เมื่อคุณเริ่มเรียนรู้รากที่สองและวิธีแก้ปัญหา สมการอตรรกยะ(ความเท่าเทียมกันที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักภายใต้เครื่องหมายราก) คุณอาจมีความคิดแรกเกี่ยวกับพวกเขา การใช้งานจริง. ความสามารถในการสกัด รากที่สองของตัวเลขก็จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ

ให้ความยาวของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านสองด้านที่มาบรรจบกันเป็นมุมฉาก) แทนด้วยตัวอักษร และ , และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมตรงข้าม มุมฉาก) จะแสดงด้วยตัวอักษร จากนั้นความยาวที่เกี่ยวข้องสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

สมการนี้ช่วยให้คุณหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากในกรณีที่ทราบความยาวของอีกสองด้านของมัน นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าสามเหลี่ยมที่พิจารณาเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ โดยมีเงื่อนไขว่าความยาวของทั้งหมด สามฝ่ายทราบล่วงหน้า

การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เพื่อรวมเนื้อหา เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ให้:

1. ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 48 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 80
2. ความยาวของขาคือ 84 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 91

มาดูวิธีแก้ปัญหากัน:

ก) การแทนที่ข้อมูลลงในสมการข้างต้นให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

48 2 + ข 2 = 80 2

2304 + ข 2 = 6400

ข 2 = 4096

ข= 64 หรือ ข = -64

เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถแสดงได้ จำนวนลบตัวเลือกที่สองจะถูกยกเลิกโดยอัตโนมัติ

ตอบรูปแรก: ข = 64.

b) ความยาวของขาของสามเหลี่ยมที่สองพบในลักษณะเดียวกัน:

84 2 + ข 2 = 91 2

7056 + ข 2 = 8281

ข 2 = 1225

ข= 35 หรือ ข = -35

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ การแก้ปัญหาเชิงลบจะถูกยกเลิก

ตอบภาพที่สอง: ข = 35

เราได้รับ:

1. ความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมคือ 45 และ 55 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 75
2. ความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมคือ 28 และ 45 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 53

เราแก้ปัญหา:

ก) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมที่กำหนดนั้นเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ใหญ่กว่าหรือไม่:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

ดังนั้น สามเหลี่ยมแรกจึงไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก

b) มีการดำเนินการเดียวกัน:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

ดังนั้น สามเหลี่ยมที่สองจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

อันดับแรก หาความยาว ส่วนที่ยาวที่สุดเกิดจากจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (5, -2) สำหรับสิ่งนี้เราใช้ สูตรที่รู้จักเพื่อหาระยะห่างระหว่างจุดใน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด:

ในทำนองเดียวกัน เราพบความยาวของส่วนที่อยู่ระหว่างจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (2, 1):

สุดท้าย เรากำหนดความยาวของส่วนระหว่างจุดที่มีพิกัด (2, 1) และ (5, -2):

เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน:

แล้วสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันก็คือสามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดคำตอบของปัญหาได้ เนื่องจากผลรวมของกำลังสองของด้านที่มีความยาวน้อยที่สุด เท่ากับกำลังสองของด้านที่มี ยาวที่สุด, จุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ฐาน (อยู่ในแนวนอนอย่างเคร่งครัด) วงกบ (อยู่ในแนวตั้งอย่างเคร่งครัด) และสายเคเบิล (ในแนวทแยงมุม) เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามลำดับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้เพื่อค้นหาความยาวของสายเคเบิล:

ดังนั้นความยาวของสายเคเบิลจะอยู่ที่ประมาณ 3.6 เมตร

กำหนด: ระยะทางจากจุด R ถึงจุด P (ขาของสามเหลี่ยม) คือ 24 จากจุด R ถึงจุด Q (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) - 26

ดังนั้นเราจึงช่วย Vitya แก้ปัญหา เนื่องจากด้านของสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปควรจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านที่สามได้:

ดังนั้นความกว้างของบ่อคือ 10 เมตร

Sergey Valerievich

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชะตากรรมของทฤษฎีบทและปัญหาอื่น ๆ เป็นเรื่องแปลก... เราจะอธิบายได้อย่างไร ตัวอย่างเช่น การให้ความสนใจเป็นพิเศษในส่วนของนักคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ต่อทฤษฎีบทพีทาโกรัส? ทำไมหลายคนยังไม่พอใจ หลักฐานที่ทราบแต่พบว่าตัวเองนำจำนวนหลักฐานไปหลายร้อยในยี่สิบห้าเปรียบเทียบที่มองเห็นได้?
เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส สิ่งผิดปกติเริ่มต้นด้วยชื่อของมันแล้ว เป็นที่เชื่อกันว่าพีทาโกรัสไม่ได้เป็นผู้คิดค้นมันเป็นครั้งแรก ยังเป็นที่น่าสงสัยว่าเขาให้หลักฐานกับเธอ ถ้าพีทาโกรัส- ใบหน้าที่แท้จริง(บางคนถึงกับสงสัยในสิ่งนี้!) จากนั้นเขาน่าจะมีชีวิตอยู่ในศตวรรษที่ 6-5 BC อี ตัวเขาเองไม่ได้เขียนอะไรเลยเขาเรียกตัวเองว่าปราชญ์ซึ่งในความเข้าใจของเขา“ มุ่งสู่ปัญญา” ก่อตั้งสหภาพพีทาโกรัสซึ่งสมาชิกมีส่วนร่วมในดนตรียิมนาสติกคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และดาราศาสตร์ เห็นได้ชัดว่าเขาเป็นนักพูดที่ยอดเยี่ยมด้วย ตามหลักฐานจากตำนานต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับการเข้าพักของเขาในเมือง Croton: ร่างหน้าที่ของชายหนุ่มที่ผู้เฒ่าในเมืองขอให้ไม่ทิ้งพวกเขาโดยไม่ได้สอน ในการปราศรัยครั้งที่สองนี้ ท่านชี้ไปที่ความถูกต้องตามกฎหมายและศีลธรรมอันบริสุทธิ์ เป็นรากฐานของครอบครัว ในสองถัดมาเขาได้กล่าวถึงเด็กและสตรี ผลที่ตามมา คำพูดสุดท้ายซึ่งเขาประณามความหรูหราเป็นพิเศษคือส่งชุดล้ำค่าหลายพันชุดไปที่วิหารของเฮร่าเพราะไม่มีผู้หญิงคนเดียวกล้าแสดงตัวบนถนนอีกต่อไป ... ” อย่างไรก็ตามย้อนกลับไปในศตวรรษที่สองของยุคของเรา นั่นคือ หลังจาก 700 ปี พวกเขาอาศัยและทำงานอย่างเต็มที่ คนจริงนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นที่ได้รับอิทธิพลอย่างชัดเจนจากสหภาพพีทาโกรัสและด้วยความเคารพอย่างสูงต่อสิ่งที่ตามตำนานเล่าว่าพีทาโกรัสสร้างขึ้น
ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความสนใจในทฤษฎีบทนั้นเกิดจากความจริงที่ว่ามันเป็นหนึ่งในศูนย์กลางทางคณิตศาสตร์และจากความพึงพอใจของผู้เขียนบทพิสูจน์ที่เอาชนะความยากลำบากซึ่งกวีชาวโรมัน Quintus Horace Flaccus ที่มีชีวิตอยู่ก่อนยุคของเราเป็นอย่างดีกล่าวว่า "เป็นการยากที่จะแสดงข้อเท็จจริงที่เป็นที่รู้จักกันดี" .
ในขั้นต้น ทฤษฎีบทได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก:
.
สูตรพีชคณิต:
ที่ สามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมของความยาวขา
นั่นคือแสดงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผ่าน c และความยาวของขาผ่าน a และ b: a 2 + b 2 \u003d c 2 ทั้งสองสูตรของทฤษฎีบทมีความเท่าเทียมกัน แต่สูตรที่สองเป็นพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดของพื้นที่ นั่นคือ คำสั่งที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่นั้น และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
ทฤษฎีบทผกผันพีทาโกรัส. สำหรับทุกทรีโอ ตัวเลขบวก a, b และ c อย่างนั้น
a 2 + b 2 = c 2 มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

