แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันและมุมมองทั่วไป

ก)บูรณาการโดยตรง

การค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันโดยอาศัยการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดโดยตรงและตารางสูตรอินทิกรัลพื้นฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันโดยการอินทิกรัลโดยตรง

ตัวอย่าง:

∫(เอ็กซ์–3) 2วัน เอ็กซ์= ∫(เอ็กซ์ 2 –6เอ็กซ์+9)ง เอ็กซ์= ∫เอ็กซ์ 2วัน เอ็กซ์- 6∫เอ็กซ์ง เอ็กซ์+9∫d เอ็กซ์=เอ็กซ์ 3 ∕3 -3เอ็กซ์ 2 +9เอ็กซ์+ซี

ในกรณีส่วนใหญ่ เรากำลังเผชิญกับอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ไม่สามารถพบได้จากการอินทิเกรตโดยตรง ในกรณีนี้จำเป็นต้องทำการทดแทน (แทนที่ตัวแปร)

ข)บูรณาการโดยการทดแทน (การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร)

การรวมการทดแทนหรือที่มักเรียกกันว่าวิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เป็นหนึ่งในวิธีการบูรณาการที่มีประสิทธิภาพและแพร่หลายกว่า วิธีการทดแทนคือการย้ายจากตัวแปรอินทิเกรตที่กำหนดไปยังตัวแปรอื่นเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์จำนวนเต็มย่อยและนำไปไว้ในอินทิกรัลแบบตารางตัวใดตัวหนึ่ง ในกรณีนี้ การเลือกการเปลี่ยนตัวจะขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของนักแสดงเป็นรายบุคคล เนื่องจาก ไม่มีกฎทั่วไปที่ระบุว่าการเปลี่ยนตัวใด กรณีนี้เอา.

ตัวอย่าง:ค้นหาอินทิกรัล ∫ จ 2x+3วัน เอ็กซ์.

ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ที่เกี่ยวข้องกับ t เอ็กซ์การพึ่งพาครั้งต่อไป 2 เอ็กซ์+ 3 =ต.

หาค่าส่วนต่างของด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้: 2d เอ็กซ์=dt;ง เอ็กซ์=dt/2.

ตอนนี้แทนที่จะเป็น 2 เอ็กซ์+ 3 และง เอ็กซ์เราแทนที่ค่าของมันให้เป็นปริพันธ์ จากนั้นเราจะได้: ∫ จ 2x+3วัน เอ็กซ์=∫จทีดีที= จ t + C เมื่อกลับไปที่ตัวแปรก่อนหน้า ในที่สุดเราก็ได้นิพจน์:

∫จ 2x+3วัน เอ็กซ์=จ 2x+3 + ซี.

เพื่อให้แน่ใจว่าอินทิกรัลได้รับอย่างถูกต้อง จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ จ 2x+ 3 แยกความแตกต่างและตรวจสอบว่า ไม่ว่าอนุพันธ์ของมันเท่ากับปริพันธ์หรือไม่:

(จ 2x+ 3)" =จ 2x+ 3 (2 เอ็กซ์+3)" =จ 2x+ 3 .

3. อินทิกรัลที่แน่นอนและคุณสมบัติของมัน

แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดจำนวนถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหลายสาขา ด้วยความช่วยเหลือ พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ปริมาตรของรูปร่างตามอำเภอใจ กำลังและการทำงานของแรงแปรผัน เส้นทางของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ โมเมนต์ความเฉื่อย และปริมาณอื่นๆ อีกมากมายจะถูกคำนวณ

ใน
ในกรณีส่วนใหญ่ที่ครอบงำแนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอนถูกนำมาใช้เมื่อแก้ไขปัญหาในการกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ให้มีฟังก์ชันต่อเนื่อง y =f( เอ็กซ์) บนส่วน [ ก, ค] รูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y \u003d f ( เอ็กซ์) กำหนด กอ่าโอ้ วีก ปและส่วน [ ก, ค] แกนแอบซิสซาเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (รูปที่ 1)

มาเริ่มงานกัน: กำหนดพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง กเอ โอ เอ ป วี. ในการดำเนินการนี้ เราจึงแยกส่วน [ ก, ค] บน ปไม่จำเป็น ส่วนที่เท่ากันและแสดงจุดแบ่งดังนี้ ก=เอ็กซ์โอ < เอ็กซ์ 1 < เอ็กซ์ 2 ‹ … ‹ เอ็กซ์ ป = เข้า.

จากจุดแบ่งเราจะคืนค่าตั้งฉากกับจุดตัดด้วยเส้นโค้ง y \u003d f ( เอ็กซ์). ดังนั้นเราจึงได้แบ่งพื้นที่ทั้งหมดที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งออกเป็น ปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเบื้องต้น มาฟื้นฟูจาก จุดใดก็ได้แต่ละส่วน ∆ เอ็กซ์ ฉันกำหนดf(C ฉัน) จนกระทั่งตัดกับเส้นโค้ง y =f( เอ็กซ์). ต่อไป เราจะสร้างรูปขั้นบันไดซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐาน ∆ เอ็กซ์ ฉัน และความสูง ฉ(ค ฉัน). พื้นที่องค์ประกอบ ฉันไทยสี่เหลี่ยมจะเป็น S ฉัน =ฉ(ค ฉัน)(เอ็กซ์ ฉัน -เอ็กซ์ ฉัน -1 ), และพื้นที่ทั้งหมด S ปผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม:

ส ป=f(C โอ)( เอ็กซ์ 1 -เอ็กซ์ o) + ฉ (C 1) ( เอ็กซ์ 2 -เอ็กซ์ 1 ) + … +ฉ(ซ ป- 1)(เอ็กซ์ป -เอ็กซ์ ป- 1).

หากต้องการย่อบันทึกจำนวนเงินนี้ ให้ป้อนสัญลักษณ์
(ซิกมา) - เครื่องหมายหมายถึงผลรวมของปริมาณ แล้ว

ส ป =
.

เงินจำนวนนี้ S พีซึ่งเรียกว่าผลรวมอินทิกรัล อาจมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่ามูลค่าที่แท้จริงของพื้นที่ที่กำหนดก็ได้ ค่าที่ใกล้เคียงที่สุดกับมูลค่าที่แท้จริงของพื้นที่จะเป็นขีดจำกัดผลรวม โดยที่ส่วนเบื้องต้นจะถูกแบ่ง ( พี→
) และความยาวของ ส่วนใหญ่ ∆เอ็กซ์ สูงสุดจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เช่น:

ส=
(4)

เรียกว่าขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล (ถ้ามี) อินทิกรัลแน่นอนจากฟังก์ชัน f( เอ็กซ์) บนส่วน [ ก,วี] และแสดงว่า:
=
(5)

(อ่าน - “อินทิกรัลที่แน่นอนของ กก่อน วีเอฟ โอที x เด x”)

ตัวเลข กและ วีเรียกว่าขีดจำกัดล่างและบนของการอินทิเกรต ตามลำดับ f( เอ็กซ์) เป็นปริพันธ์; เอ็กซ์คือตัวแปรอินทิเกรต สามารถเขียนสูตร (4) และ (5) ได้ ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ผูกมัดสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งยึดตามช่วงเวลาการรวมเข้าด้วยกัน [ก,วี]:

ข้อเท็จจริงข้อนี้เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขต

พิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต.

1. อินทิกรัลจำกัดไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดตัวแปร เช่น:
=
.

2. อินทิกรัลจำกัดขอบเขตของผลรวมพีชคณิตเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของแต่ละเทอม:

= ฉ 1 ( เอ็กซ์) ง x + ฉ 2 ( เอ็กซ์) ง เอ็กซ์+ ….

แอปพลิเคชัน

บูรณาการออนไลน์เข้ากับไซต์เพื่อรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมโดยนักเรียนและเด็กนักเรียน และฝึกฝนทักษะการปฏิบัติของคุณ โซลูชันอินทิกรัลออนไลน์ที่สมบูรณ์สำหรับคุณในเวลาไม่นานจะช่วยให้คุณกำหนดขั้นตอนทั้งหมดของกระบวนการได้ ทุกครั้งที่คุณเริ่มแก้ไขอินทิกรัลออนไลน์คุณจะต้องระบุประเภทของมันโดยที่คุณไม่สามารถใช้วิธีการใด ๆ ได้ยกเว้น ตารางอินทิกรัล ไม่ใช่ว่าอินทิกรัลแบบตารางทุกอันจะมองเห็นได้ชัดเจน ตัวอย่างที่ให้มาบางครั้งคุณต้องแปลงฟังก์ชันดั้งเดิมเพื่อหาแอนติเดริเวทีฟ ในทางปฏิบัติ การแก้ปัญหาอินทิกรัลขึ้นอยู่กับการตีความปัญหาในการค้นหาต้นฉบับ นั่นคือ แอนติเดริเวทีฟจากตระกูลฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ถ้าให้ขีดจำกัดของอินทิเกรตแล้ว ตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ก็ยังมีเหลืออยู่ มีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้นที่ใช้การคำนวณ อินทิกรัลแบบออนไลน์คืออินทิกรัลไม่จำกัดแบบออนไลน์และอินทิกรัลแน่นอนแบบออนไลน์ อินทิกรัลของฟังก์ชันออนไลน์คือผลรวมของตัวเลขใดๆ ที่มีไว้สำหรับการรวมเข้าด้วยกัน ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลจำกัดเขตออนไลน์คือพื้นที่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแกน x ภายในปริพันธ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยอินทิกรัล ขอให้เราคำนวณอินทิกรัลเชิงซ้อนบนตัวแปรตัวเดียวและเชื่อมโยงคำตอบกับวิธีแก้ปัญหาต่อไป อย่างที่เขาว่ากัน คุณสามารถค้นหาอินทิกรัลของปริพันธ์ได้โดยตรง อินทิกรัลใดๆ ที่มีความแม่นยำสูงจะกำหนดพื้นที่ ล้อมรอบด้วยเส้นตัวเลข นี่เป็นหนึ่งในของเขา ความหมายทางเรขาคณิต. วิธีนี้ทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นสำหรับนักเรียน จริงๆ แล้วหลายขั้นตอนจะไม่ส่งผลกระทบมากนัก การวิเคราะห์เวกเตอร์. อินทิกรัลฟังก์ชันออนไลน์เป็นแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล การแก้อินทิกรัลไม่จำกัด ตามทฤษฎีบทหลักของการวิเคราะห์ การบูรณาการเป็นการดำเนินการที่ตรงกันข้ามกับการสร้างความแตกต่าง ซึ่งช่วยในการแก้ปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์. มีหลายอย่าง คำจำกัดความต่างๆการดำเนินการบูรณาการที่มีรายละเอียดทางเทคนิคแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม วิธีการเหล่านี้เข้ากันได้ทั้งหมด กล่าวคือ หากสามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันที่กำหนดได้ 2 วิธีใดๆ ก็ตาม จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน วิธีที่ง่ายที่สุดคืออินทิกรัลรีมันน์ - อินทิกรัลจำกัดจำนวนหรืออินทิกรัลไม่จำกัด โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งสามารถใช้เป็นพื้นที่ใต้กราฟได้ (ตัวเลขที่อยู่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแกน x) ปัญหาย่อยใดๆ ดังกล่าวสามารถให้เหตุผลได้ว่ามีความจำเป็นอย่างยิ่งในการคำนวณอินทิกรัลที่จุดเริ่มต้นของแนวทางที่สำคัญ อย่าลืมมัน! เมื่อพยายามค้นหาพื้นที่นี้ เราสามารถพิจารณาตัวเลขที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมแนวตั้งจำนวนหนึ่ง ซึ่งฐานซึ่งรวมกันเป็นส่วนการรวมและได้รับจากการแบ่งส่วนออกเป็นจำนวนส่วนเล็ก ๆ ที่สอดคล้องกัน การแก้อินทิกรัลออนไลน์ อินทิกรัลออนไลน์ - อินทิกรัลไม่ จำกัด ออนไลน์และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ การแก้อินทิกรัลออนไลน์: อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ เครื่องคิดเลขแก้อินทิกรัลพร้อมคำอธิบายการกระทำโดยละเอียดและฟรี! อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์สำหรับฟังก์ชันคือผลรวมของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะมีฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ (หรือกลุ่มของแอนติเดริเวทีฟ) อินทิกรัลจะกำหนดนิพจน์เท่านั้น ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่คุณกำหนดเมื่อเกิดความต้องการดังกล่าว เป็นการดีกว่าที่จะเข้าใกล้เรื่องนี้อย่างระมัดระวังและสัมผัสกับความพึงพอใจภายในจากงานที่ทำเสร็จแล้ว แต่ในการคำนวณอินทิกรัลในลักษณะที่แตกต่างจากแบบดั้งเดิม บางครั้งอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิด และไม่ควรแปลกใจกับสิ่งนี้ พอใจกับข้อเท็จจริงที่จะส่งผลดีต่อสิ่งที่เกิดขึ้น รายการอินทิกรัลจำกัดและอินทิกรัลไม่แน่นอนของอินทิกรัลพร้อมวิธีแก้ปัญหาแบบละเอียดทีละขั้นตอน