทางตรงกันข้าม ไม่สามารถรับรู้ได้ด้วยการเคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบแรกคือการแปลและการหมุนรอบเส้นตรง และการเคลื่อนที่แบบที่สองคือความสมมาตรส่วนกลางและกระจก

องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวประเภทแรกจำนวนเท่าใดก็ได้คือการเคลื่อนไหวของประเภทแรก

องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวประเภทที่ 2 จำนวนคู่คือการเคลื่อนไหวของประเภทที่ 1 และองค์ประกอบของการเคลื่อนไหวประเภทที่ 2 จำนวนคี่คือการเคลื่อนไหวของประเภทที่ 2

ตัวอย่างการเคลื่อนไหว:การถ่ายโอนแบบขนาน. ให้ a เป็นเวกเตอร์ที่กำหนด การถ่ายโอนแบบขนานไปยังเวกเตอร์ a เป็นการโยงระนาบลงบนตัวมันเอง โดยแต่ละจุด M ถูกโยงกับจุด M 1 ดังนั้นเวกเตอร์ MM 1 จะเท่ากับเวกเตอร์ a

การแปลแบบคู่ขนานเป็นการเคลื่อนไหวเนื่องจากเป็นการวางระนาบลงบนตัวมันเอง เพื่อรักษาระยะห่าง การเคลื่อนไหวนี้สามารถแสดงได้ด้วยสายตาเป็นการเลื่อนของระนาบทั้งหมดไปในทิศทางของเวกเตอร์ a ตามความยาวของมัน

หมุน.ให้เราแสดงจุด O บนเครื่องบิน ( ศูนย์เปลี่ยน) และตั้งค่ามุม α ( มุมการหมุน- การหมุนของระนาบรอบจุด O ด้วยมุม α คือการวางระนาบลงบนตัวมันเอง โดยแต่ละจุด M ถูกโยงกับจุด M 1 โดยที่ OM = OM 1 และมุม MOM 1 เท่ากับ α ในกรณีนี้ จุด O ยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม กล่าวคือ มันถูกวางลงบนตัวมันเอง และจุดอื่นๆ ทั้งหมดจะหมุนรอบจุด O ในทิศทางเดียวกัน - ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา (ภาพแสดงการหมุนทวนเข็มนาฬิกา)

การหมุนคือการเคลื่อนไหวเพราะมันแสดงถึงการวางระนาบลงบนตัวมันเอง ซึ่งรักษาระยะห่างไว้

การแสดงออกเชิงวิเคราะห์ของการเคลื่อนไหว:การเชื่อมโยงเชิงวิเคราะห์ระหว่างพิกัดของพรีอิมเมจกับภาพของจุดนั้นมีรูปแบบ (1)

การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน (ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดคงที่และเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยน): คำจำกัดความ:

จุดบนระนาบนั้นไม่แปรเปลี่ยน (คงที่) ถ้ามันแปลงเป็นตัวเองภายใต้การเปลี่ยนแปลงที่กำหนด

ตัวอย่าง: ด้วยความสมมาตรที่ศูนย์กลาง จุดของศูนย์กลางสมมาตรจะไม่แปรเปลี่ยน เมื่อหมุน จุดศูนย์กลางการหมุนจะไม่เปลี่ยนแปลง ด้วยความสมมาตรตามแนวแกน เส้นที่ไม่แปรเปลี่ยนจะเป็นเส้นตรง - แกนของสมมาตรนั้นเป็นเส้นตรงของจุดที่ไม่แปรเปลี่ยน

ทฤษฎีบท: หากการเคลื่อนไหวไม่มีจุดคงที่จุดเดียว แสดงว่าการเคลื่อนไหวนั้นมีทิศทางที่ไม่แปรเปลี่ยนอย่างน้อยหนึ่งจุด

ตัวอย่าง: การถ่ายโอนแบบขนาน อันที่จริง เส้นตรงที่ขนานกับทิศทางนี้มีค่าคงที่ในภาพรวม แม้ว่าจะไม่ได้ประกอบด้วยจุดคงที่ก็ตาม

ทฤษฎีบท: หากรังสีเคลื่อนที่ รังสีจะแปลเป็นตัวเอง การเคลื่อนที่นี้จะเป็นการเปลี่ยนแปลงหรือสมมาตรที่เหมือนกันโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงที่มีรังสีที่กำหนด

ดังนั้น ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของจุดหรือตัวเลขที่ไม่แปรเปลี่ยน จึงเป็นไปได้ที่จะจำแนกการเคลื่อนไหวได้

ชื่อการเคลื่อนไหว	จุดคงที่	เส้นคงที่
การเคลื่อนไหวแบบแรก.
1. - เลี้ยว	(กลาง) - 0	เลขที่
2. การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์	ทุกจุดของเครื่องบิน	ตรงทั้งหมด
3. สมมาตรกลาง	จุด 0 - ศูนย์กลาง	เส้นทุกเส้นที่ผ่านจุด 0
4. การถ่ายโอนแบบขนาน	เลขที่	ตรงทั้งหมด
การเคลื่อนไหวของประเภทที่สอง
5. สมมาตรตามแนวแกน	ชุดคะแนน	แกนสมมาตร (เส้นตรง) เส้นตรงทั้งหมด

