พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกลมและกรวย พื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวเต็มของกรวย

พื้นที่ผิวของกรวย (หรือเพียงแค่พื้นผิวของกรวย) เท่ากับผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยคำนวณโดยสูตร: S = πR ลโดยที่ R คือรัศมีของฐานกรวย และ ล- กำเนิดของกรวย

เนื่องจากพื้นที่ฐานของกรวยคือ πR 2 (เป็นพื้นที่ของวงกลม) ดังนั้นพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของกรวยจะเท่ากับ : πR 2 + πR ล= πR (R + ล).

การได้รับสูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยสามารถอธิบายได้โดยใช้เหตุผลดังกล่าว ให้ภาพวาดแสดงการพัฒนาของพื้นผิวด้านข้างของกรวย เราแบ่งส่วนโค้ง AB ออกเป็นส่วนเท่าๆ กันให้ได้มากที่สุด และเชื่อมต่อจุดแบ่งทั้งหมดกับจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง และจุดที่อยู่ใกล้เคียงกันด้วยคอร์ด

เราได้ชุดสามเหลี่ยมที่เท่ากัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ อา / 2 ที่ไหน ก- ความยาวของฐานสามเหลี่ยม ก ชม.- เขาสูง

ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ: อา / 2 น = อัง / 2 ที่ไหน นคือจำนวนสามเหลี่ยม

ด้วยการแบ่งจำนวนมาก ผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยมจะใกล้เคียงกับพื้นที่ของการพัฒนามาก นั่นคือ พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย ผลรวมของฐานของรูปสามเหลี่ยม เช่น หนึ่ง, เข้าใกล้ความยาวของส่วนโค้ง AB มาก เช่น กับเส้นรอบวงฐานของกรวย ความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละอันจะใกล้เคียงกับรัศมีของส่วนโค้งมาก นั่นคือ เจนเนอราทริกซ์ของกรวย

ละเลยความแตกต่างเล็กน้อยในขนาดของปริมาณเหล่านี้ เราได้สูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวย (S):

เอส=ซี ล / 2 โดยที่ C คือเส้นรอบวงของฐานกรวย ล- กำเนิดของกรวย

เมื่อรู้ว่า C \u003d 2πR โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมของฐานกรวย เราได้: S \u003d πR ล.

บันทึก.ในสูตร S = C ล / 2 เครื่องหมายของความเสมอภาคที่แน่นอนและไม่ใกล้เคียงจะได้รับ แม้ว่าบนพื้นฐานของเหตุผลข้างต้น เราสามารถพิจารณาความเท่าเทียมกันนี้เป็นค่าประมาณ แต่ตอนมัธยมก็พิสูจน์ความเท่าเทียม

เอส=ซี ล / 2 เป็นค่าที่แน่นอน ไม่ใช่ค่าประมาณ

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับผลคูณของเส้นรอบฐานและครึ่งหนึ่งของเจนเนอราทริกซ์

เราเขียนไว้ในกรวย (รูปที่) พีระมิดปกติบางอันและแสดงด้วยตัวอักษร รและ ลตัวเลขแสดงความยาวของเส้นรอบวงของฐานและจุดยอดของพีระมิดนี้

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างจะแสดงโดยผลิตภัณฑ์ 1/2 ร ล .

สมมติว่าจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่เขียนไว้ในฐานเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด แล้วปริมณฑล รจะมีแนวโน้มที่จะจำกัดเป็นความยาว C ของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลาง ลจะมีตัวสร้างกรวยเป็นขีดจำกัด (เนื่องจาก ΔSAK หมายความว่า SA - SK
1 / 2 ร ล, จะมีแนวโน้มถึงขีดจำกัด 1/2 C L. ขีดจำกัดนี้ถือเป็นค่าของพื้นผิวด้านข้างของกรวย เราสามารถเขียนแทนพื้นผิวด้านข้างของกรวยด้วยตัวอักษร S ได้:

ส = 1/2 ค L = C 1/2 ล

ผลที่ตามมา.
1) ตั้งแต่ C \u003d 2 π R แล้วพื้นผิวด้านข้างของกรวยแสดงโดยสูตร:

ส=1/2 2π ร L= π ร.ล

2) เราได้พื้นผิวทั้งหมดของกรวยถ้าเราเพิ่มพื้นผิวด้านข้างลงในพื้นที่ฐาน ดังนั้น เมื่อแทนพื้นผิวทั้งหมดด้วย T เราจะได้:

ที= π RL+ π R2= π R(ซ้าย+ขวา)

ทฤษฎีบท. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออกจะเท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและเจเนราทริกซ์

