เหตุใดสองสูตรจึงเป็นผลคูณสเกลาร์ การแนะนำ

สินค้าดอทเวกเตอร์ (ต่อไปนี้จะเรียกว่า SP) เพื่อนรัก- ข้อสอบคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มโจทย์เกี่ยวกับการแก้เวกเตอร์ เราได้พิจารณาปัญหาบางอย่างแล้ว คุณสามารถดูได้ในหมวด "เวกเตอร์" โดยทั่วไปทฤษฎีเวกเตอร์นั้นไม่ซับซ้อน สิ่งสำคัญคือต้องศึกษาอย่างสม่ำเสมอ การคำนวณและการดำเนินการกับเวกเตอร์ใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์นั้นง่าย สูตรไม่ซับซ้อน ลองดูที่ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาเกี่ยวกับ SP ของเวกเตอร์ (รวมอยู่ใน Unified State Examination) ตอนนี้ "การแช่" ในทฤษฎี:

ชม ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องลบออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดพิกัดที่สอดคล้องกันของแหล่งกำเนิดของมัน

และอีกอย่างหนึ่ง:

*ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส) ถูกกำหนดดังนี้:

สูตรนี้ต้องจำไว้!!!

ลองแสดงมุมระหว่างเวกเตอร์:

เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 0(หรือเป็นเรเดียนตั้งแต่ 0 ถึง Pi)

เราสามารถสรุปบางอย่างเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ได้ ความยาวของเวกเตอร์คือ ค่าบวกนี่มันชัดเจน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์

กรณีที่เป็นไปได้:

1. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นแบบเฉียบพลัน (ตั้งแต่ 0 0 ถึง 90 0) โคไซน์ของมุมจะมีค่าบวก

2. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน (ตั้งแต่ 90 0 ถึง 180 0) โคไซน์ของมุมจะมีค่าเป็นลบ

*ที่ศูนย์องศา กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกันคือโคไซน์ เท่ากับหนึ่งและผลลัพธ์ก็จะเป็นบวกตามลำดับ

ที่ 180 o นั่นคือเมื่อเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม โคไซน์จะเท่ากับลบ 1และผลลัพธ์จะเป็นลบตามไปด้วย

ตอนนี้เป็นจุดสำคัญ!

ที่ 90 o นั่นคือเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน โคไซน์จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น SP จึงเท่ากับศูนย์ ข้อเท็จจริงนี้ (ผลที่ตามมา ข้อสรุป) ใช้ในการแก้ไขปัญหาต่างๆ ที่เรากำลังพูดถึง ตำแหน่งสัมพัทธ์เวกเตอร์ รวมถึงปัญหาที่รวมอยู่ใน เปิดธนาคารงานคณิตศาสตร์

ขอให้เรากำหนดคำสั่ง: ผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนเส้นตั้งฉาก

ดังนั้น สูตรสำหรับเวกเตอร์ SP:

หากทราบพิกัดของเวกเตอร์หรือพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เราสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้เสมอ:

พิจารณางาน:

27724 จงหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b

เราสามารถหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ได้โดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้:

ไม่ทราบมุมระหว่างเวกเตอร์ แต่เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จากนั้นใช้สูตรแรก เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ทั้งสองตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด นั่นคือ

วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์อธิบายไว้ใน

เราคำนวณ:

คำตอบ: 40

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์แล้วใช้สูตร:

ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ จำเป็นต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ซึ่งหมายถึง

เราคำนวณผลคูณสเกลาร์:

คำตอบ: 40

ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ a และ b ให้คำตอบเป็นองศา

ให้พิกัดของเวกเตอร์มีรูปแบบ:

ในการหามุมระหว่างเวกเตอร์ เราใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์:

เพราะฉะนั้น:

พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากัน:

ลองแทนที่พวกมันลงในสูตร:

มุมระหว่างเวกเตอร์คือ 45 องศา

คำตอบ: 45

แอปพลิเคชัน. 1. ดอทโปรดัคของฟังก์ชัน

1. ดอทโปรดัคของฟังก์ชัน.

ให้ในส่วน [ ก, ข] กำหนดให้มีระบบฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้บน [ ก, ข]:

คุณ 0 (x), คุณ 1 (x), คุณ 2 (x), …, คุณไม่มี(x), …, (1)

คล้ายกับวิธีการระหว่างองค์ประกอบ พื้นที่เวกเตอร์แนะนำ การดำเนินการผลิตภัณฑ์ดอท เวกเตอร์ซึ่งตรงกับคู่ของเวกเตอร์ ให้พื้นที่จำนวนหนึ่ง - สเกลาร์ และระหว่างองค์ประกอบของระบบฟังก์ชันนี้ คุณฉัน(x), คุณเจ(x) สามารถกำหนดการดำเนินการของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของฟังก์ชันได้ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่างเป็น ( คุณฉัน(x), คุณเจ(x)).

ตามคำนิยาม การดำเนินการผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระหว่างองค์ประกอบ x , ย และ zต้องมีช่องว่างบางส่วน (รวมถึงระหว่างองค์ประกอบของระบบฟังก์ชัน) คุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ดอทโปรดัคระหว่างองค์ประกอบของปริภูมิฟังก์ชัน คุณฉัน(x), คุณเจ(x) ฉัน, เจ= 0, 1, 2,..., บูรณาการได้ใน [ ก, ข] ด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถูกป้อนโดยใช้การดำเนินการรวม:

คำจำกัดความ 1- ระบบ (1) คือ ระบบฟังก์ชั่นตั้งฉาก บนส่วน [ ก, ข] ถ้ามีสองฟังก์ชันใดๆ คุณฉัน(x), คุณเจ(x), ฉัน, เจ= 0, 1, 2, ... ของระบบที่กำหนด
ตั้งฉาก (ระหว่างกัน) บน [ ก, ข].

คำจำกัดความ 2- ลองเรียกสองฟังก์ชันกัน คุณฉัน(x), คุณเจ(x), ฉัน, เจ= 0, 1, 2, ... ระบบ (1)
ตั้งฉาก บนส่วน [ ก, ข] หากผลิตภัณฑ์สเกลาร์เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

(4)

ตัวเลข - เรียกว่า บรรทัดฐานของฟังก์ชัน คุณฉัน(x).

หากครบทุกฟังก์ชั่น คุณฉัน(x) มี อัตราเดียว , เช่น.

ล ฉัน = 1, ฉัน = 0, 1, 2, ... (5)

และระบบฟังก์ชัน (1) ตั้งฉากกับ [ ก, ข] จึงเรียกระบบดังกล่าวว่า
ออร์โธนอร์มอล หรือ ปกติ ระบบตั้งฉากบนส่วน [ ก, ข].

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขสำหรับความปกติของฟังก์ชันในตอนแรก จากระบบ (1) หากจำเป็น คุณสามารถย้ายไปยังระบบ (6) ซึ่งจะเป็นเรื่องปกติอย่างแน่นอน:

, ฉัน = 0, 1, 2, ... (6)

โปรดทราบว่าจากที่พัก ตั้งฉาก องค์ประกอบของระบบบางอย่างก็ควรจะเป็น ความเป็นอิสระเชิงเส้น , เช่น. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: ระบบตั้งฉากใดๆ ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์(องค์ประกอบ)เป็นอิสระเชิงเส้น.

2 .แนวคิดเรื่องฟังก์ชันพื้นฐาน.

จากหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ คุณรู้ว่าในปริภูมิเวกเตอร์คุณสามารถป้อนได้ พื้นฐานเวกเตอร์- เซตของเวกเตอร์ที่เวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดสามารถเป็นได้ วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน ในเวลาเดียวกัน ไม่มีเวกเตอร์พื้นฐานใดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัดของเวกเตอร์พื้นฐานที่เหลือได้ (ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน)

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ใดๆ พื้นที่สามมิติสามารถแสดงได้เฉพาะในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน :

= .

ที่ไหน ก, ข, และ ค- ตัวเลขบางตัว และเนื่องจาก ความเป็นอิสระเชิงเส้น(มุมตั้งฉาก) ของเวกเตอร์พื้นฐาน ไม่มีเวกเตอร์ใดแยกกันสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานที่เหลือได้

คล้ายกับที่กล่าวมาข้างต้นในอวกาศ ฟังก์ชันพหุนาม, เช่น. ในปริภูมิพหุนามที่มีดีกรีไม่สูงกว่า n:

พี(x) = ก 0 + ก 1 x + ก 2 x 2 + … + ไม่มี. (7)

สามารถแนะนำพื้นฐานได้จาก พหุนามเบื้องต้น (บ่งชี้) ฟังก์ชั่น :

x 0 , x, x 2 , x 3 , …, เอ็กซ์เอ็น(8)

ยิ่งไปกว่านั้น เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันพื้นฐาน (8) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น กล่าวคือ ไม่มีฟังก์ชันพื้นฐาน (8) ใดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐานที่เหลือได้ นอกจากนี้ เห็นได้ชัดว่าพหุนามดีกรีใดๆ ไม่สูงกว่า nสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในรูปแบบ (7) เช่น ในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐาน (8)

เจ ฉัน(x) = ก ฉัน(เอ็กซ์เอ) ฉัน + (เอ็กซ์เอ)ฉัน+ 1 , ฉัน= 1, 2, …, n(9)

คำอธิบายเรื่องนี้ส่วนหนึ่งมาจากผู้รู้ดี การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของไวเออร์สตราสส์ ตามเส้นต่อเนื่องใดๆ ในช่วงเวลา [ ก, ข] การทำงาน ฉ(x) อาจจะ " ดี» ถูกประมาณในส่วนนี้ด้วยพหุนามบางส่วน พี(x) องศา n, เช่น. เพิ่มระดับ nพหุนาม พี(x) สามารถอยู่ใกล้ได้มากเท่าที่คุณต้องการ พอดีกับ ฟังก์ชั่นต่อเนื่องฉ(x).

เนื่องจากพหุนามใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพหุนามพื้นฐานประเภท (8) หรือ (9) ดังนั้นตามทฤษฎีบทของไวเออร์สตราส ฟังก์ชันต่อเนื่อง (นั่นคือ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองเท่าซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สอง) สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐาน (9) ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าและเป็นอิสระเชิงเส้นแบบคู่

คำถามในหัวข้อ

“วิธีการแก้ปัญหาค่าขอบเขตโดยประมาณสำหรับสามัญ
สมการเชิงอนุพันธ์".

(บรรยายครั้งที่ 25 - 26)

1. คำจำกัดความพื้นฐาน: คำชี้แจงของปัญหาค่าขอบเขตเชิงเส้นสำหรับ ODE ลำดับที่สอง ประเภทและการจำแนกปัญหาค่าขอบเขต

2. วิธีการลดปัญหาค่าขอบเขตให้เป็นปัญหาค่าเริ่มต้น: คำชี้แจงปัญหา; วิธีการเล็ง; วิธีการลด; วิธีการกวาดส่วนต่าง

3. วิธีผลต่างอันจำกัด: คำชี้แจงปัญหา; ความแพร่หลายของวิธีผลต่างอันจำกัดในการแก้ปัญหาค่าขอบเขต การเลือกประเภทการประมาณอนุพันธ์เพื่อลดปัญหาค่าขอบเขตให้กับ SALU โดยเมทริกซ์มีโครงสร้างสามเหลี่ยม

4. วิธีการประมาณค่าหรือวิธีการจัดระเบียบ: ค้นหาคำตอบโดยประมาณในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันพื้นฐาน ข้อกำหนดสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของการรวมกันเชิงเส้นตามเงื่อนไขของความบังเอิญของคำตอบที่แน่นอนและโดยประมาณที่โหนดการจัดระเบียบ การเลือกฟังก์ชันพื้นฐาน

5. วิธีกาเลอร์คิน- แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีวิธี Galerkin การหาคำตอบโดยประมาณในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้น ฟังก์ชันพื้นฐาน ข้อกำหนดสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน การเลือกค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นที่กำหนดประเภทของสารละลายโดยประมาณจากเงื่อนไขการลดขนาด สารตกค้าง เนื่องจากการทดแทนโซลูชันที่แน่นอน ปัญหาที่แตกต่างวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่ต้องการ

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพระดับสูง สถาบันเหมืองแร่แห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ตั้งชื่อตาม จี.วี. เพลคาโนวา

(มหาวิทยาลัยเทคนิค)

เอ.พี. Gospodarikov, G.A. โคลตัน เอส.เอ. คาชาทรีน

อนุกรมฟูริเยร์ อินทิกรัลฟูริเยร์

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

ยูดีซี 512 + 517.2 (075.80)

คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธีเปิดโอกาสให้ได้รับทักษะเชิงปฏิบัติในการวิเคราะห์ฟังก์ชันโดยใช้การขยายอนุกรมฟูริเยร์หรือการแสดงแทนอินทิกรัลฟูริเยร์ และมีไว้สำหรับการทำงานอิสระของนักศึกษาเต็มเวลาและนอกเวลาในสาขาพิเศษ

คู่มือนี้จะตรวจสอบประเด็นหลักของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการและปัญหาด้านเทคนิคประเภทต่างๆ โดยใช้พื้นฐานของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

ศาสตราจารย์ บรรณาธิการด้านวิทยาศาสตร์ - เอ.พี. กอสโปดาริคอฟ

ผู้วิจารณ์: แผนก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นอันดับ 1 มหาวิทยาลัยเทคนิคไฟฟ้าแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก; ปริญญาเอกสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ วี.เอ็ม. ชิสยาคอฟ(มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก).

Gospodarikov A.P.

G723. อนุกรมฟูริเยร์ อินทิกรัลฟูริเยร์ แคลคูลัสปฏิบัติการ: คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี / เอ.พี. กอสโปดาริคอฟ,จี.เอ. โคลตัน,เอส.เอ. คาชาทรีน- สถาบันเหมืองแร่แห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก (มหาวิทยาลัยเทคนิค) เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2548 102 น.

ไอ 5-94211-104-9

ยูดีซี 512 + 517.2 (075.80)

บีบีเค 22.161.5

การแนะนำ

จากทฤษฎีฟูริเยร์ เป็นที่ทราบกันดีว่าด้วยอิทธิพลบางประการต่อระบบทางกายภาพ เทคนิค และระบบอื่นๆ ผลลัพธ์ของมันจะทำซ้ำรูปร่างของสัญญาณอินพุตเริ่มต้น โดยต่างกันเฉพาะในสเกลแฟกเตอร์เท่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่าระบบตอบสนองต่อสัญญาณดังกล่าว (เรียกว่าสัญญาณของตัวเอง) ในวิธีที่ง่ายที่สุด หากสัญญาณอินพุตตามอำเภอใจเป็นการรวมกันเชิงเส้นของสัญญาณของตัวเอง และระบบเป็นแบบเชิงเส้น ดังนั้นการตอบสนองของระบบต่อสัญญาณที่กำหนดเองนี้คือผลรวมของปฏิกิริยาต่อสัญญาณของตัวเอง และดังนั้น ข้อมูลครบถ้วนข้อมูลเกี่ยวกับระบบสามารถรับได้จาก "แบบเอกสารสำเร็จรูป" ซึ่งเป็นการตอบสนองต่อสัญญาณอินพุตของระบบเอง ตัวอย่างเช่นในวิศวกรรมไฟฟ้าเมื่อมีการแนะนำการตอบสนองความถี่ของระบบ (ฟังก์ชันการถ่ายโอน) สำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรผันตามเวลาที่ง่ายที่สุด (เช่น ระบบที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่) ในบางกรณี ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะเป็นฮาร์โมนิกของรูปแบบ ด้วยวิธีนี้เป็นไปได้ที่จะได้รับผลลัพธ์ของอิทธิพลโดยพลการต่อระบบหากสิ่งหลังถูกนำเสนอในรูปแบบของการรวมเชิงเส้นของฮาร์โมนิกส์ (ในกรณีทั่วไปในรูปแบบของอนุกรมฟูริเยร์หรืออินทิกรัลฟูริเยร์) . นี่เป็นหนึ่งในเหตุผลว่าทำไมในทางทฤษฎีและการประยุกต์จึงจำเป็นต้องใช้แนวคิดของอนุกรมตรีโกณมิติ (อนุกรมฟูเรียร์) หรืออินทิกรัลฟูเรียร์

บทที่ 1 อนุกรมฟูริเยร์

§ 1. ปริภูมิเวกเตอร์

นี่ครับ ข้อมูลโดยย่อจากพีชคณิตเวกเตอร์ ซึ่งจำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจหลักการพื้นฐานของทฤษฎีอนุกรมฟูริเยร์ให้ดีขึ้น

ให้เราพิจารณาเซต  ของเวกเตอร์เรขาคณิต (ปริภูมิเวกเตอร์) ซึ่งนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์มาใช้ตามปกติ การดำเนินการเชิงเส้น(การบวกและการลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข) และการดำเนินการของการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์

ให้เราแนะนำพื้นฐานตั้งฉากในปริภูมิ  ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากมุมฉากสามคู่ ,และ - เวกเตอร์ฟรี
คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน:

. (1.1)

ค่าสัมประสิทธิ์  ฉัน (ฉัน= 1, 2, 3) เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
สามารถกำหนดได้ดังนี้ ผลคูณดอทของเวกเตอร์ และเวกเตอร์ฐานตัวหนึ่ง

เนื่องจากความตั้งฉากของฐานจึงทำให้ผลคูณสเกลาร์
ที่
ดังนั้น ทางด้านขวาของค่าเท่ากันสุดท้ายจะมีพจน์เดียวเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกัน
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม
, ที่ไหน

, (1.2)

ที่ไหน
.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ และ กำหนดโดยพิกัดของพวกเขา
และ
แล้วผลคูณสเกลาร์

ตั้งแต่เมื่อไร
ผลิตภัณฑ์ดอท
ดังนั้นเมื่อรวมเป็นสองเท่าแล้ว เฉพาะพจน์ที่มีดัชนีเท่ากันเท่านั้นจึงไม่ใช่ศูนย์

โดยเฉพาะเมื่อ
จาก (1.3) ดังต่อไปนี้

. (1.4)

§ 2. ผลิตภัณฑ์ภายในและบรรทัดฐานของฟังก์ชัน

ให้เราแสดงด้วยสัญลักษณ์
ชุดของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ ในช่วงเวลา [ ก, ข], เช่น. ฟังก์ชั่นที่มีช่วงเวลา [ ก, ข] จำนวนจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทแรกและต่อเนื่องที่จุดอื่นทั้งหมดของช่วงเวลานี้