กลุ่มการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน:ในเรขาคณิต กลุ่มของการจัดองค์ประกอบตัวเองของตัวเลขมีบทบาทสำคัญ หากเป็นร่างใดรูปหนึ่งบนเครื่องบิน (หรือในอวกาศ) เราก็สามารถพิจารณาเซตของการเคลื่อนที่ทั้งหมดของเครื่องบิน (หรืออวกาศ) ในระหว่างที่ร่างนั้นกลายเป็นตัวมันเอง

ชุดนี้เป็นกลุ่ม ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า กลุ่มของการเคลื่อนที่ของระนาบที่เปลี่ยนรูปสามเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปสามเหลี่ยมนั้นเองประกอบด้วยองค์ประกอบ 6 ประการ ได้แก่ การหมุนผ่านมุมรอบจุดหนึ่ง และสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงสามเส้น

พวกเขาจะแสดงในรูป. 1 เส้นสีแดง. องค์ประกอบของกลุ่มการจัดตำแหน่งตนเองของรูปสามเหลี่ยมปกติสามารถระบุได้แตกต่างกัน เพื่ออธิบายสิ่งนี้ ขอให้เรากำหนดหมายเลขจุดยอดของสามเหลี่ยมปกติด้วยตัวเลข 1, 2, 3 การจัดตำแหน่งเองของสามเหลี่ยมจะทำให้จุด 1, 2, 3 ไปยังจุดเดียวกัน แต่อยู่ในลำดับที่ต่างออกไป กล่าวคือ สามารถเขียนได้ตามเงื่อนไขในรูปของวงเล็บอันใดอันหนึ่งต่อไปนี้:

ฯลฯ

โดยที่ตัวเลข 1, 2, 3 ระบุจำนวนของจุดยอดเหล่านั้นซึ่งจุดยอด 1, 2, 3 ไปเป็นผลจากการเคลื่อนไหวที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

พื้นที่ฉายภาพและแบบจำลอง.

แนวคิดของพื้นที่ฉายภาพและแบบจำลองของพื้นที่ฉายภาพ ข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตฉายภาพ เส้นหลายเส้นที่อยู่ตรงกลางจุด O คือแบบจำลองของระนาบฉายภาพ จุดที่ฉาย ระนาบขยายเป็นแบบจำลองของระนาบฉายภาพ ความสัมพันธ์สามมิติแบบขยายหรือปริภูมิแบบยุคลิดเป็นแบบจำลองของปริภูมิการฉายภาพ รูปภาพของตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่ในการออกแบบคู่ขนาน

แนวคิดของพื้นที่ฉายภาพและแบบจำลองของพื้นที่ฉายภาพ:

พื้นที่ฉายภาพเหนือสนามคือพื้นที่ที่ประกอบด้วยเส้น (พื้นที่ย่อยหนึ่งมิติ) ของพื้นที่เชิงเส้นบางส่วนเหนือสนามที่กำหนด ช่องว่างตรงเรียกว่า จุดพื้นที่ฉายภาพ คำจำกัดความนี้สามารถสรุปได้ทั่วไปกับเนื้อหาโดยพลการ

หากมี มิติ ดังนั้นมิติของพื้นที่ฉายภาพจะเรียกว่า หมายเลข และพื้นที่ฉายภาพนั้นจะถูกแสดงและเรียกว่าเกี่ยวข้องกับ (เพื่อระบุสิ่งนี้จะใช้สัญกรณ์)

เรียกว่าการเปลี่ยนจากปริภูมิเวกเตอร์ของมิติไปเป็นปริภูมิการฉายภาพที่สอดคล้องกัน การฉายภาพช่องว่าง.

จุดสามารถอธิบายได้โดยใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ข้อเท็จจริงพื้นฐานของเรขาคณิตฉายภาพ:เรขาคณิตแบบฉายภาพเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ศึกษาระนาบและอวกาศที่ฉายภาพ คุณสมบัติหลักของเรขาคณิตที่ฉายภาพคือหลักการของความเป็นคู่ ซึ่งเพิ่มความสมมาตรอันหรูหราให้กับการออกแบบจำนวนมาก เรขาคณิตแบบฉายภาพสามารถศึกษาได้ทั้งจากมุมมองเรขาคณิตล้วนๆ และจากการวิเคราะห์ (โดยใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน) และมุมมองแบบ Salgebraic โดยพิจารณาจากระนาบฉายภาพเป็นโครงสร้างเหนือสนาม บ่อยครั้งและในอดีต ระนาบฉายภาพจริงถือเป็นระนาบยุคลิดที่มีการเติม "เส้นที่ระยะอนันต์" เข้าไปด้วย

ในขณะที่คุณสมบัติของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแบบยุคลิดคือ เมตริก(ค่าเฉพาะของมุม ส่วน พื้นที่) และความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะเทียบเท่ากับค่าเหล่านั้น ความสอดคล้อง(เช่น เมื่อสามารถแปลงตัวเลขเป็นอีกรูปหนึ่งผ่านการเคลื่อนไหวโดยยังคงรักษาคุณสมบัติหน่วยเมตริกไว้) จะมีคุณสมบัติ "ที่อยู่ลึก" ของรูปทรงเรขาคณิตมากกว่าที่จะถูกรักษาไว้ภายใต้การแปลงรูปแบบทั่วไปมากกว่าการเคลื่อนไหว เรขาคณิตฉายภาพเกี่ยวข้องกับการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ชั้นเรียน การเปลี่ยนแปลงที่คาดการณ์ไว้รวมถึงการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้เองด้วย

เรขาคณิตแบบฉายภาพช่วยเสริมเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยการให้วิธีแก้ปัญหาที่สวยงามและเรียบง่ายสำหรับปัญหาต่างๆ ที่ซับซ้อนเนื่องจากมีเส้นขนานอยู่ ทฤษฎีการฉายภาพของส่วนทรงกรวยนั้นเรียบง่ายและสวยงามเป็นพิเศษ

มีสามแนวทางหลักสำหรับเรขาคณิตเชิงฉายภาพ: การทำให้เป็นจริงโดยอิสระ การเสริมเรขาคณิตแบบยุคลิด และโครงสร้างบนสนามข้อมูล

การทำให้เป็นจริง

พื้นที่การฉายภาพสามารถกำหนดได้โดยใช้ชุดสัจพจน์ที่แตกต่างกัน

Coxeter ให้สิ่งต่อไปนี้:

1. มีเส้นตรงและไม่มีจุดอยู่บนนั้น

2. แต่ละบรรทัดมีคะแนนอย่างน้อยสามคะแนน

3. เส้นตรงหนึ่งเส้นสามารถลากผ่านจุดสองจุดได้

4. ถ้า ก, บี, ค, และ ดี- จุดต่างๆ และ เอบีและ ซีดีตัดกันแล้ว เอ.ซี.และ บีดีตัด.

5. ถ้า เอบีซีเป็นระนาบแล้วมีจุดไม่อยู่ในระนาบอย่างน้อยหนึ่งจุด เอบีซี.

6. ระนาบสองอันที่แตกต่างกันตัดกันอย่างน้อยสองจุด

7. จุดทแยงมุมสามจุดของรูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์นั้นไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

8. ถ้าสามแต้มอยู่บนเส้น เอ็กซ์ เอ็กซ์

ระนาบการฉายภาพ (ไม่มีมิติที่สาม) ถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่แตกต่างกันเล็กน้อย:

1. ผ่านจุดสองจุดคุณสามารถวาดเส้นตรงเพียงเส้นเดียวได้

2. เส้นตรงสองเส้นใดๆ ตัดกัน

3. มีสี่จุด ซึ่งสามจุดไม่เรียงกัน

4. จุดทแยงมุมสามจุดของรูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์นั้นไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

5. ถ้าสามแต้มอยู่บนเส้น เอ็กซ์ไม่แปรเปลี่ยนด้วยความเคารพต่อฉายภาพของ φ จากนั้นทุกจุด เอ็กซ์ไม่แปรเปลี่ยนด้วยความเคารพ φ

6. ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์: ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีเปอร์สเปคทีฟผ่านจุดหนึ่ง แสดงว่าสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นเปอร์สเปคทีฟผ่านเส้นตรง

เมื่อมีมิติที่สาม ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้จุดและเส้นในอุดมคติ

เครื่องบินขยาย - โมเดลเครื่องบินฉายภาพ:ในช่องว่าง A3 เราหามัดของเส้น S(O) โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O และระนาบ Π ที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของมัด: O 6∈ Π กลุ่มของเส้นในปริภูมิสัมพัทธ์คือแบบจำลองของระนาบที่ฉายภาพ มากำหนดการแม็ปของเซตของจุดของระนาบ Π ลงบนเซตของเส้นตรงของเส้นเชื่อมต่อ S กัน (แม่งเอ้ย อธิษฐานหากคุณมีคำถามนี้ ขออภัยด้วย)

การขยายความสัมพันธ์สามมิติหรือปริภูมิแบบยุคลิด - แบบจำลองปริภูมิอวกาศ:

เพื่อที่จะทำการคาดคะเนการทำแผนที่ เราทำซ้ำขั้นตอนของการขยายระนาบอัฟฟิน Π อย่างเป็นทางการไปยังระนาบที่ฉายภาพ Π โดยเสริมระนาบ Π ด้วยเซตของจุดที่ไม่เหมาะสม (M∞) โดยที่: ((M∞)) = P0(โอ) เนื่องจากในแผนที่ ภาพผกผันของระนาบแต่ละระนาบของมัดของระนาบ S(O) เป็นเส้นตรงบนระนาบ d จึงเห็นได้ชัดว่าเซตของจุดที่ไม่เหมาะสมทั้งหมดของระนาบขยาย: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞) แสดงถึงเส้นตรงที่ไม่เหมาะสม d∞ ของระนาบที่ขยาย ซึ่งเป็นภาพผกผันของระนาบเอกพจน์ Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0) (I.23) ให้เราตกลงกันว่าต่อไปนี้และต่อจากนี้ไปเราจะเข้าใจความเท่าเทียมกันสุดท้าย P0(O) = Π0 ในความหมายของความเท่าเทียมกันของเซตของจุด แต่มีโครงสร้างที่แตกต่างออกไป ด้วยการเสริมระนาบอัฟฟินด้วยเส้นที่ไม่เหมาะสม เรารับประกันว่าการแม็ป (I.21) กลายเป็น bijective บนเซตของทุกจุดของระนาบที่ขยาย:

รูปภาพของตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่ระหว่างการออกแบบคู่ขนาน:

