โปรแกรม Excel ได้รับความนิยมอย่างสูงจากทั้งมืออาชีพและมือสมัครเล่น เนื่องจากผู้ใช้ที่มีการฝึกอบรมทุกระดับสามารถทำงานได้ ตัวอย่างเช่น ใครก็ตามที่มีทักษะ "การสื่อสาร" ขั้นต่ำกับ Excel สามารถวาดกราฟอย่างง่าย สร้างเครื่องหมายที่เหมาะสม ฯลฯ

ในขณะเดียวกัน โปรแกรมนี้ยังให้คุณทำการคำนวณได้หลายประเภท เช่น การคำนวณ แต่สิ่งนี้ต้องการการฝึกฝนในระดับที่แตกต่างกันเล็กน้อยอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม หากคุณเพิ่งเริ่มทำความรู้จักกับโปรแกรมนี้อย่างใกล้ชิดและสนใจทุกสิ่งที่จะช่วยให้คุณเป็นผู้ใช้ขั้นสูง บทความนี้เหมาะสำหรับคุณ วันนี้ฉันจะบอกคุณว่าสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใน excel คืออะไร เหตุใดจึงจำเป็นและอันที่จริงจะใช้เมื่อใด ไป!

มันคืออะไร

เริ่มจากทฤษฎีกันก่อน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเรียกว่ารากที่สอง ซึ่งได้มาจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลต่างกำลังสองทั้งหมดระหว่างค่าที่มีอยู่ ตลอดจนค่าเฉลี่ยเลขคณิต อย่างไรก็ตามค่านี้มักจะเรียกว่าตัวอักษรกรีก "sigma" ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคำนวณโดยใช้สูตร STDEV ตามลำดับ โปรแกรมทำเพื่อผู้ใช้เอง

สาระสำคัญของแนวคิดนี้คือการระบุระดับความแปรปรวนของเครื่องมือ นั่นคือ ในทางของมันเอง ตัวบ่งชี้จากสถิติเชิงพรรณนา มันแสดงให้เห็นการเปลี่ยนแปลงในความผันผวนของตราสารในช่วงเวลาใดๆ เมื่อใช้สูตร STDEV คุณสามารถประมาณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างได้ ในขณะที่ค่าบูลีนและค่าข้อความจะถูกละเว้น

สูตร

ช่วยในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในสูตร excel ซึ่งมีให้โดยอัตโนมัติใน Excel ในการค้นหาคุณต้องค้นหาส่วนสูตรใน Excel และเลือกส่วนที่มีชื่อ STDEV อยู่แล้ว ดังนั้นจึงง่ายมาก

หลังจากนั้นหน้าต่างจะปรากฏขึ้นต่อหน้าคุณซึ่งคุณจะต้องป้อนข้อมูลสำหรับการคำนวณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งควรป้อนตัวเลขสองตัวในช่องพิเศษ หลังจากนั้นโปรแกรมจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่างโดยอัตโนมัติ

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า สูตรทางคณิตศาสตร์และการคำนวณเป็นปัญหาที่ค่อนข้างซับซ้อน และไม่ใช่ผู้ใช้ทุกคนที่สามารถจัดการกับมันได้ทันที อย่างไรก็ตาม หากคุณเจาะลึกลงไปอีกเล็กน้อยและเข้าใจปัญหาโดยละเอียดมากขึ้น ปรากฎว่าไม่ใช่ทุกสิ่งที่น่าเศร้า ฉันหวังว่าคุณจะมั่นใจในสิ่งนี้จากตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

วิดีโอเพื่อช่วย

นักคณิตศาสตร์และนักสถิติที่ชาญฉลาดได้คิดค้นตัวบ่งชี้ที่น่าเชื่อถือมากขึ้น แม้ว่าจะมีจุดประสงค์ที่แตกต่างกันเล็กน้อยก็ตาม - ค่าเฉลี่ยความเบี่ยงเบนเชิงเส้น. ตัวบ่งชี้นี้แสดงลักษณะการวัดการแพร่กระจายของค่าของชุดข้อมูลรอบค่าเฉลี่ย

เพื่อแสดงการวัดการแพร่กระจายของข้อมูล ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดว่าการแพร่กระจายมากนี้จะพิจารณาเทียบกับอะไร - โดยปกติแล้วจะเป็นค่าเฉลี่ย ถัดไปคุณต้องคำนวณว่าค่าของชุดข้อมูลที่วิเคราะห์อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด เป็นที่ชัดเจนว่าแต่ละค่าสอดคล้องกับค่าเบี่ยงเบนจำนวนหนึ่ง แต่เรายังสนใจค่าประมาณทั่วไปที่ครอบคลุมประชากรทั้งหมดด้วย ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจึงคำนวณโดยใช้สูตรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตปกติ แต่! แต่เพื่อที่จะคำนวณค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบน จะต้องเพิ่มค่าเหล่านั้นก่อน และถ้าเราบวกเลขบวกลบ มันจะหักล้างกัน และผลรวมของพวกมันจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้ ค่าเบี่ยงเบนทั้งหมดจะถูกนำไปใช้แบบโมดูโล นั่นคือ จำนวนลบทั้งหมดจะกลายเป็นค่าบวก ตอนนี้ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะแสดงการวัดการแพร่กระจายของค่าโดยทั่วไป ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยจะถูกคำนวณโดยสูตร:

กคือค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย

x- ตัวบ่งชี้ที่วิเคราะห์โดยมีเส้นประด้านบน - ค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้

นคือจำนวนของค่าในชุดข้อมูลที่วิเคราะห์

ฉันหวังว่าตัวดำเนินการผลรวมจะไม่ทำให้ใครกลัว

ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยที่คำนวณโดยใช้สูตรที่ระบุสะท้อนถึงค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยจากค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรนี้

เส้นสีแดงในภาพคือค่าเฉลี่ย การเบี่ยงเบนของการสังเกตแต่ละครั้งจากค่าเฉลี่ยจะแสดงด้วยลูกศรขนาดเล็ก พวกเขานำมาโมดูโลและสรุป จากนั้นทุกอย่างจะถูกหารด้วยจำนวนค่า

เพื่อให้ภาพสมบูรณ์ จำเป็นต้องให้อีกตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่ามี บริษัท หนึ่งที่ผลิตการตัดสำหรับพลั่ว การตัดแต่ละครั้งควรมีความยาว 1.5 เมตร แต่ที่สำคัญกว่านั้นควรยาวเท่ากันทั้งหมด หรืออย่างน้อย บวกหรือลบ 5 ซม. อย่างไรก็ตาม พนักงานที่ประมาทจะตัดออก 1.2 ม. จากนั้น 1.8 ม. ผู้อำนวยการของ บริษัท ตัดสินใจที่จะทำการวิเคราะห์ทางสถิติเกี่ยวกับความยาวของการตัด ฉันเลือก 10 ชิ้นและวัดความยาว หาค่าเฉลี่ยและคำนวณค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยนั้นถูกต้อง - 1.5 ม. แต่ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยกลายเป็น 0.16 ม. ดังนั้นปรากฎว่าการตัดแต่ละครั้งยาวหรือสั้นเกินความจำเป็นโดยเฉลี่ย 16 ซม. มีบางอย่างที่จะพูดถึง กับคนงาน. ในความเป็นจริงฉันไม่เห็นการใช้งานจริงของตัวบ่งชี้นี้ ดังนั้นฉันจึงสร้างตัวอย่างขึ้นมาเอง อย่างไรก็ตามมีตัวบ่งชี้ดังกล่าวในสถิติ

การกระจายตัว

เช่นเดียวกับค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงขอบเขตที่ข้อมูลกระจายไปรอบๆ ค่าเฉลี่ย

สูตรคำนวณความแปรปรวนมีลักษณะดังนี้:

(สำหรับชุดรูปแบบ (ความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก))

(สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม (ความแปรปรวนอย่างง่าย))

ที่ไหน: σ 2 - การกระจาย สี– เราวิเคราะห์ตัวบ่งชี้ sq (ค่าคุณสมบัติ), – ค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้, i – จำนวนของค่าในชุดข้อมูลที่วิเคราะห์

ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยกำลังสองของการเบี่ยงเบน

ขั้นแรก ค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณ จากนั้นจึงนำความแตกต่างระหว่างเส้นฐานแต่ละเส้นกับค่าเฉลี่ย ยกกำลังสอง คูณด้วยความถี่ของค่าคุณลักษณะที่สอดคล้องกัน เพิ่มแล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากร

อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือดัชนี การกระจายจะไม่ถูกนำไปใช้ เป็นตัวบ่งชี้เสริมและสื่อกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่นๆ

วิธีง่ายๆ ในการคำนวณความแปรปรวน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

หากต้องการใช้ความแปรปรวนในการวิเคราะห์ข้อมูล รากที่สองจะถูกนำมาจากความแปรปรวนนั้น มันกลายเป็นสิ่งที่เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน.

อย่างไรก็ตาม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรียกอีกอย่างว่าซิกมา - จากตัวอักษรกรีกที่แสดงถึงมัน

เห็นได้ชัดว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยังกำหนดลักษณะการวัดการกระจายของข้อมูล แต่ตอนนี้ (ไม่เหมือนกับการกระจาย) สามารถเปรียบเทียบได้กับข้อมูลต้นฉบับ ตามกฎแล้ว ตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยกำลังสองในสถิติจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่าตัวบ่งชี้เชิงเส้น ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงเป็นการวัดการกระจายข้อมูลที่แม่นยำกว่าค่าเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนเชิงเส้น

คำแนะนำ

ปล่อยให้มีตัวเลขหลายตัวที่แสดงลักษณะ - หรือปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน เช่น ผลการวัด การชั่ง การสังเกตทางสถิติ เป็นต้น ปริมาณทั้งหมดที่แสดงจะต้องวัดด้วยการวัดเดียวกัน หากต้องการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ให้ทำดังนี้

กำหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขทั้งหมด: บวกตัวเลขทั้งหมดและหารผลรวมด้วยจำนวนทั้งหมดของตัวเลข

กำหนดการกระจาย (กระจาย) ของตัวเลข: เพิ่มกำลังสองของการเบี่ยงเบนที่พบก่อนหน้านี้และหารผลรวมที่ได้ด้วยจำนวนของตัวเลข

มีผู้ป่วยในหอผู้ป่วย 7 ราย อุณหภูมิ 34, 35, 36, 37, 38, 39 และ 40 องศาเซลเซียส

จำเป็นต้องกำหนดส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ย
วิธีการแก้:
"ในวอร์ด": (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

อุณหภูมิเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย (ในกรณีนี้คือค่าปกติ): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37 ปรากฎ: -3, -2, -1 , 0, 1, 2, 3 (ºС);

หารผลรวมของตัวเลขที่ได้รับก่อนหน้านี้ด้วยจำนวนของพวกเขา เพื่อความแม่นยำในการคำนวณควรใช้เครื่องคิดเลข ผลลัพธ์ของการหารคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลบวก

ใส่ใจกับทุกขั้นตอนของการคำนวณอย่างใกล้ชิด เนื่องจากข้อผิดพลาดในการคำนวณอย่างน้อยหนึ่งรายการจะนำไปสู่ตัวบ่งชี้สุดท้ายที่ไม่ถูกต้อง ตรวจสอบการคำนวณที่ได้รับในแต่ละขั้นตอน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีมาตรเดียวกับผลบวกของตัวเลข นั่นคือ หากคุณกำหนดจำนวนผู้เข้าร่วมโดยเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ทั้งหมดจะเป็น "บุคคล"

วิธีการคำนวณนี้ใช้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์และสถิติเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีอัลกอริทึมการคำนวณที่แตกต่างกัน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นตัวบ่งชี้ที่มีเงื่อนไขมาก แสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยมีปัจจัยหรือตัวบ่งชี้เพียงตัวเดียว สำหรับการวิเคราะห์เชิงลึกจะต้องคำนึงถึงปัจจัยหลายประการ สำหรับสิ่งนี้ จะใช้การคำนวณปริมาณทั่วไปมากขึ้น

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นหนึ่งในการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์และการคำนวณทางสถิติ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าต่าง ๆ นั้นง่ายมาก แต่แต่ละงานมีความแตกต่างของตัวเองซึ่งจำเป็นต้องรู้เพื่อทำการคำนวณที่ถูกต้อง

ผลเชิงปริมาณของการทดลองดังกล่าว

วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การค้นหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอาร์เรย์ของตัวเลขควรเริ่มต้นด้วยการหาผลรวมเชิงพีชคณิตของค่าเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น หากอาร์เรย์ประกอบด้วยตัวเลข 23, 43, 10, 74 และ 34 ผลรวมเชิงพีชคณิตของพวกมันจะเท่ากับ 184 เมื่อเขียน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะแสดงด้วยตัวอักษร μ (mu) หรือ x (x พร้อมแถบ) . ถัดไป ผลรวมเชิงพีชคณิตควรหารด้วยจำนวนตัวเลขในอาร์เรย์ ในตัวอย่างนี้ มีตัวเลขห้าตัว ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็น 184/5 และจะเป็น 36.8

คุณสมบัติของการทำงานกับจำนวนลบ

หากมีจำนวนลบในอาร์เรย์ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะพบได้โดยใช้อัลกอริทึมที่คล้ายกัน มีความแตกต่างเฉพาะเมื่อทำการคำนวณในสภาพแวดล้อมการเขียนโปรแกรม หรือหากมีเงื่อนไขเพิ่มเติมในงาน ในกรณีเหล่านี้ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันมีขั้นตอนอยู่สามขั้นตอน:

1. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตร่วมโดยวิธีมาตรฐาน
2. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนลบ
3. การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนบวก

คำตอบของแต่ละการกระทำจะถูกเขียนคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค

เศษส่วนธรรมชาติและทศนิยม

หากอาร์เรย์ของตัวเลขแทนด้วยเศษส่วนทศนิยม การแก้ปัญหาจะเกิดขึ้นตามวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนเต็ม แต่ผลลัพธ์จะลดลงตามข้อกำหนดของโจทย์เพื่อความถูกต้องของคำตอบ

เมื่อทำงานกับเศษส่วนธรรมชาติ ควรลดให้เหลือส่วนร่วมซึ่งคูณด้วยจำนวนของตัวเลขในอาร์เรย์ ตัวเศษของคำตอบจะเป็นผลรวมของตัวเศษที่กำหนดขององค์ประกอบที่เป็นเศษส่วนเดิม

การกระจายตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การกระจายตัวคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองของแต่ละค่าคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยรวม ความแปรปรวนสามารถเป็นแบบไม่ถ่วงน้ำหนัก (แบบง่าย) หรือถ่วงน้ำหนักได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับข้อมูลต้นทาง

การกระจายคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม

สำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม

ขั้นตอนการคำนวณความแปรปรวนถ่วงน้ำหนัก:

1. กำหนดค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต

2. กำหนดความเบี่ยงเบนของตัวแปรจากค่าเฉลี่ย

3. ยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบนของแต่ละตัวเลือกจากค่าเฉลี่ย

4. คูณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองด้วยน้ำหนัก (ความถี่)

5. สรุปผลงานที่ได้รับ

6. จำนวนผลลัพธ์หารด้วยผลรวมของน้ำหนัก

สูตรสำหรับกำหนดความแปรปรวนสามารถแปลงเป็นสูตรต่อไปนี้:

- เรียบง่าย

ขั้นตอนการคำนวณความแปรปรวนนั้นง่าย:

1. กำหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิต

2. ยกกำลังสองค่าเฉลี่ยเลขคณิต

3. ตารางตัวเลือกแต่ละแถว

4. ค้นหาผลรวมของตัวเลือกกำลังสอง

5. หารผลรวมของกำลังสองของตัวเลือกด้วยจำนวน เช่น กำหนดค่าเฉลี่ยกำลังสอง

6. กำหนดความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยกำลังสองของคุณลักษณะและกำลังสองของค่าเฉลี่ย

นอกจากนี้ยังสามารถแปลงสูตรสำหรับกำหนดความแปรปรวนถ่วงน้ำหนักเป็นสูตรต่อไปนี้:

เหล่านั้น. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของค่าคุณลักษณะและกำลังสองของค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อใช้สูตรที่แปลงแล้วจะไม่รวมขั้นตอนเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะจาก x และไม่รวมข้อผิดพลาดในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการเบี่ยงเบนการปัดเศษ

การกระจายตัวมีคุณสมบัติหลายประการ ซึ่งบางคุณสมบัติช่วยให้คำนวณได้ง่ายขึ้น:

1) การกระจายตัวของค่าคงที่เป็นศูนย์

2) หากตัวแปรทั้งหมดของค่าแอตทริบิวต์ลดลงด้วยจำนวนเดียวกัน ความแปรปรวนจะไม่ลดลง

3) หากตัวแปรทั้งหมดของค่าแอตทริบิวต์ลดลงตามจำนวนครั้ง (ครั้ง) ที่เท่ากัน ความแปรปรวนจะลดลงตามปัจจัยของ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน S- คือรากที่สองของความแปรปรวน:

สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม:

;

สำหรับชุดการเปลี่ยนแปลง:

ช่วงของการแปรผัน ค่าเฉลี่ยเชิงเส้น และค่าเบี่ยงเบนกำลังสองหมายถึงปริมาณ มีหน่วยวัดเดียวกันกับค่าลักษณะเฉพาะแต่ละรายการ

การกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวัดความแปรผันที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามันรวมอยู่ในทฤษฎีบทส่วนใหญ่ของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งทำหน้าที่เป็นรากฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ ความแปรปรวนสามารถแยกย่อยออกเป็นองค์ประกอบของมันได้ ทำให้สามารถประเมินอิทธิพลของปัจจัยต่างๆ ที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของลักษณะได้

การคำนวณตัวบ่งชี้ความผันแปรสำหรับธนาคารที่จัดกลุ่มตามกำไรแสดงในตาราง

กำไรล้านรูเบิล	จำนวนธนาคาร	ตัวบ่งชี้ที่คำนวณได้
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
ทั้งหมด:			121,70		17,640	23,126

ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยเชิงเส้นและค่าเฉลี่ยกำลังสองแสดงให้เห็นว่าค่าของแอตทริบิวต์มีความผันผวนโดยเฉลี่ยเท่าใดสำหรับหน่วยและประชากรที่กำลังศึกษา ดังนั้น ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยของความผันผวนของจำนวนกำไรคือ: ตามค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย 0.882 ล้านรูเบิล ตามค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน - 1.075 ล้านรูเบิล ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมากกว่าค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยเสมอ หากการกระจายของลักษณะใกล้เคียงกับปกติ แสดงว่ามีความสัมพันธ์ระหว่าง S และ d: S=1.25d หรือ d=0.8S ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแสดงให้เห็นว่าหน่วยประชากรส่วนใหญ่ตั้งอยู่อย่างไรเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบการแจกจ่าย ค่าแอตทริบิวต์ 75 ค่าจะอยู่ในช่วง x 2S และอย่างน้อย 89 ค่าของค่าทั้งหมดจะอยู่ในช่วง x 3S (ทฤษฎีบทของ P.L. Chebyshev)

ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์

มาวัดตัวแปรสุ่มกัน เอ็นครั้ง เช่น เราวัดความเร็วลมได้ 10 ครั้ง และต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการแจกแจงอย่างไร

เราจะทอยลูกเต๋าหลายๆครั้ง จำนวนแต้มที่จะตกบนลูกเต๋าระหว่างการโยนแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถรับค่าธรรมชาติใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 เอ็นมันมีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนเฉพาะมาก - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม. ในกรณีนี้ ม = 3,5.

ค่านิยมนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? ให้เข้ามา เอ็นทดสอบเมื่อหลุด 1 คะแนน ครั้งเดียว - 2 คะแนน เป็นต้น แล้ว เอ็น→ ∞ จำนวนผลลัพธ์ที่จุดหนึ่งตกลง ในทำนองเดียวกัน จากที่นี่

รุ่น 4.5 ลูกเต๋า

สมมติว่าเรารู้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแล้ว xนั่นคือเรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม xสามารถรับค่า x 1 , x 2 , ..., x กด้วยความน่าจะเป็น หน้า 1 , หน้า 2 , ..., พี เค.

มูลค่าที่คาดหวัง มตัวแปรสุ่ม xเท่ากับ:

ตอบ. 2,8.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่าประมาณที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้นในการประมาณการค่าจ้างเฉลี่ย จึงมีเหตุผลมากกว่าที่จะใช้แนวคิดของค่ามัธยฐาน นั่นคือ ค่าที่จำนวนคนที่ได้รับเงินเดือนน้อยกว่าค่ามัธยฐานและมากกว่านั้นเท่ากัน

ค่ามัธยฐานตัวแปรสุ่มเรียกว่าตัวเลข x 1/2 แบบนั้น หน้า (x < x 1/2) = 1/2.

กล่าวอีกนัยหนึ่งความน่าจะเป็น หน้า 1 ว่าตัวแปรสุ่ม xจะน้อยลง x 1/2 , และความน่าจะเป็น หน้า 2 นั่นคือตัวแปรสุ่ม xจะยิ่งใหญ่ขึ้น x 1/2 เท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้กำหนดเฉพาะสำหรับการแจกแจงทั้งหมด

กลับไปที่ตัวแปรสุ่ม xซึ่งสามารถนำค่า x 1 , x 2 , ..., x กด้วยความน่าจะเป็น หน้า 1 , หน้า 2 , ..., พี เค.

การกระจายตัวตัวแปรสุ่ม xคือค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ตัวอย่างที่ 2

ภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้คำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม x.

ตอบ. 0,16, 0,4.

รุ่น 4.6 ยิงเป้า

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนแต้มที่ทอยจากการโยนครั้งแรก ค่ามัธยฐาน ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การทิ้งหน้าใด ๆ ก็มีโอกาสพอ ๆ กัน ดังนั้นการกระจายจะมีลักษณะดังนี้:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะเห็นได้ว่าค่าเบี่ยงเบนของค่าจากค่าเฉลี่ยมีค่ามาก

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมและผลคูณของแต้มที่ทอยบนลูกเต๋าสองลูก

ในตัวอย่างที่ 3 เราพบว่าสำหรับหนึ่งลูกบาศก์ ม (x) = 3.5. ดังนั้นสำหรับสองก้อน

คุณสมบัติการกระจาย:

• ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน:

ดีเอ็กซ์ + ย = ดีเอ็กซ์ + ตาย.

ปล่อยให้ เอ็นลูกเต๋าม้วน ยคะแนน แล้ว

ผลลัพธ์นี้ไม่จริงสำหรับการทอยลูกเต๋าเท่านั้น ในหลายกรณี จะเป็นตัวกำหนดความแม่นยำของการวัดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในเชิงประจักษ์ จะเห็นได้ว่าด้วยจำนวนการวัดที่เพิ่มขึ้น เอ็นการแพร่กระจายของค่ารอบค่าเฉลี่ยนั่นคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานลดลงตามสัดส่วน

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเกี่ยวข้องกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่มนี้ตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

ให้เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันนี้ ตามคำนิยาม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของด้านขวาของความเท่ากันตามคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากับ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของความแปรปรวน:
เมื่อกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากรที่ศึกษาในปริมาณที่มากพอ (n> 30) จะใช้สูตรต่อไปนี้:

ข้อมูลที่คล้ายกัน