วิธีเกาส์ วิธีเกาส์: คำอธิบายของอัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่าง คำตอบ

วิธีเกาส์เหมาะสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) มีข้อดีเหนือวิธีอื่นๆ หลายประการ:

• ประการแรก ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบระบบสมการเพื่อความเข้ากันได้ล่วงหน้า
• ประการที่สอง วิธีเกาส์สามารถใช้แก้ SLAE ได้ไม่เพียงแต่จำนวนสมการที่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและเมทริกซ์หลักของระบบจะไม่เสื่อมลง แต่ยังรวมถึงระบบของสมการที่มีจำนวนสมการด้วย ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักเท่ากับศูนย์
• ประการที่สามวิธีเกาส์นำไปสู่ผลลัพธ์ที่มีการดำเนินการคำนวณค่อนข้างน้อย

ทบทวนบทความสั้น ๆ

อันดับแรก เราให้คำจำกัดความที่จำเป็นและแนะนำสัญกรณ์

ต่อไป เราจะอธิบายอัลกอริทึมของวิธีเกาส์สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุด นั่นคือ สำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น จำนวนสมการที่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่ใช่ เท่ากับศูนย์ เมื่อแก้ระบบสมการดังกล่าว สาระสำคัญของวิธีเกาส์จะมองเห็นได้ชัดเจนที่สุด ซึ่งประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นวิธีเกาส์เซียนจึงเรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมอย่างต่อเนื่อง ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของตัวอย่างต่างๆ

โดยสรุป เราพิจารณาวิธีแก้เกาส์เซียนของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์หลักเป็นสี่เหลี่ยมหรือเสื่อม การแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวมีคุณลักษณะบางอย่าง ซึ่งเราจะวิเคราะห์โดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

การนำทางหน้า

คำจำกัดความและสัญกรณ์พื้นฐาน

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น p ที่มีค่าไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n ได้):

โดยที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักคือตัวเลข (จำนวนจริงหรือเชิงซ้อน) เป็นสมาชิกอิสระ

ถ้า จากนั้นระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

ชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งสมการทั้งหมดของระบบเปลี่ยนเป็นข้อมูลประจำตัวเรียกว่า การตัดสินใจของ SLAU.

หากมีวิธีแก้ปัญหาของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นอย่างน้อยหนึ่งวิธีก็จะเรียกว่า ข้อต่อ, มิฉะนั้น - เข้ากันไม่ได้.

หาก SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เรียกว่า แน่ใจ. หากมีวิธีแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งระบบจะเรียกว่า ไม่แน่นอน.

ระบบเขียนว่า แบบฟอร์มประสานงานหากมีรูปแบบ
.

ระบบนี้ใน รูปแบบเมทริกซ์ระเบียนมีรูปแบบ โดยที่ - เมทริกซ์หลักของ SLAE - เมทริกซ์ของคอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ

หากเราบวกเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n + 1) - คอลัมน์เมทริกซ์ของเทอมอิสระ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์แบบขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยปกติเมทริกซ์เสริมจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของสมาชิกอิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากส่วนที่เหลือของคอลัมน์นั่นคือ

เมทริกซ์จตุรัส A เรียกว่า เสื่อมโทรมถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของมันเป็นศูนย์ ถ้า , เมทริกซ์ A จะถูกเรียกว่า ไม่เสื่อมสภาพ.

ประเด็นต่อไปนี้ควรสังเกต

หากดำเนินการต่อไปนี้ด้วยระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

• สลับสองสมการ
• คูณทั้งสองข้างของสมการใดๆ ด้วยจำนวนจริง (หรือเชิงซ้อน) ตามอำเภอใจและไม่เป็นศูนย์ k
• ทั้งสองส่วนของสมการใด ๆ ให้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่น คูณด้วยจำนวนใด ๆ k

จากนั้นเราจะได้ระบบที่เทียบเท่าซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาแบบเดียวกัน (หรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบเดิม)

สำหรับเมทริกซ์ขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น การกระทำเหล่านี้จะหมายถึงการแปลงเบื้องต้นที่มีแถว:

• สลับสองสาย
• การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวใดๆ ของเมทริกซ์ T ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ k ,
• การเพิ่มองค์ประกอบในแถวใดๆ ของเมทริกซ์ให้กับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอีกแถวหนึ่ง คูณด้วยจำนวนที่กำหนด k .

ตอนนี้เราสามารถดำเนินการอธิบายวิธีเกาส์ได้

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนของนิรนามและเมทริกซ์หลักของระบบไม่เสื่อมสภาพโดยวิธีเกาส์

เราจะทำอย่างไรที่โรงเรียนถ้าได้รับมอบหมายให้ค้นหาคำตอบของระบบสมการ .

บางคนจะทำเช่นนั้น

โปรดทราบว่าการเพิ่มด้านซ้ายของสมการแรกไปที่ด้านซ้ายของสมการที่สอง และด้านขวาไปทางด้านขวา คุณสามารถกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 2 และ x 3 และค้นหา x 1: ได้ทันที

เราแทนที่ค่าที่พบ x 1 \u003d 1 เป็นสมการที่หนึ่งและสามของระบบ:

หากเราคูณสมการที่สามของระบบทั้งสองส่วนด้วย -1 แล้วบวกเข้ากับส่วนที่ตรงกันของสมการแรก เราจะกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 3 และหา x 2:

เราแทนที่ค่าที่ได้รับ x 2 \u003d 2 ในสมการที่สามและค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เหลืออยู่ x 3:

คนอื่นจะได้ทำอย่างอื่น

มาแก้สมการแรกของระบบเทียบกับตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สองและสามของระบบเพื่อแยกตัวแปรนี้ออกจากสมการเหล่านี้:

ตอนนี้ ให้แก้สมการที่สองของระบบเทียบกับ x 2 และแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สามเพื่อแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 2 ออกจากมัน:

เห็นได้จากสมการที่สามของระบบที่ x 3 =3 จากสมการที่สองเราพบว่า และจากสมการแรกเราจะได้

โซลูชั่นที่คุ้นเคยใช่ไหม

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดที่นี่คือวิธีแก้ที่สองโดยพื้นฐานแล้วคือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักตามลำดับนั่นคือวิธีเกาส์ เมื่อเราแสดงตัวแปรที่ไม่รู้จัก (first x 1 , next x 2 ) และแทนที่มันลงในสมการที่เหลือของระบบ เราจึงไม่รวมตัวแปรเหล่านี้ เราดำเนินการยกเว้นจนถึงช่วงเวลาที่สมการสุดท้ายเหลือตัวแปรที่ไม่รู้จักเพียงตัวเดียวเท่านั้น กระบวนการของการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักตามลำดับเรียกว่า วิธีเกาส์โดยตรง. หลังจากการย้ายไปข้างหน้าเสร็จสิ้น เรามีโอกาสคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการสุดท้าย ด้วยความช่วยเหลือจากสมการสุดท้าย เราจะพบตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไป และอื่นๆ กระบวนการในการค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องในขณะที่ย้ายจากสมการสุดท้ายไปยังสมการแรกเรียกว่า วิธีเกาส์ย้อนกลับ.

ควรสังเกตว่าเมื่อเราแสดง x 1 ในรูปของ x 2 และ x 3 ในสมการแรก จากนั้นแทนที่นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ลงในสมการที่สองและสาม การกระทำต่อไปนี้นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน:

อันที่จริง ขั้นตอนดังกล่าวยังช่วยให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ:

ความแตกต่างที่มีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยวิธีเกาส์เกิดขึ้นเมื่อสมการของระบบไม่มีตัวแปรบางตัว

ตัวอย่างเช่น ใน SLAU ในสมการแรก ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 (กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าคือศูนย์) ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแก้สมการแรกของระบบเทียบกับ x 1 เพื่อแยกตัวแปรที่ไม่รู้จักนี้ออกจากสมการที่เหลือ ทางออกจากสถานการณ์นี้คือสลับสมการของระบบ เนื่องจากเรากำลังพิจารณาระบบของสมการเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักแตกต่างจากศูนย์ จึงมักมีสมการที่มีตัวแปรที่เราต้องการอยู่เสมอ และเราสามารถจัดสมการนี้ใหม่ให้อยู่ในตำแหน่งที่เราต้องการได้ ตัวอย่างเช่น การสลับสมการที่หนึ่งและสองของระบบก็เพียงพอแล้ว จากนั้นคุณสามารถแก้สมการแรกสำหรับ x 1 และแยกมันออกจากสมการที่เหลือของระบบ (แม้ว่า x 1 จะไม่มีอยู่แล้วในสมการที่สอง)

เราหวังว่าคุณจะได้รับส่วนสำคัญ

มาบรรยายกัน อัลกอริทึมวิธีเกาส์

ให้เราแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น n ตัวด้วยตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว และให้ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เป็นศูนย์

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากสมการที่สอง ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มสมการแรกคูณด้วยสมการที่สองของระบบ บวกตัวแรกคูณกับสมการที่สาม แล้วต่อไปเรื่อย ๆ ให้บวกตัวแรกคูณด้วยสมการที่ n ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน .

เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบและแทนที่นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ลงในสมการอื่นทั้งหมด ดังนั้น ตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราทำหน้าที่คล้าย ๆ กัน แต่มีเพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งระบุไว้ในรูป

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เพิ่มตัวที่สองคูณด้วยสมการที่สามของระบบ บวกที่สองคูณด้วยสมการที่สี่ และอื่นๆ บวกที่สองคูณด้วยสมการที่ n ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน . ดังนั้น ตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากตัวที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่ทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามแนวทางของเกาส์โดยตรงจนกว่าระบบจะใช้รูปแบบ

จากนี้ไป เราเริ่มต้นเส้นทางย้อนกลับของวิธีเกาส์: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับ x n เราจะพบ x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก สมการ

ลองวิเคราะห์อัลกอริทึมด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

วิธีเกาส์เซียน

วิธีการแก้.