ใน Stereometry จะมีการศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่ แต่ในภาพวาดจะแสดงเป็นรูปแบน ควรแสดงภาพอวกาศบนเครื่องบินอย่างไร? โดยทั่วไปในเรขาคณิต จะใช้การออกแบบแบบขนานสำหรับสิ่งนี้ ให้ p เป็นระนาบ ล- เส้นตรงตัดกัน (รูปที่ 1) ผ่านจุดใดก็ได้ ก,ไม่อยู่ในสาย ลให้ลากเส้นขนานกับเส้น ล- จุดตัดของเส้นนี้กับระนาบ p เรียกว่าเส้นโครงขนานของจุด กไปยังระนาบ p ในทิศทางของเส้นตรง ล- เรามาแสดงแทนกันเถอะ ก“.ถ้าตรงประเด็น กอยู่ในบรรทัด ลแล้วโดยการฉายภาพแบบขนาน กจุดตัดของเส้นถือว่าอยู่บนระนาบ p ลด้วยระนาบ p

ดังนั้นแต่ละจุด กพื้นที่ที่มีการฉายภาพจะถูกเปรียบเทียบ ก" ลงบนระนาบ p การโต้ตอบนี้เรียกว่าการฉายภาพขนานบนระนาบ p ในทิศทางของเส้นตรง ล.

กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ การประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงคาดการณ์ของเครื่องบิน ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพของเครื่องบิน คุณสมบัติของการแปลงโปรเจ็กต์ ความคล้ายคลึงกันคุณสมบัติของความคล้ายคลึงกัน กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ

แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงคาดการณ์ของเครื่องบิน:แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงโครงการทำให้แนวคิดของการฉายภาพส่วนกลางเป็นภาพรวม หากเราฉายภาพจากศูนย์กลางของระนาบ α ไปยังระนาบ α 1 จากนั้นฉายภาพ α 1 ไปยัง α 2, α 2 ไปยัง α 3 ... และสุดท้าย ระนาบ α nอีกครั้งบน α 1 จากนั้นองค์ประกอบของเส้นโครงทั้งหมดนี้คือการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพของระนาบ α; การฉายภาพแบบขนานสามารถรวมอยู่ในห่วงโซ่ดังกล่าวได้

ตัวอย่างของการแปลงระนาบที่ฉายภาพ:การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงภาพของระนาบที่เสร็จสมบูรณ์คือการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบนตัวมันเอง ซึ่งการรักษาความสอดคล้องของจุดต่างๆ ไว้ หรืออีกนัยหนึ่ง รูปภาพของเส้นใดๆ ที่เป็นเส้นตรง การเปลี่ยนแปลงเชิงฉายภาพใดๆ ก็ตามคือองค์ประกอบของสายโซ่ของการฉายภาพแบบกึ่งกลางและแบบขนาน การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์เป็นกรณีพิเศษของการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ ซึ่งเส้นตรงที่ระยะอนันต์จะเปลี่ยนเป็นตัวเอง

คุณสมบัติของการแปลงโปรเจ็กต์:

ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ จุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นจะถูกแปลงเป็นสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้น

ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ เฟรมจะกลายเป็นเฟรม

ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ เส้นจะเข้าสู่เส้นตรง และดินสอจะกลายเป็นดินสอ

homology คุณสมบัติของ homology:

การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงภาพของระนาบที่มีเส้นที่มีจุดไม่แปรเปลี่ยน และด้วยเหตุนี้จึงมีเส้นดินสอที่ไม่แปรเปลี่ยน เรียกว่า homology

1. เส้นที่ผ่านจุดคล้ายคลึงกันที่ไม่ตรงกันจะเป็นเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยน

2. เส้นที่ผ่านจุดคล้ายคลึงกันที่ไม่ตรงกันนั้นเป็นของดินสอเส้นเดียวกัน โดยจุดศูนย์กลางคือจุดที่ไม่แปรเปลี่ยน

3. จุด รูปภาพ และศูนย์กลางของความคล้ายคลึงกันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงเชิงโครงการ:พิจารณาการทำแผนที่แบบฉายภาพของระนาบฉายภาพ P 2 บนตัวมันเองนั่นคือการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพของระนาบนี้ (P 2 ’ = P 2)

ก่อนหน้านี้องค์ประกอบ f ของการแปลงโปรเจ็กต์ f 1 และ f 2 ของระนาบโปรเจ็กต์ P 2 เป็นผลมาจากการดำเนินการตามลำดับของการแปลง f 1 และ f 2: f = f 2 °f 1 .

ทฤษฎีบท 1: เซต H ของการแปลงโปรเจ็กต์ทั้งหมดของระนาบโปรเจ็กต์ P 2 คือกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของการแปลงโปรเจ็กต์

พหุนามเอกพันธ์ระดับ 2 ในหลายตัวแปรเรียกว่ารูปแบบกำลังสอง

ตัวแปรรูปแบบกำลังสองประกอบด้วยเงื่อนไขสองประเภท: ตัวแปรกำลังสองและผลคูณคู่ของตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน รูปแบบกำลังสองมักจะเขียนเป็นแผนภาพสี่เหลี่ยมต่อไปนี้:

คู่คำศัพท์ที่คล้ายกันเขียนด้วยค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน เพื่อให้แต่ละคำประกอบด้วยครึ่งหนึ่งของค่าสัมประสิทธิ์ของผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกันของตัวแปร ดังนั้น รูปกำลังสองแต่ละรูปจึงสัมพันธ์กับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นสมมาตรโดยธรรมชาติ

สะดวกในการแสดงรูปแบบกำลังสองในรูปแบบเมทริกซ์ต่อไปนี้ ให้เราแสดงด้วย X คอลัมน์ของตัวแปรผ่าน X - แถวนั่นคือเมทริกซ์ที่ย้ายด้วย X แล้วก็