หลักฐานของ

ในขณะนี้ใน วรรณกรรมวิทยาศาสตร์ 367 หลักฐานของทฤษฎีบทนี้ถูกบันทึกไว้ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น
แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว สิ่งเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ: หลักฐานพื้นที่, หลักฐานจริงและแปลกใหม่ (เช่นใช้ สมการเชิงอนุพันธ์).

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หลักฐานต่อไปนี้ของสูตรพีชคณิตเป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่สร้างขึ้นโดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของร่าง
ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C วาดความสูงจาก C และแทนฐานด้วย H สามเหลี่ยม ACH คล้ายกับสามเหลี่ยม ABC ในสองมุม
ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม CBH ก็คล้ายกับ ABC แนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

เทียบเท่าอะไร

เพิ่มเราได้รับ

หรือ

หลักฐานพื้นที่

หลักฐานต่อไปนี้แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกเขาทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเอง

พิสูจน์ผ่านความเท่าเทียมกัน

1. จัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูปตามที่แสดงในภาพ
2. รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน c คือสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. พื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากับด้านหนึ่งกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และในทางกลับกันเพื่อผลรวม สี่สามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านใน



คิวอีดี

หลักฐานผ่านความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างหนึ่งในข้อพิสูจน์เหล่านี้แสดงในรูปวาดทางด้านขวา โดยที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากถูกแปลงโดยการเรียงสับเปลี่ยนเป็นสองสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

แนวความคิดในการพิสูจน์ของยุคลิดมีดังนี้: ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา และจากนั้น พื้นที่ของ สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน พิจารณาภาพวาดทางด้านซ้าย เราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากบนนั้นแล้วดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาที่สอดคล้องกัน ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากันตามที่กำหนด สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้จะตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดง) ซึ่งในทางกลับกันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม AHJK ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK นั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม DECA ด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากคุณสมบัติข้างต้นนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน สามเหลี่ยมสองด้านเท่ากันและมุมระหว่างพวกมัน กล่าวคือ - AB=AK,AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นง่ายต่อการพิสูจน์โดยวิธีการเคลื่อนไหว: ลองหมุนสามเหลี่ยม CAK 90 °ทวนเข็มนาฬิกา จะเห็นได้ชัดเจนว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมสองรูปที่พิจารณาจะ ตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°) อาร์กิวเมนต์เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา

หลักฐานของ Leonardo da Vinci

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนไหว

พิจารณาภาพวาด ดังที่เห็นได้จากสมมาตร ส่วน CI ตัดสี่เหลี่ยม ABHJ ออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (เนื่องจากสามเหลี่ยม ABC และ JHI เท่ากันในการก่อสร้าง) โดยใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงา CAJI และ GDAB ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของรูปที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาและพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ในทางกลับกัน มันเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์จะถูกปล่อยให้ผู้อ่าน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่สร้างความสัมพันธ์

ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เป็นที่เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Pythagoras หลังจากที่ได้รับการตั้งชื่อ

สูตรทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทเดิมถูกกำหนดไว้ดังนี้:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สร้างขึ้นบนสายสวน

สูตรพีชคณิตของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา

นั่นคือ แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผ่าน คและความยาวของขาผ่าน เอและ ข:

ทั้งสองสูตร ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเทียบเท่ากัน แต่สูตรที่ 2 นั้นพื้นฐานกว่าก็ไม่

ต้องใช้แนวคิดของพื้นที่ นั่นคือ คำสั่งที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่รู้อะไรเกี่ยวกับพื้นที่และ

โดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน

หากกำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ดังนั้น

สามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง:

สำหรับจำนวนบวกสามเท่าใดๆ เอ, ขและ ค, ดังนั้น

มีขาสามเหลี่ยมมุมฉาก เอและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ น่าจะเป็นทฤษฎีบท

พีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีข้อพิสูจน์มากมาย ความหลากหลายดังกล่าว

สามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว สิ่งเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขา:

หลักฐานของ วิธีพื้นที่, สัจพจน์และ หลักฐานที่แปลกใหม่(ตัวอย่างเช่น,

โดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์).

1. พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หลักฐานต่อไปนี้ของสูตรพีชคณิตเป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุด

จากสัจธรรมโดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่ของร่าง

อนุญาต ABCมีสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและแสดงว่า

รากฐานของมันผ่าน ชม.

สามเหลี่ยม ACHคล้ายสามเหลี่ยม AB C สองมุม ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม CBHคล้ายกัน ABC.

โดยการแนะนำสัญกรณ์:

เราได้รับ:

,

ซึ่งตรงกับ -

พับแล้ว เอ 2 และ ข 2 เราได้รับ:

หรือซึ่งต้องพิสูจน์

2. พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยวิธีพื้นที่

หลักฐานต่อไปนี้แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย ทั้งหมด

ใช้คุณสมบัติของพื้นที่ ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั่นเอง

• พิสูจน์ผ่านการเติมเต็ม

จัดสี่สี่เหลี่ยมเท่ากัน

สามเหลี่ยมตามภาพ

ด้านขวา.

สี่เหลี่ยมที่มีด้าน ค- สี่เหลี่ยม,

เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และ

มุมที่พัฒนาแล้วคือ 180°

พื้นที่ของร่างทั้งหมดคือด้านหนึ่ง

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ( a+b) และในทางกลับกัน ผลรวมของพื้นที่ สี่สามเหลี่ยมและ

คิวอีดี

3. พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยวิธีการน้อยนิด

​

พิจารณาภาพวาดที่แสดงในรูปและ

มองการเปลี่ยนแปลงด้านข้างเอ, เราทำได้

เขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับอนันต์

เล็ก เพิ่มด้านข้างกับและ เอ(ใช้ความเหมือน

สามเหลี่ยม):

โดยใช้วิธีการแยกตัวแปร เราพบว่า:

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นของขาทั้งสองข้าง:

บูรณาการ สมการที่กำหนดและใช้เงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบที่ต้องการ:

เนื่องจากเห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายจึงปรากฏขึ้นเนื่องจากเส้นตรง

สัดส่วนระหว่างด้านของสามเหลี่ยมกับส่วนเพิ่ม ส่วนผลรวมนั้นสัมพันธ์กับส่วนอิสระ

ผลงานจากการเพิ่มขึ้นของขาที่แตกต่างกัน

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่าได้หากเราคิดว่าขาข้างใดข้างหนึ่งไม่มีการเพิ่มขึ้น

(ใน กรณีนี้ขา ข). สำหรับค่าคงที่การรวมเราได้รับ:

(ตาม Papyrus 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำบอกเล่าของต้นเสียง ฮาร์พีดอนแนปต์ หรือ "ตัวปรับความตึงสาย" นั้นสร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3, 4 และ 5

ง่ายต่อการทำซ้ำวิธีการก่อสร้าง ลองเอาเชือกยาว 12 ม. มามัดด้วยแถบสีที่ระยะ 3 ม. จากปลายด้านหนึ่งและอีก 4 เมตรจากปลายอีกด้านหนึ่ง มุมฉากจะอยู่ระหว่างด้านที่ยาว 3 ถึง 4 เมตร อาจถูกค้านกับ Harpedonapts ว่าวิธีการก่อสร้างของพวกเขาจะซ้ำซาก ตัวอย่างเช่น ถ้าใช้สี่เหลี่ยมไม้ที่ช่างไม้ทั้งหมดใช้ อันที่จริงภาพวาดอียิปต์เป็นที่รู้จักซึ่งพบเครื่องมือดังกล่าว - ตัวอย่างเช่นภาพวาดที่แสดงถึงการประชุมเชิงปฏิบัติการช่างไม้

ค่อนข้างเป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหมู่ชาวบาบิโลน ในข้อความหนึ่งย้อนหลังไปถึงสมัยของฮัมมูราบี นั่นคือ 2000 ปีก่อนคริสตกาล อี คำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในเมโสโปเตเมียพวกเขาสามารถคำนวณด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างน้อยก็ในบางกรณี ในแง่หนึ่ง ในระดับความรู้ปัจจุบันของคณิตศาสตร์อียิปต์และบาบิโลน และในอีกด้านหนึ่ง จากการศึกษาเชิงวิพากษ์ของแหล่งข้อมูลกรีก Van der Waerden (นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์) สรุปว่ามีความเป็นไปได้สูงที่ ทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นที่รู้จักในอินเดียเมื่อประมาณศตวรรษที่ 18 ก่อนคริสต์ศักราช อี

ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล e. ตาม Proclus เพลโตได้ให้วิธีการหาสามพีทาโกรัสรวมพีชคณิตและเรขาคณิต ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล อี องค์ประกอบของยุคลิดมีหลักฐานเชิงสัจพจน์ที่เก่าแก่ที่สุดของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้อยคำ

สูตรทางเรขาคณิต:

ทฤษฎีบทเดิมถูกกำหนดไว้ดังนี้:

สูตรพีชคณิต:

นั่นคือ แสดงถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมทะลุ และความยาวของขาทะลุ และ:

ทั้งสองสูตรของทฤษฎีบทมีความเท่าเทียมกัน แต่สูตรที่สองเป็นพื้นฐานมากกว่า ไม่ต้องการแนวคิดของพื้นที่ นั่นคือ คำสั่งที่สองสามารถตรวจสอบได้โดยไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับพื้นที่นั้น และโดยการวัดเฉพาะความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน:

หลักฐานของ

ในขณะนี้ 367 ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ อาจเป็นไปได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเดียวที่มีการพิสูจน์จำนวนมาก ความหลากหลายดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยความสำคัญพื้นฐานของทฤษฎีบทสำหรับเรขาคณิตเท่านั้น

แน่นอน ตามแนวคิดแล้ว สิ่งเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นชั้นเรียนจำนวนน้อยได้ ที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขา: พิสูจน์โดยวิธีพื้นที่, พิสูจน์จริงและแปลกใหม่ (เช่น การใช้สมการเชิงอนุพันธ์).

ผ่านรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หลักฐานต่อไปนี้ของสูตรพีชคณิตเป็นข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่สร้างขึ้นโดยตรงจากสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องพื้นที่

อนุญาต ABCมีสามเหลี่ยมมุมฉาก ค. ลองวาดความสูงจาก คและระบุฐานโดย ชม. สามเหลี่ยม ACHคล้ายสามเหลี่ยม ABCที่มุมสองมุม ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม CBHคล้ายกัน ABC. แนะนำสัญกรณ์

เราได้รับ

เทียบเท่าอะไร

เพิ่มเราได้รับ

ที่ต้องพิสูจน์

หลักฐานพื้นที่

หลักฐานต่อไปนี้แม้จะดูเรียบง่าย แต่ก็ไม่ง่ายเลย พวกเขาทั้งหมดใช้คุณสมบัติของพื้นที่ซึ่งการพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเอง

พิสูจน์ผ่านความเท่าเทียมกัน

1. จัดเรียงสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูปดังแสดงในรูปที่ 1
2. สี่เหลี่ยมที่มีด้าน คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพราะผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ 90° และมุมตรงคือ 180°
3. พื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากัน ด้านหนึ่ง กับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน (a + b) และในทางกลับกัน ผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและพื้นที่ ของจตุรัสด้านใน

คิวอีดี

ข้อพิสูจน์ของยุคลิด

แนวความคิดในการพิสูจน์ของยุคลิดมีดังนี้: ลองพิสูจน์ว่าครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมของพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา และจากนั้น พื้นที่ของ สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และสี่เหลี่ยมเล็กสองอันมีค่าเท่ากัน

พิจารณาภาพวาดทางด้านซ้าย เราสร้างสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากบนนั้นแล้วดึงรังสี s จากจุดยอดของมุมฉาก C ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB มันตัดสี่เหลี่ยม ABIK ที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองสี่เหลี่ยม - BHJI และ HAKJ ตามลำดับ ปรากฎว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขาที่สอดคล้องกัน

ลองพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส DECA เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยม AHJK ในการทำเช่นนี้เราใช้การสังเกตเสริม: พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงและฐานเท่ากันตามที่กำหนด สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่เป็นผลมาจากการกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง จากการสังเกตนี้จะตามมาว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม AHK (ไม่แสดง) ซึ่งในทางกลับกันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า AHJK

ให้เราพิสูจน์ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ACK นั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม DECA ด้วย สิ่งเดียวที่ต้องทำเพื่อสิ่งนี้คือการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ACK และ BDA (เนื่องจากคุณสมบัติข้างต้นนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยม BDA เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ความเท่าเทียมกันนี้ชัดเจน: สามเหลี่ยมสองด้านเท่ากันและมุมระหว่างพวกเขา กล่าวคือ - AB=AK, AD=AC - ความเท่าเทียมกันของมุม CAK และ BAD นั้นง่ายต่อการพิสูจน์โดยวิธีการเคลื่อนไหว: ให้หมุนสามเหลี่ยม CAK 90 °ทวนเข็มนาฬิกา จะเห็นได้ว่าด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองที่พิจารณาจะตรงกัน (เนื่องจากมุมที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 90°)

อาร์กิวเมนต์เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส BCFG และสี่เหลี่ยม BHJI นั้นคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนขา ความคิด หลักฐานนี้แสดงเพิ่มเติมด้วยภาพเคลื่อนไหวด้านบน

หลักฐานของ Leonardo da Vinci

องค์ประกอบหลักของการพิสูจน์คือความสมมาตรและการเคลื่อนไหว

พิจารณาภาพวาด ดังที่เห็นได้จากความสมมาตร ส่วนนั้นตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน (เนื่องจากสามเหลี่ยมและมีโครงสร้างเท่ากัน)

โดยใช้การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศารอบจุด เราจะเห็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แรเงาและ

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของรูปที่เราแรเงานั้นเท่ากับผลรวมของครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็กๆ (สร้างบนขา) และพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ในทางกลับกัน มันเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ (สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉาก) บวกกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม ดังนั้น ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ครึ่งหนึ่ง เท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ ดังนั้น ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา เท่ากับ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้าง บนด้านตรงข้ามมุมฉาก

พิสูจน์ด้วยวิธีการที่ไร้ขีดจำกัด

หลักฐานต่อไปนี้โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์มักจะนำมาประกอบกับที่รู้จักกันดี นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Hardy ที่อาศัยอยู่ในครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

พิจารณาภาพวาดที่แสดงในรูปและสังเกตการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง เอเราสามารถเขียนความสัมพันธ์ต่อไปนี้สำหรับการเพิ่มขึ้นทีละน้อย กับและ เอ(ใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน):

โดยใช้วิธีการแยกตัวแปรเราพบว่า

นิพจน์ทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีที่เพิ่มขึ้นของขาทั้งสองข้าง

การรวมสมการนี้และการใช้เงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับ

เราจึงได้คำตอบที่ต้องการ

ดังที่เห็นได้ง่าย การพึ่งพากำลังสองในสูตรสุดท้ายปรากฏขึ้นเนื่องจากสัดส่วนเชิงเส้นตรงระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมและการเพิ่มขึ้น ในขณะที่ผลรวมเกิดจากการมีส่วนร่วมอิสระจากการเพิ่มของขาต่างๆ

สามารถหาข้อพิสูจน์ที่ง่ายกว่านี้ได้หากเราคิดว่าขาข้างหนึ่งไม่มีส่วนเพิ่ม (ในกรณีนี้คือขา) จากนั้นสำหรับค่าคงที่การรวมเราได้รับ

รูปแบบและลักษณะทั่วไป

รูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกันทั้งสามด้าน

ลักษณะทั่วไปสำหรับ สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน, พื้นที่ตัวเลขสีเขียว A + B = พื้นที่สีน้ำเงิน C

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน

ภาพรวมของทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกสร้างขึ้นโดย Euclid ในงานของเขา จุดเริ่มต้น, ขยายพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านข้างให้เป็นพื้นที่ที่คล้ายกัน รูปทรงเรขาคณิต :

หากเราสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกัน (ดู เรขาคณิตแบบยุคลิด) ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของตัวเลขที่เล็กกว่าสองรูปจะเท่ากับพื้นที่ของรูปที่ใหญ่กว่า

แนวคิดหลักของการวางนัยทั่วไปนี้คือพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของมิติเชิงเส้นใดๆ ของมัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กับกำลังสองของความยาวของด้านใดๆ ดังนั้น สำหรับตัวเลขที่ใกล้เคียงกันกับพื้นที่ อา, บีและ คสร้างบนด้านที่มีความยาว เอ, ขและ ค, เรามี:

แต่ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เอ 2 + ข 2 = ค 2 แล้ว อา + บี = ค.

ในทางกลับกัน หากเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า อา + บี = คสำหรับรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายกันสามรูปโดยไม่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราก็สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นเองได้ โดยย้ายไปที่ ทิศทางย้อนกลับ. ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมศูนย์กลางเริ่มต้นสามารถใช้เป็นรูปสามเหลี่ยมได้ คบนด้านตรงข้ามมุมฉาก และสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันสองรูป ( อาและ บี) สร้างขึ้นจากอีกสองด้านซึ่งเกิดขึ้นจากการหารสามเหลี่ยมกลางด้วยความสูง ผลรวมของพื้นที่เล็กสองแห่งของรูปสามเหลี่ยมนั้นย่อมเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม ดังนั้น อา + บี = คและตามหลักฐานก่อนหน้าใน กลับลำดับ, เราได้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส a 2 + b 2 = c 2

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ กรณีพิเศษมากกว่า ทฤษฎีบททั่วไปโคไซน์ซึ่งสัมพันธ์กับความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ:

โดยที่ θ คือมุมระหว่างด้าน เอและ ข.

ถ้า θ เป็น 90 องศา แล้ว cos θ = 0 และสูตรถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสปกติ

สามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ไปยังมุมใดๆ ที่เลือกของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านต่างๆ ก, ข, คจารึกสามเหลี่ยมหน้าจั่วในลักษณะที่ มุมเท่ากันที่ฐานของมัน θ เท่ากับมุมที่เลือก สมมติว่ามุมที่เลือก θ อยู่ตรงข้ามกับด้านที่ระบุ ค. เป็นผลให้เราได้รูปสามเหลี่ยม ABD ที่มีมุม θ ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับด้าน เอและงานปาร์ตี้ r. สามเหลี่ยมที่สองเกิดจากมุม θ ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับด้าน ขและงานปาร์ตี้ กับยาว สตามที่แสดงในภาพ Thabit Ibn Qurra กล่าวว่าด้านในสามเหลี่ยมทั้งสามนี้มีความสัมพันธ์กันดังนี้:

เมื่อมุม θ เข้าใกล้ π/2 ฐาน สามเหลี่ยมหน้าจั่วลดลงและทั้งสองข้างเหลื่อมกันน้อยลง เมื่อ θ = π/2, ADB จะกลายเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก r + ส = คและเราจะได้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเริ่มต้น

ลองดูหนึ่งในอาร์กิวเมนต์ สามเหลี่ยม ABCมีมุมเท่ากับสามเหลี่ยม ABD แต่เรียงกลับกัน (สามเหลี่ยมสองรูปมีมุมร่วมที่จุดยอด B ทั้งสองมีมุม θ และมีมุมที่สามเหมือนกันด้วยผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม) ดังนั้น ABC จึงคล้ายกับการสะท้อน ABD ของสามเหลี่ยม DBA ดังที่แสดง ในรูปด้านล่าง ให้เราเขียนความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายตรงข้ามและประชิดกับมุม θ

การสะท้อนของสามเหลี่ยมอีกรูปก็เช่นกัน

คูณเศษส่วนและเพิ่มอัตราส่วนทั้งสองนี้:

คิวอีดี

ลักษณะทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจผ่านสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลักษณะทั่วไปสำหรับ สามเหลี่ยมโดยพลการ,
พื้นที่สีเขียว พล็อต = พื้นที่สีฟ้า

หลักฐานวิทยานิพนธ์ว่าในรูปข้างบน

ลองทำการวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม โดยใช้สี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งสามด้านแทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยม (สี่เหลี่ยมเป็นกรณีพิเศษ) รูปบนแสดงว่า for สามเหลี่ยมแหลมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านยาวเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานของอีกสองด้าน โดยจะต้องสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านยาวดังแสดงในรูป (ขนาดที่ทำเครื่องหมายด้วยลูกศรจะเหมือนกันและ กำหนดด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานล่าง) การแทนที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีความคล้ายคลึงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสเริ่มต้นอย่างชัดเจน และเชื่อกันว่าได้รับการกำหนดสูตรโดย Pappus of Alexandria ใน 4 CE อี

รูปด้านล่างแสดงความคืบหน้าของการพิสูจน์ ลองดูที่ด้านซ้ายของสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานสีเขียวด้านซ้ายมีพื้นที่เท่ากับด้านซ้ายของสี่เหลี่ยมด้านขนานสีน้ำเงินเพราะมีฐานเท่ากัน ขและส่วนสูง ชม.. นอกจากนี้ กล่องสีเขียวด้านซ้ายจะมีพื้นที่เดียวกับกล่องสีเขียวด้านซ้ายในรูปบนเนื่องจากมี พื้นดินทั่วไป(บน ทางซ้ายมือสามเหลี่ยม) และความสูงรวมตั้งฉากกับด้านนั้นของสามเหลี่ยม การโต้เถียงกันทางด้านขวาของรูปสามเหลี่ยม เราพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานล่างมีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมด้านขนานสีเขียวสองรูป

ตัวเลขที่ซับซ้อน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้เพื่อค้นหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับพิกัดจริงทั้งหมด: ระยะทาง สระหว่างสองจุด ( ก, ข) และ ( ซีดี) เท่ากับ

ไม่มีปัญหากับสูตร ถ้านับจำนวนเชิงซ้อนเป็นเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบจริง x + ฉัน y = (x, y). . เช่น ระยะทาง สระหว่าง 0 + 1 ผมและ 1 + 0 ผมคำนวณเป็นโมดูลัสของเวกเตอร์ (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), หรือ

อย่างไรก็ตาม สำหรับการดำเนินการกับเวกเตอร์ที่มีพิกัดเชิงซ้อน จำเป็นต้องปรับปรุงสูตรพีทาโกรัสบางอย่าง ระยะห่างระหว่างจุดกับ ตัวเลขเชิงซ้อน (เอ, ข) และ ( ค, d); เอ, ข, ค, และ dล้วนซับซ้อน เรากำหนดโดยใช้ ค่าสัมบูรณ์. ระยะทาง สขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเวกเตอร์ (เอ − ค, ข − d) ใน แบบฟอร์มต่อไปนี้: ปล่อยให้ความแตกต่าง เอ − ค = พี+ฉัน q, ที่ไหน พีคือส่วนที่แท้จริงของความแตกต่าง qเป็นส่วนจินตภาพ และ i = √(-1) ในทำนองเดียวกันให้ ข − d = r+ฉัน ส. แล้ว:

คอนจูเกตเชิงซ้อนของ . เช่น ระยะห่างระหว่างจุด (เอ, ข) = (0, 1) และ (ค, d) = (ผม, 0) คำนวณส่วนต่าง (เอ − ค, ข − d) = (−ผม, 1) และผลลัพธ์จะเป็น 0 หากไม่ได้ใช้คอนจูเกตที่ซับซ้อน ดังนั้นเมื่อใช้สูตรที่ปรับปรุงแล้วเราจะได้

โมดูลถูกกำหนดดังนี้:

Stereometry

ลักษณะทั่วไปที่สำคัญของทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับปริภูมิสามมิติคือทฤษฎีบทของเดอกัว ซึ่งตั้งชื่อตาม J.-P. de Gua: ถ้าจัตุรมุขมีมุมฉาก (เหมือนในลูกบาศก์) พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของพื้นที่ของอีกสามหน้า ข้อสรุปนี้สามารถสรุปได้ว่า " น-มิติทฤษฎีบทพีทาโกรัส":

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส พื้นที่สามมิติเชื่อม AD ในแนวทแยงกับสามด้าน

ลักษณะทั่วไปอื่น: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถนำไปใช้กับ stereometry ในรูปแบบต่อไปนี้ พิจารณา ทรงลูกบาศก์ตามที่แสดงในภาพ ค้นหาความยาวของเส้นทแยงมุม BD โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

โดยที่ด้านทั้งสามเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ใช้ BD แนวทแยงแนวนอนและขอบแนวตั้ง AB เพื่อค้นหาความยาวของ AD ในแนวทแยง อีกครั้งโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

หรือถ้าทุกอย่างเขียนด้วยสมการเดียว:

ผลลัพธ์นี้เป็นนิพจน์ 3 มิติสำหรับกำหนดขนาดของเวกเตอร์ วี(แนวทแยง AD) แสดงในรูปขององค์ประกอบตั้งฉาก ( วี k) (สามด้านตั้งฉากกัน):

สมการนี้สามารถมองได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับปริภูมิหลายมิติ อย่างไรก็ตาม ผลที่ได้จริง ๆ แล้วไม่มีอะไรมากไปกว่าการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซ้ำๆ กับลำดับของสามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบตั้งฉากต่อเนื่องกัน

ช่องว่างเวกเตอร์

ในกรณีของระบบเวกเตอร์มุมฉาก ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ถ้า เป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ลงบน แกนพิกัดดังนั้นสูตรนี้จึงเกิดขึ้นพร้อมกับระยะทางแบบยุคลิด - และหมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับราก ผลรวมสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมของส่วนประกอบ

ความคล้ายคลึงของความเท่าเทียมกันในกรณีนี้ ระบบไม่มีที่สิ้นสุดเวกเตอร์เรียกว่าความเท่าเทียมกันของ Parseval

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มาจากสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยุคลิด และอันที่จริง ใช้ไม่ได้กับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในรูปแบบที่เขียนไว้ข้างต้น (นั่นคือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นสิ่งที่เทียบเท่ากับสมมุติฐานของการขนานกันของยุคลิด) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด อัตราส่วนระหว่างด้านของสามเหลี่ยมจะต้องอยู่ในรูปแบบที่แตกต่างจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส . ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตทรงกลม ทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก (พูดว่า เอ, ขและ ค) ที่ผูกออกแทนต์ (หนึ่งในแปด) ของทรงกลมหน่วยมีความยาว π/2 ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพราะ เอ 2 + ข 2 ≠ ค 2 .

พิจารณาที่นี่สองกรณีของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด - เรขาคณิตทรงกลมและไฮเพอร์โบลิก ในทั้งสองกรณี สำหรับปริภูมิแบบยุคลิดสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลลัพธ์ที่แทนที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามมาจากทฤษฎีบทโคไซน์

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังคงใช้ได้สำหรับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและรีลีปติก หากข้อกำหนดให้สามเหลี่ยมมีมุมฉากถูกแทนที่ด้วยเงื่อนไขที่ว่าผลรวมของมุมสองมุมของสามเหลี่ยมต้องเท่ากับมุมที่สาม กล่าวคือ อา+บี = ค. จากนั้นอัตราส่วนระหว่างด้านจะเป็นดังนี้: ผลรวมของพื้นที่วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง เอและ ขเท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ค.

เรขาคณิตทรงกลม

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ บนทรงกลมที่มีรัศมี R(เช่น ถ้ามุม γ ในสามเหลี่ยมเป็นมุมขวา) ที่มีด้าน เอ, ข, คความสัมพันธ์ระหว่างคู่สัญญาจะมีลักษณะดังนี้:

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถหาได้เป็น เป็นกรณีพิเศษทฤษฎีบทโคไซน์ทรงกลมซึ่งใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมทั้งหมด:

โดยที่ cosh คือไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ สูตรนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ ซึ่งใช้ได้กับสามเหลี่ยมทั้งหมด:

โดยที่ γ คือมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงข้ามกับด้าน ค.

ที่ไหน g อิจเรียกว่าเมตริกเทนเซอร์ อาจเป็นฟังก์ชันตำแหน่ง พื้นที่โค้งดังกล่าวรวมถึงเรขาคณิตรีมันเนียน as ตัวอย่างทั่วไป. สูตรนี้ยังเหมาะสำหรับพื้นที่ยุคลิดเมื่อใช้พิกัดโค้ง ตัวอย่างเช่น สำหรับ พิกัดเชิงขั้ว:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงนิพจน์สองนิพจน์สำหรับขนาดของผลคูณเวกเตอร์ แนวทางหนึ่งในการกำหนดผลคูณต้องเป็นไปตามสมการ:

สูตรนี้ใช้ดอทโปรดัค ด้านขวาของสมการเรียกว่า ดีเทอร์มีแนนต์ของแกรม for เอและ ขซึ่งเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์สองตัวนี้ ตามข้อกำหนดนี้ เช่นเดียวกับข้อกำหนดที่ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ตั้งฉากกับส่วนประกอบ เอและ ขตามนั้น ยกเว้นกรณีเล็กน้อยของสเปซ 0 และ 1 มิติ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ถูกกำหนดในสามมิติและเจ็ดเท่านั้น เราใช้นิยามของมุมใน น- พื้นที่มิติ:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นี้ให้ค่าในรูปแบบต่อไปนี้:

ผ่านพื้นฐาน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ Pythagoras เราได้รูปแบบการเขียนมูลค่าที่แตกต่างกัน:

วิธีอื่นในการกำหนดผลิตภัณฑ์ข้ามกลุ่มใช้นิพจน์สำหรับขนาด จากนั้น โต้เถียงกันในลำดับที่กลับกัน เราได้รับการเชื่อมต่อกับ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

1. หัวข้อประวัติศาสตร์: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในคณิตศาสตร์บาบิโลน
2. ( , หน้า 351) หน้า 351
3. ( , Vol I, p. 144)
4. การอภิปราย ข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์ให้ไว้ใน (, หน้า 351) หน้า 351
5. เคิร์ต วอน ฟริตซ์ (เม.ย. 2488) "การค้นพบความไม่สมดุลของฮิปปาซัสของเมตาปอนทัม". พงศาวดารของคณิตศาสตร์ ชุดที่สอง(พงศาวดารของคณิตศาสตร์) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll "เรื่องราวกับนอต", M. , Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboeตอนจากประวัติศาสตร์ตอนต้นของคณิตศาสตร์ - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. ข้อเสนอของพีทาโกรัสโดย Elisha Scott Loomis
9. Euclid's องค์ประกอบ: Book VI, Proposition VI 31: "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวเลขที่ด้านลบมุมฉากจะเท่ากับตัวเลขที่คล้ายกันและอธิบายในทำนองเดียวกันที่ด้านข้างที่มีมุมฉาก"
10. Lawrence S. Leff อ้างงาน. - ชุดการศึกษาของ Barron - หน้า 326 - ISBN 0764128922
11. โฮเวิร์ด วิทลีย์ อีฟส์§4.8:...ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส // ช่วงเวลาที่ยิ่งใหญ่ในวิชาคณิตศาสตร์ (ก่อน 1650) - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (ชื่อเต็ม Thabit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) เป็นแพทย์ที่อาศัยอยู่ในแบกแดดที่เขียนเกี่ยวกับองค์ประกอบของยุคลิดอย่างกว้างขวาง และคนอื่น ๆวิชาคณิตศาสตร์
13. อัยดิน ซายลี (มี.ค. 1960) "การสรุปทั่วไปของThâbit ibn Qurra ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส" ไอซิส 51 (1): 35–37. ดอย:10.1086/348837.
14. จูดิธ ดี. แซลลี่, พอล แซลลี่แบบฝึกหัด 2.10(ii) // งานที่อ้างถึง . - หน้า 62. - ISBN 0821844032
15. ดูรายละเอียดการก่อสร้างได้ที่ จอร์จ เจนนิงส์รูปที่ 1.32: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสทั่วไป // เรขาคณิตสมัยใหม่พร้อมการใช้งาน: มี 150 ตัวเลข . - ที่ 3 - สปริงเกอร์, 1997. - หน้า 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcyสิ่งของ ค: บรรทัดฐานสำหรับพลการ น-tuple ... // บทนำสู่การวิเคราะห์ - สปริงเกอร์, 2538. - หน้า 124. - ISBN 0387943692ดูหน้า 47-50 ด้วย
17. อัลเฟรด เกรย์, เอลซ่า แอบบีน่า, ไซม่อน ซาลามอนเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่ทันสมัยของเส้นโค้งและพื้นผิวด้วย Mathematica - ที่ 3 - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatiaการวิเคราะห์เมทริกซ์ - สปริงเกอร์, 1997. - หน้า 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking อ้างงาน. - 2548. - หน้า 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC สารานุกรมสั้นของคณิตศาสตร์ - ที่ 2 - 2546. - หน้า 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

ระดับเฉลี่ย

สามเหลี่ยมมุมฉาก. คู่มือภาพประกอบฉบับสมบูรณ์ (2019)

สามเหลี่ยมมุมฉาก. ระดับแรก

ในปัญหามุมฉากไม่จำเป็นเลย - มุมล่างซ้ายดังนั้นคุณต้องเรียนรู้วิธีจดจำสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปแบบนี้

และในลักษณะนี้

และในลักษณะนี้

สามเหลี่ยมมุมฉากดีอย่างไร? ก็...ก่อนอื่นมีความพิเศษ ชื่อที่สวยงามสำหรับด้านข้างของเขา

ให้ความสนใจกับการวาดภาพ!

จำและอย่าสับสน: ขา - สองและด้านตรงข้ามมุมฉาก - เพียงหนึ่งเดียว(ตัวเดียว ไม่ซ้ำใคร และยาวที่สุด)!

เราคุยกันเรื่องชื่อแล้ว สิ่งที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหามากมายเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก พีทาโกรัสได้รับการพิสูจน์ในสมัยโบราณอย่างสมบูรณ์ และตั้งแต่นั้นมา ก็ได้นำประโยชน์มากมายมาสู่ผู้ที่รู้เรื่องนี้ และสิ่งที่ดีที่สุดเกี่ยวกับเธอคือเธอเป็นคนเรียบง่าย

ดังนั้น, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

คุณจำเรื่องตลก: "กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน!"?

ลองวาดกางเกงพีทาโกรัสเหล่านี้แล้วมองดู

มันดูเหมือนกางเกงขาสั้นจริงๆเหรอ? แล้วด้านไหนเท่ากัน? เรื่องตลกมาจากไหนและทำไม? และเรื่องตลกนี้เชื่อมโยงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นกับวิธีที่พีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทของเขาเอง และท่านได้กำหนดไว้ดังนี้

"ซำ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนขาเท่ากับ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

ฟังดูไม่ต่างกันไปหน่อยเหรอ? ดังนั้น เมื่อพีทาโกรัสเขียนคำกล่าวของทฤษฎีบทของเขา ภาพดังกล่าวก็ปรากฎขึ้น

ในภาพนี้ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก ๆ เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ และเพื่อให้เด็ก ๆ จดจำได้ดีขึ้นว่าผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขานั้นเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก มีคนที่มีไหวพริบประดิษฐ์มุกตลกนี้เกี่ยวกับกางเกงพีทาโกรัส

เหตุใดเราจึงกำหนดทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พีทาโกรัสทนทุกข์และพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมหรือไม่?

คุณเห็นไหมว่าในสมัยโบราณไม่มี ... พีชคณิต! ก็ไม่มีวี่แววเป็นต้น. ไม่มีจารึก คุณลองนึกดูสิว่าการที่นักเรียนโบราณที่น่าสงสารนั้นต้องจำทุกอย่างด้วยคำพูดนั้นแย่มากขนาดไหน?! และเราดีใจที่เรามีสูตรง่ายๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส มาทำซ้ำอีกครั้งเพื่อให้จำได้ดีขึ้น:

ตอนนี้ควรจะง่าย:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

ได้มีการพูดถึงทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว หากคุณสงสัยว่ามันพิสูจน์ได้อย่างไร อ่านต่อ ระดับต่อไปทฤษฏีแล้วไปต่อ ... to ป่าที่มืด...ตรีโกณมิติ! สำหรับคำที่น่ากลัว ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

อันที่จริงทุกอย่างไม่ได้น่ากลัวเลย แน่นอน คำจำกัดความ "ของจริง" ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ควรได้รับการพิจารณาในบทความ แต่คุณไม่ต้องการจริงๆ ใช่ไหม เราสามารถชื่นชมยินดี: ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถกรอกข้อมูลง่ายๆ ต่อไปนี้:

ทำไมมันเกี่ยวกับมุม? มุมไหน? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าข้อความที่ 1 - 4 นั้นเขียนด้วยคำพูดอย่างไร ดูเข้าใจและจำ!

1.
จริงๆแล้วดูเหมือนว่านี้:

แล้วมุมล่ะ? มีขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนั่นคือขาตรงข้าม (สำหรับมุม) หรือไม่? มีแน่นอน! นี่คือสายสวน!

แต่แล้วมุมล่ะ? มองดูดีๆ. ขาไหนอยู่ติดกับมุม? แน่นอนว่าแมว ดังนั้น สำหรับมุม ขาอยู่ติดกัน และ

และตอนนี้ให้ความสนใจ! ดูสิ่งที่เราได้รับ:

ดูว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน:

ทีนี้มาดูแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กัน

ตอนนี้จะเขียนเป็นคำพูดได้อย่างไร? ขาเทียบกับมุมคืออะไร? ตรงข้ามแน่นอน - มัน "โกหก" ตรงข้ามกับมุม และสายสวน? ติดตรงหัวมุม. แล้วเราได้อะไร?

ดูว่าตัวเศษและตัวส่วนกลับกันอย่างไร?

และตอนนี้มุมและทำการแลกเปลี่ยน:

สรุป

มาเขียนสิ่งที่เราได้เรียนรู้โดยสังเขปกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากหลักคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อ้อ คุณจำได้ดีว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่เช่นนั้นดูภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

เป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยไหมว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไร? มาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันเถอะ ลองวาดสี่เหลี่ยมที่มีด้าน

คุณเห็นว่าเราแบ่งด้านของมันออกเป็นส่วน ๆ ของความยาวได้อย่างไรและ!

ตอนนี้มาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตอย่างอื่น แต่คุณดูรูปตัวเองและคิดว่าทำไม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่คืออะไร? ถูกต้อง, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งหมดของมุมทั้งสี่ยังคงอยู่ ลองนึกภาพว่าเราเอาสองตัวมาพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น สองสี่เหลี่ยม ดังนั้นพื้นที่ของ "การตัด" จึงเท่ากัน

มารวมกันตอนนี้เลย

มาแปลงร่างกันเถอะ:

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในสมัยโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากกับตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น:

ไซนัส มุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม

และอีกครั้ง ทั้งหมดนี้อยู่ในรูปของจาน:

มันสบายมาก!

เครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. สองขา

ครั้งที่สอง ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

สาม. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามขาและมุมแหลม

ก)

ข)

ความสนใจ! นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ขาจะ "สอดคล้อง" ตัวอย่างเช่น ถ้ามันเป็นแบบนี้:

แล้วสามเหลี่ยมก็ไม่เท่ากันแม้ว่าจะมีมุมแหลมเหมือนกันก็ตาม

จำเป็นต้อง ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกันหรือทั้งสอง - ตรงข้าม.

คุณเคยสังเกตไหมว่าเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากเครื่องหมายปกติของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่? ดูหัวข้อ "และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" คุณต้องมีความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบทั้งสาม: สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขาหรือสามด้าน แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก มีเพียงสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว มันเยี่ยมมากใช่มั้ย?

ประมาณสถานการณ์เดียวกันกับสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณความคล้ายคลึงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. มุมเฉียบพลัน

ครั้งที่สอง สองขา

สาม. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาสี่เหลี่ยมทั้งหมดแทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ลองวาดเส้นทแยงมุมและพิจารณาจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบ้าง?

และจากนี้ไปจะเป็นอย่างไร

มันเลยเกิดขึ้นว่า

1. - ค่ามัธยฐาน:

จำข้อเท็จจริงนี้ไว้! ช่วยได้เยอะ!

สิ่งที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นก็คือบทสนทนานั้นก็เป็นความจริงเช่นกัน

ได้อะไรที่ดีจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? มาดูรูปกันจ้า

มองดูดีๆ. เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดถึงจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลับกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่ในรูปสามเหลี่ยมมีจุดเดียว ระยะทางจากจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงจรที่อธิบาย แล้วเกิดอะไรขึ้น?

เริ่มจาก "นอกจาก..." นี้ก่อน

ลองดูที่ไอ

แต่ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกมุมเท่ากัน!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดกัน:

สามารถใช้อะไรได้บ้างจากความคล้ายคลึงกัน "สามประการ" นี้

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง เราแก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน:

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

อีกครั้งเราแก้สัดส่วนและรับสูตรที่สอง:

ทั้งสองสูตรนี้ต้องจำไว้ให้ดีและสูตรไหนสะดวกกว่ากัน มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:.

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• บนสองขา:
• ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ
• ตามขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน: หรือ
• ตามขาและมุมแหลมตรงข้าม: หรือ
• โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: หรือ.

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• มุมคมหนึ่ง: หรือ
• จากสัดส่วนของขาทั้งสองข้าง:
• จากสัดส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• แทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน:
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม:

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก: หรือ

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก: .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ผ่านสายสวน: