กฎสำหรับการคูณ monomial ด้วยพหุนามคืออะไร การคูณของเอกนามและพหุนาม

กรณีพิเศษการคูณพหุนามด้วยพหุนาม - การคูณพหุนามด้วยเอกนาม ในบทความนี้ เรากำหนดกฎสำหรับการดำเนินการนี้และวิเคราะห์ทฤษฎีด้วยตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง

กฎสำหรับการคูณพหุนามด้วยเอกนาม

มาดูกันว่าอะไรคือพื้นฐานของการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล การกระทำนี้อาศัยสมบัติการแจกแจงของการคูณในส่วนที่เกี่ยวกับการบวก คุณสมบัตินี้เขียนตามตัวอักษรดังนี้: (a + b) c \u003d a c + b c (a, b และ คเป็นตัวเลขบ้าง) ในข้อนี้ นิพจน์ (ก + ข) คเป็นเพียงผลคูณของพหุนาม (a + b) และพหุนาม ค. ด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ก + ข คเป็นผลรวมของผลคูณของโมโนมีล กและ ขเป็นโมโนเมียล ค.

เหตุผลข้างต้นทำให้เราสามารถกำหนดกฎสำหรับการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียลได้:

คำจำกัดความ 1

ในการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล คุณต้อง:

• เขียนผลคูณของพหุนามและโมโนเมียลซึ่งต้องคูณ
• คูณแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยโมโนเมียลที่กำหนด
• ค้นหาผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่ได้

ให้เราอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัลกอริทึมข้างต้น

ในการเขียนผลคูณของพหุนามด้วยโมโนเมียล ให้ใส่พหุนามเดิมไว้ในวงเล็บ ยิ่งไปกว่านั้น เครื่องหมายคูณอยู่ระหว่างมันกับโมโนเมียลที่กำหนด ในกรณีที่รายการ monomial ขึ้นต้นด้วยเครื่องหมายลบ จะต้องอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น ผลคูณของพหุนาม − 4 x 2 + x − 2และโมโนเมียล 7 ปีเขียนเป็น (− 4 x 2 + x − 2) 7 ปีและผลคูณของพหุนาม ก 5 ข − 6 ก ขและโมโนเมียล - 3 และ 2เขียนในรูปแบบ: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).

ขั้นตอนต่อไปของอัลกอริทึมคือการคูณแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยโมโนเมียลที่กำหนด ส่วนประกอบของพหุนามคือ monomials เช่น ในความเป็นจริง เราจำเป็นต้องทำการคูณของโมโนเมียลด้วยโมโนเมียล สมมติว่าหลังจากขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมเราได้นิพจน์แล้ว (2 x 2 + x + 3) 5 x,ขั้นตอนที่สองคือการคูณแต่ละพจน์ของพหุนาม 2 x 2 + x + 3ด้วยโมโนเมียล 5 เท่าจึงได้รับ: 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 และ 3 5 x = 15 x. ผลลัพธ์จะเป็น monomials 10 x 3, 5 x 2 และ 15 x.

การดำเนินการสุดท้ายตามกฎคือการเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่เป็นผลลัพธ์ จากตัวอย่างที่ทำ ขั้นตอนนี้อัลกอริทึม เราได้รับ: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

ตามค่าเริ่มต้น ขั้นตอนทั้งหมดจะถูกเขียนเป็นห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน เช่น การหาผลคูณของพหุนาม 2 x 2 + x + 3และโมโนเมียล 5 เท่าลองเขียนแบบนี้: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x .ขจัดการคำนวณระดับกลางของขั้นตอนที่สอง ทางออกสั้น ๆสามารถทำได้ดังนี้ (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x

ตัวอย่างที่พิจารณาทำให้สังเกตได้ ความแตกต่างที่สำคัญ: จากการคูณพหุนามและโมโนเมียลจะได้พหุนาม ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับการคูณพหุนามและโมโนเมียลใดๆ

โดยการเปรียบเทียบ โมโนเมียลจะถูกคูณด้วยพหุนาม: โมโนเมียลที่กำหนดจะถูกคูณด้วยสมาชิกแต่ละตัวของพหุนาม และผลคูณที่ได้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างการคูณพหุนามด้วยเอกนาม

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องค้นหาผลิตภัณฑ์: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .

การตัดสินใจ

ขั้นตอนแรกของกฎเสร็จสมบูรณ์แล้ว - บันทึกงานแล้ว ตอนนี้เราดำเนินการขั้นตอนต่อไปโดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยโมโนเมียลที่กำหนด ที่ กรณีนี้สะดวกที่จะแปลเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาก่อน จากนั้นเราจะได้รับ:

1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 y - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y

ตอบ: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y

ให้เราชี้แจงว่าเมื่อพหุนามดั้งเดิมและ/หรือโมโนเมียลถูกกำหนดให้อยู่ในรูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐาน ก่อนที่จะค้นหาผลิตภัณฑ์ของพวกมัน ขอแนะนำให้ลดพวกมันเป็น มุมมองมาตรฐาน.

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดพหุนาม 3 + ก − 2 ก 2 + 3 ก − 2และโมโนเมียล − 0 , 5 a b (− 2) ก. คุณต้องหางานของพวกเขา

การตัดสินใจ

เราเห็นว่าข้อมูลเริ่มต้นนั้นแสดงในรูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐาน ดังนั้นเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม เราจะนำข้อมูลเหล่านั้นมาไว้ในรูปแบบมาตรฐาน:

− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0 , 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 a) − 2 a 2 = 1 + 4 a − 2 a 2

ทีนี้มาคูณโมโนเมียลกัน ก 2 ขสำหรับแต่ละสมาชิกของพหุนาม 1 + 4 a − 2 a2

a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b

เราไม่สามารถนำข้อมูลเริ่มต้นไปยังแบบฟอร์มมาตรฐานได้ การแก้ปัญหาจะกลายเป็นเรื่องยุ่งยากมากขึ้น ในกรณีนี้ ขั้นตอนสุดท้ายคือต้องลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เพื่อความเข้าใจนี่คือวิธีแก้ปัญหาตามโครงการนี้:

− 0 .5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = = − 0 . 5 a b (− 2) a 3 − 0 . 5 a b (− 2) a a − 0 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 a b (− 2) a 3 a − 0 , 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 a 4 b + 3 a 3 b − 2 a 2 b = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b

ตอบ: − 0 , 5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

บน บทเรียนนี้จะมีการศึกษาการดำเนินการคูณพหุนามด้วยเอกนามเดียวซึ่งเป็นพื้นฐานในการศึกษาการคูณพหุนาม ให้เราระลึกถึงกฎการกระจายของการคูณและกำหนดกฎสำหรับการคูณพหุนามด้วยเอกนาม เรายังจำคุณสมบัติบางอย่างขององศาได้อีกด้วย นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดทั่วไปจะถูกกำหนดขึ้นเมื่อแสดงตัวอย่างต่างๆ

ธีม:พหุนาม. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บน monomials

บทเรียนหรือสอนหรือการเรียนและเครื่องเตือนสติ:การคูณพหุนามด้วยเอกนาม งานทั่วไป

การคูณพหุนามด้วยพหุนามเดียวเป็นพื้นฐานในการพิจารณาการคูณพหุนามด้วยพหุนาม และก่อนอื่นคุณต้องเรียนรู้วิธีการคูณพหุนามด้วยพหุนามเดียวเพื่อให้เข้าใจการคูณพหุนาม

พื้นฐานของการดำเนินการนี้คือกฎการกระจายของการคูณ จำได้:

โดยพื้นฐานแล้ว เราเห็นกฎสำหรับการคูณพหุนาม ในกรณีนี้คือทวินาม ด้วยโมโนเมียล และกฎนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: ในการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล สมาชิกแต่ละตัวของพหุนามจะต้องคูณด้วย โมโนเมียลนี้ เพิ่มผลคูณที่ได้จากพีชคณิตแล้วดำเนินการที่จำเป็นกับพหุนาม - กล่าวคือนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

พิจารณาตัวอย่าง:

ความคิดเห็น: ตัวอย่างที่กำหนดได้รับการแก้ไขตามกฎทุกประการ: แต่ละพจน์ของพหุนามจะคูณด้วยโมโนเมียล เพื่อให้เข้าใจและเข้าใจกฎการกระจายได้ดี ในตัวอย่างนี้ เงื่อนไขของพหุนามถูกแทนที่ด้วย x และ y ตามลำดับ และโมโนเมียลด้วย c หลังจากนั้นการดำเนินการขั้นต้นได้ดำเนินการตามกฎหมายการกระจายและ ค่าเริ่มต้นถูกแทนที่ คุณควรระวังสัญญาณและคูณด้วยลบหนึ่งอย่างถูกต้อง

พิจารณาตัวอย่างการคูณตรีนามด้วยเอกนามและตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่แตกต่างจากการดำเนินการเดียวกันกับทวินาม:

ไปที่การแก้ปัญหาตัวอย่าง:

ความคิดเห็น: ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขตามกฎการกระจายและคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า - แต่ละเทอมของพหุนามจะถูกคูณด้วยโมโนเมียล ผลลัพธ์ของพหุนามนั้นถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐานแล้ว ดังนั้นจึงไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

ตัวอย่างที่ 2 - ดำเนินการและรับพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน:

ความคิดเห็น: เพื่อแก้ปัญหาตัวอย่างนี้ ก่อนอื่นเราจะคูณสำหรับทวินามแรกและตัวที่สองตามกฎหมายการกระจาย หลังจากนั้นเราจะนำพหุนามที่เป็นผลลัพธ์มาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน - เราจะนำเงื่อนไขที่เหมือนกัน

ตอนนี้ให้เรากำหนดปัญหาหลักที่เกี่ยวข้องกับการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียลและยกตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

ภารกิจที่ 1 - ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ความคิดเห็น: ตัวอย่างนี้แก้ไขได้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า กล่าวคือ อันดับแรก พหุนามจะถูกคูณด้วยโมโนเมียลที่สอดคล้องกัน จากนั้น โพลิโนเมียลที่คล้ายคลึงกันจะลดลง

งาน 2 - ลดความซับซ้อนและคำนวณ:

ตัวอย่างที่ 1:;

ความคิดเห็น: ตัวอย่างนี้ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันกับตัวอย่างก่อนหน้าโดยมีเพียงการเพิ่มเท่านั้นที่หลังจากลดสมาชิกดังกล่าวแล้วจำเป็นต้องแทนที่ค่าเฉพาะของมันแทนตัวแปรและคำนวณค่าของพหุนาม จำได้ว่าง่ายต่อการคูณ ทศนิยมคุณต้องย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง

หากตัวเลขแสดงด้วยตัวอักษรต่างกัน ระบุได้จากผลิตภัณฑ์เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ให้นำจำนวน a คูณด้วยจำนวน b เราสามารถแสดงค่านี้ได้ทั้ง a ∙ b หรือ ab แต่ก็ไม่มีข้อสงสัยใดๆ เกี่ยวกับการคูณนี้ อย่างไรก็ตามเมื่อเราจัดการกับ monomials เนื่องจาก 1) การมีอยู่ของสัมประสิทธิ์และ 2) ข้อเท็จจริงที่ว่า monomials เหล่านี้สามารถรวมปัจจัยที่แสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันได้จึงเป็นไปได้ที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการคูณของ monomials ความเป็นไปได้ดังกล่าวกว้างกว่าสำหรับพหุนาม ลองวิเคราะห์หลายกรณีที่เป็นไปได้ที่จะทำการคูณโดยเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด

1. ทวีคูณพลังด้วย เหตุเดียวกัน . ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ต้องมี 3 ∙ a 5 มาเขียนโดยรู้ความหมายของการเพิ่มพลังในรายละเอียดเพิ่มเติม:

ก ∙ ก ∙ ก ∙ ก ∙ ก ∙ ก ∙ ก ∙ ก

เมื่อดูที่รายการโดยละเอียดนี้ เราจะเห็นว่าเราได้เขียนตัวคูณเป็น 8 เท่า หรือเรียกสั้นๆ ว่า 8 ดังนั้น a 3 ∙ a 5 = a 8

ให้ b 42 ∙ b 28 จำเป็น เราจะต้องเขียนตัวประกอบ b 42 ครั้งก่อน จากนั้นจึงเขียนตัวประกอบ b 28 ครั้งอีกครั้ง - โดยทั่วไป เราจะได้ b ที่นำมาโดยตัวประกอบ 70 คูณ เช่น b 70 . ดังนั้น ข 42 ∙ ข 28 \u003d ข 70 จากนี้เป็นที่ชัดเจนอยู่แล้วว่าเมื่อคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานของระดับจะไม่เปลี่ยนแปลง และเพิ่มเลขยกกำลัง ถ้าเรามี 8 ∙ a เราต้องจำไว้ว่าตัวประกอบ a หมายถึงเลขชี้กำลังของ 1 (“a ยกกำลังหนึ่ง”) ดังนั้น a 8 ∙ a = a 9

ตัวอย่าง: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; ก 11 ∙ ก 22 ∙ ก 33 = ก 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 เป็นต้น

บางครั้งคุณต้องจัดการกับองศาที่เลขชี้กำลังระบุด้วยตัวอักษร ตัวอย่างเช่น xn (x ยกกำลัง n) คุณต้องคุ้นเคยกับการใช้สำนวนเหล่านี้ นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

ลองอธิบายตัวอย่างเหล่านี้: b n - 3 ∙ b 5 คุณต้องปล่อยให้ฐาน b ไม่เปลี่ยนแปลงและเพิ่มตัวบ่งชี้เช่น (n - 3) + (+5) \u003d n - 3 + 5 \u003d n + 2 แน่นอนว่าการเพิ่มเติมดังกล่าวต้องเรียนรู้เพื่อดำเนินการอย่างรวดเร็วในใจ

อีกตัวอย่างหนึ่ง: x n + 2 ∙ x n - 2, - ฐานของ x ต้องไม่เปลี่ยนแปลง และควรเพิ่มตัวบ่งชี้ เช่น (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n .

เป็นไปได้ที่จะแสดงลำดับที่พบด้านบน วิธีการคูณเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน โดยความเท่าเทียมกัน:

น ม ∙ น = น ม + n

2. การคูณของโมโนเมียลด้วยโมโนเมียลตัวอย่างเช่น ต้องใช้ 3a²b³c ∙ 4ab²d² เราเห็นว่าที่นี่การคูณหนึ่งถูกระบุด้วยจุด แต่เรารู้ว่าเครื่องหมายคูณเดียวกันนี้บอกเป็นนัยระหว่าง 3 ถึง a² ระหว่าง a² กับ b³ ระหว่าง b³ กับ c ระหว่าง 4 กับ a ระหว่าง a กับ b² ระหว่าง b² กับ d² ดังนั้น เราสามารถเห็นผลคูณของปัจจัย 8 ตรงนี้ และเราสามารถคูณพวกมันกับกลุ่มใดก็ได้ในลำดับใดก็ได้ ลองจัดเรียงใหม่เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์และกำลังที่มีฐานเดียวกันใกล้เคียงกัน เช่น

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d²

จากนั้นเราก็คูณ 1) ค่าสัมประสิทธิ์ และ 2) กำลังที่มีฐานเดียวกัน ก็จะได้ 12a³b5cd²

ดังนั้น เมื่อคูณโมโนเมียลด้วยโมโนเมียล เราสามารถคูณค่าสัมประสิทธิ์และกำลังด้วยฐานเดียวกันได้ และปัจจัยที่เหลือจะต้องเขียนใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

3. การคูณพหุนามด้วยเอกนามสมมติว่าเราต้องคูณพหุนามก่อน เช่น a - b - c + d ด้วยจำนวนเต็มบวก เช่น +3 เนื่องจาก ตัวเลขที่เป็นบวกถือว่าตรงกับเลขคณิต ดังนั้นจะเหมือนกับ (a - b - c + d) ∙ 3 เช่น ใช้ a - b - c + d เป็นผลรวม 3 ครั้ง หรือ

(a - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,

กล่าวคือ ผลลัพธ์แต่ละพจน์ของพหุนามต้องคูณด้วย 3 (หรือด้วย +3)

จากนี้ไป

(a - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,

กล่าวคือ แต่ละพจน์ของพหุนามต้องหารด้วย (+3) นอกจากนี้ เราสรุปได้ว่า:

เป็นต้น

ให้ตอนนี้จำเป็นต้องคูณ (a - b - c + d) ด้วย เศษส่วนบวกตัวอย่างเช่น ถึง + มันเหมือนกับการคูณด้วย เศษส่วนเลขคณิตซึ่งหมายถึง รับส่วนจาก (ก - ข - ค + ง) เป็นเรื่องง่ายที่จะใช้หนึ่งในห้าของพหุนามนี้: คุณต้องหาร (a - b - c + d) ด้วย 5 และเรารู้วิธีการทำเช่นนี้แล้ว - เราได้ . มันยังคงทำซ้ำผลลัพธ์ที่ได้รับ 3 ครั้งหรือคูณด้วย 3 เช่น

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าเราต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยหรือด้วย +