แบบฟอร์มกำลังสองพบได้ในคณิตศาสตร์หลายแขนงและการประยุกต์

ในทฤษฎีจำนวนและผลึกศาสตร์ รูปแบบกำลังสองได้รับการพิจารณาภายใต้สมมติฐานที่ว่าตัวแปรจะใช้เฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น ในเรขาคณิตวิเคราะห์ รูปแบบกำลังสองเป็นส่วนหนึ่งของสมการของเส้นโค้ง (หรือพื้นผิว) ของลำดับ ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ รูปกำลังสองดูเหมือนจะแสดงพลังงานจลน์ของระบบผ่านส่วนประกอบของความเร็วทั่วไป ฯลฯ แต่นอกจากนี้ การศึกษารูปกำลังสองยังจำเป็นในการวิเคราะห์เมื่อศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวในคำถาม ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องค้นหาว่าฟังก์ชันนี้ในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำหนดเบี่ยงเบนไปจากฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประมาณค่าได้อย่างไร ตัวอย่างของปัญหาประเภทนี้คือการศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาในการศึกษาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องกันตามลำดับ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดที่จะให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันคืออนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่จุดนั้นเท่ากับศูนย์ ให้เราถือว่าตรงตามเงื่อนไขนี้ ลองให้ตัวแปร x และ y เพิ่มขึ้นเล็กน้อยและ k แล้วพิจารณาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน ตามสูตรของ Taylor การเพิ่มขึ้นนี้จนถึงลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อยจะเท่ากับรูปแบบกำลังสองโดยที่ค่าของอนุพันธ์อันดับสองคือ คำนวณ ณ จุด หากรูปแบบกำลังสองนี้เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ และ k (ยกเว้น ) ฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุดที่จุด หากเป็นค่าลบก็จะมีค่าสูงสุด สุดท้ายนี้ หากแบบฟอร์มใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ก็จะไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด มีการศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมากในลักษณะเดียวกัน

การศึกษารูปแบบกำลังสองส่วนใหญ่ประกอบด้วยการศึกษาปัญหาความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้นชุดหนึ่งหรือหลายชุดของตัวแปร กล่าวกันว่ารูปแบบกำลังสองสองรูปแบบจะเท่ากันหากหนึ่งในนั้นสามารถแปลงเป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ด้วยการแปลงชุดใดชุดหนึ่ง ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาความเท่าเทียมกันคือปัญหาในการลดรูปแบบเช่น เปลี่ยนเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด

ในคำถามต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง จะมีการพิจารณาชุดการแปลงตัวแปรที่ยอมรับได้หลายชุดด้วย

ในคำถามของการวิเคราะห์ จะใช้การแปลงตัวแปรที่ไม่พิเศษใดๆ สำหรับวัตถุประสงค์ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การแปลงมุมฉากเป็นที่สนใจมากที่สุด กล่าวคือ การแปลงที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแบบแปรผันหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง ในที่สุด ในทฤษฎีจำนวนและการแปลงเชิงเส้นของผลึกศาสตร์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและมีปัจจัยกำหนดเท่ากับความสามัคคีจะถูกพิจารณา

เราจะพิจารณาปัญหาสองประการนี้: คำถามเรื่องการลดรูปแบบกำลังสองให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุดผ่านการแปลงที่ไม่ใช่เอกพจน์ และคำถามเดียวกันสำหรับการแปลงมุมตั้งฉาก ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าเมทริกซ์รูปกำลังสองถูกแปลงอย่างไรระหว่างการแปลงตัวแปรเชิงเส้น

อนุญาต โดยที่ A คือเมทริกซ์สมมาตรของค่าสัมประสิทธิ์รูปแบบ X คือคอลัมน์ของตัวแปร

เรามาสร้างการแปลงเชิงเส้นของตัวแปรกัน โดยเขียนย่อว่า . โดยที่ C หมายถึงเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของการแปลงนี้ X คือคอลัมน์ของตัวแปรใหม่ จากนั้นและด้วยเหตุนี้ ดังนั้น เมทริกซ์ของรูปกำลังสองที่ถูกเปลี่ยนรูปจึงเป็นเช่นนี้

เมทริกซ์จะกลายเป็นสมมาตรโดยอัตโนมัติ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบ ดังนั้น ปัญหาในการลดรูปแบบกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดจึงเทียบเท่ากับปัญหาในการลดเมทริกซ์สมมาตรให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดโดยการคูณเมทริกซ์ทางซ้ายและขวาด้วยเมทริกซ์สลับกัน

รูปร่างกำลังสอง f(x 1, x 2,...,x n) ของตัวแปร n ตัวคือผลรวม ซึ่งแต่ละพจน์จะเป็นกำลังสองของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง หรือผลคูณของตัวแปรสองตัวที่ต่างกัน ซึ่งใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน: f (x 1, x 2, ...,xn) = (ก ij = ก จิ)

เมทริกซ์ A ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่าเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง ก็เสมอกัน สมมาตรเมทริกซ์ (เช่น เมทริกซ์สมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก a ij = a ji)

ในรูปแบบเมทริกซ์ รูปแบบกำลังสองคือ f(X) = X T AX โดยที่

อย่างแท้จริง

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนรูปกำลังสองในรูปแบบเมทริกซ์

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาเมทริกซ์ที่มีรูปแบบกำลังสอง องค์ประกอบในแนวทแยงจะเท่ากับสัมประสิทธิ์ของตัวแปรกำลังสอง และองค์ประกอบที่เหลือจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของรูปแบบกำลังสอง นั่นเป็นเหตุผล

ปล่อยให้เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร X ได้รับโดยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของเมทริกซ์คอลัมน์ Y เช่น X = CY โดยที่ C คือเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ในลำดับที่ n จากนั้นรูปแบบกำลังสอง f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y

ดังนั้น ด้วยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง C เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองจึงมีรูปแบบ: A * =C T AC

ตัวอย่างเช่น ลองหารูปแบบกำลังสอง f(y 1, y 2) ซึ่งได้จากรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 โดยการแปลงเชิงเส้น

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ตามบัญญัติ(มี มุมมองที่เป็นที่ยอมรับ) ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดคือ ij = 0 สำหรับ i≠j นั่นคือ f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 =

เมทริกซ์ของมันคือเส้นทแยงมุม

ทฤษฎีบท(ไม่ได้ให้หลักฐานที่นี่) รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถถูกลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง

ตัวอย่างเช่น ลองนำรูปแบบมาตรฐานมาใช้ในรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ขั้นแรกให้เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 1:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3

ตอนนี้เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

จากนั้น การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 และ y 3 = x 3 นำรูปแบบกำลังสองนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน f(y 1,y 2, ปี 3) = 2ปี 1 2 - 5ปี 2 2 - (1/20)ปี 3 2 .

โปรดทราบว่ารูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ (รูปแบบกำลังสองเดียวกันสามารถลดเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ด้วยวิธีที่ต่างกัน 1) อย่างไรก็ตาม รูปแบบมาตรฐานที่ได้รับจากวิธีการต่างๆ มีคุณสมบัติทั่วไปหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก (ลบ) ของรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการลดรูปแบบให้อยู่ในรูปแบบนี้ (ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่พิจารณาว่าจะมีค่าสัมประสิทธิ์ลบสองค่าและค่าบวกหนึ่งค่าเสมอ) คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า กฎความเฉื่อยของรูปแบบกำลังสอง.

ขอให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยนำรูปแบบกำลังสองเดียวกันมาสู่รูปแบบมาตรฐานในรูปแบบที่ต่างออกไป มาเริ่มการแปลงด้วยตัวแปร x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 โดยที่ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 และ y 3 = x 1 . ที่นี่มีค่าสัมประสิทธิ์บวกเป็น 2 สำหรับ y 3 และค่าสัมประสิทธิ์ลบสองตัว (-3) สำหรับ y 1 และ y 2 (และเมื่อใช้วิธีอื่น เราได้ค่าสัมประสิทธิ์บวกเป็น 2 สำหรับ y 1 และค่าลบสองตัว - (-5) สำหรับ y 2 และ (-1/20) สำหรับ y 3 )

ควรสังเกตด้วยว่าอันดับของเมทริกซ์รูปแบบกำลังสองเรียกว่า อันดับของรูปแบบกำลังสองเท่ากับจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของรูปแบบมาตรฐานและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้น

รูปแบบกำลังสอง f(X) เรียกว่า ในเชิงบวก(เชิงลบ)แน่ใจ, ถ้าค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันจะเป็นค่าบวก เช่น f(X) > 0 (ค่าลบ เช่น f(X)< 0).

ตัวอย่างเช่น รูปกำลังสอง f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก เนื่องจาก คือผลรวมของกำลังสอง และรูปแบบกำลังสอง f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 เป็นค่าแน่นอนที่เป็นลบ เนื่องจาก แสดงว่าสามารถแสดงเป็น f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2

ในสถานการณ์จริงส่วนใหญ่ การสร้างเครื่องหมายที่แน่นอนของรูปกำลังสองจะยากกว่า ดังนั้นในกรณีนี้เราใช้ทฤษฎีบทใดทฤษฎีหนึ่งต่อไปนี้ (เราจะกำหนดโดยไม่ต้องพิสูจน์)

ทฤษฎีบท- รูปแบบกำลังสองเป็นบวก (ลบ) แน่นอนหากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นบวก (ลบ)

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ซิลเวสเตอร์)- รูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อค่ารองนำหน้าทั้งหมดของเมทริกซ์ในรูปแบบนี้เป็นบวกเท่านั้น

หลัก (มุม) ผู้เยาว์เมทริกซ์ลำดับที่ k ของลำดับที่ เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย k แถวและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A ()

โปรดทราบว่าสำหรับรูปกำลังสองแน่นอนที่เป็นลบ เครื่องหมายของตัวรองหลักจะสลับกัน และตัวรองอันดับหนึ่งจะต้องเป็นลบ

ตัวอย่างเช่น ลองตรวจสอบรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 เพื่อดูความแน่นอนของเครื่องหมาย

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5ï+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; - ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก

วิธีที่ 2 Principal minor ของลำดับแรกของเมทริกซ์ A  1 =a 11 = 2 > 0 Principal minor ของลำดับที่สอง  2 = = 6 – 4 = 2 > 0 ดังนั้น ตามเกณฑ์ของ Sylvester ค่ากำลังสอง ฟอร์มเป็นบวกแน่นอน

เราตรวจสอบรูปแบบกำลังสองอีกรูปแบบหนึ่งเพื่อหาค่าแน่นอนของเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (-2 -ïL)* *(-3 -ïL) – 4 = (6 + 2+ 3+ï 2) – 4 = 2 + 5ï+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; - ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ

วิธีที่ 2 หลักของลำดับแรกของเมทริกซ์ A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. ดังนั้น ตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ รูปแบบกำลังสองมีค่าแน่นอนเป็นลบ (สัญญาณของผู้เยาว์หลักสลับกัน โดยเริ่มจากลบ)

และอีกตัวอย่างหนึ่ง เราจะตรวจสอบรูปแบบกำลังสองที่กำหนดเครื่องหมาย f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (2 -ï)* *(-3 -ïL) – 4 = (-6 - 2ïL+ 3`+ï 2) – 4 =` 2 +`- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; - หนึ่งในจำนวนเหล่านี้เป็นลบและอีกจำนวนหนึ่งเป็นค่าบวก สัญญาณของค่าลักษณะเฉพาะนั้นแตกต่างกัน ดังนั้น รูปกำลังสองจึงไม่สามารถกำหนดนิยามทั้งทางลบและทางบวกได้ กล่าวคือ รูปแบบกำลังสองนี้ไม่มีเครื่องหมายที่แน่นอน (สามารถรับค่าของเครื่องหมายใดก็ได้)

วิธีที่ 2. หลักรองของลำดับแรกของเมทริกซ์ A  1 =a 11 = 2 > 0. หลักรองของลำดับที่สอง 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1วิธีที่พิจารณาในการลดรูปแบบกำลังสองเป็นรูปแบบมาตรฐานนั้นสะดวกต่อการใช้งานเมื่อพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์กับกำลังสองของตัวแปร หากไม่มีอยู่ ก็ยังสามารถดำเนินการแปลงได้ แต่คุณต้องใช้เทคนิคอื่น ตัวอย่างเช่น ให้ f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 โดยที่ y 1 = x 1 + x 2 หรือ 2 = x 1 – x 2

รูปร่างกำลังสอง

ในรูปแบบเมทริกซ์ รูปแบบกำลังสองคือ f(X) = X T AX โดยที่

อย่างแท้จริง

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนรูปกำลังสองในรูปแบบเมทริกซ์

ปล่อยให้เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร X ได้รับโดยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมของเมทริกซ์คอลัมน์ Y เช่น X = CY โดยที่ C คือเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ในลำดับที่ n แล้วก็รูปกำลังสอง
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y

รูปทรงกำลังสองเรียกว่า ตามบัญญัติ(มี มุมมองที่เป็นที่ยอมรับ) ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด a ij = 0 สำหรับ i ≠ j เช่น
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 =

เมทริกซ์ของมันคือเส้นทแยงมุม

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน
ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ขั้นแรกให้เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 1:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3

ตอนนี้เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร x 2:

ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

จากนั้นการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมลง y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 และ y 3 = x 3 นำรูปแบบกำลังสองนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐาน f(y 1, y 2 , ปี 3) = 2ปี 1 2 - 5ปี 2 2 - (1/20)ปี 3 2 .

โปรดทราบว่ารูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ (รูปแบบกำลังสองเดียวกันสามารถลดเป็นรูปแบบมาตรฐานในรูปแบบบัญญัติได้หลายวิธี) อย่างไรก็ตาม รูปแบบมาตรฐานที่ได้รับจากวิธีการต่างๆ มีคุณสมบัติทั่วไปหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก (ลบ) ของรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการลดรูปแบบให้อยู่ในรูปแบบนี้ (ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่พิจารณาว่าจะมีค่าสัมประสิทธิ์ลบสองค่าและค่าบวกหนึ่งค่าเสมอ) คุณสมบัตินี้มีชื่อว่า กฎความเฉื่อยของรูปแบบกำลังสอง.

ขอให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยนำรูปแบบกำลังสองเดียวกันมาสู่รูปแบบมาตรฐานในรูปแบบที่ต่างออกไป มาเริ่มการแปลงด้วยตัวแปร x 2:
ฉ(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (ปี 1 , ปี 2 , ปี 3) = -3ปี 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 โดยที่ y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 และ y 3 = x 1 . ที่นี่มีค่าสัมประสิทธิ์บวกของ 2 ที่ y 3 และค่าสัมประสิทธิ์ลบสองตัว (-3) ที่ y 1 และ y 2 (และเมื่อใช้วิธีอื่นเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์บวกของ 2 ที่ y 1 และค่าสัมประสิทธิ์ลบสองตัว - (-5) ที่ y 2 และ (-1 /20) ที่ y 3)

รูปแบบกำลังสอง f(X) เรียกว่า ในเชิงบวก (เชิงลบ) แน่ใจถ้าสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันจะเป็นค่าบวกนั่นคือ f(X) > 0 (ลบ เช่น
ฉ(เอ็กซ์)< 0).

หลัก (มุม) ผู้เยาว์เมทริกซ์ลำดับที่ k ของเมทริกซ์ A ของลำดับที่ n เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย k แถวและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A ()

= (2 - ลิตร)*
*(3 - ลิตร) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; ง = 25 – 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวก

วิธีที่ 2 Principal minor ของลำดับแรกของเมทริกซ์ A D 1 = a 11 = 2 > 0 Principal minor ของลำดับที่สอง D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0 ดังนั้น ตามเกณฑ์ของ Sylvester รูปแบบกำลังสองคือ บวกแน่นอน

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์กำลังสองรูปแบบ A = กันดีกว่า สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (-2 - ลิตร)*
*(-3 - ลิตร) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; ง = 25 – 8 = 17;
- ดังนั้นรูปกำลังสองจึงเป็นค่าแน่นอนเชิงลบ

ในส่วนนี้เราจะเน้นที่คลาสพิเศษแต่มีความสำคัญของรูปแบบกำลังสองเชิงบวก

คำจำกัดความ 3 รูปแบบกำลังสองจริงเรียกว่าไม่เป็นลบ (ไม่บวก) หากสำหรับค่าจริงของตัวแปร

. (35)

ในกรณีนี้ เมทริกซ์สมมาตรของค่าสัมประสิทธิ์เรียกว่าบวกเซมิเดไฟไนต์ (เซมิเดไฟต์ติดลบ)

คำจำกัดความ 4 รูปแบบกำลังสองจริงเรียกว่าบวกแน่นอน (ลบแน่นอน) ถ้าสำหรับค่าจริงใด ๆ ของตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

. (36)

ในกรณีนี้เมทริกซ์เรียกอีกอย่างว่าบวกแน่นอน (ลบแน่นอน)

ให้รูปแบบที่ไม่เป็นลบได้รับ ลองจินตนาการว่ามันเป็นผลรวมของกำลังสองอิสระ:

. (37)

ในการเป็นตัวแทนนี้ ช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดต้องเป็นค่าบวก:

. (38)

อันที่จริงถ้ามี ก็สามารถเลือกค่าเช่นนั้นได้

แต่แล้วด้วยค่าของตัวแปรเหล่านี้ แบบฟอร์มก็จะมีค่าลบซึ่งเป็นไปไม่ได้ตามเงื่อนไข เห็นได้ชัดว่าในทางกลับกันจาก (37) และ (38) เป็นไปตามที่แบบฟอร์มเป็นบวก

ดังนั้น รูปแบบกำลังสองที่ไม่เป็นลบจึงมีลักษณะเฉพาะด้วยความเท่าเทียมกัน

ปล่อยให้เป็นรูปแบบที่แน่นอนเชิงบวก แล้วมันก็เป็นรูปแบบที่ไม่เป็นลบ จึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบ (37) โดยที่ทุกค่าเป็นบวก จากความแน่นอนเชิงบวกของแบบฟอร์มจึงเป็นไปตามนั้น ในกรณีนี้ คุณสามารถเลือกค่าที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ ซึ่งทั้งหมดจะกลายเป็นศูนย์ แต่แล้วโดยอาศัยอำนาจตาม (37) สำหรับ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข (36)

จะเห็นได้ง่ายว่าในทางกลับกัน หากใน (37) และเป็นบวกทั้งหมด ก็จะเป็นรูปแบบที่แน่นอนที่เป็นบวก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปแบบที่ไม่เป็นลบจะเป็นค่าบวกที่แน่นอนหากไม่ใช่เอกพจน์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้เกณฑ์สำหรับความชัดเจนเชิงบวกของรูปแบบในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบต้องเป็นไปตามนั้น ในกรณีนี้มีการใช้สัญกรณ์ที่พบในย่อหน้าก่อนหน้าสำหรับผู้เยาว์หลักที่ต่อเนื่องกันของเมทริกซ์:

ทฤษฎีบท 3 เพื่อให้รูปแบบกำลังสองมีค่าแน่นอนเชิงบวก จำเป็นและเพียงพอสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน

การพิสูจน์. ความเพียงพอของเงื่อนไข (39) ตามมาจากสูตรจาโคบี (28) โดยตรง ความจำเป็นของเงื่อนไข (39) มีการกำหนดดังนี้ จากความชัดเจนเชิงบวกของแบบฟอร์ม เป็นไปตามความชัดเจนเชิงบวกของแบบฟอร์ม "ที่ถูกตัดทอน"

แต่รูปแบบทั้งหมดเหล่านี้จะต้องไม่เป็นรูปเอกพจน์ เช่น

ตอนนี้เรามีโอกาสใช้สูตรจาโคบี (28) (ที่ ) เนื่องจากทางด้านขวาของสูตรนี้ กำลังสองทั้งหมดต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น

นี่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกัน (39) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เนื่องจากตัวรองหลักใดๆ ของเมทริกซ์ที่มีการเรียงลำดับตัวแปรใหม่อย่างเหมาะสม สามารถวางไว้ที่มุมซ้ายบนได้ เราจึงได้

ผลที่ตามมา ในรูปแบบกำลังสองแน่นอนเชิงบวก ตัวรองหลักทั้งหมดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์จะเป็นค่าบวก:

ความคิดเห็น จากการไม่ปฏิเสธของผู้เยาว์หลักที่ต่อเนื่องกัน

การไม่เป็นลบของแบบฟอร์มไม่เป็นไปตาม จริงๆแล้วฟอร์ม.

ซึ่งในนั้น เป็นไปตามเงื่อนไข แต่ไม่เป็นลบ

อย่างไรก็ตาม ต่อไปนี้คงไว้

ทฤษฎีบท 4 เพื่อให้รูปแบบกำลังสองไม่เป็นลบ มีความจำเป็นและเพียงพอที่ตัวรองหลักทั้งหมดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์จะต้องไม่เป็นลบ:

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำแบบเสริมที่ไม่เป็นบวกมีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่จะเกิดขึ้น