เราเขียนไว้ในกรวยที่ถูกตัดออก (รูปที่) พีระมิดที่ถูกตัดออกปกติบางส่วนและแสดงด้วยตัวอักษร r, r 1 และ ลตัวเลขที่แสดงหน่วยเชิงเส้นเดียวกันคือความยาวของเส้นรอบรูปของฐานล่างและฐานบนและจุดยอดของพีระมิดนี้

จากนั้นพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่จารึกไว้คือ 1/2 ( พี + พี 1) ล

ด้วยการเพิ่มจำนวนของหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ถูกจารึกไว้ไม่จำกัดรอบ รและ ร 1 มีแนวโน้มที่จะจำกัดตามความยาว C และ C 1 ของวงกลมของฐาน และจุดกึ่งกลาง ลมีขีดจำกัดของเจนเนอราทริกซ์ L ของกรวยที่ถูกตัดออก ดังนั้นค่าของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกจารึกไว้จึงมีค่าเท่ากับ (С + С 1) L ขีด จำกัด นี้ถือเป็นค่าของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออก ระบุพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดด้วยตัวอักษร S เราจะมี:

S \u003d 1/2 (C + C 1) L

ผลที่ตามมา.
1) ถ้า R และ R 1 หมายถึงรัศมีของวงกลมของฐานล่างและฐานบน พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออกจะเป็น:

ส = 1/2 (2 π อาร์+2 π R 1) L = π (R+R1)ล.

2) หากอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู OO 1 A 1 A (รูปที่) จากการหมุนของกรวยที่ถูกตัดออก เราวาดเส้นกึ่งกลาง BC จากนั้นเราจะได้:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1)

R + R 1 = 2BC

เพราะเหตุนี้,

เอส=2 π บีซีแอล,

เช่น. พื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออกจะเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของส่วนเฉลี่ยและเจนเนอราทริกซ์

3) พื้นผิวรวม T ของกรวยที่ถูกตัดจะแสดงดังนี้:

ที= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

ย้อนกลับ

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของงานนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

ประเภทบทเรียน:บทเรียนในการศึกษาเนื้อหาใหม่โดยใช้องค์ประกอบของวิธีการสอนแบบพัฒนาปัญหา

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ความรู้ความเข้าใจ:
- ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ใหม่
- การก่อตัวของ ZUN ใหม่
- การพัฒนาทักษะการปฏิบัติเพื่อแก้ปัญหา
กำลังพัฒนา:
- การพัฒนาความคิดอย่างอิสระของนักเรียน
- การพัฒนาทักษะการพูดที่ถูกต้องของเด็กนักเรียน
เกี่ยวกับการศึกษา:
- การพัฒนาทักษะการทำงานเป็นทีม

อุปกรณ์การเรียน:กระดานแม่เหล็ก คอมพิวเตอร์ จอภาพ เครื่องฉายมัลติมีเดีย โมเดลกรวย การนำเสนอบทเรียน เอกสารแจก

วัตถุประสงค์ของบทเรียน (สำหรับนักเรียน):

ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดทางเรขาคณิตใหม่ - กรวย
รับสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ผิวของกรวย
เรียนรู้ที่จะประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

ระหว่างเรียน

ฉันเวที องค์กร

การส่งสมุดบันทึกพร้อมงานทดสอบที่บ้านในหัวข้อที่ครอบคลุม

นักเรียนได้รับเชิญให้ค้นหาหัวข้อของบทเรียนที่กำลังจะมาถึงโดยการแก้ปริศนา (สไลด์ 1):

รูปภาพที่ 1

ประกาศให้นักเรียนทราบหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน (สไลด์ 2).

ขั้นตอนที่สอง คำอธิบายของเนื้อหาใหม่

1) การบรรยายของอาจารย์

บนกระดานเป็นตารางที่มีรูปกรวย มีการอธิบายเนื้อหาใหม่พร้อมกับเนื้อหาโปรแกรม "Stereometry" ภาพสามมิติของกรวยปรากฏขึ้นบนหน้าจอ ครูให้คำจำกัดความของกรวย พูดถึงองค์ประกอบของมัน (สไลด์ 3). ว่ากันว่ากรวยเป็นร่างกายที่เกิดจากการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉากที่สัมพันธ์กับขา (สไลด์ 4, 5)ภาพการพัฒนาของพื้นผิวด้านข้างของกรวยปรากฏขึ้น (สไลด์ 6)

2) การปฏิบัติงานจริง

การทำให้เป็นจริงของความรู้พื้นฐาน: ทำซ้ำสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่วงกลม, พื้นที่ของเซกเตอร์, ความยาวของวงกลม, ความยาวของส่วนโค้งของวงกลม (สไลด์ 7-10)

ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นกลุ่ม แต่ละกลุ่มจะได้รับการสแกนพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ตัดออกจากกระดาษ (ส่วนวงกลมที่มีหมายเลขกำหนด) นักเรียนทำการวัดที่จำเป็นและคำนวณพื้นที่ของภาคผลลัพธ์ คำแนะนำในการทำงาน คำถาม - คำชี้แจงปัญหา - ปรากฏบนหน้าจอ (สไลด์ 11-14). ตัวแทนของแต่ละกลุ่มเขียนผลการคำนวณลงในตารางที่เตรียมไว้บนกระดาน ผู้เข้าร่วมแต่ละกลุ่มทากาวต่อโมเดลกรวยจากการพัฒนาที่ตนเองมี (สไลด์ 15)

3) คำชี้แจงและการแก้ปัญหา

จะคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยได้อย่างไรหากทราบเฉพาะรัศมีของฐานและความยาวของเจเนอราทริกซ์ของกรวย (สไลด์ 16)

แต่ละกลุ่มทำการวัดที่จำเป็นและพยายามหาสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ที่ต้องการโดยใช้ข้อมูลที่มีอยู่ เมื่อทำงานนี้นักเรียนควรสังเกตว่าเส้นรอบวงของฐานกรวยเท่ากับความยาวของส่วนโค้งของภาค - การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยนี้ (สไลด์ 17-21)การใช้สูตรที่จำเป็นจะได้สูตรที่ต้องการ การให้เหตุผลของนักเรียนควรมีลักษณะดังนี้:

รัศมีของเซกเตอร์ - การกวาดเท่ากับ ลิตรการวัดระดับของส่วนโค้งคือ φ พื้นที่ของเซกเตอร์คำนวณโดยสูตร: ความยาวของส่วนโค้งที่ล้อมรอบเซกเตอร์นี้เท่ากับรัศมีของฐานของกรวย R ความยาวของวงกลมที่วางอยู่ที่ฐานของกรวยคือ C = 2πR . โปรดทราบว่า เนื่องจากพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยเท่ากับพื้นที่ของการพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง ดังนั้น

ดังนั้นสูตรคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย S BOD = πRl

หลังจากคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของแบบจำลองกรวยตามสูตรที่ได้มาโดยอิสระ ตัวแทนของแต่ละกลุ่มจะเขียนผลลัพธ์ของการคำนวณลงในตารางบนกระดานตามหมายเลขรุ่น ผลการคำนวณในแต่ละแถวจะต้องเท่ากัน บนพื้นฐานนี้ครูจะกำหนดความถูกต้องของข้อสรุปของแต่ละกลุ่ม ตารางผลลัพธ์ควรมีลักษณะดังนี้:

หมายเลขรุ่น	ฉันมีหน้าที่	ภารกิจที่สอง

	(125/3)π ~ 41.67π

	(425/9)π ~ 47.22π
	(539/9)π ~ 59.89π

รุ่นพารามิเตอร์:

ล.=12 ซม., φ=120°
ล.=10 ซม., φ=150°
ล.=15 ซม., φ=120°
ล.=10 ซม., φ=170°
ล.=14 ซม., φ=110°

การประมาณการคำนวณเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดในการวัด

หลังจากตรวจสอบผลลัพธ์ ผลลัพธ์ของสูตรสำหรับพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวทั้งหมดของกรวยจะปรากฏบนหน้าจอ (สไลด์ 22-26)นักเรียนจดบันทึกในสมุดบันทึก

ขั้นตอนที่สาม การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

1) เปิดสอนนักศึกษา งานสำหรับการแก้ปัญหาปากเปล่าในภาพวาดสำเร็จรูป

ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของกรวยที่แสดงในรูป (สไลด์ 27-32).

2) คำถาม:พื้นที่ผิวของกรวยเกิดจากการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรอบขาที่ต่างกันเท่ากันหรือไม่ นักเรียนตั้งสมมติฐานและทดสอบ การทดสอบสมมติฐานดำเนินการโดยการแก้ปัญหาและเขียนโดยนักเรียนบนกระดานดำ

ที่ให้ไว้:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - ร่างของการปฏิวัติ

หา:เอส พีพีซี 1 , เอส พีพีซี 2 .

รูปที่ 5 (สไลด์ 33)

วิธีการแก้:

1) R=พ.ศ = ก; S PPC 1 = S BOD 1 + S หลัก 1 = π a ค + π a 2 \u003d π a (a + c)

2) R=ไฟฟ้ากระแสสลับ = ข; S PPC 2 = S BOD 2 + S หลัก 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c)

ถ้า S PPC 1 = S PPC 2 แล้ว a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0เพราะ ก, ข, คจำนวนบวก (ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม) ความเท่ากันทุกประการจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ก =ข.

บทสรุป:พื้นที่ผิวของกรวยทั้งสองจะเท่ากันก็ต่อเมื่อขาของสามเหลี่ยมเท่ากันเท่านั้น (สไลด์ 34)

3) เฉลยโจทย์จากหนังสือเรียน น.565

ขั้นตอนที่สี่ สรุปบทเรียน

การบ้าน:น.55, 56; เลขที่ 548 เลขที่ 561 (สไลด์ 35)

ประกาศผลการเรียน.

บทสรุประหว่างบทเรียน การทำซ้ำข้อมูลหลักที่ได้รับในบทเรียน

วรรณกรรม (สไลด์ 36)

เกรดเรขาคณิต 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008
"ปริศนาทางคณิตศาสตร์และปริศนา" - N.V. Udaltsov ห้องสมุด "วันที่ 1 กันยายน" ชุด "คณิตศาสตร์" ฉบับที่ 35, M. , Chistye Prudy, 2010

เรารู้ว่ากรวยคืออะไร ลองหาพื้นที่ผิวกัน เหตุใดจึงต้องแก้ปัญหาดังกล่าว ตัวอย่างเช่นคุณต้องเข้าใจว่าต้องใช้แป้งมากแค่ไหนในการทำโคนวาฟเฟิล? หรือต้องใช้อิฐกี่ก้อนในการปูหลังคาอิฐของปราสาท?

การวัดพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ลองนึกภาพแตรตัวเดียวกันที่ห่อด้วยผ้า ในการค้นหาพื้นที่ของผ้าคุณต้องตัดและกระจายบนโต๊ะ เราได้รูปแบนๆ เราสามารถหาพื้นที่ของมันได้

ข้าว. 1. ส่วนของกรวยตาม generatrix

มาทำเช่นเดียวกันกับกรวย ลอง "ตัด" พื้นผิวด้านข้างของมันตาม generatrix ใดๆ ตัวอย่างเช่น (ดูรูปที่ 1)

ตอนนี้เรา "คลาย" พื้นผิวด้านข้างบนระนาบ เราได้รับภาค ศูนย์กลางของส่วนนี้คือส่วนบนของกรวย รัศมีของส่วนนี้เท่ากับเจเนอราทริกซ์ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งนั้นตรงกับเส้นรอบวงของฐานของกรวย ส่วนดังกล่าวเรียกว่าการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2. การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง

ข้าว. 3. การวัดมุมเป็นเรเดียน

ลองหาพื้นที่ของภาคตามข้อมูลที่มีอยู่ ขั้นแรก ขอแนะนำสัญกรณ์: ให้มุมที่ด้านบนของเซกเตอร์เป็นเรเดียน (ดูรูปที่ 3)

เรามักจะพบกับมุมที่ด้านบนของการกวาดในงาน ในระหว่างนี้ เรามาลองตอบคำถามกัน: มุมนี้กลายเป็นมากกว่า 360 องศาไม่ได้หรือ นั่นคือมันจะไม่กลายเป็นว่าการกวาดล้างจะทับตัวเองหรือไม่? ไม่แน่นอน มาพิสูจน์กันทางคณิตศาสตร์ ปล่อยให้การกวาด "ทับซ้อน" กัน ซึ่งหมายความว่าความยาวของส่วนโค้งการกวาดจะมากกว่าเส้นรอบวงของรัศมี แต่ดังที่กล่าวไปแล้ว ความยาวของส่วนโค้งกวาดคือเส้นรอบวงของรัศมี และแน่นอนว่ารัศมีของฐานกรวยนั้นน้อยกว่าเจเนราทริกซ์ ตัวอย่างเช่น เนื่องจากขาของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก

จากนั้นมาจำสูตรสองสูตรจากวิชาแผนภาพ: ความยาวส่วนโค้ง พื้นที่ภาค: .

ในกรณีของเรา generatrix เล่นบทบาทนี้ , และความยาวของส่วนโค้งเท่ากับเส้นรอบวงของฐานกรวย นั่นคือ เรามี:

ในที่สุดเราก็ได้รับ:

นอกจากพื้นที่ผิวด้านข้างแล้ว ยังหาพื้นที่ผิวทั้งหมดได้อีกด้วย ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มพื้นที่ฐานลงในพื้นที่ผิวด้านข้าง แต่ฐานเป็นวงกลมรัศมี ซึ่งพื้นที่ตามสูตรคือ

ในที่สุดเราก็มี: , โดยที่รัศมีของฐานของทรงกระบอกคือ generatrix

ลองแก้ปัญหาสองสามข้อในสูตรที่กำหนด