ให้ตอนนี้จำเป็นต้องคูณ (a - b - c + d) ด้วย จำนวนลบจำนวนเต็มหรือเศษส่วน

กล่าวคือ ในกรณีนี้ แต่ละพจน์ของพหุนามต้องคูณด้วย -

ดังนั้น ไม่ว่าจำนวน m จะเป็นอย่างไร เสมอ (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm

เนื่องจากแต่ละโมโนเมียลเป็นตัวเลข เราจึงเห็นข้อบ่งชี้ในการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล แต่ละสมาชิกของพหุนามต้องคูณด้วยโมโนเมียลนี้

4. การคูณพหุนามด้วยพหุนาม. ให้มันเป็น (a + b + c) ∙ (d + e) เนื่องจาก d และ e หมายถึงตัวเลข ดังนั้น (d + e) ​​จึงแสดงตัวเลขใดหมายเลขหนึ่ง

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= a(d + e) ​​+ b(d + e) ​​+ ค(d + e)

(เราสามารถอธิบายด้วยวิธีนี้: เรามีสิทธิ์ที่จะใช้ d + e ชั่วคราวสำหรับ monomial)

โฆษณา + ae + bd + be + cd + ce

เป็นผลให้คุณสามารถเปลี่ยนลำดับของสมาชิกได้

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= โฆษณา + bd + ed + ae + be + ce

กล่าวคือ ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของอีกพจน์หนึ่ง สะดวก (สำหรับสิ่งนี้ ลำดับของเงื่อนไขที่ได้รับเปลี่ยนไปด้านบน) เพื่อคูณแต่ละพจน์ของพหุนามแรกก่อนด้วยพจน์แรกของพจน์ที่สอง (โดย + d) จากนั้นคูณด้วยพจน์ที่สองของพจน์ที่สอง (โดย + จ) ถ้าเป็นในสาม ฯลฯ ง.; หลังจากนั้นคุณควรลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน

ในตัวอย่างเหล่านี้ ทวินามจะคูณด้วยทวินาม ในแต่ละทวินาม คำศัพท์จะถูกจัดเรียงจากมากไปน้อยของตัวอักษรทั่วไปสำหรับทวินามทั้งสอง การคูณดังกล่าวทำได้ง่ายในหัวของคุณและเขียนผลลัพธ์สุดท้ายทันที

จากการคูณพจน์อาวุโสของทวินามแรกด้วยพจน์อาวุโสของพจน์ที่สอง เช่น 4x² ด้วย 3x เราจะได้ 12x³ พจน์อาวุโสของผลคูณ - แน่นอนว่าจะไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ต่อไป เรามองหาเงื่อนไขจากการคูณซึ่งเงื่อนไขจะได้รับด้วยพลังของตัวอักษร x น้อยกว่า 1 เช่น ด้วยx² เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพจน์ดังกล่าวได้มาจากการคูณพจน์ที่ 2 ของตัวประกอบที่ 1 ด้วยพจน์ที่ 1 ของพจน์ที่ 2 และโดยการคูณพจน์ที่ 1 ของปัจจัยที่ 1 ด้วยพจน์ที่ 2 ของพจน์ที่ 2 (วงเล็บด้านล่าง จากตัวอย่างระบุสิ่งนี้) การคูณเหล่านี้ในหัวของคุณและทำการลดลงของสองคำที่คล้ายกันนี้ (หลังจากนั้นเราจะได้เทอม -19x²) ไม่ใช่เรื่องยาก จากนั้นเราจะสังเกตเห็นว่าพจน์ถัดไปที่มีตัวอักษร x ยกกำลัง 1 น้อยกว่า เช่น x ยกกำลัง 1 จะได้มาโดยการคูณพจน์ที่สองด้วยพจน์ที่สองเท่านั้น และจะไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน

อีกตัวอย่างหนึ่ง: (x² + 3x)(2x - 7) = 2x³ - x² - 21x

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการดำเนินการทางจิตใจเช่นต่อไปนี้:

เทอมอาวุโสได้จากการคูณเทอมอาวุโสด้วยเทอมอาวุโส จะไม่มีเทอมที่คล้ายกันสำหรับมัน และมัน = 2a³ จากนั้นเราจะหาจากการคูณเทอมด้วย a² - จากการคูณเทอมที่ 1 (a²) ด้วยเทอมที่ 2 (-5) และจากการคูณเทอมที่สอง (-3a) ด้วยเทอมที่ 1 (2a) - สิ่งนี้ระบุไว้ด้านล่างในวงเล็บ; หลังจากทำการคูณเหล่านี้และรวมพจน์ที่เป็นผลลัพธ์เข้าด้วยกัน เราจะได้ -11a² จากนั้นเราจะมองหาว่าผลคูณใดที่จะได้ผลลัพธ์เป็นเทอมที่มี a ในระดับแรก - การคูณเหล่านี้จะถูกทำเครื่องหมายด้วยวงเล็บด้านบน หลังจากเสร็จสิ้นและรวมสมาชิกที่เป็นผลลัพธ์เข้าด้วยกัน เราจะได้ + 11a สุดท้าย เราสังเกตเห็นว่าพจน์ต่ำของผลคูณ (+10) ซึ่งไม่มี a เลย ได้มาจากการคูณพจน์ต่ำ (–2) ของพหุนามหนึ่งด้วยพจน์ต่ำ (–5) ของอีกพจน์หนึ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) \u003d 12a 5 - 11a 4 - 21a 3 + 10a 2

จากตัวอย่างที่ผ่านมาทั้งหมด เรายังได้รับ ผลลัพธ์โดยรวม: พจน์สูงสุดของผลคูณจะได้จากการคูณพจน์สูงสุดของตัวประกอบเสมอ และไม่สามารถมีสมาชิกที่คล้ายกันได้ นอกจากนี้ เทอมที่ต่ำที่สุดของผลคูณได้จากการคูณเทอมที่ต่ำที่สุดของตัวประกอบ และไม่มีเทอมที่คล้ายคลึงกันเช่นกัน

คำศัพท์ที่เหลือที่ได้จากการคูณพหุนามด้วยพหุนามอาจคล้ายกัน และอาจเกิดขึ้นที่คำศัพท์เหล่านี้หักล้างกัน และเหลือแต่คำศัพท์ที่มีอายุมากกว่าและอายุน้อยกว่า

นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

(a² + ab + b²) (a - b) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(a² - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (เราเขียนเฉพาะผลลัพธ์)
(x 4 - x³ + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 เป็นต้น

ผลลัพธ์เหล่านี้น่าจดจำและมีประโยชน์ต่อการจดจำ

สำคัญอย่างยิ่ง กรณีต่อไปคูณ:

(a + b) (a - b) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
หรือ (x + y) (x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
หรือ (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 เป็นต้น

ในตัวอย่างทั้งหมดเหล่านี้ เมื่อนำไปใช้กับเลขคณิต เรามีผลคูณของจำนวนสองจำนวนและผลต่างของจำนวนเหล่านั้น และผลลัพธ์ที่ได้คือผลต่างของกำลังสองของจำนวนเหล่านี้

หากเราเห็นกรณีดังกล่าว ก็ไม่จำเป็นต้องทำการคูณโดยละเอียดเหมือนที่ทำไปแล้วข้างต้น แต่เราสามารถเขียนผลลัพธ์ได้ทันที

ตัวอย่างเช่น (3a + 1) ∙ (3a – 1) ปัจจัยแรกจากมุมมองของเลขคณิตคือผลรวมของตัวเลขสองตัว: ตัวเลขแรกคือ 3a และ 1 ที่สองและปัจจัยที่สองคือผลต่างของตัวเลขเดียวกัน ดังนั้น ผลลัพธ์ควรเป็น: กำลังสองของจำนวนแรก (เช่น 3a ∙ 3a = 9a²) ลบกำลังสองของจำนวนที่สอง (1 ∙ 1 = 1) เช่น

(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1

เหมือนกัน

(ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25 เป็นต้น

ดังนั้นจำไว้

(a + b) (a - b) = a² - b²

นั่นคือผลคูณของผลรวมของตัวเลขสองตัวและผลต่างเท่ากับผลต่างกำลังสองของตัวเลขเหล่านี้

เมื่อคูณพหุนามด้วยเอกนาม เราจะใช้กฎข้อใดข้อหนึ่งในการคูณ มันได้รับชื่อของกฎการกระจายของการคูณในทางคณิตศาสตร์ กฎการกระจายของการคูณ:

1. (ก + ข)*ค = ก*ค + ข*ค

2. (ก - ข)*ค = ก*ค - ข*ค

ในการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม การคูณแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยโมโนเมียลก็เพียงพอแล้ว หลังจากนั้นให้เพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้ รูปต่อไปนี้แสดงรูปแบบการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม

ลำดับการคูณนั้นไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล คุณก็ต้องทำเช่นเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างระหว่างรายการ 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) และ (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x

ลองคูณพหุนามและโมโนเมียลที่เขียนไว้ด้านบน และเราจะแสดง ตัวอย่างเฉพาะทำอย่างไรให้ถูกต้อง:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

ใช้กฎการกระจายของการคูณ เราสร้างผลิตภัณฑ์:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y

ในผลรวม เรานำ monomials แต่ละรายการไปยังแบบฟอร์มมาตรฐานและรับ:

20*x^3*y - 16*x^2*y

นี่จะเป็นผลคูณของเอกนามและพหุนาม: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y

ตัวอย่าง:

1. คูณโมโนเมียล 4*x^2 ด้วยพหุนาม (5*x^2+4*x+3) เราสร้างผลิตภัณฑ์โดยใช้กฎการกระจายของการคูณ เรามี
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2

นี่จะเป็นผลคูณของเอกนามและพหุนาม: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. คูณโมโนเมียล (-3*x^2) ด้วยพหุนาม (2*x^3-5*x+7)

เราจะสร้างผลิตภัณฑ์โดยใช้กฎการกระจายของการคูณ เรามี:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

ในผลรวมที่ได้ เราลดโมโนเมียลแต่ละรายการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราได้รับ:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2

นี่จะเป็นผลคูณของเอกนามและพหุนาม: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* x^2

เป้า:

1. ตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีการดูดซึมความรู้เบื้องต้นในหัวข้อ "การคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม"
2. พัฒนาการคิดวิเคราะห์และสังเคราะห์
3. เพื่อปลูกฝังแรงจูงใจในการสอนและทัศนคติที่ดีต่อความรู้

การสร้างทีมของชั้นเรียน

งาน:

1. ทำความคุ้นเคยกับอัลกอริทึมสำหรับการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม
2. ออกกำลังกาย ใช้งานได้จริงอัลกอริทึม

อุปกรณ์: บัตรงาน คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายภาพแบบโต้ตอบ

ประเภทบทเรียน: รวมกัน

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร:

สวัสดีทุกคน นั่งลง

วันนี้เรายังคงศึกษาหัวข้อ "พหุนาม" และหัวข้อของบทเรียนของเราคือ "การคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม" เปิดสมุดบันทึกของคุณและจดตัวเลขและหัวข้อของบทเรียน "การคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม"

งานของบทเรียนของเราคือการได้รับกฎสำหรับการคูณ monomial ด้วยพหุนามและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในทางปฏิบัติ ความรู้ที่ได้รับในวันนี้จำเป็นสำหรับคุณตลอดการศึกษาหลักสูตรพีชคณิตทั้งหมด

คุณมีแบบฟอร์มในตารางที่เราจะป้อนคะแนนของคุณตลอดบทเรียน และจะมีการให้คะแนนผลลัพธ์ เราจะแสดงคะแนนในรูปแบบของอิโมติคอน ( ภาคผนวก 1)

ครั้งที่สอง ขั้นตอนของการเตรียมนักเรียนสำหรับการดูดซึมวัสดุใหม่อย่างกระตือรือร้นและมีสติ

เมื่อเรียน หัวข้อใหม่เราต้องการความรู้ที่คุณได้รับในบทเรียนก่อนหน้านี้

นักเรียนปฏิบัติงานบนการ์ดในหัวข้อ "ปริญญาและคุณสมบัติของมัน" (5-7 นาที)

งานด้านหน้า:

1) ได้รับ monomials สองตัว: 12p 3 และ 4p 3

ก) จำนวนเงิน;
ข) ความแตกต่าง;
c) งาน;
จ) ส่วนตัว;
e) กำลังสองของแต่ละโมโนเมียล

2) ตั้งชื่อสมาชิกของพหุนามและกำหนดระดับของพหุนาม:

ก)5 ab – 7ก 2 + 2ข – 2,6
ข)6 xy 5 + x 2 y - 2

3) วันนี้เราต้องการสมบัติการกระจายของการคูณ

กำหนดคุณสมบัตินี้และบันทึกในรูปแบบตัวอักษร

สาม. ขั้นตอนของการดูดซึมความรู้ใหม่

เราได้ทำซ้ำกฎของการคูณของ monomial ด้วย monomial ซึ่งเป็นคุณสมบัติการกระจายของการคูณ ตอนนี้มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น

แบ่งเป็น 4 กลุ่ม แต่ละกลุ่มมี 4 นิพจน์บนการ์ด พยายามกู้คืนลิงค์ที่ขาดหายไปในห่วงโซ่และอธิบายมุมมองของคุณ

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ………………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a - 7) = …………………………..= 10a 4 + 15a 3 - 35a 2
• 3y(9y 3 - 4y 2 - 6) = ………………………. =27ปี 4 – 12ปี 3 – 18ปี
• 6b 4 (6b 2 + 4b - 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 - 30b 4

(ตัวแทนหนึ่งคนจากแต่ละกลุ่มมาที่หน้าจอ เขียนส่วนที่ขาดหายไปของนิพจน์และอธิบายมุมมองของเขา)

ลองกำหนดกฎ (อัลกอริทึม) สำหรับการคูณพหุนามด้วยโมโนเมียล

การแสดงออกใดที่ได้รับจากการกระทำเหล่านี้?

เพื่อทดสอบตัวเอง เปิดตำราหน้า 126 และอ่านกฎ (1 คนอ่านออกเสียง)

ข้อสรุปของเราตรงกับกฎในตำราเรียนหรือไม่? จดกฎสำหรับการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนามลงในสมุดบันทึก

IV. แก้ไข:

1. นาทีพลศึกษา:

พวกนั่งหลับตาผ่อนคลายตอนนี้เรากำลังพักผ่อนกล้ามเนื้อผ่อนคลายเรากำลังศึกษาหัวข้อ "การคูณ monomial ด้วยพหุนาม"

ดังนั้นเราจึงจำกฎและทำซ้ำตามฉัน: ในการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลด้วยแต่ละเทอมของพหุนามและเขียนผลรวมของนิพจน์ผลลัพธ์ เราลืมตาขึ้น

2. ทำงานตามตำราหมายเลข 614 บนกระดานดำและในสมุด

ก) 2x (x 2 - 7x - 3) \u003d 2x 3 - 14x 2 - 6x
ข) -4v 2 (5v 2 - 3v - 2) = -20v 4 + 12v 3 + 8v 2
ค) (3a 3 - a 2 + a) (- 5a 3) \u003d -15a 6 + 5a 5 - 5a 4
ง) (y 2 - 2.4y + 6) 1.5y \u003d 1.5y 3 - 3.6y 2 + 9y
จ) -0.5x 2 (-2x 2 - 3x + 4) \u003d x 4 + 1.5x 3 - 2x 2
จ) (-3y 2 + 0.6y) (- 1.5y 3) \u003d 4.5y 5 - 0.9y 4

(เมื่อทำการนับ จะมีการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดทั่วไปมากที่สุด)

3. การแข่งขันตามตัวแปร (ถอดรหัสรูปสัญลักษณ์) (ภาคผนวก 2)

1 ตัวเลือก:		ตัวเลือกที่ 2:
1) -3x 2 (- x 3 + x - 5) 2) 14 x(3 xy 2 – x 2 ย + 5) 3) -0,2 ม 2 น(10 นาที 2 – 11 ม 3 – 6) 4) (3a 3 - a 2 + 0.1a) (-5a 2) 5) 1/2 กับ(6 กับ 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1.4p 3 (3q - pq + 5p) 7) 10x2y(5.4xy - 7.8y - 0.4) 8) 3 กข(ก 2 – 2ab + ข 2)		1) 3a 4 x (a 2 - 2ax + x 3 - 1) 2) -11a(2a 2 b - a 3 + 5b 2) 3) -0,5 เอ็กซ์ 2 วาย (เอ็กซ์ย 3 - 3เอ็กซ์+y2) 4) (6b 4 - b 2 + 0.01) (-7b 3) 5) 1/3m 2 (9m 3 n 2 - 15m) 6) 1.6c 4 (2c 2 d - cd + 5d) 7) 10p 4 (0.7pq - 6.1q - 3.6) 8) 5xy(x 2 - 3xy + x 3)

งานจะแสดงบนการ์ดแต่ละใบและบนหน้าจอ นักเรียนแต่ละคนทำภารกิจของตัวเองให้เสร็จ ค้นหาจดหมายและเขียนบนหน้าจอตรงข้ามกับการแสดงออกที่เขาเปลี่ยน หากได้รับคำตอบที่ถูกต้องคำนั้นจะกลายเป็น: ทำได้ดีมาก! สมาร์ทตี้ 7a