Platonic solids 7 หน้า Platonic Solids

บทนำ

ของแข็งของเพลโต

ดาวน์โหลด:

คำบรรยายสไลด์:

สาหร่าย Volvox - หนึ่งในสิ่งมีชีวิตหลายเซลล์ที่ง่ายที่สุด - เป็นเปลือกทรงกลมที่ประกอบด้วยเซลล์หกเหลี่ยม หกเหลี่ยม และห้าเหลี่ยมเป็นส่วนใหญ่ (กล่าวคือ เซลล์ที่มีเซลล์ใกล้เคียงเจ็ด หก หรือห้าเซลล์ สามเซลล์มาบรรจบกันที่

เพลโต I: โครงสร้างจากสมมาตร - ของแข็งสงบ

แสดงตัวอย่าง:

รหัสดาวินชีคืออะไร?

Platonic Solids

อาร์คิมีดีนของแข็ง

ความลึกลับของปฏิทินอียิปต์

Quasicrystals โดย Dan Shechtman

กระเบื้องเพนโรส

ฟุลเลอรีน

โลกศิลปะของ Matiushka Teija Kraszek ศิลปินชาวสโลวีเนีย

รูปหลายเหลี่ยมปกติ

Platonic Solids

Suvorov Mikhail นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

งานนี้อุทิศให้กับคำอธิบายมุมมองของเพลโตนักปรัชญากรีกโบราณเกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาลผ่านการใช้ รูปหลายเหลี่ยมปกติเช่น จัตุรมุข แปดหน้า เฮกซะฮีดรอน (ลูกบาศก์) สิบสองเหลี่ยม และ icosahedron ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ของแข็งเหล่านี้เรียกว่า Platonic solids

ผลงานยังสะท้อนคำถามว่า Platonic solids ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่อย่างไร

หากต้องการใช้การแสดงตัวอย่างงานนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google (บัญชี) และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com

งานวิจัยเกี่ยวกับเรขาคณิต. หัวข้อ: "Platonic solids" เตรียมงานนำเสนอ: Suvorovite Suvorov Mikhail ครูคณิตศาสตร์ Kharkova Marina Valerievna

เพลโต (427-347 ปีก่อนคริสตกาล) - นักปรัชญากรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ลูกศิษย์ของโสกราตีสผู้ก่อตั้ง Academy ข้อดีหลักของเพลโตในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์คือเขาตระหนักดีว่าความรู้คณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทุกคน ผู้มีการศึกษา. การมีส่วนร่วมของเพลโตในวิชาคณิตศาสตร์นั้นไม่มีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตาม แนวคิดของเขาเกี่ยวกับโครงสร้างและวิธีการทางคณิตศาสตร์นั้นมีค่าอย่างยิ่ง เขาแนะนำประเพณีของการให้คำจำกัดความที่ไร้ที่ติและกำหนดว่าประพจน์ใดในการพิจารณาทางคณิตศาสตร์ที่สามารถยอมรับได้โดยไม่ต้องพิสูจน์ เพลโตเป็นคนแรกที่ยืนยันวิธีการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง ซึ่งปัจจุบันใช้กันอย่างแพร่หลายในเรขาคณิต ในโรงเรียนของเพลโต ความสนใจเป็นพิเศษทุ่มเทให้กับการแก้ปัญหาอาคาร ด้วยเหตุนี้จึงเกิดแนวคิดของจุดที่ตั้งขึ้นและมีการพัฒนาวิธีการในการแก้ปัญหาการก่อสร้าง รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนูน - จัตุรมุข, แปดหน้า, หกเหลี่ยม (ลูกบาศก์), สิบสองเหลี่ยมและ icosahedron - โดยทั่วไปเรียกว่า Platonic solids

คำนิยาม: ร่างกายของ PLATON - จากภาษากรีก พลาตัน 427-347 พ.ศ. - ชุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด [คือร่างกายปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากัน] ของโลกสามมิติ ซึ่งอธิบายครั้งแรกโดยเพลโต

รูปหลายเหลี่ยมปกติเรียกว่า: รูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงที่ด้านเท่ากันและมุมภายในเท่ากัน อะนาล็อกของรูปหลายเหลี่ยมปกติในปริภูมิสามมิติคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ: รูปอวกาศที่มีใบหน้าเหมือนกันในรูปของรูปหลายเหลี่ยมปกติและมุมหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันที่จุดยอด มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติเพียงห้าแบบ: จัตุรมุขปกติ, ลูกบาศก์, แปดหน้า, สิบสองหน้า, และ icosahedron

ประวัติความเป็นมาของการสร้าง Platonic solids รูปทรงหลายเหลี่ยมสี่หน้าเป็นตัวเป็นตนในสี่สาระสำคัญหรือ "องค์ประกอบ" จัตุรมุขเป็นสัญลักษณ์ของไฟเนื่องจากยอดชี้ขึ้น Icosahedron - น้ำเนื่องจากเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ "คล่องตัว" ที่สุด ลูกบาศก์ - โลกเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ "เสถียร" ที่สุด Octahedron - อากาศเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ "โปร่งสบาย" ที่สุด รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ห้า Dodecahedron เป็นตัวเป็นตน "ทุกสิ่งที่มีอยู่"

Tetrahedron ชาวกรีกโบราณตั้งชื่อ polyhedron ตามจำนวนหน้า "Tetra" หมายถึงสี่ "khedra" - หมายถึงใบหน้า (tetrahedron - tetrahedron) รูปทรงหลายเหลี่ยมหมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและเป็นหนึ่งในห้าของแข็งแบบสงบ จัตุรมุขมีลักษณะดังต่อไปนี้ ประเภทใบหน้า - สามเหลี่ยมปกติ จำนวนด้านที่ขอบคือ 3 จำนวนใบหน้าทั้งหมดคือ 4; จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอดคือ 3 จำนวนจุดทั้งหมดคือ 4; จำนวนขอบทั้งหมดคือ 6; จัตุรมุขปกติประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป จุดยอดแต่ละจุดเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมสามรูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180° จัตุรมุขไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร แต่มีสมมาตร 3 แกนและระนาบสมมาตร 6 ระนาบ

Hexahedron (ชื่อสามัญมากกว่า - ลูกบาศก์) ชาวกรีกโบราณตั้งชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมสำหรับจำนวนใบหน้า "Hexo" หมายถึงหก "khedra" - หมายถึงใบหน้า (Hexahedron - a hexahedron) รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและเป็นหนึ่งในห้าของของแข็งสงบ รูปหกเหลี่ยมมีลักษณะดังต่อไปนี้: จำนวนด้านที่ใบหน้าคือ 4; จำนวนใบหน้าทั้งหมดคือ 6; จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอดคือ 3 จำนวนจุดทั้งหมดคือ 8; จำนวนขอบทั้งหมดคือ 12; รูปหกเหลี่ยมประกอบด้วยหกสี่เหลี่ยม จุดยอดของลูกบาศก์แต่ละจุดคือจุดยอดของกำลังสองสามช่อง ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 270° รูปหกเหลี่ยมไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร แต่มีสมมาตร 3 แกนและระนาบสมมาตร 6 ระนาบ

Icosahedron ชาวกรีกโบราณตั้งชื่อ polyhedron ตามจำนวนหน้า "Ikosi" หมายถึงยี่สิบ "Khedra" - หมายถึงใบหน้า (Icosahedron - ยี่สิบหน้า) รูปทรงหลายหน้าเป็นของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและเป็นหนึ่งในห้าของแข็งพลาโทนิก icosahedron มีลักษณะดังต่อไปนี้: ประเภทใบหน้า - สามเหลี่ยมปกติ; จำนวนด้านที่ขอบคือ 3 จำนวนใบหน้าทั้งหมดคือ 20; จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอดคือ 5 จำนวนจุดทั้งหมดคือ 12; จำนวนขอบทั้งหมดคือ 30 icosahedron ปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายี่สิบรูป แต่ละจุดยอดของ icosahedron เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมห้ารูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 270° icosahedron มีศูนย์กลางของสมมาตร - ศูนย์กลางของ icosahedron, แกนสมมาตร 15 แกนและระนาบสมมาตร 15 ระนาบ

Octahedron ชาวกรีกโบราณตั้งชื่อ polyhedron ตามจำนวนหน้า “Octo” หมายถึงแปด “เคดรา” หมายถึงหน้า (octahedron - octahedron) รูปทรงหลายหน้าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและเป็นหนึ่งในห้าของของแข็ง Platonic รูปแปดด้านมีลักษณะดังต่อไปนี้: ประเภทใบหน้า - สามเหลี่ยมปกติ; จำนวนด้านที่ขอบคือ 3 จำนวนใบหน้าทั้งหมดคือ 8; จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอดคือ 4 จำนวนจุดทั้งหมดคือ 6; จำนวนขอบทั้งหมดคือ 12; รูปแปดด้านปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป จุดยอดของรูปแปดด้านแต่ละจุดเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมสี่รูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 240° รูปแปดด้านมีจุดศูนย์กลางของสมมาตร - ศูนย์กลางของรูปแปดด้าน, แกนสมมาตร 9 แกนและระนาบสมมาตร 9 ระนาบ

Dodecahedron ชาวกรีกโบราณตั้งชื่อรูปทรงหลายหน้าตามจำนวนหน้า "โดเดคา" แปลว่า สิบสอง "เคดรา" แปลว่า ใบหน้า (dodecahedron - dodecahedron) รูปทรงหลายหน้าเป็นของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและเป็นหนึ่งในห้าของแข็งพลาโทนิก รูปทรงสิบสองเหลี่ยมมีลักษณะดังต่อไปนี้: ใบหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ; จำนวนด้านที่ขอบคือ 5 จำนวนใบหน้าทั้งหมดคือ 12; จำนวนขอบที่อยู่ติดกับจุดยอดคือ 3 จำนวนจุดทั้งหมดคือ 20; จำนวนขอบทั้งหมดคือ 30 สิบสองเหลี่ยมปกติประกอบด้วยสิบสองเหลี่ยมปกติ จุดยอดของ dodecahedron แต่ละจุดเป็นจุดยอดของห้าเหลี่ยมปกติสามอัน ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 324° dodecahedron มีจุดศูนย์กลางของสมมาตร - ศูนย์กลางของ dodecahedron, 15 แกนของสมมาตรและ 15 ระนาบของสมมาตร

การใช้ Platonic solids ในวิทยาศาสตร์ Johannes Kepler (1571-1630) เป็นนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ในปี ค.ศ. 1596 เคปเลอร์ได้เสนอกฎตามที่อธิบายถึงรูปทรงสิบสองหน้ารอบทรงกลมของโลก และมีการจารึกรูปอิโคซาฮีดรอนไว้ในนั้น ระยะห่างระหว่างวงโคจรของดาวเคราะห์สามารถรับได้บนพื้นฐานของ Platonic solids ที่ซ้อนกัน ระยะทางที่คำนวณโดยใช้แบบจำลองนี้ค่อนข้างใกล้เคียงกับระยะทางจริง

V. Makarov และ V. Morozov เชื่อว่าแกนกลางของโลกมีรูปแบบและคุณสมบัติของผลึกที่กำลังเติบโตซึ่งพัฒนาปฏิกิริยาและกระบวนการทางธรรมชาติทั้งหมดที่เกิดขึ้นบนโลกใบนี้ สนามพลังของผลึกที่กำลังเติบโตนี้ทำให้เกิดไอโคซาฮีดรอน - โครงสร้าง dodecahedralโลก (IDSZ). รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ถูกจารึกไว้ในกันและกัน ความผิดปกติทางธรรมชาติทั้งหมดรวมถึงศูนย์กลางของการพัฒนาอารยธรรมนั้นสอดคล้องกับจุดยอดและขอบของตัวเลขเหล่านี้

ตัวอย่าง: โพลีเฮดราปกติบางชนิดเกิดขึ้นตามธรรมชาติเป็นไวรัสผลึก ไวรัสโปลิโอมีรูปร่างเป็นสองด้าน มันสามารถมีชีวิตอยู่และขยายพันธุ์ได้เฉพาะในเซลล์มนุษย์หรือไพรเมตเท่านั้น ในระดับจุลทรรศน์ dodecahedron และ icosahedron เป็นพารามิเตอร์สัมพัทธ์ของ DNA ซึ่งทุกชีวิตถูกสร้างขึ้น คุณจะเห็นว่าโมเลกุลของ DNA นั้นเป็นลูกบาศก์ที่หมุนได้

การประยุกต์ใช้ในผลึกศาสตร์ Platonic solids ถูกใช้อย่างกว้างขวางในผลึกศาสตร์ เนื่องจากผลึกจำนวนมากเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์เป็นผลึกเดี่ยวของเกลือทั่วไป (NaCl) แปดด้านเป็นผลึกเดี่ยวของโพแทสเซียมสารส้ม หนึ่งในรูปแบบของผลึกเพชรคือรูปแปดด้าน

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:/ /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Stakhov A.P.

"รหัสดาวินชี", Platonic และ Archimedean solids, quasicrystal, fullerenes, Penrose lattices และโลกศิลปะของ Matyushka Teija Kraszek

คำอธิบายประกอบ

ผลงานของศิลปินชาวสโลวีเนีย Matyushka Teija Krashek ไม่ค่อยมีใครรู้จักนักอ่านที่พูดภาษารัสเซีย ในเวลาเดียวกันทางตะวันตกเรียกว่า "Escher ยุโรปตะวันออก" และ "ของขวัญสโลวีเนีย" ให้กับชุมชนวัฒนธรรมโลก องค์ประกอบทางศิลปะของเธอได้รับแรงบันดาลใจจากการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ล่าสุด (fullerenes, Dan Shechtman quasicrystals, Penrose tile) ซึ่งจะขึ้นอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมปกติและกึ่งปกติ (Plato และ Archimedes solids), Golden Section และ Fibonacci number

แน่นอนว่าทุกคนเคยคิดมากกว่าหนึ่งครั้งเกี่ยวกับคำถามที่ว่าทำไมธรรมชาติจึงสามารถสร้างโครงสร้างที่กลมกลืนกันอย่างน่าทึ่งที่ทำให้ตามีความสุข ทำไมศิลปิน กวี นักแต่งเพลง สถาปนิกจึงสร้างสรรค์ผลงานศิลปะที่น่าทึ่งจากศตวรรษสู่ศตวรรษ อะไรคือความลับของความสามัคคีของพวกเขาและกฎหมายใดที่สนับสนุนสิ่งมีชีวิตที่กลมกลืนกันเหล่านี้?

การค้นหากฎเหล่านี้ "กฎแห่งความกลมกลืนของจักรวาล" เริ่มต้นขึ้นในวิทยาศาสตร์โบราณ มันเป็นช่วงเวลานี้ ประวัติศาสตร์ของมนุษย์นักวิทยาศาสตร์พบกับการค้นพบที่น่าอัศจรรย์ซึ่งแทรกซึมอยู่ในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ทั้งหมด ข้อแรกถือเป็นสัดส่วนทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมที่แสดงความสามัคคี เรียกว่าแตกต่างกัน: "อัตราส่วนทองคำ", "ตัวเลขทองคำ", "ค่าเฉลี่ยทองคำ", "อัตราส่วนทองคำ"และแม้กระทั่ง "สัดส่วนเทพ". ส่วนสีทองเรียกอีกอย่างว่า หมายเลขพีเพื่อเป็นเกียรติแก่ประติมากรชาวกรีกโบราณผู้ยิ่งใหญ่ Phidias (Phidius) ซึ่งใช้ตัวเลขนี้ในงานประติมากรรมของเขา

หนังระทึกขวัญเรื่อง The Da Vinci Code ซึ่งเขียนโดยนักเขียนชื่อดังชาวอังกฤษ แดน บราวน์ ได้กลายเป็นหนังสือขายดีในศตวรรษที่ 21 แต่ Da Vinci Code หมายถึงอะไร? มีคำตอบที่หลากหลายสำหรับคำถามนี้ เป็นที่ทราบกันดีว่า "Golden Section" ที่มีชื่อเสียงเป็นหัวข้อ ความสนใจอย่างใกล้ชิดและงานอดิเรกของเลโอนาร์โด ดา วินชี นอกจากนี้ชื่อ "Golden Section" ยังได้รับการแนะนำในวัฒนธรรมยุโรปโดย Leonardo da Vinci ตามความคิดริเริ่มของ Leonardo นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีที่มีชื่อเสียงและเรียนพระ Luca Pacioli เพื่อนและที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์ของ Leonardo da Vinci ได้ตีพิมพ์หนังสือ "Divina Proportione" ซึ่งเป็นผลงานทางคณิตศาสตร์เล่มแรกในวรรณกรรมโลกเรื่อง Golden Section ซึ่งผู้เขียนเรียกว่า " สัดส่วนขั้นเทพ". เป็นที่ทราบกันดีว่าเลโอนาร์โดเป็นผู้วาดภาพประกอบหนังสือที่มีชื่อเสียงเล่มนี้โดยวาดภาพวาดที่ยอดเยี่ยม 60 ภาพให้กับมัน ข้อเท็จจริงเหล่านี้ซึ่งไม่เป็นที่ทราบกันดีนักในชุมชนวิทยาศาสตร์ทั่วไป ที่ให้สิทธิ์ในการเสนอสมมติฐานว่า Da Vinci Code นั้นไม่ใช่อื่นใดนอกจากมาตราทองคำ และการยืนยันสมมติฐานนี้สามารถพบได้ในการบรรยายสำหรับนักศึกษาที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดซึ่งเล่าโดยตัวเอกของหนังสือ "The Da Vinci Code" ศ. แลงดอน:

“แม้จะมีต้นกำเนิดที่เกือบจะลึกลับ แต่หมายเลข PHI ก็มีบทบาทพิเศษในแบบของมันเอง บทบาทของอิฐในการก่อร่างสร้างทุกชีวิตบนโลก พืช สัตว์ และแม้แต่มนุษย์ล้วนมีสัดส่วนทางกายภาพโดยประมาณ เท่ากับรากจากอัตราส่วนของจำนวน PHI ต่อ 1 การมีอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่งของ PHI ในธรรมชาตินี้ ... บ่งบอกถึงความเชื่อมโยงของสิ่งมีชีวิตทั้งหมด เคยเชื่อกันว่าหมายเลข PHI ถูกกำหนดโดยผู้สร้างจักรวาล นักวิทยาศาสตร์สมัยโบราณเรียกสัดส่วนหนึ่งส่วนหกแสนหนึ่งหมื่นแปดพันส่วนเป็น "สัดส่วนพระเจ้า"

ดังนั้น จำนวนอตรรกยะที่มีชื่อเสียง PHI = 1.618 ซึ่ง Leonardo da Vinci เรียกว่า Golden Mean คือ Da Vinci Code!

การค้นพบทางคณิตศาสตร์ของวิทยาศาสตร์โบราณอีกประการหนึ่งคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งได้ชื่อว่า "ของแข็ง Platonic"และ "รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ"ชื่อ "ของแข็งอาร์คิมีดีน".มันเป็นรูปทรงเรขาคณิตเชิงพื้นที่ที่สวยงามน่าอัศจรรย์เหล่านี้ซึ่งรองรับการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุดสองรายการของศตวรรษที่ 20 - ควอซิคริสตัล(ผู้เขียนการค้นพบคือ Dan Shechtman นักฟิสิกส์ชาวอิสราเอล) และ ฟูลเลอรีน(รางวัลโนเบลปี 1996). การค้นพบทั้งสองนี้เป็นการยืนยันที่สำคัญที่สุดถึงความจริงที่ว่าสัดส่วนทองคำคือรหัสสากลของธรรมชาติ (“รหัสดาวินชี”) ซึ่งอยู่ภายใต้จักรวาล

การค้นพบควอซิคริสตัลและฟูลเลอรีนเป็นแรงบันดาลใจให้ศิลปินร่วมสมัยหลายคนสร้างสรรค์ผลงานที่สะท้อนถึง รูปแบบศิลปะการค้นพบทางกายภาพที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 20 หนึ่งในศิลปินเหล่านี้คือศิลปินชาวสโลวีเนีย แม่เธีย Kraszekบทความนี้แนะนำโลกศิลปะของ Matyushka Teija Krashek ผ่านปริซึมของการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ล่าสุด

คน ๆ หนึ่งแสดงความสนใจในรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติตลอดกิจกรรมที่ใส่ใจของเขา ตั้งแต่เด็กอายุสองขวบที่เล่นกับลูกบาศก์ไม้ไปจนถึงนักคณิตศาสตร์ที่เป็นผู้ใหญ่ บางส่วนที่ถูกต้องและกึ่ง ร่างกายที่ถูกต้องเกิดขึ้นตามธรรมชาติเป็นผลึก อื่น ๆ เป็นไวรัสที่สามารถมองเห็นได้ด้วยกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร? รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าปกติถ้าใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน (หรือเท่ากัน) ซึ่งกันและกันและในเวลาเดียวกันเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติกี่แบบ? เมื่อมองแวบแรก คำตอบสำหรับคำถามนี้ง่ายมาก - มากเท่าที่มีรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ ใน Euclid's Elements เราพบข้อพิสูจน์ที่แน่ชัดว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูนเพียงห้ารูป และรูปหลายเหลี่ยมปกติสามประเภทเท่านั้นที่สามารถเป็นใบหน้าได้: สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมและ ห้าเหลี่ยม (ห้าเหลี่ยมปกติ).

หนังสือหลายเล่มอุทิศให้กับทฤษฎีโพลีเฮดรา หนึ่งในหนังสือที่มีชื่อเสียงที่สุดคือหนังสือ "Models of polyhedra" ของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ M. Wenniger ในการแปลภาษารัสเซียหนังสือเล่มนี้จัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ Mir ในปี 1974 คำบรรยายของหนังสือเล่มนี้คือคำแถลงของ Bertrand Russell: "คณิตศาสตร์ไม่ได้มีเพียงความจริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความงามอันสูงส่งด้วย - ความงามที่เฉียบคมและเข้มงวด บริสุทธิ์อย่างยิ่งยวด และมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบที่แท้จริง ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของตัวอย่างศิลปะที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่านั้น"

หนังสือเริ่มต้นด้วยคำอธิบายของสิ่งที่เรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุดในประเภทเดียวกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่า ของแข็งสงบ(รูปที่ 1) , ตั้งชื่อตามนักปรัชญาชาวกรีกโบราณอย่างเพลโต ซึ่งใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในตัวเขา จักรวาลวิทยา

รูปภาพที่ 1ของแข็งสงบ: (ก) รูปแปดด้าน ("ไฟ"), (ข) รูปหกเหลี่ยมหรือลูกบาศก์ ("โลก"),

เราจะเริ่มพิจารณาด้วย รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งมีใบหน้าเป็น สามเหลี่ยมด้านเท่า.ประการแรกคือ จัตุรมุข(รูปที่ 1-ก) ในรูปทรงจัตุรมุข รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามรูปมาบรรจบกันที่จุดยอดจุดหนึ่ง ในขณะที่ฐานของพวกมันก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าใหม่ จัตุรมุขก็มี จำนวนที่น้อยที่สุดเผชิญหน้ากับ Platonic solids และเป็นอะนาล็อกสามมิติของแฟลต สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีจำนวนด้านน้อยที่สุดในบรรดารูปหลายเหลี่ยมทั่วไป

ร่างกายถัดไปซึ่งเกิดจากสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่า รูปแปดด้าน(รูปที่ 1-b) ในรูปทรงแปดด้าน รูปสามเหลี่ยมสี่รูปมาบรรจบกันที่จุดยอดจุดหนึ่ง ผลลัพธ์ที่ได้คือปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม หากคุณเชื่อมต่อปิรามิดสองอันเข้ากับฐานคุณจะได้ร่างกายที่สมมาตรพร้อมรูปสามเหลี่ยมแปดหน้า - รูปแปดด้าน.

ตอนนี้คุณสามารถลองเชื่อมต่อสามเหลี่ยมด้านเท่าห้าอันที่จุดเดียว ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปที่มีใบหน้าสามเหลี่ยม 20 รูป - icosahedron(รูปที่ 1-ง)

ต่อไป แบบฟอร์มที่ถูกต้องรูปหลายเหลี่ยม - สี่เหลี่ยม.ถ้าเราเชื่อมสี่เหลี่ยมสามอันที่จุดหนึ่ง แล้วเพิ่มอีกสามอัน เราจะได้รูปทรงหกด้านที่สมบูรณ์แบบที่เรียกว่า รูปหกเหลี่ยมหรือ ลูกบาศก์(รูปที่ 1-c)

สุดท้าย มีความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งในการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติโดยใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติต่อไปนี้ − เพนตากอน. ถ้าเรารวบรวมเพนตากอนได้ 12 อันในลักษณะที่เพนตากอนสามอันมาบรรจบกันในแต่ละจุด เราจะได้ Platonic solid อีกอันหนึ่งซึ่งเรียกว่า สิบสองหน้า(รูปที่ 1-จ)

รูปหลายเหลี่ยมปกติถัดไปคือ หกเหลี่ยม. อย่างไรก็ตาม หากเราเชื่อมต่อรูปหกเหลี่ยมสามอัน ณ จุดหนึ่ง เราก็จะได้พื้นผิว นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างจากรูปหกเหลี่ยม รูปปริมาตร. รูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ที่อยู่เหนือรูปหกเหลี่ยมไม่สามารถก่อตัวเป็นของแข็งได้เลย จากการพิจารณาเหล่านี้พบว่ามีเพียงห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเท่านั้นที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยมเท่านั้น

มีที่น่าทึ่ง การเชื่อมต่อทางเรขาคณิตระหว่างทั้งหมด รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ. ตัวอย่างเช่น, ลูกบาศก์(รูปที่ 1-b) และ รูปแปดด้าน(รูปที่ 1-c) เป็นแบบคู่ เช่น จะได้รับจากแต่ละอื่น ๆ ถ้าจุดศูนย์กลางของใบหน้าของคนหนึ่งเป็นจุดยอดของอีกคนหนึ่งและในทางกลับกัน เป็นคู่ในทำนองเดียวกัน icosahedron(รูปที่ 1-ง) และ สิบสองหน้า(รูปที่ 1-e) . จัตุรมุข(รูปที่ 1-a) เป็นสองเท่าของตัวมันเอง รูปสิบสองหน้าได้มาจากลูกบาศก์โดยการสร้าง "หลังคา" บนใบหน้าของมัน (วิธีของยุคลิด) จุดยอดของจัตุรมุขคือจุดยอดสี่จุดใดๆ ของลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ติดกันตามขอบ นั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ทั้งหมดสามารถเป็นได้ ที่ได้จากลูกบาศก์ ความจริงของการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจริงๆ เพียงห้าเหลี่ยมนั้นน่าประหลาดใจเพราะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติมากมายบนระนาบ!

ลักษณะเชิงตัวเลขของ Platonic solids

ลักษณะตัวเลขหลัก ของแข็งสงบคือจำนวนด้านของใบหน้า เมตรจำนวนใบหน้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด เมตรจำนวนใบหน้า ช, จำนวนจุดยอด ที่,จำนวนซี่โครง รและจำนวนมุมแบน ที่บนพื้นผิวของรูปทรงหลายหน้า ออยเลอร์ได้ค้นพบและพิสูจน์สูตรที่มีชื่อเสียง

บี พี + จี = 2,

เชื่อมโยงจำนวนจุดยอด ขอบ และหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ลักษณะตัวเลขข้างต้นแสดงไว้ในตาราง หนึ่ง.

ตารางที่ 1

ลักษณะเชิงตัวเลขของ Platonic solids

อัตราส่วนทองคำใน dodecahedron และ icosahedron

รูปทรงสิบสองเหลี่ยมและอิโคซาฮีดรอนคู่ (รูปที่ 1-d, e) ครอบครอง สถานที่พิเศษท่ามกลาง ของแข็งสงบ. ก่อนอื่นต้องขอย้ำว่ารูปทรงเรขาคณิต สิบสองหน้าและ icosahedronเกี่ยวข้องโดยตรงกับอัตราส่วนทองคำ แท้จริงแล้วขอบ สิบสองหน้า(รูปที่ 1-ง) คือ ห้าเหลี่ยม, เช่น. ห้าเหลี่ยมปกติตามอัตราส่วนทองคำ ถ้าดูให้ละเอียด icosahedron(รูปที่ 1-d) จากนั้นคุณจะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยมห้ารูปมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด ห้าเหลี่ยม. ข้อเท็จจริงเหล่านี้เพียงพอแล้วที่จะทำให้แน่ใจว่าอัตราส่วนทองคำเล่น บทบาทสำคัญในการออกแบบของทั้งสอง ของแข็งสงบ.

แต่มีหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งกว่านั้นสำหรับบทบาทพื้นฐานของอัตราส่วนทองคำใน icosahedronและ สิบสองหน้า. เป็นที่ทราบกันดีว่าร่างกายเหล่านี้มีสามทรงกลมที่เฉพาะเจาะจง ทรงกลมแรก (ด้านใน) ถูกจารึกไว้ในร่างกายและสัมผัสกับใบหน้า ให้เราแสดงรัศมีของทรงกลมภายในนี้เป็น ฉัน. ทรงกลมที่สองหรือตรงกลางแตะที่ขอบของเธอ ให้เราแสดงรัศมีของทรงกลมนี้ด้วย อาร์ ม.ในที่สุด ทรงกลมที่สาม (ด้านนอก) จะถูกล้อมรอบร่างกายและผ่านจุดยอดของมัน แทนรัศมีของมันด้วย อาร์. ในรูปทรงเรขาคณิตจะพิสูจน์ได้ว่าค่าของรัศมีของทรงกลมที่ระบุสำหรับ สิบสองหน้าและ icosahedronซึ่งมีขอบของความยาวหน่วย แสดงในรูปของอัตราส่วนทองคำ t (ตารางที่ 2)

ตารางที่ 2

อัตราส่วนทองคำในทรงกลมของ dodecahedron และ icosahedron


icosahedron
สิบสองหน้า

โปรดทราบว่าอัตราส่วนของรัศมี = เหมือนกับของ icosahedron, และสำหรับ สิบสองหน้า. ดังนั้น ถ้า สิบสองหน้าและ icosahedronมีทรงกลมที่เขียนไว้เหมือนกัน ดังนั้นทรงกลมที่มีเส้นรอบวงก็จะเท่ากันด้วย หลักฐานของมัน ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้ใน จุดเริ่มต้นยูคลิด

ในเรขาคณิต ความสัมพันธ์อื่นๆ สิบสองหน้าและ icosahedronยืนยันการเชื่อมต่อกับอัตราส่วนทองคำ เช่น ถ้าเราเอา icosahedronและ สิบสองหน้าที่มีความยาวขอบเท่ากับหนึ่ง และคำนวณพื้นที่ภายนอกและปริมาตร จากนั้นจึงแสดงผ่านอัตราส่วนทองคำ (ตารางที่ 3)

ตารางที่ 3

อัตราส่วนทองคำในพื้นที่รอบนอกและปริมาตรของทรงสองหน้าและทรงสองหน้า

	icosahedron	สิบสองหน้า
พื้นที่ด้านนอก

ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์จำนวนมากที่นักคณิตศาสตร์โบราณได้รับมา ซึ่งยืนยันข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งว่าเป็นเช่นนั้น อัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนหลักของ dodecahedron และ icosahedronและข้อเท็จจริงนี้น่าสนใจอย่างยิ่งจากมุมมองของสิ่งที่เรียกว่า "หลักคำสอน dodecahedral-icosahedral",ซึ่งเราจะพิจารณาด้านล่าง

จักรวาลวิทยาของเพลโต

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่พิจารณาข้างต้นเรียกว่า ของแข็งสงบเนื่องจากพวกเขาครอบครองสถานที่สำคัญในแนวคิดเชิงปรัชญาของเพลโตเกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาล

เพลโต (427-347 ปีก่อนคริสตกาล)

รูปทรงหลายเหลี่ยมสี่หน้าเป็นตัวเป็นตนในสี่สาระสำคัญหรือ "องค์ประกอบ" จัตุรมุขเป็นสัญลักษณ์ ไฟเนื่องจากด้านบนของมันถูกชี้ขึ้น; icosahedron น้ำเนื่องจากเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ "คล่องตัว" ที่สุด ลูกบาศก์ โลกเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ "เสถียร" ที่สุด แปดด้าน อากาศเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ "โปร่งสบาย" ที่สุด รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ห้า สิบสองหน้า, เป็นตัวเป็นตน "ทุกสิ่งที่มีอยู่", "จิตใจสากล" ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของจักรวาลทั้งหมดและได้รับการพิจารณา รูปทรงเรขาคณิตหลักของจักรวาล

ชาวกรีกโบราณถือว่าความสัมพันธ์ที่กลมกลืนเป็นพื้นฐานของจักรวาล ดังนั้นธาตุทั้งสี่จึงเชื่อมต่อกันด้วยสัดส่วนดังกล่าว: ดิน / น้ำ = อากาศ / ไฟ อะตอมของ "องค์ประกอบ" ได้รับการปรับแต่งโดยเพลโตให้มีความสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์แบบ เหมือนกับพิณสี่สาย พึงระลึกว่าความคล้องจองเป็นความพ้องต้องกัน ในการเชื่อมต่อกับร่างกายเหล่านี้ จะเป็นการเหมาะสมที่จะกล่าวว่าระบบองค์ประกอบดังกล่าว ซึ่งรวมถึงธาตุทั้งสี่ - ดิน น้ำ อากาศ และไฟ - ได้รับการสถาปนาให้เป็นนักบุญโดยอริสโตเติล องค์ประกอบเหล่านี้ยังคงเป็นเสาหลักทั้งสี่ของจักรวาลมาเป็นเวลาหลายศตวรรษ ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะระบุสถานะของสสารทั้งสี่สถานะที่เรารู้จัก - ของแข็ง ของเหลว ก๊าซ และพลาสมา

ดังนั้นชาวกรีกโบราณจึงเชื่อมโยงความคิดเรื่องความกลมกลืนของการ "ผ่าน" เข้ากับศูนย์รวมของมันในของแข็งแบบสงบ อิทธิพลของเพลโตนักคิดชาวกรีกที่มีชื่อเสียงก็ได้รับผลกระทบเช่นกัน จุดเริ่มต้นยูคลิด ในหนังสือเล่มนี้ซึ่งเป็นตำราเรียนเรขาคณิตเพียงเล่มเดียวมานานหลายศตวรรษ คำอธิบายของเส้น "ในอุดมคติ" และตัวเลข "ในอุดมคติ" จะได้รับ บรรทัดที่ "เหมาะ" ที่สุด - ตรงและรูปหลายเหลี่ยมที่ "เหมาะ" ที่สุด - รูปหลายเหลี่ยมปกติมี ด้านเท่ากันและมุมที่เท่ากัน สามารถพิจารณารูปหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุดได้ สามเหลี่ยมด้านเท่า,เนื่องจากมีจำนวนด้านที่น้อยที่สุดที่สามารถกำหนดขอบเขตของระนาบได้ มันน่าสนใจที่ จุดเริ่มต้น Euclid เริ่มต้นด้วยคำอธิบายของการก่อสร้าง สามเหลี่ยมมุมฉากและลงท้ายด้วยห้า ของแข็งสงบสังเกตว่า ของแข็งสงบอุทิศให้กับตอนจบนั่นคือหนังสือเล่มที่ 13 เริ่มยูคลิด อย่างไรก็ตามข้อเท็จจริงนี้คือการจัดวางทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในหนังสือเล่มสุดท้าย (นั่นคือที่สำคัญที่สุด) เริ่ม Euclid ก่อให้เกิด Proclus นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ซึ่งเป็นผู้วิจารณ์เกี่ยวกับ Euclid เพื่อเสนอสมมติฐานที่น่าสนใจเกี่ยวกับเป้าหมายที่แท้จริงที่ Euclid ไล่ตาม โดยสร้าง จุดเริ่มต้น. ตามคำกล่าวของ Proclus Euclid ได้สร้าง จุดเริ่มต้นไม่ใช่เพื่อจุดประสงค์ในการนำเสนอรูปทรงเรขาคณิตเช่นนี้ แต่เพื่อให้ทฤษฎีการจัดระบบที่สมบูรณ์ของการสร้างตัวเลข "ในอุดมคติ" โดยเฉพาะอย่างยิ่งห้า ของแข็งสงบระหว่างทางเน้นความสำเร็จล่าสุดในวิชาคณิตศาสตร์!

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ Harold Kroto หนึ่งในผู้เขียนการค้นพบฟูลเลอรีน ผู้ได้รับรางวัลโนเบล ในการบรรยายโนเบลของเขา เริ่มต้นเรื่องราวของเขาเกี่ยวกับความสมมาตรในฐานะ "พื้นฐานของการรับรู้ของเราเกี่ยวกับโลกทางกายภาพ" และ "บทบาทในความพยายามที่จะอธิบาย อย่างครอบคลุม” ได้อย่างแม่นยำด้วย ของแข็งสงบและ "องค์ประกอบของทุกสิ่ง": “แนวคิดเรื่องความสมมาตรของโครงสร้างย้อนกลับไปในสมัยโบราณ...” ส่วนใหญ่ ตัวอย่างที่โดดเด่นแน่นอนสามารถพบได้ในบทสนทนาของ Timaeus ของเพลโตซึ่งในส่วนที่ 53 กล่าวถึง "องค์ประกอบ" เขาเขียนว่า: "ประการแรกทุกคน (!) เห็นได้ชัดว่าไฟและดินน้ำ และอากาศเป็นร่างกาย และทุก ๆ ร่างกายเป็นของแข็ง” (!!) เพลโตกล่าวถึงปัญหาทางเคมีในภาษาของธาตุทั้งสี่นี้และเชื่อมโยงพวกมันกับของแข็งสงบทั้งสี่ (ในเวลานั้นมีเพียงสี่เท่านั้นจนกระทั่ง Hipparchus ค้นพบสิ่งที่ห้า - สิบสองหน้า). แม้ว่าในแวบแรกปรัชญาดังกล่าวอาจดูไร้เดียงสา แต่ก็บ่งบอกถึงความเข้าใจอย่างลึกซึ้งว่าธรรมชาติทำงานอย่างไร

รูปทรงหลายเหลี่ยมครึ่งวงกลม

รู้จักร่างกายที่สมบูรณ์มากขึ้นเรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติหรือ ร่างกายของอาร์คิมีดีนนอกจากนี้ยังมีมุมหลายเหลี่ยมเท่ากันทั้งหมดและใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่มีหลายเหลี่ยม ประเภทต่างๆ. มีรูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ 13 รูป ซึ่งการค้นพบนี้มาจากอาร์คิมิดีส

อาร์คิมิดีส (287 ปีก่อนคริสตกาล - 212 ปีก่อนคริสตกาล)

เยอะ อาร์คิมีดีนของแข็งสามารถแบ่งออกเป็นหลายกลุ่ม อันแรกประกอบด้วยห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งได้มาจาก ของแข็งสงบอันเป็นผลมาจากพวกเขา การตัดทอนร่างกายที่ถูกตัดออกคือร่างกายที่มีส่วนบนที่ถูกตัดออก สำหรับ ของแข็งสงบการตัดทอนสามารถทำได้ในลักษณะที่ทั้งใบหน้าใหม่ที่เกิดขึ้นและส่วนที่เหลือของใบหน้าเก่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างเช่น, จัตุรมุข(รูปที่ 1-a) สามารถตัดให้สั้นลงเพื่อให้ใบหน้ารูปสามเหลี่ยมทั้งสี่กลายเป็นรูปหกเหลี่ยมสี่รูป และเพิ่มใบหน้ารูปสามเหลี่ยมปกติสี่หน้าเข้าไป ด้วยประการฉะนี้ ห้า อาร์คิมีดีนของแข็ง: จัตุรมุขที่ถูกตัด, หกเหลี่ยมที่ถูกตัด (ลูกบาศก์), แปดเหลี่ยมที่ถูกตัด, สิบสองเหลี่ยมที่ถูกตัดและ icosahedron ที่ถูกตัดทอน(รูปที่ 2)


(ก)	(ข)	(ใน)


(ช)	(จ)

รูปที่ 2 ของแข็งอาร์คิมีดีน: (a) จัตุรมุขที่ถูกตัด, (b) ลูกบาศก์ที่ถูกตัด, (c) รูปทรงแปดด้านที่ถูกตัด, (d) รูปทรงสองหน้าสิบสองเหลี่ยมที่ถูกตัด, (e) icosahedron ที่ถูกตัด

ในการบรรยายโนเบลของเขา นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน Smalley ซึ่งเป็นหนึ่งในผู้เขียนการค้นพบฟูลเลอรีนเชิงทดลอง กล่าวถึงอาร์คิมิดีส (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) ในฐานะนักวิจัยคนแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง icosahedron ที่ถูกตัดทอนอย่างไรก็ตาม ด้วยเงื่อนไขที่ว่าบางทีอาร์คิมีดีสสมควรได้รับส่วนบุญนี้ และบางที icosahedrons ก็ถูกตัดต่อหน้าเขานานแล้ว พอจะพูดถึงสิ่งที่พบในสกอตแลนด์และมีอายุประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล วัตถุหินหลายร้อยชิ้น (ดูเหมือนจะเป็นพิธีกรรม) ในรูปแบบของทรงกลมและต่างๆ รูปทรงหลายเหลี่ยม(ร่างกายถูกผูกมัดทุกด้านโดยราบ ใบหน้า) รวมทั้ง icosahedrons และ dodecahedrons โชคไม่ดีที่งานต้นฉบับของอาร์คิมีดีสไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ และผลที่ออกมาก็ตกอยู่กับเราอย่างที่พวกเขาพูดว่า "มือสอง" ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาทั้งหมด อาร์คิมีดีนของแข็งทีละคนถูก "ค้นพบ" ใหม่ ในท้ายที่สุด Kepler ในปี 1619 ในหนังสือของเขา "World Harmony" ("Harmonice Mundi") ได้ให้คำอธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับชุดของแข็งอาร์คิมีดีนทั้งหมด - รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งแต่ละหน้าเป็น รูปหลายเหลี่ยมปกติ, และทั้งหมด ยอดเขาอยู่ในตำแหน่งที่สมมูลกัน (เช่น อะตอมของคาร์บอนในโมเลกุล C 60) ของแข็งอาร์คิมีดีนประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองประเภท ซึ่งตรงข้ามกับรูปหลายเหลี่ยม 5 รูป ของแข็งสงบซึ่งใบหน้าทั้งหมดจะเหมือนกัน (เช่น ในโมเลกุล C 20 เป็นต้น)

รูปที่ 3 การสร้างอาร์คิมีดีนตัดทอนไอโคซาฮีดรอน
จาก Platonic icosahedron

แล้วคุณจะสร้างได้อย่างไร อาร์คิมิดีนตัด icosahedronจาก platonic icosahedron? คำตอบแสดงด้วยความช่วยเหลือของรูป 3. จริงดังที่เห็นได้จากตาราง 1, 5 หน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดใดๆ จาก 12 ยอดของ icosahedron หากแต่ละจุดยอด 12 ส่วนของ icosahedron ถูกตัดออก (ตัดออก) โดยระนาบ จะเกิดหน้าห้าเหลี่ยมใหม่ 12 หน้า เมื่อรวมกับใบหน้าที่มีอยู่แล้ว 20 หน้า ซึ่งเปลี่ยนจากรูปสามเหลี่ยมเป็นหกเหลี่ยมหลังจากการเจียระไน พวกมันจะกลายเป็นใบหน้า 32 หน้าของ icosahedron ที่ถูกตัดทอน ในกรณีนี้ จะมีขอบ 90 เส้น และจุดยอด 60 จุด

อีกกลุ่มหนึ่ง อาร์คิมีดีนของแข็งประกอบขึ้นเป็น ๒ องค์ เรียกว่า กึ่งถูกต้องรูปทรงหลายเหลี่ยม อนุภาค "เสมือน" เน้นย้ำว่าใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเพียงสองประเภท โดยแต่ละหน้าของประเภทหนึ่งล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมของอีกประเภทหนึ่ง ร่างกายทั้งสองนี้เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและ ไอโคซิโดเดคาฮีดรอน(รูปที่ 4)

รูปที่ 5 ของแข็งของอาร์คิมีดีน: (a) rhombicuboctahedron, (b) rhombicosidodecahedron

สุดท้าย มีการแก้ไขที่เรียกว่า "ดูแคลน" สองรายการ - หนึ่งรายการสำหรับคิวบ์ ( ลูกบาศก์ดูแคลน) อีกอันสำหรับทรงสิบสองหน้า ( ดูแคลน dodecahedron) (รูปที่ 6)


(ก)	(ข)

รูปที่ 6อาร์คิมีดีนของแข็ง: (a) snub cube, (b) snub dodecahedron

ในหนังสือที่กล่าวถึงโดย Wenniger "Models of Polyhedra" (1974) ผู้อ่านสามารถหาโมเดล polyhedra ปกติได้ 75 แบบ "ทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน เป็นหนึ่งในบทที่น่าสนใจที่สุดของเรขาคณิต"นี่คือความคิดเห็นของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย L.A. Lyusternak ผู้ทำวิชาคณิตศาสตร์มากมาย การพัฒนาทฤษฎีนี้เกี่ยวข้องกับชื่อของนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียง โยฮันเนส เคปเลอร์ (ค.ศ. 1571-1630) มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการพัฒนาทฤษฎีโพลีเฮดรา ครั้งหนึ่งเขาเขียนภาพร่าง "เกี่ยวกับเกล็ดหิมะ" ซึ่งเขาได้พูดต่อไปนี้: “ในบรรดารูปทรงปกตินั้น สิ่งแรกสุด จุดเริ่มต้นและต้นกำเนิดของส่วนที่เหลือคือลูกบาศก์ และคู่ของมัน ถ้าข้าพเจ้าจะกล่าวเช่นนั้นก็คือรูปทรงแปดหน้า เพราะรูปแปดหน้ามีมุมมากเท่ากับที่ลูกบาศก์มีหน้า”เคปเลอร์เป็นคนแรกที่เผยแพร่ รายการทั้งหมดสิบสาม อาร์คิมีดีนของแข็งและทรงพระราชทานนามที่เรียกกันจนทุกวันนี้

เคปเลอร์เป็นคนแรกที่ศึกษาสิ่งที่เรียกว่า ดาวหลายเหลี่ยม,ซึ่งแตกต่างจาก Platonic และ Archimedean solids ที่เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนปกติ ในตอนต้นของศตวรรษที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องชาวฝรั่งเศส L. Poinsot (พ.ศ. 2320-2402) ซึ่งมีผลงานทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ได้พัฒนาผลงานของเคปเลอร์ และค้นพบการมีอยู่ของรูปทรงปกติที่ไม่นูนอีกสองประเภท รูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้นด้วยผลงานของ Kepler และ Poinsot ทำให้ตัวเลขดังกล่าวสี่ประเภทกลายเป็นที่รู้จัก (รูปที่ 7) ในปี 1812 O. Cauchy พิสูจน์ว่าไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติอื่นใด

รูปที่ 7รูปหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติ (Poinsot solids)

ผู้อ่านหลายคนอาจมีคำถาม: "ทำไมต้องเรียนรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบธรรมดา? พวกมันมีประโยชน์อะไร” สามารถตอบคำถามนี้ได้:“ และดนตรีหรือบทกวีมีประโยชน์อย่างไร? ทุกอย่างสวยงามมีประโยชน์หรือไม่? แบบจำลองหลายเหลี่ยมแสดงในรูปที่ 1-7 ประการแรกสร้างความประทับใจให้กับเราและสามารถใช้เป็นเครื่องประดับตกแต่งได้ แต่ในความเป็นจริง การปรากฏตัวของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติในโครงสร้างธรรมชาติทำให้เกิดความสนใจอย่างมากในสาขาเรขาคณิตนี้ วิทยาศาสตร์สมัยใหม่.

ปฏิทินคืออะไร?

สุภาษิตรัสเซียกล่าวว่า: "เวลาเป็นตาของประวัติศาสตร์" ทุกสิ่งที่มีอยู่ในจักรวาล: ดวงอาทิตย์ โลก ดวงดาว ดาวเคราะห์ โลกที่รู้จักและไม่รู้จัก และทุกสิ่งที่มีอยู่ในธรรมชาติ ทั้งที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต ทุกสิ่งมีมิติของกาลอวกาศ เวลาวัดได้จากการสังเกตกระบวนการที่เกิดซ้ำเป็นระยะๆ ในระยะเวลาหนึ่ง

แม้แต่ในสมัยโบราณ ผู้คนสังเกตเห็นว่ากลางวันมักหลีกทางให้กลางคืน และฤดูกาลจะผันผ่านตามลำดับอย่างเคร่งครัด ฤดูใบไม้ผลิมาหลังจากฤดูหนาว ฤดูร้อนมาหลังจากฤดูใบไม้ผลิ ฤดูใบไม้ร่วงมาหลังจากฤดูร้อน ในการค้นหาเงื่อนงำของปรากฏการณ์เหล่านี้ มนุษย์ดึงความสนใจไปที่เทห์ฟากฟ้า - ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ ดวงดาว - และระยะการเคลื่อนที่ที่แม่นยำบนท้องฟ้า นี่เป็นข้อสังเกตแรกที่เกิดขึ้นก่อนการกำเนิดของวิทยาศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดอย่างหนึ่ง - ดาราศาสตร์

ดาราศาสตร์ใช้การวัดเวลาขณะเคลื่อนที่ เทห์ฟากฟ้าซึ่งสะท้อนถึงปัจจัยสามประการ: การหมุนของโลกรอบแกนของมัน การปฏิวัติของดวงจันทร์รอบโลก และการเคลื่อนที่ของโลกรอบดวงอาทิตย์ การวัดเวลาขึ้นอยู่กับปรากฏการณ์เหล่านี้ แนวคิดที่แตกต่างกันของเวลาก็ขึ้นอยู่กับเช่นกัน ดาราศาสตร์รู้ ดาวฤกษ์เวลา, แดดจัดเวลา, ท้องถิ่นเวลา, เอวเวลา, การลาคลอดเวลา, อะตอมเวลา ฯลฯ

ดวงอาทิตย์ก็เหมือนกับดวงสว่างอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ไปทั่วท้องฟ้า ยกเว้น การเคลื่อนไหวรายวัน, ดวงอาทิตย์มีการเคลื่อนไหวประจำปีที่เรียกว่า และเส้นทางทั้งหมดของการเคลื่อนที่ประจำปีของดวงอาทิตย์บนท้องฟ้าเรียกว่า สุริยุปราคาตัวอย่างเช่น หากคุณสังเกตเห็นตำแหน่งของกลุ่มดาวในบางกลุ่ม ชั่วโมงเย็นแล้วสังเกตแบบนี้ซ้ำๆ ทุกเดือน เราก็จะได้เห็นภาพท้องฟ้าที่แตกต่างกันไป มุมมองของท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาวจะเปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่อง: แต่ละฤดูกาลจะมีภาพของกลุ่มดาวยามเย็นเป็นของตัวเอง และภาพแต่ละภาพจะซ้ำกันทุกปี ดังนั้นเมื่อพ้นปีไปดวงอาทิตย์ซึ่งสัมพันธ์กับดวงดาวก็กลับคืนสู่ที่เดิม

เพื่อความสะดวกในการกำหนดทิศทางในโลกของดาวฤกษ์ นักดาราศาสตร์ได้แบ่งท้องฟ้าทั้งหมดออกเป็น 88 กลุ่มดาว แต่ละคนมีชื่อของตัวเอง จากกลุ่มดาว 88 ดวง สถานที่พิเศษทางดาราศาสตร์ถูกครอบครองโดยกลุ่มดาวที่สุริยุปราคาผ่าน กลุ่มดาวเหล่านี้นอกเหนือจากชื่อของตัวเองแล้วยังมีชื่อทั่วไปอีกด้วย - นักษัตร(จากคำภาษากรีก "zoop" สัตว์) เช่นเดียวกับสัญลักษณ์ (สัญญาณ) ที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางทั่วโลกและภาพเชิงเปรียบเทียบต่าง ๆ ที่รวมอยู่ในระบบปฏิทิน

เป็นที่ทราบกันดีว่าในกระบวนการเคลื่อนที่ไปตามสุริยุปราคา ดวงอาทิตย์ผ่านกลุ่มดาว 13 กลุ่ม อย่างไรก็ตาม นักดาราศาสตร์พบว่าจำเป็นต้องแบ่งเส้นทางของดวงอาทิตย์ไม่ใช่เป็น 13 ส่วน แต่ออกเป็น 12 ส่วน โดยรวมกลุ่มดาวราศีพิจิกและโอฟิอูคัสเข้าด้วยกันภายใต้ ชื่อสามัญราศีพิจิก (ทำไม?)

ปัญหาของการวัดเวลาได้รับการจัดการโดยวิทยาศาสตร์พิเศษที่เรียกว่า ลำดับเหตุการณ์มันรองรับระบบปฏิทินทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยมนุษย์ การสร้างปฏิทินในสมัยโบราณเป็นหนึ่งใน งานที่สำคัญดาราศาสตร์.

"ปฏิทิน" คืออะไรและคืออะไร ระบบปฏิทิน? คำ ปฏิทินที่ได้มาจาก คำภาษาละติน ปฏิทิน, ซึ่งแปลว่า "หนังสือทวงหนี้" อย่างแท้จริง; ในหนังสือดังกล่าวมีการระบุวันแรกของแต่ละเดือน - ปฏิทิน,ซึ่งในกรุงโรมโบราณลูกหนี้จ่ายดอกเบี้ย

ตั้งแต่สมัยโบราณในประเทศตะวันออกและ เอเชียตะวันออกเฉียงใต้เมื่อรวบรวมปฏิทินมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อช่วงเวลาของการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ดวงจันทร์และ ดาวพฤหัสบดีและ ดาวเสาร์ซึ่งเป็นดาวเคราะห์ยักษ์สองดวงของระบบสุริยะ มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าแนวคิดในการสร้าง ปฏิทินจูปิเตอร์ด้วยสัญลักษณ์ท้องฟ้าของวัฏจักรสัตว์ 12 ปีที่เกี่ยวข้องกับการหมุนเวียน ดาวพฤหัสบดีรอบดวงอาทิตย์ ซึ่งทำให้เกิดการปฏิวัติรอบดวงอาทิตย์อย่างสมบูรณ์ในเวลาประมาณ 12 ปี (11.862 ปี) ในทางกลับกัน ดาวเคราะห์ยักษ์ดวงที่สองของระบบสุริยะ— ดาวเสาร์ทำการปฏิวัติรอบดวงอาทิตย์อย่างสมบูรณ์ในเวลาประมาณ 30 ปี (29.458 ปี) ต้องการประสานวัฏจักรการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ยักษ์ ชาวจีนโบราณจึงเกิดแนวคิดที่จะแนะนำวัฏจักร 60 ปีของระบบสุริยะ ในช่วงวัฏจักรนี้ดาวเสาร์สร้าง 2 รอบเต็มรอบดวงอาทิตย์ และดาวพฤหัสบดี 5 รอบ

เมื่อสร้างปฏิทินประจำปี จะมีการใช้ปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์: การเปลี่ยนแปลงของกลางวันและกลางคืน การเปลี่ยนแปลงของข้างแรมและการเปลี่ยนแปลงของฤดูกาล การใช้ปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ต่าง ๆ นำไปสู่การสร้างปฏิทินสามประเภทในหมู่ชนต่าง ๆ : จันทรคติ,ตามการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ แสงอาทิตย์,ตามการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์และ ลูนิโซลาร์

โครงสร้างของปฏิทินอียิปต์

หนึ่งในคนแรก ปฏิทินสุริยคติเคยเป็น อียิปต์สร้างขึ้นใน 4 พันปีก่อนคริสต์ศักราช ปีปฏิทินดั้งเดิมของอียิปต์ประกอบด้วย 360 วัน ปีแบ่งออกเป็น 12 เดือน ๆ ละ 30 วันพอดี อย่างไรก็ตาม ภายหลังพบว่าระยะเวลาของปีปฏิทินดังกล่าวไม่ตรงกับทางดาราศาสตร์ จากนั้นชาวอียิปต์ก็เพิ่มอีก 5 วันในปีปฏิทินซึ่งไม่ใช่วันของเดือน วันหยุดเหล่านี้เป็นวันหยุด 5 วันซึ่งเชื่อมต่อกับปีปฏิทินข้างเคียง ดังนั้นปีปฏิทินของอียิปต์จึงมีโครงสร้างดังนี้: 365 = 12ґ 30 + 5 โปรดทราบว่าเป็นปฏิทินอียิปต์ที่เป็นต้นแบบของปฏิทินสมัยใหม่

คำถามเกิดขึ้น: ทำไมชาวอียิปต์จึงแบ่งปีปฏิทินออกเป็น 12 เดือน ท้ายที่สุด มีปฏิทินที่มีจำนวนเดือนต่างกันในปีนั้น ตัวอย่างเช่น ในปฏิทินมายัน ปีประกอบด้วย 18 เดือน 20 วันต่อเดือน คำถามต่อไปเกี่ยวกับปฏิทินอียิปต์: ทำไมแต่ละเดือนถึงมี 30 วัน (แม่นยำยิ่งขึ้นคือวัน) สามารถตั้งคำถามบางข้อเกี่ยวกับระบบการวัดเวลาของอียิปต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับการเลือกหน่วยเวลาเช่น ชั่วโมง นาที วินาทีโดยเฉพาะอย่างยิ่งคำถามที่เกิดขึ้น: เหตุใดจึงเลือกหน่วยชั่วโมงในลักษณะที่พอดี 24 ครั้งต่อวัน นั่นคือเหตุใด 1 วัน = 24 (2ґ 12) ชั่วโมง เพิ่มเติม: ทำไม 1 ชั่วโมง = 60 นาที และ 1 นาที = 60 วินาที คำถามเดียวกันนี้ใช้กับการเลือกหน่วยของปริมาณเชิงมุม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: เหตุใดวงกลมจึงแบ่งออกเป็น 360° นั่นคือเหตุใด 2p = 360° = 12ґ 30° คำถามเหล่านี้ถูกเพิ่มเข้ามาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง: เหตุใดนักดาราศาสตร์จึงพิจารณาว่าสมควรที่จะพิจารณาว่ามี 12 นักษัตรสัญญาณแม้ว่าในความเป็นจริงในกระบวนการเคลื่อนที่ไปตามสุริยุปราคาดวงอาทิตย์ข้ามกลุ่มดาว 13 กลุ่ม? และอีกหนึ่งคำถามที่ "แปลก": ทำไมระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนจึงมีฐานที่ผิดปกติมาก - เลข 60

ความสัมพันธ์ของปฏิทินอียิปต์กับลักษณะตัวเลขของ dodecahedron

การวิเคราะห์ปฏิทินอียิปต์รวมถึงระบบการวัดเวลาและค่าเชิงมุมของอียิปต์เราพบว่ามีตัวเลขสี่ตัวซ้ำกันด้วยความคงที่ที่น่าทึ่ง: 12, 30, 60 และตัวเลข 360 \u003d 12ґ 30 คำถามเกิดขึ้น: มีความคิดทางวิทยาศาสตร์พื้นฐานใดที่สามารถให้คำอธิบายที่เรียบง่ายและมีเหตุผลสำหรับการใช้ตัวเลขเหล่านี้ในระบบอียิปต์?

เพื่อตอบคำถามนี้ เรากลับมาที่ สิบสองหน้าแสดงในรูป 1-ด. จำได้ว่าอัตราส่วนทางเรขาคณิตทั้งหมดของทรงสองหน้านั้นขึ้นอยู่กับอัตราส่วนทองคำ

ชาวอียิปต์รู้จัก dodecahedron หรือไม่? นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ยอมรับว่าชาวอียิปต์โบราณมีความรู้เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ แต่พวกเขารู้จักรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งห้าโดยเฉพาะอย่างยิ่งหรือไม่ สิบสองหน้าและ icosahedronวิธียากที่สุด? Proclus นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณกล่าวถึงการสร้างโพลีเฮดราปกติว่าเป็นพีทาโกรัส แต่ทฤษฎีบทและผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก (โดยเฉพาะ ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) พีทาโกรัสยืมมาจากชาวอียิปต์โบราณระหว่าง "การเดินทางเพื่อธุรกิจ" ที่อียิปต์อันยาวนาน (ตามรายงานบางฉบับ พีทาโกรัสอาศัยอยู่ในอียิปต์เป็นเวลา 22 ปี!) ดังนั้นเราจึงสันนิษฐานได้ว่าพีทาโกรัสยืมความรู้เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากชาวอียิปต์โบราณด้วย (และอาจมาจากชาวบาบิโลนโบราณ เพราะตามตำนาน พีทาโกรัสอาศัยอยู่ใน บาบิโลนโบราณ 12 ปี). แต่มีหลักฐานอื่นที่มั่นคงกว่านั้นว่าชาวอียิปต์มีข้อมูลเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งห้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน British Museum มีลูกเต๋าจากยุค Ptolemaic ซึ่งมีรูปร่าง icosahedronนั่นคือ "Platonic solid" แบบคู่ สิบสองหน้า. ข้อเท็จจริงทั้งหมดนี้ทำให้เรามีสิทธิ์ที่จะเสนอสมมติฐานว่า ชาวอียิปต์รู้จักรูปทรงสองหน้าและถ้าเป็นเช่นนั้นระบบที่กลมกลืนกันมากก็จะตามมาจากสมมติฐานนี้ซึ่งทำให้สามารถอธิบายที่มาของปฏิทินอียิปต์และในขณะเดียวกันก็เป็นที่มาของระบบอียิปต์สำหรับการวัดช่วงเวลาและมุมเรขาคณิต

ก่อนหน้านี้เราได้พิสูจน์แล้วว่า dodecahedron มี 12 หน้า, 30 ขอบและ 60 มุมเรียบบนพื้นผิว (ตารางที่ 1) ตามสมมุติฐานที่ชาวอียิปต์รู้ สิบสองหน้าและลักษณะที่เป็นตัวเลขคือ 12, 30. 60 แล้วสิ่งที่น่าประหลาดใจเมื่อพบว่าวัฏจักรของระบบสุริยะแสดงด้วยตัวเลขเดียวกันคือ วัฏจักร 12 ปีของดาวพฤหัสบดี วัฏจักร 30 ปีของดาวเสาร์ และสุดท้ายคือวัฏจักรฤดูร้อน 60 ปีของระบบสุริยะ ดังนั้นระหว่างตัวเลขเชิงพื้นที่ที่สมบูรณ์แบบเช่น สิบสองหน้าและระบบสุริยะมีการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้ง! ข้อสรุปนี้ทำโดยนักวิทยาศาสตร์สมัยโบราณ สิ่งนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่า สิบสองหน้าถูกนำมาใช้เป็น "ร่างหลัก" ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ ความกลมกลืนของจักรวาล. จากนั้นชาวอียิปต์ก็ตัดสินใจว่าระบบหลักทั้งหมดของพวกเขา (ระบบปฏิทิน ระบบการวัดเวลา ระบบการวัดมุม) ควรสอดคล้องกับพารามิเตอร์ตัวเลข สิบสองหน้า! เนื่องจากตามสมัยโบราณการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามแนวสุริยุปราคานั้นเป็นวงกลมอย่างเคร่งครัดโดยการเลือกสัญญาณ 12 ราศีซึ่งระยะห่างระหว่างส่วนโค้งคือ 30 °ชาวอียิปต์จึงประสานการเคลื่อนไหวประจำปีของดวงอาทิตย์อย่างสวยงามอย่างน่าประหลาดใจ สุริยุปราคาพร้อมโครงสร้างปีปฏิทิน: หนึ่งเดือนตรงกับการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ตามแนวสุริยุปราคาระหว่างสองราศีข้างเคียง!ยิ่งกว่านั้น การเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์หนึ่งองศาตรงกับวันหนึ่งในปีปฏิทินอียิปต์! ในกรณีนี้ สุริยุปราคาถูกแบ่งออกเป็น 360° โดยอัตโนมัติ การแบ่งแต่ละวันออกเป็นสองส่วนตามลักษณะสิบสองเหลี่ยม ชาวอียิปต์จึงแบ่งครึ่งวันออกเป็น 12 ส่วน (12 ใบหน้า สิบสองหน้า) และแนะนำดังนั้น ชั่วโมงเป็นหน่วยเวลาที่สำคัญที่สุด แบ่งหนึ่งชั่วโมงเป็น 60 นาที (60 มุมเรียบบนพื้นผิว สิบสองหน้า) ชาวอียิปต์แนะนำด้วยวิธีนี้ นาทีเป็นหน่วยเวลาที่สำคัญรองลงมา ในทำนองเดียวกันพวกเขาก็เข้ามา ให้ฉันวินาที- หน่วยเวลาที่เล็กที่สุดสำหรับช่วงเวลานั้น

ดังนั้นการเลือก สิบสองหน้าในฐานะที่เป็นตัวเลข "ฮาร์มอนิก" หลักของจักรวาลและปฏิบัติตามลักษณะตัวเลขของ dodecahedron 12, 30, 60 อย่างเคร่งครัดชาวอียิปต์สามารถสร้างปฏิทินที่กลมกลืนกันอย่างมากรวมถึงระบบการวัดเวลาและค่าเชิงมุม ระบบเหล่านี้มีความเห็นพ้องต้องกันอย่างเต็มที่กับ "ทฤษฎีความกลมกลืน" โดยพิจารณาจากอัตราส่วนทองคำ เนื่องจากเป็นสัดส่วนที่สนับสนุน สิบสองหน้า.

ข้อสรุปที่น่าประหลาดใจเหล่านี้เกิดขึ้นจากการเปรียบเทียบ สิบสองหน้ากับระบบสุริยะ และถ้าสมมติฐานของเราถูกต้อง (ให้ใครบางคนพยายามหักล้างมัน) ก็จะเป็นไปตามนั้นเป็นเวลาหลายพันปีที่มนุษยชาติมีชีวิตอยู่ ภายใต้สัญลักษณ์อัตราส่วนทองคำ! และทุกครั้งที่เรามองดูหน้าปัดนาฬิกาของเราซึ่งสร้างขึ้นจากการใช้งานเช่นกัน ลักษณะที่เป็นตัวเลข สิบสองหน้า 12, 30 และ 60 เราสัมผัสส่วนสีทอง "ความลึกลับของจักรวาล" หลักโดยไม่รู้ตัว!

เมื่อวันที่ 12 พฤศจิกายน พ.ศ. 2527 ในบทความเล็ก ๆ ที่ตีพิมพ์ในวารสาร Physical Review Letters โดยนักฟิสิกส์ชาวอิสราเอล Dan Shechtman ได้มีการนำเสนอหลักฐานการทดลองสำหรับการมีอยู่ของโลหะผสมที่มีคุณสมบัติพิเศษ เมื่อศึกษาโดยวิธีการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน โลหะผสมนี้แสดงสัญญาณทั้งหมดของผลึก รูปแบบการเลี้ยวเบนประกอบด้วยจุดที่สว่างและเว้นระยะห่างอย่างสม่ำเสมอ เหมือนกับคริสตัล อย่างไรก็ตาม ภาพนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยการมีสมมาตร "icosahedral" หรือ "ห้าเหลี่ยม" ซึ่งเป็นสิ่งต้องห้ามอย่างเคร่งครัดในคริสตัลเนื่องจากการพิจารณาทางเรขาคณิต โลหะผสมที่ผิดปกติดังกล่าวถูกเรียก ควอซิคริสตัลภายในเวลาไม่ถึงหนึ่งปี มีการค้นพบโลหะผสมอื่นๆ อีกมากมาย ประเภทนี้. มีจำนวนมากจนสถานะกึ่งผลึกกลายเป็นเรื่องธรรมดามากกว่าที่คิด

Dan Shechtman นักฟิสิกส์ชาวอิสราเอล

แนวคิดของควาซิคริสตัลเป็นพื้นฐานที่น่าสนใจเพราะเป็นการสรุปและทำให้คำจำกัดความของคริสตัลสมบูรณ์ ทฤษฎีตามแนวคิดนี้แทนที่แนวคิดเก่าแก่เรื่อง "หน่วยโครงสร้างที่ทำซ้ำในอวกาศในลักษณะที่เป็นคาบอย่างเคร่งครัด" ด้วยแนวคิดหลัก สั่งไกล.ตามที่เน้นย้ำในบทความเรื่อง "Quasicrystals" โดยนักฟิสิกส์ชื่อดัง D. Gratia “แนวคิดนี้นำไปสู่การขยายตัวของผลึกศาสตร์ ซึ่งเป็นความร่ำรวยที่ค้นพบใหม่ซึ่งเราเพิ่งเริ่มสำรวจ ความสำคัญในโลกของแร่ธาตุสามารถเทียบเคียงได้กับการเพิ่มแนวคิด จำนวนอตรรกยะด้วยเหตุผลทางคณิตศาสตร์

ควอซิคริสตัลคืออะไร? คุณสมบัติของมันคืออะไรและอธิบายได้อย่างไร? ดังที่ได้กล่าวมาแล้วตาม กฎพื้นฐานของผลึกศาสตร์มีข้อ จำกัด ที่เข้มงวดในโครงสร้างผลึก ตามแนวคิดแบบคลาสสิก คริสตัลประกอบด้วย ad infinitum จากเซลล์เดียว ซึ่งควรหนาแน่น (ตัวต่อตัว) "ครอบคลุม" ระนาบทั้งหมดโดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ

อย่างที่ทราบกันดีว่าการเติมเครื่องบินให้หนาแน่นสามารถทำได้โดยใช้ สามเหลี่ยม(รูปที่ 7-a) สี่เหลี่ยม(รูปที่ 7-b) และ รูปหกเหลี่ยม(รูปที่ 7-d) โดยใช้ ห้าเหลี่ยม (ห้าเหลี่ยม) การเติมดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ (รูปที่ 7-c)


ก)	ข)	ใน)	ช)

รูปที่ 7การเติมระนาบให้หนาแน่นสามารถทำได้โดยใช้สามเหลี่ยม (a) สี่เหลี่ยม (b) และหกเหลี่ยม (d)

สิ่งเหล่านี้คือหลักการของผลึกศาสตร์แบบดั้งเดิมที่มีอยู่ก่อนการค้นพบโลหะผสมอลูมิเนียมและแมงกานีสที่ผิดปกติ ซึ่งเรียกว่าควอซิคริสตัล โลหะผสมดังกล่าวเกิดขึ้นจากการหล่อเย็นอย่างรวดเร็วเป็นพิเศษในอัตรา 10 6 K ต่อวินาที ในเวลาเดียวกัน ในระหว่างการศึกษาการเลี้ยวเบนของโลหะผสมดังกล่าว รูปแบบคำสั่งจะแสดงบนหน้าจอ ซึ่งเป็นลักษณะของสมมาตรของ icosahedron ซึ่งมีแกนสมมาตรต้องห้ามอันโด่งดังของลำดับที่ 5

กลุ่มนักวิทยาศาสตร์หลายกลุ่มทั่วโลกในอีกไม่กี่ปีข้างหน้าได้ศึกษาโลหะผสมที่ผิดปกตินี้ กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนความละเอียดสูง. พวกเขาทั้งหมดยืนยันความเป็นเนื้อเดียวกันในอุดมคติของสสาร ซึ่งสมมาตรลำดับที่ 5 ถูกรักษาไว้ในพื้นที่ขนาดใหญ่ที่มีขนาดใกล้เคียงกับอะตอม (หลายสิบนาโนเมตร)

ตาม มุมมองที่ทันสมัยแบบจำลองต่อไปนี้สำหรับการได้รับโครงสร้างผลึกของควาซิคริสตัลได้รับการพัฒนาขึ้น โมเดลนี้อิงตามแนวคิดของ "องค์ประกอบพื้นฐาน" ตามแบบจำลองนี้ icosahedron ภายในของอะตอมอะลูมิเนียมล้อมรอบด้วย icosahedron ภายนอกของอะตอมแมงกานีส Icosahedrons เชื่อมต่อกันด้วยแปดของอะตอมแมงกานีส "องค์ประกอบพื้นฐาน" ประกอบด้วยอะตอมของอะลูมิเนียม 42 อะตอม และแมงกานีส 12 อะตอม ในกระบวนการแข็งตัวมีการก่อตัวของ "องค์ประกอบพื้นฐาน" อย่างรวดเร็วซึ่งเชื่อมต่อกันอย่างรวดเร็วด้วย "สะพาน" รูปแปดด้านที่แข็ง จำได้ว่าใบหน้าของ icosahedron เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ในการสร้างสะพานแปดด้านของแมงกานีสจำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมสองรูป (หนึ่งรูปในแต่ละเซลล์) เข้าใกล้กันมากพอและเรียงตัวขนานกัน อันเป็นผลมาจากกระบวนการทางกายภาพทำให้เกิดโครงสร้างกึ่งผลึกที่มีสมมาตร "icosahedral"

ในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา มีการค้นพบโลหะผสมกึ่งผลึกหลายประเภท นอกจากจะมีสมมาตรแบบ "icosahedral" (ลำดับที่ 5) แล้ว ยังมีโลหะผสมที่มีสมมาตรแบบสิบเหลี่ยม (ลำดับที่ 10) และสมมาตรแบบสิบสองเหลี่ยม (ลำดับที่ 12) คุณสมบัติทางกายภาพของผลึกควอซิคริสตัลเริ่มมีการตรวจสอบเมื่อไม่นานมานี้

คืออะไร ค่าปฏิบัติการค้นพบควาซิคริสตัล? ตามที่ระบุไว้ในบทความของ Gratia ที่อ้างถึงข้างต้น “ความแข็งแรงทางกลของโลหะผสมกึ่งผลึกเพิ่มขึ้นอย่างมาก การไม่มีเป็นระยะทำให้การแพร่กระจายของความคลาดเคลื่อนช้าลงเมื่อเทียบกับโลหะธรรมดา ... คุณสมบัตินี้มีขนาดใหญ่ มูลค่าที่ใช้: การใช้เฟส icosahedral จะทำให้ได้โลหะผสมที่เบาและแข็งแรงมาก โดยการนำอนุภาคขนาดเล็กของผลึกควอซิคริสตัลเข้าไปในเมทริกซ์อะลูมิเนียม

ประกอบด้วยอะไรบ้าง ความสำคัญของวิธีการการค้นพบควาซิคริสตัล? ประการแรก การค้นพบควาซิคริสตัลเป็นช่วงเวลาแห่งชัยชนะอันยิ่งใหญ่ของ "หลักคำสอน dodecahedral-icosahedral" ซึ่งแทรกซึมอยู่ตลอดประวัติศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และเป็นแหล่งความคิดทางวิทยาศาสตร์ที่ลึกซึ้งและมีประโยชน์ ประการที่สอง quasicrystals ทำลายแนวคิดดั้งเดิมของการแบ่งผ่านไม่ได้ระหว่างโลกของแร่ธาตุซึ่งห้ามใช้สมมาตร "ห้าเหลี่ยม" และโลกของสัตว์ป่าซึ่งสมมาตร "ห้าเหลี่ยม" เป็นหนึ่งในสิ่งที่พบมากที่สุด และอย่าลืมว่าสัดส่วนหลักของ icosahedron คือ "อัตราส่วนทองคำ" และการค้นพบควาซิคริสตัลเป็นการยืนยันทางวิทยาศาสตร์อีกครั้งว่า บางที อาจเป็น "สัดส่วนทองคำ" ซึ่งปรากฏทั้งในโลกของสัตว์ป่าและในโลกของแร่ธาตุ เป็นสัดส่วนหลักของจักรวาล

เมื่อ Dan Shechtman ให้หลักฐานการทดลองเกี่ยวกับการมีอยู่ของควาซิคริสตัลกับ สมมาตร icosahedralนักฟิสิกส์ในการค้นหา คำอธิบายทางทฤษฎีปรากฏการณ์ควอซิคริสตัลดึงความสนใจไปที่การค้นพบทางคณิตศาสตร์เมื่อ 10 ปีก่อน นักคณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษโรเจอร์ เพนโรส. เราเลือกเป็น "อะนาล็อกแบน" ของควอซิคริสตัล กระเบื้องเพนโรสซึ่งเป็นโครงสร้างปกติแบบ aperiodic ที่เกิดจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน "หนา" และ "บาง" ซึ่งเป็นไปตามสัดส่วนของ "ส่วนสีทอง" อย่างแน่นอน กระเบื้องเพนโรสถูกนำมาใช้โดยนักผลึกศาสตร์เพื่ออธิบายปรากฏการณ์ ควอซิคริสตัล. ในขณะเดียวกันก็มีบทบาท เพชรเพนโรสในพื้นที่สามมิติเริ่มเล่น icosahedraด้วยความช่วยเหลือของการเติมพื้นที่สามมิติที่หนาแน่น

พิจารณาห้าเหลี่ยมในรูปอย่างระมัดระวังอีกครั้ง แปด.

รูปที่ 8เพนตากอน

หลังจากวาดเส้นทแยงมุมแล้ว ห้าเหลี่ยมดั้งเดิมสามารถแสดงเป็นชุดของสามประเภท รูปทรงเรขาคณิต. ตรงกลางเป็นรูปห้าเหลี่ยมใหม่ที่เกิดจากจุดตัดของเส้นทแยงมุม นอกจากนี้ รูปห้าเหลี่ยมในรูป 8 ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสีเหลืองห้ารูปและรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสีแดงห้ารูป สามเหลี่ยมสีเหลืองคือ "ทองคำ" เนื่องจากอัตราส่วนของสะโพกต่อฐานเท่ากับอัตราส่วนทองคำ พวกมันมีมุมแหลม 36° ที่ปลายยอดและมุมแหลม 72° ที่ฐาน สามเหลี่ยมสีแดงยังเป็น "สีทอง" เนื่องจากอัตราส่วนของสะโพกต่อฐานเท่ากับอัตราส่วนทองคำ พวกเขามี มุมป้านที่ 108° ที่ปลายยอดและมุมแหลมที่ 36° ที่ฐาน

ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อสามเหลี่ยมสีเหลืองสองอันและสามเหลี่ยมสีแดงสองอันกับฐานของมัน เป็นผลให้เราได้สอง รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน "ทอง". อันแรก (สีเหลือง) มีมุมแหลม 36° และมุมป้าน 144° (รูปที่ 9)


(ก)	(ข)

รูปที่ 9. "รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทอง: a) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน "บาง"; (b) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน "หนา"

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในรูป 9-a เราจะโทรหา รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบาง,และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในรูป 9-b - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหนา

Rogers Penrose นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษใช้ "สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" สีทองในรูปที่ 9 สำหรับการก่อสร้างไม้ปาร์เก้ "ทองคำ" ซึ่งได้รับการตั้งชื่อ กระเบื้องเพนโรสกระเบื้อง Penrose เป็นส่วนผสมของเพชรหนาและบาง ดังแสดงในรูปที่ สิบ.

รูปที่ 10 กระเบื้อง Penrose

สิ่งสำคัญคือต้องเน้นย้ำว่า กระเบื้องเพนโรสมีสมมาตร "ห้าเหลี่ยม" หรือสมมาตรของลำดับที่ 5 และอัตราส่วนของจำนวนของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหนาต่อบางมีแนวโน้มที่จะเป็นอัตราส่วนทองคำ!

และตอนนี้เรามาพูดถึงการค้นพบสมัยใหม่ที่โดดเด่นอีกชิ้นในสาขาเคมี การค้นพบนี้เกิดขึ้นในปี พ.ศ. 2528 นั่นคือไม่กี่ปีหลังจากควาซิคริสตัล เรากำลังพูดถึงสิ่งที่เรียกว่า "ฟูลเลอรีน" คำว่า "ฟูลเลอรีน" หมายถึงโมเลกุลแบบปิด เช่น C 60 , C 70 , C 76 , C 84 ซึ่งอะตอมของคาร์บอนทั้งหมดตั้งอยู่บนพื้นผิวทรงกลมหรือทรงกลม ในโมเลกุลเหล่านี้ อะตอมของคาร์บอนจะอยู่ที่จุดยอดของรูปหกเหลี่ยมหรือห้าเหลี่ยมปกติที่ปกคลุมพื้นผิวของทรงกลมหรือทรงกลม ตำแหน่งศูนย์กลางของฟูลเลอรีนถูกครอบครองโดยโมเลกุล C 60 ซึ่งมีลักษณะสมมาตรสูงสุดและเป็นผลให้มีความเสถียรสูงสุด ในโมเลกุลนี้ มีลักษณะคล้ายยางลูกฟุตบอลและมีโครงสร้างของไอโคซาฮีดรอนที่ถูกตัดออกตามปกติ (รูปที่ 2e และรูปที่ 3) อะตอมของคาร์บอนตั้งอยู่บนพื้นผิวทรงกลมที่จุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติ 20 รูปและรูปห้าเหลี่ยมปกติ 12 รูป เพื่อให้ รูปหกเหลี่ยมแต่ละรูปมีเส้นขอบเป็นรูปหกเหลี่ยมสามรูปและรูปห้าเหลี่ยมสามรูป และรูปห้าเหลี่ยมแต่ละรูปจะมีรูปหกเหลี่ยมล้อมรอบ

คำว่า "ฟูลเลอรีน" มาจากชื่อของสถาปนิกชาวอเมริกัน บัคมินสเตอร์ ฟุลเลอร์ ซึ่งปรากฎว่าใช้โครงสร้างดังกล่าวเมื่อสร้างโดมของอาคาร

"ฟูลเลอรีน" เป็นโครงสร้างที่ "มนุษย์สร้างขึ้น" โดยพื้นฐานแล้วได้มาจากการวิจัยทางฟิสิกส์พื้นฐาน พวกมันถูกสังเคราะห์ขึ้นเป็นครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ G. Kroto และ R. Smalley (ผู้ซึ่งได้รับรางวัลโนเบลในปี 1996 สำหรับการค้นพบนี้) แต่พวกเขาถูกพบโดยไม่คาดคิดในหินของยุค Precambrian นั่นคือฟูลเลอรีนไม่ได้เป็นเพียง "มนุษย์สร้างขึ้น" เท่านั้น แต่ยังเป็นการก่อตัวตามธรรมชาติด้วย ขณะนี้ฟูลเลอรีนกำลังได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้นในห้องปฏิบัติการ ประเทศต่างๆพยายามสร้างเงื่อนไขสำหรับการก่อตัว โครงสร้าง คุณสมบัติ และขอบเขตการใช้งานที่เป็นไปได้ ตัวแทนที่ได้รับการศึกษาอย่างเต็มที่ที่สุดของตระกูล fullerene คือ fullerene-60 (C 60) (บางครั้งเรียกว่า buckminster-fullerene เป็นที่รู้จักกันว่า Fullerene C 70 และ C 84 Fullerene C 60 ได้มาจากการระเหยของกราไฟต์ในบรรยากาศฮีเลียม ซึ่งก่อตัวเป็นผงละเอียดคล้ายเขม่าที่มีคาร์บอน 10% เมื่อละลายในเบนซินจะได้สารละลายสีแดงซึ่งเป็นผลึก C 60 ฟูลเลอรีนมีคุณสมบัติทางเคมีและกายภาพที่ผิดปกติ ดังนั้น ที่ความดันสูง C 60 แข็งเหมือนเพชร โมเลกุลก่อตัวเป็นโครงสร้างผลึก ราวกับว่าประกอบด้วยลูกบอลที่เรียบสนิท หมุนได้อย่างอิสระในโครงตาข่ายทรงลูกบาศก์ตรงกลางใบหน้า ด้วยคุณสมบัตินี้ C 60 จึงสามารถใช้เป็นสารหล่อลื่นแบบแข็งได้ ฟูลเลอรีนยังมีแม่เหล็กและ คุณสมบัติตัวนำยิ่งยวด

นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย A.V. Yeletsky และ B.M. Smirnov ในบทความของเขา "Fullerenes" ซึ่งตีพิมพ์ในวารสาร "Uspekhi วิทยาศาสตร์กายภาพ"(2536 เล่มที่ 163 ฉบับที่ 2) โปรดทราบว่า "fullerenes การมีอยู่ของสิ่งนั้นได้ถูกกำหนดขึ้น ในช่วงกลางทศวรรษที่ 80 และ เทคโนโลยีที่มีประสิทธิภาพการแยกตัวที่ได้รับการพัฒนาในปี 1990 ได้กลายเป็นหัวข้อของการวิจัยอย่างเข้มข้นโดยกลุ่มวิทยาศาสตร์หลายสิบกลุ่ม ผลลัพธ์ของการศึกษาเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบอย่างใกล้ชิดโดยบริษัทแอพพลิเคชั่น เนื่องจากการดัดแปลงคาร์บอนนี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์ ทั้งเส้นแปลกใจ คงไม่ฉลาดที่จะหารือเกี่ยวกับการคาดการณ์และ ผลที่เป็นไปได้การศึกษาฟูลเลอรีนในทศวรรษหน้า แต่ควรเตรียมพร้อมสำหรับความประหลาดใจครั้งใหม่”

Matjuska Teja Krasek สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีด้านจิตรกรรมจาก College of Visual Arts (Ljubljana, Slovenia) และเป็นศิลปินอิสระ อาศัยและทำงานในลูบลิยานา ทฤษฎีของเธอและ งานจริงเน้นความสมมาตรเป็นแนวคิดเชื่อมโยงระหว่างศิลปะและวิทยาศาสตร์ งานศิลปะของเธอได้รับการจัดแสดงในนิทรรศการระดับนานาชาติมากมายและเผยแพร่ใน วารสารนานาชาติ(วารสารเลโอนาร์โด, เลโอนาร์โดออนไลน์)

ม. Kraszek ที่นิทรรศการของเขา 'Kaleidoscopic Fragrances', Ljubljana, 2005

งานศิลปะของ Matyushka Teija Kraszek มีความเกี่ยวข้องกับสมมาตรประเภทต่างๆ, กระเบื้อง Penrose และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, ควอซิคริสตัล, ส่วนสีทองที่เป็นองค์ประกอบหลักของความสมมาตร, ตัวเลขฟีโบนัชชี ฯลฯ ด้วยความช่วยเหลือของการสะท้อน จินตนาการ และสัญชาตญาณ เธอพยายามที่จะ ค้นหาความสัมพันธ์ใหม่ โครงสร้างระดับใหม่ ใหม่และ ชนิดต่างๆลำดับในองค์ประกอบและโครงสร้างเหล่านี้ ในผลงานของเธอ เธอใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกเป็นสื่อที่มีประโยชน์มากในการสร้างงานศิลปะ ซึ่งเป็นการเชื่อมโยงระหว่างวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และศิลปะ

บนรูปที่ 11 แสดงองค์ประกอบของ T.M. Crashek ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข Fibonacci หากเราเลือกหนึ่งในตัวเลขฟีโบนัชชี (เช่น 21 ซม.) สำหรับความยาวของด้านข้างของเพชรเพนโรสในการจัดองค์ประกอบที่ไม่แน่นอนนี้ เราจะสังเกตได้ว่าความยาวของบางส่วนในองค์ประกอบสร้างลำดับฟีโบนัชชีได้อย่างไร

รูปที่ 11. Matushka Teija Kraszek "ตัวเลขฟีโบนัชชี", ผ้าใบ, 2541

จำนวนมาก องค์ประกอบทางศิลปะของศิลปินอุทิศให้กับผลึกควอซิคริสตัลของ Shechtman และโครงตาข่ายของเพนโรส (รูปที่ 12)


(ก)	(ข)


(ใน)	(ช)

รูปที่ 12.โลกของ Theia Kraszek: (a) โลกของ quasicrystal คอมพิวเตอร์กราฟิก, 2539.
(ข) ดาว. คอมพิวเตอร์กราฟิก พ.ศ. 2541 (ค) 10/5. Holst, 1998 (d) ควอซิคิวบ์ แคนวาส, 2542

ในองค์ประกอบของ Matyushka Teija Kraszek และ Clifford Pickover "Biogenesis", 2005 (รูปที่ 13) มีการนำเสนอรูปสิบเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วย Penrose rhombuses เราสามารถสังเกตเห็นความสัมพันธ์ระหว่างเพชร Petrouse; เพชรเพนโรสทุกสองเม็ดที่อยู่ติดกันก่อตัวเป็นรูปดาวห้าเหลี่ยม

รูปที่ 13. Matushka Theia Kraszek และ Clifford Pickover ไบโอเจเนซิส, 2548.

ในรูปภาพ ดับเบิลสตาร์ GA(รูปที่ 14) เราจะเห็นว่าไทล์ Penrose เข้ากันได้อย่างไรเพื่อสร้างการแสดงสองมิติของวัตถุที่อาจมีหลายมิติด้วยฐานสิบเหลี่ยม เมื่อวาดภาพศิลปินใช้วิธีขอบแข็งที่เสนอโดย Leonardo da Vinci มันเป็นวิธีการของภาพที่ช่วยให้คุณเห็นในการฉายภาพบนระนาบ เบอร์ใหญ่รูปห้าเหลี่ยมและห้าเหลี่ยมซึ่งเกิดจากการคาดคะเนของขอบแต่ละด้านของเพนโรสรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน นอกจากนี้ ในการฉายภาพบนระนาบ เราเห็นรูปสิบเหลี่ยมที่เกิดจากขอบของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเพนโรส 10 อันที่อยู่ติดกัน โดยพื้นฐานแล้ว ในภาพนี้ Matyushka Teija Kraszek พบรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใหม่ ซึ่งค่อนข้างเป็นไปได้ว่ามีอยู่จริงในธรรมชาติ

รูปที่ 14. Matushka Tia Kraszek ดับเบิลสตาร์ GA

ในองค์ประกอบของ Crashek "Stars for Donald" (รูปที่ 15) เราสามารถสังเกตการโต้ตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ Penrose rhombuses, รูปดาวห้าแฉก, รูปห้าเหลี่ยม, ลดลงไปยังจุดศูนย์กลางขององค์ประกอบ อัตราส่วนอัตราส่วนทองคำแสดงได้หลายวิธีในระดับต่างๆ

รูปที่ 15. Matyushka Teija Kraszek "Stars for Donald", คอมพิวเตอร์กราฟิก, 2548

องค์ประกอบทางศิลปะของ Matyushka Teija Kraszek ได้รับความสนใจอย่างมากจากตัวแทนของวิทยาศาสตร์และศิลปะ ศิลปะของเธอเทียบได้กับศิลปะของ Maurits Escher และศิลปินชาวสโลวีเนียเรียกว่า "Escher ยุโรปตะวันออก" และ "ของขวัญสโลวีเนีย" สำหรับศิลปะโลก

Stakhov A.P. "รหัสดาวินชี", Platonic และ Archimedean solids, quasicrystals, fullerenes, Penrose lattices และโลกศิลปะของ Matyushka Teija Kraszek // "Academy of Trinitarianism", M. , El No. 77-6567, publ. 12561, 07.11 2548

หลักสูตรนี้ออกแบบมาเพื่อ:

1) รวบรวม เจาะลึก และขยายความรู้ทางทฤษฎีในด้านวิธีการสร้างแบบจำลองพื้นผิวและวัตถุ ทักษะการปฏิบัติและทักษะในการใช้ซอฟต์แวร์ของวิธีการ

2) พัฒนาทักษะการทำงานอิสระ

3) เพื่อพัฒนาความสามารถในการกำหนดคำตัดสินและข้อสรุปเพื่อระบุเหตุผลและข้อสรุป

ของแข็งของเพลโตคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ มุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจะสอดคล้องกัน ต่อไปนี้จากการคำนวณผลรวมของมุมราบที่จุดยอด มีรูปทรงโพลีเฮดราปกตินูนไม่เกินห้าอัน ตามวิธีที่ระบุไว้ด้านล่าง สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติอยู่ห้าแบบ (พิสูจน์โดย Euclid) พวกมันคือจัตุรมุขปกติ, เฮกซะฮีดรอน (ลูกบาศก์), แปดหน้า, สิบสองเหลี่ยมและอิโคซาฮีดรอน ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเหล่านี้มาจากกรีก ในการแปลตามตัวอักษรจากภาษากรีก "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "icosahedron" หมายถึง: "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron" สิบสองหน้า, สิบสองหน้า.

ตารางที่ 1

ตารางที่ 2

ชื่อ:	รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบ	รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้
จัตุรมุข
รูปหกเหลี่ยม

สิบสองหน้า
icosahedron

จัตุรมุข- จัตุรมุขซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมเช่น พีระมิดสามเหลี่ยม; จัตุรมุขปกติล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป (รูปที่ 1)

Cube หรือ hexahedron ปกติ- ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติที่มีขอบเท่ากัน จำกัด ด้วยหกสี่เหลี่ยม (รูปที่ 1)

แปดด้าน- รูปแปดหน้า; ร่างกายล้อมรอบด้วยแปดสามเหลี่ยม รูปแปดด้านปกติล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป หนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 1)

สิบสองหน้า- dodecahedron ร่างกายที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมสิบสอง; ห้าเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 1)

icosahedron- ร่างยี่สิบด้าน, ร่างกายล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมยี่สิบรูป; icosahedron ปกติล้อมรอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายี่สิบรูป (รูปที่ 1)

ลูกบาศก์และแปดด้านเป็นคู่นั่นคือ จะได้รับจากแต่ละอื่น ๆ ถ้าจุดศูนย์กลางของใบหน้าของคนหนึ่งเป็นจุดยอดของอีกคนหนึ่งและในทางกลับกัน dodecahedron และ icosahedron เป็นคู่ในทำนองเดียวกัน จัตุรมุขเป็นคู่ของมันเอง รูปสิบสองหน้าปกติได้มาจากลูกบาศก์โดยการสร้าง "หลังคา" บนหน้าของมัน (วิธีของยุคลิด) จุดยอดของจัตุรมุขคือจุดยอดสี่จุดใดๆ ของลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ติดกันตามขอบ นี่คือวิธีรับโพลีเฮดราปกติอื่นๆ ทั้งหมดจากลูกบาศก์ ความจริงของการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจริงๆ เพียงห้าเหลี่ยมนั้นน่าทึ่งมาก ท้ายที่สุดแล้ว บนระนาบมีรูปหลายเหลี่ยมปกติมากมายนับไม่ถ้วน!

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเป็นที่รู้จักในสมัยกรีกโบราณและหนังสือเล่มที่ 13 ของ "จุดเริ่มต้น" ของ Euclid นั้นอุทิศให้กับพวกเขา พวกเขาเรียกอีกอย่างว่าร่างของเพลโตเพราะ พวกเขาครอบครองสถานที่สำคัญในแนวคิดทางปรัชญาของเพลโตเกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาล รูปทรงหลายเหลี่ยมสี่หน้าเป็นตัวเป็นตนในสี่สาระสำคัญหรือ "องค์ประกอบ" จัตุรมุขเป็นสัญลักษณ์ของไฟเพราะ ด้านบนของมันถูกชี้ขึ้น; icosahedron? น้ำ เพราะ เขาเป็น "คล่องตัว" ที่สุด; ลูกบาศก์ - โลกเป็น "มั่นคง" ที่สุด; แปดด้าน? อากาศเป็น "โปร่งสบาย" ที่สุด รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ห้าคือ dodecahedron ซึ่งรวม "ทุกสิ่งที่มีอยู่" ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของจักรวาลทั้งหมดและถือเป็นอันหลัก

ชาวกรีกโบราณถือว่าความสัมพันธ์ที่กลมกลืนเป็นพื้นฐานของจักรวาล ดังนั้นธาตุทั้งสี่จึงเชื่อมต่อกันด้วยสัดส่วนดังกล่าว: ดิน / น้ำ = อากาศ / ไฟ

ในการเชื่อมต่อกับร่างกายเหล่านี้ จะเป็นการเหมาะสมที่จะกล่าวว่าระบบแรกขององค์ประกอบ ซึ่งรวมถึงสี่องค์ประกอบ? ดิน น้ำ ลม ไฟ ถูกทำให้เป็นนักบุญโดยอริสโตเติล องค์ประกอบเหล่านี้ยังคงเป็นเสาหลักทั้งสี่ของจักรวาลมาเป็นเวลาหลายศตวรรษ ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะระบุสถานะของสสารทั้งสี่สถานะที่เรารู้จัก - ของแข็ง ของเหลว ก๊าซ และพลาสมา

สถานที่สำคัญถูกครอบครองโดยรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในระบบโครงสร้างที่กลมกลืนกันของโลกโดย I. Kepler ความเชื่อเดียวกันทั้งหมดในเรื่องความสามัคคี ความงาม และโครงสร้างปกติทางคณิตศาสตร์ของเอกภพทำให้ I. Kepler เกิดแนวคิดที่ว่าเนื่องจากมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าดวง จึงมีเพียงดาวเคราะห์หกดวงเท่านั้นที่สอดคล้องกับพวกมัน ในความคิดของเขา ทรงกลมของดาวเคราะห์เชื่อมต่อกันโดย Platonic solids ที่จารึกไว้ในนั้น เนื่องจากสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอันจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกและล้อมรอบตรงกัน แบบจำลองทั้งหมดจะมีศูนย์กลางเดียวซึ่งดวงอาทิตย์จะตั้งอยู่

หลังจากทำงานด้านการคำนวณครั้งใหญ่ในปี ค.ศ. 1596 I. Kepler ได้ตีพิมพ์ผลการค้นพบของเขาในหนังสือ "The Secret of the Universe" เขาจารึกลูกบาศก์ไว้ในวงโคจรของดาวเสาร์ในลูกบาศก์? ทรงกลมของดาวพฤหัสบดีทรงกลมของดาวพฤหัสบดี - จัตุรมุขและอื่น ๆ ที่พอดีกับทรงกลมของดาวอังคารอย่างต่อเนื่อง? dodecahedron, ทรงกลมของโลก? icosahedron ทรงกลมของดาวศุกร์? octahedron, ทรงกลมของดาวพุธ ความลับของจักรวาลดูเหมือนจะเปิด

วันนี้สามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่าระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ไม่เกี่ยวข้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ว่าหากไม่มี "ความลับของจักรวาล", "ความกลมกลืนของโลก" โดย I. Kepler, รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ จะไม่มีกฎที่มีชื่อเสียงสามข้อของ I. Kepler ซึ่งเล่น บทบาทสำคัญในการอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

คุณสามารถเห็นร่างกายที่น่าทึ่งเหล่านี้ได้ที่ไหนอีก? ในหนังสือของนักชีววิทยาชาวเยอรมันเมื่อต้นศตวรรษที่แล้ว E. Haeckel "ความงามของรูปแบบในธรรมชาติ" คุณสามารถอ่านบรรทัดต่อไปนี้: "ธรรมชาติป้อนเข้าสู่อกในปริมาณที่ไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อย สิ่งมีชีวิตที่น่าทึ่งซึ่งมีความงามและความหลากหลายเกินกว่าศิลปะทุกรูปแบบที่มนุษย์สร้างขึ้น "การสร้างสรรค์ของธรรมชาติในหนังสือเล่มนี้มีความสวยงามและสมมาตร นี่เป็นคุณสมบัติที่แยกออกจากกันไม่ได้ของความกลมกลืนของธรรมชาติ แต่สิ่งมีชีวิตเซลล์เดียวยังปรากฏให้เห็นที่นี่? รูปร่างที่สื่อถึง icosahedron ได้อย่างถูกต้องรูปทรงเรขาคณิตตามธรรมชาตินี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจำนวนหน้าเท่ากันมันเป็น icosahedron ที่มีปริมาตรมากที่สุดและ พื้นที่ที่เล็กที่สุดพื้นผิว คุณสมบัติทางเรขาคณิตนี้ช่วยให้จุลินทรีย์ในทะเลเอาชนะแรงดันของคอลัมน์น้ำได้

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสนใจว่ามันเป็น icosahedron ที่กลายเป็นจุดสนใจของนักชีววิทยาในข้อพิพาทเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส ไวรัสไม่สามารถกลมได้อย่างสมบูรณ์อย่างที่คิด เพื่อสร้างรูปร่าง พวกเขาใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายหน้า ฉายแสงไปที่พวกมันในมุมเดียวกับการไหลของอะตอมไปยังไวรัส ปรากฎว่ามีเพียงหนึ่งรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้นที่ให้เงาเหมือนกันทุกประการ? icosahedron. ของเขา คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่กล่าวมาแล้วให้ท่านบันทึก ข้อมูลทางพันธุกรรม. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ? ตัวเลขที่ทำกำไรได้มากที่สุด และธรรมชาติใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ ผลึกของสารบางอย่างที่เราคุ้นเคยนั้นอยู่ในรูปของโพลีเฮดราปกติ ดังนั้น ลูกบาศก์จึงสื่อถึงรูปร่างของผลึกโซเดียมคลอไรด์ NaCl ซึ่งเป็นผลึกเดี่ยวของอะลูมิเนียม-โพแทสเซียม สารส้ม (KAlSO4) 2 12H2O มีรูปร่างเป็นแปดด้าน ผลึกของซัลเฟอร์ไพไรต์ FeS มีรูปร่างเป็นสองเหลี่ยม ส่วนพลวงโซเดียมซัลเฟตคือ จัตุรมุข, โบรอนเป็น icosahedron รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกำหนดรูปร่างของโครงผลึกของสารเคมีบางชนิด

ดังนั้น รูปทรงโพลีเฮดราปกติจึงเปิดเผยให้เราเห็นถึงความพยายามของนักวิทยาศาสตร์ในการเข้าถึงความลับของความกลมกลืนของโลก และแสดงให้เห็นถึงความน่าดึงดูดและความงามที่ไม่อาจต้านทานได้ของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้

ร่างกายของ PLATONIAN พร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

ร่างกายของ PLATON [P. - จากภาษากรีก Platon (427-347 BC / T. - ต้นกำเนิด ดู BODY) คอลเลกชันของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด [เช่น e. ร่างกายปริมาตร (สามมิติ) ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากัน] ของโลกสามมิติซึ่งอธิบายครั้งแรกโดยเพลโต (หนังสือเล่มสุดท้ายเล่มที่สิบสามของ "จุดเริ่มต้น" ของ Euclid ลูกศิษย์ของเพลโตก็อุทิศให้กับพวกเขาเช่นกัน); // ด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่หลากหลายไม่สิ้นสุด (รูปทรงเรขาคณิตสองมิติที่ล้อมรอบด้วยด้านที่เท่ากัน คู่ที่อยู่ติดกันซึ่งมีมุมเท่ากัน) มี P.T. เชิงปริมาตรเพียงห้ารูป (ดูตารางที่ 6) ตามที่เพลโตได้วางองค์ประกอบทั้งห้าของจักรวาลไว้ การเชื่อมต่อที่มีอยู่ระหว่างรูปสิบสองหน้าและแปดหน้าเช่นเดียวกับระหว่างสิบสองหน้าและ icosahedron นั้นเป็นสิ่งที่น่าสงสัย: ศูนย์กลางทางเรขาคณิตของใบหน้าของแต่ละใบหน้าแรกคือจุดยอดของแต่ละวินาที

บุคคลแสดงความสนใจในรูปทรงหลายเหลี่ยมตลอดกิจกรรมที่ใส่ใจ ตั้งแต่เด็กอายุสองขวบที่เล่นกับลูกบาศก์ไม้ไปจนถึงนักคณิตศาสตร์ผู้ใหญ่ ร่างกายปกติและกึ่งปกติบางส่วนเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปของผลึก ส่วนอื่น ๆ อยู่ในรูปของไวรัสที่สามารถมองเห็นได้ด้วยกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน รูปทรงหลายเหลี่ยมคืออะไร? ในการตอบคำถามนี้ ขอให้เราระลึกว่าบางครั้งเรขาคณิตเองก็ถูกกำหนดให้เป็นวิทยาศาสตร์ของพื้นที่และตัวเลขเชิงพื้นที่ - สองมิติและสามมิติ รูปสองมิติสามารถกำหนดให้เป็นชุดของส่วนของเส้นที่ล้อมรอบส่วนหนึ่งของระนาบ รูปแบนดังกล่าวเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายหน้าสามารถกำหนดให้เป็นชุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ล้อมรอบส่วนของปริภูมิสามมิติ รูปหลายเหลี่ยมที่เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้าของมัน

ตั้งแต่สมัยโบราณ นักวิทยาศาสตร์สนใจรูปหลายเหลี่ยม "ในอุดมคติ" หรือรูปหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งก็คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันและมุมเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าถือได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุด เนื่องจากมีจำนวนด้านน้อยที่สุดที่สามารถจำกัดส่วนหนึ่งของระนาบได้ ภาพทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมที่เราสนใจพร้อมกับสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ: สี่เหลี่ยมจัตุรัส (สี่ด้าน) ห้าเหลี่ยม (ห้าด้าน) หกเหลี่ยม (หกด้าน) แปดเหลี่ยม (แปดด้าน) สิบเหลี่ยม ( สิบด้าน) เป็นต้น เห็นได้ชัดว่า ในทางทฤษฎีไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ นั่นคือ จำนวนของรูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร? รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าปกติถ้าใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน (หรือเท่ากัน) ซึ่งกันและกันและในเวลาเดียวกันเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติกี่แบบ? เมื่อมองแวบแรก คำตอบสำหรับคำถามนี้ง่ายมาก - มากเท่าที่มีรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ ใน Euclid's Elements เราพบข้อพิสูจน์ที่หนักแน่นว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าแบบ และรูปหลายเหลี่ยมปกติสามประเภทเท่านั้นที่สามารถเป็นใบหน้าได้: สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม

ชื่อ จำนวนใบหน้า องค์ประกอบ
เตตระฮีดรอน 4 ไฟ
เฮกซะฮีดรอน/ลูกบาศก์ 6 โลก
ออกตาฮีดรอน 8 อากาศ
อิโคซาฮีดรอน 10 น้ำ
สิบสองหน้า 12 อีเธอร์

โลกของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นรูปดาว

โลกของเราเต็มไปด้วยความสมมาตร ตั้งแต่สมัยโบราณ ความคิดของเราเกี่ยวกับความงามได้เชื่อมโยงกับมัน บางทีนี่อาจอธิบายถึงความสนใจที่ยั่งยืนของมนุษย์ในสัญลักษณ์อันน่าทึ่งของสมมาตร ซึ่งดึงดูดความสนใจของนักคิดที่โดดเด่นหลายคน ตั้งแต่เพลโตและยุคลิดไปจนถึงออยเลอร์และคอชี

อย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมไม่ได้เป็นเพียงเป้าหมายของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เท่านั้น รูปแบบของพวกเขาสมบูรณ์และแปลกประหลาดใช้กันอย่างแพร่หลายในงานศิลปะการตกแต่ง

รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวมีการตกแต่งที่สวยงามซึ่งทำให้สามารถใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเครื่องประดับในการผลิตเครื่องประดับทุกชนิด นอกจากนี้ยังใช้ในสถาปัตยกรรม รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตลเลตหลายรูปแบบได้รับการแนะนำโดยธรรมชาติ เกล็ดหิมะเป็นรูปหลายเหลี่ยมรูปดาว ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนพยายามอธิบายเกล็ดหิมะทุกประเภทที่เป็นไปได้และได้รวบรวมแผนที่พิเศษ ตอนนี้รู้จักเกล็ดหิมะหลายพันชนิดแล้ว

สิบสองเหลี่ยมดาวฤกษ์

รูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีดาวขนาดใหญ่อยู่ในตระกูลของของแข็ง Kepler-Poinsot นั่นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ไม่นูน ใบหน้าของ dodecahedron กลุ่มดาวใหญ่เป็นรูปดาวห้าแฉก เช่นเดียวกับใบหน้าของ dodecahedron กลุ่มดาวเล็ก จุดยอดแต่ละจุดเชื่อมสามหน้า จุดยอดของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีวงโคจรขนาดใหญ่ตรงกับจุดยอดของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีเส้นรอบวง

เคปเลอร์อธิบายรูปสิบสองเหลี่ยมวงเดือนใหญ่ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1619 นี่คือรูปแบบดาวสองหน้าปกติรูปวงจักรสุดท้าย

สิบสองหน้า

นักปราชญ์โบราณกล่าวว่า: "หากต้องการทราบสิ่งที่มองไม่เห็นให้พิจารณาสิ่งที่มองเห็นได้อย่างละเอียด" ในแง่ของพลังศักดิ์สิทธิ์ รูปทรงสองหน้าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ทรงพลังที่สุด ไม่น่าแปลกใจที่ Salvador Dali เลือกตัวเลขนี้สำหรับ "Last Supper" ของเขา ในนั้นจากรูปห้าเหลี่ยมสิบสองเหลี่ยมซึ่งเป็นตัวเลขที่แข็งแกร่งกองกำลังจะรวมอยู่ที่จุดหนึ่งคือพระเยซูคริสต์

สิบสองหน้า(จากภาษากรีก dodeka - สิบสองและ hedra - edge) เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสิบสองเหลี่ยม

dodecahedron มีจุดยอด 20 จุดและขอบ 30 เส้น
จุดยอดของทรงห้าเหลี่ยมคือจุดยอดของห้าเหลี่ยมสามเหลี่ยม ดังนั้นผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 324°
ผลรวมของความยาวของขอบทั้งหมดคือ 30a
dodecahedron มีศูนย์กลางสมมาตรและแกนสมมาตร 15 แกน

แต่ละแกนผ่านจุดกึ่งกลางของซี่โครงคู่ขนานตรงข้าม dodecahedron มีระนาบสมมาตร 15 ระนาบ ระนาบสมมาตรใด ๆ ผ่านไปในแต่ละหน้าผ่านจุดยอดและตรงกลางของขอบตรงข้าม

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติดึงดูดด้วยความสมบูรณ์แบบของรูปแบบสมมาตรที่สมบูรณ์ ร่างกายที่ถูกต้องและกึ่งปกติบางส่วนเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปของคริสตัลส่วนอื่น ๆ - ในรูปแบบของไวรัสซึ่งเป็นจุลินทรีย์ที่ง่ายที่สุด
คริสตัลเป็นวัตถุที่มีรูปร่างหลายแง่มุม นี่คือตัวอย่างหนึ่งของวัตถุดังกล่าว: ผลึกไพไรต์ (กำมะถันไพไรต์ FeS) เป็นแบบจำลองตามธรรมชาติของรูปทรงสิบสองเหลี่ยม
ไวรัสโปลิโอมีรูปร่างเป็นสองด้าน มันสามารถมีชีวิตอยู่และขยายพันธุ์ได้เฉพาะในเซลล์มนุษย์และไพรเมตเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายความว่าคุณสามารถรับเชื้อโปลิโอได้จากผู้คนเท่านั้น นอกจากนี้ ไวรัสจำนวนมากยังถูกส่งผ่านพาหะนำโรค ซึ่งมักจะถูกพาโดยสัตว์ขาปล้อง (เช่น เห็บ) ไวรัสดังกล่าวสามารถมีโฮสต์ได้หลากหลาย รวมทั้งสัตว์มีกระดูกสันหลังและสัตว์ไม่มีกระดูกสันหลัง

มีตัวอย่างที่มีทั้งเซลล์สี่เหลี่ยมและแปดเหลี่ยม แต่นักชีววิทยาสังเกตว่าหากไม่มีเซลล์ที่ "ไม่เป็นมาตรฐาน" ดังกล่าว (มีด้านน้อยกว่าห้าและมากกว่าเจ็ด) แสดงว่ามีเซลล์ห้าเหลี่ยมมากกว่าสิบสองเหลี่ยมเสมอ (อาจมีเซลล์ทั้งหมดหลายร้อยหรือหลายพันเซลล์) ข้อความนี้ตามมาจากสูตรออยเลอร์ที่รู้จักกันดี
ฟูลเลอรีนเป็นหนึ่งในรูปแบบของคาร์บอน พวกเขาถูกค้นพบในขณะที่พยายามจำลองกระบวนการที่เกิดขึ้นในอวกาศ ต่อมา นักวิทยาศาสตร์ในห้องปฏิบัติการภาคพื้นดินสามารถสังเคราะห์และศึกษาอนุพันธ์จำนวนมากของโมเลกุลทรงกลมเหล่านี้ได้ เคมีของฟูลเลอรีนเกิดขึ้น สารประกอบบางอย่างที่รวมอยู่ในตาข่ายคริสตัลของ C60 ฟูลเลอรีนกลายเป็น "ตัวนำยิ่งยวดร้อน" ที่มีอุณหภูมิวิกฤตสูงถึง 117 เค
มีความพยายามในการสร้างวัสดุจากฟูลเลอรีนสำหรับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ระดับโมเลกุลที่เพิ่งตั้งไข่ ทั้งหมดนี้น่าสนใจและสำคัญ แต่ฟูลเลอรีนก็พบได้ในหินบนบกเช่นกัน ปัจจุบัน เนื่องจากมีฟูลเลอรีนในชูไนต์ ผู้ที่ชื่นชอบบางคนเชื่อมโยงผลการรักษาของน้ำในการต่อสู้ที่ค้นพบในปี 1714 ซึ่งปีเตอร์มหาราชได้รับการรักษา และการค้นพบล่าสุดของนักธรณีเคมีทำให้เรากลับไปสู่ปัญหาต้นกำเนิดฟูลเลอรีน เป็นไปได้ว่าใหม่ การวิจัยทางเคมีฟูลเลอรีนภาคพื้นดินจะเปิดหน้าอื่น ๆ ของประวัติศาสตร์อันยาวนานของโลกเล็กน้อย!
ในการเล่นแร่แปรธาตุ มักจะพูดถึงธาตุเหล่านี้เท่านั้น: ไฟ ดิน อากาศ และน้ำ; ไม่ค่อยมีใครพูดถึงอีเธอร์เพราะมันศักดิ์สิทธิ์มาก ในโรงเรียน Pythagorean ถ้าคุณเอ่ยคำว่า "dodecahedron" นอกกำแพงโรงเรียน คุณจะถูกฆ่าทันที ตัวเลขนี้ถือว่าศักดิ์สิทธิ์มาก พวกเขาไม่ได้พูดถึงเธอด้วยซ้ำ สองร้อยปีต่อมาในช่วงชีวิตของเพลโตพวกเขาพูดถึงเธอ แต่อย่างระมัดระวังเท่านั้น ทำไม เนื่องจากทรงสิบสองหน้าตั้งอยู่ที่ขอบด้านนอกของคุณ สนามพลังงานและเป็นสติสัมปชัญญะขั้นสูงสุด เมื่อคุณถึงขีด จำกัด 55 ฟุตของสนามพลังงานของคุณ มันจะอยู่ในรูปทรงกลม แต่รูปทรงภายในที่ใกล้กับทรงกลมมากที่สุดคือรูปทรงสิบสองหน้า นอกจากนี้ เราอาศัยอยู่ในรูปทรงสิบสองเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่มีเอกภพ เมื่อความคิดของคุณมาถึงขีดจำกัดของพื้นที่ของจักรวาล - และมีขีดจำกัด - มันก็จะสะดุดกับรูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่ปิดอยู่ในทรงกลม รูปทรงสิบสองเหลี่ยมเป็นรูปทรงสุดท้ายของเรขาคณิตและมีความสำคัญมาก
ในระดับจุลทรรศน์ dodecahedron และ icosahedron เป็นมิติสัมพัทธ์ของ DNA ที่ทุกชีวิตสร้างขึ้น คุณจะเห็นด้วยว่าโมเลกุลของ DNA เป็นลูกบาศก์ที่หมุนได้ เมื่อลูกบาศก์หมุนตามลำดับ 72 องศาตามแบบจำลองที่กำหนด จะได้ icosahedron ซึ่งในทางกลับกันคือคู่ของ dodecahedron
ดังนั้นเกลียวคู่ของ DNA helix จึงถูกสร้างขึ้นบนหลักการของการโต้ตอบแบบสองทาง: icosahedron ตามด้วย dodecahedron จากนั้นอีกครั้ง icosahedron และอื่น ๆ การหมุนผ่านลูกบาศก์นี้จะสร้างโมเลกุลดีเอ็นเอ
โครงสร้างของ DNA ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตศักดิ์สิทธิ์ แม้ว่าความสัมพันธ์ที่ซ่อนอยู่อื่น ๆ อาจถูกเปิดเผย
หนังสือ Heartmath ของ Dan Winter แสดงให้เห็นว่าโมเลกุล DNA ประกอบด้วยความสัมพันธ์แบบคู่ของ dodecahedrons และ icosahedrons

หน้าปัจจุบัน: 4 (หนังสือทั้งหมดมี 36 หน้า) [ข้อความที่ตัดตอนมาจากการอ่าน: 9 หน้า]

Platonic solids สนับสนุนเวทมนตร์บางชนิดรอบตัวพวกเขา พวกเขาเคยเป็นและยังคงเป็นวัตถุที่คุณสามารถใช้เวทมนตร์ได้ พวกเขาหยั่งรากลึกในยุคก่อนประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและตอนนี้ใช้ชีวิตเป็นวัตถุที่สัญญาว่าจะโชคดีหรือโชคร้ายในเกมกระดานที่มีชื่อเสียงที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเกม Dungeons and Dragons ที่มีชื่อเสียง นอกจากนี้ พลังลึกลับของพวกมันยังเป็นแรงบันดาลใจให้นักวิทยาศาสตร์ค้นพบการค้นพบที่สำคัญที่สุดในการพัฒนาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ความงามที่อธิบายไม่ได้ของพวกเขามีค่าควรแก่การจดจ่ออยู่กับพวกเขา

Albrecht Dürer ในงานแกะสลัก "Melancholia I" (ป่วย 4) ของเขาบ่งบอกถึงเสน่ห์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ แม้ว่าร่างกายที่ปรากฎในภาพของเขาจะไม่ค่อยสงบก็ตาม (ในทางเทคนิคแล้วมันคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสามเหลี่ยมที่ถูกตัดออก สามารถรับได้โดยการยืดใบหน้าของทรงแปดหน้าด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง) บางที Winged Genius อาจตกอยู่ในความเศร้าโศกเพราะเขาไม่เข้าใจว่าทำไมความชั่วร้าย ค้างคาวโยนเข้าไปในห้องทำงานของเขาตรงนี้ ไม่ใช่แบบ Platonic solid แทนที่จะเป็นตัวเลขปกติ

ป่วย. 4. อัลเบรทช์ ดูเรอร์ "Melancholia I"

ภาพวาดแสดง Platonic solid ที่ถูกตัดทอน เมจิกสแควร์และสัญลักษณ์ลึกลับอื่น ๆ อีกมากมาย จากมุมมองของฉัน มันแสดงให้เห็นได้อย่างสมบูรณ์แบบถึงความน่ารำคาญที่ฉันมักรู้สึกเมื่อพยายามเข้าใจความเป็นจริงด้วยความคิดที่บริสุทธิ์ โชคดีที่ไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป

ก่อนที่จะไปยัง Platonic solids เรามาเริ่มด้วยสิ่งที่ง่ายกว่า - ด้วยอะนาล็อกที่ใกล้เคียงที่สุดในสองมิติ ได้แก่ รูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปแบนซึ่งทุกด้านเท่ากันและมาบรรจบกันที่มุมเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุดมีสามด้าน - เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ถัดไปเป็นสี่เหลี่ยมที่มีสี่ด้าน จากนั้น - ห้าเหลี่ยมปกติหรือห้าเหลี่ยม (ซึ่งได้รับเลือกให้เป็นสัญลักษณ์ของ Pythagoreans และใช้เป็นพื้นฐานในการออกแบบสำนักงานใหญ่ที่มีชื่อเสียงของกองทัพ 9
นี่หมายถึงเพนตากอน - อาคารบริหารหลักของกระทรวงกลาโหมสหรัฐฯ - บันทึก. ต่อ.

) รูปหกเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของรังผึ้ง และกราฟีนอย่างที่เราจะได้เห็นในภายหลัง 10
ชั้นของอะตอมของคาร์บอนเชื่อมต่อกันเป็นตาข่ายคริสตัลสองมิติหกเหลี่ยม - บันทึก. ต่อ.

), รูปห้าเหลี่ยม (สามารถพบได้ในเหรียญต่างๆ), รูปแปดเหลี่ยม (ป้ายหยุดบังคับ), nonagon ... ชุดนี้สามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ : สำหรับจำนวนเต็มแต่ละจำนวนโดยเริ่มจากสามจะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ไม่ซ้ำกัน ในแต่ละกรณี จำนวนจุดยอดจะเท่ากับจำนวนด้าน เรายังสามารถพิจารณาวงกลมเป็นกรณีสุดโต่งของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งจำนวนด้านจะไม่มีที่สิ้นสุด

รูปหลายเหลี่ยมปกติในความหมายเชิงสัญชาตญาณบางอย่างสามารถใช้แทนความหมายของรูปลักษณ์ในอุดมคติของ "อะตอม" ในระนาบได้ พวกมันสามารถทำหน้าที่เป็นอะตอมเชิงแนวคิดซึ่งเราสามารถสร้างโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นของระเบียบและสมมาตร

รูปทรงหลายเหลี่ยม

จำนวนด้านของใบหน้า ม

จำนวนใบหน้าที่มาบรรจบกันที่จุดยอด น

จำนวนใบหน้า

จำนวนจุดยอด

จำนวนซี่โครง

จำนวนมุมเรียบบนพื้นผิว

รูปหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์)

icosahedron

สิบสองหน้า

ตอนนี้เรามาเปลี่ยนจากรูปแบนๆ ไปเป็นสามมิติกัน เพื่อให้มีความสม่ำเสมอสูงสุด เราสามารถสรุปแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติได้หลายวิธี สิ่งที่เป็นธรรมชาติที่สุดของพวกเขาซึ่งกลายเป็นสิ่งที่มีผลมากที่สุดนำไปสู่ของแข็งแบบสงบ เรากำลังพูดถึงวัตถุสามมิติซึ่งใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเหมือนกันทั้งหมดและปิดด้วยวิธีเดียวกันที่จุดสุดยอดแต่ละจุด จากนั้น แทนที่จะเป็นชุดคำตอบที่ไม่สิ้นสุด เราได้วัตถุห้าชิ้นพอดีเป๊ะ!

ป่วย. 5. Five Platonic solids - ตัวเลขที่มีมนต์ขลัง

Platonic solids ทั้งห้าคือ:

จัตุรมุขมีสี่หน้าสามเหลี่ยมและสี่จุดยอดซึ่งแต่ละหน้าสามมาบรรจบกัน

รูปแปดด้านมีรูปสามเหลี่ยมแปดหน้าและจุดยอดหกจุด ซึ่งแต่ละด้านมาบรรจบกันสี่หน้า

icosahedronมีใบหน้ารูปสามเหลี่ยม 20 รูปและจุดยอด 12 จุด โดยแต่ละด้านมีห้าหน้ามาบรรจบกัน

สิบสองหน้ามีหน้าห้าเหลี่ยม 20 หน้าและจุดยอด 20 จุด ซึ่งแต่ละหน้าทั้งสามมาบรรจบกัน

ลูกบาศก์มีหกหน้าเหลี่ยมและแปดยอด แต่ละหน้ามีสามหน้ามาบรรจบกัน

การมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งห้านี้เข้าใจได้ง่าย และแบบจำลองของพวกมันสามารถสร้างได้โดยไม่ยากมากนัก แต่ทำไมมีเพียงห้า? (หรือมีอย่างอื่นอีก?)

เพื่อจัดการกับคำถามนี้ ให้สังเกตว่าจุดยอดของจัตุรมุข แปดด้าน และอิโคซาฮีดรอนรวมสามเหลี่ยมสาม สี่ และห้าเข้าด้วยกัน แล้วถามคำถาม: "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราดำเนินการต่อไปและมีหก" จากนั้นเราจะเข้าใจว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหกรูปที่มีจุดยอดร่วมกันจะอยู่บนระนาบ ไม่ว่าเราจะทำซ้ำวัตถุแบนนี้มากเพียงใด มันจะไม่อนุญาตให้เราสร้างตัวเลขที่สมบูรณ์ซึ่งจำกัดปริมาณที่แน่นอน แทน ร่างจะกระจายไปทั่วระนาบอย่างไม่มีกำหนด ดังแสดงในรูป 6 (ซ้าย).

ป่วย. 6. สามพื้นผิว Platonic ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

รูปนี้แสดงเฉพาะส่วนสุดท้ายเท่านั้น การแทนที่ที่ถูกต้องทั้งสามนี้สำหรับเครื่องบินสามารถและควรถูกมองว่าคล้ายกับ Platonic solids - พี่น้องที่หลงทางของพวกเขาที่ไปแสวงบุญและจะไม่กลับมาอีก

เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากจับคู่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่ช่องหรือหกเหลี่ยมสามช่อง สามตัวนี้ ส่วนที่ถูกต้องบนเครื่องบิน - การเพิ่มเติมที่คุ้มค่ากับ Platonic solids ต่อไปเราจะเห็นว่าพวกมันมีชีวิตขึ้นมาได้อย่างไรในพิภพเล็ก ๆ (ป่วย 29)

ถ้าเราพยายามที่จะใส่สามเหลี่ยมด้านเท่ามากกว่าหกรูป สี่สี่เหลี่ยม หรือรูปหลายเหลี่ยมปกติขนาดใหญ่ใดๆ สามรูป เราจะไม่มีที่ว่างและไม่สามารถวางมุมรวมรอบจุดยอดได้ ดังนั้นของแข็ง Platonic ทั้งห้าจึงเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติที่มีขอบเขตจำกัดที่สามารถมีอยู่ได้

มันเป็นสิ่งสำคัญที่แน่นอน จำนวนจำกัด- ห้า - ปรากฏขึ้นจากการพิจารณาความถูกต้องทางเรขาคณิตและความสมมาตร ความถูกต้องและความสมมาตรเป็นเรื่องธรรมชาติและยอดเยี่ยมที่ต้องนึกถึง แต่มันไม่มีความเชื่อมโยงที่ชัดเจนหรือโดยตรงกับตัวเลขบางตัว ดังที่เราเห็นเพลโตตีความสิ่งนี้ กรณีที่ยากการเกิดขึ้นของพวกเขาในทางที่สร้างสรรค์อย่างน่าอัศจรรย์

พื้นหลัง

มักจะ คนดังชื่อเสียงจะได้รับจากการค้นพบของผู้อื่น นี่คือ "ผลแมทธิว" ที่ค้นพบโดยนักสังคมวิทยาโรเบิร์ต เมอร์ตัน และอิงจากข้อความจากกิตติคุณของมัทธิว:

เพราะทุกคนที่มีก็จะได้รับและจะมีอย่างเหลือเฟือ แต่คนที่ไม่มี แม้แต่สิ่งที่เขามีก็จะถูกแย่งไป 11
พระวรสารนักบุญมัทธิว 13:12 - บันทึก. ต่อ.

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับ Platonic solids

ที่พิพิธภัณฑ์ Ashmoline ที่มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด 12
พิพิธภัณฑ์ศิลปะและโบราณคดี อ็อกซ์ฟอร์ด - บันทึก. ต่อ.

คุณสามารถเห็นแท่นที่มีหินแกะสลัก 5 ก้อนซึ่งสร้างขึ้นเมื่อประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล อี ในสกอตแลนด์ซึ่งดูเหมือนจะเป็นการตระหนักถึงของแข็ง Platonic ทั้งห้า (แม้ว่านักวิชาการบางคนจะโต้แย้งเรื่องนี้ก็ตาม) เห็นได้ชัดว่าพวกมันถูกใช้ในเกมลูกเต๋าบางประเภท เราสามารถจินตนาการได้ว่ามนุษย์ถ้ำรวมตัวกันรอบกองไฟและแกะสลักเป็น "Dungeons and Dragons" ในยุค Paleolithic ได้อย่างไร ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าไม่ใช่เพลโต แต่เป็น Theaetetus ร่วมสมัยของเขา (417-369 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าร่างเดียวกันทั้งห้านี้เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเดียวที่เป็นไปได้ ไม่ชัดเจนว่า Plato เป็นแรงบันดาลใจให้ Theaetetus มากน้อยเพียงใดหรือในทางกลับกัน หรือว่ามีบางอย่างในอากาศของเอเธนส์โบราณที่ทั้งคู่ได้รับแรงบันดาลใจ ไม่ว่าในกรณีใด Platonic solids ได้ชื่อมาเพราะเดิมที Plato ใช้มันในงานของอัจฉริยะที่มีพรสวรรค์ จินตนาการที่สร้างสรรค์เพื่อสร้างทฤษฎีของโลกกายภาพอย่างมีวิสัยทัศน์

ป่วย. 7. ภาพ Pre-Platonic ของ Platonic solids ซึ่งอาจใช้ในเกมลูกเต๋าประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล อี

เมื่อมองไปยังอดีตอันไกลโพ้น เราเข้าใจว่าสิ่งมีชีวิตที่เรียบง่ายที่สุดบางชนิดในชีวมณฑล รวมถึงไวรัสและไดอะตอม (ไม่ใช่อะตอมคู่อย่างที่เราคิดจากชื่อ แต่เป็นสาหร่ายซึ่งมักเติบโตเป็นเปลือกที่ซับซ้อนในรูปของ Platonic solids) ไม่เพียง แต่ "ค้นพบ" เท่านั้น แต่ยังรวมเอาของแข็ง Platonic ไว้เป็นเวลานานก่อนที่มนุษย์กลุ่มแรกจะปรากฏตัวบนโลก ไวรัสเริม ไวรัสที่ทำให้เกิดโรคตับอักเสบบี ไวรัสโรคภูมิคุ้มกันบกพร่องของมนุษย์และไวรัสของโรคอื่น ๆ มีรูปร่างคล้าย icosahedron หรือ dodecahedron พวกเขาห่อหุ้มสารพันธุกรรม—DNA หรือ RNA—ไว้ในแคปซูลโปรตีนภายนอกซึ่งกำหนดรูปร่างภายนอก ดังที่แสดงในแผงสี D แคปซูลมีรหัสสีเพื่อให้สีเดียวกันหมายถึงหน่วยการสร้างเดียวกัน การเชื่อมต่อของห้าเหลี่ยมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของ dodecahedron นั้นดึงดูดสายตา แต่ถ้าเราลากเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของพื้นที่สีน้ำเงิน เราจะเห็นรูปหน้าคู่ icosahedron

สิ่งมีชีวิตขนาดเล็กที่มีความซับซ้อนมากขึ้น รวมถึงเรดิโอลาเรียนที่เอิร์นสท์ แฮคเคลชอบพรรณนาไว้ในหนังสือที่ยอดเยี่ยมของเขาเรื่อง The Beauty of Forms in Nature ก็ทำให้ Platonic solids มีชีวิตขึ้นมาได้เช่นกัน เมื่อป่วย 8 เราเห็นโครงกระดูกภายนอกของซิลิคอนที่ซับซ้อนของสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียวเหล่านี้ Radiolarians เป็นรูปแบบชีวิตโบราณที่พบในฟอสซิลที่เก่าแก่ที่สุด วันนี้มหาสมุทรเต็มไปด้วยพวกมัน ของแข็ง Platonic ทั้งห้าแต่ละอันรวมอยู่ในจำนวนที่แน่นอน สายพันธุ์สิ่งมีชีวิต. ชื่อของบางคนถึงกับกำหนดรูปแบบรวมถึง เซอร์โคโพรัสออคตาฮีดรัส, เซอร์โคโกเนียอิโคซาฮีดราและ เซอร์คอร์เรกมา โดเดคาฮีดรา.

แนวคิดที่สร้างแรงบันดาลใจของ Euclid

Euclid's Elements เป็นหนังสือเรียนที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล และหนังสือเล่มอื่นๆ ก็ไม่มีใครเทียบได้ หนังสือเล่มนี้นำระบบและความแม่นยำมาสู่เรขาคณิต กว้างกว่านั้น เธอแนะนำเข้าสู่อาณาจักรแห่งความคิด - ผ่านการใช้งานจริง - วิธีการวิเคราะห์และสังเคราะห์

ป่วย. 8. Radiolarians สามารถมองเห็นได้ภายใต้เลนส์ของกล้องจุลทรรศน์ที่ง่ายที่สุด โครงกระดูกภายนอกของพวกมันมักจะแสดงความสมมาตรของ Platonic solids

การวิเคราะห์และการสังเคราะห์เป็นสูตรของ "การลดทอน" ที่แนะนำสำหรับไอแซก นิวตันและสำหรับพวกเราด้วย นี่คือสิ่งที่นิวตันพูดว่า:

จากการวิเคราะห์ดังกล่าว เราสามารถส่งผ่านจากสารประกอบไปสู่ส่วนผสม จากการเคลื่อนไหวไปสู่แรงที่ก่อให้เกิดสิ่งเหล่านี้ และโดยทั่วไปจากผลกระทบไปสู่สาเหตุ จากสาเหตุเฉพาะไปสู่สาเหตุทั่วไป จนกว่าการโต้แย้งจะจบลงด้วยสาเหตุที่กว้างที่สุด นั่นคือวิธีการวิเคราะห์ ในขณะที่การสังเคราะห์สันนิษฐานถึงสาเหตุที่ค้นพบและกำหนดเป็นหลักการ ประกอบด้วยการอธิบายโดยหลักการเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากปรากฏการณ์เหล่านั้น และในการพิสูจน์คำอธิบาย 13
ซิท อ้างจาก: Newton I. Optics หรือบทความเกี่ยวกับการสะท้อน การหักเห การหักเห และสีของแสง - ม.-ล.: Gosizdat, 1927. - S. 306.

กลยุทธ์นี้สามารถเปรียบเทียบได้กับแนวทางของ Euclid เกี่ยวกับเรขาคณิต ซึ่งเขาเริ่มต้นด้วยสัจพจน์ที่เรียบง่ายและหยั่งรู้ได้เอง จากนั้นอนุมานผลลัพธ์ที่ซับซ้อนและน่าประหลาดใจ Principia Mathematica ที่ยิ่งใหญ่ของนิวตันซึ่งเป็นเอกสารก่อตั้งของฟิสิกส์คณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็เป็นไปตามรูปแบบเลขชี้กำลังของ Euclid โดยย้ายทีละขั้นตอนจากสัจพจน์ผ่านโครงสร้างเชิงตรรกะไปสู่ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญมากขึ้น

สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่าสัจพจน์ (หรือกฎของฟิสิกส์) ไม่ได้บอกคุณว่าต้องทำอย่างไรกับมัน การรวมพวกมันเข้าด้วยกันโดยไม่มีจุดประสงค์ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างอะไรมากมาย ข้อเท็จจริงที่มีความหมายที่จะถูกลืมในไม่ช้า มันเหมือนท่อนหรือท่อนดนตรีที่เดินวนไปวนมาเหมือนหลงทางไม่ไปไหน ตามที่ผู้ที่พยายามปรับปัญญาประดิษฐ์เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์พบว่าสิ่งที่ยากที่สุดในธุรกิจนี้คือการกำหนดเป้าหมาย เมื่อมีเป้าหมายที่คุ้มค่า การค้นหาวิธีการเพื่อให้บรรลุเป้าหมายนั้นกลายเป็นเรื่องง่าย ฉันชอบคุกกี้เสี่ยงทาย และเมื่อฉันเจอคุกกี้ที่โชคดีที่สุดในโลก คำพูดที่ฉันพบในคุกกี้สรุปได้อย่างสมบูรณ์:

ตัวงานเองจะสอนวิธีการทำ

และแน่นอนว่าเพื่อการเรียนรู้ที่ดีขึ้น การดึงดูดใจนักเรียนและผู้ที่อาจเป็นผู้อ่านให้มีเป้าหมายที่สร้างแรงบันดาลใจต่อหน้าพวกเขา ตั้งแต่เริ่มต้น พวกเขารู้สึกประทับใจอย่างลึกซึ้งกับความรู้ที่ว่าพวกเขาสามารถคาดการณ์ถึงความรู้สึกของกลอุบายอันน่าทึ่งในการสร้างสิ่งก่อสร้างที่เคลื่อนไหวอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้จากสัจพจน์ที่ "ชัดเจน" ไปสู่ข้อสรุปที่ชัดเจน

แล้วเป้าหมายของ Euclid ใน Elements คืออะไร? เล่มที่สิบสามและเล่มสุดท้ายของผลงานชิ้นเอกนี้จบลงด้วยการสร้างของแข็ง Platonic ทั้งห้าและข้อพิสูจน์ว่าเหตุใดจึงมีเพียงห้าเท่านั้น ฉันคิดว่าน่ายินดี—ยิ่งเป็นไปได้มากทีเดียว—ที่ยุคลิดกำลังคิดเกี่ยวกับข้อสรุปนี้เมื่อเขาเริ่มเขียนหนังสือทั้งเล่มและในขณะที่เขียน ทั้งสองวิธีมันเป็นข้อสรุปที่เหมาะสมและเติมเต็ม

Platonic ของแข็งเป็นอะตอม

ชาวกรีกโบราณรู้จักองค์ประกอบพื้นฐานสี่อย่างในโลกแห่งวัตถุ ได้แก่ ไฟ น้ำ ดิน และอากาศ คุณอาจสังเกตเห็นว่าจำนวนองค์ประกอบ - สี่ - ใกล้เคียงกับห้าซึ่งเป็นจำนวนของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ แน่นอนเพลโตสังเกตเห็น! ในบทสนทนาที่มีอำนาจ เชิงทำนาย และไม่สามารถเข้าใจได้มากที่สุดของเขา Timaeus คนหนึ่งพบทฤษฎีขององค์ประกอบตามรูปทรงหลายเหลี่ยม ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้

แต่ละองค์ประกอบประกอบด้วยอะตอมบางประเภท อะตอมมีรูปร่างของของแข็งสงบ: อะตอมของไฟมีรูปร่างของจัตุรมุข, อะตอมของน้ำมี icosahedron, อะตอมของโลกมีทรงลูกบาศก์, อะตอมของอากาศมีแปดด้าน

มีความเป็นไปได้บางประการในการอ้างสิทธิ์เหล่านี้ พวกเขาให้คำอธิบาย อะตอมของไฟมีรูปร่างแหลม ซึ่งอธิบายได้ว่าทำไมไฟจึงเจ็บปวดเมื่อสัมผัส อะตอมของน้ำมีความเรียบและกลมที่สุด ดังนั้นพวกมันจึงสามารถไหลวนซึ่งกันและกันได้อย่างราบรื่น อะตอมของโลกสามารถกดเข้าหากันแน่นและเติมช่องว่างโดยไม่มีช่องว่าง อากาศซึ่งมีได้ทั้งแบบร้อนและชื้น มีรูปแบบอะตอมอยู่ตรงกลางระหว่างไฟกับน้ำ

แม้ว่าสี่จะใกล้เคียงกับห้า แต่ก็ไม่สามารถเท่ากันได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถจับคู่ได้อย่างสมบูรณ์ระหว่างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งถือว่าเป็นอะตอมและองค์ประกอบ นักคิดที่มีพรสวรรค์น้อยกว่าอาจรู้สึกท้อแท้กับความยากลำบากนี้ แต่เพลโตผู้ปราดเปรื่องไม่ได้สูญเสียความคิดของเขา เขามองว่ามันเป็นทั้งความท้าทายและโอกาส เขาเสนอว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่เหลืออยู่คือ dodecahedron มีบทบาทในมือของผู้สร้างผู้สร้าง แต่ไม่ใช่ในฐานะอะตอม ไม่ รูปทรงสิบสองเหลี่ยมไม่ได้เป็นเพียงอะตอมบางชนิด แต่มันซ้ำรูปร่างของเอกภพโดยรวม

อริสโตเติลซึ่งพยายามเหนือกว่าเพลโตเสมอ ได้เสนอทฤษฎีอื่นที่อนุรักษ์นิยมและสอดคล้องกันมากกว่า แนวคิดหลักสองประการของนักปรัชญาผู้มีอิทธิพลเหล่านี้คือดวงจันทร์ ดาวเคราะห์ และดวงดาวที่อาศัยอยู่ ห้องนิรภัยแห่งสวรรค์, ประกอบด้วยสสารที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากสิ่งที่เราพบในโลกใต้จันทรคติ และ "ธรรมชาติไม่ทนต่อความว่างเปล่า"; ดังนั้นพื้นที่สวรรค์จึงไม่สามารถว่างเปล่าได้ เหตุผลนี้ต้องการการมีอยู่ขององค์ประกอบที่ห้า หรือแก่นสาร นอกเหนือจากดิน ไฟ น้ำ และอากาศ เพื่อเติมเต็มท้องฟ้า ดังนั้นรูปทรงสิบสองหน้าจึงพบตำแหน่งของมันในฐานะอะตอมของแก่นสารหรืออีเธอร์

ทุกวันนี้ยากที่จะเห็นด้วยกับรายละเอียดของทั้งสองทฤษฎีนี้ วิทยาศาสตร์ไม่มีประโยชน์ที่จะวิเคราะห์โลกในแง่ขององค์ประกอบทั้งสี่ (หรือห้า) เหล่านี้ ในมุมมองสมัยใหม่ อะตอมไม่ใช่เลย ร่างกายที่มั่นคงและยิ่งไปกว่านั้น พวกมันไม่มีรูปแบบของ Platonic solids ทฤษฎีองค์ประกอบของเพลโตจากมุมมองของวันนี้ดูหยาบและผิดอย่างสิ้นหวังทุกประการ

โครงสร้างจากสมมาตร

แต่ถึงแม้ทรรศนะของเพลโตจะล้มเหลวในฐานะทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ แต่พวกเขาก็ประสบความสำเร็จในฐานะคำทำนาย และฉันจะบอกว่าเป็นงานศิลปะทางปัญญา เพื่อชื่นชมแนวคิดในฐานะนี้ เราต้องถอยห่างจากรายละเอียดและมองในภาพรวม การคาดเดาที่สำคัญและลึกล้ำในระบบของโลกทางกายภาพจากมุมมองของเพลโตก็คือ โลกนี้โดยมากแล้วควรรวบรวมแนวคิดที่สวยงาม และความงามนี้ต้องเป็นความงามชนิดพิเศษ: ความงามของความถูกต้องทางคณิตศาสตร์ ความสมมาตรที่สมบูรณ์แบบ สำหรับเพลโต เช่นเดียวกับปีทาโกรัส การคาดเดานี้เป็นความเชื่อ ความปรารถนาอันแรงกล้า และเป็นหลักการพื้นฐานในเวลาเดียวกัน พวกเขาปรารถนาที่จะนำจิตใจให้กลมกลืนกับสสาร แสดงให้เห็นว่าสสารประกอบด้วยผลิตภัณฑ์ที่บริสุทธิ์ที่สุดของจิตใจ

สิ่งสำคัญคือต้องเน้นย้ำว่าเพลโตลุกขึ้นในความคิดของเขาเหนือระดับที่ยอมรับโดยทั่วไปของภาพรวมทางปรัชญาในยุคสมัยของเขา เพื่อสร้างแถลงการณ์บางอย่างเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นอยู่ ความคิดที่แปลกประหลาดของเขาแม้ว่าจะผิด แต่ความคิดไม่ได้จัดอยู่ในประเภท "ไม่ผิดด้วยซ้ำ" ที่น่าอับอาย 14
กล่าวกันว่าวูล์ฟกัง เพาลี นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีชื่อดังเคยวิจารณ์การทำงานที่ไร้ประโยชน์ของนักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ด้วยคำสุภาษิตที่ว่า “นี่ไม่ใช่แค่ผิดเท่านั้น มันยังไม่ผิดด้วยซ้ำ!” - บันทึก. ต่อ.

ดังที่เราได้เห็น เพลโตได้ดำเนินการบางอย่างเพื่อเปรียบเทียบทฤษฎีนี้กับความเป็นจริง ไฟลุกไหม้เพราะจัตุรมุขมีเหลี่ยมคม น้ำไหลเพราะ icosahedron กลิ้งทับกันได้ง่าย เป็นต้น. เรียกว่า ปฏิกริยาเคมีและสมบัติของสารเชิงซ้อน (ประกอบด้วยธาตุมากกว่า 1 ชนิด) คำอธิบายเหล่านี้ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตของอะตอม แต่ความพยายามที่สูญเปล่าเหล่านี้กลับห่างไกลจากสิ่งที่เราปรารถนาอย่างยิ่ง ที่จะถือว่าเป็นข้อพิสูจน์เชิงทดลองอย่างจริงจังของทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ และยิ่งกว่านั้นจากการใช้ ความรู้ทางวิทยาศาสตร์เพื่อการใช้งานจริง

แต่มุมมองของเพลโตในหลาย ๆ ด้านคาดการณ์ถึงแนวคิดสมัยใหม่ซึ่งอยู่ในระดับแนวหน้าของความคิดทางวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน

แม้ว่าองค์ประกอบพื้นฐานของสสารที่เพลโตเสนอนั้นไม่ใช่สิ่งที่เรารู้ในทุกวันนี้ แต่แนวคิดที่ว่ามีเพียงองค์ประกอบพื้นฐานไม่กี่ส่วนที่มีอยู่ในสำเนาที่เหมือนกันจำนวนมากยังคงเป็นพื้นฐาน

แต่แม้ว่าจะไม่ได้คำนึงถึงแนวคิดสร้างแรงบันดาลใจที่คลุมเครือนี้ หลักการเฉพาะเจาะจงในการสร้างทฤษฎีของเพลโตคือการเน้น โครงสร้างจาก สมมาตรทิ้งร่องรอยไว้หลายศตวรรษ เรามาถึงโครงสร้างพิเศษจำนวนเล็กน้อยจากการพิจารณาทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ - การพิจารณาความสมมาตร - และนำเสนอต่อธรรมชาติในฐานะ องค์ประกอบที่เป็นไปได้อาคารของเธอ ประเภทของสมมาตรทางคณิตศาสตร์ที่เพลโตเลือกเพื่อรวบรวมรายการองค์ประกอบของเขาค่อนข้างแตกต่างจากสมมาตรที่เราใช้ในปัจจุบัน แต่ความคิดของสิ่งที่เป็นหัวใจของธรรมชาติ โกหกความสมมาตรเข้ามาครอบงำการรับรู้ของเราเกี่ยวกับความเป็นจริงทางกายภาพ แนวคิดเชิงเก็งกำไรที่ว่าสมมาตรกำหนดโครงสร้าง นั่นคือ เราสามารถใช้ความต้องการความสมบูรณ์แบบทางคณิตศาสตร์ในระดับสูงเพื่อสร้างรายการเล็กๆ น้อยๆ ของการใช้งานที่เป็นไปได้ แล้วใช้รายการนั้นเป็นแนวทางในการสร้างแบบจำลองของโลก กลายเป็นแนวทางของเรา ดาว บนเส้นขอบของสิ่งที่ไม่รู้จัก ไม่ถูกทำเครื่องหมายบนแผนที่ใด ๆ ความคิดนี้แทบจะเป็นการดูหมิ่นในความประมาท เนื่องจากมันอ้างว่าเราสามารถเข้าใจได้ว่าอาจารย์ดำเนินการอย่างไรและรู้ว่าทุกสิ่งทำไปอย่างไร และอย่างที่เราจะได้เห็นกันในภายหลัง มันกลับกลายเป็นว่าถูกต้องอย่างแน่นอน

เพื่อระบุผู้สร้างโลกทางกายภาพ Plato ใช้คำว่า "demiurge" ความหมายตามตัวอักษรคือ "ต้นแบบ"; มักจะแปลโดยคำว่า "ผู้สร้าง" ซึ่งไม่เป็นความจริงทั้งหมด เพลโตเลือกคำภาษากรีกนี้อย่างระมัดระวัง มันสะท้อนความเชื่อของเขาว่าโลกทางกายภาพไม่ใช่ความจริงสูงสุด นอกจากนี้ยังมีโลกแห่งความคิดที่เป็นนิรันดร์และไร้กาลเวลาซึ่งดำรงอยู่ก่อนสิ่งใดๆ ด้วยความต้องการการเกิดใหม่ทางกายภาพที่ไม่สมบูรณ์และเป็นอิสระจากมัน ความคิดสร้างสรรค์ที่ไม่หยุดนิ่ง - ปรมาจารย์หรือผู้สร้าง - หล่อหลอมการสร้างสรรค์จากความคิดโดยใช้สิ่งหลังเป็นแม่พิมพ์

Timaeus เป็นผลงานที่เข้าใจยาก และมักมีสิ่งล่อใจที่จะเข้าใจผิดว่าความคลุมเครือหรือความผิดพลาดนั้นกลายเป็นความลึกซึ้ง เมื่อตระหนักถึงสิ่งนี้ ฉันพบว่ามันน่าสนใจและสร้างแรงบันดาลใจที่เพลโตไม่ได้อาศัยอยู่บนของแข็งพลาโทนิก แต่สะท้อนให้เห็นว่าอะตอมในรูปแบบอื่นๆ เช่น วัตถุทางกายภาพในทางกลับกัน สามารถประกอบขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมมากขึ้น แน่นอนว่ารายละเอียดนั้น “ไม่ผิดด้วยซ้ำ” แต่สัญชาตญาณที่เรียกร้องให้ใช้แบบจำลองอย่างจริงจัง พูดภาษาของมัน และก้าวข้ามขอบเขตนั้นถูกต้องโดยพื้นฐานแล้ว แนวคิดที่ว่าอะตอมสามารถมีส่วนประกอบต่างๆ และแนวคิดที่ว่าองค์ประกอบเหล่านี้ภายใต้สภาวะปกติไม่สามารถดำรงอยู่เป็นวัตถุที่แยกจากกัน แต่พบได้ในฐานะส่วนหนึ่งของวัตถุที่ซับซ้อนกว่าเท่านั้น อาจเพิ่งตระหนักในควาร์กและกลูออนในปัจจุบัน ซึ่งถูกผูกมัดอย่างถาวรภายในนิวเคลียสของอะตอม

เหนือสิ่งอื่นใด ท่ามกลางภาพสะท้อนของเพลโต เราจะพบแนวคิดที่เป็นหัวใจสำคัญของภาพสะท้อนของเรา นั่นคือแนวคิดที่ว่าโลกในโครงสร้างอันลึกล้ำสะท้อนถึงความงาม มันคือจิตวิญญาณแห่งการให้เหตุผลของเพลโตที่ฟื้นคืนชีพขึ้นมา เขาสันนิษฐานว่าพื้นฐานที่แท้จริงของโครงสร้างของโลก - อะตอม - เป็นรูปลักษณ์ของความคิดที่บริสุทธิ์ซึ่งสามารถค้นพบและกำหนดขึ้นได้อย่างชัดเจนโดยความพยายามเพียงอย่างเดียวของจิตใจ

ประหยัดเงิน

กลับไปที่ไวรัส: พวกเขาเรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตจากที่ใด

นี่คือกรณีที่ความเรียบง่ายมาอยู่ในรูปของความซับซ้อน หรือถ้าจะให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อกฎง่ายๆ กำหนดโครงสร้างของความชัดเจน โครงสร้างที่ซับซ้อนซึ่งเมื่อใคร่ครวญอย่างเป็นผู้ใหญ่แล้ว ก็จะกลายเป็นเรื่องง่ายในอุดมคติ บรรทัดล่างคือ DNA ของไวรัส 15
ไม่ใช่ไวรัสทุกตัวที่มีสารพันธุกรรมในรูปของดีเอ็นเอ นอกจากนี้ยังมีไวรัสที่มี RNA - บันทึก. เอ็ด

ซึ่งควรมีข้อมูลเกี่ยวกับทุกด้านของชีวิตมีขนาด จำกัด มาก เพื่อประหยัดความยาว วัสดุก่อสร้างมันคุ้มค่าที่จะทำบางสิ่งจากชิ้นส่วนที่เหมือนกันง่าย ๆ ที่เชื่อมต่อในลักษณะเดียวกัน เราเคยได้ยินเพลงนี้แล้ว: "ง่าย ๆ ส่วนที่เหมือนกัน เชื่อมต่อเท่า ๆ กัน" - และในคำจำกัดความของ Platonic solids! เนื่องจากส่วนนี้สร้างทั้งหมด ไวรัสจึงไม่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับ dodecahedrons หรือ icosahedrons รู้แต่เพียงเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม รวมทั้งกฎหนึ่งหรือสองข้อเพื่อเชื่อมโยงพวกมันเข้าด้วยกัน มีเพียงร่างกายที่ต่างกัน ผิดปกติ และเมื่อแรกเห็น แม้แต่ร่างกายแบบสุ่ม เช่น มนุษย์ ก็ต้องการคำแนะนำในการประกอบที่ละเอียดมากขึ้น ความสมมาตรจะปรากฏเป็นโครงสร้างเริ่มต้นเมื่อข้อมูลและทรัพยากรมีจำกัด