อินทิกรัลทั้งหมดพร้อมโซลูชันแบบละเอียดทางออนไลน์ อินทิกรัลไม่แน่นอน การค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดทางออนไลน์เป็นงานที่พบบ่อยมาก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและคนอื่น ๆ ส่วนทางเทคนิควิทยาศาสตร์. วิธีการบูรณาการเบื้องต้น คำจำกัดความของอินทิกรัล อินทิกรัลที่แน่นอน และไม่จำกัด ตารางอินทิกรัล สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ และอีกครั้ง คุณสามารถค้นหาอินทิกรัลของคุณได้โดยใช้ตารางนิพจน์อินทิกรัล แต่คุณยังต้องมาถึงจุดนี้ เนื่องจากทุกอย่างไม่ง่ายอย่างที่คิดเมื่อมองแวบแรก คิดถึงอาคารที่สร้างเสร็จก่อนจะพบข้อผิดพลาด อินทิกรัลจำกัดและวิธีการคำนวณ อินทิกรัลจำกัดขอบเขตแบบออนไลน์พร้อมตัวแปร ขีด จำกัด บน. การแก้อินทิกรัลออนไลน์ ตัวอย่างใดๆ ที่จะช่วยคำนวณอินทิกรัลโดยใช้สูตรตารางจะเป็นแนวทางที่เป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนในทุกระดับของการฝึกอบรม ขั้นตอนที่สำคัญบนเส้นทางสู่คำตอบที่ถูกต้อง อินทิกรัลออนไลน์ ไม่ อินทิกรัลที่แน่นอนที่มีเอกซ์โปเนนเชียลและ ฟังก์ชันลอการิทึม. การแก้อินทิกรัลออนไลน์ - คุณจะได้รับ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับ ประเภทต่างๆปริพันธ์: ไม่แน่นอน, แน่นอน, ไม่เหมาะสม เครื่องคำนวณอินทิกรัลกำหนดจะคำนวณอินทิกรัลกำหนดออนไลน์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ใช้ การบูรณาการเชิงตัวเลข. อินทิกรัลของฟังก์ชันจะคล้ายคลึงกับผลรวมของลำดับ พูดอย่างไม่เป็นทางการ อินทิกรัลจำกัดคือพื้นที่ของส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน โซลูชันอินทิกรัลออนไลน์ อินทิกรัลออนไลน์ - อินทิกรัลไม่ จำกัด ออนไลน์และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ บ่อยครั้งที่อินทิกรัลดังกล่าวกำหนดว่าวัตถุจะหนักกว่าวัตถุที่มีความหนาแน่นเท่ากันมากน้อยเพียงใดเมื่อเปรียบเทียบกับวัตถุนั้น และไม่สำคัญว่ารูปร่างนั้นจะเป็นอย่างไร เนื่องจากพื้นผิวไม่ดูดซับน้ำ การแก้อินทิกรัลออนไลน์.. อินทิกรัลออนไลน์ - อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ และอินทิกรัลจำกัดออนไลน์ นักศึกษาระดับปริญญาตรีทุกคนรู้วิธีค้นหาอินทิกรัลออนไลน์ บนพื้นฐานของหลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ส่วนนี้ก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน แต่ไม่ใช่ในรายละเอียด แต่เป็นเพียงพื้นฐานของหัวข้อที่ซับซ้อนและสำคัญเท่านั้น ในกรณีส่วนใหญ่ นักเรียนจะเริ่มเรียนอินทิกรัลด้วยทฤษฎีที่ครอบคลุมซึ่งอยู่หน้าด้วย หัวข้อสำคัญเช่น การเปลี่ยนผ่านของอนุพันธ์และขีดจำกัด - ต่างก็เป็นขีดจำกัดเช่นกัน การแก้ปริพันธ์จะค่อยๆ เริ่มจากจุดมากที่สุด ตัวอย่างเบื้องต้นจาก ฟังก์ชั่นง่ายๆและจบลงด้วยการประยุกต์ใช้แนวทางและกฎเกณฑ์มากมายที่เสนอในศตวรรษที่ผ่านมาและก่อนหน้านี้มากด้วยซ้ำ แคลคูลัสอินทิกรัลเป็นการแนะนำในสถานศึกษาและโรงเรียน กล่าวคือ ในระดับมัธยมศึกษา สถาบันการศึกษา. ไซต์เว็บไซต์ของเราจะช่วยคุณเสมอและการแก้ไขอินทิกรัลออนไลน์จะกลายเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับคุณและที่สำคัญที่สุดคืองานที่เข้าใจได้ จากแหล่งข้อมูลนี้ คุณสามารถบรรลุความเป็นเลิศในเรื่องนี้ได้อย่างง่ายดาย ส่วนคณิตศาสตร์. ด้วยการเรียนรู้กฎที่คุณเรียนรู้ทีละขั้นตอน เช่น การบูรณาการทีละส่วนหรือการประยุกต์ใช้วิธี Chebyshev คุณสามารถตัดสินใจได้อย่างง่ายดาย จำนวนเงินสูงสุดคะแนนในการทดสอบใด ๆ แล้วเราจะยังคงคำนวณอินทิกรัลโดยใช้ตารางอินทิกรัลที่ทุกคนรู้จักได้อย่างไร แต่ด้วยวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้อง ถูกต้อง และมีคำตอบที่แม่นยำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จะเรียนรู้สิ่งนี้ได้อย่างไรและเป็นไปได้ไหมที่น้องใหม่ธรรมดาจะทำในเวลาที่สั้นที่สุด? เราตอบคำถามนี้ด้วยการยืนยัน - เป็นไปได้! ในกรณีนี้ คุณจะไม่เพียงแต่จะสามารถแก้ตัวอย่างใดๆ ได้เท่านั้น แต่ยังไปถึงระดับวิศวกรระดับสูงอีกด้วย ความลับนั้นง่ายเหมือนเคย - คุณต้องใช้ความพยายามอย่างเต็มที่ให้ จำนวนที่ต้องการเวลาในการฝึกฝนตนเอง น่าเสียดายที่ยังไม่มีใครคิดวิธีอื่นได้! แต่ไม่ใช่ทุกอย่างที่มีเมฆมากอย่างที่เห็นเมื่อมองแวบแรก หากคุณอ้างถึงบริการเว็บไซต์ของเราด้วยคำถามนี้ เราจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้น เนื่องจากไซต์ของเราสามารถคำนวณอินทิกรัลออนไลน์โดยละเอียดด้วยความเร็วสูงมากและมีคำตอบที่แม่นยำไร้ที่ติ ที่แกนกลาง อินทิกรัลไม่ได้กำหนดว่าอัตราส่วนของข้อโต้แย้งส่งผลต่อเสถียรภาพของระบบโดยรวมอย่างไร หากทุกสิ่งมีความสมดุล พร้อมกับวิธีการที่คุณจะได้เรียนรู้พื้นฐานของสิ่งนี้ หัวข้อคณิตศาสตร์เซอร์วิสสามารถค้นหาอินทิกรัลของปริพันธ์ใดๆ หากอินทิกรัลนี้สามารถแก้ไขได้ในฟังก์ชันพื้นฐาน มิฉะนั้น สำหรับอินทิกรัลที่ไม่รวมอยู่ในฟังก์ชันเบื้องต้น ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องค้นหาคำตอบในเชิงวิเคราะห์หรืออีกนัยหนึ่ง ในรูปแบบที่ชัดเจน การคำนวณปริพันธ์ทั้งหมดจะลดลงเหลือเพียงนิยามของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟของปริพันธ์ที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด ตามกฎของคณิตศาสตร์ออนไลน์ทั้งหมด จากนั้นหากจำเป็นให้แทนที่ค่าบนและล่างของอินทิกรัล หากไม่จำเป็นต้องกำหนดหรือคำนวณ ค่าตัวเลขอินทิกรัลไม่จำกัด จากนั้นค่าคงที่จะถูกบวกเข้ากับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟที่เป็นผลลัพธ์ จึงเป็นการกำหนดตระกูลของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ สถานที่พิเศษในสาขาวิทยาศาสตร์และโดยทั่วไปในสาขาวิศวกรรมใดๆ รวมถึงกลศาสตร์ต่อเนื่อง การบูรณาการจะอธิบายระบบกลไกทั้งหมด การเคลื่อนไหว และอื่นๆ อีกมากมาย ในหลายกรณี อินทิกรัลที่คอมไพล์แล้วจะเป็นตัวกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ นี้เป็นอย่างมาก เครื่องมือสำคัญในการเรียนรู้ วิทยาศาสตร์ประยุกต์. จากนี้ไม่มีใครสามารถพูดเกี่ยวกับการคำนวณขนาดใหญ่เพื่อกำหนดกฎแห่งการดำรงอยู่และพฤติกรรมได้ ระบบเครื่องกล. เครื่องคำนวณโซลูชันแบบครบวงจรออนไลน์บนเว็บไซต์เป็นเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับ วิศวกรมืออาชีพ. เรารับประกันสิ่งนี้กับคุณอย่างไม่น่าสงสัย แต่เราจะสามารถคำนวณอินทิกรัลของคุณได้หลังจากที่คุณป้อนนิพจน์ที่ถูกต้องลงในพื้นที่ของปริพันธ์แล้วเท่านั้น อย่ากลัวที่จะทำผิดพลาด เรื่องนี้ทุกอย่างแก้ไขได้! โดยปกติแล้วคำตอบของอินทิกรัลจะลดลงตามการใช้งาน ฟังก์ชั่นตารางจากหนังสือเรียนหรือสารานุกรมชื่อดัง เช่นเดียวกับอินทิกรัลไม่ จำกัด อื่นๆ จะมีการคำนวณตามสูตรมาตรฐานโดยไม่มีการวิพากษ์วิจารณ์อย่างคร่าวๆ นักเรียนชั้นปีแรกสามารถเข้าใจเนื้อหาที่เรียนได้ทันทีอย่างง่ายดายและเป็นธรรมชาติ และบางครั้งอาจใช้เวลาไม่เกินสองนาทีในการค้นหาอินทิกรัล และถ้านักเรียนได้เรียนรู้ตารางอินทิกรัลแล้ว โดยทั่วไปแล้ว เขาจะสามารถกำหนดคำตอบในใจได้ การขยายฟังก์ชันตามตัวแปรที่สัมพันธ์กับพื้นผิวตั้งแต่แรกหมายถึงสิ่งที่ถูกต้อง ทิศทางเวกเตอร์ณ จุดใดจุดหนึ่งบนอับซิสซา พฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้ของเส้นพื้นผิวจะใช้อินทิกรัลบางอย่างเป็นพื้นฐานในแหล่งการตอบสนอง ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์. ขอบด้านซ้ายของลูกบอลจะไม่สัมผัสกับกระบอกสูบที่วงกลมถูกจารึกไว้ หากคุณดูที่รอยตัดในระนาบ ผลรวมของพื้นที่เล็กๆ ที่แบ่งออกเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบชิ้นๆ หลายร้อยฟังก์ชันคืออินทิกรัลออนไลน์ของ ฟังก์ชันที่กำหนด. ความรู้สึกทางกลอินทิกรัลประกอบด้วยหลาย ๆ อย่าง งานที่ประยุกต์นี่คือการกำหนดปริมาตรของร่างกาย และการคำนวณมวลกาย ทริปเปิ้ลและ อินทิกรัลสองเท่ามีส่วนร่วมในการคำนวณเหล่านี้ เรายืนยันว่าการอินทิกรัลแบบออนไลน์สามารถแก้ไขได้ภายใต้การดูแลของครูผู้มีประสบการณ์และผ่านการตรวจสอบหลายครั้งเท่านั้น เรามักถูกถามเกี่ยวกับความก้าวหน้าของนักเรียนที่ไม่ได้เข้าร่วมการบรรยาย ข้ามไปโดยไม่มีเหตุผล พวกเขาจะจัดการค้นหาอินทิกรัลด้วยตนเองได้อย่างไร เราตอบว่านักเรียนเป็นคนอิสระและอาจได้รับการฝึกอบรมจากภายนอก เพื่อเตรียมตัวสอบหรือสอบในบ้านที่สะดวกสบาย ภายในเวลาไม่กี่วินาที บริการของเราจะช่วยใครก็ตามที่ต้องการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร ตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ในกรณีนี้ ค่าคงที่จากคำตอบของอินทิกรัลจะหายไป กฎนี้มีไว้สำหรับทุกคนอย่างแน่นอน เนื่องจากการดำเนินการแบบหลายทิศทางได้รับการพิสูจน์แล้ว อินทิกรัลไม่จำกัดจึงมักจะลดลงเหลือเพียงการแบ่งขอบเขตออกเป็นส่วนเล็กๆ อย่างไรก็ตาม นักเรียนและเด็กนักเรียนบางคนละเลยข้อกำหนดนี้ เช่นเคย เว็บไซต์บริการของเราสามารถแก้ไขได้โดยละเอียดเกี่ยวกับอินทิกรัลออนไลน์ และไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนคำขอ ทุกอย่างฟรีและทุกคนสามารถใช้ได้ มีเว็บไซต์จำนวนไม่มากที่ให้คำตอบทีละขั้นตอนในเวลาไม่กี่วินาทีและที่สำคัญที่สุดคือ ความแม่นยำสูงและใน แบบฟอร์มที่สะดวก. ใน ตัวอย่างสุดท้ายบนหน้าที่ห้า การบ้านพบสิ่งที่บ่งบอกถึงความจำเป็นในการคำนวณอินทิกรัลเป็นระยะ แต่เราไม่ควรลืมว่าจะหาอินทิกรัลโดยใช้บริการสำเร็จรูป ทดสอบตามเวลา และทดสอบกับตัวอย่างที่แก้ไขแล้วหลายพันรายการทางออนไลน์ได้อย่างไร การที่อินทิกรัลดังกล่าวกำหนดการเคลื่อนที่ของระบบนั้นค่อนข้างชัดเจนและชัดเจนโดยธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของของเหลวหนืด ซึ่งอธิบายโดยระบบสมการนี้

เราได้เห็นแล้วว่าอนุพันธ์มีการใช้งานมากมาย: อนุพันธ์คือความเร็วของการเคลื่อนที่ (หรือโดยทั่วไปคือความเร็วของกระบวนการใด ๆ ); อนุพันธ์คือ ความลาดชันสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน เมื่อใช้อนุพันธ์คุณสามารถตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วได้ อนุพันธ์ช่วยในการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสม

แต่ใน ชีวิตจริงต้องตัดสินใจและ ปัญหาผกผัน: ตัวอย่างเช่น นอกจากปัญหาในการหาความเร็วจากกฎการเคลื่อนที่ที่ทราบแล้ว ยังมีปัญหาในการคืนกฎการเคลื่อนที่จากความเร็วที่ทราบอีกด้วย ลองพิจารณาหนึ่งในปัญหาเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จุดวัสดุความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ เวลา t กำหนดโดยสูตร u = tg ค้นหากฎการเคลื่อนที่

สารละลาย.ให้ s = s(t) เป็นกฎการเคลื่อนที่ที่ต้องการ เป็นที่รู้กันว่า s"(t) = u"(t) ดังนั้นการจะแก้ปัญหาเราจึงต้องเลือก การทำงาน s = s(t) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ tg มันง่ายที่จะคาดเดาว่า

เราทราบทันทีว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง แต่ไม่สมบูรณ์ เราได้รับมาว่า ที่จริงแล้ว ปัญหานั้นมีทางแก้ไขมากมายอย่างไม่สิ้นสุด ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ตามของแบบฟอร์ม ค่าคงที่ตามอำเภอใจสามารถใช้เป็นกฎการเคลื่อนที่ได้เพราะว่า

เพื่อให้งานเจาะจงมากขึ้น เราต้องแก้ไขสถานการณ์เริ่มต้น โดยระบุพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ที่ t=0 ถ้าพูด s (0) \u003d s 0 จากนั้นจากความเท่าเทียมกันที่เราได้รับ s (0) \u003d 0 + C เช่น S 0 \u003d C ตอนนี้กฎการเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้โดยไม่ซ้ำกัน:
ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการกลับกันถูกกำหนดไว้ ชื่อที่แตกต่างกันให้ใช้สัญลักษณ์พิเศษ เช่น กำลังสอง (x 2) และการแยกข้อมูล รากที่สองไซน์ (sinx) และ อาร์คซีน(อาร์คซิน x) เป็นต้น กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่าอนุพันธ์ และการดำเนินการผกผัน กล่าวคือ กระบวนการค้นหาฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์ที่กำหนด - โดยการอินทิเกรต
คำว่า "อนุพันธ์" นั้นสามารถพิสูจน์ได้ "ในทางโลก": ฟังก์ชัน y - f (x) "นำเข้ามาสู่โลก" คุณลักษณะใหม่ y "= f" (x) ฟังก์ชัน y \u003d f (x) ทำหน้าที่เสมือนเป็น "ผู้ปกครอง" แต่แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์ไม่เรียกมันว่า "ผู้ปกครอง" หรือ "ผู้ผลิต" พวกเขาบอกว่านี่คือ สัมพันธ์กับฟังก์ชัน y"=f"(x) รูปภาพปฐมภูมิ หรือเรียกสั้นๆ ว่าแอนติเดริเวทีฟ

คำจำกัดความ 1.ฟังก์ชัน y \u003d F (x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (x) บนช่วงเวลาที่กำหนด X ถ้าสำหรับ x ทั้งหมดจาก X ความเท่าเทียมกัน F "(x) \u003d f (x) เป็นจริง .

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วช่วง X จะไม่ถูกระบุ แต่เป็นการบอกเป็นนัย (เป็นโดเมนธรรมชาติของฟังก์ชัน)

นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

1) ฟังก์ชัน y \u003d x 2 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d 2x เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (x 2) "\u003d 2x เป็นจริง
2) ฟังก์ชัน y - x 3 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y-3x 2 เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมดความเท่าเทียมกัน (x 3)" \u003d 3x 2 เป็นจริง
3) ฟังก์ชัน y-sinx เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y=cosx เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (sinx) "=cosx นั้นถูกต้อง
4) ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต้านอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลา เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด > 0 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง
โดยทั่วไปการทราบสูตรการหาอนุพันธ์แล้วการรวบรวมตารางสูตรการหาแอนติเดริเวทีฟไม่ใช่เรื่องยาก

เราหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีการรวบรวมตารางนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เขียนในคอลัมน์ที่สองจะเท่ากับฟังก์ชันที่เขียนในแถวที่สอดคล้องกันของคอลัมน์แรก (ลองดูสิ อย่าเพิ่งขี้เกียจ มันเป็น มีประโยชน์มาก). ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน y \u003d x 5 แอนติเดริเวทีฟตามที่คุณสร้างขึ้นคือฟังก์ชัน (ดูแถวที่สี่ของตาราง)

หมายเหตุ: 1. ด้านล่างนี้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) แล้วฟังก์ชัน y = f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และพวกมันทั้งหมดจะมีรูปแบบ y = F (x ) + C ดังนั้น การเพิ่มคำว่า C ทุกตำแหน่งในคอลัมน์ที่สองของตารางจะถูกต้องกว่า โดยที่ C เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้
2. เพื่อให้กระชับ บางครั้งแทนที่จะใช้วลี "ฟังก์ชัน y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x)" พวกเขาบอกว่า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f(x) ".

2. กฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

เมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟเช่นเดียวกับการค้นหาอนุพันธ์ ไม่เพียงแต่จะใช้สูตรเท่านั้น (แสดงอยู่ในตารางในหน้า 196) แต่ยังมีกฎบางประการด้วย เกี่ยวข้องโดยตรงกับกฎที่เกี่ยวข้องในการคำนวณอนุพันธ์

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 1แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ "ความเบา" ของถ้อยคำนี้ ในความเป็นจริง จำเป็นต้องกำหนดทฤษฎีบท: หากฟังก์ชัน y = f(x) และ y=g(x) มีแอนติเดริเวทีฟในช่วง X, y-F(x) และ y-G(x) ตามลำดับ จากนั้นผลรวม ของฟังก์ชัน y = f(x) + g(x) มีแอนติเดริเวทีฟในช่วง X และแอนติเดริเวทีฟนี้คือฟังก์ชัน y = F(x) + G(x) แต่โดยปกติแล้ว เมื่อกำหนดกฎเกณฑ์ (ไม่ใช่ทฤษฎีบท) จะมีเหลือเพียงกฎเดียวเท่านั้น คำหลัก- ดังนั้นจึงสะดวกกว่าในการนำกฎไปใช้ในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 2x + cos x

สารละลาย.แอนติเดริเวทีฟสำหรับ 2x คือ x "; แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cosx คือ sin x ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d 2x + cos x จะเป็นฟังก์ชัน y \u003d x 2 + sin x (และโดยทั่วไปฟังก์ชันใด ๆ ของ รูปแบบ Y \u003d x 1 + sinx + C) .
เรารู้ว่าตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายต้านอนุพันธ์ได้

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย.ก) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ sin x คือ -cos x; ดังนั้นสำหรับฟังก์ชัน y \u003d 5 sin x แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน y \u003d -5 cos x

b) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cos x คือ sin x; ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟก็จะมีฟังก์ชัน
c) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ x 3 คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ x คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d 1 คือฟังก์ชัน y \u003d x เมื่อใช้กฎข้อแรกและข้อที่สองในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราจะได้แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d 12x 3 + 8x-1 คือฟังก์ชัน
ความคิดเห็นดังที่คุณทราบ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ไม่เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ (กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์นั้นซับซ้อนกว่า) และอนุพันธ์ของผลหารไม่เท่ากับผลหารของอนุพันธ์ ดังนั้นจึงไม่มีกฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือแอนติเดริเวทีฟของผลหารของสองฟังก์ชัน ระวัง!
เราได้รับกฎอีกข้อหนึ่งสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (kx + m) คำนวณโดยสูตร

กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ
กฎข้อที่ 3ถ้า y \u003d F (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (x) ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (kx + m) คือฟังก์ชัน

อย่างแท้จริง,

ซึ่งหมายความว่ามันเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (kx + m)
ความหมายของกฎข้อที่สามมีดังนี้ หากคุณรู้ว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (x) คือฟังก์ชัน y \u003d F (x) และคุณจำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y \u003d f (kx + m) จากนั้นให้ดำเนินการดังนี้ ดังนี้: ใช้ฟังก์ชัน F เดียวกัน แต่แทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ x ให้แทนที่นิพจน์ xx+m นอกจากนี้อย่าลืมเขียน "ตัวประกอบการแก้ไข" หน้าเครื่องหมายของฟังก์ชันด้วย
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด:

สารละลาย, ก) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ sin x คือ -cos x; นี่หมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y \u003d sin2x แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน
b) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cos x คือ sin x; ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟก็จะมีฟังก์ชัน

c) ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ x 7 คือสำหรับฟังก์ชัน y \u003d (4-5x) 7 แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน

3. อินทิกรัลไม่ จำกัด

เราได้สังเกตไปแล้วข้างต้นว่าปัญหาในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด y = f(x) มีวิธีแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งวิธี เรามาหารือเกี่ยวกับปัญหานี้โดยละเอียด

การพิสูจน์. 1. ให้ y \u003d F (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (x) ในช่วงเวลา X ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมดจาก X ความเท่าเทียมกัน x "(x) \u003d f (x) คือ จริง ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ ในรูปแบบ y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x)

ดังนั้น (F(x)+C) = f(x) ซึ่งหมายความว่า y \u003d F (x) + C เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y \u003d f (x)
ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ว่าหากฟังก์ชัน y \u003d f (x) มีแอนติเดริเวทีฟ y \u003d F (x) ดังนั้นฟังก์ชัน (f \u003d f (x) ก็มีแอนติเดริเวทีฟจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันใด ๆ ของ รูปแบบ y \u003d F (x) +C เป็นแอนติเดริเวทีฟ
2. เรามาพิสูจน์กัน ประเภทที่ระบุฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งชุดจะหมดลง

กำหนดให้ y=F 1 (x) และ y=F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสองตัวสำหรับฟังก์ชัน Y = f(x) บนช่วง X ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วง X ความสัมพันธ์ต่อไปนี้คงอยู่: F^( x) = ฉ (X); ฉ "(x) \u003d ฉ (x)

พิจารณาฟังก์ชัน y \u003d F 1 (x) -.F (x) และค้นหาอนุพันธ์: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - ฉ(x) = 0.
เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วง X เท่ากับศูนย์เท่ากัน ฟังก์ชันนั้นจะคงที่ในช่วง X (ดูทฤษฎีบท 3 ใน § 35) ดังนั้น F 1 (x) -F (x) \u003d C คือ Fx) \u003d F (x) + C

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 5มีการตั้งค่ากฎการเปลี่ยนแปลงความเร็วจากเวลา v = -5sin2t ค้นหากฎการเคลื่อนที่ s = s(t) หากทราบว่า ณ เวลานั้น t=0 พิกัดของจุดนั้นเท่ากับเลข 1.5 (เช่น s(t) = 1.5)

สารละลาย.เนื่องจากความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดที่เป็นฟังก์ชันของเวลา ก่อนอื่นเราต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของความเร็วก่อน เช่น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน v = -5sin2t แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งคือฟังก์ชัน และเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะมีรูปแบบดังนี้

ในการค้นหาค่าเฉพาะของค่าคงที่ C เราใช้ เงื่อนไขเริ่มต้นโดยที่ s(0) = 1.5 แทนที่ค่าในสูตร (1) t=0, S = 1.5 เราได้รับ:

แทนที่ค่า C ที่พบเป็นสูตร (1) เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ที่น่าสนใจสำหรับเรา:

คำจำกัดความ 2ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีแอนติเดริเวทีฟ y = F(x) บนช่วง X แล้วเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด กล่าวคือ ชุดฟังก์ชันของรูปแบบ y \u003d F (x) + C เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) และแสดงว่า:

(อ่านว่า: “ef อินทิกรัลไม่จำกัดของ x de x”)
ในส่วนถัดไปเราจะมาดูกันว่าคืออะไร ความหมายที่ซ่อนอยู่การกำหนดที่ระบุ
จากตารางแอนติเดริเวทีฟที่มีอยู่ในย่อหน้านี้ เราจะรวบรวมตารางอินทิกรัลไม่จำกัดพื้นฐาน:

ตามกฎสามข้อข้างต้นในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราสามารถกำหนดกฎการรวมที่สอดคล้องกันได้

กฎข้อที่ 1อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชัน เท่ากับผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:

กฎข้อที่ 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

กฎข้อที่ 3ถ้า

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด :

สารละลาย, a) เราได้รับ: โดยใช้กฎการรวมตัวแรกและตัวที่สอง:

ตอนนี้เราใช้สูตรการรวมที่ 3 และ 4:

เป็นผลให้เราได้รับ:

b) เมื่อใช้กฎการรวมที่สามและสูตร 8 เราได้รับ:

c) สำหรับการหาอินทิกรัลที่กำหนดโดยตรง เราไม่มีสูตรที่ตรงกันหรือกฎที่ตรงกัน ในกรณีเช่นนี้ บางครั้งมีการดำเนินการล่วงหน้า การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

มาใช้กันเถอะ สูตรตรีโกณมิติดาวน์เกรด:

จากนั้นเราจะพบ:

เอ.จี. พีชคณิต Mordkovich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในคณิตศาสตร์ออนไลน์ คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

บทเรียนนี้เป็นบทเรียนแรกในชุดวิดีโอเกี่ยวกับการบูรณาการ ในนั้นเราจะเข้าใจว่ามันคืออะไร แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันและเราจะศึกษาวิธีการเบื้องต้นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ด้วย

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่: โดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างขึ้นอยู่กับแนวคิดของอนุพันธ์ซึ่งคุณควรคุ้นเคยอยู่แล้ว :)

ฉันทราบทันทีว่าเนื่องจากนี่เป็นบทเรียนแรกสุดของเรา หัวข้อใหม่วันนี้จะไม่มีการคำนวณและสูตรที่ซับซ้อน แต่สิ่งที่เราจะศึกษาในวันนี้จะเป็นพื้นฐานของการคำนวณและโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อทำการคำนวณ อินทิกรัลที่ซับซ้อนและสี่เหลี่ยม

นอกจากนี้ เมื่อเริ่มศึกษาการอินทิเกรตและอินทิกรัลโดยเฉพาะ เราจะถือว่านักเรียนมีความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เป็นอย่างน้อยแล้ว และมีทักษะเบื้องต้นในการคำนวณเป็นอย่างน้อย หากไม่มีความเข้าใจที่ชัดเจนในเรื่องนี้ ก็ไม่ต้องทำอะไรเลยในการบูรณาการ

อย่างไรก็ตามนี่คือหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยและร้ายกาจที่สุด ความจริงก็คือ เมื่อเริ่มคำนวณแอนติเดริเวทีฟตัวแรก นักเรียนหลายคนสับสนกับอนุพันธ์ ส่งผลให้ในการสอบและ งานอิสระมีการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจ

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของแอนติเดริเวทีฟ และในทางกลับกัน ฉันขอแนะนำให้คุณดูว่าจะพิจารณาอย่างไรจากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมง่ายๆ

ดั้งเดิมคืออะไรและพิจารณาอย่างไร

เรารู้สูตรนี้:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

อนุพันธ์นี้ถือเป็นระดับประถมศึกษา:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

ลองดูที่นิพจน์ผลลัพธ์อย่างใกล้ชิดและแสดง $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

แต่เราก็เขียนมันแบบนี้ได้เช่นกัน ตามนิยามของอนุพันธ์:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

ทีนี้สนใจ: สิ่งที่เราเพิ่งเขียนลงไปคือนิยามของแอนติเดริเวทีฟ แต่เพื่อที่จะเขียนให้ถูกต้องคุณต้องเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ลองเขียนนิพจน์ต่อไปนี้ในลักษณะเดียวกัน:

หากเราสรุปกฎนี้ เราจะได้สูตรต่อไปนี้:

\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ตอนนี้เราสามารถกำหนดคำจำกัดความที่ชัดเจนได้แล้ว

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม

คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ

ดูเหมือนว่าจะค่อนข้างง่ายและ ความหมายที่ชัดเจน. อย่างไรก็ตาม เมื่อได้ยินเช่นนั้น นักเรียนที่เอาใจใส่จะมีคำถามหลายข้อทันที:

สมมุติว่าสูตรนี้ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เมื่อ $n=1$ เราประสบปัญหา: “ศูนย์” ปรากฏในตัวส่วน และเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วย “ศูนย์”
สูตรนี้จำกัดเฉพาะพลังเท่านั้น วิธีคำนวณแอนติเดริเวทีฟ เช่น ไซน์ โคไซน์ และตรีโกณมิติอื่นๆ รวมถึงค่าคงที่
คำถามอัตถิภาวนิยม: เป็นไปได้ไหมที่จะหาแอนติเดริเวทีฟเลย? ถ้าเป็นเช่นนั้น แล้วผลรวมแอนติเดริเวทีฟ ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ ฯลฯ ล่ะ?

ฉันจะตอบคำถามสุดท้ายทันที น่าเสียดายที่แอนติเดริเวทีฟไม่เหมือนกับอนุพันธ์เสมอไป ไม่มีสูตรสากลดังกล่าวตามที่จากการก่อสร้างเริ่มแรกเราจะได้รับฟังก์ชันที่จะเท่ากับการก่อสร้างที่คล้ายกันนี้ สำหรับพลังและค่าคงที่ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลัง

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

อย่างที่เราเห็น สูตรที่กำหนด for $((x)^(-1))$ ไม่ทำงาน คำถามเกิดขึ้น: แล้วอะไรล่ะที่ได้ผล? เรานับ $((x)^(-1))$ ไม่ได้เหรอ? แน่นอนเราทำได้ เริ่มต้นด้วยสิ่งนี้:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ทีนี้ ลองคิดดู: อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับ $\frac(1)(x)$ แน่นอนว่า นักเรียนคนใดก็ตามที่มีส่วนร่วมในหัวข้อนี้มาบ้างเล็กน้อยจะจำได้ว่านิพจน์นี้เท่ากับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสิ่งต่อไปนี้ได้อย่างมั่นใจ:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

ต้องรู้สูตรนี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

ดังนั้นสิ่งที่เรารู้จนถึงตอนนี้:

สำหรับฟังก์ชันยกกำลัง — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
สำหรับค่าคงที่ - $=const\to \cdot x$
กรณีพิเศษของฟังก์ชันยกกำลัง - $\frac(1)(x)\to \ln x$

และถ้าเราเริ่มคูณและหารฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด แล้วจะคำนวณแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือผลหารได้อย่างไร น่าเสียดายที่การเปรียบเทียบกับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์หรือผลหารใช้ไม่ได้ผลที่นี่ ใดๆ สูตรมาตรฐานไม่ได้อยู่. ในบางกรณี อาจมีสูตรพิเศษที่ยุ่งยาก เราจะมาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้ในวิดีโอบทช่วยสอนในอนาคต

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่า: สูตรทั่วไปไม่มีสูตรที่คล้ายกันในการคำนวณอนุพันธ์ของผลหารและผลิตภัณฑ์

การแก้ปัญหาที่แท้จริง

งาน #1

เอาละครับ ฟังก์ชั่นพลังงานนับแยกกัน:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

กลับไปที่การแสดงออกของเรา เราเขียนโครงสร้างทั่วไป:

งาน #2

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว งานดั้งเดิม และ "ช่องว่าง" ส่วนตัวไม่ได้รับการพิจารณา อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ที่นี่:

เราได้แยกเศษส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน

มาคำนวณกัน:

ข่าวดีก็คือเมื่อคุณรู้สูตรในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟแล้ว คุณก็จะสามารถคำนวณโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นได้แล้ว อย่างไรก็ตาม เรามาขยายความรู้ของเราอีกสักหน่อยดีกว่า ความจริงก็คือ โครงสร้างและสำนวนจำนวนมากที่เมื่อมองแวบแรกไม่เกี่ยวข้องกับ $((x)^(n))$ สามารถแสดงเป็นกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลคือ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

เทคนิคทั้งหมดนี้สามารถและควรนำมารวมกัน การแสดงออกถึงพลังสามารถ

ทวีคูณ (เพิ่มพลัง);
หาร (ลบองศา);
คูณด้วยค่าคงที่
ฯลฯ

การแก้นิพจน์ด้วยดีกรีด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

ตัวอย่าง #1

เรามานับแต่ละรูตแยกกัน:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

โดยรวมแล้วการก่อสร้างทั้งหมดของเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่าง #2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ดังนั้นเราจึงจะได้:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

โดยรวมแล้วเมื่อรวบรวมทุกอย่างไว้ในนิพจน์เดียวเราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่าง #3

ก่อนอื่น โปรดทราบว่าเราได้คำนวณ $\sqrt(x)$ แล้ว:

\[\sqrt(x)\ถึง \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

มาเขียนใหม่:

ฉันหวังว่าฉันจะไม่ทำให้ใครแปลกใจถ้าฉันบอกว่าสิ่งที่เราเพิ่งศึกษาไปนั้นเป็นเพียงการคำนวณแอนติเดริเวทีฟที่ง่ายที่สุด ซึ่งเป็นโครงสร้างเบื้องต้นที่สุด ตอนนี้เรามาดูกันอีกสักหน่อย ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งนอกเหนือจากแอนติเดริเวทีฟแบบตารางแล้ว ยังจำเป็นต้องเรียกคืนอีกด้วย หลักสูตรของโรงเรียนกล่าวคือสูตรคูณแบบลดรูป

การแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

งาน #1

จำสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

มาเขียนฟังก์ชันของเราใหม่:

ตอนนี้เราต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดังกล่าว:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

เรารวบรวมทุกอย่างไว้ในรูปแบบเดียวกัน:

งาน #2

ในกรณีนี้ เราต้องเปิดลูกบาศก์ส่วนต่าง จำไว้ว่า:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ข)^(3))\]

เมื่อพิจารณาข้อเท็จจริงนี้แล้ว จึงอาจเขียนได้ดังนี้

มาปรับเปลี่ยนฟังก์ชั่นของเรากันสักหน่อย:

เราพิจารณาแยกแต่ละเทอมเช่นเคย:

\[((x)^(-3))\ถึง \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ถึง \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

มาเขียนผลลัพธ์การก่อสร้าง:

งาน #3

ด้านบนเรามีกำลังสองของผลรวม มาเปิดกัน:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายกัน:

และตอนนี้ให้ความสนใจ! มาก สิ่งสำคัญซึ่งมีข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดมากมายที่เกี่ยวข้องกัน ความจริงก็คือจนถึงขณะนี้การนับแอนติเดริเวทีฟด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ทำให้เกิดการแปลงเราไม่ได้คิดว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่จะเท่ากับอะไร แต่อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับ "ศูนย์" และนั่นหมายความว่าคุณสามารถเขียนตัวเลือกต่อไปนี้ได้:

$((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+C$

นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องเข้าใจ: หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากันเสมอ ฟังก์ชันเดียวกันนั้นก็จะมีแอนติเดริเวทีฟเป็นจำนวนอนันต์ เราสามารถบวกจำนวนคงที่ใดๆ เข้ากับค่าดั้งเดิมของเราแล้วหาค่าใหม่ได้

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการอธิบายงานที่เราเพิ่งแก้ไขมีเขียนว่า "เขียนลงไป" แบบฟอร์มทั่วไปดั้งเดิม” เหล่านั้น. สันนิษฐานล่วงหน้าแล้วว่าไม่มีใคร แต่มีจำนวนมากทั้งหมด แต่ในความเป็นจริงแล้ว พวกมันต่างกันเพียงค่าคงที่ $C$ ในตอนท้ายเท่านั้น ดังนั้นในงานของเราเราจะแก้ไขสิ่งที่เรายังทำไม่เสร็จ

เราเขียนโครงสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:

ในกรณีเช่นนี้ ควรเพิ่มว่า $C$ เป็นค่าคงที่ — $C=const$

ในฟังก์ชันที่สองของเรา เราจะได้โครงสร้างดังต่อไปนี้:

และอันสุดท้าย:

และตอนนี้เราได้สิ่งที่จำเป็นจริงๆ ในสภาพเริ่มต้นของปัญหา

การแก้ปัญหาการหาแอนติเดริเวทีฟด้วยจุดที่กำหนด

ตอนนี้เรารู้เกี่ยวกับค่าคงที่และลักษณะเฉพาะของการเขียนแอนติเดริเวทีฟแล้วปัญหาประเภทต่อไปนี้ค่อนข้างเกิดขึ้นอย่างมีเหตุผลเมื่อจากชุดของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจำเป็นต้องค้นหาสิ่งเดียวเท่านั้นที่จะผ่านไป จุดที่กำหนด. งานนี้คืออะไร?

ความจริงก็คือว่าแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนดจะแตกต่างกันเพียงตรงที่พวกมันถูกเลื่อนในแนวตั้งด้วยจำนวนหนึ่งเท่านั้น และนี่หมายความว่าไม่ว่าจุดไหนก็ตาม ประสานงานเครื่องบินเราไม่รับมัน ดั้งเดิมหนึ่งอันจะผ่านไปแน่นอน และยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงอันเดียวเท่านั้น

ดังนั้นงานที่เราจะแก้ไขตอนนี้มีสูตรดังนี้: การค้นหาแอนติเดริเวทีฟไม่ใช่เรื่องง่ายโดยรู้สูตรของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่ต้องเลือกหนึ่งในนั้นที่ผ่านจุดที่กำหนดพิกัดที่จะ ให้อยู่ในสภาพของปัญหา

ตัวอย่าง #1

ขั้นแรก เรามาคำนวณแต่ละเทอมกันก่อน:

\[((x)^(4))\ถึง \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ถึง \frac(((x)^(4)))(4)\]

ตอนนี้เราแทนที่สำนวนเหล่านี้ในโครงสร้างของเรา:

ฟังก์ชันนี้จะต้องผ่านจุด $M\left(-1;4 \right)$ มันหมายความว่าอะไรที่จะผ่านจุด? ซึ่งหมายความว่าถ้าเราใส่ $-1$ ทุกที่แทน $x$ และแทนที่จะใส่ $F\left(x \right)$ - $-4$ เราก็ควรจะได้ค่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ลงมือทำกันเถอะ:

เราเห็นว่าเรามีสมการสำหรับ $C$ ดังนั้นลองแก้มันกัน:

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหากัน:

ตัวอย่าง #2

ก่อนอื่น จำเป็นต้องเปิดกำลังสองของความแตกต่างโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

โครงสร้างเดิมจะเขียนดังนี้:

ทีนี้ลองหา $C$: แทนที่พิกัดของจุด $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

เราแสดง $C$:

ยังคงแสดงนิพจน์สุดท้าย:

การแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

เช่น คอร์ดสุดท้ายนอกจากสิ่งที่เราเพิ่งวิเคราะห์ไปแล้ว ผมเสนอให้พิจารณาอีกสองข้อด้วย งานที่ท้าทายประกอบด้วยตรีโกณมิติ ในทำนองเดียวกันคุณจะต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดจากนั้นเลือกจากชุดนี้เพียงอันเดียวที่ผ่านจุด $M$ บนระนาบพิกัด

มองไปข้างหน้า ผมขอสังเกตว่าเทคนิคที่เราจะใช้หาแอนติเดริเวทีฟตอนนี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอันที่จริงก็คือ การต้อนรับแบบสากลเพื่อทดสอบตัวเอง

งาน #1

จำสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

จากนี้เราสามารถเขียนได้:

ลองแทนที่พิกัดของจุด $M$ ในนิพจน์ของเรา:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

งาน #2

ที่นี่มันจะยากขึ้นอีกหน่อย ตอนนี้คุณจะเห็นว่าทำไม

จำสูตรนี้ไว้:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

หากต้องการกำจัด "ลบ" คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

นี่คือการออกแบบของเรา

แทนพิกัดของจุด $M$:

มาเขียนการก่อสร้างขั้นสุดท้าย:

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้ เราได้ศึกษาคำว่าแอนติเดริเวทีฟแล้ว วิธีการนับพวกมัน ฟังก์ชันเบื้องต้นตลอดจนวิธีค้นหาแอนติเดริเวทีฟที่ผ่านจุดเฉพาะบนระนาบพิกัด

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสิ่งนี้ได้เล็กน้อย หัวข้อที่ยาก. ไม่ว่าในกรณีใด มันขึ้นอยู่กับแอนติเดริเวทีฟที่สร้างอินทิกรัลไม่ จำกัด และอินทิกรัลไม่ จำกัด ดังนั้นจึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องพิจารณาพวกมัน นั่นคือทั้งหมดสำหรับฉัน แล้วพบกันใหม่!