สัมประสิทธิ์ a 11 นั้นแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ไปที่แนวทางโดยตรงของวิธีเกาส์ นั่นคือเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 จากสมการทั้งหมดของระบบ ยกเว้นอันแรก ในการทำเช่นนี้ ไปที่ส่วนซ้ายและขวาของสมการที่สอง สามและสี่ ให้เพิ่มส่วนซ้ายและขวาของสมการแรก คูณด้วย ตามลำดับ และ :

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ถูกกำจัดแล้ว ไปที่การยกเว้น x 2 กัน ในส่วนซ้ายและขวาของสมการที่สามและสี่ของระบบ เราบวกส่วนซ้ายและขวาของสมการที่สอง คูณด้วย และ :

ในการทำให้เส้นทางข้างหน้าของวิธีเกาส์เสร็จสมบูรณ์ เราต้องแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 3 ออกจากสมการสุดท้ายของระบบ บวกกับด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สี่ตามลำดับ ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สาม คูณด้วย :

คุณสามารถเริ่มเส้นทางย้อนกลับของวิธีเกาส์ได้

จากสมการสุดท้ายที่เรามี ,
จากสมการที่สามที่เราได้รับ
จากที่สอง
ตั้งแต่ครั้งแรก

ในการตรวจสอบ คุณสามารถแทนที่ค่าที่ได้รับของตัวแปรที่ไม่รู้จักลงในระบบสมการดั้งเดิม สมการทั้งหมดกลายเป็นข้อมูลประจำตัว ซึ่งหมายความว่าพบคำตอบโดยวิธีเกาส์อย่างถูกต้อง

ตอบ:

และตอนนี้เราจะให้คำตอบของตัวอย่างเดียวกันโดยวิธีเกาส์ในรูปแบบเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการ วิธีเกาส์เซียน

วิธีการแก้.

เมทริกซ์ขยายของระบบมีรูปแบบ . เหนือแต่ละคอลัมน์ จะมีการเขียนตัวแปรที่ไม่รู้จัก ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบของเมทริกซ์

แนวทางโดยตรงของวิธีเกาส์ในที่นี้เกี่ยวข้องกับการนำเมทริกซ์ขยายของระบบไปเป็นรูปแบบสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้การแปลงเบื้องต้น กระบวนการนี้คล้ายกับการยกเว้นตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เราทำกับระบบในรูปแบบพิกัด ตอนนี้คุณจะมั่นใจ

ลองแปลงเมทริกซ์เพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดในคอลัมน์แรก เริ่มจากคอลัมน์ที่สอง กลายเป็นศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวแรกคูณด้วย , ให้กับองค์ประกอบของแถวที่สอง, สามและสี่ และตามลำดับ:

ต่อไป เราแปลงเมทริกซ์ผลลัพธ์เพื่อให้ในคอลัมน์ที่สอง องค์ประกอบทั้งหมด เริ่มจากคอลัมน์ที่สามกลายเป็นศูนย์ สิ่งนี้จะสอดคล้องกับการยกเว้นตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวแรกของเมทริกซ์ในแถวที่สามและสี่ลงในองค์ประกอบของแถวที่สามและสี่ คูณด้วย และ :

มันยังคงไม่รวมตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 3 จากสมการสุดท้ายของระบบ ในการทำเช่นนี้ สำหรับองค์ประกอบของแถวสุดท้ายของเมทริกซ์ผลลัพธ์ เราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวสุดท้าย คูณด้วย :

ควรสังเกตว่าเมทริกซ์นี้สอดคล้องกับระบบสมการเชิงเส้น

ซึ่งได้มาก่อนหน้านี้หลังจากการย้ายโดยตรง

ถึงเวลาหันหลังกลับ ในรูปแบบเมทริกซ์ของสัญกรณ์ เส้นทางย้อนกลับของวิธีเกาส์เกี่ยวข้องกับการแปลงเมทริกซ์ผลลัพธ์ดังกล่าวเพื่อให้เมทริกซ์ถูกทำเครื่องหมายในรูป

กลายเป็นเส้นทแยงมุม กล่าวคือ เอารูป

ตัวเลขอยู่ที่ไหน

การแปลงเหล่านี้คล้ายกับวิธีเกาส์ แต่ไม่ได้ดำเนินการตั้งแต่บรรทัดแรกถึงบรรทัดสุดท้าย แต่ดำเนินการจากบรรทัดสุดท้ายไปยังบรรทัดแรก

เพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวสุดท้ายที่สาม ที่สอง และแรกขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวสุดท้าย คูณด้วย , ซ้ำแล้วซ้ำอีก ตามลำดับ:

ตอนนี้ ให้เพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองและแถวแรกเข้าไปในองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่สาม คูณด้วยและตามลำดับ:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน เราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่สอง คูณด้วย ให้กับองค์ประกอบของแถวแรก:

เมทริกซ์ผลลัพธ์สอดคล้องกับระบบสมการ ซึ่งเราพบตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ตอบ:

บันทึก.

เมื่อใช้วิธีเกาส์ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ควรหลีกเลี่ยงการคำนวณโดยประมาณ เนื่องจากอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องโดยสิ้นเชิง ขอแนะนำว่าอย่าปัดเศษทศนิยม เป็นการดีกว่าที่จะย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่าง.

แก้สมการสามสมการโดยวิธีเกาส์เซียน .

วิธีการแก้.

โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักมีการกำหนดที่แตกต่างกัน (ไม่ใช่ x 1 , x 2 , x 3 แต่ x, y, z ) มาดูเศษส่วนธรรมดากัน:

กำจัด x ที่ไม่รู้จักออกจากสมการที่สองและสามของระบบ:

ในระบบผลลัพธ์ ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก y ในสมการที่สอง และ y มีอยู่ในสมการที่สาม ดังนั้นเราจึงสลับสมการที่สองและสาม:

ณ จุดนี้ แนวทางตรงของวิธีเกาส์สิ้นสุดลงแล้ว (คุณไม่จำเป็นต้องแยก y ออกจากสมการที่สาม เนื่องจากตัวแปรที่ไม่รู้จักนี้ไม่มีอยู่แล้ว)

กลับกันเถอะ.

จากสมการสุดท้ายที่เราพบ ,
จากรอบสุดท้าย


จากสมการแรกที่เรามี

ตอบ:

X=10, y=5, z=-20.

คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งจำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบค่า หรือเมทริกซ์หลักของระบบเสื่อมตามวิธีเกาส์

ระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเสื่อมอาจไม่มีคำตอบ อาจมีคำตอบเดียว หรืออาจมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์

ตอนนี้เราจะเข้าใจวิธีที่วิธีเกาส์ช่วยให้คุณสร้างความเข้ากันได้หรือไม่สอดคล้องกันของระบบสมการเชิงเส้น และในกรณีที่เข้ากันได้ ให้กำหนดคำตอบทั้งหมด (หรือโซลูชันเดียว)

โดยหลักการแล้ว กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักในกรณีของ SLAE ดังกล่าวยังคงเหมือนเดิม อย่างไรก็ตาม ควรศึกษารายละเอียดในบางสถานการณ์ที่อาจเกิดขึ้น

ไปที่ขั้นตอนที่สำคัญที่สุดกัน

สมมุติว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นหลังจากการวิ่งไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เสร็จสิ้นแล้วจะอยู่ในรูปแบบ และไม่มีสมการใดถูกลดเป็น (ในกรณีนี้ เราจะสรุปได้ว่าระบบไม่สอดคล้องกัน) คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: "จะทำอย่างไรต่อไป"?

เราเขียนตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งอยู่ในตำแหน่งแรกของสมการทั้งหมดของระบบผลลัพธ์:

ในตัวอย่างของเราคือ x 1 , x 4 และ x 5 ในส่วนด้านซ้ายของสมการของระบบ เราปล่อยให้เฉพาะเทอมที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักเขียน x 1, x 4 และ x 5 เราโอนพจน์ที่เหลือไปทางด้านขวาของสมการด้วยเครื่องหมายตรงข้าม:

ให้เรากำหนดค่าตามอำเภอใจให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งอยู่ทางด้านขวามือของสมการโดยที่ - ตัวเลขโดยพลการ:

หลังจากนั้น ตัวเลขจะอยู่ในส่วนขวาของสมการ SLAE ทั้งหมดของเรา และเราสามารถดำเนินการย้อนกลับของวิธีเกาส์ได้

จากสมการสุดท้ายของระบบที่เรามี จากสมการสุดท้ายที่เราหาได้ จากสมการแรกที่เราได้

การแก้ระบบสมการคือชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จัก

ให้เลข ค่าต่าง ๆ เราก็จะได้คำตอบของระบบสมการต่างกัน นั่นคือ ระบบสมการของเรามีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ตอบ:

ที่ไหน - ตัวเลขโดยพลการ

ในการรวมเนื้อหา เราจะวิเคราะห์รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างอื่นๆ อีกหลายตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีเกาส์เซียน

วิธีการแก้.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มส่วนซ้ายและขวาของสมการที่สองตามลำดับ ส่วนซ้ายและขวาของสมการแรก คูณด้วย และ ในส่วนซ้ายและขวาของสมการที่สาม - ส่วนซ้ายและขวาของสมการ สมการแรก คูณด้วย:

ตอนนี้เราแยก y ออกจากสมการที่สามของระบบผลลัพธ์ของสมการ:

SLAE ที่ได้นั้นเทียบเท่ากับระบบ .

เราปล่อยให้เฉพาะเงื่อนไขที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x และ y ทางด้านซ้ายของสมการของระบบ และโอนเงื่อนไขที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก z ไปทางด้านขวา:

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส

สถาบันเกษตร"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

แนวปฏิบัติ

สำหรับการศึกษาหัวข้อ "วิธีเกาส์สำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น

สมการ” โดยนักศึกษาคณะบัญชี แบบโต้ตอบการศึกษา (สวทช.)

Gorki, 2013

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการสมมูล

สมการเชิงเส้นสองระบบเรียกว่าเทียบเท่า ถ้าแต่ละคำตอบของหนึ่งในนั้นคือคำตอบของอีกวิธีหนึ่ง กระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้นประกอบด้วยการแปลงต่อเนื่องเป็นระบบเทียบเท่าโดยใช้สิ่งที่เรียกว่า การแปลงร่างเบื้องต้น ซึ่งได้แก่

1) การเปลี่ยนแปลงของสมการสองสมการใดๆ ของระบบ

2) การคูณทั้งสองส่วนของสมการใด ๆ ของระบบด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

3) การบวกสมการใด ๆ กับสมการอื่นคูณด้วยจำนวนใด ๆ

4) การลบสมการที่ประกอบด้วยศูนย์เช่น สมการประเภท

การกำจัดเกาส์เซียน

พิจารณาระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย นไม่ทราบ:

สาระสำคัญของวิธีเกาส์หรือวิธีการยกเว้นสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องมีดังนี้

ประการแรก ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น สิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ ยกเว้นอันแรก การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวของระบบเรียกว่า ขั้นตอนการกำจัดเกาส์เซียน . สิ่งที่ไม่รู้จักเรียกว่า การแก้ไขตัวแปร ในขั้นตอนแรกของการเปลี่ยนแปลง ค่าสัมประสิทธิ์เรียกว่า ปัจจัยความละเอียด สมการแรกเรียกว่า การแก้สมการ และคอลัมน์สัมประสิทธิ์ที่ เปิดใช้งานคอลัมน์ .

เมื่อดำเนินการตามขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์เซียน ต้องใช้กฎต่อไปนี้:

1) สัมประสิทธิ์และระยะว่างของสมการแก้สมการยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

2) ค่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์การแก้ไขซึ่งอยู่ด้านล่างของค่าสัมประสิทธิ์การแก้ไขให้เปลี่ยนเป็นศูนย์

3) ค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ และเงื่อนไขอิสระอื่น ๆ ทั้งหมดในขั้นตอนแรกคำนวณตามกฎสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

, ที่ไหน ผม=2,3,…,ม; เจ=2,3,…,น.

เราทำการแปลงที่คล้ายกันในสมการที่สองของระบบ สิ่งนี้จะนำไปสู่ระบบที่จะไม่รวมสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมด ยกเว้นสองตัวแรก อันเป็นผลมาจากการแปลงดังกล่าวในสมการแต่ละสมการของระบบ (เส้นทางตรงของวิธีเกาส์) ระบบเดิมจะลดลงเป็นระบบขั้นตอนที่เทียบเท่ากับหนึ่งในประเภทต่อไปนี้

วิธีย้อนกลับเกาส์

ระบบขั้นตอน

มีรูปสามเหลี่ยมและทั้งหมด (ผม=1,2,…,น). ระบบดังกล่าวมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร ค่าที่ไม่ทราบค่าจะถูกกำหนดโดยเริ่มจากสมการสุดท้าย (ซึ่งตรงกันข้ามกับวิธีเกาส์)

ระบบสเต็ปมีรูปแบบ

ที่ไหน นั่นคือ จำนวนสมการระบบน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก ระบบนี้ไม่มีคำตอบ เนื่องจากสมการสุดท้ายจะไม่เก็บค่าใดๆ ของตัวแปร .

ระบบมุมมองขั้นบันได

มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน จากสมการที่แล้ว ค่าที่ไม่รู้จักแสดงในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่า . จากนั้น แทนที่นิพจน์ในรูปของสิ่งที่ไม่รู้จะถูกแทนที่ด้วยสมการสุดท้าย . ดำเนินการต่อเส้นทางย้อนกลับของวิธีเกาส์, นิรนาม สามารถแสดงเป็นความไม่รู้ได้ . ในกรณีนี้สิ่งที่ไม่รู้จัก เรียกว่า ฟรี และรับค่าอะไรก็ได้และไม่ทราบค่า ขั้นพื้นฐาน.

เมื่อแก้ระบบในทางปฏิบัติ จะสะดวกที่จะทำการแปลงทั้งหมดไม่ใช่ด้วยระบบสมการ แต่ด้วยเมทริกซ์แบบขยายของระบบ ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของนิรนามและคอลัมน์ของเทอมอิสระ

ตัวอย่าง 1. แก้ระบบสมการ

วิธีการแก้. ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบและทำการแปลงเบื้องต้น:

.

ในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ หมายเลข 3 (ไฮไลต์) คือปัจจัยความละเอียด แถวแรกคือแถวความละเอียด และคอลัมน์แรกคือคอลัมน์ความละเอียด เมื่อย้ายไปยังเมทริกซ์ถัดไป แถวที่แก้ไขจะไม่เปลี่ยนแปลง องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ที่แก้ไขด้านล่างองค์ประกอบที่แก้ไขจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดของเมทริกซ์จะถูกคำนวณใหม่ตามกฎของรูปสี่เหลี่ยม แทนที่จะเป็นองค์ประกอบ 4 ในบรรทัดที่สองเราเขียน แทนที่จะเขียนองค์ประกอบ -3 ในบรรทัดที่สอง เป็นต้น ดังนั้น จะได้เมทริกซ์ที่สอง เมทริกซ์นี้จะมีองค์ประกอบการแก้ไขหมายเลข 18 ในแถวที่สอง ในการสร้างเมทริกซ์ถัดไป (เมทริกซ์ที่สาม) เราปล่อยให้แถวที่สองไม่เปลี่ยนแปลง เขียนศูนย์ในคอลัมน์ใต้องค์ประกอบที่แก้ไขแล้วคำนวณองค์ประกอบที่เหลืออีกสององค์ประกอบ: แทนที่จะเป็นหมายเลข 1 เราเขียน และแทนที่จะเป็นหมายเลข 16 เราเขียน .

ส่งผลให้ระบบเดิมลดลงเป็นระบบเทียบเท่า

จากสมการที่สาม เราพบว่า . แทนค่านี้ลงในสมการที่สอง: y=3. แทนที่ค่าที่พบลงในสมการแรก yและ z: , x=2.

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการนี้คือ x=2, y=3, .

ตัวอย่าง 2. แก้ระบบสมการ

วิธีการแก้. มาทำการแปลงเบื้องต้นบนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

ในเมทริกซ์ที่สอง แต่ละองค์ประกอบของแถวที่สามจะถูกหารด้วย 2

ในเมทริกซ์ที่สี่ แต่ละองค์ประกอบของแถวที่สามและสี่ถูกหารด้วย 11

. เมทริกซ์ผลลัพธ์สอดคล้องกับระบบสมการ

การแก้ระบบนี้ เราพบว่า , , .

ตัวอย่างที่ 3. แก้ระบบสมการ

วิธีการแก้. มาเขียนเมทริกซ์เสริมของระบบและทำการแปลงเบื้องต้น:

.

ในเมทริกซ์ที่สอง แต่ละองค์ประกอบของแถวที่สอง สาม และสี่ถูกหารด้วย 7

ส่งผลให้ระบบสมการ

เทียบเท่ากับต้นฉบับ

เนื่องจากมีสมการน้อยกว่าสองสมการจึงมาจากสมการที่สอง . แทนนิพจน์เป็นสมการแรก: , .

ดังนั้นสูตร ให้คำตอบทั่วไปของระบบสมการนี้ ไม่รู้จักและเป็นอิสระและสามารถรับค่าใดก็ได้

ให้ตัวอย่างเช่น แล้ว และ . วิธีการแก้ เป็นหนึ่งในโซลูชั่นเฉพาะของระบบซึ่งมีอยู่มากมาย

คำถามสำหรับการควบคุมตนเองของความรู้

1) การแปลงระบบเชิงเส้นแบบใดที่เรียกว่าระดับประถมศึกษา

2) การเปลี่ยนแปลงใดของระบบที่เรียกว่าขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์เซียน?

3) ตัวแปรการแก้, ตัวประกอบการแก้, การแก้คอลัมน์คืออะไร?

4) ควรใช้กฎอะไรในการดำเนินการขั้นตอนเดียวของการกำจัดเกาส์เซียน?

นับตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 16-18 นักคณิตศาสตร์เริ่มศึกษาฟังก์ชันต่างๆ อย่างเข้มข้น ซึ่งต้องขอบคุณการเปลี่ยนแปลงมากมายในชีวิตของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์โดยปราศจากความรู้นี้ก็คงไม่มีอยู่จริง ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน สมการเชิงเส้นและฟังก์ชัน แนวคิด ทฤษฎีบท และเทคนิคการแก้ปัญหาต่างๆ ได้ถูกสร้างขึ้น หนึ่งในวิธีการและเทคนิคที่เป็นสากลและมีเหตุผลสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและระบบของพวกมันคือวิธีเกาส์ เมทริกซ์, อันดับ, ดีเทอร์มีแนนต์ - ทุกอย่างสามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้การดำเนินการที่ซับซ้อน

สลาวคืออะไร

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีแนวคิดของ SLAE ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เธอเป็นตัวแทนของอะไร? นี่คือชุดสมการ m ที่มีค่า n ค่าที่ไม่ทราบค่า ปกติจะแสดงเป็น x, y, z หรือ x 1 , x 2 ... x n หรือสัญลักษณ์อื่นๆ การแก้ปัญหาระบบนี้ด้วยวิธีเกาส์เซียนหมายถึงการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด หากระบบมีจำนวนไม่ทราบและสมการเท่ากัน จะเรียกว่าระบบลำดับที่ n

วิธีที่นิยมที่สุดในการแก้ปัญหา SLAE

ในสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษามีการศึกษาวิธีการต่างๆในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว ส่วนใหญ่แล้ว สมการเหล่านี้เป็นสมการง่ายๆ ที่ประกอบด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้ ดังนั้นวิธีการใดๆ ที่มีอยู่สำหรับการค้นหาคำตอบนั้นจะใช้เวลาไม่นาน อาจเป็นเหมือนวิธีการทดแทน เมื่อสมการอื่นได้มาจากสมการหนึ่งและแทนที่ลงในสมการเดิม หรือเทอมโดยเทอมการลบและการบวก แต่วิธีเกาส์ถือว่าง่ายที่สุดและเป็นสากลมากที่สุด ทำให้สามารถแก้สมการที่มีค่าไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุใดเทคนิคนี้จึงถือว่ามีเหตุผล? ทุกอย่างเรียบง่าย วิธีเมทริกซ์นั้นดีเพราะไม่ต้องหลายครั้งในการเขียนอักขระที่ไม่จำเป็นใหม่ให้อยู่ในรูปของนิรนาม แค่ดำเนินการเลขคณิตบนสัมประสิทธิ์ก็เพียงพอแล้ว และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือ

SLAEs นำไปใช้ในทางปฏิบัติที่ไหน?

การแก้ปัญหาของ SLAE คือจุดตัดกันของเส้นบนกราฟของฟังก์ชัน ในยุคคอมพิวเตอร์ที่มีเทคโนโลยีสูงของเรา ผู้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในการพัฒนาเกมและโปรแกรมอื่นๆ จำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาระบบดังกล่าว สิ่งที่พวกเขาเป็นตัวแทน และวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้ บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์พัฒนาเครื่องคำนวณพีชคณิตเชิงเส้นแบบพิเศษ ซึ่งรวมถึงระบบสมการเชิงเส้นด้วย วิธีเกาส์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณโซลูชันที่มีอยู่ทั้งหมดได้ นอกจากนี้ยังใช้สูตรและเทคนิคแบบง่ายอื่น ๆ

เกณฑ์ความเข้ากันได้ของ SLAE

ระบบดังกล่าวสามารถแก้ไขได้หากเข้ากันได้เท่านั้น เพื่อความชัดเจน เรานำเสนอ SLAE ในรูปแบบ Ax=b มันมีวิธีแก้ปัญหาถ้า rang(A) เท่ากับ rang(A,b) ในกรณีนี้ (A,b) เป็นเมทริกซ์รูปแบบขยายที่สามารถหาได้จากเมทริกซ์ A โดยการเขียนใหม่ด้วยเงื่อนไขอิสระ ปรากฎว่าการแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นค่อนข้างง่าย

บางทีสัญกรณ์บางอย่างอาจไม่ชัดเจนนัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาทุกอย่างด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีระบบ: x+y=1; 2x-3y=6. ประกอบด้วยสมการเพียงสองสมการซึ่งมี 2 ค่าไม่ทราบค่า ระบบจะมีวิธีแก้ไขก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์เสริม อันดับคืออะไร? นี่คือจำนวนบรรทัดอิสระของระบบ ในกรณีของเรา ลำดับของเมทริกซ์คือ 2 เมทริกซ์ A จะประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับนิรนาม และสัมประสิทธิ์หลังเครื่องหมาย "=" จะพอดีกับเมทริกซ์แบบขยายด้วย

เหตุใดจึงสามารถแสดง SLAE ในรูปแบบเมทริกซ์ได้

ตามเกณฑ์ความเข้ากันได้ตามทฤษฎีบท Kronecker-Capelli ที่พิสูจน์แล้ว ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ ด้วยวิธีการเรียงซ้อนแบบเกาส์เซียน คุณสามารถแก้เมทริกซ์และรับคำตอบเดียวที่เชื่อถือได้สำหรับทั้งระบบ หากอันดับของเมทริกซ์ธรรมดาเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย แต่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบค่า ระบบจะมีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุด

การแปลงเมทริกซ์

ก่อนที่จะไปแก้เมทริกซ์ จำเป็นต้องรู้ว่าการกระทำใดสามารถทำได้กับองค์ประกอบของมัน มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นหลายประการ:

• โดยการเขียนระบบใหม่ให้อยู่ในรูปแบบเมทริกซ์และดำเนินการแก้ไข เป็นไปได้ที่จะคูณองค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมด้วยสัมประสิทธิ์เดียวกัน
• ในการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบบัญญัติ สามารถสลับสองแถวขนานกันได้ รูปแบบบัญญัติหมายความว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ที่อยู่ตามแนวทแยงหลักกลายเป็นองค์ประกอบและองค์ประกอบที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์
• องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวคู่ขนานของเมทริกซ์สามารถเพิ่มหนึ่งไปยังอีกองค์ประกอบหนึ่งได้

วิธีจอร์แดน-เกาส์

สาระสำคัญของระบบการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นและสมการเอกพันธ์เชิงเส้นโดยวิธีเกาส์คือค่อยๆ ขจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมมุติว่าเรามีระบบสมการสองสมการซึ่งมีไม่ทราบค่าสองตัว หากต้องการค้นหา คุณต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ สมการเกาส์เซียนแก้ได้ง่ายมาก จำเป็นต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับค่าที่ไม่รู้จักในรูปแบบเมทริกซ์ ในการแก้ระบบ คุณต้องเขียนเมทริกซ์เสริม หากสมการใดสมการหนึ่งมีจำนวนไม่ทราบจำนวนน้อยกว่า จะต้องใส่ "0" แทนองค์ประกอบที่ขาดหายไป วิธีการแปลงที่รู้จักทั้งหมดถูกนำไปใช้กับเมทริกซ์: การคูณ การหารด้วยตัวเลข การเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวเข้าด้วยกัน และอื่นๆ ปรากฎว่าในแต่ละแถวจำเป็นต้องปล่อยให้ตัวแปรหนึ่งมีค่า "1" ส่วนที่เหลือควรลดลงเป็นศูนย์ เพื่อความเข้าใจที่ถูกต้องมากขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาวิธีเกาส์พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างง่ายๆ ของการแก้ระบบ 2x2

เริ่มต้นด้วย ลองใช้ระบบสมการพีชคณิตอย่างง่าย ซึ่งจะมี 2 ค่าที่ไม่ทราบค่า

ลองเขียนมันใหม่ในเมทริกซ์แต่งเติม

ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ ต้องใช้การดำเนินการเพียงสองครั้งเท่านั้น เราจำเป็นต้องนำเมทริกซ์มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติเพื่อให้มีหน่วยตามแนวทแยงหลัก ดังนั้น การแปลจากรูปแบบเมทริกซ์กลับเข้าสู่ระบบ เราได้สมการ: 1x+0y=b1 และ 0x+1y=b2 โดยที่ b1 และ b2 เป็นคำตอบที่ได้รับในกระบวนการแก้

1. ขั้นตอนแรกในการแก้เมทริกซ์เสริมจะเป็นดังนี้: แถวแรกจะต้องคูณด้วย -7 และองค์ประกอบที่สอดคล้องกันถูกเพิ่มในแถวที่สองตามลำดับเพื่อกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการที่สอง
2. เนื่องจากคำตอบของสมการโดยวิธีเกาส์หมายถึงการนำเมทริกซ์มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติจึงจำเป็นต้องดำเนินการแบบเดียวกันกับสมการแรกและลบตัวแปรที่สองออก ในการทำเช่นนี้ เราลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรกและรับคำตอบที่จำเป็น - วิธีแก้ปัญหาของ SLAE หรือดังที่แสดงในรูป เราคูณแถวที่สองด้วยปัจจัย -1 และเพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองในแถวแรก นี่ก็เหมือนกัน

อย่างที่คุณเห็น ระบบของเราได้รับการแก้ไขโดยวิธี Jordan-Gauss เราเขียนใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ: x=-5, y=7

ตัวอย่างการแก้ SLAE 3x3

สมมติว่าเรามีระบบสมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนกว่า วิธีเกาส์ทำให้สามารถคำนวณคำตอบได้แม้ในระบบที่ดูสับสนที่สุด ดังนั้น เพื่อเจาะลึกลงไปในวิธีการคำนวณ เราสามารถไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วยสามสิ่งที่ไม่รู้

ดังในตัวอย่างที่แล้ว เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบของเมทริกซ์แบบขยาย และเริ่มนำไปยังรูปแบบบัญญัติ

ในการแก้ปัญหาระบบนี้ คุณจะต้องดำเนินการมากกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้

1. ก่อนอื่นคุณต้องสร้างองค์ประกอบเดียวในคอลัมน์แรกและศูนย์ที่เหลือ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วย -1 แล้วบวกสมการที่สองเข้าไป สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเราเขียนบรรทัดแรกใหม่ในรูปแบบเดิมและบรรทัดที่สอง - อยู่ในรูปแบบที่แก้ไขแล้ว
2. ต่อไป เราเอาสิ่งเดิมที่ไม่รู้จักออกจากสมการที่สาม ในการทำเช่นนี้ เราคูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย -2 และเพิ่มเข้าไปในแถวที่สาม ตอนนี้บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองถูกเขียนใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สาม - มีการเปลี่ยนแปลงแล้ว อย่างที่คุณเห็นจากผลลัพธ์ เราได้อันแรกที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ และที่เหลือเป็นศูนย์ อีกสองสามการกระทำและระบบสมการโดยวิธีเกาส์จะได้รับการแก้ไขอย่างน่าเชื่อถือ
3. ตอนนี้คุณต้องดำเนินการกับองค์ประกอบอื่นๆ ของแถว ขั้นตอนที่สามและสี่สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียวได้ เราต้องหารเส้นที่สองและสามด้วย -1 เพื่อกำจัดเส้นติดลบบนเส้นทแยงมุม เราได้นำบรรทัดที่สามไปยังแบบฟอร์มที่ต้องการแล้ว
4. ต่อไป เรากำหนดบรรทัดที่สองให้เป็นที่ยอมรับ ในการทำเช่นนี้ เราคูณองค์ประกอบของแถวที่สามด้วย -3 แล้วบวกเข้ากับบรรทัดที่สองของเมทริกซ์ จะเห็นได้จากผลที่บรรทัดที่สองก็ถูกลดขนาดลงมาเป็นแบบที่เราต้องการด้วย ยังคงต้องดำเนินการอีกสองสามอย่างและลบค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักออกจากแถวแรก
5. ในการสร้าง 0 จากองค์ประกอบที่สองของแถว คุณต้องคูณแถวที่สามด้วย -3 แล้วเพิ่มลงในแถวแรก
6. ขั้นเด็ดขาดต่อไปคือการเพิ่มองค์ประกอบที่จำเป็นของแถวที่สองในแถวแรก เราจึงได้รูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์ และตามนั้น ได้คำตอบ

อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการด้วยวิธีเกาส์นั้นค่อนข้างง่าย

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการ 4x4

ระบบสมการที่ซับซ้อนกว่าบางระบบสามารถแก้ไขได้โดยวิธีเกาส์เซียนโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องขับค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเข้าไปในเซลล์ว่างที่มีอยู่ และโปรแกรมจะคำนวณผลลัพธ์ที่ต้องการทีละขั้นตอน โดยอธิบายแต่ละการกระทำโดยละเอียด

คำแนะนำทีละขั้นตอนสำหรับการแก้ปัญหาตัวอย่างดังกล่าวอธิบายไว้ด้านล่าง

ในขั้นตอนแรก ค่าสัมประสิทธิ์และตัวเลขอิสระสำหรับค่าที่ไม่รู้จักจะถูกป้อนลงในเซลล์ว่าง ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์เสริมแบบเดียวกับที่เราเขียนด้วยมือ

และดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อนำเมทริกซ์แบบขยายมาสู่รูปแบบบัญญัติ ต้องเข้าใจว่าคำตอบของระบบสมการไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป บางครั้งวิธีแก้ปัญหาอาจมาจากตัวเลขเศษส่วน

การตรวจสอบความถูกต้องของสารละลาย

วิธี Jordan-Gauss ใช้สำหรับตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ ในการหาว่าสัมประสิทธิ์คำนวณได้ถูกต้องหรือไม่ คุณเพียงแค่แทนที่ผลลัพธ์ลงในระบบสมการเดิม ด้านซ้ายของสมการต้องตรงกับด้านขวา ซึ่งอยู่หลังเครื่องหมายเท่ากับ หากคำตอบไม่ตรงกัน คุณต้องคำนวณระบบใหม่หรือลองใช้วิธีการอื่นในการแก้ปัญหา SLAE ที่คุณรู้จัก เช่น การแทนที่หรือการลบและการบวกแบบทีละเทอม ท้ายที่สุดแล้ว คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่มีวิธีการแก้ต่าง ๆ มากมาย แต่อย่าลืมว่าผลลัพธ์ควรเหมือนกันเสมอ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบใด

วิธีเกาส์: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการแก้ปัญหา SLAE

ระหว่างการแก้สมการเชิงเส้นตรง มักเกิดข้อผิดพลาด เช่น การถ่ายโอนสัมประสิทธิ์ไปยังรูปแบบเมทริกซ์ไม่ถูกต้อง มีระบบที่สิ่งที่ไม่ทราบค่าบางตัวหายไปในสมการใดสมการหนึ่ง จากนั้นเมื่อถ่ายโอนข้อมูลไปยังเมทริกซ์ที่ขยายออก พวกมันอาจสูญหายได้ เป็นผลให้เมื่อแก้ระบบนี้ผลลัพธ์อาจไม่ตรงกับของจริง

ข้อผิดพลาดหลักอีกประการหนึ่งอาจทำให้เขียนผลลัพธ์สุดท้ายไม่ถูกต้อง ต้องเข้าใจชัดเจนว่าสัมประสิทธิ์แรกจะสอดคล้องกับค่าแรกที่ไม่รู้จักจากระบบ ค่าที่สอง - ที่สอง และอื่น ๆ

วิธีเกาส์อธิบายรายละเอียดการแก้สมการเชิงเส้น ต้องขอบคุณเขาที่ง่ายต่อการดำเนินการที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์ที่ถูกต้อง นอกจากนี้ นี่เป็นเครื่องมือสากลสำหรับการค้นหาคำตอบที่เชื่อถือได้สำหรับสมการของความซับซ้อนใดๆ อาจเป็นเพราะเหตุนี้จึงมักใช้ในการแก้ SLAE

ในบทความนี้ วิธีการนี้ถือเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (SLAE) วิธีการนี้เป็นการวิเคราะห์ กล่าวคือ ช่วยให้คุณสามารถเขียนอัลกอริธึมโซลูชันในรูปแบบทั่วไป แล้วแทนที่ค่าจากตัวอย่างเฉพาะที่นั่น ต่างจากวิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครมเมอร์ตรงที่เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ คุณยังสามารถทำงานกับสมการที่มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน หรือพวกเขาไม่มีเลย

เกาส์หมายถึงอะไร?

ก่อนอื่นคุณต้องเขียนระบบสมการของเราใน หน้าตาแบบนี้ ระบบถูกนำมาใช้:

ค่าสัมประสิทธิ์เขียนในรูปแบบของตารางและทางด้านขวาในคอลัมน์แยกต่างหาก - สมาชิกอิสระ คอลัมน์ที่มีสมาชิกว่างจะถูกแยกออกเพื่อความสะดวก เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์นี้เรียกว่า Extended

นอกจากนี้เมทริกซ์หลักที่มีค่าสัมประสิทธิ์จะต้องลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านบน นี่คือประเด็นหลักในการแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์ พูดง่ายๆ ว่า หลังจากการปรับเปลี่ยนบางอย่าง เมทริกซ์ควรมีลักษณะดังนี้ เพื่อให้เหลือเพียงศูนย์ในส่วนล่างซ้าย:

จากนั้น หากคุณเขียนเมทริกซ์ใหม่อีกครั้งเป็นระบบสมการ คุณจะสังเกตเห็นว่าแถวสุดท้ายมีค่าของรากหนึ่งอยู่แล้ว ซึ่งจะถูกแทนที่ในสมการข้างต้น จะพบรูทอื่น เป็นต้น

นี่คือคำอธิบายของวิธีแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์ในแง่ทั่วไปที่สุด และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าจู่ๆ ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา? หรือมีจำนวนอนันต์? ในการตอบคำถามเหล่านี้และคำถามอื่นๆ อีกมากมาย จำเป็นต้องพิจารณาองค์ประกอบทั้งหมดที่ใช้ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์แยกกัน

เมทริกซ์คุณสมบัติของมัน

ไม่มีความหมายที่ซ่อนอยู่ในเมทริกซ์ เป็นวิธีที่สะดวกในการบันทึกข้อมูลสำหรับการดำเนินการในภายหลัง แม้แต่เด็กนักเรียนก็ไม่ควรกลัวพวกเขา

เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสมอเพราะสะดวกกว่า แม้แต่ในวิธีเกาส์ ที่ซึ่งทุกอย่างเดือดดาลเพื่อสร้างเมทริกซ์สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมก็ปรากฏขึ้นในรายการ โดยมีเพียงศูนย์ในตำแหน่งที่ไม่มีตัวเลข ค่าศูนย์สามารถละเว้นได้ แต่จะมีการบอกเป็นนัย

เมทริกซ์มีขนาด "ความกว้าง" คือจำนวนแถว (ม.) "ความยาว" คือจำนวนคอลัมน์ (n) จากนั้นขนาดของเมทริกซ์ A (มักใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สำหรับการกำหนด) จะแสดงเป็น A m×n ถ้า m=n เมทริกซ์นี้จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ m=n คือลำดับของมัน ดังนั้น องค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ A สามารถแสดงด้วยจำนวนแถวและคอลัมน์: a xy ; x - หมายเลขแถว, การเปลี่ยนแปลง , หมายเลขคอลัมน์ y, การเปลี่ยนแปลง

B ไม่ใช่ประเด็นหลักของการแก้ปัญหา โดยหลักการแล้ว การดำเนินการทั้งหมดสามารถทำได้โดยตรงกับสมการเอง แต่สัญกรณ์จะกลายเป็นเรื่องยุ่งยากกว่ามาก และจะทำให้สับสนได้ง่ายขึ้นมาก

ดีเทอร์มิแนนต์

เมทริกซ์ยังมีดีเทอร์มีแนนต์ด้วย นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญมาก การหาความหมายของมันตอนนี้ไม่คุ้มเสียแล้ว คุณสามารถแสดงวิธีการคำนวณ แล้วบอกคุณสมบัติของเมทริกซ์ที่มันกำหนด วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาดีเทอร์มีแนนต์คือการใช้เส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมจินตภาพถูกวาดในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่อยู่บนแต่ละองค์ประกอบจะถูกคูณจากนั้นจึงเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้: เส้นทแยงมุมที่มีความลาดเอียงไปทางขวา - ด้วยเครื่องหมาย "บวก" โดยมีความลาดเอียงไปทางซ้าย - พร้อมเครื่องหมาย "ลบ"

เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องทราบว่า ดีเทอร์มีแนนต์สามารถคำนวณได้สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: เลือกจำนวนแถวที่น้อยที่สุดและจำนวนคอลัมน์ (ปล่อยให้เป็น k) แล้วสุ่มทำเครื่องหมาย k คอลัมน์และ k แถวในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่จุดตัดของคอลัมน์และแถวที่เลือกจะสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยมใหม่ หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเรียกว่าเมทริกซ์ฐานรองของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมดั้งเดิม

ก่อนดำเนินการแก้ระบบสมการด้วยวิธีเกาส์ การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เสียหาย ถ้ามันกลายเป็นศูนย์ เราก็บอกได้ทันทีว่าเมทริกซ์นั้นมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ หรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีที่น่าเศร้าเช่นนี้ คุณต้องไปต่อและค้นหาอันดับของเมทริกซ์

การจำแนกระบบ

มีบางอย่างเช่นอันดับของเมทริกซ์ นี่คือลำดับสูงสุดของดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (จำฐานรอง เราสามารถพูดได้ว่าอันดับของเมทริกซ์คือลำดับของฐานรอง)

ตามสิ่งที่อยู่ในอันดับ SLAE สามารถแบ่งออกเป็น:

• ร่วม. ที่ของระบบร่วม ตำแหน่งของเมทริกซ์หลัก (ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เท่านั้น) ตรงกับอันดับของเมทริกซ์ขยาย (มีคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ) ระบบดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหา แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นระบบเดียว ดังนั้นระบบร่วมจึงถูกแบ่งออกเป็น:
• - แน่ใจ- มีโซลูชั่นที่ไม่เหมือนใคร ในบางระบบ ลำดับของเมทริกซ์และจำนวนของสิ่งที่ไม่รู้จัก (หรือจำนวนคอลัมน์ซึ่งเหมือนกัน) จะเท่ากัน
• - ไม่มีกำหนด -ด้วยโซลูชั่นจำนวนนับไม่ถ้วน อันดับของเมทริกซ์สำหรับระบบดังกล่าวน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก
• เข้ากันไม่ได้ ที่ระบบดังกล่าว ลำดับของเมทริกซ์หลักและส่วนขยายไม่ตรงกัน ระบบที่เข้ากันไม่ได้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

วิธีเกาส์นั้นดีเพราะช่วยให้ได้รับข้อพิสูจน์ที่ชัดเจนเกี่ยวกับความไม่สอดคล้องกันของระบบ (โดยไม่ต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดใหญ่) หรือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบที่มีคำตอบจำนวนอนันต์ระหว่างการแก้ปัญหา

การแปลงเบื้องต้น

ก่อนดำเนินการแก้ปัญหาของระบบโดยตรง จะทำให้การคำนวณยุ่งยากน้อยลงและสะดวกยิ่งขึ้น สิ่งนี้ทำได้โดยการแปลงเบื้องต้น - เพื่อให้การใช้งานไม่เปลี่ยนแปลงคำตอบสุดท้ายในทางใดทางหนึ่ง ควรสังเกตว่าการแปลงเบื้องต้นบางส่วนข้างต้นใช้ได้สำหรับเมทริกซ์เท่านั้น ซึ่งแหล่งที่มาคือ SLAE อย่างแม่นยำ นี่คือรายการของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้:

1. การเรียงสับเปลี่ยนสตริง เห็นได้ชัดว่าถ้าเราเปลี่ยนลำดับของสมการในบันทึกระบบ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาแต่อย่างใด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสลับแถวในเมทริกซ์ของระบบนี้ แน่นอนว่าอย่าลืมเกี่ยวกับคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ
2. การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของสตริงด้วยปัจจัยบางอย่าง มีประโยชน์มาก! ด้วยสิ่งนี้ คุณสามารถลดตัวเลขจำนวนมากในเมทริกซ์หรือลบศูนย์ได้ ชุดของการแก้ปัญหาตามปกติจะไม่เปลี่ยนแปลงและจะสะดวกยิ่งขึ้นในการดำเนินการต่อไป สิ่งสำคัญคือสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์
3. ลบแถวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน ส่วนนี้ต่อจากย่อหน้าที่แล้ว หากสองแถวหรือมากกว่าในเมทริกซ์มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน เมื่อคูณ / หารหนึ่งในแถวด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วน จะได้แถวที่เหมือนกันทุกประการสองแถว (หรือมากกว่านั้น) และคุณสามารถเอาแถวพิเศษออกได้ หนึ่ง.
4. การลบบรรทัดว่าง หากในระหว่างการแปลงได้รับสตริงที่องค์ประกอบทั้งหมดรวมถึงสมาชิกอิสระเป็นศูนย์ดังนั้นสตริงดังกล่าวสามารถเรียกได้ว่าเป็นศูนย์และถูกโยนออกจากเมทริกซ์
5. การเพิ่มองค์ประกอบของแถวหนึ่งไปยังองค์ประกอบอื่น (ในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง) คูณด้วยสัมประสิทธิ์บางอย่าง การเปลี่ยนแปลงที่คลุมเครือและสำคัญที่สุดของทั้งหมด มันคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติม

การบวกสตริงคูณด้วยตัวประกอบ

เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ ควรแยกส่วนกระบวนการนี้ทีละขั้นตอน สองแถวนำมาจากเมทริกซ์:

11 a 12 ... 1n | b1

21 a 22 ... a 2n | ข2

สมมติว่าคุณต้องบวกตัวแรกเข้ากับตัวที่สอง คูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-2"

a" 21 \u003d a 21 + -2 × 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

จากนั้นในเมทริกซ์ แถวที่สองจะถูกแทนที่ด้วยแถวใหม่และแถวแรกจะไม่เปลี่ยนแปลง

11 a 12 ... 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

ควรสังเกตว่าสามารถเลือกปัจจัยการคูณในลักษณะที่ผลของการเพิ่มสองสตริง หนึ่งในองค์ประกอบของสตริงใหม่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับสมการในระบบซึ่งจะมีหนึ่งที่ไม่รู้จักน้อยกว่า และถ้าคุณได้สมการดังกล่าวสองสมการ การดำเนินการก็สามารถทำได้อีกครั้งและได้สมการที่จะมีค่าไม่ทราบค่าน้อยกว่าสองค่าอยู่แล้ว และถ้าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนเป็นศูนย์ 1 สัมประสิทธิ์สำหรับทุกแถวที่ต่ำกว่าค่าเดิม เราก็สามารถลงไปที่ด้านล่างสุดของเมทริกซ์แล้วได้สมการที่ไม่ทราบค่าตัวเดียว นี้เรียกว่าการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

โดยทั่วไป

ให้มีระบบ มีสมการ m และรากที่ไม่รู้จัก คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

เมทริกซ์หลักรวบรวมจากสัมประสิทธิ์ของระบบ คอลัมน์ของสมาชิกอิสระจะถูกเพิ่มลงในเมทริกซ์แบบขยายและคั่นด้วยแถบเพื่อความสะดวก

• แถวแรกของเมทริกซ์คูณด้วยสัมประสิทธิ์ k = (-a 21 / a 11);
• แถวที่แก้ไขแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์จะถูกเพิ่ม
• แทนที่จะเป็นแถวที่สอง ผลลัพธ์ของการเพิ่มจากย่อหน้าก่อนหน้าจะถูกแทรกลงในเมทริกซ์
• ตอนนี้สัมประสิทธิ์แรกในแถวที่สองใหม่คือ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0

ตอนนี้ทำการแปลงชุดเดียวกันแล้ว เฉพาะแถวแรกและแถวที่สามเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น ในแต่ละขั้นตอนของอัลกอริทึม องค์ประกอบ a 21 จะถูกแทนที่ด้วย 31 จากนั้นทุกอย่างจะทำซ้ำสำหรับ 41 , ... a m1 ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ที่องค์ประกอบแรกในแถวมีค่าเท่ากับศูนย์ ตอนนี้เราต้องลืมเกี่ยวกับบรรทัดที่หนึ่งและดำเนินการอัลกอริทึมเดียวกันโดยเริ่มจากบรรทัดที่สอง:

• ค่าสัมประสิทธิ์ k \u003d (-a 32 / a 22);
• บรรทัดที่แก้ไขที่สองจะถูกเพิ่มในบรรทัด "ปัจจุบัน"
• ผลของการเพิ่มจะถูกแทนที่ในบรรทัดที่สาม สี่ และอื่น ๆ ในขณะที่บรรทัดแรกและที่สองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
• ในแถวของเมทริกซ์ สององค์ประกอบแรกมีค่าเท่ากับศูนย์แล้ว

ต้องทำซ้ำอัลกอริทึมจนกว่าสัมประสิทธิ์ k = (-a m,m-1 /a mm) จะปรากฏขึ้น ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมทำงานครั้งสุดท้ายสำหรับสมการที่ต่ำกว่าเท่านั้น ตอนนี้เมทริกซ์ดูเหมือนสามเหลี่ยมหรือมีรูปร่างเป็นขั้นบันได บรรทัดล่างมีความเท่าเทียมกัน a mn × x n = b m ค่าสัมประสิทธิ์และระยะอิสระเป็นที่รู้จัก และรากแสดงผ่านค่าเหล่านี้: x n = b m /a mn รากที่เป็นผลลัพธ์จะถูกแทนที่ในแถวบนสุดเพื่อค้นหา x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 และโดยการเปรียบเทียบ: ในแต่ละบรรทัดถัดไปจะมีรูทใหม่ และเมื่อไปถึง "บนสุด" ของระบบ คุณจะพบวิธีแก้ปัญหามากมาย มันจะเป็นหนึ่งเดียว

เมื่อไม่มีทางออก

ถ้าในแถวเมทริกซ์ตัวใดตัวหนึ่ง องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นพจน์ว่าง มีค่าเท่ากับศูนย์ สมการที่สอดคล้องกับแถวนี้จะดูเหมือน 0 = b มันไม่มีทางออก และเนื่องจากสมการดังกล่าวรวมอยู่ในระบบ ดังนั้นเซตของคำตอบของทั้งระบบจึงว่างเปล่า กล่าวคือ มันเสื่อมลง

เมื่อมีคำตอบมากมายไม่รู้จบ

อาจกลายเป็นว่าในเมทริกซ์สามเหลี่ยมลดรูปนั้นไม่มีแถวที่มีองค์ประกอบหนึ่ง - สัมประสิทธิ์ของสมการ และอีกหนึ่ง - สมาชิกอิสระ มีเพียงสตริงที่เมื่อเขียนใหม่จะดูเหมือนสมการที่มีตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งหมายความว่าระบบมีโซลูชันจำนวนอนันต์ ในกรณีนี้ สามารถให้คำตอบในรูปแบบของคำตอบทั่วไป ทำอย่างไร?

ตัวแปรทั้งหมดในเมทริกซ์แบ่งออกเป็นแบบพื้นฐานและแบบอิสระ พื้นฐาน - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่ยืนอยู่ "บนขอบ" ของแถวในเมทริกซ์แบบก้าว ส่วนที่เหลือฟรี ในการแก้ปัญหาทั่วไป ตัวแปรพื้นฐานจะถูกเขียนในรูปของตัวแปรอิสระ

เพื่อความสะดวก เมทริกซ์จะถูกเขียนกลับเข้าไปในระบบสมการก่อน จากนั้นในตัวแปรสุดท้ายที่ตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวยังคงอยู่ มันยังคงอยู่ที่ด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่เหลือจะถูกถ่ายโอนไปยังอีกตัวแปรหนึ่ง ทำได้สำหรับแต่ละสมการที่มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว จากนั้น ในสมการที่เหลือ หากเป็นไปได้ แทนตัวแปรพื้นฐาน นิพจน์ที่ได้รับสำหรับตัวแปรนั้นจะถูกแทนที่ ผลลัพธ์คือ หากนิพจน์ปรากฏขึ้นอีกครั้งซึ่งมีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว นิพจน์นั้นจะแสดงอีกครั้งจากที่นั่น เป็นต้น จนกว่าตัวแปรพื้นฐานแต่ละตัวจะถูกเขียนเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรอิสระ นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ SLAE

คุณยังสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบ - ให้ค่าตัวแปรอิสระใด ๆ จากนั้นให้คำนวณค่าของตัวแปรพื้นฐานสำหรับกรณีนี้โดยเฉพาะ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะมากมายอย่างไม่สิ้นสุด

วิธีแก้ปัญหาด้วยตัวอย่างเฉพาะ

นี่คือระบบสมการ

เพื่อความสะดวกควรสร้างเมทริกซ์ทันที

เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อแก้โดยวิธีเกาส์ สมการที่สอดคล้องกับแถวแรกจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดการแปลง ดังนั้นมันจะทำกำไรได้มากกว่าถ้าองค์ประกอบด้านซ้ายบนของเมทริกซ์มีขนาดเล็กที่สุด - จากนั้นองค์ประกอบแรกของแถวที่เหลือหลังจากการดำเนินการจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในเมทริกซ์ที่คอมไพล์แล้วจะเป็นประโยชน์ที่จะวางแถวที่สองแทนแถวแรก

บรรทัดที่สอง: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

บรรทัดที่สาม: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

ตอนนี้ เพื่อไม่ให้สับสน จำเป็นต้องเขียนเมทริกซ์ด้วยผลลัพธ์ขั้นกลางของการแปลง

เป็นที่ชัดเจนว่าเมทริกซ์ดังกล่าวสามารถทำให้สะดวกขึ้นสำหรับการรับรู้ด้วยความช่วยเหลือจากการดำเนินการบางอย่าง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบ "minuses" ทั้งหมดออกจากบรรทัดที่สองโดยคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1"

เป็นที่น่าสังเกตว่าในแถวที่สามองค์ประกอบทั้งหมดเป็นทวีคูณของสาม จากนั้นคุณสามารถลดสตริงด้วยตัวเลขนี้ โดยคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1/3" (ลบ - ในเวลาเดียวกันเพื่อลบค่าลบ)

ดูดีกว่าเยอะ ตอนนี้เราต้องปล่อยให้อยู่คนเดียวในบรรทัดแรกและทำงานกับบรรทัดที่สองและสาม งานคือการเพิ่มแถวที่สองในแถวที่สาม คูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่ทำให้องค์ประกอบ 32 มีค่าเท่ากับศูนย์

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 เศษส่วน และเมื่อได้รับคำตอบแล้ว ให้ตัดสินใจว่าจะปัดเศษและแปลเป็นสัญกรณ์รูปแบบอื่นหรือไม่)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

เมทริกซ์ถูกเขียนอีกครั้งด้วยค่าใหม่

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

อย่างที่คุณเห็น เมทริกซ์ผลลัพธ์มีรูปแบบขั้นแล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมของระบบด้วยวิธีเกาส์ สิ่งที่สามารถทำได้ที่นี่คือการลบสัมประสิทธิ์โดยรวม "-1/7" ออกจากบรรทัดที่สาม

ตอนนี้ทุกอย่างกำลังสวยงาม จุดเล็ก - เขียนเมทริกซ์อีกครั้งในรูปแบบของระบบสมการและคำนวณราก

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

อัลกอริธึมที่ใช้ค้นหารากนั้นเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับในวิธีเกาส์ สมการ (3) มีค่าของ z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

และสมการแรกให้คุณหา x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

เรามีสิทธิ์ที่จะเรียกระบบดังกล่าวว่าการร่วมทุน และแน่นอนก็คือมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร คำตอบเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9

ตัวอย่างของระบบไม่แน่นอน

มีการวิเคราะห์ตัวแปรของการแก้ระบบบางระบบโดยวิธีเกาส์แล้ว ตอนนี้จำเป็นต้องพิจารณากรณีนี้หากระบบไม่มีกำหนด นั่นคือสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้มากมายอย่างไม่สิ้นสุด

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

รูปแบบของระบบนั้นน่าตกใจอยู่แล้ว เพราะจำนวนที่ไม่ทราบค่าคือ n = 5 และอันดับของเมทริกซ์ของระบบนั้นน้อยกว่าตัวเลขนี้แน่นอน เพราะจำนวนแถวคือ m = 4 นั่นคือ ลำดับที่ใหญ่ที่สุดของดีเทอร์มีแนนต์กำลังสองคือ 4 ซึ่งหมายความว่ามีจำนวนคำตอบนับไม่ถ้วน และจำเป็นต้องมองหารูปแบบทั่วไปของมัน วิธีเกาส์สำหรับสมการเชิงเส้นทำให้สามารถทำได้

ก่อนอื่นจะมีการคอมไพล์เมทริกซ์เสริมตามปกติ

บรรทัดที่สอง: สัมประสิทธิ์ k = (-a 21 / a 11) = -3 ในบรรทัดที่สาม องค์ประกอบแรกอยู่ก่อนการแปลง ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องแตะต้องอะไรเลย คุณต้องปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น บรรทัดที่สี่: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

เมื่อคูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วยสัมประสิทธิ์แต่ละตัวแล้วบวกเข้ากับแถวที่ต้องการ เราจะได้เมทริกซ์ในรูปแบบต่อไปนี้:

อย่างที่คุณเห็น แถวที่สอง สาม และสี่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน โดยทั่วไปที่สองและสี่จะเหมือนกัน ดังนั้นหนึ่งในนั้นสามารถลบออกได้ทันที และส่วนที่เหลือคูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-1" และรับบรรทัดที่ 3 และอีกครั้ง ปล่อยให้หนึ่งในสองบรรทัดที่เหมือนกัน

มันกลับกลายเป็นเมทริกซ์ดังกล่าว ระบบยังไม่ได้เขียนลงไป มันเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่เพื่อกำหนดตัวแปรพื้นฐาน - ยืนอยู่ที่สัมประสิทธิ์ a 11 \u003d 1 และ a 22 \u003d 1 และว่าง - ที่เหลือทั้งหมด

สมการที่สองมีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว - x 2 ดังนั้นจึงสามารถแสดงออกได้จากตรงนั้น โดยเขียนผ่านตัวแปร x 3 , x 4 , x 5 ที่ว่าง

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการแรก

มันกลับกลายเป็นสมการที่ตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวคือ x 1 ลองทำแบบเดียวกันกับ x 2 กัน

ตัวแปรพื้นฐานทั้งหมดซึ่งมีอยู่ 2 ตัว จะแสดงในรูปของตัวแปรอิสระสามตัว ตอนนี้คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบทั่วไปได้

คุณยังสามารถระบุหนึ่งในโซลูชันเฉพาะของระบบได้ สำหรับกรณีดังกล่าว ตามกฎแล้ว ศูนย์จะถูกเลือกเป็นค่าสำหรับตัวแปรอิสระ จากนั้นคำตอบจะเป็น:

16, 23, 0, 0, 0.

ตัวอย่างของระบบที่เข้ากันไม่ได้

การแก้ปัญหาของระบบสมการที่ไม่สอดคล้องกันโดยวิธีเกาส์นั้นเร็วที่สุด จะสิ้นสุดทันทีที่ขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งได้สมการที่ไม่มีคำตอบ นั่นคือขั้นตอนที่มีการคำนวณรากซึ่งค่อนข้างยาวและน่าเบื่อหายไป ระบบต่อไปนี้ได้รับการพิจารณา:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ตามปกติเมทริกซ์จะถูกรวบรวม:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

และถูกลดขนาดลงเป็นขั้นบันได:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

หลังจากการแปลงครั้งแรก บรรทัดที่สามมีสมการของรูปแบบ

ไม่มีทางออก ดังนั้นระบบจึงไม่สอดคล้องกันและคำตอบคือชุดว่าง

ข้อดีและข้อเสียของวิธีการ

หากคุณเลือกวิธีที่จะแก้ปัญหา SLAE บนกระดาษด้วยปากกา วิธีการที่พิจารณาในบทความนี้จะดูน่าสนใจที่สุด ในการแปลงเบื้องต้น มันจะยากกว่าที่จะเกิดความสับสนมากกว่าที่จะเกิดขึ้น ถ้าคุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ด้วยตนเองหรือเมทริกซ์ผกผันบางตัวที่หากิน อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้โปรแกรมเพื่อทำงานกับข้อมูลประเภทนี้ เช่น สเปรดชีต ปรากฎว่าโปรแกรมดังกล่าวมีอัลกอริธึมสำหรับคำนวณพารามิเตอร์หลักของเมทริกซ์อยู่แล้ว - ดีเทอร์มิแนนต์ รอง ผกผัน และอื่น ๆ และถ้าคุณแน่ใจว่าเครื่องจะคำนวณค่าเหล่านี้เองและจะไม่ทำผิดพลาด คุณควรใช้วิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครมเมอร์มากกว่า เนื่องจากแอปพลิเคชันเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน

แอปพลิเคชัน

เนื่องจากโซลูชันเกาส์เซียนเป็นอัลกอริทึม และเมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สองมิติ จึงสามารถใช้ในการเขียนโปรแกรมได้ แต่เนื่องจากบทความกำหนดตำแหน่งตัวเองเป็นแนวทาง "สำหรับหุ่นจำลอง" จึงควรกล่าวว่าสถานที่ที่ง่ายที่สุดในการใส่วิธีการคือสเปรดชีต เช่น Excel อีกครั้ง SLAE ใดๆ ที่ป้อนในตารางในรูปแบบของเมทริกซ์จะถูกพิจารณาโดย Excel เป็นอาร์เรย์สองมิติ และสำหรับการดำเนินการกับพวกมัน มีคำสั่งดีๆ มากมาย: นอกจากนี้ (คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น!), การคูณด้วยตัวเลข, การคูณเมทริกซ์ (ด้วยข้อจำกัดบางประการ) การค้นหาเมทริกซ์ผกผันและทรานสโพสเมทริกซ์ และที่สำคัญที่สุด , การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ หากงานที่ใช้เวลานานนี้ถูกแทนที่ด้วยคำสั่งเดียว การพิจารณาอันดับของเมทริกซ์จะเร็วกว่ามาก ดังนั้นจึงสร้างความเข้ากันได้หรือไม่สอดคล้องกัน

1. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

1.1 แนวคิดของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

ระบบสมการเป็นเงื่อนไขที่ประกอบด้วยการดำเนินการของสมการหลายตัวพร้อมกันในหลายตัวแปร ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ต่อไปนี้จะเรียกว่า SLAE) ที่มีสมการ m และ n นิรนาม n เป็นระบบของรูปแบบ:

โดยที่ตัวเลข a ij เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของระบบ ตัวเลข b i เป็นสมาชิกอิสระ ไอจและ ข ฉัน(i=1,…, m; b=1,…, n) คือจำนวนที่รู้จัก และ x 1 ,…, x น- ไม่ทราบ ในสัญกรณ์ของสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก i หมายถึงจำนวนของสมการ และดัชนีที่สอง j คือจำนวนที่ไม่รู้จักซึ่งสัมประสิทธิ์นี้อยู่ ขึ้นอยู่กับการหาจำนวน x น . สะดวกในการเขียนระบบดังกล่าวในรูปแบบเมทริกซ์ขนาดกะทัดรัด: ขวาน=ข. A คือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบที่เรียกว่าเมทริกซ์หลัก

เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของ xj ที่ไม่รู้จัก
เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ bi

ผลคูณของเมทริกซ์ A * X ถูกกำหนด เนื่องจากมีคอลัมน์ในเมทริกซ์ A มากเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ X (n ชิ้น)

เมทริกซ์ขยายของระบบคือเมทริกซ์ A ของระบบ เสริมด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

1.2 คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

คำตอบของระบบสมการคือชุดของตัวเลขที่เรียงลำดับ (ค่าของตัวแปร) เมื่อแทนที่พวกมันแทนตัวแปร สมการแต่ละอันของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

คำตอบของระบบคือ n ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จัก x1=c1, x2=c2,…, xn=cn แทนที่สมการทั้งหมดของระบบจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง โซลูชันใดๆ ของระบบสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์-คอลัมน์

ระบบสมการเรียกว่าสม่ำเสมอถ้ามีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ และไม่สอดคล้องกันหากไม่มีคำตอบ

ระบบร่วมเรียกว่า definite หากมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและไม่แน่นอนถ้ามีมากกว่าหนึ่งวิธี ในกรณีหลัง แต่ละโซลูชันจะเรียกว่าโซลูชันเฉพาะของระบบ ชุดของโซลูชันเฉพาะทั้งหมดเรียกว่าโซลูชันทั่วไป

การแก้ปัญหาระบบหมายถึงการค้นหาว่ามีความสม่ำเสมอหรือไม่สอดคล้องกัน หากระบบเข้ากันได้ ให้ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป

สองระบบเรียกว่าเทียบเท่า (เทียบเท่า) หากมีคำตอบทั่วไปเหมือนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบจะเท่าเทียมกันหากทุกโซลูชันสำหรับหนึ่งในนั้นคือโซลูชันสำหรับอีกระบบหนึ่ง และในทางกลับกัน

การเปลี่ยนแปลง การประยุกต์ใช้ซึ่งเปลี่ยนระบบให้เป็นระบบใหม่ที่เทียบเท่ากับระบบเดิมเรียกว่าการแปลงที่เทียบเท่าหรือเทียบเท่า การแปลงต่อไปนี้สามารถใช้เป็นตัวอย่างของการแปลงที่เทียบเท่ากัน: การสลับสมการสองสมการของระบบ การสลับสองไม่ทราบค่าร่วมกับสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด การคูณทั้งสองส่วนของสมการใดๆ ของระบบด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าเอกพันธ์ ถ้าพจน์อิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์:

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก x1=x2=x3=…=xn=0 เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ วิธีแก้ปัญหานี้เรียกว่า null หรือเล็กน้อย

2. วิธีกำจัดเกาส์เซียน

2.1 สาระสำคัญของวิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน

วิธีการแบบคลาสสิกสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นคือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้อย่างต่อเนื่อง - วิธีเกาส์(เรียกอีกอย่างว่าวิธีกำจัดแบบเกาส์เซียน) นี่เป็นวิธีการกำจัดตัวแปรแบบต่อเนื่อง เมื่อระบบของสมการลดขนาดลงเป็นระบบเทียบเท่าของรูปแบบขั้นบันได (หรือสามเหลี่ยม) โดยใช้การแปลงเบื้องต้น ซึ่งตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดจะพบตามลำดับโดยเริ่มจาก ตัวแปรสุดท้าย (ตามตัวเลข)

กระบวนการแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนประกอบด้วยสองขั้นตอน: เดินหน้าและถอยหลัง

1. ย้ายโดยตรง

ในระยะแรก การเคลื่อนไหวโดยตรงที่เรียกว่าถูกดำเนินการ เมื่อโดยการแปลงเบื้องต้นเหนือแถว ระบบถูกนำไปยังรูปแบบขั้นบันไดหรือสามเหลี่ยม หรือมีการสร้างว่าระบบไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ในบรรดาองค์ประกอบของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์นั้น มีการเลือกคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ มันถูกย้ายไปยังตำแหน่งบนสุดโดยการเรียงสับเปลี่ยนแถว และแถวแรกที่ได้รับหลังจากการเรียงสับเปลี่ยนถูกลบออกจากแถวที่เหลือ คูณด้วย a ค่าเท่ากับอัตราส่วนขององค์ประกอบแรกของแต่ละแถวเหล่านี้กับองค์ประกอบแรกของแถวแรก เท่ากับศูนย์ ดังนั้นคอลัมน์ที่อยู่ด้านล่าง

หลังจากทำการแปลงที่ระบุแล้ว แถวแรกและคอลัมน์แรกจะถูกขีดฆ่าในจิตใจและดำเนินต่อไปจนกระทั่งเมทริกซ์ขนาดศูนย์ยังคงอยู่ หากการวนซ้ำบางส่วนขององค์ประกอบของคอลัมน์แรกไม่พบคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้ไปที่คอลัมน์ถัดไปและดำเนินการในลักษณะเดียวกัน

ในระยะแรก (การวิ่งไปข้างหน้า) ระบบจะลดขนาดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได (โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยม)

ระบบด้านล่างเป็นขั้นตอน:

,

ค่าสัมประสิทธิ์ aii เรียกว่าองค์ประกอบหลัก (ชั้นนำ) ของระบบ

(ถ้า a11=0, จัดเรียงแถวของเมทริกซ์ใหม่เพื่อให้ เอ 11 ไม่เท่ากับ 0 สิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ เพราะไม่เช่นนั้นเมทริกซ์จะมีคอลัมน์ศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และระบบไม่สอดคล้องกัน)

เราแปลงระบบโดยกำจัด x1 ที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมด ยกเว้นสมการแรก (โดยใช้การแปลงเบื้องต้นของระบบ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย

และเพิ่มเทอมต่อเทอมด้วยสมการที่สองของระบบ (หรือจากสมการที่สอง เราลบเทอมด้วยเทอมแรกคูณด้วย ) จากนั้นเราคูณทั้งสองส่วนของสมการแรกด้วยแล้วบวกเข้ากับสมการที่สามของระบบ (หรือลบอันแรกคูณด้วยเทอมที่สามด้วยเทอม) ดังนั้นเราจึงคูณแถวแรกด้วยตัวเลขอย่างต่อเนื่องแล้วบวกกับ ผม-บรรทัดที่สำหรับ ผม= 2, 3, …,น.

ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป เราได้รับระบบที่เทียบเท่า:

– ค่าใหม่ของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จักและเทอมอิสระในสมการ m-1 สุดท้ายของระบบซึ่งกำหนดโดยสูตร:

ดังนั้น ในขั้นตอนแรก สัมประสิทธิ์ทั้งหมดภายใต้องค์ประกอบนำแรก a 11 จะถูกทำลาย

0 ขั้นตอนที่สองจะทำลายองค์ประกอบภายใต้องค์ประกอบนำที่สองเป็น 22 (1) (ถ้าเป็น 22 (1) 0) เป็นต้น เมื่อดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป ในที่สุดเราจะลดระบบเดิมเป็นระบบสามเหลี่ยมที่ขั้นตอน (m-1)

หากในกระบวนการลดขนาดระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน สมการศูนย์ปรากฏขึ้น กล่าวคือ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 0=0 จะถูกละทิ้ง หากมีสมการของรูป

สิ่งนี้บ่งบอกถึงความไม่ลงรอยกันของระบบ

นี่เป็นการสิ้นสุดหลักสูตรโดยตรงของวิธีเกาส์

2. ย้ายย้อนกลับ

ในขั้นตอนที่สอง เรียกว่าการเคลื่อนไหวย้อนกลับ (reverse move) ซึ่งสาระสำคัญคือการแสดงตัวแปรพื้นฐานทั้งหมดที่เป็นผลลัพธ์ในแง่ของตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐาน และสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา หรือหากตัวแปรทั้งหมดเป็นตัวแปรพื้นฐาน แล้วแสดงคำตอบเดียวของระบบสมการเชิงเส้น

กระบวนงานนี้เริ่มต้นด้วยสมการสุดท้าย ซึ่งจะแสดงตัวแปรพื้นฐานที่สอดคล้องกัน (มีเพียงหนึ่งในนั้น) และแทนที่ลงในสมการก่อนหน้า เป็นต้น โดยจะขึ้น "ขั้นตอน" ขึ้นไปบนสุด

แต่ละบรรทัดสอดคล้องกับตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว ดังนั้นในแต่ละขั้นตอน ยกเว้นสุดท้าย (บนสุด) สถานการณ์จะทำซ้ำกรณีของบรรทัดสุดท้ายทุกประการ

หมายเหตุ: ในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าที่จะไม่ทำงานกับระบบ แต่ด้วยเมทริกซ์แบบขยาย ซึ่งทำการแปลงเบื้องต้นทั้งหมดในแถวของมัน สะดวกที่สัมประสิทธิ์ a11 เท่ากับ 1 (จัดเรียงสมการใหม่หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a11)

2.2 ตัวอย่างการแก้ SLAE โดยวิธีเกาส์

ในส่วนนี้ โดยใช้ตัวอย่างที่แตกต่างกันสามตัวอย่าง เราจะแสดงให้เห็นว่าวิธีเกาส์เซียนสามารถนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหา SLAE ได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 1 แก้ SLAE ของลำดับที่ 3

ตั้งค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ที่

ในบรรทัดที่สองและสาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณด้วย 2/3 และ 1 ตามลำดับ และเพิ่มในบรรทัดแรก: